Controle Digital Total

7/26/2019 Controle Digital Total

1/54

MTODOS CONVENCIONAIS DE SINTONIA DE

CONTROLADOR PID: ASPECTOS TERICOS E PRTICOS

Departamento de Engenharia Eltrica

Prof Dr. Otaclio da Mota AlmeidaAluna: Rosana Guimares Almeida

Email:[email protected]

1. INTRODUO TERICA

1.1 CONTROLADOR PID

A variao do ganho de projeto uma das formas de modificar suas caractersticas de modo que asespecificaes do mesmo sejam atendidas. Entretanto, se esse recurso no suficiente e no possvel

alterar parmetros do sistema controlado, ou seja, modificar a sua funo de transferncia, ento a soluo adicionar um compensador ou controlador ao sistema. A introduo de um controlador em umdeterminado sistema visa a modificao de sua dinmica, manipulando a relao entrada/sada atravs daatuao sobre um ou mais dos seus parmetros, com o objetivo de satisfazer certas especificaes comrelao a sua resposta. Os parmetros do sistema que sofrem uma ao direta do controlador sodenominados de variveis manipuladas. Por outro lado, os parmetros no qual se deseja obter as mudanasque satisfaam as dadas especificaes denominam-se variveis controladas.

O tipo de controlador mais usado o controlador eletrnico, pois tratam-se de circuitos simples, formadosbasicamente por amplificadores operacionais, sendo assim de fcil implementao prtica e baixos custos.

Os controladores do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, denominados de PID, so largamenteutilizados no cenrio industrial. A tarefa de um controlador, considerando um sistema inicialmente emmalha fechado, como o descrito na Figura 1, de, baseada na diferena entre o sinal de erro e(t) , resultadoda diferena entre os sinais de entrada e sada r(t) e y(t), respectivamente, gerar em sua sada um sinal de

controle u(t), que seja capaz de corrigir e se possvel anular tal diferena.

Figura1: Estrutura de um controlador PID

O funcionamento de um controlador PID fundamentado em trs tipos de aes, cuja ao pode ser vistana Figura 2 e encontra-se analisada de forma mais detalhada a seguir.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/54

Figura 2: Controlador PID

Ao Proporcional

representada pelo bloco superior da Figura 2, constitudo de uma constate K. Normalmente observa-

se uma melhora nas caractersticas transitrias e estticas de sistemas quando o ganho de malha eraaumentado. Entretanto, quanto maior o ganho, mais oscilatrio tende a ficar o comportamento transitriodo sistema em malha fechada.

Para essa ao, a relao matemtica entre o sinal de erro e de controle dada pela Equao 1.

Eq. 1

Ao Integral

Encontra-se representada pelo segundo bloco da Figura 2 e dada pela equao 2 abaixo. Essa ao foiintroduzida visando introduzir uma memria ou armazenamento de energia no sistema, permitindo que,mesmo com um sinal de erro zero na entrada do controlador, seja gerado um sinal de controle diferente de

zero. Sintetizando, aps algum tempo, o erro em regime permanente tende a zero.

Eq. 2

A constante de proporcionalidade Ki, pode ser expressa com 1/Ti, onde e chamado de tempo integral oureset-time. Assim o sinal o sinal de controle. A funo de transferncia da ao integral e dada por:

Eq.3 Ao Derivativa

Representada pelo bloco inferior na Figura 2, e dada pela Equao 4, esta foi introduzida visandoadicionar um carter antecipativo ou preditivo ao sistema. Com isto, o sistema responde de forma maisrpida s excitaes deentrada e assim possvel reduzir bastante o erro do sistema em regime transitrio.

Eq. 4


3/54

Finalmente, a lei de controle descrita pelo bloco do controlador PID dada pela soma de cada uma das

aes descritas anteriormente, como pode ser visto nas Equaes 5 e 6.

Eq. 5

Eq. 6

Portanto tm-se a funo de transferncia dada pela Equao 7 e a equao matemtica referente relao entre o sinal de erro e de controle dada pela Equao 8.

Eq. 7

Eq.8

Conforme apresentado anteriormente, o problema de controle consiste em determinar uma forma,normalmente, mediante o projeto de controladores, de afetar um dado sistema fsico de modo a satisfazer

certas especificaes de desempenho.Devido no utilizao de uma ou mais aes de controle bsicas pode-se ter as seguintes

derivaes do controlador PID: Controlador Proporcional; Controlador Proporcional e Integral eControlador Proporcional e Derivativo. O controle proporcional possui a capacidade de acelerar a respostado processo controlado, produzindo off-set. Por outro lado, o Controle Integral elimina o off-set, porm

produz respostas lentas, com longas oscilaes. Por fim o Controle Derivativo antecipa futuros erros eintroduz a ao apropriada, introduzindo um efeito estabilizante na resposta da malha de controle.

As Equaes 9 e 10 mostram, respectivamente, a funo de transferncia de um controlador PI ePD.

Eq. 9

Eq. 10

Por sua vez, o controlador PID dado por um controlador PI em srie com um controlador PD,tendo como funo de transferncia a seguinte Equao.

Eq. 11Apesar de todo o avano tecnolgico dos ltimos anos, com o surgimento de solues avanadas,tanto em termos de algoritmos de controle quanto de hardware, os controladores PID, e suas variaes,


4/54

ainda so, com larga vantagem, os mais usados na indstria. Os argumentos, para essa massivapredominncia do PID, vo desde a simplicidade, facilidade de implementao e manuteno. A maioriadesses argumentos se justifica pelo nmero reduzido de parmetros sintonizveis existentes nos PIDs.Embora, algumas verses de PIDs, trazidas em CLPs e instrumentos de redes industriais, apresentem umnmero elevado de parmetros a serem ajustados, a estrutura bsica de um PID contm apenas trs

parmetros: O ganho proporcional, a constante de tempo integrativo (ou o ganho integrativo), e, a constante

de tempo derivativo (ou o ganho derivativo). Por sua vez, os ajuste dos parmetros de um controlador chamado de sintonia (tuning).Quando se tem um modelo matemtico, representativo, do sistema, a escolha dos parmetros do controladorrecai no desenvolvimento de um projeto, que pode ser feito com base mo mtodo do lugar geomtrico dasrazes, dentre outros.

