CPV 82 ESPM esolvida Rova e –...

1CPV ESPMNOV2012

MATEMÁTICA

21. A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de

apartamentos é dada pela matriz 4 51 36 1

xy

y x +

,

em que cada elemento aij representa a quantidade de

moradores do apartamento j do andar i.

Sabe-se que, no 1o andar, moram 3 pessoas a mais que no 2o e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é:

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

Resolução:

Da matriz 4 51 36 1

xy

y x +

, concluímos que moram no:

1o andar: 4 + x + 5 = x + 9 pessoas

2o andar: 1 + 3 + y = y + 4 pessoas

3o andar: 6 + y + x + 1 = x + y + 7 pessoas

Sabendo que no 1o andar moram 3 pessoas a mais que no 2o, temos:

x + 9 = y + 4 + 3 Þ y = x + 2 (I)

Como os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo, temos:

5 + y + x + 1 = 12 Þ x + y = 6 (II)

Substituindo (I) em (II):

x + (x + 2) = 6 Þ 2x = 4 Þ x = 2

Voltando em (II): 2 + y = 6 Þ y = 4

Adistribuiçãodemoradoresnoprédiofica:4 2 51 3 46 4 3

de onde resulta que n = 32.Alternativa C

22. Carlos fazia um teste por computador em que, a cada resposta dada, era informado sobre a porcentagem de acertos até então. Ao responder à penúltima questão, sua porcentagem de acertos era de 37,5% e, ao responder à última, ela passou para 40%.

O número de questões dessa prova era:

a) 30 b) 25 c) 20 d) 15 e) 10

Resolução:

Sendo x a quantidade de acertos e n a quantidade total de questões, temos:

xnxn

x nx n

−−=

=

⇒− = −=

11 0 375

0 40

1 0 375 0 3750 40

,

,

, ,,

Do sistema, obtemos: 0,40n – 1 = 0,375n – 0,375 0,025n = 0,625 n = 25 O número de questões dessa prova era 25.

Alternativa B

ESPM Resolvida – PRova e – 11/novembRo/2012

CPV – 82% de aPRovação dos nossos alunos na ESPM

ESPM – 11/11/2012 CPV – esPeCializado na esPM2

CPV ESPMNOV2012

23. Os números naturais M e N são escritos, na base 10, com os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas.

A diferença entre o maior e o menor é uma unidade a menos que o menor deles.

PodemosafirmarqueovalordeM + N é:

a) 102 b) 67 c) 125 d) 98 e) 110

Resolução:

Consideremos: M > N, M = 10a + b e N = 10b + a

Assim: 10a + b – (10b + a) = (10b + a) – 1

8a – 19b = –1

a = 19 18b -

A equação possui solução natural para a = 7 e b = 3

Portanto, M + N = 73 + 37 = 110Alternativa E

24. Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi pago em 5 parcelas mensais, sendo a primeira, de R$ 2.000,00, efetuada 30 dias após e as demais com um acréscimo de 10% em relação à anterior.

Pode-se concluir que a taxa mensal de juros simples

ocorrida nessa transação foi de aproximadamente:

a) 2,78% b) 5,24% c) 3,28% d) 6,65% e) 4,42%

Resolução:

As parcelas do empréstimo são:

1a parcela: 2000

2a parcela: 2000 . 1,10

3a parcela: 2000 . (1,10)2

4a parcela: 2000 . (1,10)3

5a parcela: 2000 . (1,10)4

Assim:

10000 (1 + i . 5) = 2000 + 2000(1,10) + 2000(1,10)2 + 2000(1,10)3 + 2000(1,10)4

10000 (1 + i . 5) = 2000 (1 + 1,10 + 1,21 + 1,331 + 1,4641)

5 (1 + i . 5) = 6,1051

1 + 5i = 1,22102

5i = 0,22102

i = 0,0442 = 4,42%Alternativa E

3CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 11/11/2012

ESPMNOV2012 CPV

25. O par ordenado (x; y) Î N x N é solução da equação

x3 + x2y−8x−8y=7.Ovalordex − y é:

a) 1 b) 2 c) – 1 d) 0 e) – 2

Resolução:

x3 + x2y – 8x – 8y = 7

x2 (x + y) – 8 (x + y) = 7

(x + y) . (x2 – 8) = 7

Como (x; y) Î N x N, devemos ter:

x y

x

xy

+ =

− =

⇒==

7

8 1

342

O valor de x – y é –1Alternativa C

26. A figura abaixo representa os gráficos das funções f (x) = x2 + 1 e g(x) = 2x.

A área do quadrilátero ABCD é igual a:

a) 2,0 b) 1,5 c) 0,5 d) 2,5 e) 1,0

Resolução:

Dafigura,temos:

