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Juros Compostos – Pagamentos SimplesJuros Compostos – Pagamentos Simples

Como vimos anteriormente, neste caso os juros são calculados sobre o montante do período anterior. Ou seja, o principal mais os juros até então. Por isso dizemos também que se trata de juros sobre juros.


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Valor Futuro (VF): Compondo

Fluxos de Caixa Valor Futuro (VF): Compondo

Fluxos de Caixa

Comecemos o nosso estudo com o conceito de composição - o processo de ir do valor de hoje, ou valor presente (VP), para o valor futuro (VF).

Determinar a quantia VF que seria obtida pela aplicação do principal VP, à taxa de juros i, durante n períodos. Ou seja, qual é o montante VF acumulado a partir do principal VP?

PROBLEMA


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Valor Futuro (VF): FórmulaValor Futuro (VF): Fórmula

T0 T1 T2 T3 Tn-1

VP

VFn = ?

A LINHA de TEMPO

i

Vamos agora calcular o valor futuro acima, num passo de cada vez.

Ao final do primeiro período tem-se: VP + i VP = VP (1 +i)

Ao final do segundo período tem-se: [VP (1 + i)] (1 + i) = VP (1 + i)2

E, assim sucessivamente, teremos:

VF = VP (1 + i)n 4.7

O termo (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital, FVF(n,i)


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Valores Futuros - ExemploniVPVF )1(

Exemplo - VF

Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente a uma taxa de 6% por cinco anos?


5

Valor Futuro e ComposiçãoValor Futuro e Composição

0 1 2 3 4 5

100$ 10,119$

3)06,1(100$

106$

)06,1(100$

2)06,1(100$

36,112$ 82,133$

5)06,1(100$ 4)06,1(100$

25,126$


6

Valores Futuros - Exemplo

niVF )1(100$

Exemplo - VF

Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente a uma taxa de 6% por cinco anos?

82,133$)06,1(100$ 5 VF


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Outro ExemploOutro Exemplo

1. Aplico R$ 1.000,00, por 10 anos a juros de 5% a . a .Quanto terei no final? SOLUÇÃO

VP = R$ 1.000,00 i = 5% = 5/100 = 0.05n = 10 VF = VP (1 + i)n = 1000 (1 + 0,05)10 = 1000 (1,05)10 = 1000 (1,629) = 1.629 ou R$ 1.629,00

FV

RS1000


8

0

5000

10000

15000

20000

1º Ano 10º Ano 20º Ano 30º Ano

Valor Futuro de um Único Depósito de $1.000

10% JurosSimples

7% JurosCompostos

10% JurosCompostos

Por que Juro Composto?Por que Juro Composto?

Va

lor

Fu

turo

(U

.S. D

ola

res

)


9

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Número de Anos

VF

de

$100

0%

5%

10%

15%

Valores Futuros com Composição

Taxas de Juros


10

Comparação de JS e JCComparação de JS e JCFigura 4.1 - Gráfico dos Valores Futuros e Juros Compostos

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1.000,00

1.200,00

1.400,00

1.600,00

1.800,00

1 2 3 4 5 6

Anos

Valo

r F

utu

ro

($)

Principal Juros Simples Juros Compostos


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Calculando Valores Futuros- HP 12C Calculando Valores Futuros- HP 12C

Para o cálculo do valor futuro podemos nos concentrar em apenas quatro teclas. A tecla N refere-se ao número de períodos, i coloca a taxa de juros, VP coloca o valor presente (ou valor inicial), e VF coloca o valor futuro ou valor final.