Como, nem sempre possvel se obter um modelo, que represente, adequadamente, a dinmicaque se deseja controlar, se fez necessrio o surgimento de tcnicas, que no dependessem de modelo, parasintonia do controlador como o caso do Mtodo de Ziegler- Nichols.

1.2 ESTRUTURA BSICA DE UM CONTROLADOR PID

A estrutura do controlador PID pode assumir diversas configuraes, destacando-se a estruturaparalela, Figura 3, e a estrutura serial, Figura 4. (Tan et al, 2001).

Figura 3Estrutura paralela do controlador PID.

Figura 4Estrutura serial do controlador PID.

Conforme pode ser observado nas figuras, as equaes que descrevem tais controladores PID so

dadas pelas Equaes 12 e 13.


5/54

Estrutura Paralela:

Eq.12 Estrutura Serial:

Eq. 13

Onde Kcp, Tip e Tdp so o ganho proporcional, o tempo integral e o tempo derivativo docontrolador PID sob estrutura paralela, respectivamente; e Kcs, Tis e Tds so o ganho proporcional, o tempointegral e o tempo derivativo do controlador PID sob estrutura serial.

Pode-se perceber que na estrutura paralela os termos proporcional, integral e derivativo so

independentes, enquanto que na estrutura serial isto no acontece (Tan et al, 2001).

2.0 MTODO DE IDENTIFICAO EM FREQUNCIA DO PROCESSO

2.1 RESPOSTA AO DEGRAU

Para analisar e projetos um sistema de controle, deve-se incialmente definir e medir seu desempenho.A partir desse ponto pode-se ajustar determinados parmetros do sistema para que o mesmo fornea aresposta desejvel.

A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes: a reposta transitria [yt(t)] ea resposta estacionria [y()] A resposta transitria compreende o estado inicial at o final e definidacomo a parte da resposta que tende a zero quando o tempo tende a infinito. Por outro lado, entende-se comoresposta estacionria, o comportamento do sinal de sada do sistema a medida em que ttende ao infinito deforma que permanece quando a resposta transitria iguala-se a zero, podendo ser constante ou podendo serum sinal que varia no tempo com padro constante, como um sinal senoidal de amplitude, frequncia e faseconstante, ou um sinal tipo rampa com inclinao constante.

Eq. 14Em um sistema com realimentao pode-se ajustar o desempenho da resposta transitria e do regime

permanente facilmente. Para isso utiliza-se primeiramente deve-se analisar o sistema em questo medindo-se o seu desempenho e definindo-se alguns parmetros do sistema de controle de acordo com o desempenhodesejado.

Considerando-se, agora um sistema de segunda ordem, descrito pela Equao 15, possvel observara sua sada quando interconectado com realimentao unitria, obtendo-se a Equao 16 e 17.

Eq. 15

Eq 16


6/54

Para R(s)= 1/s:

Eq. 17

Medidas de desempenho padro so normalmente definidas em funo da resposta ao degrau deum sistema como mostrado na Figura 5.

Figura 5Resposta de sistema de segunda ordem para uma entrada da funo impulso unitrio.

A velocidade da resposta medida pelo tempo de subida e pelo instante de pico Tp.


7/54

Figura 6Resposta ao degrau de um sistema de controle.

Por outro lado, o tempo de acomodao Ts definido como tempo necessrio para o sistemaestabelecer-se dentro de uma dada porcentagem da amplitude de entrada medindo a similaridade com aqual a resposta real se aproxima da entrada degrau juntamente com o parmetro correspondente ultrapassagem percentual, denominada de overshoot.

A equao correspondente ao tempo de assentamento e ao tempo de assentamento,respectivamente, podem ser vistas a seguir pelas Equaes 18 e 19.

Eq. 18

Eq 19

O overshoot, ou seja, ultrapassagem percentual, por sal vez pode ser calculado atravs da Equao 20.

Eq. 20

2.1.1 SIMULAO TERICA

1 Considere o processo representado pela funo de transferncia:

Para trs valores de K=1+2*rand(3,1).a) Determinar a resposta ao degrau do processo em malha aberta e fazer suas observaes a

respeito da estabilidade do sistema em malha aberta.

Atravs da funo k=1+2*rand(3,1), do Matlab, encontrou-se os valores de ganho aleatriosabaixo, que sero utilizados na funo de transferncia um por vez.


8/54

Tabela 1- Valores para o ganho K

Em seguida simulou-se o sistema, para cada valor de ganho K em malha aberta atravs do softwareSimulink /Matlab para uma entrada de degrau e analisou-se a repostas do mesmo. Observe o esquemticoda simulao na Figura 7.

Figura 7

As respostas do sistema para os valores definidos anteriormente de ganhos podem ser observadasabaixo nas Figuras 8, 9 e 10.

Para K1=1.5570:

Figura 8: Resposta do sistema em maha aberta com K1=1,557 para uma entrada em degrau

Para K2=2,0938:

K1 1.5570

K2 2.0938

K3 2.9150


9/54

Figura 9: Resposta do sistema em maha aberta com K2=2,0938 para uma entrada em degrau

Para K3=2.9150:

Figura 10: Resposta do sistema em maha aberta com K3=2.9150 para uma entrada em degrau


10/54

Atravs da amlise das respostas ao degrau obtidas ( Figura 2, 3 e 4), observou-se que o sistemaem malha aberta estvel para os diferentes valores de K. Alm disso observou-se que nos trs casos hum erro notvel da reposta ao degrau do sistema.

b) Determinar o ganho do sistema, os polos de malha fechada, tempo de resposta do sistema,sobresinal mximo.

