A inflação

O que é a inflaçãoA inflação é um aumento generalizado de preços. Ou seja, se o preço de

apenas um produto subir, não podemos dizer que ocorreu inflação. Todavia, se o preço de vários produtos subirem, podemos dizer que houve inflação.

Agora que sabemos o que é inflação, vejamos como ela é calculada. Antes precisamos montar uma cesta de bens e serviços. Mas como devemos montar essa cesta? Quais são os bens que deverão estar presentes? Em que quantidades? O que podemos dizer a respeito dos serviços?

Para montar uma cesta devemos ter em mente algum tipo de consumi-dor. Dependendo do consumidor, teremos um diferente índice de inflação.

Existem várias entidades que calculam a inflação. Algumas relacionadas ao governo e outras independentes. Cada uma delas começa pensando no tipo de consumidor que quer tomar como padrão. Assim, essas entidades calculam diferentes índices de inflação.

Você pode pensar em um consumidor final, ou em uma empresa. Cada um deles tem uma necessidade diferente de bens e serviços, assim cada um terá uma percepção diferente da inflação. O mesmo ocorre com famílias que possuem poder aquisitivo diferente. Por exemplo, se a gasolina sofrer um aumento de preço muito grande, isso pode significar um custo maior para quem tem carro; mas se o preço não for imediatamente repassado ao trans-porte público, não será percebido como um custo a mais para os que usam esse transporte.

Para ilustrar melhor a inflação, considere uma família que consome, ao longo do mês, os bens e serviços discriminados na tabela a seguir.

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Matemática Financeira

Consumo Janeiro Fevereiro

Produto Quantidade Preço Unitário Subtotal Preço

Unitário Subtotal

Arroz (kg) 10 R$1,00 R$10,00 R$1,10 R$11,00

Feijão (kg) 5 R$1,00 R$5,00 R$1,00 R$5,00

Carne (kg) 10 R$8,00 R$80,00 R$8,50 R$85,00

Sal (kg) 1 R$1,00 R$1,00 R$1,00 R$1,00

Óleo (litro) 2 R$2,00 R$4,00 R$2,15 R$4,30

Condução (un.) 40 R$2,00 R$80,00 R$2,25 R$90,00

Água (m3) 20 R$1,00 R$20,00 R$1,05 R$21,00

Luz (kWh) 200 R$0,50 R$100,00 R$0,52 R$104,00

Total R$300,00 R$321,30

Observe que esse é apenas um exemplo didático. Vários outros itens deveriam estar presentes na tabela. Mas como queremos apenas ilustrar o fenômeno da inflação, esses itens já serão suficientes. No Brasil existem vários índices de inflação, um deles é o IPC, em que 340 produtos compõem a sua ponderação. Vemos, portanto, que fizemos uma grande simplificação.

A partir dessa tabela vemos que no mês de janeiro a família precisava de R$300,00 para realizar todos os seus consumos. Já no mês de fevereiro a mesma família precisava de R$321,30. Isso mostra que ocorreu inflação.

Observe que nem todos os preços subiram. O preço do feijão e o preço do sal não se alteraram mas o preço da maioria dos itens subiu. O preço de alguns subiram mais do que o de outros. Assim, para ser calculada a taxa de inflação deve-se levar em conta o custo total dessa família que estamos considerando.

Continuando com a mesma tabela, podemos calcular a taxa de inflação que ocorreu no período.

i = F / P – 1

i = R$321,30/R$300,00 – 1 = 0,071

i = 7,1% ao mês

Onde i = taxa de juros

F = valor futuro ou montante

P = valor presente ou capital inicial

A inflação

101

É importante ressaltar que qualquer instituição que faça a pesquisa de in-flação ocorrida deve levar em consideração o preço médio dos produtos pra-ticado pelo mercado. Desse modo, quando vamos colocar o preço do arroz na nossa tabela, devemos fazer uma pesquisa de quanto está custando o arroz em vários estabelecimentos, para que o cálculo da taxa de inflação que estamos fazendo reflita o que ocorre com a população de uma forma geral.

Exemplo: suponha que para medir a inflação uma instituição utilize uma cesta de bens e serviços cujo valor total é de R$800,00 no primeiro dia do mês de julho. No primeiro dia do mês de dezembro do mesmo ano o valor médio dessa mesma cesta de bens e serviços é de R$ 830,00. Calcule a taxa de inflação medida pela instituição.

F = P . (1 + q)n

Calculando a inflação no período temos:

R$830,00 = R$800,00 . (1 + q)1

q = (R$830,00/R$800,00)11 – 1

q = 3,75% ao período

Calculando a inflação ao mês temos:

R$830,00 = R$800,00 . (1 + q)5

qam = (R$830,00 / R$800,00)15 – 1

qam = 0,74% ao mês

Renda e inflaçãoVimos que com o passar do tempo o poder aquisitivo do dinheiro dimi-

nui. Isso ocorre devido à inflação. Dessa forma, vimos que a renda dos indiví-duos deve ser corrigida para que se mantenha o poder de compra.

