CONTROLE DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS TIPO STICK...

Junho, 2013

CONTROLE DE VIBRAÇÕES

MECÂNICAS TIPO “STICK-SLIP”

EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO

Aluno: Michael Angel Santos Arcieri

Orientador: Oscar A. Z. Sotomayor

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

Arcieri, Michael Angel Santos

A674c Controle de vibrações mecânicas tipo “stick slip” em colunas de perfuração / Michael Angel Santos Arcieri ; orientador Oscar A. Z. Sotomayor. – São Cristóvão, 2013. 105 f. : il. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Universidade

Federal de Sergipe, 2013.

O

1. Coluna de perfuração. 2. Fenômeno stick-slip. 3. Controle proporcional-integral. 4. Controle por modo deslizante. 5. Controle por linearização entrada-saída. I. Sotomayor, Oscar A. Z., orient. II. Título.

CDU: 620.178.3

iv

Dedico este trabalho a minha

mãe, pelo exemplo de vida que é, ao meu

pai, pelo seu incentivo, aos meus irmãos, a

minha namorada Luana, e especialmente

ao meu avô Gerino.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço esse trabalho inicialmente a Deus, por ter me dado a vida.

Ao meu avô Gerino por cada ensinamento, agradeço a Deus por cada momento que

estive com o senhor, que Deus o tenha! SAUDADES!

Aos meus pais, Josefa e Angelo, e meus irmãos, Jofrancis, Denis, Jean e Ryan pelo

companheirismo e amizade que sempre me proporcionaram.

A minha namorada, Luana, pelo amor, amizade, companheirismo, força e compreensão

que me ofereceu durante o mestrado.

Aos amigos do mestrado, Rodrigo, Iury, Manoel, Cássio, David e Carlos Eduardo que

me ajudaram durante toda essa jornada.

Ao meu orientador e professor Oscar Sotomayor que me incentivou a entrar na área de

controle, através de seus bons ensinamentos e conselhos.

vi

“As conquistas não são fáceis de serem

atingidas, muitos obstáculos haverá pela

frente, mas o verdadeiro conquistador

tem o espírito lutador, planejador, e

sonhador. Estará sempre seguindo em

frente e rompendo todos os obstáculos.”

André Luiz Palma

vii

Resumo da Dissertação apresentada ao PROEE/UFS como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre (Me.)

CONTROLE DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS TIPO “STICK-SLIP” EM COLUNAS

DE PERFURAÇÃO

Michael Angel Santos Arcieri

Março/2013

Orientador: Prof. Dr. Oscar A. Z. Sotomayor

Programa: Engenharia Elétrica

Vibrações mecânicas são inevitáveis nas operações de perfuração. Vibrações

torcionais stick-slip são vibrações que ocorrem em colunas de perfuração, as quais são

produzidas pelas variações periódicas de torque e caracterizadas por grandes oscilações

da velocidade da broca. Estas vibrações são prejudiciais, mais pela característica cíclica

do fenômeno que pela amplitude da mesma, podendo originar fadiga da tubulação,

falhas nos componentes da coluna de perfuração, deformações nas paredes do poço,

desgaste excessivo da broca, baixa taxa de penetração e, inclusive, colapso do processo

de perfuração. A frequência destas oscilações indesejadas pode ser reduzida pela

aplicação de técnicas de controle automático. O objetivo deste trabalho é avaliar,

mediante simulações numéricas, a aplicação de técnicas de controle convencional, como

o controle proporcional-integral (PI), e não linear, como o controle por modos

deslizantes (SMC) e o controle por linearização entrada-saída (IOLC) para eliminar a

presença de oscilações stick-slip em colunas de perfuração. Os controladores são

desenvolvidos principalmente para manter constante a velocidade do sistema de rotação,

mediante a manipulação do torque do motor, para assim controlar inferencialmente a

velocidade da broca, fornecendo desta maneira condições ótimas de operação, além de

preservar a estabilidade do sistema. Resultados das simulações, usando modelos

torcionais de uma coluna de perfuração de dois graus de liberdade (2-DOF) e de quatro

graus de liberdade (4-DOF), mostram o desempenho dos sistemas de controle

propostos, os quais são analisados e comparados qualitativamente.

Palavra-chaves: Coluna de perfuração, fenômeno stick-slip, controle PI, controle por

modos deslizantes, controle por linearização entrada-saída.

viii

Abstract of Dissertation presented to PROEE/UFS as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master.

CONTROL OF STICK-SLIP VIBRATIONS IN OIL WELL DRILLSTRINGS

Michael Angel Santos Arcieri

March/2013

Advisor: Prof. Dr. Oscar A. Z. Sotomayor

Department: Electrical Engineering

Mechanical vibrations are inevitable in drilling operations. Torsional stick-slip

vibrations are vibrations that occur in drilling columns, which are produced by periodic

variations of torque and characterized by large fluctuations in the speed of the drill bit.

These vibrations are dangerous, primarily by the cyclical characteristic of the

phenomenon that by the amplitude of the same, which can cause fatigue of the pipe,

failures in the components of the drill string, deformations in the walls of the well,

excessive wear of the drill, low rate of penetration, and collapse of the drilling process.

The frequency of these unwanted oscillations can be reduced by the application of

automatic control techniques. The objective of this study is to evaluate through

numerical simulations, the application of conventional control techniques, such as

proportional-integral control (PI), and nonlinear, as the sliding mode control (SMC) and

the input-output linearization control (IOLC), to eliminate the presence of stick-slip

oscillation in drilling columns. The controllers are designed primarily to maintain a

constant speed of rotation system, by manipulating engine torque, thereby inferentially

control the speed of the drill, thus providing optimum operation conditions, beyond

preserving system stability. Results of simulations using drill string torsional models of

two degrees of freedom (2-DOF) and four degrees of freedom (4-DOF) show the

performance of the proposed control systems, which are analyzed and qualitatively

compared.

Keywords: drill string, stick-slip phenomenon, PI control, sliding mode control, control

by input-output linearization.

ix

SUMÁRIO

Lista de Figuras .......................................................................................................................... xi

Lista de Tabelas ........................................................................................................................ xiv

Lista de Abreviaturas ................................................................................................................ xv

Capítulo 1. Introdução ................................................................................................................. 1

1.1. O Processo de Perfuração .............................................................................................. 1

1.2. O Fenômeno "Stick-Slip" .............................................................................................. 3

1.3. Objetivos do Trabalho ................................................................................................... 5

1.4. Revisão Bibliográfica .................................................................................................... 6

1.5. Estrutura do Trabalho .................................................................................................... 8

Capítulo 2. Modelo Torcional de uma Coluna de Perfuração ............................................... 10

2.1. Modelo Matemático de n-DOF ................................................................................... 10

2.2. Simulação de um Sistema de 2-DOF .......................................................................... 16



Capítulo 3. Controle PI das Vibrações “Stick-Slip” ................................................................ 31

3.1. Introdução ................................................................................................................... 31

3.2. Desenvolvimento dos Controladores PI e PI-P ........................................................... 32

3.3. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema de 2-DOF ................................... 36

3.4. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema 4-DOF ....................................... 41

Capítulo 4. Controle por Modos Deslizantes ........................................................................... 48

4.1. Introdução ................................................................................................................... 48

4.2. Aspectos Gerais do SMC ............................................................................................ 48

4.3. Síntese do Controlador SMC ...................................................................................... 49

4.4. Projeto do Controlador SMC para a Coluna de Perfuração ........................................ 54

4.5. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 2-DOF ............................................. 55

4.6. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 4-DOF ............................................. 58

Capítulo 5. Controle por Linearização Exata por Realimentação ........................................ 61

5.1. Introdução ................................................................................................................... 61

5.2. Conceitos Básicos Fundamentais ................................................................................ 62

5.2.1. Campo vetorial .................................................................................................... 62

5.2.2. Campo covetorial ................................................................................................ 62

5.2.3. Produto interno .................................................................................................... 62

x

5.2.4. Gradiente ............................................................................................................. 62

5.2.5. Jacobiano ............................................................................................................. 63

5.2.6. Derivada de Lie ................................................................................................... 63

5.2.7. Parêntese de Lie .................................................................................................. 63

5.2.8. Difeomorfismo .................................................................................................... 64

5.2.9. Teorema de Frobenius ......................................................................................... 65

5.3. Linearização Entrada-Estado ...................................................................................... 65

5.4. Controle por Linearização Entrada-Saída (IOLC) ...................................................... 70

5.5. Impossibilidade Teórica do Projeto de um Controlador ISLC para a Coluna de

Perfuração ............................................................................................................................... 73

5.6. Projeto de um Controlador IOLC para a Coluna de Perfuração .................................. 78

5.7. Simulação do Controlador IOLC nos Sistemas 2-DOF e 4-DOF ............................... 79

5.8. Simulação do Controlador IOLC no Sistema de 4-DOF ............................................. 81

Capítulo 6. Conclusões e Recomendações de Trabalhos Futuros .......................................... 85

Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 87

xi

Lista de Figuras

Figura 1.1 – Sonda de perfuração offshore ....................................................................... 2

Figura 1.2 – Vibrações que podem ocorrer em uma coluna de perfuração (Alamo, 2002)4

Figura 1.3 – Velocidades angulares da mesa rotatória e da broca em um sistema de

perfuração real (Serrarens et al., 2008) ............................................................................. 5

Figura 2.1 – Modelo torcional de uma coluna de perfuração vertical convencional com n

graus de liberdade. A nomenclatura das variáveis e parâmetros do modelo é listada na

Tabela 2.1. ....................................................................................................................... 11

Figura 2.2 – Estrutura do modelo de 2-DOF de uma coluna de perfuração ................... 17

Figura 2.3 – Velocidade angular da broca (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 2-

DOF ................................................................................................................................ 19

Figura 2.4 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1) e da broca (x3).

Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca no sistema

de 2-DOF ........................................................................................................................ 19

Figura 2.5 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 2-DOF ................................... 20

Figura 2.6 – Estrutura do modelo de 3-DOF de uma coluna de perfuração ................... 21

Figura 2.7 – Velocidade angular da broca (x6), do tubo de perfuração (x4) e da mesa

rotatória (x2) do sistema de 3-DOF ................................................................................. 23

Figura 2.8 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de

perfuração (x3) e da broca (x5). Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa

rotatória e a broca no sistema de 3-DOF ........................................................................ 24

Figura 2.9 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 3-DOF ................................... 24

Figura 2.10 – Estrutura do modelo de 4-DOF de uma coluna de perfuração ................. 25

Figura 2.11 – Brocas de rolamentos cônicos .................................................................. 27

Figura 2.12 – Velocidade angular da broca (x8), do tubo de perfuração (x6), do BHA (x4)

e da mesa rotatória (x2) do sistema de 4-DOF ................................................................ 29


perfuração (x3), do BHA (x5) e da broca (x7). Direita: diferença de deslocamento angular

entre a mesa rotatória e a broca no sistema de 4-DOF ................................................... 29

Figura 2.14 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 4-DOF ................................. 30

Figura 3.1 – Representação dos pólos para um sistema superamortecido ...................... 35

xii

Figura 3.2 – Implementação do controlador PI no sistema de 2-DOF no

Simulink/MatlabTM

......................................................................................................... 37

Figura 3.3 – Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis

controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 38

Figura 3.4 - Resposta a variações no setpoint do sistema de 2-DOF com o controlador

PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ................................................... 38

Figura 3.5 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I)

variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 39

Figura 3.6 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis

controladas (II) variável manipulada .............................................................................. 40

Figura 3.7 - Resposta a variações no setpoint no sistema 2-DOF com o controlador PI-P:

(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ......................................................... 40

Figura 3.8 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I)



Simulink/MatlabTM

. ........................................................................................................ 42

Figura 3.10 - Resposta do sistema de 4-DOF com o Controlador PI: (I) variáveis


Figura 3.11 - Resposta a variações no setpoint do sistema 4-DOF com o controlador PI:




Figura 3.13 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variável


Figura 3.14 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador

PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................... 46


variáveis controladas, (II) variáveis manipuladas ........................................................... 46

Figura 4.1 – Interpretação gráfica das Equações (4.6) e (4.8) (Slotine & Li, 1991) ...... 51

Figura 4.2 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis


Figura 4.3 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o Controlador

SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................. 57

xiii

Figura 4.4 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I)


Figura 4.5 - Resposta do sistema 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis



SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................. 59



Figura 5.1 - Resposta do Sistema 2-DOF com o Controlador IOLC com 휀 = 8: (I)



IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................. 80

Figura 5.3 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador IOLC:


Figura 5.4 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis



IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................. 83



xiv

Lista de Tabelas

Tabela 2.1– Variáveis e parâmetros do modelo da coluna de perfuração ...................... 12

Tabela 2.2- Valores dos parâmetros do modelo de 2-DOF ............................................ 18

Tabela 2.3– Valores dos parâmetros do modelo de 3-DOF ............................................ 22

Tabela 2.4 – Valores dos parâmetros do modelo de 4-DOF ........................................... 28

Tabela 4.1– Valores dos parâmetros de sintonia do SMC desenvolvidos para o sistema

2-DOF ............................................................................................................................. 56

xv

Lista de Abreviaturas

2-DOF Sistema com 2 Graus de Liberdade



𝑛-DOF Sistema com 𝑛 Graus de Liberdade

BHA Composição de Fundo da Coluna

IOLC Controle por Linearização Entrada-Saída

ISLC Controle por Linearização Entrada-Estado

MPC Controle Preditivo Linear

NMPC Controle Preditivo Não-linear

PD Proporcional-Derivativo

PI Proporcional-Integrativo

PID Proporcional-Integrativo-Derivativo

PI-P Proporcional-Integrativo-Proporcional

ROP Taxa de Penetração

SMC Controle por Modos Deslizantes

𝑊𝑜𝑏 Peso sobre a Broca

VSC Controle com Estrutura Variável

VSCS Sistema de Controle com Estrutura Variável

1

Capítulo 1

Introdução

1.1. O Processo de Perfuração

O trabalho de uma sonda de perfuração consiste em perfurar a crosta terrestre

objetivando a extração de recursos naturais tais como água, gás natural ou petróleo. Os

primeiros poços foram perfurados com o intuito de obter água diretamente de aquíferos,

reservas de águas subterrâneas, para suprir a necessidade de uma determinada região.

Porém com o desenvolvimento da indústria e a urgência de obtenção de novas fontes de

energia, as técnicas de perfuração até então conhecidas foram aprimoradas permitindo a

exploração do petróleo subterrâneo em grande escala, tornando a indústria petrolífera

um dos principais expoentes econômicos da sociedade atual.

Existem, basicamente, dois métodos de perfuração:

Método percussivo: a perfuração é feita golpeando a rocha com uma broca,

causando a sua fragmentação por esmagamento. Os cascalhos gerados no

interior do poço após vários golpes são retirados posteriormente através de

uma ferramenta chamada caçamba. Este método foi o primeiro a ser

utilizado na indústria do petróleo.

Método rotativo: a perfuração é realizada através do movimento de rotação

de uma broca, comprimindo a rocha, causando o seu esmerilhamento. A

retirada dos cascalhos gerados é realizada por um fluido de perfuração que,

injetado nos tubos de perfuração, retorna pelo anular, espaço existente entre

da coluna de perfuração e as paredes do poço. Este método é considerado o

padrão da indústria do petróleo, sendo utilizado nas perfurações atuais.

A perfuração de poços de petróleo é realizada por uma sonda de perfuração,

como ilustrado na Figura 1.1. A sonda da figura é uma plataforma fixa tipo jaqueta

usada nas operações de perfuração offshore. A coluna de perfuração, com a broca de aço

na sua extremidade, é ligada ao topdrive, um motor elétrico é responsável pela rotação

da coluna e que se encontra localizado na parte superior do mastro ou torre de

perfuração. O efeito combinado do peso sobre a broca e da sua rotação sobre a formação

causa a fragmentação da rocha. O topdrive é preso a um gancho no mastro, o que torna

possível a movimentação vertical (para cima e para baixo) da coluna pelo sistema de

2

elevação. Durante a perfuração, à medida em que a broca vai penetrando a formação

rochosa e a posição do topdrive alcança o fundo do mastro, uma nova seção de tubo de

perfuração é adicionada à coluna e a posição do gancho é movida para o topo da nova

conexão, retomando o processo. O comprimento de cada tubulação é de

aproximadamente 27 m, de modo que para uma taxa de penetração típica de 15m/h

exigirá uma nova conexão a cada duas horas aproximadamente.

Além das sondas equipadas com top drive existem as sondas convencionais,

nas quais o sistema de rotação é dado pela mesa rotativa. Localizada na plataforma da

sonda, a mesa rotativa é um equipamento que transmite rotação à coluna de perfuração

através de um tubo de parede externo poligonal, o kelly, que fica enroscado no topo da

coluna de perfuração. A mesa rotativa, em algumas operações, tem o papel de suportar o

peso da coluna de perfuração. Há ainda a possibilidade de perfurar com um motor de

fundo, em que o torque necessário é dado pela passagem do fluido de perfuração no seu

interior (Thomas, 2001).

Figura 1.1 – Sonda de perfuração offshore

Embora não claramente ilustrado na Figura 1.1, a sonda de perfuração contém

um sistema de circulação de fluido ou lama de perfuração. Uma bomba é responsável

por injetar o fluído de perfuração por dentro da coluna, o qual passa através da broca e

retorna pela região anular, espaço compreendido entre a coluna de perfuração e a parece

do poço, trazendo consigo os cascalhos gerados no processo. Depois de fluir por uma

linha de retorno, a lama passa por uma peneira vibratória, para separar os sólidos mais

grosseiros, e volta ao reservatório para ser novamente utilizada.

Além de transportar os cascalhos gerados para a superfície, o fluido de

perfuração tem as seguintes funções: limpar e esfriar a broca, atuar como lubrificante

3

onde houver atrito, fornecer pressão hidrostática para evitar a entrada de fluidos no

poço, impedir que os fragmentos de rocha se sedimentem no fundo durante as paradas

das perfurações, obturar os orifícios das camadas porosas atravessadas na perfuração,

proteger contra a corrosão etc.

Atualmente, com a descoberta das novas reservas petrolíferas no litoral

brasileiro, na chamada camada do pré-sal, surgiram problemas relacionados com a

extração devido à sua localização. Sua profundidade pode chegar a mais de 7 mil

metros, tornando o processo de perfuração, para o aproveitamento das reservas de

petróleo e gás nelas contidas, um grande desafio tecnológico. A hostilidade do

ambiente, o comportamento das rochas dessa camada, as elevadas profundidades, a

variação de pressão e de temperatura, e a distância do litoral, são exemplos de

problemas que devem ser vencidos e que exigem equipamentos complexos, tais como

sondas de perfuração em águas profundas, e a busca por novas soluções para os diversos

problemas da perfuração, visando aumentar a eficiência e reduzir o tempo e o custo da

operação.

1.2. O Fenômeno "Stick-Slip"

Sendo a coluna de perfuração um sistema mecânico, vibrações são inevitáveis

nas operações de perfuração, as quais podem ser classificadas como: axiais ou

longitudinais, torcionais e laterais. Essas vibrações são responsáveis por quase 80% dos

problemas prematuros em colunas de perfuração, representando uma perda de

aproximadamente 5% do custo total da exploração de um poço (Spanos et al., 2003).

Elas englobam diversas consequências danosas para as operações, que vão desde uma

diminuição da taxa de penetração até uma ruptura da coluna de perfuração, evento este

indesejado, pois pode provocar diversos danos ao poço e aos equipamentos de

perfuração. Além disso, essas vibrações afetam um dos principais fatores que

influenciam o custo da operação, o tempo de perfuração.

Associado a cada tipo de vibração tem-se uma série de fenômenos, conforme

mostrado na Figura 1.2.

whirl (remoinho): vibração lateral que ocorre quando o centro da gravidade

da coluna não coincide com o seu eixo geométrico de rotação, causando

choque entre a coluna e as paredes do poço (Navarro-López & Suárez,

2005).

stick-slip (adere-desliza): vibração torcional caracterizado por uma variação

da velocidade da broca de zero a dez vezes a velocidade de giro da coluna.

Normalmente, este fenômeno vem associado a importantes variações de

torque (Tucker & Wang, 1999).

bit bouncing (rebote): vibração axial na qual a broca dá saltos de forma

periódica, perdendo contato com o fundo do poço, podendo, inclusive,

chegar a se despender (Divényi, 2009).