Para cada um dos sistemas estudados, verifica-se que o ganho dado pelo valor de K quemultiplica a Transfer Function H(s). O clculo dos polos de cada um dos sistema realizado fazendouma anlise de feedback negativo para uma malha fechada onde, para encontrar a transfer functionH(s) para este sistema fechado, utiliza-se a equao abaixo:

Dessa forma tem-se para cada um dos sistemas a seguinte transfer function:

Assim, com a utilizao de softwares matemticos foi possvel verificar a localizao decada um dos polos de cada sistema, como mostra a tabela 2 abaixo:

Tabela 2- Polos para Ki

O calculo do tempo de resposta e do sobressinal, por sua foram realizados atravs da anlise dasrespostas dos sistemas para cada ganho, assim como estexposto na Figura 11, abaixo.

Figura 11

K1 -1.165469+0j 0.082734+1.4785j 0.082734-1.478514j

K2 0.1485-1.53727j 0.1485+1.53727j -1.297+0j

K3 0.23131-1.6196j 0.23131+1.6196j -1.46263+0j


11/54

Os valores obtidos constam na Tabela 3.

Tabela 3

c) Fechar a malha do processo com diferentes valores de K e fazer suas observaes a respeitoda estabilidade do sistema em malha fechada e determinar o ganho do sistema, os polos demalha fechada, tempo de resposta do sistema, sobressinal mximo.

Utilizando-se o software Simulink /Matlab simulou-se o sistema, para cada valor de ganho K em malhafechada para uma entrada de degrau e analisou-se a repostas do mesmo. Observe o esquemtico da

simulao na Figura 6 e as respostas obtidas nas Figuras 12, 13 e 14.

Para K1=1.5570:

Ki Tempo de resposta Overshoot

K1 25 s 0,09K2 22 s 0,11

K3 21s 0.17


12/54

Figura 12: Resposta do sistema em maha fechada com K1=1.5570 para uma entrada em degrau

Para K2=2,0938:


Para K3=2.9150:


13/54


Ao analisar a resposta ao degrau do sistema em malha fechada facilmente pode-se verificar que omesmo perde a sua estabilidade. Isso pode ser explicado devido existncia de plos do lado direito do

plano. Observa-se tambm que devido a instabilidade do sinal no possvel determinar o tempo desobressinal e o tempo de assentamento.

d) Para cada valor de K, traar o diagrama de Nyquist.Finalmente atravs da funo do softwareMatlab , descrita abaixo, obteve-se o diagrama deNyquist referente cada valor do ganho.


14/54

Para K1=1.5570:

Figura 15

Para K2=2,0938:

Figura 16


15/54

Para K3=2.9150:

Figura 17

2.2 MTODO DO REL

O Rel Realimentado Ideal

Astrm e seus co-autores reconhecendo as limitaes do Mtodo de Resposta em Freqncia deZiegler-Nichols modificaram o procedimento de determinao dos parmetros do ponto crtico,adicionando um elemento do tipo rel na realimentao do processo.

A tcnica da auto-sintonia atravs do rel realimentado possui como principais atrativos:(i) o ensaio de auto-sintonia uma vez iniciado no necessita mais da interveno do

operador, j que o sistema naturalmente "procura" o ponto crtico de oscilao onde afase vale -180 ;

(ii) por operar em malha fechada o mtodo apresenta excelentes resultados no tocante estabilidade durante o ensaio; garantindo que o processo permanea em regies lineares,mesmo para sistemas com caractersticas no lineares;

(iii) ao contrrio de outros mtodos de auto-sintonia, o mtodo quando empregado digitalmente,no crtico quanto escolha do tempo de amostragem;

(iii) a tcnica do rel pode ser modificada e aplicada a processos com perturbaes

A Figura abaixo mostra o diagrama de um ensaio com o rel realimentado. A chave comutadora podealternar entre o ensaio do relquando realizada a sintonia do PID e o controle do sistema com o PID

previamente sintonizado.


16/54

Figura 18Diagrama esquemtico do ensaio do rel realimentado

Para a maioria dos sistemas, o rel inserido na malha conforme a Figura 2.6, produz,em regime permanente, excitaes do tipo onda quadrada numa das frequncias crticas do sistema, e osistema responde a tais excitaes de modo senoidal, como mostra a Figura 19. Ressalta-se aqui que estesdois sinais, sada do sistema e sada do rel, esto em oposio de fase e a amplitude da oscilao do sistema proporcional amplitude do rel.

Figura 19: Sinal de sada do sistema e sada do rel realimentado.

Expandindo-se o sinal de sada em regime do rel, que uma onda quadrada com frequncia fixa, numasrie de Fourier e, assumindo que o sistema atenua o efeito dos outros harmnicos de ordem superior, o

primeiro harmnico de um rel com amplitude d dado por:

Eq. 21onde wu a frequncia crtica de oscilao em radianos/segundo.

Admitindo que a oscilao de sada do sistema, y(t), tenha amplitude a e que este sinalest em oposio de fase em relao ao sinal de entrada, u(t), tem-se que:

Eq. 22Assim, o ganho do sistema nesta freqncia crtica (wu) :

Eq. 23


17/54

O que permite determinar o valor do ganho crtico dado por:

Eq. 24

O Rel com Histerese

A metodologia do rel ideal quando utilizada em sistemas com elevado nvel de rudo incorporadopode provocar chaveamentos indesejveis, uma vez que o ponto de deteco do chaveamento do rel corrompido pelos rudos presentes nos sinais. Buscando solucionar este problema, Hagglund e Astrm

propem o uso do rel com histerese.Seja o rel com histerese mostrado na Figura 20. O nvel de sinal necessrio para chavear o rel deve

ser superior histerese (). Assim, ao se escolher o nvel de histerese possvel eliminar, ou reduzirsignificativamente, a influncia do rudo sobre o acionamento do rel, propiciando assim um ensaio maisrealista.