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Na HP – 12CNa HP – 12C

Para calcular o valor futuro do nosso investimento de $10.000 por 4 anos a partir de hoje, a uma taxa de juros de 8 porcento, faremos o seguinte

N i VP

VF

CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C

4 8 -10.000

$13.604,89


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Na Planilha ExcelNa Planilha Excel

A B C D E F 1 Taxa de Juros 0,06

2 Tempo 0 1 2 3 4

3 Valor Presente (100)

4 Valor Futuro (1) 106 112,36 119,10 126,25

5 Valor Futuro (2) 126,25


1234567

A B CCALCULANDO VALORES FUTUROS COM EXCEL

Depósito Inicial 100Taxa de juros 6%Número de anos, n 2

Saldo na conta após n anos 112,36 <--=B3*(1+B4)^B5


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Panilha Excel – usando funçõesPanilha Excel – usando funções

A B C D E F 1 Taxa de Juros 0,06

2 Tempo 0 1 2 3 4

3 Valor Presente (100)

4 Valor Futuro (1) 106 112,36 119,10 126,25




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Crescimento de VF Crescimento de VF 123456789

101112131415161718192021222324252627282930

A B C D E F G HCALCULANDO VALORES FUTUROS COM EXCEL

Depósito Inicial 100Taxa de juros 6%Número de anos, n 2

Saldo na conta após n anos 112.36 <--=B3*(1+B4)^B5

Ano Valor Futuro0 100,00 <--=$B$3*(1+$B$4)Â101 106,00 <--=$B$3*(1+$B$4)Â112 112,36 <--=$B$3*(1+$B$4)Â123 119,10 <--=$B$3*(1+$B$4)Â134 126,25 <--=$B$3*(1+$B$4)Â145 133,826 141,857 150,368 159,389 168,9510 179,0811 189,8312 201,2213 213,2914 226,0915 239,6616 254,0417 269,2818 285,4319 302,5620 320,71

Como o Valor Futuro Cresce à Taxa Anual de 6%

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20Anos

Va

lor

Fu

turo


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ExemploExemplo

1. Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente?

SOLUÇÃO

VP = R$ 1.000,00 i = 2,5% n = 12 meses Pela FÓRMULAVF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,025)12 = 1.000,00 (1,025)12 = 1.000,00 (1,345) = R$ 1.345,00

Pela CALCULADORA HP 12C

f FIN f 2 1 000 CHS PV

12 n2,5 iFVO comando FV na HP 12C fornecerá o resultado R$ 1.344,89.


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Na Planilha ExcelNa Planilha ExcelPela PLANILHA EXCEL: - Abra uma planilha e coloque os

seguintes valores nas células:

A1 1000 B1 0,025 C1 12 D1 1+B1 E1 POTÊNCIA(D1;C1) F1 A1*E1

Obs: As células A1 e F1 podem ser formatadas para moeda

Em B1 observe a VÍRGULA e em E1 o acento circunflexo


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Referências de Células no ExcelReferências de Células no Excel

Referência de Células Descrição A1 Referência relativa de célula. A fórmula ajusta-se à posição relativa quando

copiada ou movida $A$1 Referência Absoluta de célula. A fórmula sempre se refere a esta célula,

independentemente de onde a fórmula é copiada ou movida A$1 Referência mista de célula. A fórmula refere-se sempre a primeira linha $A1 Sempre a coluna A


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Exercícios PropostosExercícios Propostos1. Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resp:- R$ 40.317,49

2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Resp:- 66.671,81

3. Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. Resp:- R$ 54.654,17

4. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. Resp:- R$ 9.237,24

5. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 % ao mês, no fim de 6 meses. Resp:- R$ 88.257,63

6. Qual o VF produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? Resp:- R$ 26.496,48


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CasosCasos

Faremos agora o estudo de casos para fixação dos conceitos e aplicações


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Poupando para a VelhicePoupando para a Velhice

Você está com 20 anos e está considerando colocar $1.000 numa conta que está pagando 8% ao ano, por 45 anos. Quanto você terá na conta na idade de 65 anos?


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T0 T1 T2 T3 T4

VP = ($1000) VF45 = ?

