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Corrente alternada em Circuitos monofásicos

Forma de onda

◼ A forma de onda de uma grandeza elétrica é representada pelo

respectivo gráfico em função do tempo.

◼ Por exemplo, a tensão u1(t) dada por:

u1(t)=U1.sen(at)

corresponde a uma forma de onda senoidal:

Formas de ondas

◼ Formas de ondas periódicas: são formas de ondas oscilatórias cujos

valores se repetem a intervalos de tempo iguais.

◼ Formas de ondas oscilatórias: são formas de ondas que crescem

e decrescem alternadamente ao longo do tempo de acordo com

alguma lei definida.

Categorias de formas de ondas

(a) oscilatória (a) periódica

Forma de onda alternada

◼ Formas de ondas alternadas: são formas de ondas periódicas cujos

valores médios são nulos.

◼ É possível identificar uma forma de onda alternada através de uma

interpretação intuitiva de valor médio.

Qual seria essa interpretação intuitiva?

Valores característicos das formas de ondas periódicas

◼ Ciclo: é o conjunto completo de valores instantâneos que se

repetem a intervalos de tempo iguais.

◼ Em linha contínua, é destacado um ciclo da corrente senoidal i(t).


◼ Período: é o intervalo de tempo T em que ocorre um ciclo.

◼ Frequência: medida em Hertz (Hz), esta grandeza corresponde à

quantidade de ciclos por unidade de tempo, sendo portanto dada

por:


◼ A figura abaixo mostra a forma de onda de uma corrente senoidal

expressa pela função:

i(t)=Imax.sen(t) ou i(t)=Imax.sen(wt)


◼ Tanto faz considerar que o período desta forma de onda é T

segundos ou que o período desta forma de onda é wt = 2 rad.

◼ A grandeza w corresponde à velocidade (ou frequência) angular da

corrente i(t).

Exemplo

◼ No Brasil, a freqüência da tensão senoidal gerada nas usinas

(hidrelétricas ou termelétricas) é 60 Hz.

◼ Calcular o período e a velocidade angular.

◼ Velocidade angular:


◼ Valor de Pico: é o valor instantâneo máximo que a forma de onda

atinge no ciclo.

◼ Valor de Pico: Ip = Imax


◼ Ângulo de fase ou simplesmente fase, é um ângulo arbitrário

definido para a forma de onda de modo a estabelecer um

referencial de tempo para a mesma.

◼ Para estas formas de onda:

i(t)= Ip.sen(wt + α) i(t) = Ip .sen(wt - α)


◼ Nas duas formas de onda, α corresponde ao ângulo de fase e no

instante t = 0 o valor instantâneo da corrente é:

i(0)= Ip.sen(α) i(0) = Ip .sen(-α)

◼ α corresponde ao valor do deslocamento horizontal da onda em

relação à referência “zero”.


◼ Diferença de fase ou defasagem: É a diferença entre os ângulos de

fases de duas formas de ondas.

◼ Para i1(t)= I1.sen(wt + α) e i2(t)= I2.sen(wt + β) a diferença de fase

φ é dada por: φ = |β – α|

◼ Por que φ é calculado em módulo?. Porque o sinal de φ depende da

referência.


◼ Na figura qual das formas de onda está adiantada?

◼ Identifica-se os picos das formas de onda mais próximos entre si

(ambos positivos ou negativos).

◼ O ponto que se encontra à esquerda do outro indica que a

respectiva forma de onda está adiantada, que na figura corresponde

ao ponto P2 e portanto i2(t) está adiantada em relação a i1(t) ou

ainda, i1(t) está atrasada em relação a i2(t).


◼ Vimos que φ é calculado em módulo: φ = |β – α|, e que o sinal de φ

depende da referência

◼ Se i1(t) for a referência, φ é positivo.

◼ Se i2(t) for a referência, φ é negativo.

Exemplo

◼ Analisemos as formas de onda das correntes indicadas neste

circuito:

◼ Quem está adiantada ou atrasada?

Exemplo

◼ Em relação à tensão na fonte:

◼ A corrente no resistor está em fase

◼ A corrente no indutor está atrasada de 900

◼ A corrente no capacitor está adiantada de900

Exemplo

◼ Tomando-se como referência de ângulo de fase, a tensão fornecida

pela fonte:

u(t) = Up . sen(wt)V

iR(t) = IR . sen(wt)A

iL(t) = IL . sen(wt - /2)A

iC(t) = IC . sen(wt + /2)A


◼ Valor Médio: É definido para uma forma de onda periódica u(t) de

período T como:

◼ A integral desta equação corresponde à área total da forma de onda

em relação ao eixo das abscissas no período.