Figura 20: Entrada (e) e sada (u) caractersticas de um rel de amplitude d e histerese

Novamente interessa-se neste mtodo pela determinao do ganho (Ku) e do perodo(Tu) crticos para uma posterior sintonia do controlador PID. Para a obteno destes

parmetros aproxima-se a sada do rel por uma funo descritiva, N(a). Para um rel com histerese talfuno dada pela Eq. 25.

Eq. 25

Onde :- d a amplitude de sada do rel, a a amplitude de oscilao do sistema- a largura da histerese.

Como o que se deseja uma oscilao estacionria, o ganho sobre a malha do sistemadeve ser unitrio, ou seja:

Eq. 26


18/54

Substituindo-se a Eq. 26 na Eq. 27 encontra-se o valor do ganho do sistema na frequncia crtica:

Eq. 27De onde se deriva o valor do ganho crtico para o rel com histerese:

Eq. 28

2.2.1 SIMULAO TERICA1 Considere o processo representado pela funo de transferncia

Para trs valores de K=1+2*rand(3,1).

a) Determinar o ponto de cruzamento de ganho ou ponto crtico utilizando um relsem histerese.

Os valores utilizados sero os mesmo encontrados anteriormente atravs da funoK=1+2*rand(3,1).

Tabela 4- Valores para o ganho K

A partir desses valores, simulou- se a resposta do sistemautilizando-se um rel sem histerese para cada ganho. O esquemtico da simulao pode ser analisadoatravs da Figura 21 e a resposta obtida em cada caso pode ser observada em seguida.

Figura 21

Para K1=1.5570:

K1 1.5570

K2 2.0938

K3 2.9150


19/54

Figura 22

Para K2=2.0938:


20/54

Figura 23

Para K3=2.9150:

Figura 24

Para um sistema composto por um rel sem histerese, o valor do ponto de cruzamento do ganhopode ser dado pela equao abaixo.

A partir das formas de onda verificadas nas Figuras 11-13, estimou-se os valores de a e d e entofoi possvel calcular o ponto de cruzamento de ganho para cada valor de K. Os valores encontrados podemser verificados atravs da Tabela 5.

Tabela 5

b) Traar o diagrama de Nyquist pelo mtodo do rel para este processo e comparar osvalores estimado e real para o ponto de cruzamento de fase e outros valores conforme a tabela abaixo.

Para preencher a Tabela solicitada necessrio inicialmente verificar a resposta do sistema paraos valores individuais de K e de , obtendo-se os valores de e Gestimado(). Onde :

Observe que, como os valores de K em questo coincidem com os valores da Parte 1 desseexerccio avaliativo, o digrama de Nyquist o mesmo observado anteriormente para cada K. Dessa formao valor de Greal(w) pode ser analisado atravs dos mesmos.

Ki a d G(jw)

K1 2.3 1 -1.8055

K2 3.11 1 -2.44135

K3 4.31 1 -3.38335


21/54

Para K1=1.5570:

=0.1:

Figura 25

=0.2:


22/54

Figura 26

=0.3:

Figura 27

Tabela 6: Parmetros calculados para K1=1.5570d Gestimado() Greal()

1 0 1,142 -1.8055 -1.67831 0.1 1.1214 -1.76799-0.0785j -1.56871 0.2 1.1214 -1.7497-0.157j -1.6891 0.3 1,0827 -2.5386-0.2355j -2.599

Para K2=2.0938:

=0.1:


23/54

Figura 28

=0.2:

Figura 29

=0.3:


24/54

Figura 30

Tabela 7: Parmetros calculados para K2=2.0938d Gestimado() Greal()

1 0 1.256 -2.44135 -2.0991 0.1 1.101 -2.3876-0.0785j -2.1541 0.2 1.0827 -2.38372-0.157j -2.1341 0.3 1.0827 -2.3511-0.2355j -2.437

Para K3=2.9150:


25/54

=0.1:

Figura 31

=0.2:

Figura 32

=0.2:


26/54

Figura 33

Tabela 8d Gestimado() Greal()

1 0 1.256 -3.38335 -3.35781 0.1 0.44225 -3.3607-0.0785j -3.1641 0.2 1.1418 -3.339-0.157j -3.001

1 0.3 1.0175 -3.305-0.2355j -3.441

Finalmente observamos que quando aplicamos um rel com histerese no sistema, ao aumentarmoso valor da histerese verifica-se uma pequena perda do ganho, alm de um pequeno atraso entre as sadas dorele.

3.0 MTODO DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID

O trabalho pioneiro de auto-sintonia de controladores PID se deve a Ziegler e Nichols em 1942. Astome Hagglund identificaram as limitaes desta metodologia pioneira e a aperfeioaram propondo um ensaiode identificao do ponto crtico utilizando um rel realimentado.

Os procedimentos de auto-sintonia de controladores envolvem basicamente duas etapas: uma etapade identificao e outra de sintonia de controlador. Na faze de identificao predominam duas abordagens:

uma que procura ajustar um modelo paramtrico (normalmente de primeira ou segunda ordem) ao processoa ser controlado (mtodo indireto), e outra, mais generalista, que simplesmente identifica o comportamentoemfrequncia (ganho e fase) do processo em determinados ponstos de operao. Estes pontos so

posteriormente usados na sintonia do PID.A metodologia de Ziegler e Nichols possibilita encontrar os ganhos do controlador, em funo de

caractersticas bsicas do sistema. So, basicamente, trs mtodos propostos por Ziegler e Nichols: (1)- oMtodo de Resposta ao Degrau, (2)- o Mtodo de Resposta em Frequncia e (3)- o Mtodo Modificado deZiegler-Nichols.