A LINHA DO TEMPO

i =8%T45

Usando qualquer dos métodos discutido previamente, encontramos:

VFn = VP × (1+ i)n ou,

VF45 = $1000 × (1+ .08)45 = $ 31.920,45

Devido ao original principal ser $1.000, o total de juros ganhos é $30.920,45. Os juros simples são $3600 ($80 × 45 = $3600), enquanto os juros sobre os juros são $ 27.320,45.


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N I VP VF


45 8 -1.000

$31.920,45

A uma taxa de juros de 9% ao ano, encontramos:

VF45 = $1000 × (1+ .09)45 = $48.327,29

Assim, um crescimento aparentemente pequeno de 1% na taxa de juros resulta num extra de $16.406,84 (= $48.327,45 - $31.920,45) na idade de 65 anos. Isto é mais do que um aumento de 50% (16.406,84/31.920,45 = 0,514). O ponto principal deste exemplo é que uma pequena diferença na taxa de juros pode fazer uma grande diferença nos valores futuros sobre longos períodos de tempo.


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Reinvestindo a Taxas Diferentes Reinvestindo a Taxas Diferentes

Você se deparou com a seguinte decisão de investimento. Você tem $10.000 para investir por dois anos. Você tem de decidir se investe o seu dinheiro em certificado de depósito bancário (CDBs). Os CDBs de dois anos estão pagando 7% ao ano e os CDBs de um ano estão pagando 6%. O que você faria?


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Reinvestindo a Taxas DiferentesReinvestindo a Taxas Diferentes

Para tomar esta decisão você deve primeiro decidir o que você acha que a taxa de juros sobre CDBs de um ano será no próximo ano. Esta é chamada de taxa de re-investimento, isto é, a taxa de juros em que o dinheiro recebido antes do final do seu horizonte de planejamento possa ser reinvestido. Suponha que você tem certeza que ela será 8% ao ano.

Agora podemos usar o conceito de valor futuro para tomar esta decisão de investimento. Você calcula o valor futuro sob cada investimento alternativo e escolhe

aquele um dando mais dinheiro no final dos dois anos.


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T0 T1 T2

VP = ($10,000) VF2 = ?

A LINHA DO TEMPO

i =7%

E o VF2 é:

VF2 = $10.000 × (1+ ,07)2 = $11.449,00


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T0 T1 T2

VP = ($10,000) VF2 = ?

A LINHA DO TEMPO

i =6% i =8%

VF1 = ?

Com a seqüência de dois CDBs de um ano, no primeiro ano a 6% e no segundo ano a 8%o valor futuro pode ser calculado em duas partes:Primeiramente investimos os $10.000 a 6% por um ano.

VF1 = $10.000 × (1+ ,06)1 = $10.600,00

Daí, re-investimos VF1 por mais um ano a 8% ao ano:

VF2 = $10.600 × (1+ ,08)2 = $ 11.448,00


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Assim, você ficará um pouco melhor se investir em CDBs de dois anos onde você terminará com $11.449 em vez de $11.448. Você notou que podemos ter calculado o VF2 dos dois CDB como segue:

VF2 = $10.000 × (1+ ,06) × (1+ ,08) = $ 11.448,00

Para calcular VF2 simplesmente multiplicamos o investimento de $10.000 por (1 + i1) e novamente por (1 + i2) onde i1 e i2 são as taxas de juros do primeiro e segundo ano, respectivamente.

Infelizmente este cálculo não pode ser feito diretamente com as funções financeiras de uma calculadora financeira. Para cálculos incorporando muitas variações de taxas de juros uma planilha seria muito valiosa. O método 1 da Planilha discutido acima deveria ser

usado para calcular facilmente problemas maiores.


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Ressarcindo um Empréstimo Ressarcindo um Empréstimo

Cinqüenta anos após a graduação, você recebeu uma carta de sua faculdade notificando que eles acabaram de descobrir que você não pagou sua última matricula das atividades estudantis de $100. Devido a isto ter sido um engano da sua faculdade, ela decidiu cobrar de você uma taxa de juros de somente 6% ao ano. Sua faculdade gostaria que você pagasse de volta durante a qüinquagésima reunião da sua turma de graduação. Como um bacharel fiel, você se sente obrigado a pagar. Quanto você deve a eles?