4

Figura 1.2 – Vibrações que podem ocorrer em uma coluna de perfuração (Alamo, 2002)

A presença das vibrações em colunas de perfuração dá-se em instantes de

operação distintos e em faixas de frequências diferentes, o que permite estudá-las

individualmente. O presente trabalho concentra-se nas vibrações torcionais e no

fenômeno stick-slip que elas produzem.

O fenômeno stick-slip pode aparecer quando duas superfícies em contato estão

deslizando uma em relação à outra. No caso da coluna de perfuração, as oscilações

stick-slip são produzidas pelas variações periódicas de torque e caracterizadas por

grandes alterações da velocidade na broca. Essas alterações ocorrem pelo fato da coluna

de perfuração apresentar elasticidade. O atrito não-linear do poço faz com que a

velocidade da broca chegue a parar por um período de tempo, fase esta denominada

stick. Quando isso ocorre, a rotação na mesa continua e a coluna funciona como uma

mola armazenando energia torcional. A partir do momento que o atrito é superado pela

energia acumulada na coluna, a broca tem a sua velocidade diferente de zero, podendo

chegar a dez vezes a velocidade angular da mesa rotativa, fase esta conhecida como slip.

Nesse caso, o sistema pode ficar alternando entre as fases stick e slip a uma frequência

específica. A Figura 1.3 delineia o comportamento típico das velocidades angulares da

mesa rotatória e da broca durante um processo de perfuração.

As vibrações stick-slip são prejudiciais, mais pela característica cíclica do

fenômeno do que pela amplitude das mesmas. Experimentos em campo assinalam que

ditas oscilações aparecem em 50% do tempo de perfuração, podendo originar fadiga da

tubulação, falhas nos componentes da coluna de perfuração, desvio da trajetória do

poço, alargamento do poço, deformações nas paredes do poço, desgaste excessivo da

broca e baixa taxa de penetração. Estas instabilidades na velocidade de giro da broca

podem, em alguns casos, romper a coluna de perfuração constituindo um grave

problema, não apenas por conta da perda material da coluna, mas principalmente por

conta da perda de tempo da operação, podendo também ocasionar a necessidade de se

5

efetuar um desvio no poço acima do ponto de ruptura da coluna ou, até mesmo, a perda

do poço (Divényi, 2009).

Figura 1.3 – Velocidades angulares da mesa rotatória e da broca em um sistema de

perfuração real (Serrarens et al., 2008)

Face à complexidade das colunas de perfuração de poços de petróleo, a prática

da perfuração faz uso das metodologias de controle automático a fim de suprimir os

fenômenos oscilatórios indesejados. Segundo Navarro-López (2010), o controlador é

interpretado como um método de seleção de parâmetros de segurança offline. Antes de

começar a operação, o modelo de simulação e o controlador podem ajudar o operador a

projetar o perfil de perfuração do poço com valores de referências para o torque no

sistema rotatório (𝑇𝑚 ), o peso sobre a broca (𝑊𝑜𝑏 ) e as velocidades de rotação desejadas

(Ω). Para uma combinação (𝑊𝑜𝑏 ,Ω), o torque 𝑇𝑚 pode ser calculado tal que o fenômeno

oscilatório na broca possa ser evitado.

1.3. Objetivos do Trabalho

O objetivo principal do presente trabalho é auxiliar os operadores de colunas de

perfuração de poços de petróleo avaliando, mediante simulações numéricas, a aplicação

de técnicas de controle não-linear, tais como o controle por modos deslizantes e o

controle baseado em linearização por realimentação, para obter velocidades constantes

do mecanismo rotatório da mesa e da broca, com o intuito de reduzir a presença de

oscilações mecânicas tipo stick-slip e manter condições de operação ótimas, apesar de

incertezas e mudanças nas condições de operação, além de preservar a estabilidade e a

recuperação do sistema.

6

Objetivos secundários deste trabalho são:

Propiciar um melhor entendimento das vibrações mecânicas em colunas de

perfuração;

Aumentar a eficiência e desempenho da perfuração com a introdução de

novas soluções para problemas provocados por vibrações tipo stick-slip;

Contribuir com o desenvolvimento de novas técnicas de controle e

automação de poços;

Fortalecer a área de conhecimento de engenharia de perfuração;

Estabelecer as bases para a consolidação de um grupo de pesquisa em

automação na indústria de petróleo e gás no DEL/UFS.

1.4. Revisão Bibliográfica

Na literatura técnico-científica foram propostos diversos métodos e técnicas de

controle para eliminar ou reduzir a presença do fenômeno stick-slip em sistemas de

perfuração. O resumo de alguns desses trabalhos são apresentados a seguir.

Serrarens et al. (1998) mostraram que a supressão de oscilações auto-excitadas

stick-slip e a resposta transitória da velocidade da broca podem ser amplamente

melhoradas pelo uso de um controlador 𝐻∞, quando comparado a sistemas de controle

tipo PD (proporcional-derivativo), comumente aplicados na perfuração de poços de

petróleo. O controlador era linear e invariante no tempo. Embora a fricção na broca

fosse altamente não-linear, a escolha por um controlador linear pareceu eficaz. Pelo uso

de funções de ponderação dinâmica para os sinais de entrada e saída foi possível

modelar funções de transferência em malha fechada de tal forma que os requisitos de

desempenho no domínio do tempo e no domínio da frequência fossem alcançados.

Resultados experimentais realizados em um sistema de bancada forneceram uma

perspectiva promissora para aplicações em sistemas reais.

Abdulgalil & Siguerdidjane (2005) apresentou um controlador PID

(proporcional-integral-derivativo) robusto para lidar com vibrações stick-slip em

sistemas de perfuração. O projeto do controlador é baseado em uma função de

superfície deslizante que trabalha em conjunto com um controlador por linearização

entrada-estado, fornecendo um controlador para sistemas não-lineares com incertezas. A

técnica de modos deslizantes era aplicada escolhendo o erro de velocidade angular da

broca como superfície deslizante. A estabilização e desempenho do controlador foram

avaliados e comparados com um controlador clássico por realimentação.

Canudas-de-Wit et al. (2005) analisaram o fato de que para conseguir uma boa

taxa de penetração (rate of penetration - ROP) em sistemas de perfuração de poços de

7

petróleo era necessário manter um peso sobre a broca (weight on bit - 𝑊𝑜𝑏 ) grande.

Mas, com o aumento do 𝑊𝑜𝑏 , aumentou a possibilidade das oscilações stick-slip

ocorrerem. A partir desse estudo, os autores apresentaram o mecanismo D-OSKIL, o

qual visava usar a força do 𝑊𝑜𝑏 como uma variável manipulada adicional para suprimir

o fenômeno. Uma análise baseada em função descritiva deu uma boa intuição sobre a

resposta oscilatória do sistema e o projeto do controlador. Uma propriedade importante

do D-OSKIL era que permitia recuperar as condições de operação nominal enquanto as

oscilações eram suprimidas. Simulações da aplicação do mecanismo proposto com um

controlador tipo PI (proporcional-integrativo) mostraram que as oscilações stick-slip

podiam ser eliminadas sem exigir um re-projeto do controle de velocidade da mesa

rotatória. Outro fato interessante do D-OSKIL, era que a lei de controle resultante era

global e assintoticamente estável. Uma análise formal de estabilidade do método foi

fornecida por Corchero et al. (2006).

Navarro-López & Cortés (2007b) propuseram um controle por modos

deslizantes (sliding mode control - SMC) que ultrapassava o movimento de

deslizamento existente quando a velocidade angular da broca era zero, conduzindo essa

velocidade a um valor desejado, evitando problemas de aderência na broca durante o

processo de perfuração. A coluna de perfuração é representada por um modelo de torção

descontínuo de quatro graus de liberdade. A idéia fundamental do controlador era

introduzir no sistema uma superfície de deslizamento em que a dinâmica desejada era

realizada, ou seja, conduzir a velocidade dos componentes da coluna de perfuração ao

valor de operação pré-determinado. O objetivo de controle era alcançado apesar das

variações da força do 𝑊𝑜𝑏 e na presença de oscilações stick-slip.

Navarro-López (2008) apresentou duas metodologias de controle com o intuito

de suprimir as oscilações stick-slip em colunas de perfuração. Por um lado, tinha-se um

controlador por realimentação convencional, i.e o controlador PI, e por outro lado, um

controlador do tipo descontínuo, o controlador SMC. Os parâmetros dos controladores

eram escolhidos para que as transições não-desejadas do sistema desaparecessem. O

objetivo de ambos os controladores era eliminar o fenômeno stick-slip, conduzindo a

velocidade para o valor desejado, e reduzindo a influência das variações dos principais

parâmetros. As simulações mostraram resultados semelhantes para ambos os

controladores, concluindo que para altas velocidades e baixo valor da força peso 𝑊𝑜𝑏 o

sistema convergia para o equilíbrio desejado.

Hernandez-Suarez et al. (2009) propuseram o uso da lei de controle SMC

combinada com um esquema de controle em cascata para a supressão das oscilações

stick-slip durante o processo de perfuração de petróleo. A ideia subjacente na

abordagem de controle era forçar a dinâmica de erro para uma superfície deslizante que

compensasse parâmetros incertos e termos desconhecidos. A lei de controle de modo

deslizante era reforçada com um observador para estimação de incertezas. Simulações

8

numéricas mostravam que as oscilações stick-slip podiam ser suprimidas e estabilizadas

a uma referência desejada na presença de incertezas nos parâmetros do modelo.

Johannessen & Myrvold (2010) desenvolveram um sistema de controle

preditivo não-linear (nonlinear model predictive control - NMPC) para prevenção de

oscilações stick-slip em colunas de perfuração de poços de petróleo. A natureza não-

linear da força de fricção atuando sobre a broca motivou o uso do NMPC. Nesse

trabalho, um modelo dinâmico não-linear de 86 estados de uma coluna de perfuração

(43 estados descreviam a aceleração de 43 elementos diferentes, e os restantes 43

estados descreviam as diferenças de velocidades entre os elementos conectadas uns aos

outros) foi reduzido, baseado na técnica de truncamento balanceado de gramianos

empíricos, e usado na implementação do NMPC, como também para representar o

processo. Resultados de simulações, comparando o NMPC, um MPC linear e o sistema

comercial SoftSpeed da National Oilwell Varco, que é basicamente um controlador PI,

mostraram que todos os controladores eram capazes de lidar com o problema stick-slip

quando ajustados adequadamente. No entanto, para o caso de mudança do ponto de

operação, o NMPC apresentou melhor desempenho, fazendo com que a saída

estabilizasse no novo setpoint mais rapidamente e dando uma resposta menos agressiva,

sendo possível manter um ótimo ROP.

Zhang et al. (2010) apresentaram um modelo torcional de uma coluna de

perfuração vertical convencional e usaram um controlador SMC para eliminar o

fenômeno stick-slip. No sistema de controle proposto a velocidade angular da broca foi

direcionada a um valor de referência desejado, apesar da presença do atrito causado

entre o contato da broca com a formação rochosa. O desenvolvimento do controlador

consistia de dois passos: primeiro, um controlador por linearização entrada-estado foi

derivado e, segundo, um controlador PID baseado no SMC foi projetado.

Shi et al. (2011) apresentaram um SMC derivativo e integrativo a fim de

eliminar as oscilações stick-slip de um sistema de perfuração rotacional. O controlador

era baseado em modelos de torção de colunas de perfuração e o projeto do controle

consistiu de três etapas: a primeira era composta pela linearização entrada-estado do

sistema de perfuração; a segunda definia o projeto do SMC integral, e a última projetava

o SMC integral e derivativo. Para a verificação da estabilidade e robustez do sistema

foram utilizados os princípios de Lyapunov. Resultados de simulações mostraram que o

SMC integral não apresentou boa robustez em comparação com o SMC integral e

derivativo, tendo este último uma resposta dinâmica mais rápida, aumentando a ROP e

suprimindo as oscilações stick-slip da coluna de perfuração.

1.5. Estrutura do Trabalho

A presente dissertação está dividida nos seguintes capítulos:

9

Capítulo 1 – Introdução. Esse capítulo apresenta uma breve descrição sobre o

processo de perfuração de poços de petróleo e das vibrações mecânicas que

podem ocorrem em colunas de perfuração, dando ênfase às vibrações

torcionais tipo stick-slip. Também são apresentados os objetivos do trabalho e

uma revisão bibliográfica sobre técnicas de controle para minimizar as

oscilações stick-slip disponíveis na literatura.

Capitulo 2 – Modelo Torcional de uma Coluna de Perfuração. Neste

capítulo é apresentado o modelo torcional de uma coluna de perfuração de n

graus de liberdade. A partir dessa modelagem, são mostradas simulações de

colunas de perfuração com 2, 3 e 4 graus de liberdade, fazendo-se uso do

pacote computacional Simulink/MATLAB®. Grande interesse das respostas

dessas simulações é o surgimento do fenômeno stick-slip.

Capítulo 3 – Controle PI das Vibrações “Stick-Slip”. Este capítulo mostra o

desenvolvimento e aplicação de um controlador tipo PI nos modelos torcionais

de 2 e 4 graus de liberdade da coluna de perfuração. Diversos casos são

apresentados, tais como a capacidade de eliminação do fenômeno stick-slip,

mudanças no ponto de operação e perturbações no sistema.

Capítulo 4 – Controle por Modo Deslizante. Este capítulo trata da

abordagem da teoria do controle por modo deslizante (SMC) e sua aplicação

para estabilização e controle da coluna de perfuração. São apresentados

resultados de simulações baseados nos sistemas torcionais de 2 e 4 graus de

liberdade.

Capítulo 5 – Controle por Linearização Exata por Realimentação. Nesse

capítulo é apresentada a teoria básica para o desenvolvimento de um

controlador por linearização entrada-estado (ISLC) e um controlador por

realimentação entrada-saída (IOLC). A impossibilidade teórica da

implementação de um controlador ISLC para o processo em estudo é provada.

Um controlador IOLC é implementado nos sistemas torcionais de 2 e 4 graus

de liberdade, e os resultados são analisados e discutidos.

Capítulo 6 – Conclusão e Recomendações para Trabalhos Futuros. Neste

capítulo são expostas as conclusões sobre os resultados obtidos no presente

trabalho, além de algumas propostas de trabalhos futuros.

10

Capítulo 2

Modelo Torcional de uma Coluna de

Perfuração

2.1. Modelo Matemático de n-DOF

Modelo matemático é um conjunto de equações cuja solução é uma

aproximação da resposta de um processo real, e, como tal, apresenta inúmeras

limitações. No entanto, alguns modelos são melhores que outros em descrever certos

sistemas físicos e de engenharia. Para propósitos de análise e controle, simplificações

são necessárias a fim de facilitar a manipulação das equações. Nesse contexto, os

modelos de parâmetros concentrados, e.g., modelos em equações diferenciais

ordinárias, conduzem a uma análise e simulação do sistema mais simples em

comparação com os modelos de parâmetros distribuídos, e.g., modelos em derivadas

parciais.

A ideia de usar modelos dinâmicos para representar as condições de operação

da coluna de perfuração tem sido um grande desafio. Diversos modelos de parâmetros

concentrados foram propostos na literatura para descrever a resposta torcional da

coluna, o composição de fundo da coluna (bottom hole assembly - BHA1) e o fenômeno

stick-slip. Estes modelos consideram que a broca tem o comportamento de um pêndulo

torcional, que pode ser descrita como um pêndulo de torção simples impulsionado por

um sistema de rotação (motor elétrico); que os tubos de perfuração se comportam como

uma mola de torção, que pode ser representada por uma mola linear de constante k e

amortecimento torcional c, e que o contato entre a broca e a formação pode ser descrito

por um modelo de atrito não- linear.

A maioria dos modelos torcionais de parâmetros concentrados é de dois graus

de liberdade (2-DOF), i.e., esses modelos descrevem a dinâmica do sistema de rotação

(tipicamente considerado como mesa rotatória) e o BHA (tipicamente considerado

1 BHA: Trecho da coluna de perfuração imediatamente acima da broca. Este trecho consiste

principalmente de tubos com parede de grande espessura, resistentes a esforços de compressão conhecidos como comandos de perfuração (drill collars). O BHA inclui ainda outros acessórios como estabilizadores, conectores de redução e outros.

11

como a broca) (Navarro-López, 2010). Embora os modelos de 2-DOF tenham revelado

importantes características da coluna de perfuração e das condições de fundo de poço,

eles não refletem dois importantes fatores: o comprimento da coluna aumenta conforme

a operação de perfuração progride e as oscilações ao longo dos tubos de perfuração

conectados e os comandos de perfuração ou drill collars (logo acima da broca).

Navarro-López & Cortés (2007a) propuseram um modelo descontínuo de parâmetros

concentrados de n-DOF de uma coluna de perfuração vertical convencional que leva em

conta os fatores anteriormente mencionados. A descontinuidade é introduzida pela

interação broca-formação, a qual é modelada por uma relação de fricção a seco

combinada com uma lei de decaimento exponencial. O modelo de n-DOF de Navarro-

López & Cortés (2007a) é mostrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Modelo torcional de uma coluna de perfuração vertical convencional com n

graus de liberdade. A nomenclatura das variáveis e parâmetros do modelo é listada na

Tabela 2.1.

Na Figura 2.1, quatro partes da coluna de perfuração são claramente

distinguidos: o sistema de rotação (basicamente a mesa rotatória, incluindo o motor

elétrico e a caixa de transmissão do eixo real), os tubos de perfuração (cuja quantidade p

varia de acordo com a profundidade do poço sendo perfurado), o BHA (incluindo o drill

collars) e a broca. Na modelagem apresentada por Navarro-López & Cortés (2007a) são

assumidas as seguintes considerações:

i. o poço e a coluna de perfuração são ambos verticais e em linha reta;

ii. não há movimento lateral da broca;

12

iii. o atrito nas conexões dos tubos de perfuração e entre os tubos e o poço

são omitidas;

iv. a lama de perfuração é simplificada por um elemento de atrito do tipo

viscoso na broca;

v. o movimento orbital do fluido de perfuração é laminar;

vi. a dinâmica do motor não é levada em conta, o torque de impulso é

suposto constante e positivo;

vii. os tubos de perfuração tem a mesma inércia.

Assim, com as considerações acima citadas e definindo 𝜑𝑖 e 𝜑 𝑖 𝑖 ∈

𝑟, 𝑗, 𝑙, 𝑏 ,∀ 𝑗 = 1,… ,𝑝, como sendo o deslocamento angular e a velocidade angular

dos elementos da coluna de perfuração, em que os sub-índices 𝑟, 𝑗, 𝑙 e 𝑏 indicam as

diferentes partes da coluna, isto é, sistema de rotação, tubos de perfuração, BHA e

broca, respectivamente, o modelo mecânico rotacional da Figura 2.1 pode ser descrito

pelo seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias (Navarro-López & Cortés,

2007a; Navarro-López, 2010):

𝜑 𝑟 =1

𝐽𝑟 𝑇𝑚 − 𝑇𝑟 − 𝑐𝑡𝜑 𝑟 + 𝑐𝑡𝜑 1 − 𝑘𝑡𝜑𝑟 + 𝑘𝑡𝜑1 (2.1a)

𝜑 1 =1

𝐽 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 + 𝜑 2 − 2𝜑 1 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑟 + 𝜑2 − 2𝜑1 (2.1b)

⋮

𝜑 𝑗 =1

𝐽 𝑐𝑡 𝜑 𝑗−1 + 𝜑 𝑗+1 − 2𝜑 𝑗 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑗−1 + 𝜑𝑗+1 − 2𝜑𝑗 (2.1c)

⋮

𝜑 𝑝 =1

𝐽 𝑐𝑡 𝜑 𝑝−1 − 𝜑 𝑝 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑝−1 − 𝜑𝑝 − 𝑐𝑡𝑙 𝜑 𝑝 − 𝜑 𝑙 − 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑝 − 𝜑𝑙 (2.1d)

𝜑 𝑙 =1

𝐽𝑙 𝑐𝑡𝑙 𝜑 𝑝 − 𝜑 𝑙 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑝 − 𝜑𝑙 − 𝑐𝑡𝑏 𝜑 𝑙 − 𝜑 𝑏 − 𝑘𝑡𝑏 𝜑𝑙 − 𝜑𝑏 (2.1e)

𝜑 𝑏 =1

𝐽𝑏 𝑐𝑡𝑏 𝜑 𝑙 − 𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡𝑏 𝜑𝑙 − 𝜑𝑏 − 𝑇𝑏 (2.1f)

Na Equação (2.1a), o torque de impulso 𝑇𝑚 é proveniente de um motor elétrico

localizado na superfície. Dado que é assumido que torques arbitrários podem ser

aplicados sem levar em consideração a dinâmica do atuador que gera o torque, então

𝑇𝑚 = 𝑢, com 𝑢 > 0, sendo 𝑢 uma das entradas de controle do sistema. A outra entrada

de controle é o 𝑊𝑜𝑏 . O torque de amortecimento viscoso 𝑇𝑟 corresponde à lubrificação

dos elementos mecânicos do sistema de rotação, descrito como 𝑇𝑟 = 𝑐𝑟𝜑 𝑟 .