27/54

(1)- Mtodo de Resposta ao Degrau de Ziegler-Nichols

Esse mtodo pressupe que, se a resposta em malha aberta de um sistema a uma entrada degrauunitrio monotnica aps um tempo inicial, conforme ilustra a Figura 1,

ele pode ser aproximado pela funo de transferncia de um sistema de primeira ordem com certo atraso,ou seja:

Eq. 29

Onde:

k- ganho DC

L- atraso de transporte aparente

T- constante de tempo aparente do processo.

A partir desse pressuposto, os parmetros de primeira ordem (k, L e T) podem ser determinadosgraficamente a partir da resposta do processo a uma entrada do tipo degrau unitrio, como pode ser visto naFigura 34.

Figura 34: Caracterizao da resposta ao degrau unitrio usada por Ziegler e Nichols

As regras de Ziegler- Nichols utilizam os parmetros a eLpara a determinao dos ganhos do controladorPID, onde a dado pela Equao 30, abaixo.

Eq. 30

As Regras de Ziegler-Nichols podem ser observadas atravs da Tabela 9, a seguir.


28/54

Tabela 9: Parmetros recomentados para o PID de acordo com o Mtodo da Resposta ao Degrau deZiegler-Nichols

(2)- Mtodo de Resposta em Frequncia de Ziegler-Nichols

Este mtodo baseia-se na caracterizao da dinmica do processo. O projeto do controlador PID demandao conhecimento do ponto onde a curva de Nyquist da funo de transferncia do sistema intercepta o eixoreal negativo, ou seja, onde a fase do sistema vale -180. Por razes histricas este ponto caracterizado

pelos parmetrosKu eTu , os quais so chamados de ganho crtico e perodo crtico.

Visto que inmeros sistemas so instveis sobre um ganho proporcional na realimentao, os doisparmetros citados anteriormente podem ser encontrados colocando-se na realimentao do sistema umganho proporcional (K) e incrementando-o at que a condio limite de estabilidade do processo sejaencontrada.

Observa-se ento, que sob essas circunstncias, a sada do sistema (y) e a varivel de sada do ganhoproporcional (u) tero forma senoidal, porm sero defasadas de -180. Portanto:

Eq.31

Uma vez que o ganho sobre a malha deve ser unitrio para manter a oscilao estacionria, tem-se que :

Eq. 32

Onde:

wu- frequncia de oscilao.

Denominando o ganho proporcional que leva o sistema ao limite de estabilidade como ganho crtico (Ku),tem-se:

Eq.33

O diagrama esquemtico desse experimento pode ser visto a partir da Figura 35.


29/54

Figura 35: Diagrama do Mtodo da Resposta em Frequncia de Ziegler-Nichols

Por fim, o perodo crtico (Tu) o perodo de oscilao quando da condio limite de estabilidade. Assim,a partir dos parmetros Ku e Tu, Ziegler e Nichols estabelecem as regras da Tabela 10 para determinar osganhos do controlador PID.

Tabela 10: Parmetros recomendados para o PID de acordo com o Mtodo da Resposta em Frequncia de

Ziegler-Nichols

Este mtodo, tem a vantagem da simplicidade do experimento para a caracterizao do sistema e sintoniado controlador PID. Porm tal experimento de difcil automao uma vez que a amplitude de oscilaodeve ser mantida sobre controle, pois a operao de sistemas prximo regio de instabilidade perigosa, o

que obriga a se tomar medidas que acabam por dificultar um ensaio industrial automatizado. Alm destalimitao, a determinao precisa do ganho crtico uma tarefa rdua se ser realizada em muitas condiesprticas.

(3)- Mtodo de Modificado de Ziegler-Nichols

possvel modificar o Mtodo da Resposta em Frequncia de Ziegler-Nichols de forma a permitir queoutros pontos da curva de Nyquist, alm do ponto crtico, possam ser utilizados na sintonia do controladorPID. Neste mtodo admite-se como conhecido um ponto P da curva de Nyquist do processo sem controle eo que se busca , por meio de um controlador PID, fazer com que a curva de Nyquist do processo + controle

passe por um outro ponto Q especificado satisfazendo certo requisito de margem de ganho e margem de fase.

A partir do Diagrama de Nyquist da Figura 3 pode-se observar o ponto crtico P e o ponto desejado Q,

para onde o ponto P ser movimentado. Onde o ponto P definido por:

Eq. 34

Onde :

rp- mdulo de Gp

(-+p)- fase de Gp na frequncia w.

O ponto, Q, por sua vez, objetivo do controle, definido por:


30/54

Eq. 35

Onde:

rs- mdulo de Q

(-+s)- fase de Q.

O mtodo de Ziegler-Nichols especifica s=0.44 e rs=0.66, que correspondem a aproximadamenteuma margem de fase de ganho de 25 e 1.5 (ou 3.5 dB) , respectivamente.

Para o controlador:

Eq. 36

Onde:

rr- mdulo do controlador

r fase de controlador na frequncia w.

Figura 36: Diagrama de Nyquist de um sistema

Utilizando-se o controlador para mover o ponto P para o ponto Q:

Eq. 37

Assim observa-se para o controlador que:

Eq. 38


31/54

Por fim:

Eq. 39

Eq. 40

Onde :

Eq. 41

Portanto:

Eq. 42

Rel sem histerese

Astrm & Hgglund (1984) apresentaram uma metodologia para auto-sintonia de controladores baseadonas ideias de Ziegler-Nichols para a resposta em frequncia do sistema. O grande avano apresentado a

possibilidade de deteco do ponto crtico (,) por intermdio de um ensaio realizado em malha fechada,no qual no se faz necessrio atingir os limites de estabilidade. A abordagem baseia-se na modelagem dano-linearidade atravs da funo descritiva do rel e na interpretao em termos do diagrama de Nyquist

para obteno em frequncia do processo. A estrutura fundamental do mtodo de sintonia automticautilizando o rel realimentado apresentado na Figura 37.