A = (0; g(0)) = (0; 1) B = (1; g(1)) = (1; 2) C = (2; g(2)) = (2; 4) D = (2; f(2)) = (2; 5)

A área do quadrilátero ABCD é dada pela soma das áreas dos triângulos ABD e BCD, ou seja:

12

0 1 11 2 12 5 1

1 2 12 4 12 5 1

12

+ = | 2 + 1| = 32 = 1,5

Alternativa B


CPV ESPMNOV2012

27. Anotafinaldeumconcursoédadapelamédiaaritméticadas notas de todas as provas realizadas.

Seumcandidatoconseguiuxnotas8,x+1notas6ex−1notas5esuanotafinalfoi6,5,onúmerodeprovasqueelerealizou foi:

a) 6 b) 9 c) 7 d) 5 e) 12

Resolução:

Anotafinaldessecandidatoédadapor:

x x x

x x x. . .8 1 6 1 5

1 1+ +( ) + −( )+ + + − = 6,5

8 6 6 5 5

3x x x

x+ + + −

= 6,5 Þ 0,5x = 1 Þ x = 2 O número de provas que ele realizou foi 6.

Alternativa A

28. Para que a sequência (−9; −5; 3) se transforme numaprogressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número.

Esse número é:

a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) não inteiro

Resolução:

Chamando de x o número procurado, temos:

(–5 + x)2 = (–9 + x) . (3 + x)

25 – 10x + x2 = x2 – 6x – 27

4x = 52 Þ x = 13

Esse número é primo.Alternativa C


ESPMNOV2012 CPV

29. As raízes da equação 3x2+7x−18=0sãoα e β.

O valor da expressão α2β + αβ2−α−β é:

a) 293

b) 493

c) 313

d) 533

e) 263

Resolução:

Temos:

α2β + αβ2 – α – β = αβ (α + β) –1 (α + β) = (α + β) (αβ – 1)

Como α e β são raízes da equação 3x2 + 7x – 18 = 0, temos:

α β

α . β

+ = −

= −

73183

de onde obtemos:

(α + β) . (αβ – 1) = – 73

183

1 73

213

− −

= − −

=

493

Alternativa B

30. O sistema ax y ax ay+ =+ = −

42

2 , em x e y,

é possível e indeterminado se, e somente se:

a) a ≠ –2 b) a ≠ 2 c) a = ±2 d) a=−2 e) a = 2

Resolução:

Multiplicando-se a segunda equação do sistema por –a e somando-se o resultado à primeira equação, obtemos:

–a2y + 4y = 2a + a2 Þ y (4 – a2) = 2a + a2

Para que essa equação seja indeterminada, devemos ter

4 – a2 = 0 a = 2 ou a = – 2 Þ e Þ a = – 2 2a + a2 = 0 a = 0 ou a = – 2

Alternativa D


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31. O consumo de combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare.

Podemos estimar que, em 10 horas de trabalho, esse trator poderá arar cerca de:

a) 12 hectares b) 15 hectares c) 8 hectares d) 6 hectares e) 10 hectares

Resolução:

Sabendo que o consumo por tempo de trabalho é 18 litros/hora:

18 litros ——— 1 hora x = 180 litros x ——— 10 horas

Determina-se, então, quanto o trator poderá arar nas mesmas 10 horas, sabendo que o consumo por área trabalhada é de 15 litros / hectare:

15 litros ——— 1 hectare y = 12 hectares 180 litros ——— y

Alternativa A

32. Afiguraabaixomostraum trapézio retânguloABCDeum quadrante de círculo de centro A, tangente ao lado CD em F.

Se AB = 8 cm e DE = 2 cm, a área desse trapézio é:

a) 48 cm2

b) 72 cm2

c) 56 cm2

d) 64 cm2

e) 64 cm2

Resolução:

Nafigura,chamamosBC=FC=xeDF=y.

Completamos a circuferência e notamos por G o encontro entre ela e o prologamento do segmento DA.

Aplicando a potência do ponto em D, temos:

DF2 = DE . DG

y2 = 2 . (18) Þ y = 6 cm

Aplicando o teorema de Pitágoras ao ΔDCH, temos:

(x + 6)2 = 82 + (10 – x)2

32x = 128

x = 4 cm

A área do trapézio ABCD é:

A = 10 4 8

2+( ) ( ).