◼ Interpretação gráfica do valor médio.


◼ Valor Eficaz: Analisemos a potência absorvida por uma lâmpada

que pode ser conectada a uma:

◼ fonte c.c. (chave ch1) ou

◼ fonte c.a. (chave ch2).


◼ Com ch1 fechada, circula c.c. de valor Icc pela lâmpada.

◼ A potência absorvida corresponde a:

◼ R é a resistência do filamento da lâmpada.

◼ Tomando como referência um instante de tempo t0, a energia

consumida pela lâmpada em um intervalo de tempo T vale:


◼ Com ch2 fechada, circula c.a. do tipo:

◼ Neste caso, a potência absorvida é dada pelo produto de uma

tensão por uma corrente variáveis no tempo, sendo, portanto,

também variável no tempo:


◼ A energia consumida pela lâmpada em um intervalo de tempo T a

partir de t0 é dada por:

◼ Impondo-se a condição de que a energia consumida pela lâmpada

nos dois casos seja a mesma, tem-se:

◼ Assim, sendo T o período da corrente i(t), o valor eficaz da

corrente alternada i(t):


◼ Conclusão: Se a corrente fornecida por uma fonte c.c. ( Icc ) for

igual ao valor eficaz (Ief) da corrente alternada i(t), a energia

consumida pela lâmpada é a mesma, tanto em c.a. como em c.c.

◼ O valor eficaz é também conhecido como valor rms (root-mean-

square).

◼ A relação entre o valor de pico e o valor eficaz, para uma onda

alternada senoidal, é:


◼ Valores nominais: Os equipamentos eletro-eletrônicos e

componentes de um circuito elétrico devem ser comercializados

dispondo de informações mínimas com relação aos valores das

respectivas grandezas elétricas.

◼ Exemplo: No caso da lâmpada incandescente, no bulbo devem

estar gravadas a potência e a magnitude da tensão, como por

exemplo, 100 W e 127 V, respectivamente.

Exemplo

Calcular o valor eficaz (rms) da função senoidal i(t)=Imaxsen(wt)

Por definição:rms

T

i2 (t)dt0

1

TI =

Fasores

◼ A resolução de circuitos de corrente alternada no domínio do

tempo, através da manipulação de equações diferenciais pode

apresentar níveis de dificuldade e trabalho bastante elevados.

◼ A resolução e análise de circuitos c.a. através dos conceitos de

fasor e de impedância é vantajosa na maioria das análises por

propiciar uma maneira simples de manipular essas grandezas.

Fasores

◼ Considerando a frequência fixa (como é o caso usual), as

grandezas senoidais podem ser definidas por dois parâmetros

M M – representa o módulo (valor eficaz)

- representa a fase de M, em graus

◼ Em termo fasorial (para tensão e corrente) temos:

Valores Instantâneos

v (t)=Vm sen ( t + )→

i (t)= Im sen ( t +)

V =Vm e I =

Im

2 2

Fasores

V = V

I= I

Fasores

◼ Os fasores também têm representação cartesiana, valendo todas as

relações trigonométricas usuais, por exemplo, para a corrente:

I= (Ix ) + (I )2 2

y

yI = Isen()

I = I = I x + j I y

j = −1

Ix =I cos( )

x

I

−1 I y = tg

Impedância

◼ Em determinada carga/bipolo tem-se:

v (t)=Vm sen ( t + )

i (t)= Im sen ( t +)

◼ Os fasores associados à tensão e à corrente são:

V&=V I&= I

Impedância

◼ Com base na Lei de Ohm, define-se o conceito de impedância de

um bipolo:

I IV&= Z I& V = Z I Z =

V =

V − = Z sendo − =

◼ A unidade da impedância é o Ohm (Ω).

◼ Nota-se que:

o O módulo da impedância (|z|) fornece a relação entre os valores

eficazes de tensão e corrente

o O ângulo da impedância () representa a defasagem entre os fasores da tensão e da corrente.

Impedância

◼ Para o Resistor (R):

◼ Impedância ZR.

Impedância

◼ Para o Indutor (L):

◼ A corrente em um indutor está atrasada de 90o em relação à tensão

( = 90o), e o valor eficaz da corrente em um indutor é dado por:

◼ Impedância ZL.