Figura 37: Esquemtica para rel sem histerese

A comutao do rel sem histerese regida pela seguinte regra:

- Se [erro(t) > 0], ento u(t)=h

Se [erro(t) > 0], ento u(t)=h

Observa-se na figura 38, o efeito do rel sem histerese sobre a sada do processo.


32/54

Figura 38: Sada do processo com rel sem histerese

Utilizando-se uma funo rel para obter a funo de transferncia do processo, possvel obter o perodocrtico, e atravs dele a frequncia crtica, no qual o sistema comea a oscilar, e ainda o ganho crtico atravsdas equaes:

()=1=4 Eq. 43

onde, =1() Eq. 44

sendo, d a amplitude de oscilao do rel e a a amplitude de oscilao da sada.

A partir destes valores pode-se obter os parmetros do controlador PID atravs da Tabela 10, exibidaanteriormente.

Rel com histerese

A utilizao de rel com histerese para o propsito de identificao da funo de transferncia doprocesso em outras frequncias diferente da frequncia de cruzamento de ganho ou frequncia crtica. Umexemplo de rel mostrado na figura 39.

Figura 39: Esquemtica para rel com histerese

Neste caso, a funo descritiva do rel dada por:

= 422 Eq. 45

a funo de transferncia do processo na frequncia dada por:

()= 1()= 42+24 Eq. 46


33/54

3.1 SIMULAO TERICA

Primeiramente utilizou-se a funo rand() do softwareMatlab para encontrar os valores para o ganho Ke o atraso de transporte Td que sero substitudos na funo de transferncia correspondente Eq 17. Osvalores encontrados esto exibidos abaixo.

K1=2,6294 Td1=0,5111

K2=2,9900 Td2=0,6011

K3=1,2299 Td3=0,1635

Eq. 45

Aps isso, realizou-se o Mtodo frequencial e o Mtodo de Astrom para cada valor de K encontrado.

3.1.1 Mtodo Frequencial

Foram realizados trs processos:

- Sistema Realimentado sem controlador

Figura 40-Sistema com rel sem histerese

Figura 41

-Sistema com controlador PID

Figura 42


34/54

Sada do processo para K1=2,6311 e Td1=0,5111

-Processo com Sistema Realimentado sem controlado

Figura 43

Analisando-se a Figura 10, observa-se que o regime possui um considervel erro em regime permanente eum alto overshoot.

-Processo com sistema com rel sem histerese

Figura 44

A partir do da sada do processo obtida na Figura 44 encontrou-se os valores da frequncia e o ponto decruzamento de ganho. Aps isso, calculou-se os parmetros do controlador PID ( Kp, 1/Ti e Td), a partir dasfrmulas previstas na introduo terica.

Gjw=-(pi*a)/(4*d)ku=-1/Gjw

Kp = 0.6*k;Ti = 0.5*periodo;Td = 0.125*periodo;

Onde: a = 2.1383 ; period=6.44 e d=1

Assim:

Kp=0,360

1/Ti=0,4

Td=0,805

Aps isso configurou-se o controlador PID e obteve-se a sada demonstrada na Figura 45.


35/54

Figura 45: Sada do processo com controlador PID

Observa-se, portanto, a partir da Figura 45 que a sada se demonstra mais estvel com a presena docontrolador PID, pois diminuiu-se o overshoote eliminou-se o erro do sistema em regime permanente.



Figura 46

Analisando-se a Figura 46, novamente, observa-se que o regime possui um considervel erro em regimepermanente e um alto overshoot.


36/54


Figura 47

Novamente encontrou-se os parmetros do controlador PID.

Kp=0,3305

1/Ti=0,388

Td=0,8212

Aps isso configurou-se o controlador PID e obteve-se a sada demonstrada na Figura 48.

Figura 48: Sada do processo cm controlador PID

Por fim, verifica-se que a sada se demonstra mais estvel com a presena do controlador PID, poisdiminuiu-se o overshoote eliminou-se o erro do sistema em regime permanente.


37/54



Figura 49


Figura 50

Novamente encontrou-se os parmetros do controlador PID.

Kp=0,6890

1/Ti=0,344

Td=0,6540

Finalmente, obteve-se o seguinte grfico na sada do processo com o controlador PID.


38/54

Figura 51: Sada do processo cm controlador PID

Conclui-se, portanto que o controlador PID tornou o sistema mais estvel pois melhorou o overshoot dosistema, eliminou o erro em regime permanente

.

3.1.2 Mtodo de Astrom

Nesse mtodo utilizou-se o sistema com rel com histerese ( e=0,3) e amplitude=1.


Atravs da equao abaixo encontra-se o ponto a.

-Processo com sistema com rel com histerese

Figura 52

Aps isso, calculou-se os pontos A e B do diagrama de Nyquist e os parmetros Kc , Ti e Td docontrolador.

Ponto A: r=1,8555; =-3,009 rad

Ponto B: r=0,2001; =-1,500 rad

Kc=0,0299

Ti=0,4767

Td=0,2111

Kc/Ti=0,06272

Kc*Td=0,006311


39/54

A sada do processo do controlador com os parmetros descritos acima pode ser observada atravs daFigura 53.


A partir da Figura 53, pode-se notar que o sistema projetado atravs do mtodo de Astrm, obteve menososcilaes, um overshoot menor que no mtodo de Ziegler-Nichols frequencial. Alm disso, o erro emregime permanente ficou praticamente nulo.



Primeiramente, simulou-se a sada do sistema com rel com histerese ( e=0,3) e amplitude=1.

Figura 54

Aps isso, calculou-se os pontos A e B do diagrama de Nyquist e os parmetros Kc , Ti e Td do controlador.

