COVARIÂNCIA

Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância entre duas variáveis aleatórias reais X e Y, com valores esperados E(X) = μX e E(Y) = μY é definida como uma medida de como duas variáveis variam conjuntamente:

onde E é o operador do valor esperado.

Isto equivale à seguinte fórmula, a qual é geralmente usada para fazer os cálculos:

Se X e Y são independentes, então a sua covariância é zero. Isto acontece porque sob independência:

.

O inverso, no entanto, não é verdadeiro: é possível que X e Y não sejam independentes e terem no entanto covariância zero. Variáveis aleatórias cuja covariância é zero são chamadas descorrelacionadas.

Se X e Y são variáveis aleatórias de valor real e a, b, c e d constantes ("constante", neste contexto significa não aleatória), então os seguintes factos são uma consequência da definição da covariância:

Para variáveis aleatórias em vectores coluna X e Y com respectivos valores esperados μX

e μY, e n e m de componentes escalares respectivamente, a covariância é definida como matriz n×m

Para variáveis aleatórias em vector, cov(X, Y) e cov(Y, X) são a transposta de cada um.

A covariância é por vezes chamada de medida de dependência linear entre as duas variáveis aleatórias.

A correlação é um conceito relacionado usado para medir o grau de dependência linear entre duas variáveis.

ESPERANÇA – VALOR ESPERADO

Em teoria das probabilidades, o valor esperado (ou esperança, ou expectância) de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Definição matemática

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis e com as suas probabilidades representadas pela função p(xi), o valor esperado calcula-se pela série:

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade f(x):

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

e

Deve-se notar que, no caso geral, não comuta com a função g, ou seja:

Para o caso mais geral de ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

e

em que a integral de Lebesgue é usada.

Exemplos

a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.

a variável aleatória X dada por para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.

Operador esperança

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

Esperança do produto

No caso geral, temos que

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

Referencia: Covariância.Wikipedia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Covari%C3%A2ncia>. Acesso em: 7 mar. 11.