UNIVERSIDADEdaBEIRAINTERIOR CONTROLO DE SISTEMAS Textos de apoio s aulas PROF. PEDRO MIGUEL FIGUEIREDO DINIS OLIVEIRA GASPAR PROF. SLVIO JOS PINTO SIMES MARIANO Bibliografia de Apoio [1]Ogata, Katsuhiko - Engenharia de Controle Moderno 2 Edio, Prentice Hall. [2]Nise, Norman S. Control Systems Engineering 2nd Edition, Addison-Wesley, 1995. [3]Dorf, Richard C. , Bishop, Robert H. Modern Control Systems 7th Edition, Addison-Wesley, 1995. [4]Franklin, Gene. F., Powell, J. D., Emani-Naeini, Abbas Feedback Control of Dynamic Systems 3rd Edition, Addison-Wesley, 1994. [5]Anand, D. K., Zmood, R. B. Introduction to Control Systems 3rd Edition, Butterworth-Heinemann, 1995. [6]Kuo, Benjamin C. Automatic Control Systems 7th Edition, Prentice-Hall, 1995. [7]The Student Edition of MATLAB, The Math Works Inc., Prentice Hall, 1992. [8]Ogata, Katsuhiko - Solving Control Engineering Problems with MATLAB, Prentice Hall, 1994. Introduo ao Controlo de Sistemas Introduo ao Controlo de Sistemas 1 1. Introduo ao Controlo de Sistemas1.1. Definies SistemadeControloConsistenumacombinaodesub-sistemaseprocessos (dispositivos de sensorizao ede actuao) que actuam conjuntamente com o objectivo de levar a sada desse processo a exibir um comportamento desejado. EntradadoSistema(varivelmanipulada)Grandezaoucondioquevariadapelo controladordemodoaafectarovalordavarivelcontrolada(RespostaDesejadado Sistema). SadadoSistema(varivelcontrolada)Grandezaoucondioquecontrolada (Resposta Efectiva do Sistema). Os sistemas de controlo automtico: Fazem parte integrante da sociedade moderna, fruto da interveno do homem; Esto presentes, desde sempre, na natureza; Existem em inmeras aplicaes em todas as reas de Engenharia; 1.2. Exemplos Ilustrativos 300 A.C. Na Grcia foi aplicado o CONTROLO DO NVEL DE LQUIDOS a contentores de gua e a lamparinas de leo. Sec. XVII CONTROLO DE TEMPERATURA numa incubadora de ovos e CONTROLO DA PRESSO DE VAPOR atravs de vlvulas de segurana. Sec. XVIII CONTROLO DA VELOCIDADE em moinhos de vento e em motores de vapor. Introduo ao Controlo de Sistemas 2 Sec. XVIII Estudo da TEORIA CLSSICA DE CONTROLO DE SISTEMAS; Desenvolvimento de sistemas de CONTROLO DE DIRECO E ESTABILIDADE de barcos. Sec. XIX Desenvolvimento terico dos mtodos de anlise. Actualmente Os sistemas de Controlo encontram-se no s ligados a aplicaes relacionadas com a Cincia ou Indstria, mas tambm a qualquer dispositivo banal de uso comum. CONTROLO DE SISTEMA DE ELEVADORES Inicialmente os elevadores eram controlados por um operador humano. Actualmente, os elevadores so completamente automticos, fazendo uso de sistemas de controlo para regulao da posio e velocidade. Entrada: Chamada do elevador/Indicao do piso de destino. Sada: Variao da altura (posio) do elevador com o tempo. Objectivo: Transporte (variao da posio em altura) at ao piso desejado. Para este exemplo: Resposta Transitria: Variao da posio do elevador desde o ponto de partida at ao piso pretendido. Introduo ao Controlo de Sistemas 3 Resposta em estado estacionrio: O valor da sada atinge o valor de entrada (O elevador atingiu o piso pretendido). Erro de estado estacionrio: Diferena da posio final do elevador com a posio do piso pretendido. EXEMPLOS DE SISTEMAS FSICOS DE APLICAO SISTEMAS TRMICOS Variveis controladas:Aplicaes: TemperaturaSistemas AVAC (Humidade)Processos industriais etc, ...etc, ... SISTEMAS MECNICOS Variveis controladas:Aplicaes: Posio (linear, angular)Sistemas de transporte: Velocidade (linear, angular)Terrestres; ForaMartimos; BinrioAreos e Aeroespaciais; etc, ...Etc... Robots mveis Linhas de produo Sistemas de comunicaes Disp. elctricos/electrnicos Introduo ao Controlo de Sistemas 4 1.3. Malha Aberta vs. Malha Fechada SISTEMAS TRMICOS Ex. 1: Chuveiro Entrada: Temperatura da gua desejada (Tref). Sada: Temperatura real da gua (T). Objectivo: Manter constante a temperatura ao nvel desejado. Possibilidade de duas estratgias de controlo: CONTROLO EM MALHA ABERTA: Colocar as torneiras em posies pr-determinadas (Sem poder alterar a sua posio), resultante da experincia. Nem a sada (Temperatura da gua no duche) nem as restantes variveis do sistema (Temperatura da gua na canalizao, Temperatura ambiente) so usadas. CONTROLO EM MALHA FECHADA: Abertura ou fecho das torneiras em funo da avaliao da temperatura da gua. Existe REALIMENTAO das sadas ou das variveis de estado do sistema. Quer a sada, quer outras variveis de estado afectam a actuao do sistema. Face temperatura da gua sentida no corpo, as torneiras iro sendo actuadas de modo a temperar a gua. Introduo ao Controlo de Sistemas 5 CONTROLO EM MALHA ABERTA As sadas ou as variveis de estado no so utilizadas para controlar a actuao do sistema; O sistema insensvel s perturbaes externas. PERTURBAES: So entradas (sem serem de controlo) que afectam os sinais das sadas tal que lhes alteram o valor desejado. Exemplos de PERTURBAES para o sistema em estudo: Temperatura da gua na canalizao diferente do habitual; Variao da Temperatura ambiente; Consequncias: Implicam o risco de duche de gua fria ou de gua a ferver! O xito do CONTROLO EM MALHA ABERTA depende da: Calibrao do elemento de controlo; Periodicidade da ocorrncia das aces de controlo; Ausncia de perturbaes. CONTROLO EM MALHA FECHADA A realimentao das sadas ou das variveis de estado tornam o sistema menos sensvel os efeitos das perturbaes externas ou da variao de parmetros (incertezas do modelo fsico). Por si s, a introduo de realimentao no assegura a ESTABILIDADE! Introduo ao Controlo de Sistemas 6 Temperaturadagua(T) muito baixa Aumentar o caudal de gua quente Atrasonapropagaode guaquentena canalizao Temperatura da gua (T) ainda mais baixa Aumentaraindamais ocaudaldegua quente Quando a gua quente chega torneira, vem muito quente Diminuir o caudal de gua quente Ex. 1: Fixar a posio da torneira de gua fria. T > Tref ... T < Tref Ex. 2: Sistema de Condicionamento de Ar Entradas: Temperatura desejada (Tref). Humidade relativa desejada (ref). Sadas: Temperatura efectiva (T). Humidade relativa efectiva (). Objectivo: Manter constante a temperatura e a humidade relativa do compartimento onde est instalado o dispositivo. Introduo ao Controlo de Sistemas 7 Possibilidade de duas estratgias de controlo: CONTROLO EM MALHA ABERTA: Impor uma temporizao da insuflao de ar quente a uma temperatura constante, bem como o contedo de humidade do ar insuflado, resultante da experincia do operador. Nem as sadas (Temperatura do ar insuflado e respectiva humidade relativa) nem as restantes variveis do sistema (Temperatura ambiente e humidade ambiente) so usadas. CONTROLO EM MALHA FECHADA: Funcionamento do aparelho em funo da avaliao da temperatura e humidade do ar ambiente. Existe REALIMENTAO das sadas ou das variveis de estado do sistema. Quer a sada, quer outras variveis de estado afectam a actuao do sistema. Face temperatura e humidade ambiente, o sistema ser activo ou desligado. CONTROLO EM MALHA ABERTA As sadas ou as variveis de estado no so utilizadas para controlar a actuao do sistema; O sistema insensvel s perturbaes externas (entradas que no so de controlo, imprevisveis e aleatrias, que afectam os sinais das sadas tal que lhes alteram o valor desejado). Exemplos de PERTURBAES para o sistema em estudo: Abertura de uma porta ou de uma janela; Variao da Temperatura e da Humidade ambiente; Consequncias: Implicam o risco de arrefecimento excessivo ou insuficiente do compartimento onde est instalado o equipamento! O xito do CONTROLO EM MALHA ABERTA depende da: Calibrao do elemento de controlo; Periodicidade da ocorrncia das aces de controlo; Ausncia de perturbaes. Introduo ao Controlo de Sistemas 8 CONTROLO EM MALHA FECHADA Tipo de REALIMENTAO: Manual ou Automtica. Sensores: Termopar Tenso elctrica proporcional temperatura lida; Higrmetro Tenso elctrica proporcional humidade relativa lida. Controlador: Compara a temperatura e a humidade de referncia, com uma funo da temperatura e humidade lidas. A sada uma tenso elctrica que vai actuar o sistema de condicionamento de ar. Sistema de condicionamento de ar: Amplificador+Motor+ Engrenagens+Compressor+Condensador+Ventilador+Evaporador No mbito de: ENGENHARIA DA PRODUO E GESTO INDUSTRIAL Controlo de processos produtivos; Compreenso do processo produtivo para auxiliar o seu planeamento; Controlo automtico de processamento de materiais: Bobinagem e tinturaria de materiais txteis; Bobinagem e cablagem/isolamento de cabos elctricos; Bobinagem e tratamento de chapas de materiais metlicos; Etc... Introduo ao Controlo de Sistemas 9 No mbito de: ENGENHARIA DA PRODUO E GESTO INDUSTRIAL Controlo de processos produtivos; Compreenso do processo produtivo para auxiliar o seu planeamento; Controlo automtico de secagem de produtos: Secagem de produtos cermicos; Introduo ao Controlo de Sistemas 10 No mbito de: ENGENHARIA DA PRODUO E GESTO INDUSTRIAL Processos totalmente automatizados de produo em srie; A cadncia da linha de produo dada pelo equipamento com menor velocidade de processamento; Para aumentar a vida til dos equipamentos e a qualidade final dos produtos, salvo raras excepes, estes no nunca so colocados velocidade mxima; Devido a situaes externas (avarias das mquinas, operaes de manuteno, etc...), o processo de fabrico poder ser atrasado; O Eng. de Produo ter que possuir a informao, em tempo til sobre a cadncia de produo de modo a fazer: Contagem automtica da produo; Face s necessidades de produo: Aumentar a velocidade de cadncia das mquinas; Avaliar a produo e elaborar planeamento futuro; Analisar as componentes energticas e ambientais. No mbito de: ENGENHARIA AERONUTICA Controlo de todo o tipo de sistemas de aeronaves; Projecto extremamente cuidado dos sistemas de controlo: Sistemas sujeitos a vrias perturbaes; Resposta efectiva igual resposta desejada; Tempo de resposta do sistema reduzido; Introduo ao Controlo de Sistemas 11 Controlo automtico da atitude de uma aeronave: No mbito de: ENGENHARIA AERONUTICA Controlo automtico da orientao de veculos aeroespaciais: Mdulo de Excurso Lunar (LEM Lunar Excursion Module); Controlo de orientao do veculo na fase de alunissagem; Orientao controlada mediante a activao de jactos de gs; O objectivo do sistema de controlo consiste em manter o LEM horizontal apesar das possveis perturbaes que possam surgir. Introduo ao Controlo de Sistemas 12 SISTEMAS MECNICOS de posio Controlo da direco de um automvel Conduo de um automvel por um operador humano; Entrada: Direco desejada Sadas: Direco efectiva Se no houvesse REALIMENTAO Sistema insensvel s possveis perturbaes. Introduo ao Controlo de Sistemas 13 SISTEMAS MECNICOS de posio Controlo de um brao robotizado com duas articulaes Controlo de posio terminal do brao; Entradas: Sinais elctricos de comando: u1 ; u2 [V]; Sadas: Posio angular das articulaes: 1 ; 2 [rad]. SISTEMAS MECNICOS de posio Controlo da posio e atitude de um Veculo Submarino Autnomo Controlo de posio: Canal acstico Introduo ao Controlo de Sistemas 14 Controlo de atitude: Giroscpios e cmaras Objectivo: Seguir a trajectria de referncia. INCERTEZAS O modelo fsico do veculo no traduz exactamente o real comportamento do veculo; PERTURBAES p.ex. correntes martimas e rudo nos sensores. SISTEMAS MECNICOS de posio Controlo automtico da orientao de um aerogerador Maximizao da gerao de energia elctrica; Funo da orientao predominante (direco angular) do vento; A torre do aerogerador dever rodar um ngulo de sada (accionada por um motor e um conjunto de engrenagens); Introduo ao Controlo de Sistemas 15 Desenho esquemtico das relaes entre os diversos dispositivos: Entrada Entrada Amplificada Sada Realimentao da sada Introduo ao Controlo de Sistemas 16 Entrada: Deslocamento angular convertido em tenso por um potencimetro; Sada: Deslocamento angular da torre do aerogerador. Realimentao: A sada (Deslocamento angular da torre do aerogerador) convertida em tenso por um potencimetro. Objectivo: Amplificao do sinal de entrada em tenso (relativo ao direco angular do vento) de modo a comandar o motor que far a movimentao das engrenagens e consequentemente a rotao da torre do aerogerador. Controlo automtico da posio angular de um aerogerador Quando o sinal de entrada e de sada coincidem: ngulo de direco do vento = ngulo de rotao da torre; O erro nulo Motor deixa de funcionar. Quanto maior for o erro: diferena entre o sinal de entrada e de sada: Mais elevada ser a tenso entrada do motor; Maior ser a velocidade de rotao do motor. Se o ganho do amplificador for aumentado: O valor da sada em regime estacionrio no variar; A resposta transitria do sistema ir variar; O erro em estado estacionrio manter-se- nulo. Introduo ao Controlo de Sistemas 17 Sistemas ERRO EM ESTADO ESTACIONRIO NO NULO Solues: Aumentar o ganho do controlador: Reduo ou at mesma anulao do erro em regime estacionrio do sistema; Alterao da resposta transitria do sistema. Projecto de um compensador (sistema dinmico): Reduo ou at mesma anulao do erro em regime estacionrio do sistema; So provocadas pequenas oscilaes na resposta transitria. 