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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 1/Cap.5Outubro.2005

ERROS EM REGIME ESTACIONÁRIO

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

CONTROLO3º ano – 2º semestre – 2005/2006

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 5 - Efeitos da Realimentação e Erros em Regime Permanente

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Novembro de 2001revisão em Abril de 2002, Outubro de 2004 e Outubro de 2005

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos

autores



M

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Sistemas de Controlo em Cadeia fechada

• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção

– Ruído dos sensores

• Sensibilidade à variação de parâmetros• Estabilidade

Efeitos da Realimentação

• Quando bem projectados, os sistemas de controlo em cadeia fechada reduzem o efeito

• de perturbações externas ao sistema

• de variações dos parâmetros do sistema devidas ao envelhecimento, tolerâncias de fabrico ou efeitos de carga

• A resposta transitória é modificada com a introdução de realimentação e as condições de estabilidade podem ser afectadas

já foi analisada



M

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al




R(s) Y(s)

W(s)

G(s)K ++

R(s) Y(s)

W(s)

G(s)K ++

+

_

cadeia aberta

cadeia fechada

)s(W)s(G)s(R)s(KG)s(Y += sistema linearprincípio da sobreposição

0)s(R0)s(W)s(Y)s(Y)s(Y

==+= princípio da

sobreposição

)s(W)s(KG1

)s(G)s(R

)s(KG1)s(KG

)s(Y+

++

=

Não há possibilidade de atenuar o efeito de W sobre Y

A saída é tanto menos afectada por W quanto maior for o ganho K



M

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al



R(s) Y(s)

W(s)

K ++

+

_

cadeia fechada

)as(sa+

K=2 K=8

K=15 K=30

a análise da rejeição de perturbações pode fazer-se também no domínio da frequência

perturbação

perturbação

---- resposta com a perturbação



M

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al


• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção +– Ruído nos sensores

R(s) Y(s)

W(s)

K ++

+

_

cadeia fechada

)s(G

N(s)+

+

ruído nos sensores

)s(N)s(KG1

)s(KG)s(W

)s(KG1)s(G

)s(R)s(KG1

)s(KG)s(Y

+−

++

+=

Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw?

• Para uma frequência w• Boa rejeição da perturbação W aumentar |KG(jw)|• Bom seguimento da referência r (erro pequeno) aumentar |KG(jw)|• Boa rejeição do ruído diminuir |KG(jw)|

E(s)

• O ruído apresenta habitualmente componentes espectrais de mais alta frequência do que as do sinal de referência

• Estratégia de Controlo• Baixas Frequências |KG(jw)| >> 1

• Altas Frequências (banda do ruído) |KG(jw) <<1

• Frequências intermédias – as condições a impor ao ganho estão relacionadas com a estabilidade em cadeia fechada.

Banda de frequência associada normalmente ao sinal de referência e às perturbações exteriores que são sinais relativamente lentos



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• Sensibilidade à variação de parâmetros– De que modo variações de parâmetros em G(s) afectam a função de

transferência em cadeia fechada ?


R(s) Y(s)G(s)K

+

_

)s(KG1)s(KG

)s(R)s(Y

)s(M+

==

Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s)

MG

dGdM

GdG

MdM

SMG ==

( )( ) ( )

( ))s(KG1)s(KG1

1MG

.)s(KG1

K)s(KGK)s(KG1S 22

MG +

+=

+

−+=

)s(KG11

SMG +

=

Quanto maior for |KG(jw)| menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações

de parâmetros no sistema a controlar, G(s)



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• Um bom seguimento do sinal de referência

– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência

• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído

• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações

• Estabilidade

• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros

• Robustez de estabilidade

– Relativamente à variação de parâmetros

– Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador

• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um modelo mais simples de 2ª ordem