13

Tabela 2.1– Variáveis e parâmetros do modelo da coluna de perfuração

Símbolo Nomenclatura

𝑻𝒎 Torque do motor

𝑻𝒃 Torque sobre a broca

𝑻𝒓 Torque na mesa rotativa

𝑻𝒇𝒃 Modelo de atrito entre a broca e a rocha

𝑻𝒔𝒃 Torque necessário para superar o coeficiente de atrito estático

𝑱𝒓 Inércia do sistema de rotação

𝑱 Inércia dos tubos de perfuração

𝑱𝒍 Inércia do BHA

𝑱𝒃 Inércia da broca

𝝋𝒓,𝝋 𝒓 Deslocamento e velocidade angular do sistema de rotação

𝝋𝒃,𝝋 𝒃 Deslocamento e velocidade angular da broca

𝒄𝒓 Coeficiente de amortecimento viscoso

𝒄𝒕 Coeficiente de amortecimento torcional entre a mesa e os tubos

𝒄𝒕𝒍 Coeficiente de amortecimento torcional entre os tubos e o BHA

𝒄𝒃 Coeficiente de amortecimento torcional entre o BHA e a broca

𝒄𝒕𝒃 Coeficiente de amortecimento torcional da broca

𝒌𝒕 Coeficiente de rigidez torcional entre a mesa e os tubos

𝒌𝒕𝒍 Coeficiente de rigidez torcional entre os tubos e o BHA

𝒌𝒃 Coeficiente de rigidez torcional entre o BHA e a broca

14

𝒌𝒕𝒃 Coeficiente de rigidez torcional da broca

𝝁𝒃 Coeficiente de atrito na broca

𝝁𝒄𝒃 Coeficiente de atrito Coulomb associado com 𝐽𝑏

𝝁𝒔𝒃 Coeficiente de atrito estático associado com 𝐽𝑏

𝑹𝒃 Raio da broca

𝑾𝒐𝒃 Peso sobre a broca

𝒗𝒇 Velocidade induzida a fim de ter unidades apropriadas

𝜸𝒃 Constante que define a taxa de redução de velocidade (0 < 𝛾𝑏 < 1)

Definindo:

𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 … 𝜑𝑗 𝜑 𝑗 …𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]𝑇

= 𝑥1 𝑥2 … 𝑥2 𝑗+1 −1 𝑥2(𝑗+1) …𝑥2𝑛−3 𝑥2𝑛−2 𝑥2𝑛−1 𝑥2𝑛 𝑇 (2.2)

como o vetor de estados do sistema, com 𝑗 = 1,… ,𝑝, e 𝑛 sendo um número inteiro que

representa o grau de liberdade do modelo, a Equação (2.1) pode ser escrita como um

modelo em espaço de estados da forma:

𝐱 𝑡 = 𝐴𝐱 𝑡 + 𝐵𝑢 + 𝑇𝑓𝐱 𝑡 (2.3)

em que A, B e 𝑇𝑓 são matrizes, cujas dimensões dependem do grau de liberdade. Para

um sistema com 𝑛-DOF, a matriz A, de ordem 2𝑛 × 2𝑛, e as matrizes B e 𝑇𝑓 , de ordem

1 × 2𝑛, têm a seguinte estrutura:

15

𝐴 =

0 1 0 0 0 0 ⋯ ⋯ 0 0

−𝑘𝑡

𝐽𝑟−

(𝑐𝑡 + 𝑐𝑟)

𝐽𝑟

𝑘𝑡

𝐽𝑟

𝑐𝑡𝐽𝑟

0 0 ⋯ ⋯ 0 0

0 0 0 1 0 0 ⋯ ⋯ 0 0𝑘𝑡

𝐽

𝑐𝑡𝐽

−2𝑘𝑡

𝐽−

2𝑐𝑡𝐽

𝑘𝑡

𝐽

𝑐𝑡𝐽

0 … 0 0

0 0 0 0 0 1 0 … 0 0

0 0𝑘𝑡

𝐽

𝑐𝑡𝐽

−2𝑘𝑡

𝐽−

2𝑐𝑡𝐽

𝑘𝑡

𝐽

𝑐𝑡𝐽

… 0

0 0 0 0 0 0 0 1 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 …𝑘𝑡

𝐽

𝑐𝑡𝐽

−(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙)

𝐽−

(𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙)

𝐽

𝑘𝑡𝑙

𝐽

𝑐𝑡𝑙𝐽

0 0

0 0 0 … … … … 1 0 0

0 0 0 …𝑘𝑡𝑙

𝐽𝑙

𝑐𝑡𝑙𝐽𝑙

−(𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 )

𝐽𝑙−

(𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 )

𝐽𝑙

𝑘𝑡𝑏

𝐽𝑙

𝑐𝑡𝑏𝐽𝑙

0 0 0 … … … 0 0 0 1

0 0 0 … … …𝑘𝑡𝑏

𝐽𝑏

𝑐𝑡𝑏𝐽𝑏

−𝑘𝑡𝑏

𝐽𝑏−

(𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏)

𝐽𝑏

(2.4)

𝐵 =

01 𝐽𝑟

0⋮0

(2.5)

𝑇𝑓 =

00⋮0

−𝑇𝑓𝑏 (𝐱) 𝐽𝑏

(2.6)

O torque na broca 𝑇𝑏 , que associa o torque de atrito seco mais o torque de

amortecimento viscoso da broca, é descrito por (Navarro-López & Cortés, 2007a):

𝑇𝑏 𝐱 = 𝑇𝑎𝑏 + 𝑇𝑓𝑏 (𝐱) (2.7)

sendo que 𝑇𝑎𝑏 = 𝑐𝑏𝑥2𝑛 é o torque de amortecimento viscoso associado com o contato

da broca e a formação. Este torque aproxima a influência da lama de perfuração na

resposta da broca. 𝑇𝑓𝑏 (𝐱) representa o modelo de atrito entre a broca e a formação. O

contato broca-formação é proposto como uma variação do atrito Stribeck conjuntamente

com o modelo de atrito seco (Armstrong-Hélouvry et al., 1994). O modelo de atrito

seco, quando 𝑥2𝑛 = 𝜑 𝑏 = 0, é aproximado por uma combinação do modelo switch

proposto por Leine et al. (1998) e uma variação do modelo de Karnopp (1985), que

introduz uma banda de velocidade zero. Assim, tem-se que (Navarro-López & Cortés,

2007b):

𝑇𝑓𝑏 𝐱 =

𝑇𝑒𝑏 𝐱 , 𝑠e 𝑥2𝑛 < 𝐷𝑣 , 𝑇𝑒𝑏 ≤ 𝑇𝑠𝑏 (fase stick)

𝑇𝑠𝑏𝑠𝑔𝑛 𝑇𝑒𝑏 𝐱 , se 𝑥2𝑛 < 𝐷𝑣 , 𝑇𝑒𝑏 > 𝑇𝑠𝑏 (transição da fase stick para slip)

𝑊𝑜𝑏𝑅𝑏 µ𝑐𝑏+ µ

𝑠𝑏− µ

𝑐𝑏 𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥2𝑛 𝑠𝑔𝑛 𝑥2𝑛 , se 𝑥2𝑛 ≥ 𝐷𝑣 (fase slip)

(2.8)

16

em que 𝐷𝑣 > 0 é a largura da banda no modelo de atrito broca-formação 𝑇𝑓𝑏 (𝐱). 𝑇𝑒𝑏 é o

torque de reação, isto é, o torque que deve o torque de atrito estático 𝑇𝑠𝑏 superar para

que a broca se mova. 𝑇𝑠𝑏 é definido como:

𝑇𝑠𝑏 = 𝜇𝑠𝑏𝑊𝑜𝑏𝑅𝑏 (2.9)

sendo 𝑅𝑏 > 0 o raio da broca. O torque de reação 𝑇𝑒𝑏 é dado por:

𝑇𝑒𝑏 𝐱 = 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 −𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡 𝜑𝑟 −𝜑𝑏 − 𝑇𝑎𝑏, 𝑠𝑒 𝑛 = 2

𝑐𝑡𝑏 𝜑 𝑙 −𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡𝑏 𝜑𝑙 −𝜑𝑏 − 𝑇𝑎𝑏 , 𝑠𝑒 𝑛 > 2

(2.10)

A resposta de decaimento exponencial do torque sobre a broca 𝑇𝑏 coincide com

valores experimentais de torque na broca (Navarro-López & Cortés, 2007b). Note que o

modelo da Equação (2.3) é um sistema não-linear descontínuo 2n-dimensional. A

descontinuidade é introduzida pelo atrito broca-formação, mais especificamente pela

função sgn na Equação (2.8), considerada como:

𝑠𝑔𝑛 𝑎 =

𝑎

𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0

0 −1,1 , 𝑠𝑒 𝑎 = 0

(2.11)

Do ponto de vista matemático, a função sgn é a descontinuidade do sistema e a

causa de fenômenos dinâmicos complexos como as oscilações stick-slip.

A seguir são apresentadas simulações de casos particulares do modelo de n-

DOF que capturam o principal fenômeno stick-slip e as oscilações nos tubos de

perfuração.

2.2. Simulação de um Sistema de 2-DOF

O modelo torcional de 2-DOF de uma coluna de perfuração vertical

convencional é composto de duas inércias amortecidas acopladas mecanicamente

através de um eixo elástico com coeficientes de rigidez e amortecimento 𝑘𝑡 e 𝑐𝑡 ,

respectivamente. A Figura 2.2 representa a estrutura do modelo do sistema.

Definindo o vetor de estados:

𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]

𝑇 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑇

(2.12)

usando a Equação (2.1), e considerando 𝑘𝑡𝑏 = 𝑘𝑡 e 𝑐𝑡𝑏 = 𝑐𝑡 , o modelo para um sistema

de 2-DOF pode ser escrito como:

17

𝑥 1 = 𝑥2

𝑥 2 = 1

𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4 + 𝑇𝑚

𝑥 3 = 𝑥4

𝑥 4 = 1

𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4 − 𝑇𝑓𝑏 (𝐱)

(2.13)

em que 𝑇𝑓𝑏 𝐱 é definido pela Equação (2.8).

Figura 2.2 – Estrutura do modelo de 2-DOF de uma coluna de perfuração

Re-arranjando a Equação (2.13), na forma da Equação (2.3), obtêm-se as

seguintes matrizes do modelo em espaço de estado:

𝐴 =

0 1 0 0

−𝑘𝑡𝐽𝑟

−(𝑐𝑡 + 𝑐𝑟)

𝐽𝑟

𝑘𝑡𝐽𝑟

𝑐𝑡𝐽𝑟

0 0 0 1𝑘𝑡𝐽𝑏

𝑐𝑡𝐽𝑏

−𝑘𝑡𝐽𝑏

−(𝑐𝑡 + 𝑐𝑏)

𝐽𝑟

(2.14)

𝐵 =

01 𝐽𝑟

00

(2.15)

𝑇𝑓 =

000

−𝑇𝑓𝑏 (𝑥) 𝐽𝑏

(2.16)

O modelo (2.13) é implementado usando a plataforma computacional

Simulink/MATLAB®. Os valores dos parâmetros utilizados na simulação

18

correspondem ao projeto de uma coluna de perfuração real conforme Navarro-López

(2008), os quais são mostrados na Tabela 2.2.

A Figura 2.3 representa o comportamento da velocidade angular da broca

(𝑥4 = 𝜑 𝑏 ) e da mesa rotatória (𝑥2 = 𝜑 𝑟 ). É possível notar que em certos momentos a

velocidade da broca é nula, ou seja, a broca pára de girar em relação à formação,

causando o fenômeno denominado stick. Durante essa fase, o torque aplicado sobre a

coluna passa a deformar a coluna por torção. Quando o torque sobre a broca supera o

atrito estático entre a broca e a formação, a broca volta a se movimentar causando o

fenômeno slip, no qual a energia armazenada durante a fase stick causa picos na

velocidade angular da broca. A fase slip acontece até que o atrito broca-formação passa

a superar o torque sobre a broca, repetindo-se todo o ciclo.

Tabela 2.2- Valores dos parâmetros do modelo de 2-DOF

Variável Valor Variável Valor

𝑱𝒓 2122 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕 139,6126 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑱𝒃 471,9698 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒓 425 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑹𝒃 0,155575 𝑚 𝒄𝒃 50 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝒌𝒕 698,063 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒄𝒃

0,5

𝜸𝒃 0,9 µ𝒔𝒃

0,8

𝒗𝒇 1 𝑫𝒗 10−6

𝑾𝒐𝒃 53018 𝑁 𝑻𝒎 6 𝑘𝑁 𝑚

Os deslocamentos angulares da mesa rotatória (𝑥1 = 𝜑𝑟 ) e da broca (𝑥3 = 𝜑𝑏 )

são mostrados na Figura 2.4 (lado esquerdo). Como pode ser visualizado na fase stick,

enquanto o deslocamento angular da mesa rotatória praticamente continua constante,

não há progressão do deslocamento da broca dado que a sua velocidade é nula nessa

fase e, portanto, não há perfuração da formação. A diferença de deslocamento angular

entre a mesa rotatória e a broca é mostrada na Figura 2.4 (lado direito). Note-se que essa

diferença de deslocamento é sempre positiva, o que significa que o deslocamento da

mesa rotatória está sempre à frente do deslocamento da broca. As paradas da broca na

fase stick contribuem a uma redução do seu deslocamento em relação à mesa rotatória.

19

Na Figura 2.5 ilustra-se a trajetória do sistema no espaço 𝑥1 − 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥4 ,

denotando o ciclo do fenômeno stick-slip, em que P1 e P2 são os pontos que indicam

quando o sistema entra e sai da fase stick, respectivamente, i.e., o intervalo em que a

velocidade angular da broca é nula. O perfil da trajetória tem a forma de ciclos limites,

mostrando a natureza oscilatória e periódica do movimento do sistema.

Figura 2.3 – Velocidade angular da broca (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 2-

DOF

Figura 2.4 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1) e da broca (x3).

Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca no sistema

de 2-DOF

20

Figura 2.5 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 2-DOF


Para o caso do sistema de perfuração com 3 graus de liberdade, é considerado

que o sistema é composto de três inércias (𝐽𝑟 , 𝐽𝑝 e 𝐽𝑏 ) amortecidas e acopladas

mecanicamente através de dois eixos elásticos com coeficientes de rigidez 𝑘𝑡 e 𝑘𝑡𝑏 e de

amortecimento 𝑐𝑡 e 𝑐𝑡𝑏 , respectivamente. A distribuição destes elementos no sistema é

mostrada na estrutura mecânica da Figura 2.6.


𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]𝑇 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6

𝑇 (2.17)

e usando a Equação (2.1), o modelo para um sistema de 3-DOF pode ser representado

por:

21


Usando a Equação (2.1), a modelagem para o sistema 3-DOF pode ser

representada por:

𝑥 1 = 𝑥2

𝑥 2 = 1


𝑥 3 = 𝑥4

𝑥 4 = 1

𝐽𝑝 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥4 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6

𝑥 5 = 𝑥6

𝑥 6 = 1

𝐽𝑏 𝑘𝑡𝑏 𝑥3 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥4 − 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 − 𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏 𝑥6 − 𝑇𝑓𝑏 𝐱

(2.18)

sendo que 𝑇𝑓𝑏 𝐱 é descrito pela Equação (2.8). Colocando a Equação (2.18) na forma

matricial da Equação (2.3), tem-se que as matrizes do modelo em espaço de estado são:

𝐴 =

0 1 0 0 0 0

−𝑘𝑡𝐽𝑟


𝐽𝑟

𝑘𝑡𝐽𝑟

𝑐𝑡𝐽𝑟

0 0

0 0 0 1 0 0𝑘𝑡𝐽𝑝

𝑐𝑡𝐽𝑝

−(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑏 )

𝐽𝑝−

(𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑏 )

𝐽𝑝

𝑘𝑡𝑏𝐽𝑝

𝑐𝑡𝑏𝐽𝑝

0 0 0 0 0 1

0 0𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏


−𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏

−(𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏)

𝐽𝑏

(2.19)

22

𝐵 =

01 𝐽𝑟

0000

(2.20)

𝑇𝑓 =

00000


(2.21)

O modelo (2.18) é implementado usando o pacote Simulink/MATLAB®. Os

valores dos parâmetros de simulação correspondem ao projeto de uma coluna de

perfuração real, reportados por Navarro-López (2009), os quais são apresentados na

Tabela 2.3.

Tabela 2.3– Valores dos parâmetros do modelo de 3-DOF


𝑱𝒓 2122 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕 139,6126 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑱𝒃 471,9698 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒓 425 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑱𝒑 750 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕𝒃 181,49641 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑹𝒃 0,155575 𝑚 𝒄𝒃 50 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝒌𝒕𝒃 907,482089 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒄𝒃

0,5

𝒌𝒕 698,063 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒔𝒃

0,8

𝜸𝒃 0,9 𝑫𝒗 10−6

𝒗𝒇 1 𝑻𝒎 8138 𝑁 𝑚

𝑾𝒐𝒃 74386 𝑁

As velocidades angulares dos componentes do sistema são mostradas na Figura

2.7. Nesta figura, é notória a presença do fenômeno stick-slip na coluna pela forma

23

oscilatória da velocidade angular da broca (𝑥6 = 𝜑 𝑏 ), sendo esta zero em determinados

instantes (fase stick) e apresentando picos de velocidade elevada em outros (fase slip).

Também é possível verificar na Figura 2.7, que a velocidade angular dos tubos de

perfuração (𝑥4 = 𝜑 𝑙 ) é diferente da velocidade angular da mesa rotatória (𝑥2 = 𝜑 𝑟 ),

revelando perdas de energia entre a mesa e os tubos. Lembrando que os tubos de

perfuração são responsáveis repassar a energia gerada pela mesa para a broca, energia

esta armazenada na fase stick e gasta na fase slip.

Figura 2.7 – Velocidade angular da broca (x6), do tubo de perfuração (x4) e da mesa

rotatória (x2) do sistema de 3-DOF

Na Figura 2.8, no lado esquerdo é mostrado o deslocamento angular dos

elementos do sistema durante a perfuração. Observe que na fase stick, enquanto o

deslocamento da angular da mesa (𝑥1 = 𝜑𝑟 ) praticamente continua constante, não há

deslocamento da broca (𝑥5 = 𝜑𝑏 ), porém existe uma redução do deslocamento dos

tubos de perfuração (𝑥3 = 𝜑𝑙 ). Já, no lado direito da Figura 2.8, visualiza-se a

diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca que, embora

oscilatória, é sempre positiva. Esta diferença começa aumentar na fase stick e diminui

durante a fase slip.

A Figura 2.9 apresenta a trajetória do sistema no espaço 𝑥1 − 𝑥5, 𝑥2, 𝑥6 ,

ressaltando o ciclo do fenômeno stick-slip. Os pontos P1 e P2 indicam os locais onde o

sistema entra e saí da fase stick, respectivamente.

24


perfuração (x3) e da broca (x5). Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa

rotatória e a broca no sistema de 3-DOF


25


O modelo torcional de 4-DOF de uma coluna de perfuração vertical

convencional considera quatro inércias (𝐽𝑟 , 𝐽𝑙 , 𝐽𝑝 e 𝐽𝑏 ), que representam o sistema de

rotação, tubos de perfuração, BHA e broca, amortecidas e acopladas mecanicamente

através de três eixos elásticos com coeficientes de rigidez 𝑘𝑡 , 𝑘𝑡𝑙 e 𝑘𝑡𝑏 e de

amortecimento 𝑐𝑡 , 𝑐𝑡𝑙 e 𝑐𝑡𝑏 , respectivamente. A estrutura mecânica da Figura 2.10

mostra a localização destes elementos no modelo.



𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑝 𝜑 𝑝 𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]𝑇 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8

𝑇 (2.22)

e usando a Equação (2.1), o modelo o sistema de 4-DOF é descrito pelo seguinte

conjunto de equações no espaço de estados:

26

𝑥 1 = 𝑥2

𝑥 2 = 1


𝑥 3 = 𝑥4

𝑥 4 = 1

𝐽𝑝 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥5 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥6

𝑥 5 = 𝑥6

𝑥 6 = 1

𝐽𝑙 𝑘𝑡𝑙 𝑥3 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4 − 𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 − 𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥7 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥8

𝑥 7 = 𝑥8

𝑥 8 = 1

𝐽𝑏 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6 − 𝑘𝑡𝑏 𝑥7 − 𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏 𝑥8 − 𝑇𝑓𝑏

(2.23)

sendo que 𝑇𝑓𝑏 𝐱 é definido pela Equação (2.8). A Equação (2.23) pode ser expressa na

forma matricial da Equação (2.3). Assim, as matrizes do modelo em espaço de estados

são:

𝐴 =

0 1 0 0 0 0 0 0

−𝑘𝑡𝐽𝑟


𝐽𝑟

𝑘𝑡𝐽𝑟

𝑐𝑡𝐽𝑟

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0𝑘𝑡𝐽𝑝

𝑐𝑡𝐽𝑝

−(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙 )

𝐽𝑝−

(𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙 )

𝐽𝑝

𝑘𝑡𝑙𝐽𝑝

𝑐𝑡𝑙𝐽𝑝

0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0𝑘𝑡𝑙𝐽𝑙

𝑐𝑡𝑙𝐽𝑙

−(𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 )

𝐽𝑙−

(𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 )

𝐽𝑙

𝑘𝑡𝑏𝐽𝑙

𝑐𝑡𝑏𝐽𝑙

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏


−𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏

−(𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏)

𝐽𝑏

(2.24)

𝐵 =

01 𝐽𝑟

000000

(2.25)

𝑇𝑓 =

0000000


(2.26)

O modelo (2.23) é implementado usando o pacote computacional

Simulink/MATLAB®. Os valores dos parâmetros usados na simulação correspondem a

27

uma coluna de perfuração real2, composta de 130 tubos de perfuração (cada tubo tem

12,7 cm de diâmetro externo, 11,2 cm de diâmetro interno e 9 m de comprimento) e

uma broca de rolamentos cônicos (de 32,11 cm de diâmetro externo, 16,5 cm de

diâmetro interno e 1,5 m de comprimento). Exemplos de brocas de rolamentos cônicos

são mostrados na Figura 2.11.

Figura 2.11 – Brocas de rolamentos cônicos

Os parâmetros da coluna são obtidos de Navarro-López e Cortés (2007b) e são

listados na Tabela 2.4.

A Figura 2.12 delineia o comportamento da velocidade angular dos elementos

da coluna, podendo ser facilmente observado o fenômeno stick-slip, pela resposta

oscilatória e de velocidade zero da broca (𝑥8 = 𝜑 𝑏 ) em determinados instantes. Devido

à estrutura do modelo, é possível diferenciar as velocidades da broca e do BHA

(𝑥6 = 𝜑 𝑙 ). A velocidade do BHA tem um perfil similar à velocidade da broca na fase

slip. As frequências de oscilação da velocidade dos tubos de perfuração (𝑥4 = 𝜑 𝑝 ) e da

mesa rotatória (𝑥2 = 𝜑 𝑟 ) apresentam defasagem em relação à velocidade dos outros

componentes da coluna, sendo a amplitude da velocidade da mesa maior na fase stick,

quando é necessário um torque suficiente, para superar o atrito broca-formação.

A Figura 2.13 (lado esquerdo) apresenta o deslocamento angular dos elementos

da coluna. Na fase stick, é possível visualizar que enquanto a broca pára de se

movimentar (𝑥7 = 𝜑𝑏 ), há uma certa redução no deslocamento angular do BHA

(𝑥5 = 𝜑𝑙 ) e dos tubos de perfuração (𝑥3 = 𝜑𝑝 ). Já o deslocamento angular da mesa

rotatória (𝑥1 = 𝜑𝑟 ) aumenta, em razão do aumento da velocidade angular da mesa

nessa fase. Na fase slip, o deslocamento angular da broca é superior ao deslocamento

angular dos outros componentes da coluna. Na Figura 2.13 (lado direito) mostra-se a

2 Parâmetros de um sistema em escala reduzida podem ser obtidos em Navarro-López & Cortés (2007a).

28

diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca, a qual aumenta na

fase stick e diminui na fase slip.

A Figura 2.14 mostra a trajetória do sistema de 4-DOF no espaço 𝑥1 −

𝑥7, 𝑥2, 𝑥8 , denotado o ciclo do fenômeno stick-slip, sendo P1 e P2 são os pontos que

indicam onde o sistema entra e saí da fase stick, respectivamente.

Tabela 2.4 – Valores dos parâmetros do modelo de 4-DOF


𝑱𝒓 930 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕 139,6126 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑱𝒃 471,9698 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒓 425 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑱𝒑 2782,25 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕𝒃 181,49 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑱𝒍 750 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕𝒍 190 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑹𝒃 0,155575 𝑚 𝒄𝒃 50 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝒌𝒕𝒃 907,48 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒄𝒃

0,5

𝒌𝒕 698,063 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒔𝒃

0,8

𝒌𝒕𝒍 1080 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝑫𝒗 10−6

𝒗𝒇 1 𝜸𝒃 0,9

𝑾𝒐𝒃 97347 𝑁 𝑻𝒎 10 𝑘𝑁 𝑚

29

Figura 2.12 – Velocidade angular da broca (x8), do tubo de perfuração (x6), do BHA (x4)

e da mesa rotatória (x2) do sistema de 4-DOF


perfuração (x3), do BHA (x5) e da broca (x7). Direita: diferença de deslocamento angular

entre a mesa rotatória e a broca no sistema de 4-DOF

30


As simulações dos sistemas de 2-DOF, 3-DOF e 4-DOF mostraram que o

modelo torcional apresentado neste capítulo reflete as oscilações características do

fenômeno stick-slip em colunas de perfuração, semelhante à resposta real mostrada na

Figura 1.3. Portanto, o modelo apresentado é adequado para o desenvolvimento do

presente trabalho.

31

Capítulo 3

Controle PI das Vibrações “Stick-

Slip”

3.1. Introdução

O surgimento de vibrações é inevitável durante o processo de perfuração. Os

sintomas causados por essas excessivas vibrações podem ser verificados na superfície

através das oscilações dos valores de rotação da coluna de perfuração e do torque da

mesma. As vibrações são consideradas causas de dificuldades de avanço, pois quando

elas ocorrem causam baixa ou nula taxa de perfuração, além de provocar danos aos

equipamentos, que por sua vez, requerem manobras para trocá-los, resultando em tempo

de perfuração não-produtivo (Chipindu, 2010).

Medições no fundo do poço mostram que a aplicação de uma rotação constante

na superfície não necessariamente se traduz em uma rotação constante na broca. De

fato, a velocidade de rotação no fundo do poço tipicamente apresenta grandes oscilações

de amplitude durante grande parte do tempo de perfuração. Essa velocidade de rotação

não uniforme deve-se à excitação dos modos de vibrações torcionais (Divényi, 2009).

Devido a esses excessivos problemas causados pelas oscilações stick-slip durante o

processo de perfuração, foram realizados estudos de aplicações de leis de controle com

o objetivo de eliminar ou diminuir a frequência dessas oscilações. Entre os diferentes

tipos de controladores que foram aplicados nesses sistemas, o uso do controlador PID é

um dos mais referenciados na literatura.

Baseado no trabalho de Canudas-de-Wit et al. (2008), o presente capítulo

mostra o desenvolvimento e aplicação do controlador PI e PI-P (proporcional,

integrativo-proporcional) no sistema torcional apresentado no capítulo anterior. O

objetivo principal do controle é conduzir a velocidade do sistema de rotação à

velocidade desejada e, inferencialmente ou indiretamente, conduzir a velocidade da

broca à velocidade do sistema de rotação, visando, assim, suprimir as oscilações stick-

slip em colunas de perfuração.

32

3.2. Desenvolvimento dos Controladores PI e PI-

P

Os controladores PI e PI-P são desenvolvidos tomando como base o sistema

torcional de 2-DOF. Ambos os controladores possuem como variável manipulada o

torque do motor 𝑇𝑚 e como variável controlada a velocidade do sistema de rotação

(𝑥2 = 𝜑 𝑟 ). Já o controlador PI-P adiciona uma correção proporcional ao erro entre a

velocidade da broca (𝑥4 = 𝜑 𝑏) e a velocidade do sistema de rotação. Além dessas

variáveis, há para ambos os controladores a perturbação do sistema, representada pela

variação da força peso sobre a broca 𝑊𝑜𝑏 . Inicialmente, será apresentado o

desenvolvimento do controlador PI, considerando a seguinte lei de controle:

𝑢 = 𝑘1𝑥5 + 𝑘2𝑥 5 (3.1)

em que 𝑘1 e 𝑘2 representam os parâmetros de sintonia do controlador e 𝑥5 representa a

integral do erro entre a variável controlada e o setpoint, ou seja:

𝑥5 = 𝜔𝑑 − 𝑥2 𝑑𝑡 (3.2)

𝑥 5 = 𝜔𝑑 − 𝑥2 (3.3)

sendo que 𝜔𝑑 refere-se ao setpoint da velocidade angular do sistema de rotação, o qual

para um caso típico de operação de perfuração tem valor entre 12 e 14 rad/s (Navarro-

López, 2009). Neste trabalho o valor do setpoint escolhido foi de 12 rad/s, estando

dentro da faixa de operação para perfuração de poços de petróleo.

Considerando a Equação (3.2), o novo vetor em espaço de estado para o sistema

em malha fechada é:

𝑥𝑓 = 𝑥1𝑓 𝑥2𝑓 𝑥3𝑓 𝑥4𝑓 𝑥5𝑓 = 𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 𝑥5 (3.4)

Assim, substituindo a lei de controle da Equação (3.1) nas equações em espaço

de estado do sistema de 2-DOF, Equação (2.13), e adicionando o novo estado 𝑥5, o

sistema em malha fechada é descrito por:

𝑥 1𝑓 = 𝑥2𝑓

𝑥 2𝑓 = 1

𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2𝑓 + 𝑘𝑡 𝑥3𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥4𝑓 + 𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓


𝑥 4𝑓 = 1

𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥2𝑓 − 𝑘𝑡 𝑥3𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4𝑓 − 𝑇𝑓𝑏

𝑥 5𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝑥2𝑓

(3.5)

33

A determinação dos parâmetros de sintonia do controlador (𝑘1 e 𝑘2) é baseada

no método de ajuste proposto por Canudas-de-Wit et al. (2008). Para isto é definida

uma nova variável 𝑧 e uma constante 휀 representadas por:

𝑧 = 𝑘𝑡 (𝜑𝑟 − 𝜑𝑏) (3.6)

휀2 =1

𝑘𝑡 (3.7)

A partir das Equações (3.1), (3.4) e (3.5), tem-se que:

𝐽𝑟𝜑 𝑟 + 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 − 𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡 𝜑𝑟 − 𝜑𝑏 + 𝑐𝑟𝜑 𝑟 = 𝑢 (3.8)

𝐽𝑏𝜑 𝑏 − 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 − 𝜑 𝑏 − 𝑘𝑡 𝜑𝑟 − 𝜑𝑏 + 𝑐𝑏𝜑 𝑏 = −𝑇𝑓𝑏 (3.9)

Substituindo as Equações (3.6) e (3.7) nas Equações (3.8) e (3.9), obtêm-se:

𝐽𝑟𝜑 𝑟 + 𝑐𝑡휀2𝑧 + 𝑧 + 𝑐𝑟𝜑 𝑟 = 𝑢 (3.10)

𝐽𝑏𝜑 𝑏 − 𝑐𝑡휀2𝑧 − 𝑧 + 𝑐𝑏𝜑 𝑏 = −𝑇𝑓𝑏

(3.11)

A Equação (3.12) é gerada a partir da subtração das Equações (3.10) e (3.11),

i.e.:

휀2𝑧 = −𝑧

𝐽𝑒𝑞− 휀2

𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞

+𝑐𝑏𝐽𝑏 𝑧 +

𝑐𝑏𝐽𝑏

−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟 +

𝑢

𝐽𝑟+𝑇𝑓𝑏

𝐽𝑏 (3.12)

𝐽𝑒𝑞 = 𝐽𝑏 𝐽𝑟𝐽𝑏 + 𝐽𝑟

(3.13)

Salvo que o coeficiente de rigidez torcional entre a mesa e os tubos (𝑘𝑡) seja

muito maior que 1 (𝑘𝑡 ≫ 1), então, de (3.7), pode-se assumir que 휀 = 0. Portanto:

𝐽𝑟𝜑 𝑟 + 𝑧 + 𝑐𝑟𝜑 𝑟 = 𝑢 (3.14)

0 = −𝑧

𝐽𝑒𝑞+

𝑐𝑏𝐽𝑏


𝑢


𝐽𝑏 (3.15)

Isolando a variável 𝑧 da Equação (3.15), obtém-se:

𝑧 = 𝐽𝑒𝑞 𝑐𝑏𝐽𝑏


𝑢


𝐽𝑏 (3.16)

Substituindo a Equação (3.16) e a lei de controle da Equação (3.1) na Equação

(3.14), resulta-se em:

𝜑 𝑟 + 𝑐𝑏 + 𝑐𝑟𝐽𝑏 + 𝐽𝑟

𝜑 𝑟 = 1

𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓 −

1

𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝑇𝑓𝑏 (3.17)

34

Supondo que 𝑐𝑏 + 𝑐𝑟 ≪ 𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 , e definindo as novas variáveis 𝜑 𝑟 , 𝜑 𝑟 e 𝜑 𝑟

como:

𝜑 𝑟 = 𝑥5𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟

𝑠 (3.18)

𝜑 𝑟 = 𝑥 5𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟 (3.19)

𝜑 𝑟 = −𝜑 𝑟 (3.20)

Temos que substituindo na Equação (3.17), resulta em:

𝜑 𝑟 + 𝑘1

𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝜑 𝑟 +

𝑘2

𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝜑 𝑟 =

𝑇𝑓𝑏

𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 (3.21)

É possível notar que a Equação (3.21) pode ser representada pela forma padrão

de um sistema de 2ª ordem, cuja função de transferência é:

𝐺 𝑠 =𝑘𝜔𝑛

2

𝑠2 + 2ζ𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 (3.22)

𝜔𝑛 =1

𝜏 (3.23)

onde:

ζ representa o fator de amortecimento. Sua função é obter uma medida da

quantidade de amortecimento do sistema, ou seja, o grau de oscilação na

resposta do processo após uma perturbação.

τ equivale ao tempo característico de período natural de oscilação do

sistema, isto é, determina a velocidade (ou equivalentemente, o tempo de

resposta) do sistema.

𝑘 representa o ganho do sistema.

𝜔𝑛 é a frequência natural de amortecimento

Analisando a Equação (3.21) como uma equação de 2ª ordem, e impondo o

fator de amortecimento ζ e a frequência natural 𝜔𝑛 , encontram-se as equações referentes

aos ganhos do controlador 𝑘1 e 𝑘2.

𝑘1 = 𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 2 ζ 𝜔𝑛 −𝑐𝑏 + 𝑐𝑟𝐽𝑏 + 𝐽𝑟

(3.24)

𝑘2 = 𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝜔𝑛2

(3.25)

Para o projeto do controlador PI foi escolhido um ζ > 1, ou seja, um sistema

superamortecido referente a um sistema com dois pólos (raízes) reais puros e distintos,

representados na Figura 3.1 e definidos por:

35

𝑝1 = − ζ − ζ2 − 1 𝜔𝑛 (3.26)

𝑝2 = − ζ + ζ2 − 1 𝜔𝑛 (3.27)

Figura 3.1 – Representação dos pólos para um sistema superamortecido

A principal característica do sistema superamortecido se concentra na

capacidade do sistema absorver toda a energia vibratória inicial antes que ocorra o ciclo

vibratório, ou seja, inibe a vibração.

O controlador alternativo PI-P é uma combinação do controlador PI com o

controlador P, sendo o PI responsável em induzir à velocidade de rotação (𝑥2) a

velocidade desejada (𝑤𝑑), e o controlador P tem o papel de induzir à velocidade da

broca (𝑥4) a velocidade do sistema de rotação. Canudas-de-Wit et al. (2008) basearam-

se em Christoforou & Yigit (2003), e propuseram uma lei de controle expressa da

seguinte forma:

𝑢 = 𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓 + 𝑘3(𝑥2𝑓 − 𝑥4𝑓) (3.28)

Note que essa nova lei de controle resulta da lei descrita anteriormente,

acrescida de um ganho proporcional a partir de um novo erro (𝑒 = 𝑥2 − 𝑥4). Para o

ajuste deste controlador, todo o procedimento para encontrar os valores das constantes

𝑘1 e 𝑘2 é o mesmo proposto para o desenvolvimento do controlador PI. Já para o

cálculo do parâmetro 𝑘3 considera-se novamente a Equação (3.12) e substitui-se a nova

lei de controle 𝑢 da Equação (3.28), obtendo-se a seguinte expressão:

휀2𝑧 = −𝑧




𝑐𝑏𝐽𝑏

−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟

+𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓 + 𝑘3(𝑥2𝑓 − 𝑥4𝑓)


𝐽𝑏

(3.29)

A lei de controle 𝑢 pode ser representada como:

36

𝑢 = 𝑢𝑠 + 휀 𝑢𝑓 (3.30)

onde 𝑢𝑠 = 𝑘1 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟 +𝑘2

𝑠 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟 , e 휀𝑢𝑓 = 𝑘3(𝑥2 − 𝑥4).

Reescrevendo a Equação (3.29) tem-se:

휀2𝑧 = −𝑧




𝑐𝑏𝐽𝑏


𝑢𝑠

𝐽𝑟+

휀

𝐽𝑟𝑢𝑓 +

𝑇𝑓𝑏

𝐽𝑏 (3.31)

Considerando 휀 ≠ 0 a Equação (3.31) pode ser reescrita como:

휀2𝑧 = −𝑧




휀

𝐽𝑟𝑣𝑓 +

𝑇𝑓𝑏

𝐽𝑏+ 𝜌 𝜑 𝑟

∗,𝜑𝑟∗ (3.32)

sendo que 𝜌 𝜑 𝑟∗,𝜑𝑟

∗ é definido como:

𝜌 𝜑 𝑟∗,𝜑𝑟

∗ = 𝑐𝑏𝐽𝑏

−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟

∗ +𝑣𝑠(𝜑 𝑟

∗,𝜑𝑟∗)

𝐽𝑟=

𝑧∗

𝐽𝑒𝑞−𝑇𝑓𝑏

𝐽𝑏 (3.33)

Considerando uma nova variável 𝜉 = 𝑧 − 𝑧∗, e 𝑢𝑓 = −𝑘3𝜉 a Equação (3.32)

é reescrita da seguinte forma:

𝜉 + 𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞

+𝑐𝑏𝐽𝑏 𝜉 +

1

휀2𝐽𝑒𝑞𝜉 =

1

𝐽𝑟휀𝑢𝑓 (3.34)

Ou

𝜉 + 𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞

+𝑐𝑏𝐽𝑏

+𝑘3

𝐽𝑟휀 𝜉 +

1

휀2𝐽𝑒𝑞𝜉 = 0 (3.35)

Do mesmo modo que no caso da Equação (3.21), a Equação (3.35) pode ser

representada pela forma padrão de um sistema de 2ª ordem. Assim, impondo um fator

de amortecimento 휁𝑡𝑜𝑟 e a frequência natural 𝜔𝑛 , o ganho 𝑘3 pode ser calculado a partir

da seguinte relação:

𝑘3 =𝐽𝑟

𝑘𝑡

2휁𝑡𝑜𝑟𝜔𝑛 −𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞

−𝑐𝑏𝐽𝑏 (3.36)

3.3. Simulação dos Controladores PI e PI-P no

Sistema de 2-DOF

Neste tópico serão mostrados alguns resultados de simulações da aplicação dos

controladores PI e PI-P no modelo torcional da coluna de perfuração apresentado no

capítulo anterior.

37

O ajuste dos controladores é baseado no método de alocação de pólos, usando a

análise apresentada na seção anterior. Portanto, assumindo os valores dos fatores de

amortecimento ζ = 1,55 e 휁𝑡𝑜𝑟 = 5,76, e da frequência natural 𝜔𝑛 = 0,062 rad/s, e

usando as Equações (3.24), (3.25) e (3.36), obtêm-se os ganhos 𝑘1 = 25, 𝑘2 = 10 e

𝑘3 = 20, respectivamente.

Inicialmente, é aplicado o controlador PI no sistema de 2-DOF, cuja

implementação na plataforma Simulink/MATLAB™ é mostrado na Figura 3.2.