1.4. Objectivos Genricos de Controlo RESPOSTA TRANSITRIA: Anlise da resposta transitria de um sistema, e reajuste dos parmetros ou dos componentes de projecto de modo a obter a resposta transitria desejada. Ex: Controlo de Elevadores: Resposta transitria lenta: Impacincia dos ocupantes do elevador; Resposta transitria rpida: Desconforto dos ocupantes; Resposta transitria inicial oscilatria: Sensao de incmodo; RESPOSTA EM ESTADO ESTACIONRIO: Anlise da resposta em estado estacionrio de um sistema, reflecte a preciso com que a Sada acompanha a Entrada. Estudo de aces correctivas para reduo do erro de estado estacionrio. Introduo ao Controlo de Sistemas 18 ESTABILIDADE: Qualquer sistema projectado para ser estvel. Avaliao da estabilidade de sistemas e medidas de ajuste e correco. 1.5. Etapas de Projecto de Sistemas SISTEMA FSICO: Modelao do sistema fsico Encontrar as leis que regem o comportamento do sistema, a partir de consideraes de ordem fsica (podendo ser consideradas hipteses simplificativas); Ao mesmo sistema fsico podem corresponder modelos distintos. REPRESENTAO MATEMTICA do modelo fsico:Desenvolvimento de um modelo matemtico com base nas leis fsicas e em funo das hipteses simplificativas da modelao; Estimao dos parmetros do modelo (p.ex., experimentao); Ao mesmo modelo podem corresponder diversas representaes matemticas. ANLISE: Caracterizao do comportamento do sistema Resposta do sistema no domnio do tempo, da frequncia, estabilidade, .... PROJECTO: Projecto de controladores para que a resposta do sistema satisfaa determinadas especificaes, dentro das possibilidades fsicas. Modelao de Sistemas Fsicos Modelao de Sistemas Fsicos 1 Modelao de Sistemas Fsicos 1. Representao Matemtica Os mais variados sistemas fsicos: Sistemas mecnicos; Sistemas elctricos; Sistemas electromecnicos; Sistemas trmicos; Sistemas hidrulicos; Sistemas biolgicos; .... podem ser representados isoladamente ou pela associao de vrios sub-sistemas. A REPRESENTAO MATEMTICA pode ser apresentada na forma: Entrada Sada Relao directa entre a entrada e sada do sistema. Equao Diferencial; Funo de Transferncia. EquaesdeEstadoRelaoentreaentrada(s),sada(s)easvariveisinternasdo sistema. Odesenvolvimentodosmodelosmatemticosconsistenaaplicaodasleisfsicas fundamentais da Cincia e da Engenharia: Sistemas Mecnicos Lei de Newton, etc... Sistemas Elctricos Lei de Ohm, Leis de Kirchhoff, etc... Modelao de Sistemas Fsicos 2 Obteno de Equaes Diferenciais que descrevem as relaes entre as entradas e sadas de sistemas dinmicos. Exemplo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO Podero ser descritos pela 2 Lei de Newton: Aaceleraoadquiridaporumcorpodemassam,directamenteproporcional resultante das foras que sobre esse corpo actuam F = m a F Somatrio das foras aplicadas ao sistema [N]; a- Vector acelerao a que o corpo est sujeito [m/s2]; m Massa do corpo [kg]. SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO Elementos Bsicos: Massa Armazena Energia Cintica; Mola Armazena Energia Potencial; Atrito Elemento dissipador de energia. Modelao de Sistemas Fsicos 3 SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): Representaomatemticadavelocidadedetranslaodeumcorposujeitoaumafora externa,tendoemconsideraooatritoentreocorpoeasuperfciecomqueestem contacto. K Constante de elasticidade da mola f(t) Fora de restituio da mola resultado de uma deformao. K x(t) Fora necessria para efectuar a deformao. fv(t) Coeficiente de atrito viscoso. f(t) Fora de atrito que se ope ao movimento proporcional velocidade (simplificao). Modelao de Sistemas Fsicos 4 2 Lei de Newton: F = m a= =dtt dvmdtt x dm) ( ) (22= dtt dvm t v f t fdtt dxf t f t f t fv v a) () ( ) () () ( ) ( ) ( = = = Representao matemtica de Entrada-Sada no domnio do tempo: - Equao diferencial linear de coeficientes constantes de 1 Ordem: ) ( ) () (t f t v fdtt dvmv= + Resoluo analtica da equao diferencial ordinria: ) () ( ) (t vmfmt fdtt dvv = mfvmfdtdvv= + Considerando:tmfdt t Amft Av v= = ) ( ) ( mft B = ) ( =+dt t A dt t A dt t Ae t B v e t Adtdve) ( ) ( ) () ( ) ( += dt t A dt t A dt t Ae C dt e t B e v) ( ) ( ) () ( Modelao de Sistemas Fsicos 5 Substituindo: tmftmftmfv v ve C dt emfe v + = tmftmfvvtmfv v ve C dt emfffe v + =1 tmftmfvtmfv v ve C efFe v + = tmfvve CfFv + = Determinando a constante: C atravs das condies iniciais: v(0)=0 vfFC = Substituindo, a soluo da equao diferencial vir: 0 , ) ( =t efFfFt vtmfv vv SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): Representao matemtica do sistema: ) ( ) () (t f t v fdtt dvmv= + Considerando: A massa inicialmente em repouso:v(0) = 0 A aplicao de uma fora (Entrada):f(t) = F para t 0 Modelao de Sistemas Fsicos 6 A resoluo da Equao Diferencial traduz a evoluo temporal a velocidade: 0 , ) (Re Re =t efFfFt vNatural spostatmfvForada spostavv43 42 1 4 43 4 42 1 SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): Para: Fora externa constante: F = 1 [N] Coeficiente de atrito viscoso: fv = 0,75 [N s/m] A comparao da evoluo temporal da velocidade para m = 1 [kg] e m = 2 [kg] vir: 2. Transformada de Laplace Definio:ATransformadadeLaplacedeumafunof(t)existeseointegraldeLaplace converge. O integral convergir se: A funo for contnua por troos em todo o intervalo t>0; A funo for de ordem exponencial quando t . L [ ]= =0) ( ) ( ) ( dt e t f s F t ft s vfFvf10 5 1 0 1 500 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4Te m p o [ s e g ]v(t) [m/s]m = 2fv= 0 . 7 5m = 1fv= 0 . 7 5S a d aE n t ra d aG a n h o e me s t a d oe s t a c i o n ri oFModelao de Sistemas Fsicos 7 Sendo s = + jVarivel complexa Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): ) ( ) () (t f t v fdtt dvmv= + Equao DiferencialRepresentao matemtica do sistema no domnio do tempo t, para uma determinada entrada; A sada pode obter-se por resoluo da Equao Diferencial. Paraultrapassaradificuldadederesoluomatemticadirectadeequaesdiferenciais, utiliza-se a TRANSFORMADA DE LAPLACE, pois: Permite a representao da entrada, sada e sistema como entidades distintas; As inter-relaes passam a ser puramente algbricas. Permite o uso de tcnicas grficas para prever o desempenho do sistema; Invalida a necessidade de resolver de forma directa as equaes diferenciais; Tantoacomponentetransitria(RespostaNatural)comoacomponentederegime permanente (Resposta Forada) da resposta temporal podem ser resolvidas simultaneamente. Modelao de Sistemas Fsicos 8 Tabela das TRANSFORMADA DE LAPLACE (1/3) Tabela de Transformadas de Laplace de funes no domnio do tempo que vulgarmente aparecero na anlise de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT). Modelao de Sistemas Fsicos 9 Tabela das TRANSFORMADA DE LAPLACE (2/3) Modelao de Sistemas Fsicos 10 Tabela das TRANSFORMADA DE LAPLACE (2/3) Modelao de Sistemas Fsicos 11 Propriedades e teoremas da TRANSFORMADA DE LAPLACE (1/2) Modelao de Sistemas Fsicos 12 Propriedades e teoremas da TRANSFORMADA DE LAPLACE (2/2) TEOREMA DO VALOR INICIAL: f(0+) = lim f(t) = lim s.F(s) t 0+s Nota: Para este teorema ser vlido, f(t) tem que ser continua ou possuir uma descontinuidade em degrau em t = 0. TEOREMA DO VALOR FINAL: f() = lim f(t) = lim s.F(s) t s 0 Nota: Para obter os resultados correctos pela aplicao deste teorema, todas as razes do denominador de F(s) tm que possuir parte real negativa e no mais do que uma poder estar localizada na origem. Modelao de Sistemas Fsicos 13 Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): Equao Diferencial: ) ( ) () (t f t v fdtt dvmv= + Aplicando o teorema da diferenciao (Teorema 3) da Transformada de Laplace, considerando condies iniciais nulas: ) ( ) ( ) ( s F s V f s V s mv= + Manipulando os termos da expresso, obtm-se a funo de transferncia representativa da relao entre a sada: V(s) e entrada: F(s) do SLIT de translao de 1 Ordem dada por: FUNO DE TRANSFERNCIA: vf s m s Fs V+=1) () ( Representao matemtica do sistema no domnio da varivel complexa s. (Domnio da FREQUNCIA) TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL Y(s) = L [y(t)] Estes teoremas podem ser utilizados, sem o clculo explicito da sada para uma dada entrada, para determinar os valores inicial e final da resposta temporal de SLITs. Y(s) = G(s).R(s) TEOREMA DO VALOR INICIAL: y(0+) = lim y(t) = lim s.Y(s) t 0+s Modelao de Sistemas Fsicos 14 TEOREMA DO VALOR FINAL: y() = lim y(t) = lim s.Y(s) t s 0 (Nota: Os teoremas apenas podero ser aplicados quando os limites existirem, ou seja, quando o sistema for estvel como se ver no captulo seguinte) CLCULO DE CARACTERSTICAS DA SADA DE UM SLIT Para uma entrada em degrau unitrio: r(t) = 1 para t 0 R(s) = L [r(t)] =s1 VALOR INICIAL DA SADA (Teorema do Valor Inicial) y(0+)=lim y(t)=lim s.Y(s)=lim s.G(s) .R(s) t 0+s s y(0+)=lim s.G(s) .R(s)=lim s.G(s) .1=lim G(s) s s ss VALOR FINAL DA SADA (Teorema do Valor Final) y()=lim y(t)=lim s.Y(s)=lim s.G(s) .R(s) t s 0s 0 y()=lim s.G(s) .R(s)=lim s.G(s) .1=lim G(s) s 0s 0s 0 Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): Ganho em regime estacionrio Modelao de Sistemas Fsicos 15 FUNO DE TRANSFERNCIA: vf s m s Fs V+=1) () ( VALOR INICIAL DA SADA (Teorema do Valor Inicial) v(0+)=lim v(t)=lim s.V(s)=lim s.G(s) .F(s) t 0+s s 01lim ) ( ) ( lim ) 0 ( = + = = +sFf s ms s F s G s vvs s VALOR FINAL DA SADA (Teorema do Valor Final) v()=lim v(t)=lim s.V(s)=lim s.G(s) .F(s) t s 0s 0 v vs s fFsFf s ms s F s G s v = + = = 1lim ) ( ) ( lim ) (0 0 3. Funo de Transferncia CASO GERAL Usadaspara caracterizarasrelaes entreEntradaeSadadecomponentesousistemasque possam ser descritos por Equaes Diferenciais lineares invariantes no tempo. AFUNODETRANSFERNCIAdeumsistemadeequaesdiferenciaislineares invariantesnotempodefinidacomsendoarelaoentreaTransformadadeLaplaceda sada e a Transformada de Laplace da entrada sob a hiptese de condies iniciais nulas. L L [ ][ ] ) () () () () (s Rs Yt rt ys G = =Modelao de Sistemas Fsicos 16 FUNO DE TRANSFERNCIA Para condies iniciais nulas:Y(s)=G(s) . R(s) Procedimentos para a obteno da soluo da equao diferencial representao de entrada-sada: 4. Transformada Inversa de Laplace Processo matemtico de transformao da representao matemtica do sistema no domnio da frequncia (varivel complexa s) para a representao matemtica do sistema no domnio do tempo t. L-1[ ] ) ( ) ( t y s Y = Consiste em: + =jjt sds e s Yjt y) (21) (quando a Transformada de Laplace de y(t): ) () () (s Bs As Y =Modelao de Sistemas Fsicos 17 Onde A(s) e B(s) so polinmios em s e o grau de B(s) menor que o grau de A(s)Uso doMTODODEEXPANSOEMFRACESPARCIAISparadeterminaoda Transformada Inversa de Laplace. MTODO DE EXPANSO EM FRACES PARCIAIS Caso 1: Razes do denominador de Y(s) reais e distintas: Determine a Transformada Inversa de Laplace da seguinte funo: Ex: ( )( ) 2 1 2 12) (+++=+ +=sBsAs ss YCaso 2: Razes do denominador de Y(s) reais e repetidas: Determine a Transformada Inversa de Laplace da seguinte funo: Ex: 2 ) 2 ( 1 ) 2 )( 1 (2) (2 2+++++=+ +=sCsBsAs ss YCaso 3: Razes do denominador de Y(s) complexas ou imaginrias: Determine a Transformada Inversa de Laplace da seguinte funo: Ex: 5 2 ) 5 2 (3) (2 2+ +++ =+ +=s sC BssAs s ss Y Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): FUNO DE TRANSFERNCIA: vf s m s Fs V+=1) () ( Modelao de Sistemas Fsicos 18 Para a aplicao de uma fora (Entrada):f(t) = F para t 0 L[ ]st u1) ( =L[ ]sFt f = ) ( Assim:sFf s ms Vv+=1) (Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): () t v=L-1[ ] ) (s V =L-1((