= 56 cm2

Alternativa C

BC

A

8

D E HG

2

xx

y

F

C

D H

8(x + 6)

(10 – x)


ESPMNOV2012 CPV

33. A solução da equação

xx x x

x

x

−++

−=−+

−

21

3

1

11 12 2

pertence ao intervalo:

a) [−3;−1[ b) [−1;1[ c) [1; 3[ d) [3; 5[ e) [5; 7[

Resolução:

xx x x

x

x

−++

−=−+

−

21

3

1

11 12 2

x xx x x

xx x

x

x

−( ) −( )+( ) −( )

+−=

+( )−( ) +( )

+−

2 11 1

3

1

1 11 1 12 2

.

x x

x

x x

x

2

2 23 2 3

1

1

1

− + +

−=

+ +

−

x = 1 (não convém) x2 – 5x + 4 = 0 Þ ou x = 4

Assim, x Î [3; 5[.Alternativa D

34. Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar 60 números naturais de 3 algarismos distintos.

Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é:

a) 10 b) 12 c) 5 d) 8 e) 7

Resolução:

Para um número ser divisível por 6, ele deve ser também divisível por 2 e 3. Assim, deve ser um número par e cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3.

Dessa forma, os números são:

132 234 342 312 324 354 432 534

Logo, 8 números são divisíveis por 6.Alternativa D


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35. Seja A = (4; 2) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos coordenados.

A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é:

a) 2x – y = 6 b) x – 2y = 0 c) x−y=2 d) x + 2y = 8 e) x + y = 6

Resolução:

Temos, no plano cartesiano:

Inicialmente,calculamosocoeficienteangulardaretaB↔C:

my yx xBCB CB C

� �� =−−

=− −− −

= −2 24 4( )( )

12

Como a reta pedida (r) é perpendicular a B↔C, temos:

mr = -1mBC

= 2

Portanto, a equação de r será:

y – (2) = 2 (x – 4)

2x – y = 6Alternativa A

y

x–4 4

2

–2

B A

C

(r)

36. O resto da divisão do polinômio x5−3x2 + 1 pelo

polinômio x2−1é:

a) x – 1 b) x + 2 c) 2x – 1 d) x + 1 e) x – 2

Resolução:

Aplicando a divisão pelo método das chaves:

x5 – 3x2 + 1 x2 – 1

– x5 + x3 x3 + x – 3 x3 – 3x2 + 1 – x3 + x – 3x2 + x + 1 3x2 – 3 x – 2

O resto da divisão pedida é x – 2.Alternativa E


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37. Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log2(x−1996),emque P é a população no ano x, em milhares de habitantes.

Considerando 2 = 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano:

a) 2005 b) 2002 c) 2011 d) 2007 e) 2004

Resolução:

Para P = 3,6 milhares de habitantes, temos:

3,6 = 0,1 + log2 (x – 1996)

3,5 = log2 (x – 1996)

23,5 = x – 1996

2 2 1996

2 2 1 4

3 0 5

0 5. ,

, ,

= −

= =

x

x @ 2007Alternativa D

38. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é umtriânguloequiláteroeBDFéumtriânguloisósceles,ondeAF=AB.Amedidadoânguloα é:

a) 120° b) 135º c) 127,5° d) 122,5° e) 110,5°

Resolução:

Nafigura,otriânguloABFéisósceles,poisAB=AF.

Então, AF̂B=AB̂F=22º30'.

OânguloFB̂E = α = 22º30’ + 45º + 60º = 127º30’ = 127,5º

Alternativa C

60º

22º30'

22º30'

45º45º


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39. O número de soluções inteiras do sistema de inequações

2 32

3

2 82

x

x x

−−

<

+ ≤

é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolução:

Resolvendo o sistema do enunciado, temos:

2 32

3

2 8

2 32

0

2 8 02 2

x

x x

x

x x

−−

<

+ ≤

⇒− −

<

+ − ≤

S = −

322; , e as soluções inteiras são –1, 0, 1 e 2, ou seja,

4 soluções inteiras.Alternativa D

-32

− −<

2 32

0x

–4 2

x2 + 2x – 8 ≤ 0 ●

●

●

● ●

●

40. Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado noseuinterior,ficandototalmentesubmerso.

Seoníveldaáguanocilindrosubiu3cm,podemosafirmarque o volume desse objeto é de, aproximadamente:

a) 174 cm3

b) 146 cm3 c) 162 cm3 d) 183 cm3

e) 151 cm3

Resolução:

Segundo o Princípio de Arquimedes, o volume deslocado de líquido é igual ao volume do sólido submerso.

Assim, basta calcularmos o volume do cilindro deslocado:

V = π . R2 . h

V = 3,14 . (4)2 . (3)

V = 151 cm3

Alternativa E

COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA

A prova de Matemática do Processo Seletivo da ESPM 2013-1 apresentou questões bastante criativas e abrangentes.

Em relação ao grau dificuldade, notamos uma grande evolução,o que deverá melhorar a qualidade dos aprovados, resultando no aprimoramento do índice de discriminação.

TorcemosparaqueaBancacontinuenesteprocesso,quebeneficiaráprincipalmente os candidatos mais bem preparados.

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