Ponto A: r=2,111; =-3,0306 rad

Ponto B: r=0,2001; =-1,470 rad Kc=0,0288

Ti=0,4947

Td=0,155

Kc/Ti=0,0774

Kc*Td=0,004

Por fim, simulou-se a sada do processo do controlador com os parmetros descritos acima, como podeser observada atravs da Figura 55.


40/54


A partir da Figura 55, novamente, pode-se notar que o sistema projetado atravs do mtodo de Astrm,obteve menos oscilaes, um overshoot menor que no mtodo de Ziegler-Nichols frequencial. Alm disso,o erro em regime permanente ficou praticamente nulo.



Primeiramente, simulou-se a sada do sistema com rel com histerese ( e=0,3) e amplitude=1.

Figura 56

Aps isso, calculou-se os pontos A e B do diagrama de Nyquist e os parmetros Kc , Ti e Td docontrolador.

Ponto A: r=1,102; =-2,988 rad

Ponto B: r=0,1200; =-1,510 rad Kc=0,0378

Ti=0,3733

Td=0,099

Kc/Ti=0,113

Kc*Td=0,0035

Por fim, simulou-se a sada do processo do controlador com os parmetros descritos acima, como podeser observada atravs da Figura 57.


41/54


Finalmente, a partir da Figura 57 ,nota-se que o sistema projetado atravs do mtodo de Astrm, obtevemenos oscilaes, um overshoot menor que no mtodo de Ziegler-Nichols frequencial. Alm disso, o erroem regime permanente ficou praticamente nulo.

4.0 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Nessa seo sero apresentados os resultados experimentais obtidos em laboratrio. Emalguns experimentos, foi utilizado o tanque. Porm, devido a alguns problemas com a utilizaoda coluna dagua, passou-se a usar o motor.

A figura 58 mostra o aparelho utilizado nos experimentos no laboratrio de Controle Digital

Figura 58. Coluna dagua.

T ambm utilizou-se o kit didtico MCLAB2. A placa de testes desenvolvida pelaLABTOOLS possui um microcontrolador PIC18F4550 e um conjunto de perifricos que permiterealizar simulaes diversificadas.


42/54

Figura 59. Kit Didtico Mclab 2 (LabTools)Para anlise e desenvolvimento do experimento, foi utilizado o sistema de ventilao do kitdidtico. A comunicao e amostragem dos dados foi realizada via MATLAB.

4.1.PROCESSO DE CONTROLE DE VELOCIDADE4.1.1 PARTE PRTICA 1Utilizando o Simulink/Matlab, foi obtida a resposta degrau do tanque coluna simples e foram

feitas suas observaes a respeito da estabilidade do sistema em malha aberta. Posteriormente, foideterminado o tempo de resposta do sistema, sobressinal mximo. O esquemtico pode serobservado na figura 60:

Figura 60. Simulao na plataforma Simulink para sistema em malha aberta sem rel.

Conforme esperado, o processo do sistema em malha aberta do tanque instvel. A figura 53 aresposta obtida atravs da simulao.


43/54

Figura 61. Resposta ao sistema para malha aberta.

Devido ao fato de que temos um sistema instvel torna-se ilgico calcular o valor desobressinal e de tempo de resposta visto que o sistema nunca alcanar um valor final definido.

Utilizando o Simulink/Matlab, foi obtida a resposta degrau do tanque coluna simples eforam feitas suas observaes a respeito da estabilidade do sistema em malha fechada.Posteriormente, foi determinado o tempo de resposta do sistema, sobressinal mximo. Oesquemtico pode ser observado na figura 62:

Figura 62. Simulao na plataforma Simulink para sistema em malha fechada com rel.

Conforme esperado, o processo do sistema em malha fechada do tanque estvel. As figuras63(a) e 63(b) so as respostas obtidas atravs da simulao.


44/54

Figura 63(a). Resposta ao sistema para malha fechada.

Figura 63(b). Resposta ao sistema para malha fechada. (Continuao da figura 55(a)).

Para esta sada pode-se perceber que o sobressinal para o sistema e muito baixo visto

que ele tem um crescimento muito pequeno todo o tempo; usando a ferramenta zoom no grficodo scope e definido como 0.4 o valor final, assim como foi inferido por todos do grupo aoanalisar o grfico, define-se o sobressinal mximo como aproximadamente 0.03.Alm disso, como pode ser visto no grfico tempo de resposta do sistema, que o tempo at osistema chegar ao valor final, de aproximadamente 70 segundos.

4.1.2 PARTE PRTICA 2Nesta prtica, foi utilizado o motor. Foi determinado o ponto de cruzamento de ganho ou pontocrtico utilizando um rel sem histerese para a malha de velocidade. Aps o experimento, foiobservado e analisada a sua sada e caractersticas. O esquemtico pode ser observado na figura64:


45/54

Figura 64. Simulao na plataforma Simulink para sistema com rel sem histerese.

A sada desse sistema, observada no scope, est demonstrada na figura 65:

Figura 65. Resposta ao sistema para rel sem histerese.

Na prxima etapa, foi traado o diagrama de Nyquist para a malha de velocidade paratrs pontos distintos. Nessa fase da prtica, foi simulado o esquemtico mostrado na figura 66. Apartir dela, variou-se a histerese no rel, considerando E=3, E=4 e E=5. Aps o experimento, foiobservado e analisado a sada e suas caractersticas


46/54

Figura 66. Simulao na plataforma Simulink para sistema com rel com histerese.

Abaixo, pode ser analisado as respostas ao sistema considerando uma variao da histerese de 67a 68.

Figura 67. Rele com histerese E=3.



47/54


A partir da anlise dos grficos observados anteriormente, pode-se obter os valores da amplitudea olho nu, variando o parmetro E e mantendo D=1, tamm pode-se descobrir os valores daamplitude e posteriormente, utilizando a formula abaixo, encontrou-se G(w) ou N(a). Pararesolver o problema, foi utilizado rel com histerese =3, =4 e =5. A:

Os dados obtidos foram organizados na tabela 11:

Tabela 11. Valores de amplitude, G(w) ou N(a) e ganho.