+ sFf s mv1 MTODO DE EXPANSO EM FRACES PARCIAIS mfsfFsfFmfs smFsFf s mvv vv v+ =||

\|+= +1 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE () t v= vfF L-1((

s1 - vfF L-1((((

+mfsv1 ) ( ) ( ) ( t u efFt ufFt vtmfv vv =0 , 1 ) ( |||

\| =t efFt vtmfvv Modelao de Sistemas Fsicos 19 Ex. 1: AplicaraTransformadadeLaplaceseguinteequaodiferencial,assumindocondies iniciais nulas. ) ( 32 ) ( 32) (12) (22t u t ydtt dydtt y d= + +Ex. 2: Obtenha a soluo da equao diferencial assumindo as seguintes condies iniciais em que a e b so constantes: bdtdya y t ydtt dydtt y d= = = + +) 0 (, ) 0 ( , 0 ) ( 2) (3) (22 Ex. 3: Obtenha a soluo da equao diferencial assumindo condies iniciais nulas: ) ( 3 ) ( 5) (2) (22t u t ydtt dydtt y d= + + 5. Forma Cannica da FT (Sistemas de 1 Ordem) A forma Cannica da funo de transferncia de sistemas de 1 Ordem dada por: 11) () () (0++= =TssKs Ds Ns G Em que:K0 representa o GANHO ESTTICO T representa a CONSTANTE DE TEMPO Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): vf s m s Fs V+=1) () ( Modelao de Sistemas Fsicos 20 A representao na forma cannica vir: 11) () (+=sfmfs Fs Vvv Sendo:vfmT=a constante de tempo e vfK10=o Ganho Esttico: Para: Fora externa constante: F = 1 [N] Coeficiente de atrito viscoso: fv = 0,75 [N s/m] Ganho Esttico:33 . 175 , 01 10= = =vfKA FUNO DE TRANSFERNCIA na forma CANNICA vir: m = 1 [kg] : 1 33 . 133 . 111) () (+=+=ssfmfs Fs Vvv Ganho Esttico: K0 = 1,33Constante de Tempo: T = 1,33 m = 2 [kg] : 1 66 . 233 . 111) () (+=+=ssfmfs Fs Vvv Ganho Esttico: K0 = 1,33Constante de Tempo: T = 2,66 6. FT de um SLIT com C.I. no nulas SpossvelobteratravsdaTransformadadeLaplace,aFunodeTransfernciadeum sistemalineareinvariantenotempocomcondiesiniciaisnonulas,seestasforem conhecidas. Para o exemplo em estudo: Modelao de Sistemas Fsicos 21 SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): Equao Diferencial:) ( ) () (t f t v fdtt dvmv= +Condio inicial conhecida: v(0 -) = 1 Aplicando o teorema da diferenciao (Teorema 3) das Transformadas de Laplace: m s V(s) v(0 -) + fvV(s) = F(s) v v vf s ms Ff s ms Ff s mvs Fs V++=+++=) ( 1 ) ( ) 0 () () ( 7. Deduo de FTs de SLITs SISTEMAS ELCTRICOS Ex. 1:CIRCUITO RLC SRIE Determinao da FT que relaciona a queda de tenso no condensador: VC(s) com a tenso de entrada: V(s). Aplicando a Lei de Kirchhoff das Malhas: ) ( ) ( ) ( ) ( t v t v t v t vC L R+ + =A equao integro-diferencial das tenses na malha vir: + + =tod iC dtt i dL t i R t v ) (1 ) () ( ) (Mudana de varivel da equao integro-diferencial: Modelao de Sistemas Fsicos 22 dtt q dt i) () ( =Obtm-se a equao diferencial: ) (1 ) ( ) () (22t qC dtt q dLdtt dqR t v + + =Atravs da relao: ) ( ) ( t v C t qC=) () ( ) () (22t vdtt v dLCdtt dvRC t vCC C+ + =Aplicando a Transformada de Laplace assumindo C.I. iniciais: ( ) ) ( 1 ) (2s V s RC s LC s VC+ + =Assim, a FUNO DE TRANSFERNCIA vir: LCsLRsLCs Vs VC11) () (2+ += Ex. 2:CIRCUITO ELCTRICO COM 2 MALHAS SISTEMAS ELECTRNICOS Ex. 1:AMPOP: MONTAGEM INVERSORA DeterminaodaFTquerelacionaatensodesada:V0(s)comatensodeentradado amplificador operacional (AMPOP) numa montagem inversora: Vi(s). Modelao de Sistemas Fsicos 23 Para o esquema b), a relao de tenses numa montagem inversora: ) ( ) (1 0t v A t v =Considerando a montagem das impedncias expostas no esquema c): Elevada impedncia de entrada: Z1(t) (caso ideal) Pela Lei de Kirchhoff: Ia(s) = 0I1(s) = - I2(s) Elevado ganho de amplificao (constante):A (caso ideal) V1(t) 0 = =) () () () () () (20211s Zs Vs Is Zs Vs Ii Assim, a FT do amplificador operacional inversor vir: ) () () () (12 0s Zs Zs Vs Vi = Modelao de Sistemas Fsicos 24 Ex. 2:AMPOP: MONTAGEM NO-INVERSORA A relao entre as tenses dada por: ) ) ( ) ( ( ) (1 0s V s V A s Vi =Aplicando uma diviso de tenso: ) () ( ) () () (02 111s Vs Z s Zs Zs V+=A FT vir: ) ( ) () (1) () (2 110s Z s Zs Z AAs Vs Vi++=Para um ganho de amplificao elevado: ) () ( ) () () (12 1 0s Zs Z s Zs Vs Vi+= SISTEMAS MECNICOS Ex. 1: SISTEMAS DE TRANSLACO (2 Ordem): Representaomatemticadatranslao(posio),x(t),deumcorpodemassaMsujeitoa uma fora externa, f(t), tendo em considerao a fora de atrito, fa(t) e a fora de restituio da mola resultado de uma deformao, fm(t) (alongamento ou compresso). Modelao de Sistemas Fsicos 25 2 Lei de Newton: F = m a=22) (dtt x dm22) () () () ( ) ( ) ( ) (dtt x dM t x Kdtt dxf t f t f t f t fv m a= = Considerando condies iniciais nulas: A massa parte da posio nula :x(0) = 0 A massa inicialmente em repouso:v(0) = 0 A aplicao de uma fora (Entrada):f(t) = F para t 0 Aplicandoosteoremasdadiferenciao(Teorema3eTeorema4)daTabeladas Transformada de Laplace: ) ( ) ( ) ( ) (2s F s X K s X s f s X s Mv= + +Manipulando os termos da expresso, a FT que representa a relao entre a sada e entrada do sistema de translao de 2 Ordem: K s f s M s Fs Xv+ +=21) () ( MKMfMs s s Fs Xv+ +=21) () ( Modelao de Sistemas Fsicos 26 SISTEMAS MECNICOS Ex. 2: SISTEMAS DE ROTAO Representaomatemticadarotao(ngulo),(t),deumcorpocomummomentode inrcia,J,sujeitoaumbinrioexterno,T(t),tendoemconsideraoocoeficientedeatrito rotacional, D, e a constante de deformao rotacional da mola, K. Lei de Newton-Euler: T(t)=22) (dtt dJ T Binrios aplicados ao sistema [N.m]; 22) (dtt d Acelerao angular a que o corpo est sujeito [rad/s2]; J Momento de inrcia [kg.m2]. K Constante de elasticidade da mola T(t) Binrio de restituio da mola (resultado de deformao) ou Binrio de atritoqueseopeaomovimentoeproporcionalvelocidadeangular (simplificao).. D Coeficiente de atrito viscoso. Modelao de Sistemas Fsicos 27 22) () ( ) ( ) (dtt dJ t T t T t TK D= + +22) () () () (dtt dJ t Kdtt dD t T= Considerando condies iniciais nulas: a inrcia inicialmente em repouso: (0) = 0 a aplicao de um binrio (Entrada):T(t) = T para t 0 Aplicandoosteoremasdadiferenciao(Teorema3eTeorema4)daTabeladas Transformada de Laplace: ) ( ) ( ) ( ) (2s K s Ds s Js s T + + =Manipulando os termos da expresso, a FT que representa a relao entre a sada e entrada do sistema de rotao de 2 Ordem dada por: K s D s J s Ts+ +=21) () ( JKJDJs s s Ts+ +=21) () ( Aps terem sido apresentados os diversos elementos constituintes de sistemas mecnicos de rotao e o mtodo de modelao matemtica, podem ser agrupadas a este tipo de sistemas as engrenagens,jquevariadossistemasmecnicosrotativosfazemusodecaixasde desmultiplicao. Modelao de Sistemas Fsicos 28 SISTEMAS MECNICOS Ex. 3: SISTEMAS DE ROTAO COM ENGRENAGENS Considerando: Roda dentada 1:Entrada Raio:r1 N. de dentes:N1 Roda dentada 2:Sada Raio:r2 N. de dentes:N2 A interaco linearizada entre duas rodas dentadas pressupe: velocidade linear igual no ponto de contacto das duas rodas: r11 = r22 Logo,adesmultiplicaoangularinversamenteproporcionalaoquocientedonmerode dentes: 212112NNrr= = Supondoqueaengrenagemnoacumulanemdissipaenergia,arelaodaenergia rotacional: T vem: T11 = T22 Assim,amultiplicaodebinriodirectamenteproporcionalaoquocientedonmerode dentes das rodas: 122112NNTT= = Modelao de Sistemas Fsicos 29 Para o exemplo em estudo: SISTEMA MECNICO ROTATIVO COM ENGRENAGENS Lei de Newton-Euler: T(t)=22) (dtt dJ 2222) () ( ) ( ) (dtt dJ t T t T t TK D= + +222222) () () () (dtt dJ t Kdtt dD t T= Considerando condies iniciais nulas: a inrcia inicialmente em repouso: (0) = 0 a aplicao de um binrio (Entrada):T(t) = T para t 0 Aplicandoosteoremasdadiferenciao(Teorema3eTeorema4)daTabeladas Transformada de Laplace: ) ( ) ( ) (222s K Ds Js s T + + =como 122112NNTT= = ) ( ) ( ) (22121s K Ds JsNNs T + + =Modelao de Sistemas Fsicos 30 2112121) ( ) ( ) (NNs K Ds JsNNs T + + =221221 2221111) () (|||

\|+|||

\|+|||

\|=NNK sNND sNNJs Ts SISTEMAS ELECTROMECNICOS A modelao de sistemas electromecnicos consiste na representao matemtica de sistemas hbridos,queintegramasexpressesanteriormenteobtidasparasistemasmecnicose elctricos. Ex. 1:MOTOR ELCTRICO DE CORRENTE CONTNUA Determinao da FT que relaciona a posio angular do veio do motor (sada): m(s) com a tenso de entrada no estator: ea(s). Parmetros: Ra Resistncia [] La Indutncia [H] ea Tenso de entrada [V] ia corrente [A] vb Fora contraelectromotriz [V] TmBinriodisponvelnoveiodo motor [Nm] Modelao de Sistemas Fsicos 31 A Fora contraelectromotriz: vb surge do rotor girar num campo magntico, tal que: ) () () ( t Kdtt dK t vm bmb b= =Aplicando a Transformada de Laplace: ) ( ) ( s s K s Vm b b =EQUAO DO ESTATOR A aplicao da Lei de Kirchhoff ao estator permite obter a equao: ) ( ) () () ( t e t vdtt i dL t i Ra baa a a= + +Pela Transformada de Laplace: ) ( ) ( ) ( ) ( s E s V s I s L s I Ra b a a a a= + +Por outro lado, o binrio acessvel no veio do motor proporcional corrente no estator: ) ( ) ( s I K s Ta t m= Kt Cte de Proporcionalidade ) ( ) () ( ) (s E s s KKs T s L Ra m btm a a= ++ EQUAO DO ROTOR Tipicamente, a carga mecnica num motor equivalente a: Aplicando a Lei de Newton-Euler: dtt dDdtt dJ t Tmmmm m) ( ) () (22 + = Modelao de Sistemas Fsicos 32 Pela Transformada de Laplace: ) ( ) ( ) (2s s D s J s Tm m m m + =) ( ) () ( ) ( ) (2s E s s KKs s D s J s L Ra m btm m m a a= ++ + Parasimplificaodafunodetransferncia,seaindutnciadoestator:Lapuderser desprezada face a um pequeno valor quando comparada com a resistncia do estator: Ra vir por manipulao: ((

|||

\|+ +=ab tmmm atamRK KDJs sJ RKs Es1) () ( Seconsiderarmosqueaomotorestacopladaumaengrenagem,osclculospoderoser simplificados,seosparmetrosdomotor(Momentodeinrcia:JaeCoeficientedeatrito viscosorotacional:Da)edacarga(Momentodeinrcia:JLeCoeficientedeatritoviscoso rotacional:DL)foremcomnbinados,tendoemconsideraoarelaodedesmultiplicao imposta pela engrenagem: 221|||