XL corresponde à reatância indutiva.

Note que a impedância do indutor é um número complexo com

parte real nula.

Impedância

◼ Para o Capacitor (C):

◼ A corrente em um capacitor está adiantada de 90o em relação à

tensão ( = -90o), e o valor eficaz da corrente em um capacitoré

dado por:

◼ Impedância ZC.

XC corresponde à reatânciacapacitiva.

Note que a impedância do capacitor é um número complexo com

parte real nula.

Potência em circuitos de corrente alternada

◼ Conceitos básicos.

◼ Nos terminais da fonte tem-se uma

tensão senoidal expressa por:

◼ A impedância Z pode ser expressa por:

◼ Nesse caso, a corrente em regime permanente corresponde a:


◼ Potência instantânea fornecida pela fonte:

◼ Substituindo u(t) e i(t) tem-se:

◼ Através de algumas relações trigonométricas, obtém-se:


◼ O Termo A tem uma componente constante:

◼ e uma componente “cossenoidal” cuja frequência é o dobro da

frequência da tensão:

◼ O Termo B é “senoidal” com frequência dupla:

Potência em circuitos de corrente alternada◼ Exemplo:

As expressões para a tensão, corrente e potência são:

VA

OBS.: Fatores de multiplicação foram utilizados para tornar adequada a visualização.


◼ Valor médio da potência fornecida à carga:

◼ Genericamente:

◼ Unidade de Pm Watt (W)

◼ Conclusão: A potência média corresponde à componente constante

do termo A:


◼ Impedância Resistiva:

◼ Se a impedância Z corresponde a

uma carga puramente resistiva:

◼ A expressão da potência instantânea:

◼ reduz-se a:

◼ verifica-se que o termo B é igual a zero.


◼ A figura abaixo mostra as formas de onda de tensão, corrente e

potência instantânea para uma impedância resistiva.

◼ Pode-se obter facilmente o valor médio da potência fornecida pela

fonte através da expressão:

◼ Sendo = 0o (impedância resistiva), a potência média corresponde

a Pm =Uef .Ief


◼ Impedância Indutiva:


uma carga puramente indutiva:


◼ reduz-se a:

◼ Verifica-se que o termo A é igual a zero e que o valor médio da

potência também é igual a zero.

Potência em circuitos de corrente alternada◼ A figura abaixo mostra as formas de onda de tensão, corrente e

potência instantânea para uma impedância indutiva.


◼ No intervalo de tempo em que a potência assume valores positivos

o indutor recebe energia da fonte. No intervalo de tempo seguinte,

em que a potência assume valores negativos, o indutor fornece

energia à fonte.

◼ O indutor é um elemento armazenador de energia, no sentido de

que a energia armazenada durante um período de tempo é

totalmente devolvida à fonte no período de tempo seguinte.


◼ Impedância capacitiva:


uma carga puramente capacitiva:


◼ reduz-se a:

◼ Da mesma forma que no caso indutivo, também são iguais a zero,

o termo A da equação e o valor médio da potência instantânea.

Potência em circuitos de corrente alternada◼ A figura abaixo mostra as formas de onda de tensão, corrente e

potência instantânea para uma impedância capacitva.


◼ No intervalo de tempo em que a potência assume valores positivos

o capacitor recebe energia da fonte. No intervalo de tempo

seguinte, em que a potência assume valores negativos, o capacitor

fornece energia à fonte.

◼ O capacitor também é um elemento armazenador de energia, no

sentido de que a energia armazenada durante um período de tempo

é totalmente devolvida à fonte no período de tempo seguinte.


◼ Comportamento elétrico do capacitor e do indutor sob o ponto de

vista da energia armazenada.

capacitorindutor


◼ Impedância RLC.


um RLC série com as formas de

onda indicadas abaixo.

◼ Carga RLC com comportamento

capacitivo.


A potência assume

valores positivos e

negativos ao longo

do tempo e o valor

médio da potência

fornecida é dado

por:

◼ Comparando-se a área sob a parte positiva da curva p(t) com a área

contida na parte negativa, conclui-se que a energia fornecida pela

fonte é maior do que a energia que lhe é devolvida, indicando que

ao longo do tempo há uma energia líquida que é consumida pela

carga, devido à existência de bipolos resistivos na composição da

carga.


◼ Definições:

◼ Retomando a expressão da potência instantânea:

◼ O termo A, representado por pA(t), é denominado potência ativa

instantânea.

◼ O termo B, representado por pR(t), é denominado potência

reativa instantânea.