Tomando como exemplo a família que já estávamos considerando, vemos que para que o poder de compra dela seja mantido, a renda deve ser corrigi-da em 7,1%. Pois, se a renda da família for de R$300,00 em janeiro, para que ela consiga continuar comprando todos os bens que comprava antes, a sua renda em fevereiro deverá ser de R$321,30.

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Matemática Financeira

Exemplo: a taxa de inflação medida no intervalo de um ano foi de 8%. Assim, uma família que no início do período gastava R$750,00 por mês para seus custos básicos, deverá gastar quanto ao final desse período?

Como a inflação mede o aumento médio dos preços, para descobrirmos o gasto dessa família no período de um ano vamos assumir que o consumo dessa família é o mesmo que os bens e serviços que constituem a cesta con-siderada para medir a inflação. Assim:

F = P . (1 + q)n

Sendo que a letra q é utilizada para representar a taxa de inflação. Logo:

F = R$750,00 . (1,08)

F = R$810,00

Portanto esta família necessitará de R$810,00 para continuar arcando com os seus custos básicos.

Taxa de juros nominal e realInfelizmente, existe um termo em Matemática Financeira que tem dois

significados, podendo causar confusão a princípio: é a taxa de juros nominal.

A taxa de juros nominal pode estar relacionada à taxa de juros efetiva, ou seja, quando a taxa é informada em um período de tempo, mas a capita-lização ocorre em outro. Mas não é esse o caso que estamos considerando aqui.

O outro significado da taxa de juros nominal é quando a estamos relacio-nando com a taxa de juros real, ou seja, quando estamos querendo descon-siderar o efeito da inflação. Pois quando aplicamos R$100,00 e resgatamos R$110,00 sabemos que a taxa de retorno desse investimento é de 10%. Mas é preciso descontar a inflação para saber o rendimento real. Ou seja, muitas vezes queremos saber qual é a taxa de juros real que uma instituição finan-ceira está cobrando quando fazemos empréstimos e quanto ela está pagan-do quando aplicamos o nosso dinheiro.

Algo bastante curioso que pode ocorrer é alguém dizer que se você apli-car R$100,00 por mês em num investimento, depois de 30 anos você terá R$1.000.000,00. Porém, essa informação pode não ter muito significado.

A inflação

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Saber que você terá um milhão de reais daqui a 30 anos significa pouco quando não sabemos qual será a taxa de inflação nesse período. Será que esse dinheiro será o suficiente para comprar uma casa? Hoje, certamente, você poderia comprar muitas coisas com um milhão de reais, mas será que daqui a 30 anos você conseguiria fazer muita coisa com esse valor?

Para responder essas questões temos de levar em consideração a inflação. Considere um investidor que aplicou R$3.000,00 em janeiro para ser resgata-do em fevereiro. O investimento proporcionou uma taxa de juros de 10% ao mês. Depois de um mês o valor resgatado foi de R$3.300,00. Mas sabemos que o poder de compra desse dinheiro não aumentou 10%.

A taxa de 10% que esse investidor obteve é chamada de taxa de juros no-minal. Já a taxa de juros que desconta a inflação é chamada de taxa de juros real. E como devemos proceder para calcular a taxa de juros real?

Supondo ainda que a inflação no período foi de 7,1%, alguns pensariam que a taxa de juros real é simplesmente a taxa de juros nominal menos a taxa de inflação (10% – 7,1% = 2,9%). Mas isso está errado. Para verificar isso vamos observar melhor o poder de compra da moeda.

Lembre-se que para comprar uma cesta de bens e serviços eram necessá-rios R$300,00. Assim, um investidor que aplicou R$3.000,00 possuía recursos para comprar 10 cestas de bens e serviços. E quantas cestas ele poderia com-prar depois de um mês? Descobrir isso é bastante simples, devemos dividir o valor que ele dispõe pelo valor de uma cesta no mês de fevereiro. Assim vemos que depois de um mês ele pode comprar 3.300,00/321,30 = 10,27 cestas.

Vemos que o investidor recebeu um valor acima da inflação. Isso já era de se esperar, pois qualquer investidor espera receber o seu dinheiro corri-gido pela inflação acrescido de uma remuneração por ter ficado sem o seu capital.

Para descobrir a taxa de juros real, devemos levar em consideração o poder de compra do capital disponível. O poder de compra era de 10 uni-dades (de cestas de bens e serviços). Depois de um mês o poder de compra passou a ser de 10,27 cestas. Logo, a taxa de juros real, que chamaremos de r, é dada por:

r = 10,27/10 – 1 = 0,027

r = 2,7% ao mês

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Matemática Financeira

Fizemos duas tentativas para encontrar a taxa de juros real, mas apenas uma delas está certa. Primeiramente, subtraímos a taxa de inflação da taxa de juros nominal, obtendo uma taxa de juros real de 2,9% que estava errada. Depois, levamos em consideração o poder de compra do capital disponível, e vimos que a taxa de juros real no período foi de 2,7%. Esse valor está corre-to, pois tem uma fundamentação no seu cálculo.