\|+ =NNJ J JL a m 221|||

\|+ =NND D DL a m 8. Linearizao de Modelos de Sistemas Um sistema linear possui duas caractersticas: SOBREPOSIO: A sada de um sistema soma das entradas igual soma das sadas a cada entrada; Modelao de Sistemas Fsicos 33 Ex: Y(s) = G(s) ( R1(s) + R2(s) )Y(s) = Y1(s) + Y2(s) em que, Y1(s) = G(s) R1(s) ; Y2(s) = G(s) R2(s) HOMOGENEIDADE: A resposta de um sistema sujeito a uma entrada multiplicada por um escalar, tambm multiplicada pelo mesmo escalar. Ex: SeY(s) = G(s) R(s)ento,(A Y(s)) = G(s) (A R(s)) ParaaobtenodaFunodeTransfernciadequalquersistemanolinearnecessrio efectuar uma aproximao linear (LINEARIZAO) Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): Considerandoqueaforadeatrito,fa(t)queseopeaomovimentoconstitudapordois termos: Termo linear proporcional velocidade:fvv(t) Termo quadrtico:fvvv 2(t) A Equao Diferencial vir:) ( ) ( ) () (2t f t v f t v fdtt dvmvv v= + +Determinando a condio de equilbrio: v(t) = cte = v000=dtdv Substituindo na equao diferencial: 020 0f v f v fvv v= +Estudo do comportamento em torno do ponto de equilbrio: (v0,f0) ) ( ) ( ) () (2t f t v f t v fdtt dvmvv v= + +) ( ) ( ) () (020 00f f v v f v v fdtv v dmvv v + = + + + ++ Modelao de Sistemas Fsicos 34 Aplicao da expanso em Srie de Taylor da equao diferencial e desprezo dos termos no lineares (Ordem superior 1) 00=dtdv;v v v v v 020202 ) ( + +f v v f v fdtv dmvv v = + +02Aplicando a Transformada de Laplace, a funo de transferncia vir: ) 2 (1) () (0v f f s m s Fs Vvv v+ += Diagrama de Blocos Diagrama de blocos 1 Diagrama de Blocos 1. Representao em Diagrama de Blocos -Sistemascomplexossousualmenterepresentadospelainteracodesub-sistemas mais simples. oOs sub-sistemas podem ser representados pelo bloco que traduz a relao (FT) entre a entrada: R(s) e a sada: C(s). oO conjunto denominado por DIAGRAMA DE BLOCOS -Asimplificao/reduodoDIAGRAMADEBLOCOSdemodoaobteraFT global do sistema complexo pode ser realizada atravs de: oMtodo algbrico; oReduo grfica sucessiva; oTeoria dos grafos lineares de fluxo de sinal. 2. Elementos Bsicos Diagrama de blocos 2 3. Blocos em Cascata A FT de blocos em cascata dada pelo produto da FT dos elementos da cascata. 4. Blocos em Paralelo A FT de blocos em paralelo dada pela soma da FT destes blocos. Diagrama de blocos 3 5. Forma Cannica da realimentao Topologia de sistema de controlo com realimentao: Modelo simplificado: Funo de Transferncia equivalente do sistema realimentado: ) ( ) ( ) ( s E s G s C =Realimentao negativa:) ( ) ( ) ( ) ( s C s H s R s E =Realimentao positiva:) ( ) ( ) ( ) ( s C s H s R s E + = FUNODETRANSFERNCIADE MALHA ABERTA Diagrama de blocos 4 ) ( ) () () (s H s Gs Rs C = FUNO DE TRANSFERNCIA DE MALHA FECHADA ) ( ) ( 1) () () (s H s Gs Gs Rs C = 6. Reduo Sucessiva de Diagramas de Blocos MOVER UM BLOCO PARA TRS DE UM PONTO DE DERIVAO MOVER UM BLOCO PARA A FRENTE DE UM PONTO DE DERIVAO Diagrama de blocos 5 MOVER UM BLOCO PARA TRS DE UM PONTO DE SOMA MOVER UM BLOCO PARA A FRENTE DE UM PONTO DE SOMA Diagrama de blocos 6 OPERAES DE REDUO SUCESSIVA (1/2) Diagrama de blocos 7 OPERAES DE REDUO SUCESSIVA (2/2) REGRAS BSICAS DE REDUO SUCESSIVA: -Combinar todos os blocos em cascata; -Combinar todos os blocos em paralelo; -Eliminar todos os ciclos de realimentao; -Deslocar os pontos de soma para a esquerda dos ciclos maiores; -Deslocar os pontos de derivao para a direita dos ciclos maiores; Diagrama de blocos 8 Ex. 1: -Acoplar todos os pontos de soma: Reduzir: -A um bloco equivalente os blocos em cascata da malha directa; -A um bloco equivalente os blocos em paralelo da malha de realimentao. Diagrama de blocos 9 Reduzir: -A um bloco equivalente o sistema realimentado; -Obter o diagrama de blocos global atravs da reduo dos blocos em cascata. Ex. 2: Ex. 3: Ex. 4: Diagrama de blocos 10 Ex. 5: Ex. 6: Ex. 7: Modelao Temporal de Sistemas Modelao Temporal de Sistemas 1 Modelao Temporal de Sistemas 1. Representao em Espao de Estados (E.E.) FUNDAMENTAO Tendncia actual dos sistemas de controlo cada vez mais complexos: -necessidade de realizao de mltiplas tarefas; -maior preciso; -etc... Caractersticas dos sistemas de controlo complexos actuais: -entradas mltiplas; -sadas mltiplas; -variantes no tempo. Para satisfazer exigncias cada vez mais rigorosas de desempenho de sistemas de controlo foi desenvolvidoummtododeanliseeprojectodestessistemasbaseadonoconceitode estado: TEORIA DE CONTROLO MODERNO TERMINOLOGIA CombinaoLinearAcombinaolineardenvariaveis,xi,parai=1,...,ndadapelo seguinte somatrio: S = Kn.xn + Kn-1.xn-1 + ... + K1.x1 Ki = constante; Independncia Linear Um conjunto de variveis linearmente independente se nenhuma das variveis puder ser expressa pela combinao linear das restantes; VariveldosistemaQualquervarivelquecorrespondaaumaentradaouacondies iniciais do sistema; Variveis de Estado O menor conjunto de variveis do sistema linearmente independentes quedeterminamoestadodosistemadinmico.Sendoespecificadooestadoinicialt0junto Modelao Temporal de Sistemas 2 com as entradas para t t0, possvel determinar o comportamento do sistema para qualquer t t0; Espao de Estados Espao n-dimensional cujos eixos so as variveis de estado; Vector de Estado Vector cujos elementos so as variveis de estado; EquaesdeEstadoConjuntodenequaesdiferenciaisde1Ordem,emqueasn variveis a serem resolvidas so as variveis de estado. As Equaes no Espao de Estados so constitudas por: -Variveis de Entrada; -Variveis de Sada; -Variveis de Estado; Equao de Sada Equao algbrica que expressa as variveis de sada do sistema como uma combinao linear das variveis de estado e das entradas. REPRESENTAO EM ESPAO DE ESTADOS + =+ =u D x C yu B x A x& para t t0 e condies iniciais x(t0), onde: Modelao Temporal de Sistemas 3 ox =Vector de estado; ox&=Derivada em funo do tempo do vector de estado; oy =Vector de sada; ou =Entrada ou vector de controlo; oA =Matriz de estado; oB =Matriz de entrada; oC =Matriz de sada; oD =Matriz de transmisso directa; Para o exemplo que temos vindo a estudar em estudo: SISTEMAS ELCTRICOS: CIRCUITO RLC SRIE VARIVEIS DE ESTADO: Carga no condensador:x1(t) = q(t) Corrente elctrica:x2(t) = i(t) Aplicando a Lei de Kirchhoff das Malhas: ) ( ) ( ) ( ) ( t v t v t v t vC L R+ + =A equao integro-diferencial das tenses na malha vir: + + =tod iC dtt i dL t i R t v ) (1 ) () ( ) ( (1) Mudana de varivel da equao integro-diferencial: dtt q dt i) () ( =Modelao Temporal de Sistemas 4 Obtm-se a equao diferencial: ) (1 ) ( ) () (22t qC dtt q dLdtt dqR t v + + = (2) EQUAES DE ESTADO: Considerando que:idtdq= ( 2 1x x = &) A 2 equao pode ser obtida pela substituio de = q dt ina equao (1) e resolvida para dtdi ( 2x&) : idtdq=vLiLRqLC dtdi 1 1+ = EQUAO DE SADA: P.ex.: dtdiL vL=v i R qCvL+ =1 A REPRESENTAO EM ESPAO DE ESTADOS vir: u B x A x + = &u x xL LRLC((

+((

= 1 10 1 0& ((

=dtdidtdqx& ((

=iqx u = v(t) Modelao Temporal de Sistemas 5 ((

= LRLCA11 0 ; ((

=LB10 u D x C y + =[ ] u x R yC+ =1 [ ] R CC =1 ;D = 1 Para o exemplo em estudo: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO : 2 Ordem VARIVEIS DE ESTADO: Posio:x1(t) = x(t) Velocidade:x2(t) = v(t) 2 Lei de Newton: F = m a=22) (dtt x dm22) () ( ) ( ) (dtt x dM t f t f t fm a= 22) () () () (dtt x dM t x Kdtt dxf t fv= EQUAES DE ESTADO: Considerando que:vdtdx= ( 2 1x x = &) y = vL(t) ((

=iqx u = v(t) Modelao Temporal de Sistemas 6 Reformulando a equao obtm-se dtdv ( 2x&) :: dtdvM x K v f fv= MfvMfxMKdtdvv+ = EQUAO DE SADA:P.ex.:y = x y = x1 A REPRESENTAO EM ESPAO DE ESTADOS VIR: u B x A x + = & u x xMfMfMK v((

+((

=0 1 0&u D x C y + =[ ]x y 0 1 = 2. Converso de Representao: FT EE Ex. 1: SISTEMAS ELCTRICOS: CIRCUITO RLC SRIE ((

=dtdvdtdxx& ((

=vxx u = f(t) y = x(t) Modelao Temporal de Sistemas 7 FUNO DE TRANSFERNCIA que relaciona a queda de tenso no condensador: VC(s) com a tenso de entrada: V(s): LCsLRsLCs Vs VC11) () (2+ +=) (1) (12s VLCs VLCsLRsC||

\|= ||

\|+ +Passo1:AequaodiferencialcorrespondentepodeserobtidaaplicandoaTransformada Inversa de Laplace e assumindo condies iniciais nulas: vLCvLCvLRvC C C1 1= + + & & &Passo 2: Seleccionar as variveis de estado: = dt t iCt vC) (1) ( CCv xv x& ==21 CCv xv x x& & && &== =22 1 Considerando: -Entrada: u(t) = v(t) , substituindo na expresso obtm-se a Equao de Estado; -Sada pretendida: x1(t) = vC(t), cria-se a Equao de Sada: 2 1x x = &uLCxLRxLCx uLCxLCxLRx1 1 1 12 1 2 1 1 2+ = = + + & & &1x y=Na forma matricial vir: u B x A x + = &u x xLC LRLC((

+((

= 1 10 1 0&Modelao Temporal de Sistemas 8 u D x C y + =[ ]x y 0 1 = Ex. 2: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO : 2 Ordem FUNODETRANSFERNCIAquerelacionatranslao(posio):x(t)comafora externa aplicada: f(t): MKMfMs s s Fs Xv+ +=21) () ( Ex. 3: Considere a seguinte FUNO DE TRANSFERNCIA que relaciona a entrada: R(s) com a sada, C(s): 24 26 92 7) () (2 32+ + ++ +=s s ss ss Rs C Passo 1: Separar o sistema em blocos em cascata, tal que o 1 bloco contenha o denominador e o 2 bloco o numerador da Funo de Transferncia global do sistema: 24 26 91) () (2 31+ + +=s s s s Rs X;2 7) () (21+ + = s ss Xs C Passo 2: Determinar as Equaes de Estado para o bloco que contm o denominador. Passo 3: Incorporar o efeito do bloco que contm o numerador. Modelao Temporal de Sistemas 9 3. Converso de Representao: EE FT Sendo dado qualquer sistema na forma de Equaes de Estado: u B x A x + = &u D x C y + =Aplicando a Transformada de Laplace para condies iniciais nulas: ) ( ) ( ) ( s U B s X A s X s + =) ( ) ( ) ( s U D s X C s Y + =Resolvendo em funo de X(s): ) ( ) ( ) ( s U B s X A sI = ,em que: I = Matriz Identidade ) ( ) ( ) (1s U B A sI s X =Substituindoobtm-seaMatrizdeTransferncia(FUNODETRANSFERNCIA para U(s) e Y(s) escalares): D B A sI Cs Us Y+ =1) () () ( Ex. 1: DadooseguintesistemadefinidopelasEquaesdeEstado,determineaFunode Transferncia: G(s) = Y(s)/U(s). u x x((((

+((((

=00103 2 11 0 00 1 0&[ ]x y 0 0 1 = Modelao Temporal de Sistemas 10 Ex. 2: Converter as equaes de Estado e de Sada na Funo de Transferncia: G(s) = Y(s)/U(s). u x x((

+((

=020 45 , 1 4&[ ]x y 625 , 0 5 , 1 = 4. Transformao de semelhana: EE Sendo dado um qualquer sistema no Espao de Estado: u B x A x + = &u D x C y + =Existem muitas outras representaes no Espao de Estados. MATRIZ DE TRANSFORMAO, P ConversodarepresentaodeEspaodeEstadoscomoVectordeEstadoxparaa representao de Espao de Estados com o Vector de Estado z. z P x= x P z1 =u B z P A z P + = & u B P z P A P z1 1 + = &u D z P C y + = u D z P C y + =Assim,aTRANSFORMAODESEMELHANA,atravsdamatrizdetransformao P, em Espao de Estados, ser dada por: P C Cu D x C yu B x A xB P BP A P A=+ =+ = ==&11 Modelao Temporal de Sistemas 11 Ex. 1: Dado o seguinte sistema representado em Espao de Estados por: u x x((((

+((((

=1007 5 21 0 00 1 0&[ ]x y 0 0 1 =Transformarosistemaparaumnovoconjuntodevariveisdeestadocujarelaocomas originais dada por:z1 = 2x1,z2 = 3x1 + 2x2,z3 = x1 + 4x2+ 5x3 Ex. 2: Dado o seguinte sistema representado em Espao de Estados por: u x x((

+((

=316 43 1&[ ]x y 4 1 =Converter o sistema cujo Vector de Estado:x z((

=4 12 3 Ex. 3: Determinararepresentaoequivalentenaformadeequaesdeestadocomamatrizde sada:[ ] 1 1 0 = C do sistema dado pela funo de transferncia: 4 3 25) () (2 32s s sss Us Y+ ++= 5. Forma Cannica de Jordan em EE Sendo dado um qualquer sistema no Espao de Estado: u B x A x + = &u D x C y + =Modelao Temporal de Sistemas 12 AformaCannicadeJordancorrespondeaumarepresentao,emEspaodeEstados,em que a matriz de estado A diagonal. ValoresPrpriosOsValoresPrpriosdamatrizdeestadoAsoosvaloresdeique satisfazem det (i.I A) = 0. Vectores Prprios Os Vectores Prprios da matriz de estado A so vectores, xi 0, tal que A.xi = i.xi Determinao dos Valores Prprios:det (i.I A) = 0 Determinao dos Vectores Prprios:A.xi = i.xi ParaobterumatransformaodesemelhananoEspaodeEstadosquecorresponda FormaCannicadeJordan,amatrizdetransformaoPconstitudapelosVectores Prprios distribudos pelas colunas da matriz de transformao. P = [x1 x2 x3 ... xn ] Ex. 1: Dado o sistema com o seguinte modelo deestado, determinar corresponte representao em espao de estados, qual corresponda a forma cannica de Jordan. u x x((