Simulink/MatlabTM

Primeiramente assume-se que o sistema está em malha aberta, i.e. a operação

apresenta o fenômeno stick-slip. Após 50 segundos, ativa-se o controlador PI com um

setpoint para a velocidade angular do sistema de rotação 𝜔𝑑 = 12 rad/s. A Figura 3.3

apresenta o comportamento da variável controlada principal e da variável controlada

inferida, velocidades do sistema de rotação (𝑥2) e da broca (𝑥4), respectivamente. Nota-

se que após a aplicação do controlador, o sistema obteve velocidades constantes e iguais

ao setpoint tanto para a broca quanto para a mesa rotativa, inibindo as oscilações stick-

slip. A figura também mostra o perfil da variação da variável manipulada, torque no

motor (𝑇𝑚 ).

A Figura 3.4 ilustra o comportamento do sistema, estando ele sob controle, a

variações no setpoint nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Percebe-se que

o sistema acompanha o valor desejado sem sofrer oscilações, consequência da resposta

característica de um sistema de 2ª ordem superamortecido, fator almejado durante o

desenvolvimento do projeto.

38

Figura 3.3 – Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis

controladas, (II) variável manipulada

Figura 3.4 - Resposta a variações no setpoint do sistema de 2-DOF com o controlador

PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Na Figura 3.5 é apresentado o desempenho regulador do sistema controlado

sob os efeitos de perturbações. Para isto, assume-se que no instante 𝑡 = 500𝑠 há um

aumento no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ) de 53018 N para 63621,6 N, provocando uma redução

39

nas velocidades de rotação do sistema. Para compensar esta perturbação, o controlador

aumenta o torque do motor, fazendo que as velocidades tendam a retornar ao valor de

referência. Situação similar ocorre em 𝑡 = 900𝑠, onde 𝑊𝑜𝑏 sofre uma redução de

63621,6 N para 42414,4 N, fato que aumenta as velocidades de rotação, sendo o

controlador obrigado a reduzir o valor de 𝑇𝑚 . Finalmente, em 𝑡 = 1300 há um novo

aumento do 𝑊𝑜𝑏 de 42414,4 N para 53018 N e, por conseguinte, um aumento no valor

do torque 𝑇𝑚 .


variáveis controladas, (II) variável manipulada

Observa-se que para todos os casos que foram simulados, apesar da variável a

ser controlada seja a velocidade do sistema de rotação, o controlador consegue controlar

de forma indireta ou inferencial a velocidade angular da broca, absorvendo as oscilações

e levando-a ao valor do setpoint.

Do mesmo modo, foram realizadas simulações utilizando o controlador PI-P.

Como poderá ser deduzido das respostas a seguir, o ganho proporcional extra

adicionado ao controlador PI não influencia significativamente o desempenho do

sistema.

As Figuras 3.6, 3.7 e 3.8 apresentam os valores das velocidades do sistema de

rotação e da broca para o sistema 2-DOF utilizando o controlador PI-P, sendo que na

primeira figura o controlador só é acionado após 50 segundos de operação. A segunda

figura mostra a resposta do sistema controlado a variações no setpoint, e a terceira

figura apresenta a resposta do sistema controlado a alterações no peso na broca 𝑊𝑜𝑏 nos

instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Em todas as figuras, as respostas do

sistema com o controlador PI-P são semelhantes às obtidas com o controlador PI,

40

mostrando assim o bom desempenho do controlador PI na eliminação de oscilações

stick-slip e controle de sistemas de perfuração de poços de petróleo.

Figura 3.6 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis

controladas (II) variável manipulada

Figura 3.7 - Resposta a variações no setpoint no sistema 2-DOF com o controlador PI-P:

(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

41



3.4. Simulação dos Controladores PI e PI-P no

Sistema 4-DOF

Nesse item serão apresentados os resultados das simulações referentes à

aplicação dos controladores PI e PI-P no sistema 4-DOF, sendo que os parâmetros de

ajuste dos controladores são os mesmos usados no caso do controle do sistema de 2-

DOF. Isto foi realizado com o objetivo de introduzir incertezas no desenvolvimento dos

controladores.

Para o sistema de 4-DOF, considera-se a seguinte lei de controle:

𝑢 = 𝑘1𝑥9 + 𝑘2𝑥 9 (3.37)

𝑥9 = 𝜔𝑑 − 𝑥2 𝑑𝑡 (3.38)

Assim, para o sistema em malha fechada formula-se um novo vetor em espaço

estado, 𝑥𝑓 , da seguinte forma:

𝑥𝑓 = 𝑥1𝑓 𝑥2𝑓 𝑥3𝑓 𝑥4𝑓 𝑥5𝑓 𝑥6𝑓 𝑥7𝑓 𝑥8𝑓 𝑥9𝑓 = 𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑝 𝜑 𝑝 𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 𝑥9 (3.39)

As equações em espaço estado do sistema de 4-DOF em malha fechada são

obtidas da mesma forma que para o caso do sistema de 2-DOF, ou seja, adicionando o

42

novo estado 𝑥9 e a lei de controle da Equação (3.37) no sistema da Equação (2.23),

obtendo:

𝑥 1𝑓 = 𝑥2

𝑥 2𝑓 = 1

𝐽𝑟

− 𝑘𝑡 𝑥1𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2𝑓 + 𝑘𝑡 𝑥3𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥4𝑓 + 𝑘1𝑥9𝑓 + 𝑘2𝑥 9𝑓

𝑥 3𝑓 = 𝑥4

𝑥 4𝑓 = 1

𝐽𝑝

𝑘𝑡 𝑥1𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥2𝑓 − 𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥3𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4𝑓 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥5𝑓 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥6𝑓


𝑥 6𝑓 = 1

𝐽𝑙

𝑘𝑡𝑙 𝑥3𝑓 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4𝑓 − 𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥5𝑓 − 𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6𝑓 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥7𝑓 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥8𝑓

𝑥 7𝑓 = 𝑥8

𝑥 8𝑓 = 1

𝐽𝑏

𝑘𝑡𝑏 𝑥5𝑓 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6𝑓 − 𝑘𝑡𝑏 𝑥7𝑓 − 𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏 𝑥8𝑓 − 𝑇𝑓𝑏

𝑥 9𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝑥2𝑓

(3.40)

A Figura 3.9 ilustra graficamente a aplicação do controlador PI no sistema de

4-DOF no Simulink/MATLAB™.


Simulink/MatlabTM

.

43

A Figura 3.10 mostra a estabilização do sistema depois do controlador ficar

ativo. Em comparação com a resposta do sistema de 2-DOF (Figura 3.3), no presente

caso, embora as oscilações stick-slip sejam maiores em amplitude e o tempo de

estabilização seja maior, a sobrepassagem é bem menor. As variáveis controladas, direta

e indireta, i.e a velocidade do sistema de rotação (𝑥2) e a velocidade da broca (𝑥8),

respectivamente, são praticamente as mesmas e ambas apresentam uma leve vibração

depois de ativado o controle, a qual desaparece na estabilização, alcançando juntas o

setpoint 𝜔𝑑 = 12 rad/s. O perfil da variável manipulada (𝑇𝑚 ) é mais conservativo que

no caso do controle do sistema de 2-DOF.

A Figura 3.11 mostra a resposta do controle do sistema de 4-DOF a variações

no setpoint, ocorrendo estas variações nos instantes 500s, 900s e 1300s,

respectivamente. Em comparação com as respostas do sistema de 2-DOF da Figura 3.4,

no presente caso as respostas das velocidades do sistema de rotação e da broca são

idênticas e ambas apresentam características de um sistema de subamortecido, com leve

sobrepassagem e oscilação tênue a cada mudança de setpoint. A variável manipulada

acompanha o perfil de resposta das variáveis controladas. Quando uma velocidade

angular maior é requerida, o controlador fornece um torque maior e vice-versa.

Figura 3.10 - Resposta do sistema de 4-DOF com o Controlador PI: (I) variáveis


Na Figura 3.12 se ilustra a resposta reguladora do controle PI do sistema de 4-

DOF sujeito a perturbações aplicadas no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ). Estas perturbações

equivalem a variações de +20% do valor inicial do peso, um decréscimo de -40% e

retorno ao valor inicial, ocorrendo nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente.

Como pode ser visualizado, o controle consegue compensar as perturbações, tratando de

44

manter a variável controlada principal (𝑥2) e controlada indireta (𝑥8) no setpoint.

Porém, comparando com o controle do sistema de 2-DOF da Figura 3.5, neste caso os

picos nas velocidades angulares são maiores, apresentando leves sobrepassagens no

retorno ao ponto de operação. Conforme mostrado nas simulações anteriores, a variável

manipulada apresenta uma curva de resposta característica de um sistema de 2ª ordem,

diferente da Figura 3.5, cuja curva é característica de um sistema de 1ª ordem.

Figura 3.11 - Resposta a variações no setpoint do sistema 4-DOF com o controlador PI:


A aplicação do controlador PI-P no sistema de 4-DOF apresentou um

desempenho levemente superior que o do controlador PI. No caso da estabilização da

resposta, Figura 3.13, não existe as pequenas vibrações nas variáveis controladas depois

da ativação do controle, embora o valor máximo da variável manipulada seja superior.

No caso de variações no setpoint, Figura 3.14, a resposta é ligeiramente menos

oscilatória depois de cada mudança do ponto de operação; sendo que no caso das

perturbações no peso da broca, Figura 3.15, os picos das velocidades do sistema de

rotação e da broca são menores depois de cada variação no 𝑊𝑜𝑏 .

45



Figura 3.13 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variável


46


PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada


variáveis controladas, (II) variáveis manipuladas

A partir dos resultados das simulações que foram apresentadas é possível

chegar às seguintes conclusões:

47

Os controladores PI e PI-P se mostraram eficiente na eliminação das

oscilações stick-slip, seguimento do setpoint e rejeição de perturbações em

colunas de perfuração,

Os controladores PI e PI-P foram desenvolvidos baseados num sistema de 2ª

ordem, e apresentaram o mesmo desempenho quando aplicados na coluna

de perfuração de 2-DOF.

Os controladores PI e PI-P desenvolvidos para o sistema de 2-DOF podem

ser aplicados a sistemas de ordem superior, como no de 4-DOF, com

desempenho ligeiramente superior do controlador PI-P.

48

Capítulo 4

Controle por Modos Deslizantes

4.1. Introdução

Este capítulo apresenta a abordagem do controle por modos deslizantes

(Sliding Mode Control – SMC) de primeira ordem e sua aplicação em sistemas de

perfuração de poços de petróleo.

O SMC é conhecido por ser um método de controle robusto adequado para o

controle de sistemas incertos. Sua alta robustez é mantida contra vários tipos de

incertezas, tais como perturbações externas e erros de medição. O SMC pode ser

realizado pelo controle com estrutura variável (VSC). Como o nome sugere, o VSC são

classes de sistemas na qual a lei de controle é deliberadamente mudada durante o

processo de controle, conforme algumas regras definidas, as quais vão depender do

estado do sistema (Edwards & Spurgeon, 1998).

A inclusão do estudo do SMC no presente trabalho deve-se ao fato das

inúmeras referências reportadas na literatura voltadas ao controle do fenômeno stick-

slip. A seguir serão apresentados os conceitos básicos do SMC e, posteriormente, o

desenvolvimento de um SMC e sua aplicação no controle da velocidade do sistema de

rotação de uma coluna de perfuração.

4.2. Aspectos Gerais do SMC

O termo VSCS fez sua primeira aparição no final da década de 50. Desde

aquela época, novas direções de pesquisas foram apontadas devido ao surgimento de

novas classes de problemas de controle, aos novos métodos matemáticos, aos avanços

recentes em circuitos de comutação e aos princípios de novas leis de controle (Utkin,

1993).

Uma das principais características do VSCS é a capacidade de se obter

trajetórias que descrevem um novo tipo de movimento, denominado modo deslizante.

Essencialmente, o VSCS utiliza uma lei de controle de comutação de alta velocidade

para conduzir a trajetória do estado da planta não linear a uma superfície escolhida e

49

especificada no espaço de estado, denominada de superfície de deslizamento ou de

comutação (DeCarlo et al., 1998). Essa superfície especifica um comportamento

desejado para a dinâmica do sistema em malha fechada.

Em geral, a dinâmica transiente do SMC consiste em dois modos: um modo de

longo alcance (ou modo nonsliding), seguido por um modo deslizante. Assim, o projeto

do SMC envolve, em primeiro lugar, um projeto de uma apropriada função de

chaveamento 𝑠(𝑥) para uma dinâmica desejada do modo de deslizamento (Gao &

Hung, 1993) e, em segundo lugar, o projeto do controlador tal que satisfaça as

condições de existência e alcançabilidade (Damazo, 2008).

O SMC oferece vantagens significativas, tais como bom comportamento

transitório, capacidade de rejeição às perturbações não-modeladas e insensibilidade a

não-linearidades da planta ou variações dos parâmetros. Entretanto, há algumas

dificuldades no SMC, como (Oliveira, 2006):

Ocorrência indesejável do fenômeno de trepidação (chattering) induzido

por não-idealidades, como pequenos atrasos ou dinâmicas não-modeladas

(modo deslizante real);

Necessidade geral de se ter acesso ao vetor de estado completo para

implementar a superfície de chaveamento;

Conhecimento da direção de controle.

O chattering é um fenômeno indesejável de oscilações com frequência e

amplitude finita, as quais ocorrem durante aplicações práticas de controle por modo

deslizante. Este fenômeno pode excitar as dinâmicas não modeladas, as quais podem

levar o sistema à instabilidade.

4.3. Síntese do Controlador SMC

Considere uma classe de sistema não linear representado por:

𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑡 + 𝑔 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝜉(𝑡)𝑦 = 𝑕(𝑥, 𝑡)

(4.1)

onde 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 é o vetor de estados, 𝑦 ∈ 𝑅𝑚 é o vetor de saída, 𝑢 ∈ 𝑅𝑚 é o vetor de

entrada, 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑔(𝑥, 𝑡) e 𝑕(𝑥, 𝑡) são funções conhecidas, limitadas e continuamente

diferenciáveis em relação a todos os argumentos, e 𝜉(𝑡) representa uma perturbação

desconhecida (Fergütz, 2001).

Uma superfície de deslizamento 𝑠 é definida no espaço de estados 𝑅𝑛

igualando a zero a variável 𝑠(𝑥, 𝑡), descrita por (Ming, 1997):

𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡+ 𝛿

𝑛−1

𝑥 (𝑡) (4.2)

50

Sendo que 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝑥𝑑(𝑡) representa o erro de rastreamento da variável

𝑥, onde 𝑥𝑑(𝑡) é o estado desejável, e δ é uma constante estritamente positiva,

considerada como a largura de banda do sistema. A modo de exemplos, superfícies de

deslizamento para 𝑛 = 2 e 𝑛 = 3 são dadas pelas Equações (4.3) e (4.4),

respectivamente:

𝑠 = 𝑥 + 𝛿𝑥 (4.3)

𝑠 = 𝑥 + 2𝛿𝑥 + 𝛿2𝑥 (4.4)

Para que o problema de seguimento seja alcançado usando o controle finito 𝑢,

o estado inicial desejado 𝑥𝑑(0) deve ser tal que:

𝑥𝑑 0 = 𝑥(0) (4.5)

Dada as condições iniciais, Equação (4.5), o problema de seguimento do vetor

𝑥𝑑 de dimensão 𝑛 pode em efeito ser substituído por um problema de estabilização de 1ª

ordem em 𝑠. De fato, já que a expressão de 𝑠 na Equação (4.2) contém 𝑥 (𝑛−1), só é

necessário diferenciar 𝑠 uma vez para que a entrada 𝑢 possa aparecer de forma explícita

(Slotine & Li, 1991).

Um resultado similar deve ser obtido se for usado o controle integral, da forma

(Slotine & Li, 1991):

𝑠 = 𝑑

𝑑𝑡+ 𝛿

𝑛−1

𝑥 𝑡

0

𝑑𝜏 (4.6)

Após simplificar a expressão 𝑠 como uma equação de primeira ordem, o

problema de manter 𝑠 em zero pode ser alcançado pela escolha da lei de controle 𝑢 da

Equação (4.1).

Para garantir a existência de um modo deslizante ideal, ou seja, garantir que a

superfície de deslizamento seja alcançada em um tempo finito, é necessário considerar a

condição de alcançabilidade, descrita por (Nunes, 2004):

𝑠 𝑠 ≤ −휂|𝑠| (4.7)

onde 휂 é uma constante pequena e estritamente positiva. Reescrevendo a Equação (4.7)

tem-se que:

1

2

𝑑

𝑑𝑡𝑠2 ≤ −휂|𝑠| (4.8)

Integrando a Equação (4.8), de 0 a 𝑡𝑠, resulta em:

𝑠 𝑡𝑠 − |𝑠(0)| ≤ −휂𝑡𝑠 (4.9)

51

sendo 𝑡𝑠 o tempo de alcance da superfície de deslizamento, ou seja, 𝑠 = 0, a Equação

(4.9) pode ser reescrita da seguinte forma:

0 − |𝑠(0)| ≤ −휂𝑡𝑠 (4.10)

Isso implica que:

𝑡𝑠 ≤𝑠(0)

휂 (4.11)

A Figura 4.1 ilustra o comportamento de um sistema de 2ª ordem (𝑛 = 2),

onde se pode notar que a condição de alcançabilidade mostrou-se satisfatória. A

superfície de deslizamento é uma linha no retrato de fase de declive δ e que contem o

ponto 𝑥𝑑 = [𝑥𝑑 𝑥 𝑑 ]𝑇 . O movimento da trajetória do sistema pode ser dividido em duas

fases. Na fase de aproximação, a trajetória começa de algum ponto inicial no plano de

fase, e é conduzida até a superfície em um tempo finito menor do que 𝑠 0

휂 . Na segunda

fase, o sistema entra em modo deslizante, ou seja, desliza ao longo da superfície na

direção de 𝑥𝑑 , com uma constante de tempo igual a 1/𝛿, ocorrendo uma redução na

ordem da dinâmica do sistema, que passa a ser dada pela equação da superfície de

deslizamento. Observa-se que, uma vez na superfície, a trajetória permanece na

superfície (Slotine & Li, 1991).

Figura 4.1 – Interpretação gráfica das Equações (4.6) e (4.8) (Slotine & Li, 1991)

Em resumo, a idéia é usar uma equação que represente de forma satisfatória a

superfície de deslizamento 𝑠, de acordo com a Equação (4.2), e, em seguida, selecionar

uma lei de controle 𝑢 em (4.1), tal que as trajetórias do sistema continuem apontado em

direção a superfície de deslizamento, apesar da presença das perturbações e incertezas

do modelo.

Supondo que 𝑠 = 𝑤 𝑥, 𝜉, 𝑡 , podemos escrever 𝑠 = 𝑤 𝑥,𝑢, 𝑡 da seguinte

forma (Fergütz, 2001):

52

𝑠 =𝜕𝑤

𝜕𝜉𝜉 +

𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑥

= 𝜕𝑤

𝜕𝜉𝜉 +

𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑥[𝑓 𝑥, 𝑡 + 𝑔 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝜉(𝑡)]

= 𝑎 𝑥, 𝑡 + 휂 𝜉 + 𝑏 𝑥, 𝑡 𝑢(𝑡)

(4.12)

onde

𝑎 𝑥, 𝑡 =𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑓 𝑥, 𝑡

휂 𝜉 =𝜕𝑤

𝜕𝜉𝜉 +

𝜕𝑤

𝜕𝑥𝜉

𝑏 𝑥, 𝑡 =𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑔(𝑥, 𝑡)

(4.13)

A simplificação e o desacoplamento da equação (4.12) com relação ao controle

podem ser feitos com a seguinte lei de controle (Fergütz, 2001):

𝑢 = − 𝑏(𝑥, 𝑡) −1𝑎 𝑥, 𝑡 + [𝑏(𝑥, 𝑡)]−1𝑢𝑛 (4.14)

sendo 𝑏(𝑥, 𝑡) uma matriz não-singular, e 𝑢𝑛 a lei de controle descontínua. Substituindo

a Equação (4.14) na Equação (4.1), obtem-se:

𝑠 𝑥,𝑢, 𝜉, 𝑡 = 𝑢𝑛 + 휂(𝜉) (4.15)

Para o projeto e estudo de um sistema de controle, um dos pontos mais

importantes é a sua estabilidade. De forma geral deve-se garantir que o sistema seja

estável. Um sistema instável além de ser difícil de controlar é potencialmente perigoso,

se a energia a ele associada for elevada (Silva, 2003). Portanto, o controle 𝑢𝑛 é

projetado de acordo com as condições de estabilidade de Lyapunov. Para isso,

considera-se a seguinte função de Lyapunov (Fergütz, 2001):

𝑉 𝑠 =1

2𝑠2 (4.16)

Para garantir a estabilidade, a função escalar 𝑉(𝑠), tem que ser contínua com

sua primeira derivada contínua, de forma que:

𝑉 0 = 0 e 𝑉 𝑥 > 0, ∀ 𝑥 ≠ 0;

𝑉 𝑥 → ∞, quando 𝑥 → ∞;

𝑉 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ≠ 0.