A partir das contas que fizemos poderíamos tentar deduzir a equação para a taxa de juros real. Entretanto, tal dedução poderia ficar um pouco confusa devido ao excesso de contas. Portanto, será mostrado somente o resultado final.

Vamos usar a letra q para representar a taxa de inflação, a letra i para re-presentar a taxa de juros nominal e a letra r para representar a taxa de juros real. Assim:

(1 + i) = (1 + q) . (1 + r)

Verificamos que a taxa de juros nominal é a composição da taxa de juros real com a taxa de inflação. Observe que a taxa de juros nominal não é a soma das outras duas taxas.

Vamos calcular novamente a taxa de juros real obtida pelo investidor que aplicou R$3.000,00 e resgatou R$3.300,00.

r = (1 + i) / (1 + q) – 1

r = 1,10 / (1,071) – 1 = 0,027

r = 2,7% ao mês

Portanto, esse investidor que aplicou a uma taxa de juros nominal de 10% obteve somente 2,7% de taxa de juros real.

A fórmula que relaciona a taxa de juros nominal com a taxa de juros real e a taxa de inflação é comumente chamada de fórmula de Fischer.

(1 + i) = (1 + q) . (1 + r)

Ela recebe esse nome pois foi proposta por Irving Fischer (1867-1947), um economista americano que foi professor universitário e autor de vários livros. Além disso, ganhou muito dinheiro aplicando suas idéias.

A inflação

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Exemplo: Paulo aplicou R$500,00 em um investimento pelo período de um ano que rendeu a uma taxa de juros de 1% ao mês. Sabendo que a in-flação foi de 5% naquele ano, diga quanto foi a taxa de juros real obtida por Paulo.

iaa = (1 + iam)12 – 1

iaa = (1 + 0,01)12 – 1

iaa = 12,6825% ao ano

A taxa de juros nominal que ele obteve no investimento foi de 12,6825% ao ano. Agora vamos descontar a inflação para encontrar a taxa de juros real.

r = (1 + i) / (1 + q) – 1

r = 1,126825 / 1,05 – 1

r = 7,32% ao ano

A taxa de juros real obtida por Paulo foi de 7,32% ao ano.

Taxa de desvalorização da moedaDe acordo com o que vimos aqui, devido à inflação, a moeda se desvalo-

riza ao longo do tempo. Por isso não se deve guardar dinheiro em baixo do colchão. Quanto maior for a inflação, maior será a perda se ficarmos com o dinheiro na mão sem aplicarmos.

Considerando ainda o investidor que aplicou R$3.000,00 a uma taxa de juros nominal de 10%. Vamos ver o que aconteceria se ele não tivesse aplica-do o seu dinheiro. Lembre-se que a inflação no período foi de 7,1% e a taxa de juros real foi de 2,7%.

No mês de janeiro ele possuía um capital de R$3.000,00, o que era equi-valente a 10 cestas de bens e serviços. Depois de um mês, ele terá o mesmo valor monetário, ou seja, R$3.000,00. Esse valor em fevereiro não consegue comprar as mesmas 10 cestas que conseguia comprar em janeiro. Como em fevereiro cada cesta custa R$321,30, o investidor conseguirá comprar apenas 3.000,00/321,30 = 9,337 cestas de bens e serviços.

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Matemática Financeira

Percebe-se que o poder de compra da moeda foi reduzido. Agora o seu poder de compra é apenas uma fração do que era antes. O poder de compra da moeda é: 9,337/10 = 0,9337 = 93,37%.

Podemos concluir que a moeda sofreu uma desvalorização de: 100% – 93,37% = 6,63%.

O valor da moeda em janeiro era P. Em fevereiro o seu valor passou a ser P / (1 + q). Portanto, a desvalorização da moeda é: P – P / (1 + q). A desvalo-rização percentual é:

Taxa de Desvalorização = 1 – [1 / (1 + q)]

Taxa de Desvalorização = [(1 + q) / (1 + q)] – 1 / (1 + q)

Taxa de Desvalorização = q / (1 + q)

Exemplo: Astolfo ganhou R$1.000,00 num título de capitalização com-prado nos correios e deixou esse dinheiro guardado em sua casa por três meses. A taxa de inflação no período foi de 3%. Calcule quanto foi a desva-lorização percentual do dinheiro que ele recebeu. Calcule também o valor monetário que a inflação retirou de Astolfo.