+((

=213 11 3&[ ]x y 3 2 =Passo 1: Determinao dos Valores Prprios da matriz de estado, A 0 ) ( det = A Ii0 8 63 11 300) ( det2= + + =((

((

= A I = =42 Modelao Temporal de Sistemas 13 Passo 2: Determinao dos Vectores Prprios da matriz de estado: A A.xi = i.xi Para = - 2 : ((

=((

((

212123 11 3xxxx x1 =.x2 ((

=((

ccxx21 Para = - 4 : ((

=((

((

212143 11 3xxxx x1 = - x2 ((

=((

ccxx21 Passo 3: Determinao da matriz de transformao: P Considerando c = 1 : [ ]((

= =1 11 12 1x x PPasso 4: Representao equivalente na forma cannica de Espao de Estados: ((

= =4 00 21A P A P A((

= =5 , 05 , 11B B P B[ ] 1 5 = = C P C C[ ]z yu z z1 55 , 05 , 14 00 2 =((

+((

= & Resposta Temporal de Sistemas Resposta Temporal de Sistemas 1 Resposta Temporal de Sistemas 1. Funo de Transferncia (CASO GERAL) AFUNODETRANSFERNCIAdeumcomponentedesistemaoudeumsistema constituda por: -Numerador: N(s)Polinmio de grau m -Denominador: D(s)Polinmio de grau n 0, ,) () () () () ( N n mn grau de Polinmiom grau de Polinmios Ds Ns Rs Ys G = = = Funo de Transferncia: -Prprian m -Estritamente prprian > m -No prprian < m 2. Plos, Zeros e Ganho de FTs (CASO GERAL) Considerando o caso geral de uma qualquer Funo de Transferncia 0, ,) () () () () ( N n mn grau de Polinmiom grau de Polinmios Ds Ns Rs Ys G = = = Resposta Temporal de Sistemas 2 Plos:{-pi} C um PLO do sistema com FT prpria G(s) sse |G()| = Zeros: {-zi} C um ZERO do sistema com FT prpria G(s) sse |G()| = 0 Se N(s) e D(s) no tiverem factores comuns: -Os Plos da FT: G(s) so as razes do denominador: D(s) -Os Zeros da FT: G(s) so as razes do numerador: N(s) Funo de Transferncia (CASO GERAL) 00 1110 111, ,......) () () ( N n ma s a s a s ab s b s b s bs Ds Ns Gnnnnmmmm+ + + ++ + + += = REPRESENTAES ALTERNATIVAS: (Se no houver Plos e/ou Zeros na origem e para n m) 1) 02 12 1, ,) )...( )( () )...( )( () () () ( N n mp s p s p sz s z s z sKs Ds Ns Gnm+ + ++ + += = Plos:{-p1,-p2, ... , -pn} Zeros: {-z1,-z2, ... , -zm} Se pi for um plo real, define-se por constante de tempo: iipT1=2) 02 12 10, ,) 1 )...( 1 )( 1 () 1 )...( 1 )( 1 () () () ( N n ms T s T s Ts s sKs Ds Ns Gnm+ + ++ + += = Em que K0 representa o GANHO ESTTICO 3. Sinais de teste tpicos Na anlise e projecto desistemas de controlo necessrio possuir uma base de comparao do desempenho do sistema submetido a vrias entradas. Resposta Temporal de Sistemas 3 Esta base pode ser obtida especificando-se entrada do sistema, sinais de teste particulares e comparando-se as respostas. Os sinais de entrada de teste tpicos mais usados so as funes degrau, rampa e impulso. Adeterminaodequal,ouquais,destessinaisdeentradatpicosdevemserusadospara analisarascaractersticasdosistemadependedaformadaentradaaqueosistemaser sujeito mais frequentemente durante a operao normal. SINAIS DE TESTE TPICOS Resposta Temporal de Sistemas 4 4. Sistemas de 1 Ordem Plos:s = - a Zeros:No tem Constante de tempo:T = 1/a Para uma entrada em degrau unitrio: ss R1) ( =A resposta do sistema vir: a s s s a sas C+ = +=1 1 1) (Atravs da Transformada Inversa de Laplace: t anatural foradae t c t c t c = + = 1 ) ( ) ( ) ( Respostadosistemaaumaentrada em degrau unitrio 63,286,59598 Resposta Temporal de Sistemas 5 TempodeSubida(tr):Espaodetempoquearespostalevadesde10%at90%dovalor final:Ta a atr2 , 22 , 2 11 , 0 31 , 2= = =Tempo de estabelecimento (ts): Tempo ao fim do qual a resposta fica confinada a uma faixa percentual do valor final: Tempo de estabelecimento a 2% (ts(2%)):Tats44%) 2 (= =Tempo de estabelecimento a 5%(ts(5%)):Tats33%) 5 (= =Para o exemplo que temos vindo a estudar: SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLACO (1 Ordem): FUNO DE TRANSFERNCIA: mfsms Fs Vv+=1) () ( Plos: mfsv =Zeros:No tem Representao na forma ZEROS-PLOS-GANHO: -m = 1 [kg] : 75 , 011) () (+=+=smfsms Fs Vv Plos:s = - 0,75; Zeros: No tem;Ganho: K = 1 Resposta Temporal de Sistemas 6 -m = 2 [kg] : 375 , 05 , 01) () (+=+=smfsms Fs Vv Plos:s = - 0,375; Zeros: No tem;Ganho: K = 0,5 Representao na forma CANNICA: -m = 1 [kg] : 1 33 . 133 . 111) () (+=+=ssfmfs Fs Vvv Ganho Esttico: K0 = 1,33Constante de Tempo: T = 1,33 -m = 2 [kg] : 1 66 . 233 . 111) () (+=+=ssfmfs Fs Vvv Ganho Esttico: K0 = 1,33Constante de Tempo: T = 2,66 ComparaodaevoluotemporaldaVelocidade:V(s)emfunodaForaexterna aplicada: F(s) 0 5 10 1500.20.40.60.811.21.4Evoluo Temporal da VelocidadeTempo [seg]v(t) [m/s]| Plo | a aumentar fv m = 0,375 fv m = 0,75 Resposta Temporal de Sistemas 7 medida que o Mdulo do PLO:mfvaumenta: -A resposta do sistema torna-se mais rpida; -A Constante de Tempo: vfmT=diminui; -O regime transitrio mais curto. Considere agora o seguinte exemplo: Dado sistema possui a seguinte Funo de Transferncia: 52) () (++=sss Rs C Considerando que a entrada R(s) do sistema um degrau unitrio, a sada: C(s) vir: s sss C152) ( ++= Plo:s = - 5 Zero:s = -2 Aps decomposio em fraces parciais: 5) (5352++ =s ss CAplicando a Transformada Inversa de Laplace: te t c55352) (+ = Resposta Temporal de Sistemas 8 Notas: 1.O Plo da funo de entrada gera a resposta forada; 2.O Plo da FT gera a resposta natural (s = - 5 gera e-5t); 3.Dos Plos e os Zeros obtida a amplitude das resposta forada e natural. Ex. 1: Oseguintesistemaquandosubmetidoaumaentradaemdegraudeamplitude10dever atingir o valor de 8,65 em 2 segundos. Determinar o valor de K e do ganho esttico K0 para satisfazer esta condio de projecto. ) 10 5 ( 3010) () (K s s Rs Y+ += Ex. 2: Arespostadosistemarepresentadopelaseguintefunodetransferncia,deveratingiro valor57deamplitudeemt=4,2segeestabilizarnovalor60deamplitude.Determinaros valores de a e b para satisfazer esta condio de projecto. 4 , 0 ) () (+=s bas Rs Y Resposta Temporal de Sistemas 9 5. Sistemas de 2 Ordem Os sistemas de 2 Ordem sem zeros podem ser representados pela funo de transferncia na FORMA CANNICA: 2 222 ) () (n nns s s Rs Y + +=Em que,n :FREQUNCIA NATURAL AMORTECIDA; :COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO; Arespostadosistemaparaumentradaemdegrauunitrioirdependerdalocalizaodos plos: Plos:12 = n ns - Plos complexos conjugados:Sistema subamortecido; - Plos reais duplos:Sistema criticamente amortecido; - Plos reais distintos:Sistema sobreamortecido; - Plos imaginrios simtricos:Sistema no amortecido. Resposta Temporal de Sistemas 10 Resposta Temporal de Sistemas 11 TIPOS DE RESPOSTAS DOS SISTEMAS A resposta dos sistemas de 2 Ordem depende: Localizao dos plos no plano complexo COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO SISTEMA SOBREAMORTECIDO Plos reais distintos:s = - 1;s = - 2 A localizao dos plos mostra: > 1 Resposta natural: t te K e K t y2 12 1) ( + = SISTEMA NO AMORTECIDO Plos imaginrios simtricos: s = j c A localizao dos plos mostra: = 0 Resposta natural:) ( cos ) ( + = t A t yc SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO Plos imaginrios simtricos: s = - 1(duplo) A localizao dos plos mostra que: = 1 Resposta natural: t te t K e K t y1 12 1) ( + = SISTEMA SUBAMORTECIDO Plos complexos conjugados: s = - cj c A localizao dos plos mostra:0 < < 1 Resposta natural:) ( cos ) ( + =t e A t yctc -A parte real dos plos: Re{- pi} :Decaimento exponencial; -A parte imaginria dos plos: Im{- pi} :Oscilao sinusoidal. Resposta Temporal de Sistemas 12 Resposta Temporal de Sistemas 13 RESUMO Resposta Temporal de Sistemas 14 6. Parmetros de Sistemas Subamortecidos (2 Ordem) Um sistema subamortecido possui plos complexos conjugados; 2 222 ) () (n nns s s Rs Y + +=d n n nj j s = =21 Em que,n :Frequncia natural; :Coeficiente de amortecimento; d :Frequncia amortecida; Para uma ENTRADA EM DEGRAU UNITRIO, a resposta no domnio do tempo vir: Aplicando a Transformada Inversa de Laplace: ( ) =t e t yntn221 cos111 ) (Ganho Esttico (neste caso unitrio) Parte real dosParte imaginria dos Plos Resposta Temporal de Sistemas 15 em que,=211tanA resposta do sistema depende do Coeficiente de Amortecimento: Face a este tipo de resposta podem ser definidos os seguintes parmetros caractersticos: Resposta Temporal de Sistemas 16 Instante de Pico: tp Instante de tempo em que a resposta atinge o seu valor mximo; Sobre-elevao: Mp Percentagem de quanto se elevaa resposta relativamente ao valor de estado estacionrio; TempodeSubida:trTemponecessrioparaqueasadaevoluade10%a90%dovalor final ou de 0% a 100% do valor final; TempodeEstabelecimento:tsInstantedetempoemqueasadaatingeemantmnuma faixa de 2% ou 5% do valor final. INSTANTE DE PICO: tp Determinao do 1 ponto em que a derivada da resposta se anula: ... , 2 , 1 , 0 ,10) (2= == = nn ntdtt dydn Para n=1 21 =nptd (Parte imaginria dos Plos)tp SOBRE-ELEVAO: Mp 100 (%)maxmax=yy yMssp 21max1 ) ( + = = e t y yp Para uma entrada em degrau unitrio:yss = 1 100 (%)21 = e Mp Mp Resposta Temporal de Sistemas 17 TEMPO DE ESTABELECIMENTO: ts ( ) =t e t yntn221 cos111 ) (Pretende-se que a amplitude das oscilaes atinja 2% do valor da sada: 02 , 0112= tne Considerando em ts a aproximao:( ) 1 1 cos2= tn Por aproximao obtm-se: nst 4%) 2 ( =nst 3%) 5 ( = TEMPO DE SUBIDA: tr Normalmente, o tempo de subida definido consoante o tipo de sistema: -Sistemasrpidos:Temponecessrioparaasadaevoluirde10%a90%dovalor final. Nestecaso,nohnenhumaexpressoanalticasimplificadaquerelacioneoTempode Subida: tr com o Coeficiente de Amortecimento: e Frequncia natural: n; O procedimento de clculo consiste em: -Calcular o tempo para o qual a sada atinge 10% do valor final: y(t10%) = 0,1t10% -Calcular o tempo para o qual a sada atinge 90% do valor final: y(t90%) = 0,9t90% -O Tempo de subida ser dado pela diferena entre ambos: tr=t90%-t10% -Sistemas lentos: Tempo necessrio para a sada evoluir de 0% a 100% do valor final. Assim, y(tr) = 1 Resposta Temporal de Sistemas 18 + = 21 221tan 1 cos111 1 r ntt er n Como0 r nte : 01tan 1 cos21 2=+ r ntdndnnnrt ==1212tan1tan11 ExemplosdaINFLUNCIADALOCALIZAODOSPLOSnarespostade sistemas de 2 Ordem sub-amortecidos, entrada em degrau unitrio: = cte jd;Mp ;tr ;tp ;ts = cte Resposta Temporal de Sistemas 19 - jd = cte = cte;Mp ;tp = cte - jd Mp = cte