Objectivos gerais de um sistema de controlo

REQUISITOS

E. MorgadoControlo, 1998

ESPECIFICAÇÕES

• Resposta transitória• Estabilidade• Erros em regime estacionário

modo de expressar os requisitos



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Erro em Regime Estacionário

Exemplo motivador

sistema de controlo de temperatura de uma sala

)s(Gc)s(P

d

cr + ++

____

f.t. da salaf.t. do controlador

temperatura desejada

temperatura

perturbação

eerro

PerturbaçãoVariação da temperatura ambienteAbertura de uma porta

Dynamical Systems and Automatic ControlJ.L. Martins de Carvalho

A - Controlador Proporcional

K)s(Gc =

K1K

20+

temperatura desejada

1s1

)s(P+

=

K120

ess +=

erro em regime estacionário

)t(u 20)t(r =



M

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al


Exemplo motivador



K)s(Gc = controlador P ( proporcional )

1K =

2K =

5K =

sse

sse sse

o erro em regime estacionário diminui com o aumento do ganho do controlador



M

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al


Exemplo motivador



K )s(P

d

cr + ++

____

perturbação

e

1s1

)s(P+

=

)t(u 20)t(r =

controlador proporcional

)5t(u 5)t(d −=


K1K

20+

K15+

K120+

erro em regime estacionário

amplitude da referência r(t) = 20 valor da saída em reg. estacionário (sem perturb)=K1

K20

+

amplitude da perturb. d(t) = 5 valor da saída em reg. estacionário (só devida a d(t))=K1

15

+

menor ganho



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1K =

4K =


Exemplo motivador



K )s(P

d

cr + ++

____

perturbação

e

)t(u 20)t(r =

controlador proporcional


)5t(u 5)t(d −=

referência

perturbação

Um aumento do ganho do controlador

• faz diminuir o erro em regime estacionário,

• diminui o efeito da perturbação

Mas há limitações práticas ao valor

de K

Como levar o erro para zero ?Como levar o erro para zero ?Como levar o erro para zero ?Como levar o erro para zero ?



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Exemplo motivador


sKI )s(P

d

cr + ++

____ temperatura

perturbação

e


B - Controlador Integral

sK

)s(G Ic =

1s1

)s(P+

=

)t(u 20)t(r =

m

∫ σσ=t

oI d)(eK)t(m

sem perturbação com perturbação

)t(e K)t(m I=&

Em regime estacionário

tetanconsmss = 0)(m =∞& 0ess =

0e Se ss > 0)t(m >& ↑)t(m ↑∞)(c ↓−= cre

contradiçãoO erro em regime estacionário constante



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Exemplo motivador


)s(Gc)s(P

d

cr + ++

____

perturbação

e

sK

)s(G Ic =

1s1

)s(P+

=

m

K)s(Gc = controlador proporcional

controlador integral contribuiu com um pólo na origem na cadeia de acção

1KK I == 3KK I ==

com controlador P com controlador P

com controlador I com controlador I

Com o controlador I

• O erro em regime estacionário é nulo

• ... Mas o sistema torna-se mais lento

• ... E o transitório é mais oscilatório



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Exemplo motivador


1K )s(P

d

cr + ++

____

perturbação

e

1s1

)s(P+

=

m

sK

K)s(G 21c += controlador proporcional integral

s/K2

+

+

controlador PI

sKsK

)s(G 21c

+= 1 pólo na origem e 1 zero

3K1 =

5K2 =

5K

3K

2

1

=

=com controlador I

com controlador PI

com controlador P



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Erro em Regime Permanente

• Erro = diferença entre a entrada de referência, r(t), e a saída, c(t).