Taxa de Desvalorização = q / (1 + q)

Taxa de Desvalorização = 0,03 / (1 + 0,03)

Taxa de Desvalorização = 2,913%

Como Astolfo possui R$1.000,00, ele deveria ter esse valor corrigido pelo menos pela inflação. Como depois de um mês ele ainda continua com R$1.000,00, ele sofreu uma perda igual ao produto do valor monetário que ele possui pela desvalorização da moeda. Portanto, a inflação retirou de As-tolfo: R$1.000,00 × 0,02913 = R$29,13.

A deflaçãoA deflação é o contrário de inflação, ou seja, uma queda generalizada

de preços. Apesar de parecer interessante viver num lugar onde os preços caem, a deflação não é desejável. Na verdade a deflação é um grande pro-blema que deve ser evitado.

A inflação

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Se um país apresenta deflação significa que com o passar do tempo os preços cairão. E os consumidores tentarão adiar o consumo o máximo que eles puderem. Isso acaba prejudicando o comércio e conseqüentemente a indústria.

Como o consumo foi desestimulado, cai a produção e o desemprego au-menta, causando um grave problema para toda a sociedade.

Portanto, a inflação é desejável. Todavia, ela deve ser baixa, pois a alta inflação causa outros problemas que são conhecidos dos brasileiros. Prin-cipalmente aqueles que acompanharam a alta de preços que ocorreu nos anos 1980 e início dos anos 1990.

Exemplo: Cláudia pegou R$300,00 emprestados no banco, para serem devolvidos depois de um mês. O banco cobrou uma taxa de juros de 5% ao mês. Nesse período ocorreu deflação, ou seja, uma inflação negativa de 1%. Calcule a taxa de juros real que Cláudia pagou.

r = (1 + i) / (1 + q) – 1

r = (1 + 0,05) / (1 – 0,01) – 1 (Observe o sinal de menos na inflação)

r = 1,05 / 0,99 – 1

r = 6,06% ao mês

Observe que, como a inflação foi negativa, a taxa de juros real que Cláudia teve de pagar foi maior que a taxa de juros nominal que o banco cobrava. Caso a inflação fosse positiva (como geralmente é o caso) a taxa de juros real seria menor que a taxa de juros nominal.

Taxa acumulada de inflaçãoCom o passar do tempo os preços costumam subir, pois a inflação costu-

ma ser positiva. Assim, se o preço de um bem for corrigido de acordo com a inflação, o seu preço depois de um período de tempo é dado por:

F1 = P . (1 + q1)

Observe que colocamos um índice 1 na taxa de inflação para indicar que essa é a taxa de inflação no período 1. No período 2 a taxa de inflação é q2. Assim o valor desse bem será:

108

Matemática Financeira

F2 = F1 . (1 + q2) = P . (1 + q1) . (1 + q2)

Seguindo esse raciocínio, vemos que após um ano o valor do bem será:

F12 = P . (1 + q1) . (1 + q2) . (1 + q3) . (1 + q4) . (1 + q5) . (1 + q6)

. (1 + q7) . (1 + q8) . (1 + q9) . (1 + q10) . (1 + q11) . (1 + q12)

Observe que, se conhecêssemos a inflação anual (qaa) desse período po-deríamos escrever simplesmente:

F = P . (1 + qaa)

Comparando as duas expressões vemos que podemos realizar 12 corre-ções monetárias mensais, ou apenas uma correção monetária anual e chega-mos ao mesmo valor. Portanto, esta correção anual deve ser igual ao produto das correções mensais, ou seja:

(1 + qaa) = (1 + q1) . (1 + q2) . (1 + q3) . (1 + q4) . (1 + q5) . (1 + q6)

. (1 + q7) . (1 + q8) . (1 + q9) . (1 + q10) . (1 + q11) . (1 + q12)

Exemplo: no mês de janeiro a taxa de inflação foi de 0,5% ao mês; já no mês de fevereiro a taxa de inflação foi de 0,6% e no mês de março foi de 0,4% ao mês. Calcule a taxa de inflação (ao trimestre) no primeiro trimestre do ano.

q1 = 0,5%, q2 = 0,6%, q3 = 0,4%

(1+qat ) = (1 + 0,005) . (1 + 0,006) . (1 + 0,004)

qat = (1,005) . (1,006) . (1,004) – 1

qat = 1,51% ao trimestre

Taxa média de inflaçãoVamos novamente considerar que conhecemos a taxa de inflação mensal

e que essa taxa varia mensalmente. Como sabemos a taxa de inflação de cada mês, calcular a taxa média de inflação parece uma tarefa fácil. Realmen-te essa tarefa não é difícil, mas não é tão simples como somar todas as taxas mensais e dividir pelo número de meses.