Por fim, apresentado abaixo na figura 70 um trecho do diagrama de Nyquist estimado para estesistema:


48/54

Figura 70. Diagrama de Nyquist estimado para o sistema

4.2 APLICAO DO MTODO DE ZIEGLER NICHOLS

Nesta etapa do procedimento, foi determinado o ponto de cruzamento ou ponto crticoutilizando um rel sem histerese. Posteriormente, foi projetado um controlador PID pelo mtodode Ziegler-Nichols frequencial para a malha de velocidade.

Para a realizao da prtica, foi empregado o software Simulink, na qual utilizou-se oesquemtico mostrado na figura 71, para controlar a malha de velocidade do motor cc do

ventilador. Pode-se perceber a utilizao de uma chave manual para alternar entre o uso do rel eo uso do controlador PID na qual os parmetros foram projetados.

Figura 71. Esquemtico montado no Simulink


49/54

Inicialmente, foi acionado o ventilador com o rel sem histerese, e a sada do processoencontrada est exposta na figura 72:

Figura 72. Sada do processo com rel sem histerese.

O mximo valor obtido na sada do processo foi 118 e um perodo de aproximadamente 5segundos. A partir desses valores encontramos:

Da,

Logo, encontramos os seguintes parmetros para o controlador PID pelo mtodo de Ziegler-Nichols frequencial:

Tabela 12. Parmetros do controlador


50/54

Aps este clculo, configurou-se os parmetros do controlador PID, foi colocada a chave manual(Switch Manual) selecionando o controlador e verificou-se a seguinte sada do processo:

Figura 73. Sada do processo com controlador PID pelo mtodo de Ziegler-Nicholsfrequencial.

Portanto, tornou-se notrio que a utilizao do controlador PID melhorou o processo doventilador, tornando o sistema mais estvel, com menor overshoot e menos oscilaes para atingira estabilidade. Alm de que o erro em regime permanente apresentou um valor muito pequeno.

4.3 APLICAO DO MTODO DE ASTROM

Neste item, foi determinado outro ponto com o rel com histerese e projetado umcontrolador PID pelo mtodo de Astrom para a malha de velocidade.

Para a realizao desta prtica, foi empregado o software Simulink, na qual utilizou-se omesmo esquemtico da questo anterior, para controlar a malha de velocidade do motor cc doventilador. Pode-se perceber a utilizao de uma chave manual para alternar entre o uso do rele o uso do controlador PID na qual os parmetros foram projetados.Inicialmente, foi acionada a malha de velocidade com o rel com histerese, e a sada do processoencontrada est exposta na figura 74:


51/54

Figura 74. Sada do processo com rel com histerese.

O projeto do controlador PID iniciou-se da observao da figura 74 e colocando os dadosna frmula abaixo:

O ponto A ento definido a partir da expresso acima e o ponto B definido como o mdulocorrespondendo a 1 10 de Ra e o ngulo de 80 que equivale a 1,3963 rad.

O prximo passo calcular os parmetros Kc, Ti e Td do controlador PID. Considerando = 0,25, logo, encontra-se:

Portanto, os parmetros P, I e D encontrados pelo mtodo de Astrom so mostrados na tabela 13:

Tabela 13. Parmetros do controlador


52/54

Utilizando-se os parmetros encontrados, foi acionado o sistema da malha de velocidadee a sada do processo encontrada est mostrada na figura 75 abaixo:

Figura 75. Sada do processo com controlador PID pelo mtodo de Astrm.

Portanto, observou-se que com o controlador PID projetado pelo mtodo de Astrm osistema da malha de velocidade obteve menos oscilaes comparado com o mtodo deZieglerNichols frequncial, tambm foi possvel observar um valor de overshoot menor e assimcomo na questo anterior o erro em regime permanente permaneceu em valores muito baixos,sendo considerado praticamente nulo.

4.4 COMPARAO DOS MTODOS

Analisando os dois mtodos possvel perceber que o mtodo do Astrom maiselaborado e eficiente do que o mtodo de Ziegler-Nichols, suas sadas em geral tm tempos derespostas menores; enquanto que as sadas do mtodo de Ziegler-Nichols podem ainda no serto boa quando o que desejado, entretanto, s vezes, o mtodo de Ziegler-Nichols eficaz eproduz uma sada coerente com as expectativas. O exposto no pargrafo anterior pode serpercebido tanto na parte experimental quando durante as simulaes.

5.0 CONCLUSO

Diante dos resultados simulados e experimentais que foram expostos neste trabalho,conclui-se que o mesmo foi satisfatrio, visto que todos os resultados esto de acordo com oesperado e com as teorias da disciplina de Controle Digital.

Na parte inicial do trabalho observou-se os conhecimentos tericos adquiridos. Emseguida verificou-se os sistemas suas caractersticas e parmetros na prtica e a possibilidade deidentificao de um sistema, utilizando para isso apenas um rel com ou sem histerese. Verificou-se a diferena e as singularidades entre esses dois mtodoS de verificao.

Por fim, foram desenvolvidos controladores PID que cumpriram suas funes propostasno sistema, que eram de torn-lo estvel e de aumentar a performance diminuindo certosparmetros, tais como overshoot e tempo de resposta.

Dessa forma verificou-se a eficcia dos dois mtodos de design de controlador PID queforam apresentados ao longo do artigo.


53/54

Concluindo, os resultados tericos foram ratificados atravs das prticas realizadas,comprovando o sucesso das mesmas. Ademais pode-se aprofundar-se nos assuntos estudados,desenvolvendo equaes que confirmaram os resultados tericos e os resultados simuladosobtidos.


54/54

Controle Digital Total

Documents

Transcript of Controle Digital Total