◼ Valores médios de pA(t) e pR(t):


◼ Simplificando, define-se:

◼ como a potência ativa, que corresponde ao valor médio de pA(t) e

de p(t).

◼ Define-se

como a potência reativa, que corresponde ao valor de pico de pR(t).


◼ Retomando os fasores associados à tensão e à corrente:

◼ define-se o número complexo S (potência complexa) como:

◼ Retomando as expressões definidas para a P e para a Q:

◼ a expressão para a potência complexa resulta:

◼ |S| é denominado potência aparente.


◼ A potência aparente é a grandeza utilizada no dimensionamento de

instalações elétricas industriais e de equipamentos em geral

(transformadores, motores, etc.).

◼ A potência ativa é associada à energia que, ou nos circuitos ou nos

equipamentos, é convertida em outras formas: mecânica, térmica,

acústica, etc.

◼ A potência reativa é associada à energia necessária para formar os

campos elétricos e/ou magnéticos necessários em determinados

equipamentos, como por exemplo, nos motores.


◼ Unidades:

◼ Potência complexa (S)

◼ Potência Aparente (|S|)

Volt-Ampère (VA)

kilo-volt-ampère (kVA)

Mega-volt-ampère (MVA)

◼ Potência Reativa (Q)

Volt-Ampère reativo (VAr)

kilo-volt-ampère reativo (kVAr)

Mega-volt-ampère reativo (MVAr)

◼ Potência Ativa (P):

Watt (W)

kilo-Watt (kW)

Mega-Watt (MW)

Fator de potência

◼ Potência complexa:

◼ Potência ativa:

Fator de potência◼ Potência complexa:

◼ Potência ativa:

◼ O cos() pode ser interpretado como um fator que define a parcela

da potência aparente que é dissipada nos elementos resistivos do

circuito. Este fator é denominado de fator de potência.

◼ Da definição de potência ativa, tem-se:

O fator de potência é o cosseno do ângulo de defasagem entre a

tensão e a corrente do circuito.

Fator de potência - Convenção

Para tornar explícita a diferença entre as características das cargas,

diz-se que:

1. para uma carga indutiva, o fator de potência é indutivo ou

atrasado, indicando que a corrente está atrasada em relação à

tensão.

2. Para a carga capacitiva, o fator de potência é capacitivo ou

adiantado, indicando que a corrente está adiantada em relação à

tensão.


◼ A Potência Ativa (W) representa a porção líquida do copo, ou seja,

a parte que realmente será utilizada para matar a sede.

◼ Como na vida nem tudo é perfeito, junto vem uma parte de

espuma, representada pela Potência Reativa (VAr).

◼ Essa espuma está ocupando lugar no copo, porém não é utilizada

para matar a sede.

◼ O conteúdo total do copo representa a Potência Aparente(VA).

◼ A analogia da cerveja pode ser utilizada para tirarmos algumas

conclusões iniciais:

◼Quanto menos espuma tiver no copo, haverá mais cerveja.

◼Da mesma maneira, quanto menos Potência Reativa for

consumida, maior será o Fator de Potência.

◼ Se um sistema não consome Potência Reativa, possui um Fator

de Potência unitário, ou seja, toda a potência drenada da fonte

(rede elétrica) é convertida em trabalho.


◼ Resumindo:

◼A AMBEV é uma usina;

◼O caminhão é uma linha de transmissão;

◼O boteco é uma Subestação;

◼A chopeira é um Transformador;

◼O garçom é uma linha de distribuição;

◼Você é o consumidor;

◼ Seu pai e sua mãe são a ANEEL: “a AgênciaReguladora”


◼ Exemplo: Um circuito RL série é composto por um resistor de 10

Ω e um indutor de 1 / 37,7 H e está conectado a uma fonte de

tensão alternada, 60 Hz:

Obter:

a) a corrente i(t) fornecida pela fonte;

b) a potência p(t) na carga;

c) as potências complexa, ativa e reativa;

d) o triângulo de potências.


◼ Note que o ângulo de 45o da impedância total da carga, também é o

ângulo da defasagem entre a corrente e a tensão na fonte.

VAr

Potência em circuitos de corrente alternada◼ Exemplo: Repetir o exemplo anterior acrescentando um capacitor

de 1 / 7540 F em série com a carga RL.

◼ A potência reativa resultou em um valor negativo. Porquê?

VAr


◼ Convenção:

Fluxos das potências ativa e reativa

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