Vamos definir que conhecemos a taxa de inflação mensal de um período de 12 meses. Assim o valor de um bem que fosse corrigido pela inflação seria:

A inflação

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F12 = P . (1 + q1) . (1 + q2) . (1 + q3) . (1 + q4) . (1 + q5) . (1 + q6)

. (1 + q7) . (1 + q8) . (1 + q9) . (1 + q10) . (1 + q11) . (1 + q12)

Vamos agora levar em conta que existe uma única taxa de inflação mensal que produziria o mesmo resultado. Ou seja, se em todos os meses a inflação fosse a mesma, o preço deste bem depois de 12 meses seria:

F12 = P . (1 + qm)12

Chamamos a taxa acima de qm porque ela é uma taxa de inflação média. Se elevarmos a taxa média de inflação ao número de períodos considerados, obteremos o mesmo resultado que se fizéssemos a composição de todas as taxas de inflação. Comparando as duas equações vemos que:

(1 + qm)12 = (1 + q1) . (1 + q2) . (1 + q3) . (1 + q4) . (1 + q5) . (1 + q6)

. (1 + q7) . (1 + q8) . (1 + q9) . (1 + q10) . (1 + q11) . (1 + q12)

Assim, a taxa média de inflação é dada por:

qm = [(1 + q1) . (1 + q2) . (1 + q3) . (1 + q4) . (1 + q5) . (1 + q6)

. (1 + q7) . (1 + q8) . (1 + q9) . (1 + q10) . (1 + q11) . (1 + q12)]1

12 – 1

Na maioria das contas que fazemos em nosso dia-a-dia para buscar um valor médio, simplesmente somamos todos os valores e dividimos o resul-tado pela quantidade total de termos. Esse cálculo é chamado de média aritmética.

Entretanto, existe um outro tipo de média chamada de média geomé-trica. Ela é pouco usada no dia-a-dia, mas é muito comum na Matemática Financeira. A média geométrica de n termos consiste em multiplicar todos os termos e depois elevar este resultado a 1/n.

Exemplo: considere os mesmos valores apresentados no exemplo ante-rior, ou seja: no mês de janeiro a taxa de inflação foi de 0,5% ao mês; já em fevereiro a taxa de inflação foi de 0,6% e no mês de março foi de 0,4% ao mês. Calcule a taxa média de inflação (ao mês) no primeiro trimestre do ano.

q1 = 0,5%, q2 = 0,6%, q3 = 0,4%

(1 + qm)3 = (1 + 0,005) . (1 + 0,006) . (1 + 0,004)

qm = [(1 + 0,005) . (1 + 0,006) . (1 + 0,004)]13 – 1

qm = 0,499967% ao mês

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Matemática Financeira

O valor da taxa média de inflação foi escrita com várias casas decimais para mostrar que o seu valor, apesar de muito próximo de 0,5%, é diferente desse valor. O valor 0,5% corresponde à média aritmética das taxas de in-flação mensais. Contudo, o correto é calcular a média geométrica, tal como fizemos.

Vemos que os valores obtidos considerando a média aritmética e a média geométrica são muito próximos. Mas isso somente ocorreu porque os valo-res são muito parecidos.

Índices de inflação do BrasilPara que se conheça um pouco daquilo que é apresentado sobre a infla-

ção nas notícias, apresentaremos a seguir uma lista dos principais índices de inflação do Brasil.

Índice da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe)

IPC-Fipe (Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas), índice da Universidade de São Paulo (USP), pesquisado no município de São Paulo, que tenta refletir o custo de vida de famílias com renda de 1 a 20 salários mínimos. Esse índice é calculado desde 1939.

Índices da Fundação Getúlio Vargas (FGV) IPA (Índice de Preços no Atacado) é um índice com base na variação

dos preços no mercado atacadista.

IPC-Br (Índice Preços ao Consumidor) é calculado com base nos cus-tos de famílias com renda de até 33 salários mínimos, cobrindo 12 das principais capitais do país.

IPC-RJ (Índice Preços ao Consumidor – Rio de Janeiro), índice que con-sidera a variação dos preços na cidade do Rio de Janeiro, que toma por base os gastos de famílias com renda de um a 33 salários mínimos.

A inflação

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INCC (Índice Nacional do Custo da Construção). Reflete a variação dos preços de materiais de construção e da mão-de-obra no setor da cons-trução civil. É calculado a partir da média dos índices de doze regiões metropolitanas. Utilizado em financiamento direto de construtoras e incorporadoras.

IGP (Índice Geral de Preços), costuma ser usado em contratos com pra-zo mais longo, como aluguel. O índice apura as variações de preços de matérias-primas agrícolas e industriais no atacado e de bens e serviços finais no consumo. O IGP é calculado com base nos gastos de famílias com renda de até 33 salários mínimos. O IGP subdivide-se em alguns outros índices de acordo com o período de tempo em que ele é cal-culado. Apesar de existirem diferentes IGP, todos eles são uma média ponderada dos seguintes índices:

índice de preços no atacado (IPA), com peso de 60%;

índice de preços ao consumidor, (IPC) no Rio de Janeiro e São Paulo, com peso de 30%;

índice nacional de custo da construção (INCC), com peso de 10%.