Logo o ponto de equilíbrio na origem é dito globalmente e assintoticamente

estável.

A derivada da Equação (4.16) fica:

53

𝑉 =𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑠𝑠 (4.17)

Substituindo a Equação (4.17) na Equação (4.15), tem-se que:

𝑉 (𝑠) = 𝑠(𝑢𝑛 + 휂) (4.18)

A negatividade da expressão 𝑉 (𝑠) é garantida considerando as seguintes leis de

controle descontínuas (Fergütz, 2001):

a) Lei de alcançabilidade de taxa constante

𝑢𝑛 = −𝑘 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) , 𝑘 > 0 (4.19)

onde 𝑘 é o índice de taxa constante.

Substituindo a Equação (4.19) na Equação (4.18), chega-se a:

𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) + 휂) (4.20)

Para manter a estabilidade de 𝑠 para a origem de 𝑠, é necessário garantir a

negatividade da expressão 𝑉 𝑠 , portanto, é possível obter um valor de 𝑘 que satisfaça a

condição 𝑘 > |휂|, resultando na seguinte lei de controle:

𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠)) (4.21)

b) Lei de alcançabilidade do número de índice

𝑢𝑛 = −𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠, 𝑘 > 0, 𝜆 > 0 (4.22)

onde 𝜆 é o índice expoente.

Substituindo a Equação (4.22) na Equação (4.18), resulta:

𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) (4.23)

Para garantir a estabilidade sabe-se que:

𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) < 0

𝑉 𝑠 ≤ − 𝑠 𝑘 − 휂 − 𝜆 𝑠2 < 0 (4.24)

É garantida as condições de existência e acessibilidade do modo deslizante

apenas se 𝑘 − 휂 > 0, ou seja, 𝑘 > |휂|, resultando na seguinte lei de controle:

𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠)) − 𝜆 𝑠 ) (4.25)

c) Lei de alcançabilidade exponencial

𝑢𝑛 = −𝑘|𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 − 𝜆 𝑠, 0 ≤ 𝛼 < 1, 𝑘 > 0, 𝜆 > 0 (4.26)

54

Substituindo a Equação (4.26) na Equação (4.18), resulta:

𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 |𝑠|𝛼𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) (4.27)

A estabilidade de 𝑠 é mantida garantindo a negatividade da expressão 𝑉 𝑠 .

Assim:

𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 |𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) < 0

𝑉 𝑠 ≤ − 𝑠 𝑘|𝑠|𝛼 − 휂 − 𝜆 𝑠2 < 0 (4.28)

Logo:

𝑘|𝑠|𝛼 − 휂 > 0 (4.29)

𝑘 > 휂

|𝑠|𝛼 (4.30)

Portanto, a seguinte lei de controle é obtida:

𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘|𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 − 𝜆 𝑠 ) (4.31)

Zhang et al. (2010) mostraram a lei de alcançabilidade exponencial fornece

uma resposta mais suave em relação à lei de alcançabilidade de taxa constate e à lei de

alcançabilidade do número de índice. Com base nisso, a seção a seguir concentra-se no

desenvolvimento e aplicação do controlador SMC, com lei de alcançabilidade

exponencial, nos sistemas de perfuração em estudo.

4.4. Projeto do Controlador SMC para a Coluna

de Perfuração

Levando em consideração a coluna de perfuração de 2-DOF, a superfície de

deslizamento do controlador SMC, obtida da Equação (4.6), é:

𝑠 = 𝑥 + 𝛿 𝑥 𝑡

0

𝑑𝜏 = 𝑥2 − 𝜔𝑑 + 𝛿 (𝑥2 − 𝜔𝑑)𝑡

0

𝑑𝜏 (4.32)

Note que a Equação (4.32) tem a característica de uma lei de controle PI. A

simplificação e o desacoplamento da Equação (4.12), com relação ao sistema 2-DOF,

podem ser realizados com a seguinte lei de controle:

𝑢 = − 𝑏(𝑥, 𝑡) −1𝑎 𝑥, 𝑡 + [𝑏(𝑥, 𝑡)]−1𝑢𝑛 (4.33)

onde:

55

𝑏 𝑥, 𝑡 −1 = 𝐽𝑟 (4.34)

𝑎 𝑥, 𝑡 = 𝛿 𝑥2 − 𝜔𝑑 + (−𝑘𝑡𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡𝑥3 + 𝑐𝑡𝑥4)/𝐽𝑟 (4.35)

sendo 𝑢𝑛 a a lei de alcançabilidade exponencial, denotada pela Equação (4.27).

Portanto, a lei de controle do SMC é dada pela seguinte relação:

𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘|𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 − 𝜆 𝑠 ) (4.36)

𝑢 = 𝑐𝑡(𝑥2 − 𝑥4) + 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑥3 + 𝑐𝑟𝑥2 − 𝐽𝑟(𝛿 𝑥2 − 𝜔𝑑 + 𝑘 𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 + 𝜆 𝑠) (4.37)

Com o intuito de melhorar as propriedades de robustez do sistema controlado,

é implementada a seguinte modificação na lei de controle SMC (Navarro-López &

Cortés, 2007b):

𝑢 = 𝛥1𝑐𝑡(𝑥2 − 𝑥4) + 𝛥2𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑥3 + 𝛥3𝑐𝑟𝑥2

−𝐽𝑟(𝛿 𝑥2 − 𝜔𝑑 + 𝑘 𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 + 𝜆 𝑠) (4.38)

com os fatores de ponderação 0 < 𝛥𝑖 ≤ 1, 𝑖 = 1, 2, 3.

A aplicação do controle SMC, da Equação (4.37), pré-supõe que os estados do

sistema (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) estão disponíveis para realimentação.

4.5. Simulação do Controlador SMC no Sistema

de 2-DOF

O controlador SMC da Equação (4.38) é aplicado na coluna de perfuração de

2-DOF. Na avaliação de desempenho da estratégia de controle proposta são

considerados os seguintes casos:

Estabilização do sistema após ativação do controlador no instante 𝑡 = 50𝑠.

Reposta do sistema controlado a variações no setpoint nos instantes

𝑡 = 500, 900 e 1300𝑠

Resposta do sistema perturbações no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ), ocorrendo nos

instantes 𝑡 = 500, 900 e 1300𝑠.

As simulações são realizadas com o auxílio do pacote Simulink/MATLAB™.

Os parâmetros de sintonia do controlador são listados na Tabela 4.1, os quais foram

selecionados por tentativa e erro, visando ter o melhor desempenho possível.

56

Tabela 4.1–Parâmetros de sintonia do controlador SMC

Parâmetro Valor

𝜟𝟏 0,9

𝜟𝟐 0,5

𝜟𝟑 0,7

𝜹 0,053

𝒌 0,01

𝝀 0,095

A Figura 4.2 mostra a estabilização do sistema após a ativação do controle.

Como pode ser observada, a velocidade do sistema de rotação (𝑥2) alcança o ponto de

operação desejado (𝑤𝑑=12 rad/s), sendo acompanhada pela velocidade da broca (𝑥4).

Em comparação com a resposta do controle PI, da Figura 3.3, a resposta do controle

SMC não apresenta sobrepassagem, sendo a estabilização muito mais rápida. A variação

do torque do motor (𝑇𝑚 ) fornecida pelo controlador SMC é relativamente bem

comportada, sem o pico acentuado depois da ativação do controle apresentando pelo PI.

A Figura 4.3 apresenta o comportamento das variáveis controladas direta e

indireta (velocidades do sistema de rotação e da broca, respectivamente) a mudanças no

setpoint. Comparando estas respostas com as obtidas pelo sistema sob controle PI, da

Figura 3.4, o SMC gera um controle mais suave, porém mais lento. O perfil da variável

manipulada mostra que o controlador SMC “assegura” o fornecimento do torque

necessário, depois de uma atuação repentina, após cada mudança de setpoint.

Na Figura 4.4 se apresenta a resposta do sistema sob controle SMC sujeito a

variações no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ). Conforme pode ser visualizado, a velocidade da

broca acompanha bem a velocidade do sistema de rotação, a qual trata de voltar ao

setpoint depois da introdução da perturbação. Em comparação com o desempenho do

sistema sob controle PI, da Figura 3.5, embora as variáveis controladas experimentem

picos menores, o retorno ao setpoint é mais lento, com pequenas oscilações no topo dos

picos. Como no caso anterior, é observado que a variável manipulada reage

abruptamente após a perturbação, porém logo ela é “assegurada”, o que motiva a

compensação lenta da perturbação.

57

Figura 4.2 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis


Figura 4.3 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o Controlador

SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

58



4.6. Simulação do Controlador SMC no Sistema

de 4-DOF

O controlador SMC da Equação (4.37), desenvolvido baseado no sistema de 2-

DOF, com parâmetros de sintonia da Tabela 4.1, porém com as variáveis

correspondentes ao sistema de 4-DOF, é aplicado no controle da coluna de perfuração

de 4-DOF. Como no caso do controle PI, o objetivo aqui é introduzir incertezas no

desenvolvimento do controlador.

A Figura 4.5 apresenta a estabilização do sistema de 4-DOF depois da ativação

do controle SMC. Em comparação à resposta do sistema de 2-DOF, da Figura 4.2, no

presente caso as velocidades da coluna demoram em alcançar o ponto de operação

desejado, sendo que a variável manipulada apresenta grandes oscilações no início da

ativação do controle.

A Figura 4.6 mostra a resposta do sistema controlado a variações no setpoint.

Como pode ser visualizada, a resposta do sistema é mais rápida em alcançar o novo

setpoint, se comparada à resposta do controle SMC do sistema de 2-DOF, da Figura 4.3.

Já, a Figura 4.7 mostra o desempenho do SMC na regulação do sistema de 4-DOF

sujeito a perturbações no peso da broca. As variáveis controladas conseguem retornar ao

ponto de operação. Mas, em comparação com a resposta do sistema de 2-DOF, da

Figura 4.4, os picos nas velocidades do sistema de 4-DOF são maiores, com oscilações

nos cumes dos picos mais acentuadas.

59

Figura 4.5 - Resposta do sistema 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis



SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

60



Os resultados das simulações do SMC apresentados no presente capítulo levam

às seguintes conclusões:

O controlador SMC consegue eliminar as oscilações stick-slip, fazer o

seguimento do setpoint e rejeitar perturbações presentes na operação de

colunas de perfuração.

O controlador SMC desenvolvido para o sistema de perfuração de 2-DOF

pode ser aplicado a sistemas de ordem superior. No sistema de 4-DOF, a

aplicação do controle apresentou melhoras, em relação ao sistema de 2-

DOF, no caso de variações no setpoint.

O controlador SMC fornece uma ação repentina, após uma mudança no

setpoint ou perturbação no sistema, a qual logo é “assegurada”. Esta ação

repentina provoca oscilações na variável manipulada, sendo mais notória

quando aplicada no sistema de 4-DOF.

61

Capítulo 5

Controle por Linearização Exata por

Realimentação

5.1. Introdução

Grande parte dos sistemas físicos pode ser descrita por equações diferenciais

não lineares. O controle destes sistemas pode ser afetado pela fidelidade na reprodução

dos efeitos não lineares pelas equações que descrevem a dinâmica. Quando estes efeitos

não lineares tornam-se significativos na dinâmica do sistema, os métodos de controle

linear mostram-se limitados para se alcançar um desempenho desejado. É neste

contexto que se inserem os métodos de controle não linear, fazendo ênfase no método

de linearização por realimentação (Henson & Seborg, 1997).

A idéia central do método de linearização por realimentação consiste em usar

técnicas de manipulação matemática que permitam transformar algebricamente um

sistema não linear em um sistema totalmente ou parcialmente linear, numa região finita,

de modo que técnicas de controle linear, como as clássicas, possam ser aplicadas no

projeto do controlador (Slotine & Li, 1991). Técnicas de linearização por realimentação

podem ser vistas como uma forma de transformar modelos originais do sistema em

modelos de forma mais simples equivalentes.

O presente capítulo trata sobre o estudo e aplicação de métodos de linearização

exata por realimentação no controle de colunas de perfuração. Duas técnicas de controle

por linearização por realimentação são discutidas do ponto de vista teórico: o

controlador por linearização entrada-estado (ISLC) e o controlador por linearização

entrada-saída (IOLC). A partir dessa análise, um desses controladores será

implementado no controle do sistema torcional da coluna de perfuração, sendo seu

desempenho avaliado quando submetido a diversas condições de operação.

62

5.2. Conceitos Básicos Fundamentais

Para melhor entendimento da abordagem de linearização exata por

realimentação é necessário introduzir brevemente os seguintes conceitos básicos

fundamentais:

5.2.1. Campo vetorial

Se 𝐷 é uma região em ℜ𝑛 , então um campo vetorial em 𝐷 é uma função 𝐹 que

atribui a cada (𝑥1, 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛) em 𝐷, um vetor 𝐹 (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) de dimensão 𝑛. Quando

𝑛 = 1 o campo vetorial tem um nome de campo escalar e será 𝑕:𝐷 → ℜ.

5.2.2. Campo covetorial

Designa-se por campo covetorial ao transposto de um campo vetorial.

Representa-se por um vetor linha.

5.2.3. Produto interno

Define-se produto interno de um campo vetorial 𝑓(𝑥) por um campo

covetorial 𝑤(𝑥), representado por < 𝑤, 𝑓 >, ao escalar:

< 𝑤,𝑓 >= 𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑤𝑖 𝑥 𝑓𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=1

(5.1)

O produto de 𝑤 𝑥 por 𝑓 𝑥 deve ser entendido como o produto matricial de

uma matriz 1 × 𝑛 (covetor 𝑤) por uma matriz coluna n× 1 (vetor 𝑓).

5.2.4. Gradiente

A gradiente de uma função escalar 𝑕(𝑥), cujos elementos se obtêm derivando

𝑕(𝑥) em relação a cada uma das componentes de 𝑥. Pode representar-se por 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑕(𝑥),

ou por ∇𝑕(𝑥), como:

∇𝑕 x = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑕 x =𝜕𝑕(𝑥)

𝜕𝑥=

𝜕𝑕

𝜕𝑥1,𝜕𝑕

𝜕𝑥2,… ,

𝜕𝑕

𝜕𝑥𝑛 (5.2)

63

5.2.5. Jacobiano

Jacobiano é uma forma multidimensional de derivada. Seja, por exemplo, um

campo vetorial 𝑓(𝑥). Então se define jacobiano de um campo vetorial como:

∇𝑓 x = 𝜕𝑓𝑖(𝑥)

𝜕𝑥𝑗 =

𝜕𝑓1(𝑥1)

𝜕𝑥1⋯

𝜕𝑓1(𝑥𝑛)

𝜕𝑥𝑛⋮ ⋱ ⋮

𝜕𝑓𝑛(𝑥1)

𝜕𝑥1⋯

𝜕𝑓𝑛(𝑥𝑛)

𝜕𝑥𝑛

𝑛×𝑛

𝑖, 𝑗 = 1, 2,… , 𝑛 (5.3)

5.2.6. Derivada de Lie

A derivada de Lie é uma das ferramentas mais importantes da geometria

diferencial, e é bastante utilizada na linearização de sistemas não lineares. A derivada de

Lie entre um campo escalar e um campo vetorial pode ser representada da seguinte

forma:

𝐿𝑓𝑕 =𝜕𝑕 𝑥

𝜕𝑥𝑓 x = ∇𝑕 𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 =< ∇𝑕 𝑥 ,𝑓 𝑥 > (5.4)

onde 𝑕:ℜ𝑛 → ℜ, representa o campo escalar e, 𝑓:ℜ𝑛 → ℜ𝑛 , representa o campo

vetorial. Assim, a derivada de Lie 𝐿𝑓𝑕, é simplesmente a derivada direcional de 𝑕 ao

longo da direção do vetor 𝑓.

Uma vez que a derivada de Lie de uma função escalar é também uma função

escalar, é possível calcular as derivadas de Lie de ordem 2, 3, etc. A sua definição faz-se

por recorrência. Portanto tem-se que:

𝐿𝑓0𝑕 𝑥 = 𝑕(𝑥)

𝐿𝑓1𝑕 𝑥 =

𝜕𝑕 𝑥

𝜕𝑥𝑓 x

𝐿𝑓2𝑕 𝑥 = 𝐿𝑓(𝐿𝑓𝑕 𝑥 ) =

𝜕 𝐿𝑓𝑕 𝑥

𝜕𝑥𝑓 x

⋮

𝐿𝑓𝑘𝑕 𝑥 = 𝐿𝑓(𝐿𝑓

𝑘−1𝑕 𝑥 ) =𝜕 𝐿𝑓

𝑘−1𝑕 𝑥

𝜕𝑥𝑓 x

(5.5)

5.2.7. Parêntese de Lie

Sejam 𝑓 e 𝑔 campos vetoriais em ℜ𝑛 . O parêntese de Lie de 𝑓 e 𝑔 é um campo

vetorial de dimensão 𝑛, definido por:

64

𝑓,𝑔 = 𝑎𝑑𝑓𝑔 = ∇𝑔 ∙ 𝑓 − ∇𝑓 ∙ 𝑔 =𝜕𝑔 𝑥

𝜕𝑥𝑓 𝑥 −

𝜕𝑓 𝑥

𝜕𝑥𝑔(𝑥) (5.6)

O parênteses de Lie de ordem 𝑖 é definido da seguinte forma:

𝑎𝑑𝑓0𝑔 = 𝑔

𝑎𝑑𝑓1𝑔 = 𝑓,𝑔

⋮𝑎𝑑𝑓

𝑖𝑔 = 𝑓,𝑎𝑑𝑓𝑖−1𝑔

(5.7)

O parêntese de Lie satisfaz as seguintes propriedades:

(𝑖) Anti-simetria: 𝑓,𝑔 = −[𝑔,𝑓]

(𝑖𝑖) Bilinearidade: 𝛼1𝑓1 + 𝛼2𝑓2 ,𝑔 = 𝛼1 𝑓1,𝑔 + 𝛼2[𝑓2 ,𝑔]

sendo 𝑓,𝑓1,𝑓2 ,𝑔 campos vetoriais suaves e 𝛼1,𝛼2 escalares constantes.

(𝑖𝑖𝑖) Identidade de Jacobi: 𝐿[𝑓 ,𝑔]𝑕 = 𝐿𝑓𝐿𝑔𝑕 − 𝐿𝑔𝐿𝑓𝑕

5.2.8. Difeomorfismo

A aplicação 𝜙:𝛺 → ℜ𝑛 , na qual 𝛺 é um conjunto aberto de ℜ𝑛 , é denominada

um difeomorfismo se 𝜙−1(𝑥) existe e se 𝜙(𝑥) e 𝜙−1(𝑥) são diferenciáveis e contínuas

em 𝛺. Se, adicionalmente, 𝛺 = ℜ𝑛 , então 𝜙(𝑥) é um difeomorfismo global (Slotine &

Li, 1991).

Uma das aplicações dos difeomorfismos consiste em transformar o modelo de

estado de um sistema não linear num outro modelo de estado, linear ou não linear,

através de uma mudança de variável de estado. Considere o sistema da Equação (5.8).

Efetuando a mudança da variável de estado 𝑧 = 𝜑(𝑥), e derivando ambos os lados,

obtém-se:

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑢𝑦 = 𝑕(𝑥)

(5.8)

𝑧 =𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑥 =

𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑓 𝑥 +

𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑔 𝑥 𝑢 (5.9)

Como 𝜙 é um difeomorfismo, tem-se 𝑥 = 𝜑−1 𝑧 . Logo:

𝑧 = 𝑓∗ 𝑧 + 𝑔∗(𝑧) ∙ 𝑢𝑦 = 𝑕∗(𝑧)

(5.10)

65

5.2.9. Teorema de Frobenius

Seja {𝑓1,𝑓2,… , 𝑓𝑚 } um conjunto de 𝑚 campos vetoriais, definidos em ℜ𝑛 , com

𝑚 < 𝑛. Este conjunto é completamente integrável se e só se for involutivo.