Retroacção unitária

• Erro em regime estacionário

)t(c)t(r)t(e −=

)t(e limetss

∞→=

R(s) C(s)G(s)+

_

E(s)

sinal de erro

)s(E)s(G)s(R)s(C)s(R)s(E −=−=

)s(R)s(G1

1)s(E

+=

R(s) C(s)Gc(s)

+

_

E(s)P(s)

Análise vai ser feita apenas para sistemas estáveis



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Sinais de Teste

Erro de ACELERAÇÃO

Erro de POSIÇÃO

Erro de VELOCIDADE

R(s) C(s)G(s)+

_

E(s)

posição

r(t)=rampa

r(t)=parábola

sistema de controlo de posição

variação linear da posição pretende-se que o sistema apresente umavelocidade constante

variação linear da velocidade

pretende-se que o sistema apresente umaaceleração constante

designação habitual



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Valores dos Errosretroacção unitária

)s(R)s(G1

1)s(E

+=

entrada escalão

)t(u)t(r =

s1

)s(R =

)s(sElim)t(elime0stss

→∞→== Por aplicação do

Teor. Valor Final

)s(Glim11

)s(G11

lime0s

0sss

→→ +

=+

=

ganho de baixa frequência da f.t. em cadeia aberta

• Se finito, o erro não é nulo)s(Glim0s→

• Para que o erro seja nulo ∞=→

)s(Glim0s

G(s) com pelo menos um pólo na origem

erro estático de posição

)s(GlimK0sp

→= coeficiente de erro estático de posição

Os sistemas em cadeia fechada classificam-se consoante o número de pólos na origem da função de transferência em cadeia aberta

pss K1

1e

+=

tipo do sistema



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Tipo de um Sistema

• m zeros• n pólos• N pólos na origem

R(s) C(s)G(s)+

_

E(s)

)ps)...(ps)(ps(s)zs)...(zs)(zs(K

)s(GNn21

Nm21

−+++

+++=

O sistema em cadeia fechada é de tipo N

O tipo de um sistema em cadeia fechada é igual ao número de pólos da origem da função de transferência em cadeia aberta

pss K1

1e

+=

Sistema de tipo 0

Sistema de tipo N≥1

.constKp =

∞=pK 0)(ep =∞

pp K1

1)(e

+=∞

erro estático de posição



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al


)s(R)s(G1

1)s(E

+=

entrada rampa

)t(tu)t(r =

2s1

)s(R =



Teor. Valor Final

)s(sGlim1

s1

)s(G11

slim)(e0s

20sv

→→

=+

=∞

erro estático de velocidade

)s(sGlimK0sv

→= coeficiente de erro estático de velocidade

vv K

1)(e =∞

Sistema de tipo 0 0Kv = ∞=∞)(ev

Sistema de tipo 1 constKv =v

v K1

)(e =∞

Sistema de tipo N≥2 ∞=vK 0)(ev =∞



M

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)s(R)s(G1

1)s(E

+=

entrada parábola

)t(ut21

)t(r 2=

3s1

)s(R =



Teor. Valor Final

)s(Gslim1

s1

)s(G11

slim)(e 2

0s

30sa

→→

=+

=∞

erro estático de aceleração

)s(GslimK 2

0sa→

= coeficiente de erro estático de aceleração

aa K

1)(e =∞

Sistema de tipo 0, 1 0Ka = ∞=∞)(ea

Sistema de tipo 2 constKa =a

a K1

)(e =∞

Sistema de tipo N≥3 ∞=aK 0)(ea =∞



M

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)s(R)s(G1

1)s(E

+=



Teor. Valor Final

parábolarampaescalão

pK11

+

0

0 0

vK1

aK1

∞ ∞

∞

entradatipo do sistema

0

1

2

1s1

)s(G+

=)1s(s

1)s(G

+=

)1s(s5.0s

)s(G2 +

+=

R(s) C(s)G(s)

+

_

E(s)

f.t. cadeia fechada Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2



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Especificações

• O valor do erro em regime estacionário é usado, correntemente, como especificação de controlo

R(s) C(s)+

_

E(s))8s)(7s)(6s(s

)5s(K+++

+

exemplo

RequisitoDeterminar o valor de K por forma a que o erro estático de velocidade seja de 10%

1.0K1

)(ev

v ==∞

8x7x6K5

)s(sGlim10K0sv ===

→

672K =

Usando o critério de Routh-Hurwitz pode confirmar-se que, para este valor de K, o sistema em cadeia fechada é estável



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Erro em Regime Estacionárioem sistema com Perturbações

De que modo o erro em regime estacionário é afectado pela perturbação?