IGP-DI (Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna) é o IGP pes-quisado do dia 1.º ao último dia do mês corrente. Esse índice é calcula-do desde 1944.

IGP-M (Índice Geral de Preços do Mercado), índice cuja metodologia é igual à do IGP-DI, mas pesquisado entre os dias 21 de um mês e 20 do seguinte. Esse índice é calculado desde 1989.

IGP-10 (Índice Geral de Preços 10) é elaborado com a mesma meto-dologia do IGP-DI e do IGP-M, mudando apenas o período de coleta de preços: entre o dia 11 de um mês e o dia 10 do mês seguinte. Esse índice é calculado desde 1994.

Índices do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)

INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor), calculado entre os dias 1.º e 30 de cada mês. Compõe-se da variação de preços das 11

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Matemática Financeira

maiores regiões metropolitanas do país. Reflete o custo de vida para famílias com renda mensal de um a oito salários mínimos. Esse índice é calculado desde 1979 e é utilizado nos reajustes de salário.

IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), calculado desde 1979, semelhante ao INPC, porém, refletindo o custo de vida para famílias com renda mensal de 1 a 40 salários mínimos. A pesquisa é feita nas mesmas 11 regiões metropolitanas, tendo sido escolhido como alvo das metas de inflação no Brasil.

IPCA-15 (Índice de Preços ao Consumidor Amplo 15). É igual ao IPCA, diferindo no período de cálculo. Calcula-se com base na variação que ocorre do dia 16 de um mês ao dia 15 do mês seguinte. Esse índice é calculado desde 2000.

Vemos que existem vários índices para medir a inflação. E esses apresenta-dos são apenas os mais usados. Apesar de existirem vários índices, há apenas duas diferenças entre todos eles:

1. Os bens e serviços que estão contidos na cesta que estamos conside-rando. Alguns tentam refletir a percepção do consumidor, enquanto outros tentam refletir a percepção dos atacadistas.

2. O período em que o índice é considerado. Alguns são considerados do primeiro dia ao último dia do mês, enquanto outros são considerados entre outras datas.

No Brasil, o número de índices para medir a inflação é muito alto. Isso se deve principalmente à alta inflação que ocorreu no país nos anos 1980 até o início dos anos 1990. Muitas vezes, já no início do mês, precisava-se saber qual era a inflação no mês anterior. Dessa forma o IGP-M foi instituído. Isso porque os preços são coletados e deve-se fazer uma análise dos dados. Assim, como os dados eram coletados até o dia 20, poderiam ser divulgados antes do início do próximo mês.

Dinheiro para aposentadoriaNesta seção vamos assumir que você conseguiu acumular R$1.000.000,00.

Muitas vezes, as pessoas fazem as contas de quanto tempo teriam de traba-lhar para acumular essa quantia em dinheiro. Mas agora não vamos nos preocu-par como poderíamos acumular esse capital. Nossa única preocupação será como gastá-lo. Melhor do que isso, como gastar sabiamente esse dinheiro.

A inflação

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Se você conseguiu acumular R$1.000.000,00, provavelmente não vai mais querer trabalhar, mas apenas viver de renda. E uma preocupação importante é não deixar esse dinheiro acabar.

Para essas considerações teremos de assumir valores para a taxa de juros e para a inflação. Assumindo que você consiga aplicar o seu dinheiro a uma taxa de juros de 0,8% ao mês e que a taxa de inflação seja de 0,4% ao mês, podemos fazer algumas contas e descobrir o quanto poderá ser gasto a cada mês. Mas para fazer essas contas, assumiremos que você deseje retirar todos os meses o mesmo valor para seus gastos pessoais. Além disso, que você sempre deseje possuir os mesmos R$1.000.000,00 e ao final de sua vida deixar esses recursos aos seus herdeiros.

Quando você aplica o seu dinheiro por um mês, você passa a ter:

F = P . (1 + i)n

F = R$1.000.000,00 . (1,008)

F = R$1.008.000,00

Assim, a primeira opção seria retirar os juros, ou seja, os R$8.000,00 e deixar o restante (R$1.000.000,00) aplicado. Fazendo isso, no mês seguinte você teria novamente R$1.008.000,00. Você poderia fazer isso sempre. Todo mês aplicar um milhão de reais e resgatar os juros de R$8.000,00. Mas não é uma boa estratégia, tente imaginar o porquê.

Você está sempre resgatando R$8.000,00 por mês para seus gastos pesso-ais. Uma bela aposentadoria, hein!? Certamente é um valor muito bom hoje, mas será que continuará sendo bom daqui a 20 anos? Com certeza não vai ser tão bom quanto é hoje, devido à inflação. O capital de R$8.000,00 repre-senta um certo poder de compra na atualidade, mas daqui a 20 anos essa mesma quantia possuirá um poder de compra menor.