7. Resposta de Sistemas de Ordem Superior A resposta global de um sistema ser afectada por plos adicionais dependendo do: -Tipo de Plo:Real, Complexo, Simples, Duplo, etc, ... -Da Parte Real:Determina o ritmo de decaimento da componente transitria; -Da amplitude:Depende da localizao dos restantes plos e zeros. Resposta Temporal de Sistemas 20 Exemplo: ) 2 ( ) ( ) () (2 22n nns s a sas Rs Y + + += Quando |a| aumenta: -A influncia do plo real diminui; -O plo torna-se menos dominante; -Os plos complexos tornam-se plos dominantes. Em qualquer das situaes o sistema torna-se mais lento: -A largura de banda diminui; -A largura de banda diminui tanto menos quanto maior |a|; Resposta Temporal de Sistemas 21 Condies para desprezar o PLO NO DOMINANTE: -Regimetransitrioassociadodesprezvel,noconjuntodetodasascontribuies transitrias, ao fim de 5 constante de tempo. -Plo com parte real pelo menos 5x menor do que a dos plos dominantes. Exemplo: Qual o valor do plo no dominante de modo a poder ser desprezado ) 25 4 ( ) (25) () (2+ + +=s s a sas Rs Y 8. Resposta de Sistemas de 2 Ordem c/ Zeros 2 222) () () (n nns sa ss Rs Y + ++=A introduo de Zeros na resposta de sistemas afecta a amplitude, mas no afecta a natureza da resposta. INFLUNCIADALOCALIZAODOSZEROSnarespostadesistemasde2Ordem sub-amortecidos a entrada em degrau unitrio: -Quanto mais prxima for a localizao do zero dos plos dominantes, maior o seu efeito na resposta transitria; - medida que a localizao do zero se afastar da localizao dos plos dominantes, a resposta aproxima-se da do sistema apenas com 2 plos. A resposta de um sistema com um Zero constituda por duas parcelas: -Derivada da resposta original (Sistema de 2 Ordem sem zeros); -Factor de escala da resposta original (Multiplicao por uma constante). ) ( ) ( ) ( ) () () (s aG s G s s G a ss Rs Y+ = + = Resposta Temporal de Sistemas 22 ) ( ) ( s Y a s Y s +Se: a >>A resposta do sistema aproxima-se de aY(s); a K K5 Linha:K > 0 Logo, para que o sistema seja estvel: 9140 < < K Ex. 3: Avaliaraestabilidadedosistemacujopolinmiocaracterstico(denominadordaFTMF) dado por: p(s)=3s3+2s2+s+8=0 s331 s228 s1 1128 21 3 = 0 s08 Duas mudanas de sinal 2 plos no SPCD Sistema Instvel Estabilidade de Sistemas 11 NOTA: Para polinmios de 3 Ordem, a seguinte relao deve ser cumprida: a3.a2 > a4.a1 2 > 24 P.F. Ex. 4: Avaliaraestabilidadedosistemacujopolinmiocaracterstico(denominadordaFTMF) dado por: p(s)=2s3+5s2+3s+1=0 s323 s251 s1 51351 53 2= 0 s01 Todos os coeficientes positivos 0 plos no SPCD a3.a2 > a4.a1 15 > 2 P.V. Sistema Estvel 3. Critrio de Routh-Hurwitz: Casos Especiais a) ZEROS NA COLUNA PIVOT -Substituio do Zero por ; -Avaliao do sinal da coluna pivot para positivo e negativo. Ex. 1: Avaliar a estabilidade do sistema cujo polinmio caracterstico dado por: p(s)=s4+2s4+3s3+6s2+5s+3=0 Estabilidade de Sistemas 12 s5135 s4263 s3 0 27 s2 7 6 3 s1 14 126 49 422 s03 p(s)=s5+2s4+3s3+6s2+5s+3=0 =+=- s51++ s42++ s30+- s2 7 6 - + s1 14 126 49 422 ++ s03++ Independentemente do sinal de ser positivo ou negativo: Duas mudanas de sinal 2 plos no SPCD Sistema Instvel b) ZEROS NUMA LINHA COMPLETA -Linha completa de Zeros causada por polinmio PAR que factoriza o denominador; -O polinmio PAR gerado pela localizao simtrica das razes dos plos: A: Razes reais e simtricas em relao origem; B: Razes imaginrias e simtricas em relao origem; C: Razes radiais e simtricas em relao origem. Estabilidade de Sistemas 13 -Substituiodoscoeficientesdalinhadezerospeloscoeficientesdaderivadado polinmio PAR. Ex. 1: Avaliar a estabilidade do sistema cujo polinmio caracterstico dado por: p(s)=s5+7s4+6s3+42s2+8s+56=0 s5168 s474256 s300 s2 s1 s0 Polinmio PAR:56 42 7 ) (2 4+ + = s s s PDerivada do polinmio PAR:s sdss dP84 28) (3+ = Estabilidade de Sistemas 14 s5168 s474256 s30 28 0 84 s22156 s1 328 s056+ No h mudanas de sinal 0 plos no SPCD Sistema Estvel Ex. 2: Avaliar a estabilidade do sistema cujo polinmio caracterstico dado por: p(s)=s3+2s2-s-2=0 s31-1 s22-2 s100 s0 Polinmio PAR: 2 2 ) (2 = s s PDerivada do polinmio PAR: sdss dP4) (=s31-1 s22-2 s10 4 0 0 s0- 2 1 mudanas de sinal 1 plo no SPCD Sistema Instvel Estabilidade de Sistemas 15 4. Efeitos da Realimentao (SISTEMAS DE CONTROLO EM MALHA FECHADA) Os sistemas de controlo em malha fechada reduzem o efeito: -Perturbaes externas ao sistema: oPerturbaes na malha de aco; oRudo nos sensores. -Variaes dos parmetros do sistema: oEnvelhecimento; oTolerncias de fabrico; oEfeitos de carga; oEtc, ... Com a introduo de realimentao: -A resposta transitria modificada; -As condies de estabilidade podem ser afectadas. REJEIO DE PERTURBAES -PERTURBAES EXTERNAS NA MALHA DE ACO FTMA: Principio da Sobreposio:C(s)= KG(s)R(s) + G(s)D(s) No h possibilidade de atenuar o efeito de D(s) sobre C(s). FTMF: Estabilidade de Sistemas 16 Principio da Sobreposio:C(s)= C(s)|D(s)=0 + C(s)|R(s)=0 ) () ( 1) () () ( 1) () ( s Ds G Ks Gs Rs G Ks G Ks C+++=C(s) tanto menos afectada por D(s) quanto maior for K. REJEIO DE PERTURBAES -PERTURBAES EXTERNAS NA MALHA DE ACO -RUDO NOS SENSORES FTMF: Principio da Sobreposio: C(s)= C(s)|D(s)=0+C(s)|R(s)=0+C(s)|N(s)=0 ) () ( 1) () () ( 1) () () ( 1) () ( s Ns G Ks G Ks Ds G Ks Gs Rs G Ks G Ks C+++++=Procedimentos para a rejeio das perturbaes para uma dada frequncia: s = j: -Boa rejeio da perturbao D(s)Aumentar |KG(j)| -Bom seguimento da referncia R(s) Aumentar |KG(j)| -Boa rejeio do rudo N(s) Diminuir |KG(j)| Estratgias de controlo: -Baixas frequncias: Normalmente associadas ao sinal de referncia e s perturbaes externas, pois so sinais relativamente lentos. |KG(j)| >> 1 Estabilidade de Sistemas 17 -Frequncias intermdias: As condies a impor ao ganho esto relacionadas com a estabilidade em malha fechada. -Altasfrequncias:Orudoapresentahabitualmentecomponentesespectraisde frequncia mais elevada do que as do sinal de referncia. |KG(j)| 0 : { } ) 1 2 ( ) ( arg ) ( arg ) ( ) ( arg1 1+ =)`+ )`+ = = =k p s z s s H s G KniimiiPara K < 0 : { } ) 2 ( ) ( arg ) ( arg ) ( ) ( arg1 1k p s z s s H s G Kniimii=)`+ )`+ = = = CONDIODEMDULO:PermitecalcularovalordoganhoemmalhaabertaK correspondente a cada localizao particular das razes sobre o lugar geomtrico. ====++= =++niimiiniimiip sz sKp sz sK11111 Ex. 1: Considere o sistema descrito pelo seguinte diagrama de blocos. Avaliar se o ponto s = -2 + j3 pertence ao LGR. FTMA: ) 2 ( ) 1 () 4 ( ) 3 (+ ++ +s ss s K FTMF:) 12 2 ( ) 7 3 ( ) 1 () 4 ( ) 3 (2K s K s Ks s K+ + + + ++ + Lugar Geomtrico das Razes 5 Paraqueopontos=-2+j3pertenaaoLGR,acondiodeargumentoterqueser cumprida. S deste modo que se poder determinar o valor do ganho K para este ponto. Condio de argumento: 1 + 2 + 3 + 4 == 56,3 + 71,8 - 90 - 108,4 = = - 70,6 Para pertencer ao LGR a soma dos ngulos teria que ser mltiplo mpar de 180. Ex. 2: Considereosistemadescritopeloseguintediagramadeblocos.Avalieseopontos=-1 pertence ao LGR. Em caso afirmativo, determine o valor do ganho K. Condio de argumento: arg {KG(-1)} = 1 - 2 - 3 - 4 - 5 == 0 - 0 - 180 - 296,6 - 63,4 = = - 180 Lugar Geomtrico das Razes 6 Logo, o ponto s = -1 pertence ao LGR. Assim sendo, possvel determinar atravs da condio de mdulo o valor do ganho K para o qual o sistema em malha fechada possui um plo em s = - 1. Condio de mdulo: | K G(-1) | = 1 1 ) 1 (5 4 3 21= = M M M MMK G KM1 = 2; M2 = 4; M3 = 1; 2 242 1+ = M ; 2 252 1+ = M . ( )10 12 1 1 42) 1 (22 2= =+ = K K G K 3. Esboo do LGR: Regras para a construo REGRA 1: NMERO DE RAMOS FTMA: ) () () ( ) (s Ds NK s H s G K = Grau do numerador: N(s) = m Grau do denominador: D(s) = n n m Polinmio caracterstico da FTMF: 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 1 = + = + s KN s D s H s G KRAMO:Lugargeomtricodefinidoporumplodosistemaemmalhafechadaquandoo ganho em malha aberta, K, varia. Lugar Geomtrico das Razes 7 N. DE RAMOS = N. de plos do sistema em malha fechada, n Exemplo de aplicao: Considere o seguinte diagrama de blocos representativo de um sistema de controlo: FTMA: ) 6 )( 5 )( 4 ( ) 2 () 20 4 () (2+ + + ++ =s s s ss s Ks G K R #1:Zeros:m = 2 =+ =4 24 2j sj s Plos:n = 4 = = = =6542ssss N. de ramos = n = 4 REGRA 2: SIMETRIA Sistemas fisicamente realizveis possuem plos e/ou zeros: -Reais; -Complexos (pares de complexos conjugados). Assim, o LGR simtrico relativamente ao eixo real Exemplo de aplicao: R #2:Para o exemplo em estudo, a FTMA possui: -2 zeros complexos conjugados -4 plos reais Lugar Geomtrico das Razes 8 Local i zao dos Pl os e Zeros no Pl ano Compl exoEi xo RealEixo Imaginrio-6 -4 -2 0 2-4-3-2-1012345 Assim sendo, o esboo do LGR ter que apresentar simetria relativamente ao eixo real. REGRA 3: TROOS DO LGR SOBRE O EIXO REAL Condio de argumento:{ } ) 1 2 ( ) ( ) ( arg + = k s H s G K==++=niimiip sz sK s H s G K11) () () ( ) (Se s LGR { } ) 1 2 ( ) ( arg ) ( arg ) ( ) ( arg1 1+ =)`+ )`+ = = =k p s z s s H s G Kniimii Lugar Geomtrico das Razes 9 Topologias genricas: s LGR: -Plos e zeros da FTMA esquerda de s contribuem com 0; -Plos e zeros da FTMA direita de s contribuem com 180; -A contribuio de um par de plos e/ou zeros complexos conjugados nula. Para vlores de ganho em malha aberta: K > 0, so troos do LGR os pontos do eixo real que tenham sua direita um nmero mpar de plos e/ou zeros da FTMA. Exemplo de aplicao: R #3: Aplicao da condio de argumento aos vrios troos de eixo real: 180 0 1 + 2 = 0 1 + 2 = 0 0 180 Lugar Geomtrico das Razes 10 Troo T1: arg {KG(s1)} = z = 2+j4 + z = 2-j4 - p = -2 - p = -4 - p = -5 - p = -6= 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 (No mltiplo mpar de 180) Troo T1 no troo doLGR sobre o eixo real direita do troo T1 o nmero de zeros e/ou plos par:n+m=0+2=2 Troo T2: arg {KG(s2)} = z = 2+j4 + z = 2-j4 - p = -2 - p = -4 - p = -5 - p = -6= 0 - 180 - 0 - 0 - 0 = = - 180 ( mltiplo mpar de 180) Troo T2 troo do LGR sobre o eixo real direita do troo T2 o nmero de zeros e/ou plos mpar: n+m=1+2=3 Troo T3: arg {KG(s3)} = z = 2+j4 + z = 2-j4 - p = -2 - p = -4 - p = -5 - p = -6 = 0 - 180 - 180 - 0 - 0 == - 360 (No mltiplo mpar de 180) Troo T3 no troo doLGR sobre o eixo real direita do troo T3 o nmero de zeros s1s2s3s4s5 T1T2T3T4T5 Lugar Geomtrico das Razes 11 e/ou plos par:n+m=2+2=4 Troo T4: arg {KG(s4)} = z = 2+j4 + z = 2-j4 - p = -2 - p = -4 - p = -5 - p = -6= 0 - 180 - 180 - 180 - 0= - 540 ( mltiplo mpar de 180) Troo T4 troo do LGR sobre o eixo real direita do troo T4 o nmero de zeros e/ou plos mpar: n+m=3+2=5 Troo T5: arg {KG(s5)} = z = 2+j4 + z = 2-j4 - p = -2 - p = -4 - p = -5 - p = -6= 0 - 180 - 180 - 180 - 180 = - 720 (No mltiplo mpar de 180) Troo T5 no troo doLGR sobre o eixo real direita do troo T5 o nmero de zeros e/ou plos par:n+m=4+2=6 Apenas os troos T2 e T4 so troos do Lugar Geomtrico das Razes sobre o eixo real. Troos do Lugar Geomtri co das Razes sobre o Ei xo RealEi xo RealEixo Imaginrio-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5-4-3-2-1012345T2T4 Lugar Geomtrico das Razes 12 REGRA 4: PONTOS DE PARTIDA E CHEGADA DE RAMOS PONTOS DE PARTIDA: FTMA:) ( ) ( s H s G K =) () () () (s Ds Ns Ds NKHHGG FTMF: ) ( ) ( 1) (s H s G Ks G K+=) ( ) ( ) ( ) () ( ) (s N s N K s D s Ds D s N KH G H GH G+ Plos da FTMF:{ s :DG(s) DH(s)+K NG(s) NH(s) } lim Plos da FTMF={ s :DG(s) DH(s) } K 0+ Os PONTOS DE PARTIDA (K=0) dos ramos do LGR coincidem com os plos da FTMA. PONTOS DE CHEGADA: FTMF: ) ( ) ( 1) (s H s G Ks G K+ lim FTMFG(s) H(s) 0 K Para que a condio:0 ) ( ) ( 1 = + s H s G K seja satisfeita s { Zeros:NG(s) NH(s) } m zeros; m ramos do LGR tendem para os zeros da FTMA; s n-m ramos do LGR tendem para infinito = 0) () () () () ( ) (s Ds Ns Ds Ns H s GHHGGLugar Geomtrico das Razes 13 m RAMOS TENDEM PARA OS ZEROS DA FTMA; n-m RAMOS TENDEM PARA INFINITO. Exemplo de aplicao: R #4: Pontos de partida e de chegada de ramos: Pontos de Partida (K=0) dos ramos do LGR coincidem com os plos da FTMA: K=0 = = = =6542ssss Pontos de chegada (K ) dos ramos do LGR: m = 2: 2 ramos tendem para os zeros da FTMA: K =+ =4 24 2j sj s n-m = 4-2=2:2 ramos tendem para infinito. REGRA 5: COMPORTAMENTO ASSIMPTTICO Quando K : n-m ramos tendem para infinito ao longo de assimptotas. NGULO DAS ASSIMPTOTAS COM O EIXO REAL ==++=niimiip sz sK s H s G K11) () () ( ) (s m nsKs H s G K ) ( ) (Como s pertence ao LGR, pelo polinmio caracterstico: 1 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 1 = = + s H s G K s H s G K1 m nsK Lugar Geomtrico das Razes 14 Condio de Mdulo:m ns K= Condio de Argumento:arg {-K} = arg {s n m } arg {-K} = (n-m) arg {s } Para K > 0(2k + 1) arg {-K} = (n-m) arg {s } ngulo das assimptotas com o eixo real: { } 1 , ... , 1 , 0 ,) 1 2 ( =+ = = m n km nks argaCENTRO ASSIMPTTICO As assimptotas cruzam-se num ponto do eixo real: { } { }m nFTMA da zeros FTMA da plosminia= = = 1 1Re ReExemplo de aplicao: R #5: Comportamento assimpttico: ngulo das assimptotas com o eixo real: 2) 1 2 ( =+ =m nka Centro assimpttico: 5 , 102) 2 2 ( ) 6 5 4 2 ( =+ =aLugar Geomtrico das Razes 15 REGRA 6: PONTOS DE ENTRADA E SADA DO EIXO REAL Ponto de sada do eixo real ocorre para um mximo relativo ao ganho MaiorvalordeK que conduz a plos reais. Ponto de entrada do eixo real ocorre para um mnimo relativo do eixo real Menor valor de K que conduz a plos reais. Polinmio caracterstico da FTMF:0 ) ( ) ( 1 = + s H s G K) ( ) (1s H s GK =Clculo de mximos e mnimos relativos:0 =dsdK Condio necessria mas no suficiente: -Todos os pontos de entrada/sada no eixo real satisfazem esta condio; -Nem todas as solues desta equao so pontos de entrada/sada do eixo real. A confirmao realizada atravs da verificao se as solues encontradas esto localizadas sobre troos do eixo real que pertencem ao LGR. Comportamento Assi mptti coEi xo RealEixo Imaginrio-10 -8 -6 -4 -2 0 2-5-4-3-2-101234590 a Lugar Geomtrico das Razes 16 No so pontos do eixo real; ponto do eixo real onde existe LGR; No um ponto do eixo real; ponto do eixo real onde existe LGR. Exemplo de aplicao: R #6: Pontos de entrada e de sada do eixo real: ) 6 )( 5 )( 4 ( ) 2 () 20 4 () (2+ + + ++ =s s s ss s Ks G K0 ) ( 1 = + s G K0) 6 )( 5 )( 4 ( ) 2 () 20 4 (12=+ + + ++ +s s s ss s K ) 20 4 (240 268 104 17) 20 4 () 6 )( 5 )( 4 ( ) 2 (22 3 42+ + + + + =+ + + + + =s ss s s ss ss s s sK0 =dsdK 0) 20 4 () 4 2 )( 240 268 104 17 () 20 4 () 20 4 )( 268 208 51 4 (2 22 3 42 22 2 3=+ + + + ++++ + + + +s ss s s s ss ss s s s s 0) 20 4 (6320 3680 336 56 5 22 22 3 4 5=+ + s ss s s s s 0 6320 3680 336 56 5 22 3 4 5= + s s s s s = = = =6 , 24 , 46 , 58 , 4 1 , 5sssj s Os correspondentes valores do ganho so obtidos por substituio na equao: ) 20 4 (240 268 104 17) 20 4 () 6 )( 5 )( 4 ( ) 2 (22 3 42+ + + + + =+ + + + + =s ss s s ss ss s s sK Lugar Geomtrico das Razes 17 Ponto de sada do eixo real:s = - 5,6K = 0,02 Ponto de sada do eixo real:s = - 2,6K = 0,19 REGRA 7: NGULOS DE PARTIDA E DE CHEGADA Osngulosdepartidaedechegadaderamosaoeixorealsodadospelasseguintes expresses. Sendo r, o nmero de ramos que se cruzam num ponto do eixo real: -Onguloentredoisramosadjacentesqueseaproximam(ouqueseafastam)do mesmo ponto do eixo real dado por: r2 =-O ngulo entre dois ramos adjacentes, um de chegada e outro de partidasdo mesmo ponto do eixo real dado por: r =Pontos de Entrada e de Sada do Ei xo RealEi xo RealEixo Imaginrio-10 -8 -6 -4 -2 0 2-5-4-3-2-1012345- 2,6 K=0,19 - 5,6 K=0,02 Lugar Geomtrico das Razes 18 Osngulosdepartidadeploscomplexosedechegadaazeroscomplexossoobtidos atravs da condio de argumento. SeforassumidaaexistnciadeumpontonoLGRmuitoprximodoplocomplexo,a somadosngulosquetodososplosezerosfazemcomestepontoterquesermltiplo mpar de 180: ) 1 2 (1 1+ = = |||