Um campo de campos vetoriais se diz involutivo se e somente se existirem

funções escalares 𝛼𝑖 𝑗 𝑘 :ℜ𝑛 → ℜ tais que os parênteses de Lie da Equação (5.11), de

dois campos vetoriais, possam ser expressos por uma combinação linear dos campos de

vetores originais, i.e.:

𝑓𝑖 ,𝑓𝑗 = 𝛼𝑖𝑗𝑘 𝑥 𝑓𝑘(𝑥)

𝑚

𝑘=0

(5.11)

5.3. Linearização Entrada-Estado

Considere um sistema não-linear SISO descrito pela seguinte equação de

estado:

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑢 (5.12)

onde 𝑓 e 𝑔 são campos vetoriais em ℜ𝑛 . A esse sistema dá-se o nome sistema linear na

entrada, linear no controle ou linear na variável de controle (Silva, 2003). Além dessa

estrutura, o sistema pode aparecer de forma genérica, como:

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑤[𝑢 + 𝜙 𝑥 ] (5.13)

sendo 𝑤 uma função escalar invertível e 𝜙 uma função arbitrária. A Equação (5.13)

pode ser convertida a forma da Equação (5.12), fazendo:

𝑣 = 𝑤[𝑢 + 𝜙 𝑥 ] (5.14)

Isolando a variável 𝑢, através da inversa de 𝑤, tem-se:

𝑢 = 𝑤−1𝑣 − 𝜙(𝑥) (5.15)

Definição (linearização entrada-estado). Um sistema não linear na forma da Equação

(5.12) é dito ser linearizável entrada-estado se existir uma região 𝛺 em ℜ𝑛 , um

difeomorfismo 𝜙:𝛺 → ℜ𝑛 , e uma lei de controle por realimentação, da forma:

𝑢 = 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑣 (5.16)

onde:

66

𝛼 𝑥 = −𝐿𝑓𝑛 𝑧1

𝐿𝑔 𝐿𝑓𝑛−1 𝑧1

(5.17)

𝛽 𝑥 =1


(5.18)

tal que as novas variáveis de estado 𝑧 = 𝜙(𝑥) e a nova entrada 𝑣 satisfazem a relação

linear invariante no tempo (Slotine & Li, 1991):

𝑧 = 𝐴𝑧 + 𝑏𝑣 (5.19)

sendo:

𝐴 =

0 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 10 0 0 ⋯ 0

, 𝑏 =

00⋮01

(5.20)

A nova variável de estado 𝑧 é designada por estado linearizado, e a lei de

controle 𝑢 (Eq. 5.16) é chamada lei de controle linearizante. A “nova entrada” 𝑣 pode

ser representada da seguinte forma (Henson & Seborg, 1997):

𝑣 = −𝛼𝑛𝐿𝑓𝑛−1𝑧1 −⋯+ 𝛼1 𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1 + 𝛼0 [𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1]𝑑𝜏

𝑡

0

(5.21)

Resultando numa lei de controle:

𝑢 =−𝐿𝑓

𝑛 𝑧1 − 𝛼𝑛𝐿𝑓𝑛−1𝑧1 −⋯+ 𝛼1 𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1 + 𝛼0 [𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1]𝑑𝜏

𝑡

0


(5.22)

onde os 𝛼𝑛 são os parâmetros de sintonia do controlador, sendo 𝛼0 o parâmetro

associado com o termo integral. A lei de controle integral (5.22) produz a seguinte

equação característica:

𝑠𝑛+1 + 𝛼𝑛𝑠𝑛 + ⋯+ 𝛼1𝑠 + 𝛼0 = 0

(5.23)

Os parâmetros 𝛼𝑛 são escolhidos tal que ao pôr as raízes da equação

característica, Equação (5.23), no semi-plano esquerdo aberto, a trajetória do erro decai

exponencialmente a zero.

A lei de controle integral resultante gera a seguinte função de transferência em

malha fechada, para mudanças no setpoint (Henson & Seborg, 1997):

𝑦(𝑠)

𝑦𝑠𝑝(𝑠)=

𝛼0

𝑠𝑛+1 + 𝛼𝑛𝑠𝑛 + ⋯+ 𝛼1𝑠 + 𝛼0 (5.24)

67

O controlador da Equação (5.22) envolve 𝑛 + 1 parâmetros de sintonia.

Segundo Kravaris & Wright (1989), uma função de transferência em malha fechada

com um único parâmetro de sintonia 휀, da forma (Henson & Seborg, 1990, 1991,

1992b):

𝑦(𝑠)

𝑦𝑠𝑝(𝑠)=

1

(휀𝑠 + 1)𝑛+1 (5.25)

pode ser obtida, pela escolha dos 𝛼𝑛 da seguinte maneira (Henson & Seborg, 1990):

𝛼𝑘 = 𝑟 + 1 𝑟 − 1 𝑟 − 2 … (𝑟 − 𝑘 + 2)

𝑘!휀𝑘−𝑟−1, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 (5.26)

sendo 𝛼0 = 휀−(𝑟+1). Valores pequenos de 휀 fornecem uma vigorosa ação de controle,

enquanto valores grandes podem causar respostas muito lentas.

Nota-se que a forma das matrizes 𝐴 e 𝑏 faz com que o sistema da Equação

(5.20) tenha a forma de um integrador múltiplo. Este fato não introduz qualquer perda

de generalidade, uma vez que todo o sistema linear pode ser escrito na forma

companheira, que por sua vez, por meio da mudança de variável (𝑧 = 𝜙(𝑥)) pode ser

transformado num integrador múltiplo.

Lema. Um sistema não linear, da forma da Equação (5.12), com 𝑓 e 𝑔 sendo campos

vetoriais suaves, é linearizável entrada-estado se, e somente se, existir uma região 𝛺 tal

que satisfaça as seguintes condições (Chen et al., 2004):

O campo de vetor {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔} seja linearmente independente em

𝛺.

O conjunto {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−2𝑔} é involutivo na região 𝛺.

A primeira condição implica em dizer se o sistema é controlável. Para sistemas

lineares, o campo de vetores {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔} torna-se {𝑏,𝐴𝑏,… ,𝐴𝑛−1𝑏} e,

portanto, a independência destes valores equivale a 𝑛, sendo 𝑛 a característica da matriz

de controlabilidade [𝑏,𝐴𝑏,…𝐴𝑛−1𝑏]. Em síntese, para o sistema ser controlável a matriz

de controlabilidade deve ser não-singular.

A segunda condição é a condição de involutividade, sendo essa a menos

intuitiva. Ela é trivialmente satisfeita para sistemas lineares (que têm campos de vetores

constantes), mas não é genericamente satisfeita em caso de sistemas não lineares

(Slotine & Li, 1991).

Prova do Lema (Slotine & Li, 1991). Assumindo que exista uma transformação de

estado 𝑧 = 𝑧(𝑥) e uma transformação da entrada 𝑢 = 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑣, tal que 𝑧 e 𝑣

satisfaçam a Equação (5.19). Expandindo a primeira linha da Equação (5.19), obtém-se:

68

𝑧 1 =𝜕𝑧1

𝜕𝑥 𝑓 + 𝑔 ∙ 𝑢 = 𝑧2 (5.27)

Fazendo o procedimento similar com as outras componentes de 𝑧, leva-se a um

conjunto de equações diferenciais parciais, representadas da seguinte forma:

𝜕𝑧1

𝜕𝑥𝑓 +

𝜕𝑧1

𝜕𝑥𝑔 𝑢 = 𝑧2

𝜕𝑧2

𝜕𝑥𝑓 +

𝜕𝑧2

𝜕𝑥𝑔 𝑢 = 𝑧3

⋮𝜕𝑧𝑛𝜕𝑥

𝑓 +𝜕𝑧𝑛𝜕𝑥

𝑔 𝑢 = 𝑣

(5.28)

Uma vez que 𝑧1,… , 𝑧𝑛 são independentes de 𝑢, enquanto 𝑣 não é, conclui-se a

partir da Equação 5.28 que:

𝐿𝑔𝑧1 = 𝐿𝑔𝑧2 = ⋯ = 𝐿𝑔𝑧𝑛−1 = 0

𝐿𝑔𝑧𝑛 ≠ 0 (5.29)

𝐿𝑓𝑧𝑖 = 𝑧𝑖+1, 𝑖 = 1, 2,… ,𝑛 − 1 (5.30)

As equações 𝑧 citadas acima podem ser comprimidas a um conjunto de

equações de restrição em 𝑧1, ou seja:

∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓

𝑘𝑔 = 0, 𝑘 = 0, 1, 2,… ,𝑛 − 2

∇𝑧1𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 ≠ 0

(5.31)

A primeira propriedade do teorema pode ser inferida a partir da equação 5.31,

pois o campo de vetor {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔} deve ser linearmente independente. De

fato, pois se existisse algum número 𝑖 (𝑖 ≤ 𝑛 − 1), existiria escalares 𝛼1 𝑥 ,… ,𝛼𝑖−1(𝑥)

tal que:

𝑎𝑑𝑓𝑖𝑔 = 𝛼𝑘𝑎𝑑𝑓

𝑘𝑔

𝑖−1

𝑘=0

(5.32)

ou seja,

𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 = 𝛼𝑘𝑎𝑑𝑓

𝑘𝑔

𝑛−2

𝑘=𝑛−𝑖−1

(5.33)

Isso, juntamente com a primeira parte da Equação (5.31), i.e. ∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓𝑘𝑔 = 0,

𝑘 = 0, 1, 2,… ,𝑛 − 2, implicaria que:

69

∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 = 𝛼𝑘 ∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓

𝑘𝑔 = 0

𝑛−2

𝑘=𝑛−𝑖−1

(5.34)

o que contradiz a segunda parte da Equação (5.31), i.e. ∇𝑧1𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 ≠ 0.

A segunda propriedade do Lema, pode ser inferida a partir da Equação (5.31).

Essa propriedade resulta na existência de uma função escalar 𝑧1 para satisfazer as

equações diferenciais parciais na primeira parte da Equação (5.31). Essa propriedade

também pode ser determinada a partir do Teorema de Frobenius. Uma vez que a

condição de involutividade é satisfeita, então a partir do Teorema de Frobenius existe

uma função escalar não-zero 𝑧1(𝑥) que satisfaz a Equação (5.31).

Com base na teoria exposta, Silva (2003) apresenta o seguinte algoritmo para o

método de linearização entrada-estado:

1) Construir os campos vetoriais {𝑔, 𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔};

2) Verificar se as condições de controlabilidade e involutividade são

satisfeitas.

Para o sistema ser controlável os campos vetoriais {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔}

têm que ser linearmente independentes, e para satisfazer a condição de

involutividade o conjunto de vetores {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−2𝑔} tem que ser

involutivo. Caso não sejam satisfeitas as condições o sistema não será

linearizável entrada-estado. Caso contrário, passar para o seguinte passo.

3) Calcular a primeira componente do novo vetor de estado, 𝑧1, a partir de:

∇𝑧1𝑎𝑑𝑓

𝑖𝑔 = 0, 𝑖 = 0, 1,… ,𝑛 − 2

∇𝑧1𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 = 0

(5.35)

4) Calcular o novo estado

𝑧 𝑥 = 𝑧1 𝐿𝑓𝑧1 … 𝐿𝑓𝑛−1𝑧1

𝑇 (5.36)

5) Calcular a “nova entrada” 𝑣

𝑣 = −𝛼𝑛𝐿𝑓𝑛−1𝑧1 −⋯+ 𝛼1 𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1 + 𝛼0 [𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1]𝑑𝜏

𝑡

0

(5.37)

6) Calcular a lei de controle

𝑢 = 𝛼 𝑥 + 𝛽(𝑥) (5.38)

Com 𝛼(𝑥) e 𝛽(𝑥) dados por

𝛼 𝑥 = −𝐿𝑓𝑛 𝑧1


(5.39)

𝛽 𝑥 =1


(5.40)

70

5.4. Controle por Linearização Entrada-Saída

(IOLC)

Para o desenvolvimento da técnica de controle por linearização entrada-saída, é

necessário ter conhecimento sobre o grau relativo do sistema. O grau relativo ou ordem

relativa é uma propriedade importante dos sistemas não-lineares. Para um sistema

linear, representado por uma função de transferência, o grau relativo é a diferença entre

as ordens dos polinômios do denominador e do numerador. Em síntese, para um sistema

não-linear, o grau relativo (𝑟) representa o número de vezes que a saída 𝑦 pode ser

diferenciada com respeito ao tempo, tal que a entrada 𝑢 apareça de forma explícita.

Considere o seguinte sistema companheira:

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑢𝑦 = 𝑕(𝑥)

(5.41)

Derivando a saída e usando a definição de derivada de Lie, tem-se:

𝑦 =𝜕𝑕(𝑥)

𝜕𝑥𝑥 =

𝜕𝑕 𝑥

𝜕𝑥(𝑓 + 𝑔 ∙ 𝑢) (5.42)

𝑦 =𝜕𝑕(𝑥)

𝜕𝑥𝑓 +

𝜕𝑕(𝑥)

𝜕𝑥𝑔 ∙ 𝑢 (5.43)

𝑦 = 𝐿𝑓𝑕 𝑥 + 𝐿𝑔𝑕(𝑥) ∙ 𝑢 (5.44)

O sistema da Equação (5.41) terá grau relativo 𝑟 no ponto 𝑥0, ao redor do qual

a linearização local é feita, se:

𝐿𝑔𝐿𝑓

𝑖 𝑕 𝑥 = 0, 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 2

𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1𝑕(𝑥) ≠ 0

(5.45)

O grau relativo do sistema deverá ser menor ou igual à ordem do próprio

sistema, ou seja:

𝑟 ≤ 𝑛 (5.46)

Em efeito 𝑟 não pode ser superior a 𝑛, porque se fosse possível derivar um

número de vezes superior a 𝑛, o sistema não seria de ordem 𝑛, mas de ordem superior a

𝑛. Portanto, se após derivar a saída do sistema 𝑛 vezes e, mesmo assim, não houver uma

relação explícita entre a entrada e a saída o sistema não será controlável (Silva, 2003).

71

Na teoria de controle não linear, o problema de linearização local entrada-saída

consiste em encontrar uma lei de controle por realimentação de estados não-linear

estática, da forma:

𝑢 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑣 (5.47)

onde 𝑎(𝑥) e 𝑏(𝑥) representam funções algébricas das variáveis de estado e 𝑣 a entrada

de referência externa denominada de “nova entrada”. Substituindo a Equação (5.47) na

Equação (5.41), o sistema em malha fechada é dada por:

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑎 𝑥 𝑔 𝑥 + [𝑏 𝑥 𝑔(𝑥)]𝑣𝑦 = 𝑕(𝑥)

(5.48)

Resultando em um sistema exatamente linear. Isto implica que o mapeamento

entre a “nova entrada” 𝑣 e a saída 𝑦 é linear para todos os valores dos estados 𝑥 na

vizinhança do ponto de análise 𝑥0. O problema é local no sentido que a solução pode só

existir na vizinhança 𝑥0 (Isidori, 1995). Se o sistema da Equação (5.41) possui um grau

relativo bem definido, então as primeiras derivadas de 𝑦 podem ser representadas como:

𝑦𝑖 = 𝐿𝑓𝑖 𝑕 𝑥 ; 𝑖 = 0, 1,… , 𝑟 − 1

(5.49)

𝑦𝑟 = 𝐿𝑓𝑟𝑕 𝑥 + 𝐿𝑔𝐿𝑓

𝑟−1𝑕 𝑥

(5.50)

Agora, se o sistema em malha fechada satisfaz a propriedade:

𝑦𝑟 𝑡 = 𝑣(𝑡) (5.51)

a lei de controle IOLC pode ser formulada como segue (Henson & Seborg, 1991;

Henson, 1992):

𝑢 𝑡 =−𝐿𝑓

𝑟𝑕(𝑥)

𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1𝑕(𝑥)

+1

𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1𝑕 𝑥

𝑣(𝑡) (5.52)

Devido à estrutura especial da Equação (5.51), onde a “nova entrada” governa

diretamente o sinal de saída, o projeto do controlador para vários objetivos é um tanto

simples. Como exemplo, considere o problema da trajetória assintótica, que é projetar

uma lei de controle tal que a saída 𝑦(𝑡) siga assintoticamente uma trajetória desejada,

𝑦𝑠𝑝(𝑡). Obviamente, isto pode ser obtido fazendo com que o erro, 𝑒 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝(𝑡),

satisfaça a seguinte equação diferencial (Isidori, 1995; Henson & Seborg, 1991):

𝑒𝑟 𝑡 + 𝛼𝑟𝑒 𝑟−1 𝑡 + ⋯+ 𝛼2𝑒 𝑡 + 𝛼1𝑒 𝑡 = 0

(5.53)

onde 𝛼1,… ,𝛼𝑟 são tais que:

72

𝑠𝑟 + 𝛼𝑟𝑠𝑟−1 + ⋯+ 𝛼2𝑠 + 𝛼1

(5.54)

seja um polinômio de Hurwitz (Lin,1994; Henson & Seborg, 1997), visto que as 𝑟

primeiras derivadas são disponíveis, então:

𝑒 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝(𝑡)

𝑒 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦 𝑠𝑝(𝑡)

⋮𝑒𝑟 𝑡 = 𝑦𝑟 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝

𝑟 𝑡 = 𝑣 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝𝑟(𝑡)

(5.55)

Inserindo as Equações (5.55) na Equação (5.53) e rearranjando, a “nova

entrada” pode ser escolhida como (Lin, 1994):

𝑣 𝑡 = 𝑦𝑠𝑝𝑟 + 𝛼𝑖[𝑦𝑠𝑝

𝑖−1 − 𝐿𝑓𝑖−1𝑕(𝑥)]

𝑟

𝑖=1

(5.56)

onde 𝛼𝑖 são os parâmetros de sintonia do controlador. Estes parâmetros são escolhidos

de modo que as raízes da sua equação característica, Equação (5.54) tenham sua parte

real estritamente negativa, ou seja, estiverem no semi-plano esquerdo aberto, fazendo

que a trajetória do erro decaia exponencialmente a zero.

Na teoria, as raízes podem ser designadas arbitrariamente. Não obstante,

devido a erros de modelagem e restrições na entrada manipulada, os 𝛼𝑖 podem ser

escolhidos para prover um compromisso entre desempenho e robustez. Se os parâmetros

do controlador são selecionados apropriadamente e o modelo é perfeito, a lei de

controle nas Equações (5.52) e (5.56) asseguram uma estabilidade entrada-saída

(Henson & Seborg, 1991).

A “nova entrada”, proposta por Henson & Seborg (1991), contém um termo

integral que penaliza o erro, com o objetivo de manter a saída no setpoint, apesar dos

distúrbios não medidos e imperfeições no modelo do processo. Esta “nova entrada” é

feita para processos com grau relativo 𝑟 e tem a seguinte forma (Henson & Seborg,

1990, 1991, 1992b):

𝑣 = − 𝛼𝑖[𝐿𝑓𝑖−1𝑕(𝑥)]

𝑟

𝑖=1

+ 𝛼0 𝑦𝑠𝑝 − 𝑦 𝑑𝑡𝑡

0

(5.57)

Assim, um controlador linearizado entrada-saída modificado pode ser obtido

usando as Equações (5.52) e (5.57). A lei de controle integral resultante gera a seguinte

função de transferência em malha fechada (Henson & Seborg, 1990):

𝑦(𝑠)

𝑦𝑠𝑝(𝑠)=

𝛼0

𝑠𝑟+1 + 𝛼𝑟𝑠𝑟 + ⋯+ 𝛼1𝑠 + 𝛼0 (5.58)

73

O controlador IOLC envolve (𝑟 + 1) parâmetros de sintonia. De forma similar

ao caso do controlador ISLC, uma função de transferência em malha fechada com um

único parâmetro de sintonia 휀, da forma:

𝑦(𝑠)

𝑦𝑠𝑝(𝑠)=

1

(휀𝑠 + 1)𝑟+1 (5.59)

pode ser obtida, através da escolha dos 𝛼𝑖 do seguinte modo:

𝛼𝑖 = 𝑟 + 1 𝑟 − 1 𝑟 − 2 … (𝑟 − 𝑖 − 2)

𝑖!휀𝑖−𝑟−1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 (5.60)

onde 𝛼0 = 휀−(𝑟+1).

Nota-se que na linearização entrada-saída de um sistema com grau relativo

𝑟 = 𝑛 também é conduzido a um integrador múltiplo de ordem 𝑛. Isto significa que se

um sistema for linearizável entrada-estado e a sua saída for a 1ª componente do vetor de

estado, 𝑦 = 𝑧1, então o sistema é linearizável entrada-saída, com grau relativo 𝑟 = 𝑛

(Silva, 2003).