Vemos assim que você deveria todo mês pegar um valor maior, que le-vasse em consideração a inflação do período. Você deve fazer isso de tal forma que o valor que você retire a cada mês possua sempre o mesmo poder de compra. Logo, você não deveria retirar R$8.000,00 do seu investimento daqui a um mês, mas apenas R$4.000,00, pois a taxa de inflação do período é de 0,4% e o valor investido possui o mesmo valor de compra. Observe que o valor investido foi atualizado pela taxa de inflação. Mas será que o valor resgatado também foi atualizado pela mesma taxa?

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Matemática Financeira

O valor resgatado daqui a um mês será de R$4.000,00. Mas qual será o valor resgatado daqui a dois meses? Para responder isso veja que daqui a um mês você resgatará R$4.000,00, deixando aplicado R$1.004.000. Depois de mais um mês o valor disponível será de:

F = R$1.004.000,00 . (1,008) = R$1.012.032,00

Mas como você sempre vai deixar aplicado um capital que possua o mesmo poder de compra, você deve deixar aplicado:

F = R$1.004.000,00 . (1,004) = R$1.008.016,00

Resumindo, depois de dois meses você terá R$1.012.032,00 aplicado, fará um resgate e deixará apenas R$1.008.016,00. Portanto, o valor do seu saque é de: R$4.016,00

Vemos que daqui a um mês você terá em mãos R$4.000,00 e daqui a dois meses você terá R$4.016,00. Vamos ver qual é o valor monetário atual de cada um desses valores. Encontrando o valor presente do dinheiro que você resgatará daqui a um mês temos:

P = R$4.000,00 / (1,004) = R$3.984,06

Agora vamos encontrar o valor presente do dinheiro que você resgatará daqui a dois meses:

P = R$4.016,00 / (1,004)2 = R$3.984,06

Podemos concluir que você está sempre resgatando um valor que possui o mesmo poder de compra. Mas poderíamos ter poupado muitas contas se utilizássemos a taxa de juros real para fazer as mesmas considerações.

Queremos saber com quanto teremos de viver a cada mês. Conforme vimos, o valor que teremos disponível a cada mês será R$3.984,06 corrigido pela taxa de inflação. Vamos agora encontrar a taxa de juros real:

(1 + r) = (1 + i) / (1 + q)

r = (1 + i) / (1 + q) – 1

r = (1 + 0,008) / (1 + 0,004) – 1

r = 0,398406 %

O valor que teremos disponível para ser usado a cada mês é:

J = P . r = R$1.000.000,00 . 0,00398406 = R$3.984,06

A inflação

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Observe que esse é o valor da sua aposentadoria. Todo mês você poderá resgatar R$3.984,06 corrigido pela taxa de inflação.

Observe que consideramos que você deixaria todo o valor que você acu-mulou para os seus herdeiros. Caso você quisesse gastar todo o dinheiro, o valor disponível para ser gasto todo mês seria maior. Mas você precisaria tomar muito cuidado, pois gastar todo o dinheiro em um certo prazo é peri-goso, pois você não sabe ao certo quanto tempo você vai viver.

Ampliando seus conhecimentos

Instituições Financeiras(BOVEsPA, 2008)

Banco comercial

Instituição financeira que acolhe depósitos à vista em conta bancária de movimento e efetua empréstimos a curto prazo, principalmente para capital de giro empresarial. Tecnicamente é definido como instituição geradora de moeda. Presta ainda serviços auxiliares como cobrança mediante comissão, transferência de fundos entre praças e outros serviços. Administra uma rede de agências bancárias e opera no mercado de varejo junto ao público em geral.

Banco de investimento

Instituição financeira privada constituída sob a forma de companhia es-pecializada em operações de participação acionária ou societária de caráter temporário em empresas ou financiamentos, a médio e longo prazos, para su-

Um tipo de instituição financeira bastante conhecida de todos nós é o banco. Entretanto, existem outros tipos de instituições financeiras presentes no mercado financeiro. Além disso, existem distinções entre bancos, quanto ao tipo de opera-ções que estão autorizados a realizar.

Abaixo vamos conhecer um pouco mais sobre as várias instituições financei-ras que estão presentes no mercado. Os textos foram extraídos do dicionário de finanças presentes no site da Bovespa <www.bovespa.com.br>.

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Matemática Financeira

primento de capital fixo ou de movimento, mediante a aplicação de recursos próprios ou captados junto ao público. A captação de recursos de terceiros se faz mediante depósito a prazo fixo, e recursos oriundos do exterior. Além dessas operações, administra carteiras de valores e institui, organiza e admi-nistra fundos de investimentos, assessora negócios, realiza lançamentos de ações de empresas e outros serviços do gênero.