\|= |||

\|knip imiz ii i Exemplo de aplicao: R #7: ngulo de partida do eixo real: PelaaplicaodeR#6verifica-sequeapenasexistepartidaderamosdoeixoreal,assim sendo: Pontos de sada do eixo real: s = - 5,6r = 2 = 180 s = - 2,6r = 2 = 180 R #7: ngulo de chegada aos zeros complexos: Condio de argumento: 1806 5 4 3 2 1= + 18084tan74tan64tan44tan 901 1 1 11= ||

\| ||

\| ||

\| ||

\| + 2251 = 315 90 2252= + = Lugar Geomtrico das Razes 19 REGRA 8: INTERSECO COM O EIXO IMAGINRIO Aintersecocomoeixoimaginriopermiteavaliaraestabilidadedosistemademalha fechada em funo do ganho de malha aberta. Consiste na aplicao do critrio de Routh-Hurwitz ao polinmio caracterstico do sistema: 0 ) ( 1 = + s G KExemplo de aplicao: R #7: Interserco com o eixo imaginrio: 0) 6 )( 5 )( 4 ( ) 2 () 20 4 (12=+ + + ++ +s s s ss s K 0 ) 20 4 ( ) 6 )( 5 )( 4 ( ) 2 (2= + + + + + + s s K s s s s0 ) 20 240 ( ) 4 268 ( ) 104 ( 172 3 4= + + + + + + K s K s K s sLugar Geomtrico das Razes 20 s41104 + K240 + 20K s317268 4K0 s2 1721 1500 K +240 + 20K s1 KK K21 1500) 1 , 19567 9 , 361 9 , 4 ( 172++ + s0240 + 20K CRITRIODEESTABILIDADEDEROUTH-HURWITZ:Parasistemassemplosno eixoimaginrio,onmerodeplosnosemiplanocomplexodireito(SPCD)igualao nmero de mudanas de sinal na primeira coluna (pivot) da tabela. ParaqueosistemasejaEstvelnopoderoocorrermudanasdesinalnacolunapivot. Assim: 3 Linha:0 4 , 71 01721 1500> > >+K KK 4 Linha:021 1500) 1 , 19567 9 , 361 9 , 4 ( 172>++ + KK K 0 1 , 19567 9 , 361 9 , 42> + + K K >2 , 360 4 , 109KK K SubstituindonopolinmiocaractersticodaFTMFoganhoemmalhaabertaK,por 36,2, obtm-se o ponto de interseco com o eixo imaginrio: 0 ) 20 240 ( ) 4 268 ( ) 104 ( 172 3 4= + + + + + + K s K s K s s0 964 2 , 123 2 , 140 172 3 4= + + + + s s s s