R(s) C(s)

D(s)

++

+

_)s(G2)s(G1

E(s)

controladorsistema a controlar

0)s(R0)s(D)s(E)s(E)s(E

==+=

princípio da sobreposição

0)s(D = 0)s(R =

)s(E)s(G)s(G)s(R)s(E 21−=

)s(R)s(G)s(G1

1)s(E

21+=

[ ])s(E)s(G)s(D)s(G)s(E 12 +−=

)s(D)s(G)s(G1

)s(G)s(E

21

2

+−=

Para Para

)s(D)s(G)s(G1

)s(G)s(R

)s(G)s(G11

)s(E21

2

21 +−

+=

)s(D)s(G)s(G1

)s(sGlim)s(R

)s(G)s(G1s

lim)(e21

2

0s21

0s +−

+=∞

→→

)(eR ∞ )(eD ∞

)(e)(e)(e DR ∞+∞=∞



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• O erro em regime estacionário devido a uma perturbação escalão, pode ser diminuido:

– Aumentando o ganho em regime estacionário de G1(s)

– Diminuindo o ganho em regime estacionário de G2(s)

)(e)(e)(e DR ∞+∞=∞

)s(D)s(G)s(G1

)s(sGlim)(e

21

2

0sD +−=∞

→

s1

)s(D Para =

)s(G1

lim)s(Glim

1)(e

20s10s

D

→→+

−=∞

G2(s) é a f.t. do sistema a controlar. Não pode ser modificada.



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asco

al


• Com D(s)=0– Gc(s)=K

• Sistema de tipo 1– Erro estático de posição nulo– Erro estático de velocidade constante– Erro estático de aceleração infinito

exemplo

)as(sK m

+

Εa(s) Θm(s)

Controlo de posição angular de um motor de corrente contínua

++

+_

)s(Gc

R(s)

D(s)

ev 5a

2K

1K

m

=

=

=



M

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al


• Com R(s)=0– Gc(s)=K

exemplo

)as(sK m

+

Εa(s) Θm(s)

Controlo de posição angular de um motor de corrente contínua

++

+_

)s(Gc

R(s) E(s)

D(s)

)s(D

)as(sK

K1

)as(sK

)s(Em

m

++

+−=

)s(DKKass

K)s(C

m2

m

++=

5a

2K

1K

m

=

=

=

)t(tu)t(r =

)t(u)t(d =

resposta para r(t)=0

resposta para d(t)=0



M

. Isa

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exemplo Controlo de posição angular de um motor de corrente contínua

5a

2K

1K

m

=

=

=

)t(tu)t(r =

)t(u)t(d =


resposta para d(t)=0

5a

2K

5K

m

=

=

=


)t(u)t(d =

resposta para d(t)=0)t(tu)t(r =



M

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Erro em Regime Permanente

Retroacção não unitária

)s(R)s(H)s(G1

)s(G)s(R)s(C)s(R)s(E

+−=−=

R(s) C(s)G(s)

+

_

Ea(s)

H(s)

não é o sinal de erro e(t)=r(t)-c(t)

)s(R)s(H)s(G1

)s(G)s(H)s(G1)s(E

+

−+=

R(s) C(s)G(s)+

_

Ea(s)

H(s) -1

+

_

sinal de erro

R(s) C(s)+

_

E (s)

)s(G)s(H)s(G1)s(G

−+

)s(Ge

O nº de pólos na origem de Ge(s) determina o valor do erro em regime estacionário

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