Banco de desenvolvimento

Instituição financeira pública não federal constituída sob a forma de com-panhia, com sede na Capital do Estado da Federação que detiver seu contro-le acionário. Destina-se a proporcionar o suprimento oportuno e adequado dos recursos necessários ao financiamento, a médio e longo prazos, de pro-gramas e projetos que busquem promover o desenvolvimento econômico e social dos respectivos Estados da Federação onde tenham sede, cabendo-lhes apoiar prioritariamente o setor privado. Pode assumir a forma de companhia de desenvolvimento estadual ou regional.

Banco múltiplo

Banco que opera simultaneamente com, no mínimo, duas das seguintes carteiras: de banco comercial, banco de investimento e ou banco de desen-volvimento (neste caso, exclusivamente para bancos oficiais), sociedade de crédito imobiliário, sociedade de crédito, financiamento e investimento, so-ciedade de arrendamento mercantil (leasing). Uma das carteiras será, obriga-toriamente, de banco comercial ou de investimento.

sociedade de crédito imobiliário

Instituição financeira constituída sob a forma de companhia, realiza finan-ciamentos habitacionais e imobiliários. Pode operar com recursos próprios ou captar recursos de terceiros em cadernetas de poupança, letras hipotecárias, letras imobiliárias, repasses e financiamentos contraídos no país, inclusive os provenientes de fundos nacionais, empréstimos e financiamentos contraídos no exterior. Pode utilizar ainda recursos provenientes de repasses e refinancia-mentos externos, depósitos interfinanceiros, além de outras formas autoriza-das pelo Banco Central.

A inflação

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sociedade de crédito, financiamento e investimento

Instituição financeira privada, constituída sob a forma de companhia, re-aliza o financiamento ao consumo através do Crédito Direto ao Consumidor (CDC), e financiamento de vendas. Pode captar recursos de público median-te aceite e colocação de letras de câmbio. Desde maio de 2007 pode ainda captar recursos mediante a emissão de Recibo de Depósito Bancário (RDB). As SCFI devem dirigir os recursos provenientes de suas captações para as se-guintes operações:

no mínimo 60% para o financiamento de bens e serviços a pessoas físicas ou jurídicas;

no máximo 40% para o financiamento de capital de giro a pessoas jurídicas, com prazo mínimo de 3 meses, admitidas as operações sob a forma de crédito rotativo.

sociedade de arrendamento mercantil

Empresa que tem como objeto social principal a prática de operações de arrendamento mercantil (leasing), com o próprio vendedor do bem ou com pessoas jurídicas a ele coligadas ou interdependentes.

Atividades de aplicação1. Determine a taxa real de juros conseguida por uma financeira que

opera com taxa de 80% ao ano, se a inflação for de 20% nesse mesmo período.

2. Uma aplicação de R$10.000,00 lhe propiciou R$5.000,00 de juros em oito meses. Se a inflação nesse período foi de 8%, qual a taxa real de sua aplicação?

3. Depois de vários anos poupando, atualmente você tem R$1.000.000,00 à disposição para quando se aposentar. Esse dinheiro pode ser aplica-do a 1% ao mês. Sabendo que existe uma inflação média de 0,5% ao mês, quanto você pode gastar de seus rendimentos?

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Matemática Financeira

4. Uma pessoa investiu no mercado acionário num dado período e ob-teve a rentabilidade nominal de 20% ao período. No período conside-rado, a taxa de inflação foi de 30% ao período. Determinar a taxa real propiciada pelo investimento no período considerado.

5. A taxa mensal de inflação de um quadrimestre atinge, respectivamen-te, 2,8%, 3,4%, 5,7% e 8,8%. Determinar a taxa de inflação acumulada do período e a taxa média (geométrica) mensal.

6. A taxa de inflação da economia de determinado ano foi de 748,95%. Calcular a taxa equivalente semestral e mensal da inflação do período.

7. Sendo projetada em 1,9% ao mês a taxa de inflação para os próximos cinco meses, determinar a inflação acumulada do período.

8. Admita que em determinado período a inflação tenha atingido 10,6 %. Determinar:

a) reposição salarial necessária para que um assalariado mantenha a mesma capacidade de compra;

b) redução do poder aquisitivo do assalariado, supondo que os seus vencimentos não sofreram reajuste no período.

9. Em um período de inflação, a moeda perde uma parte de sua capa-cidade de compra, afetando principalmente aqueles que não obtêm um reajuste em suas rendas. Nessas condições, determinar, para uma pessoa que manteve inalterado o seu salário no período, quanto pode adquirir ao final do mês daquilo que consumia no início. Considere uma inflação de 2,5 % no mês.

10. Uma loja está vendendo suas mercadorias para pagamento em 30 dias sem acréscimo. Sendo de 1,8 % ao mês a taxa de inflação, determinar o percentual de perda inflacionária causada pela venda a prazo.