30

Ressarcindo um EmpréstimoRessarcindo um Empréstimo

T0 T1 T2 T3 T4

VP = ($100) VF50 = ?

A LINHA DO TEMPO

i =6%T50

N I VP VF


50 6 -100

$1.842,02

Aqui estamos simplesmente procurando o valor futuro de $100 investidos por 50 anos. A taxa de juros é uma constante de 6% ao ano. Usando as fórmulas:

VF50 = $100 × (1+ ,06)50 = $1.842,02


31

Uma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDT Uma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDT

Por exemplo, em 13 de Outubro de 2002 a população dos USA foi estimada em 288.272.053 residentes legais e cidadãos. Qual será a população legal dos Estados Unidos daqui a 50 anos se o crescimento populacional é 1 % ao ano? Aqui a taxa de juros é simplesmente o crescimento da população ou 1 % ao ano.


32

Uma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDTUma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDT

T0 T1 T2 T3 T4

VP = 288.272.053 VF50 = ?

A LINHA DO TEMPO

i =1%T50

E usando fórmulas:

VF50 = 288.272.053 × (1+ 0,01)50 = 474.101.392

A uma taxa de crescimento de 1 % ao ano a população dos U.S.A. crescerá para 474.101.392 em 2052.


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Uma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDTUma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDT

O poder da capitalização não se restringe, portanto, ao dinheiro. Silvicultores tentam prever a taxa de crescimento composto das árvores; demógrafos, a taxa de crescimento composto da população. Um comentarista social uma vez observou que o número de advogados nos Estados Unidos está aumentando a uma taxa composta mais alta do que a população como um todo (3,6% versus 0,9% nos anos de 1980) e calculou que em aproximadamente dois séculos haverá mais advogados do que pessoas. Em todos esses casos, o princípio é o mesmo.


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A Venda da Ilha de ManhattanA Venda da Ilha de Manhattan A Venda da Ilha de ManhattanA Venda da Ilha de Manhattan Peter Minuit comprou a Ilha de Manhattan por $24 em 1626, pagando com mercadorias e quinquilharias. Este foi um bom negócio?

trilhões

VF

370,103$

)08.1(24$ 378

Para responder, determine o valor de $24 no ano de 2004, composto a 8%.

OBS – Isto é muito dinheiro! Daria para comprar OBS – Isto é muito dinheiro! Daria para comprar os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda para comprar o resto do mundo!!!!.para comprar o resto do mundo!!!!.


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A Venda da Ilha de ManhattanA Venda da Ilha de ManhattanA Venda da Ilha de ManhattanA Venda da Ilha de Manhattan

Embora divertida, na verdade essa análise é um tanto enganosa.

Primeiro, a taxa de juros de 8% que usamos para comparar o VF é bastante alta com relação aos padrões históricos. A uma taxa de juros de 3,5%a.a., mais consistente com a experiência histórica, o VF dos $ 24 seria drasticamente mais baixo, apenas $ 24 x (1,035)378 = 10.657.699,32, ou seja, 10 bilhões de dólares!

Segundo, nós subestimamos os retornos para o Sr. Minuit e seus sucessores: ignoramos toda a renda proveniente de aluguel que as terras da ilha têm gerado nos últimos três ou quatro séculos. Considerando tudo, se estivéssemos vivos em 1626, teríamos pago os $ 24 pela ilha com muito prazer....


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Peter Minuit e a sua IlhaPeter Minuit e a sua Ilha

1. Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos?

2. A Novos Empreendimentos teve vendas no passado de apenas $0,5 milhão. No entanto, um analista da bolsa de valores está otimista sobre a empresa e prevê que as vendas dobrarão a cada ano por 4 anos. De quanto são as vendas projetadas até o final desse período?

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