\| = =7 , 28 , 7 5 , 8j sj s Lugar Geomtrico das Razes 21 5 Linha:0 12 0 20 240 > > > + K K K Logo, para que o sistema seja estvel:0 < K < 36,2 Exemplo de aplicao: O traado completo do Lugar Geomtrico das Razes dado pela figura abaixo. Seforconsideradoosistemademalhafechadacomrealimentaounitria,aFTMFser dada por: ) 20 240 ( ) 4 268 ( ) 104 ( 17) 20 4 () ( 1) (2 3 42K s K s K s ss s Ks G Ks G K+ + + + + ++ =+ A resposta do sistema a uma entrada em degrau unitrio vir: Lugar Geomtrico das Razes 22 Para K=1:Sistema estvel Para K=36,2:Sistema marginalmente estvel Lugar Geomtrico das Razes 23 Para K=60:Sistema instvel Ex. 1: Esboar o Lugar Geomtrico das Razes do seguinte sistema em malha fechada. Determinar a gama de valores de K para os quais o sistema estvel. Ex. 2: EsboaroLugarGeomtricodasRazesdoseguintesistemaemmalhafechadaeanalisara estabilidade em funo do ganho K. Lugar Geomtrico das Razes 24 Ex. 3: EsboaroLugarGeomtricodasRazesdoseguintesistemaemmalhafechadaeanalisara estabilidade em funo do ganho K. Ex. 4: EsboaroLugarGeomtricodasRazesdoseguintesistemaemmalhafechada.Calculara gama de ganho admissvel para que o sistema seja estvel. Ex. 5: EsboaroLugarGeomtricodasRazesdoseguintesistemaemmalhafechada.Avaliara estabilidade do sistema em funo do ganho K. 4. LGR em funo de qualquer parmetro O LGR pode ser obtido em funo da variao de qualquer parmetro do sistema. Oprocedimentoconsisteemcriarumsistemaequivalenteemqueoparmetroemanlise surja na malha de aco. Exemplo de aplicao: Pretende esboar o LGR em funo da variao de p1. Lugar Geomtrico das Razes 25 FTMA:) )( 2 (10) ( ) (1p s ss H s G K+ +=FTMF:) 10 2 ( ) 2 (10) ( ) ( 1) (1 12+ + + +=+ p s p s s H s G Ks G K Por manipulao da expresso: -Isolando p1: ) 2 ( 10 210) ( ) ( 1) (12+ + + +=+ s p s s s H s G Ks G K -Convertendo o denominador da FTMF para a forma: ) ( ) ( 11s H s G p +10 22110 210) ( ) ( 1) (2 12+ ++++ +=+s ssps ss H s G Ks G K Obtm-se a FTMA do sistema equivalente: 10 22) ( ) (2 1+ ++=s ssp s H s G KAplicando em seguida as mesmas regras para a construo do LGR, obtm-se a variao da localizao dos plos no plano complexo em funo da variao de p1. Lugar Geomtrico das Razes 26 5. LGR em SLIT com realimentao positiva FTMF:) ( ) ( 1) (s H s G Ks G K -Polinmio caracterstico:0 ) ( ) ( 1 = s H s G K1 ) ( ) ( = s H s G K-Condio de Mdulo: 1 ) ( ) ( = s H s G K-Condio de Argumento:{ } k s H s G K 2 ) ( ) ( arg = Apenas so alteradas as regras decorrentes da condio de argumento. Anlise e Projecto de Sistemas Compensao Compensao 1 Anlise e Projecto de sistemas pelo LGR 1. Introduo A partir da representao grfica da localizao dos plos de um sistema em malha fechada como funo de um dos parmetros do sistema, possvel projectar o sistema de controlo de modo a: Melhorar a resposta transitria; Reduzir o erro de estado estacionrio. 2. Compensadores Quandosepretendemodificarosparmetroscaractersticosdeumsistema,emvezdese alterarosistemaoriginal,pode-secompensarosistemacomplosezerosadicionais, Compensao 2 atravsdoprojectodemalhasderealimentao,talqueosistemacompensadopossuaos parmetros caractersticos pretendidos. -Os compensadores so fundamentalmente projectados para melhorar a (1) a robustez do sistema, (2) estabilidade do sistema e (3) a resposta transitria de um sistema. Em particularoscompensadores/controladoresPIDpodemserutilizados independentemente quer para melhorar a resposta transitria do sistema (componente derivativa) quer para anular o erro de estado estacionrio (componente integral).As estruturas normalmente utilizadas so: -(P)Proporcional; -(PI)Proporcional Integral; -(PD)Proporcional Derivativo; -(PID)Proporcional Integral Derivativo. A escolha entre compensadores depende das especificaes de projecto bem como do prprio sistema a controlar. TIPOS DE CONFIGURAES: Compensao em cascata Ocompensadorintroduzidonamalhadirectadeaco,antesdocontrolador original: Compensao por realimentao O compensador inserido na malha de realimentao do sistema: Compensao 3 3. Compensao em Cascata COMPENSAO EM ATRASO Objectivo: REDUO DO ERRO DE ESTADO ESTACIONRIO Reduodoerrodeestadoestacionriosemafectarconsideravel- mente a resposta transitria do sistema (aumento do tempo de resposta transitria). Exemplos de estruturas fsicas de compensadores em atraso: -Sistemas elctricos:Circuito elctrico RC; -Sistemas mecnicos:Sistema mecnico mola-amortecedor; -Sistemas electrnicos:Montagem com AmpOps. Funo de Transferncia do Compensador em Atraso: 1 ,11) ( >++= s Ts TK s Gidp c 1 ,11) ( >++= TsTsK s Gp c Compensao 4 Para evitar uma variao aprecivel do Lugar das Razes: -Colocar o plo e o zero da malha em atraso relativamente prximos entre si; -Colocar o plo e o zero da rede em atraso prximos da origem. -Sugesto: 10 PROCEDIMENTOSPARAPROJECTODECOMPENSAOEMATRASOPELO MTODO DO LGR 1.Esboar o LGR do sistema no compensado; 2.Considerar a FT do compensador em atraso; 3.Determinar a FTMA do sistema compensado; 4.Determinar a constante de erro esttico; 5.Calcularovalordoaumentodaconstantedeerroestticoparasatisfazeras especificaes de projecto; 6.Calcular a localizao do plo e do zero do compensador em atraso que produzem o aumentonecessriodaconstantedeerroestticosemalterarsignificativamenteo LGR original; 7.Esboar o LGR do sistema compensado; 8.Ajustar o ganho do compensador. Compensao 5 Um Controlador PI no mais do que um compensador em atraso na malha de aco: Funo de transferncia de um compensador integral ideal: sKK s Gc21) ( + = COMPENSAO EM AVANO Objectivo: MELHORIA DA RESPOSTA TRANSITRIA Melhoriadarespostatransitriadosistema,frequentementeassociadaobtenodeuma Sobre-Elevao desejada e reduo do tempo de Estabelecimento. Exemplos de estruturas fsicas de compensadores em atraso: -Sistemas elctricos:Circuito elctrico RC; -Sistemas mecnicos:Sistema mecnico mola-amortecedor; -Sistemas electrnicos:Montagem com AmpOps. Compensao 6 Funo de Transferncia de Compensador em Atraso: 1 0 ,11) ( < 0, o sistema marginalmente estvel O esboo completo do LGR vir: Compensao 13 Lugar Geomtri co das RazesEi xo RealEixo Imaginrio-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Considerando K = 1, a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitrio (correspondente aplicao de uma fora unitria para t 0), ser dada por: Resposta do si stema a entrada em degrau uni tri oTempo [seg]Posio [m]0 5 10 15 20 25 30 35 4000.20.40.60.811.21.41.61.82 Compensao 14 2.Controlador Proporcional e Integral (PI) Se for considerado para simplificao dos clculos:K1 = K2 = K Representao grfica do Lugar Geomtrico das Razes: FTMA: 3) 1 () (s ms Ks G K+=R #1 -Nmero de ramos: Zeros:m = 11 = sPlos:n = 3) ( 0 triplo s =N. de ramos = n = 3 R #2 -Simetria:O LGR simtrico relativamente ao eixo real R #3 -Troos do LGR sobre o eixo real: Paraganhodemalhaaberta:K>0,sotroosdoLGRospontosdoeixorealque tenham sua direita um nmero mpar de plos e/ou zeros da FTMA. Os pontos do eixo real que pertencem ao LGR esto localizados esquerda dos plos (s = 0) e direita do zero (s = - 1). R #4 -Pontos de partida e de chegada de ramos: Os pontos de partida (K=0) dos ramos do LGR coincidem com os plos da FTMA. Os pontos de chegada (K ) dos ramos do LGR: n - m = 3 1 = 2:2 ramos tendem para infinito. Compensao 15 R #5 -Comportamento assimpttico: ngulo das assimptotas: 2) 1 2 ( =+ =m nka Centro assimpttico: 212) 1 ( ) 0 0 0 (= + +=aR #6 -Pontos de entrada e sada do eixo real: 3) 1 () (s ms Ks G K+=0 ) ( 1 = + s G K 0) 1 (13=++s ms K 13+ =ss mK0 =dsdK0 ) 3 2 (2= + s s m ==230ss Paras = 0K = 0 R #7 -ngulos de partida e de chegada: Sendoonmeroderamosquesecruzamnumpontodoeixorealr = 2,onguloentre doisramosadjacentesqueseafastamdomesmopontodoeixorealdadopor: = = =22 2r R #8 -Interseco com o eixo imaginrio: 0 ) ( 1 = + s G K 0) 1 (13=++s ms K03= + + K Ks s ms3mK s20K s1 ) ( m K s0K Compensao 16 Avaliao dos sinais da coluna pivot: = + = - s3m++ s20 +- s1 ) ( m K - + s0K++ 2 mudanas de sinal2 plos no semiplano complexo direito: Para qualquer K > 0, o sistema instvel. O esboo completo do LGR vir: Lugar Geomtri co das RazesEi xo RealEixo Imaginrio-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-6-4-20246 Para K = 1 a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitrio : Compensao 17 Resposta do si stema a uma entrada em degrau uni ti roTempo [seg]Posio [m]0 1 2 3 4 5 6 7-5-4-3-2-101234 3.Controlador Proporcional e Derivativo (PD) Se for considerado para simplificao dos clculos:K1 = K2 = K Representao grfica do Lugar Geomtrico das Razes: FTMA: 2) 1 () (s ms Ks G K+=R #1 -Nmero de ramos: Zeros:m = 11 = sPlos:n = 2) ( 0 duplo s =N. de ramos = n = 2 R #2 -Simetria:O LGR simtrico relativamente ao eixo real Compensao 18 R #3 -Troos do LGR sobre o eixo real: Paraganhodemalhaaberta:K>0,sotroosdoLGRospontosdoeixorealque tenham sua direita um nmero mpar de plos e/ou zeros da FTMA. Estasituaoapenassucedeparaospontodoeixorealqueestejamlocalizados esquerda do zero (s = - 1). R #4 -Pontos de partida e de chegada de ramos: Os pontos de partida (K=0) dos ramos do LGR coincidem com os plos da FTMA. Os pontos de chegada (K ) dos ramos do LGR: m = 1: 1 ramo tende para o zero. n - m = 2 1 = 1:1 ramo tende para infinito. R #5 -Comportamento assimpttico: ngulo das assimptotas: =+ =m nka) 1 2 ( R #6 -Pontos de entrada e sada do eixo real: 2) 1 () (s ms Ks G K+=0 ) ( 1 = + s G K 0) 1 (12=++s ms K 12+ =ss mK0 =dsdK0 ) 2 ( = + s s m ==20ss Paras = 0K = 0 Paras = - 2K = 4m R #7 -ngulos de partida e de chegada: Sendoonmeroderamosquesecruzamnumpontodoeixorealr = 2,onguloentre dois ramos adjacentes que se afastam do mesmo ponto do eixo real dado por: = = =22 2r Compensao 19 R #8 -Interseco com o eixo imaginrio: 0 ) ( 1 = + s G K 0) 1 (12=++s ms K02= + + K s K s ms2mK s1K s0K Para qualquer K > 0, o sistema estvel O grfico do LGR vir: Lugar Geomtri co das RazesEi xo RealEixo Imaginrio-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1-0.500.51 Considerando K = 1, a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitrio (correspondente aplicao de uma fora unitria para t 0), ser dada por: Compensao 20 Resposta do si stema a uma entrada em degrau uni tri oTempo [seg]Posio [m]0 2 4 6 8 10 1200.20.40.60.811.21.4 4.Compensador em avano Se for considerado para simplificao dos clculos:T = 10 = 0,07 Representao grfica do Lugar Geomtrico das Razes: FTMA: 21) 4 , 1 () 1 , 0 () ( ) (s m ss Ks G s Gc++= Compensao 21 R #1 -Nmero de ramos: Zeros:m = 1s = - 0,1 Plos:n = 3) ( 0 duplo s =s = - 1,4 N. de ramos = n = 3 R #2 -Simetria:O LGR simtrico relativamente ao eixo real R #3 -Troos do LGR sobre o eixo real: Paraganhodemalhaaberta:K>0,sotroosdoLGRospontosdoeixorealque tenham sua direita um nmero mpar de plos e/ou zeros da FTMA. Estasituaoapenassucedeparaospontodoeixorealqueestejamlocalizados esquerda do zero (s = - 0,1) e direita do plo do compensador em avano (s = - 1,4). R #4 -Pontos de partida e de chegada de ramos: Os pontos de partida (K=0) dos ramos do LGR coincidem com os plos da FTMA. Os pontos de chegada (K ) dos ramos do LGR: m = 1: 1 ramo tende para o zero. n - m = 3 1 = 2:2 ramos tendem para infinito. R #5 -Comportamento assimpttico: ngulo das assimptotas: 2) 1 2 ( =+ =m nka Centro assimpttico:65 , 023 , 12) 1 , 0 ( ) 4 , 1 0 0 (= = +=a R #6 -Pontos de entrada e sada do eixo real: 21) 4 , 1 () 1 , 0 () ( ) (s m ss Ks G s Gc++=Compensao 22 0 ) ( ) ( 1 = + s G s Gc0) 4 , 1 () 1 , 0 (12 3=+++s s ms K 1 , 0) 4 , 1 (2 3++ =ss s mK0 =dsdK0 ) 3 , 0 7 , 1 2 (2= + + s s s m = ==2 , 06 , 00sss Paras = 0K = 0 Paras = - 0,6K = 0,6m Paras = - 0,2K = 0,5m R #7 -ngulos de partida e de chegada: Sendoonmeroderamosquesecruzamnumpontodoeixorealr = 2,onguloentre dois ramos adjacentes que se afastam do mesmo ponto do eixo real dado por: = = =22 2r R #8 -Interseco com o eixo imaginrio: 0 ) ( 1 = + s G K 0) 1 (12=++s ms K 0 1 , 0 4 , 12 3= + + + K s K s m s m s3mK s21,4m0,1K s10,9K s0K Para qualquer K > 0, o sistema estvel Compensao 23 O esboo completo do LGR vir: Lugar Geomtri co das RazesEi xo RealEixo Imaginrio-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5 Considerando K = 1, a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitrio (correspondente aplicao de uma fora unitria para t 0), ser dada por: Resposta do si stema a uma entrada em degrau uni ti roTempo [seg]Posio [m]0 5 10 15 20 25 30 3500.20.40.60.811.21.4 Compensao 24 Comparando os resultados com os obtidos para o Controlador PD: -A Sobre-Elevao foi reduzida; -O Tempo de estabelecimento aumentou. O projecto da resposta transitria de sistemas assenta num compromisso entre os parmetros caractersticos. 5.Projecto do sistema de controlo No caso de se pretender que o sistema apresente os seguintes parmetros caractersticos: -Sobre-Elevao:MP = 10 % -Tempo de estabelecimento:ts = 0,5 [seg] Sabendo que: -Sobre-Elevao:% 10 10021 = e Mp 6 , 0 5912 , 0 -Tempo de estabelecimento a 5%: [ ] seg tns5 , 03%) 5 ( = 6 n [ ] s radnn/ 1066 , 0= == [ ] s radn d/ 8 12= = Assim,alocalizaodesejadadosplosdominantesdemalhafechadaparasatisfazeras exigncias de projecto ser: Compensao 25 Projectodocompensadorqueimponhaalocalizaodosplosnoslugaresgeomtricos desejados: ) () () (p sz s Ks Gc++=Tentativa #1: Zero:z = 6s = - 6 Plo:p = ? Compensao 26 AplicaodoPrincpiodeArgumentoparaclculodolugargeomtricodoplodo compensador: 180 ) 1 2 (4 3 2 1+ = k 901= 12768atan 1803 2||

\| = = 16 180 ) 1 2 ( 90 127 1274= + + + = k 28 168atan = = ||

\|xx Logo, a localizao do zero e do plo do compensador sero: Zero:z = 6s = - 6 Plo:p = 28+6 = 34s = - 34 AplicaodoPrincpiodeMduloparaclculodoGanhoProporcionaldocompensador projectado: ) 34 () 6 () (++=ss Ks Gc Compensao 27 FTMA: 21) 15 () 4 () ( ) (s m ss Ks G s Gc++=0 ) ( ) ( 1 = + s G s Gc0) 34 () 6 (12 3=+++s s ms K 8 42 36) 34 (j sss s mK =++ = 122 48 42634MM Mss s mKj s=++ = = K = 364 Compensao 28 O esboo completo do LGR vir: Lugar Geomtri co das RazesEi xo RealEixo Imaginrio-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0-30-20-100102030 A resposta do sistema com m = 1 [kg], a uma entrada em degrau unitrio (correspondente aplicaodeumaforaunitriaparat 0),considerandoK=364serdadapelaseguinte FTMF: FTMF: 2184 364 342184 364) () (2 3+ + ++=s s sss Fs X Compensao 29 Resposta do si stema a entrada em degrau uni tri oTempo [seg]Posio [m]0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.20.40.60.811.21.4 Noentanto,aSobre-Elevaode35%,peloquenecessrioefectuarumajustedos parmetros tendo por base o diagrama do Lugar Geomtrico das Razes: Tentativa #2: ParareduziraSobre-Elevaotorna-senecessrioqueosploscomplexosseaproximemo mais possvel do eixo real (parte real dominante). Para tal, desloca-se o plo do controlador para a esquerda e, por sua vez, o zero do controlador para a direita. Zero do compensador:z = 2s = - 2 Plo do compensador:p = 100s = - 100 Ganho Proporcional:K = 2000 A FTMF do sistema vir: 4000 2000 1004000 2000) () (2 3+ + ++=s s sss Fs X Assim,arespostadosistemacomm=1[kg],aumaentradaemdegrauunitrio