5.5. Impossibilidade Teórica do Projeto de um

Controlador ISLC para a Coluna de

Perfuração

Considere o sistema torcional de 2-DOF, descrito no capítulo 2, e que

novamente é mostrado aqui pela seguinte equação:

𝑥 1 = 𝑥2

𝑥 2 = 1


𝑥 3 = 𝑥4

𝑥 4 = 1


(5.61)

Reescrevendo a Equação (5.61), na forma companheira da Equação (5.12),

tem-se:

𝑥 =

𝑥2

1

𝐽𝑟 – 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4

𝑥4

1

𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4 − 𝑇𝑓𝑏 𝐱

+

0

1/𝐽𝑟

0

0

𝑢 (5.62)

onde 𝑢 = 𝑇𝑚 , com os campos vetoriais:

74

𝑓 𝑥 =

𝑓1

𝑓2

𝑓3

𝑓4

=

𝑥2

1

𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4

𝑥4

1


(5.63)

𝑔 𝑥 =

01/𝐽𝑟

00

(5.64)

Como pode ser visto a ordem deste sistema é 𝑛 = 4. O algoritmo do método de

linearização entrada-estado (Silva, 2003), descrito na seção 5.3, propõe definir

primeiramente o campo de vetores 𝐶𝑉 = {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔, 𝑎𝑑𝑓

3𝑔}. O vetor 𝑔 é

representado na Equação (5.64), e os demais componentes, na sequência, podem ser

representados como:

𝑎𝑑𝑓𝑔 =𝜕𝑔 𝑥


𝜕𝑓 𝑥

𝜕𝑥𝑔 𝑥

(5.65)

𝜕𝑓 𝑥

𝜕𝑥=

0 1 0 0−𝑘𝑡𝐽𝑟

−𝐴𝑘𝑡𝐽𝑟

𝑐𝑡𝐽𝑟

0 0 0 1𝑘𝑡𝐽𝑏

𝑐𝑡𝐽𝑏

−𝑘𝑡𝐽𝑏

−𝐵 − 𝐶

(5.66)

𝜕𝑔 𝑥

𝜕𝑥=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(5.67)

𝒂𝒅𝒇𝒈 =

−1 𝐽𝑟

𝐴 𝐽𝑟 0

−𝑐𝑡 𝐽𝑟

(5.68)

𝑎𝑑𝑓2𝑔 =

𝜕𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥


𝜕𝑓 𝑥

𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥

(5.69)


𝜕𝑥=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(5.70)

75

𝒂𝒅𝒇𝟐𝒈 =

−𝐴

𝐽𝑟𝐴2𝐽𝑏𝐽𝑟 − 𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡

2

𝐽𝑏𝐽𝑟2

𝑐𝑡𝐽𝑏𝐽𝑟

𝑘𝑡 − 𝑐𝑡𝐴 − [𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶)]

𝐽𝑏𝐽𝑟

(5.71)

𝑎𝑑𝑓3𝑔 =

𝜕𝑎𝑑𝑓2𝑔 𝑥


𝜕𝑓 𝑥

𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓

2𝑔 𝑥 (5.72)


𝜕𝑥=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0𝑐𝑡(𝐷 + 𝐸)

𝐽𝑏𝐽𝑟

(5.73)

𝒂𝒅𝒇𝟑𝒈 =

𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡

2 − 𝐽𝑏𝑘𝑡

𝐽𝑏𝐽𝑟2

𝐹

𝐽𝑏𝐽𝑟2

−(𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶))

𝐽𝑏𝐽𝑟𝐺

𝐽𝑏2𝐽𝑟

2

(5.74)

sendo:

𝐴 = 𝑐𝑟 + 𝑐𝑡

𝐽𝑟

(5.75)

𝐵 = 𝑐𝑏 + 𝑐𝑡

𝐽𝑏

(5.76)

𝐶 = 𝛾𝑏𝑠𝑔𝑛(𝑥4) 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏 (µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏)

𝐽𝑏𝑣𝑓𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4

(5.77)

𝐷 = 𝛾𝑏

2𝑠𝑔𝑛(𝑥4)2 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏 (µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏)

𝐽𝑏𝑣𝑓2𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4

(5.78)

𝐸 = −2𝛾𝑏𝛿(𝑥4) 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏 (µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏)

𝐽𝑏𝑣𝑓𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4

(5.79)

𝐹 = 𝐴𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡𝑘𝑡 − 𝐴 𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡

2 − 𝐽𝑏𝐾𝑡 − 𝑐𝑡(𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶)) (5.80)

76

𝐺 = − 𝐵 + 𝐶 𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡 𝐵 + 𝐶 + 𝐴𝑘𝑡 + 𝑐𝑡𝑓4(𝐷 + 𝐸) (𝐽𝑏𝐽𝑟) +

𝑐𝑡𝑘𝑡𝐽𝑟 − 𝑐𝑡 𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡


(5.81)

O segundo passo do algoritmo consiste em verificar as condições de

controlabilidade e involutividade. De acordo com o Lema da seção 5.3, o sistema é dito

controlável quando os campos de vetoriais 𝐶𝑉 = {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔,𝑎𝑑𝑓

3𝑔} são

linearmente independentes, onde 𝐶𝑉 é definido como:

𝐶𝑉 =

0 −

1

𝐽𝑟

−𝐴

𝐽𝑟

𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡


𝐽𝑏𝐽𝑟2

1

𝐽𝑟

𝐴

𝐽𝑟

𝐴2𝐽𝑏𝐽𝑟 − 𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡2

𝐽𝑏𝐽𝑟2

𝐹

𝐽𝑏𝐽𝑟2

0 0𝑐𝑡𝐽𝑏𝐽𝑟

−(𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶))

𝐽𝑏𝐽𝑟

0 −𝑐𝑡𝐽𝑟


𝐽𝑏𝐽𝑟

𝐺

𝐽𝑏2𝐽𝑟

2

(5.82)

Observa-se que a matriz 𝐶𝑉 é uma matriz quadrada 𝑛x𝑛. Os campos vetoriais

𝐶𝑉 são linearmente independente se o posto (𝑝) da matriz 𝐶𝑉 for igual ao número de

linhas ou colunas dessa matriz. Uma forma de identificar o posto da matriz é obtendo

sua forma escalonada3 através da eliminação de Gauss.

A matriz escalonada da matriz 𝐶𝑉 é:

𝑈 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(5.83)

Como a matriz 𝑈 não apresenta nenhuma linha nula, então a matriz 𝐶𝑉 é dita

de posto cheio (𝑝 = 4). Isto significa que os campos vetoriais são linearmente

independentes e, portanto, o sistema é controlável.

Por outro lado, o conjunto de vetores {𝑔, 𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−2𝑔} é involutivo se

após aplicar o parênteses de Lie entre eles, o resultado possa ser expresso por uma

combinação linear dos vetores originais. Por exemplo, considere o parêntese de Lie dos

vetores 𝑣1 e 𝑣2, então:

𝑣1 , 𝑣2 =𝜕𝑣2

𝜕𝑥𝑣1 𝑥 −

𝜕𝑣1 𝑥

𝜕𝑥𝑣2 𝑥 = 𝑐1𝑣1(𝑥) + 𝑐2𝑣2(𝑥)

(5.84)

3 No Matlab™, o comando “rref” fornece a matriz escalonada de uma matriz. Já, pelo comando “rank” é

possível obter diretamente o posto de uma matriz.

77

No presente caso, sejam 𝐿1 e 𝐿2 os parênteses de Lie dos vetores 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔 e

𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔, respectivamente. Assim:

𝐿1 = 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔 =𝜕𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥

𝜕𝑥𝑔 𝑥 −

𝜕𝑔 𝑥

𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥 =

0000

(5.85)

𝐿2 = 𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔 =


𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥 −


𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓

2𝑔 𝑥 =

000𝐻

(5.86)

onde:

𝐻 = 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏𝛾𝑏𝑐𝑡

2 µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏 (2𝑣𝑓𝛿 𝑥4 − 𝛾𝑏𝑠𝑔𝑛(𝑥4)2)

𝐽𝑏3𝐽𝑟

2𝑣𝑓2𝑒𝑥𝑝(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4

(5.87)

Os vetores 𝐿1 e 𝐿2 precisam ser formados por uma combinação linear de

𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔 e 𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔, respectivamente. Uma forma de descobrir isso é formar uma

matriz com os vetores envolvidos e encontrar seu posto. Considere as matrizes 𝑀1 e 𝑀2,

sendo 𝑀1 composta pelos vetores 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝐿1, e 𝑀2 composta pelos vetores

𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔, 𝐿2:

𝑀1 =

01/𝐽𝑟

00

−1 𝐽𝑟

𝐴 𝐽𝑟 0

−𝑐𝑡 𝐽𝑟

0000

(5.88)

𝑀2 =

−

1

𝐽𝑟

−𝐴

𝐽𝑟0

𝐴

𝐽𝑟

𝐴2𝐽𝑏𝐽𝑟 − 𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡2

𝐽𝑏𝐽𝑟2

0

0𝑐𝑡𝐽𝑏𝐽𝑟

0

−𝑐𝑡𝐽𝑟


𝐽𝑏𝐽𝑟𝐻

(5.89)

Sabendo que os campos 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔 são linearmente independentes e que o

posto das matrizes 𝑀1 e 𝑀2 são 2 e 3, respectivamente, pode-se dizer que 𝐿1 é uma

combinação linear de 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, e que 𝐿2 não é uma combinação linear de 𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔.

Em conclusão, o sistema não é involutivo e, portanto, não pode ser linearizável entrada-

estado.

78

5.6. Projeto de um Controlador IOLC para a

Coluna de Perfuração

Considerando o sistema 2-DOF, na forma companheira da Equação (5.41),

tem-se que:

𝑓 𝑥 =

𝑓1

𝑓2

𝑓3

𝑓4

=

𝑥2

1


𝑥4

1


(5.90)

𝑔 𝑥 =

01/𝐽𝑟

00

(5.91)

𝑦 = 𝑕 𝑥 = 𝑥2 (5.92)

com 𝑢 = 𝑇𝑚 . Derivando a saída com respeito ao tempo e levando em conta o conceito

de derivada de Lie, resulta em:

𝑦 =𝜕𝑕(𝑥)

𝜕𝑥𝑥 =

𝜕𝑕 𝑥

𝜕𝑥 𝑓 + 𝑔 ∙ 𝑢 = 𝐿𝑓𝑕 𝑥 + 𝐿𝑔𝑕(𝑥) ∙ 𝑢

(5.93)

onde:

𝐿𝑓𝑕 𝑥 =1


(5.94)

𝐿𝑔𝑕 𝑥 = 1/𝐽𝑟 (5.95)

Portanto:

𝑦 =1

𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4 +

1

𝐽𝑟𝑢

(5.96)

Da Equação (5.96), como a entrada 𝑢 aparece de forma explícita logo na

primeira derivada da saída 𝑦, então o sistema tem grau relativo 𝑟 = 1.

Da Equação (5.52), a lei de controle do IOLC pode ser definida como:

𝑢 𝑡 =−

1𝐽𝑟

− 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4

1/𝐽𝑟+

1

1/𝐽𝑟𝑣(𝑡)

(5.97)

com a “nova entrada” 𝑣(𝑡) sendo da forma:

79

𝑣 = − 𝛼1𝑦 + 𝛼0 𝑦𝑠𝑝 − 𝑦 𝑑𝑡𝑡

0

(5.98)

onde 𝑦𝑠𝑝 a velocidade angular desejada do sistema de rotação, i.e 𝜔𝑑 = 12 rad/s.

Os parâmetros de sintonia do controlador são determinados a partir da Equação

(5.60), resultando em 𝛼0 = 휀−2 e 𝛼1 = 2휀−1. Usando a Equação (5.59), obtêm-se a

seguinte função de transferência em malha fechada:

𝑦(𝑠)

𝑦𝑠𝑝(𝑠)=

1

(휀𝑠 + 1)2

(5.99)

com o parâmetro 휀 = 8, o qual foi selecionado para prover um compromisso entre

desempenho e robustez.

Finalmente, a lei de controle IOLC resultante é da forma:

𝑢 𝑡 =−

1𝐽𝑟

− 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4

1/𝐽𝑟

+ − 2휀−1𝑥2 + 휀−2 𝜔𝑑 − 𝑥2 𝑑𝑡

𝑡

0

1/𝐽𝑟

(5.100)

A aplicação do controle IOLC, da Equação (5.100), pré-supõe que os estados

do sistema (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) estão disponíveis para realimentação.

5.7. Simulação do Controlador IOLC nos

Sistemas 2-DOF e 4-DOF

O controlador IOLC desenvolvido na seção anterior é aplicado na coluna de

perfuração de 2-DOF. Para avaliação de desempenho da estratégia de controle proposta

são considerados os casos de estabilização do sistema, seguimento do setpoint e rejeição

a perturbações, conforme detalhados nos capítulos anteriores. As simulações são

realizadas na plataforma Simulink/MATLAB™.

A Figura 5.1 mostra a resposta da estabilização do sistema depois da ativação

do controle. Como pode ser observada, a velocidade da broca (𝑥4) segue a velocidade

do sistema de rotação (𝑥2), e ambas apresentam um pico considerável antes de retornar

ao setpoint e nele permanecer. O perfil da variável manipulada (𝑇𝑚 ) mostra um pico de

grande magnitude e bem pronunciado, antes de alcançar o ponto de estabilização.

80

Figura 5.1 - Resposta do Sistema 2-DOF com o Controlador IOLC com 𝜺 = 𝟖: (I)


A Figura 5.2 apresenta a resposta do sistema a mudanças no setpoint. Como

pode ser visualizada, a velocidade da broca segue a velocidade do sistema de rotação, e

ambas acompanham muito bem as alterações do ponto de operação, de forma rápida e

sem sobrepassagens. As variações no torque do motor são suaves e bem comportadas.


IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

81



Na Figura 5.3 mostra-se a resposta da coluna de perfuração a perturbações no

peso na broca, cujos efeitos são rapidamente bem compensados pelo sistema de

controle. Embora não seja percebido na figura, a variável principal de controle, i.e. a

velocidade do sistema de rotação, permanece inalterável aos efeitos das perturbações.

Já, a variável indireta de controle, i.e. a velocidade da broca, sofre alterações muito

pequenas depois da ocorrência da perturbação, sendo reconduzida rapidamente ao ponto

de operação. A figura também apresenta o perfil rígido da variável manipulada

produzida pelo controlador.

5.8. Simulação do Controlador IOLC no Sistema

de 4-DOF

Nesta seção, o controlador IOLC é aplicado no sistema de 4-DOF. Os

parâmetros de sintonia deste controlador são os mesmos usados para o sistema de 2-

DOF, porém com os valores das variáveis correspondentes ao sistema de 4-DOF. Como

nos casos do controle PI e controle SMC, o objetivo aqui é introduzir incertezas no

desenvolvimento do controlador.

A Figura 5.4 mostra a aplicação do, para estabilização do sistema de 4-DOF.

Como pode ser visualizado nessa figura, a velocidade do sistema de rotação apresenta

um pico de magnitude considerável depois da ativação do controle, para logo retornar

ao ponto de operação desejado. Já, em comparação com o sistema de 2-DOF, a

velocidade da broca torna-se altamente oscilatória, estabilizando posteriormente. A

82

variável manipulada segue o mesmo perfil oscilatório da variável secundária de

controle.

A Figura 5.5 ilustra o desempenho do controle do sistema de 4-DOF sujeito a

variações no setpoint. As respostas para este caso são praticamente similares ao controle

do sistema de 2-DOF. No entanto a variável manipulada apresenta leves oscilações,

sendo estas mais acentuadas na mudança negativa da variação do setpoint. As pequenas

oscilações na variável controlada secundária, que aparecem antes da primeira variação

positiva do setpoint, provêm do caso da estabilização do sistema, mostrada na Figura

5.4.

Finalmente, a Figura 5.6 mostra do controle do sistema de 4-DOF à

perturbações no peso da broca. Em comparação com o controle do sistema de 2-DOF, a

variável secundária de controle apresenta fortes oscilações depois da introdução das

perturbações, as quais são logo corrigidas pelo sistema de controle. Por outro lado, a

variável principal de controle não é afetada pelas perturbações. A variável manipulada

segue o mesmo perfil oscilatório da variável secundária de controle.

Figura 5.4 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis


83


IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada



Os resultados das simulações apresentados no presente capítulo conduzem as

seguintes conclusões:

84

Em geral, o controlador IOLC consegue eliminar as oscilações stick-slip,

fazer o seguimento do setpoint e rejeitar perturbações presentes na operação

de colunas de perfuração.

O controlador IOLC desenvolvido para o sistema de perfuração de 2-DOF

não apresenta o mesmo desempenho quando aplicado a sistemas de ordem

superior. No sistema de 4-DOF, a aplicação do controle apresentou

respostas semelhantes em relação ao sistema de 2-DOF, no caso de

variações no setpoint.

No controle IOLC do sistema de 2-DOF, para o caso de rejeição de

perturbações, a variável secundária de controle não acompanha bem a

variável principal de controle. Esta resposta é mais notória no controle do

sistema de 4-DOF, nos casos de estabilização do sistema e rejeição de

perturbações.

85

Capítulo 6

Conclusões e Recomendações de

Trabalhos Futuros

O objetivo do presente trabalho foi estudar as oscilações stick-slip, presentes

em colunas de perfuração e projetar sistemas de controle visando estabilizar e controlar

a operação do sistema.

Os modelos torcionais de 2-DOF, 3-DOF e 4-DOF de colunas de perfuração

que foram apresentados conseguem reproduzir o fenômeno oscilatório de forma similar

a um sistema real, sendo, portanto, adequados para o desenvolvimento do trabalho.

Quanto maior o grau de liberdade do modelo, maior o desacoplamento entre as

diferentes partes da coluna, permitindo uma diferenciação entre os deslocamentos e

velocidades de cada uma dessas partes.

Três sistemas de controle foram projetados: PI (e uma variante PI-P), SMC e

IOLC. O objetivo era controlar principalmente a velocidade do sistema de rotação,

mediante a manipulação do torque do motor, para assim controlar inferencialmente a

velocidade da broca, que é parte da coluna que manifesta a presença das oscilações

stick-slip. Inicialmente os controladores foram desenvolvidos baseados no sistema de 2-

DOF, e ajustados para controlar este sistema. Posteriormente, os controladores com os

mesmos parâmetros de sintonia, porém considerando os valores das variáveis do

sistema de 4-DOF, foram aplicados no sistema de 4-DOF. Isto foi realizado para

introduzir erros no desenvolvimento dos controladores quando aplicados a sistemas de

ordem superior. É necessário enfatizar que a aplicação dos controladores SMC e IOLC

pré-pressupôs que os estados do sistema a ser controlado estavam disponíveis para

realimentação.

A comparação de desempenho dos controladores, quando aplicados aos

sistemas de 2-DOF e 4-DOF, foi qualitativa e não quantitativa. No caso de estabilização

do sistema, depois da ativação do controle, o SMC e o PI apresentaram melhor

desempenho quando aplicados aos sistemas de 2-DOF e 4-DOF, respectivamente. No

caso de variações do setpoint, o IOLC mostrou melhor desempenho quando aplicado

tanto no sistema de 2-DOF como no de 4-DOF. Já, no caso de rejeição de perturbações,

o IOLC e o PI apresentaram melhor controle quando aplicados nos sistemas de 2-DOF e

4-DOF, respectivamente. Fazendo um balanço geral, o IOLC apresentou melhor

86

desempenho quando aplicado no sistema de 2-DOF, sendo o PI o controlador com

melhor desempenho quando aplicado no sistema de 4-DOF, o que deixa claro a

dependência da qualidade do modelo do controlador IOLC.

Como forma de complementar o presente trabalho, e dar continuidade ao

mesmo, são sugeridos os seguintes trabalhos futuros:

Estudo e implementação de outros modelos de colunas de perfuração, tais

como modelos de elementos finitos; modelos que levem em consideração a

modelagem de outras partes da coluna, como drill collars; e modelos que

reproduzam a interação entre diferentes tipos de vibrações, como torcionais

e axiais.

Análise de estabilidade da coluna de perfuração e mapeamento das

condições que conduzem ao estado oscilatório do sistema.

Desenvolvimento de observadores de estados para os controladores por

realimentação de estados SMC e IOLC.

Estudo e implementação de outras técnicas de controle para vibrações em

colunas de perfuração, tais como o controle preditivo e o controle robusto.

87

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