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FGV ADM – 06/dezembro/2015

CPV o Cursinho que mais aprova na GV

MAteMátiCA APliCADA

01. Hugo executou, em sequência, três tarefas que consomem exatamente o mesmo tempo cada uma, mas fez um intervalo de 10 minutos entre a primeira e a segunda e um intervalo de 15 minutos entre a segunda e a terceira. Ele começou a primeira tarefa exatamente às 11h e terminou a segunda tarefa exatamente às 13h20. A que horas exatamente Hugo terminou a terceira tarefa?

Resolução:

Assim: 140 min = 2 ΔT + 10 ΔT = 65 min

Desse modo:

15 min + ΔT = 15 + 65 = 80 min = 1h20

O horário final será 13h20 + 1h20 = 14h40

11h00 13h20

10 minΔT ΔT ΔT15 min

2h20 = 140 min

02.Afiguramostraoresultadoexpresso,emporcentagem,dapesquisa realizada por um jornal da cidade de São Paulo, em que o grupo consultado tinha de responder à pergunta:

Comqualdasafirmaçõesvocêmaisconcorda?1a A democracia é sempre melhor.2a Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura.3a Tanto faz.

Fonte: Datafolha

a) Considereque,apartirdefevereirode2014,ográficoda opção “A democracia é sempre melhor” possa ser representado por uma função polinomial do 1o grau y = ax + b , em que x = 0 representa o mês fevereiro de 2014, x = 1, o mês março de 2014, e assim por diante. Determine a função y = ax + b. Utilize os valores de y na forma inteira, por exemplo, 62 e 66 ao invés de 0,62 e 0,66.

b) Considereque,apartirdefevereirode2014,ográficodaopção “Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura” possa ser expresso por uma função da forma y = a . ebx (e é o número de Euler), em que x = 0 representa fevereiro de 2014, x = 1, março de 2014, e assim por diante.

Determine a função y = a . ebx. Se julgar necessário, use asaproximações:ln2=0,70;ln3=1,10;ln7=1,95.

c) Qual é a maior diferença, expressa em porcentagem, entre asopções“Ademocraciaésempremelhor”e“Emcertascircunstâncias, é melhor uma ditadura”, no intervalo 0 ≤ x ≤80meses?Utilizeasaproximaçõesquejulgarnecessárias.

e–1=0,37;e–1,2=0,30;e–1,5=0,22;e–2 = 0,14

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Resolução:

a) y = ax + b

62 = a (0) + b Þ b = 62 Þ y = 0,4x + 62 66 = a (10) + 62 Þ a = 0,4

b) y = a . ebx

14 = a . eb(0) Þ a = 14

12 = 14 . eb(10) Þ e10b = 67 Þ

Þ 10b = ln 2 + ln 3 – ln7

Þ b = 0,7+1,1–1,95

10

Þ b = – 0,015

a = 14 Þ y = 14 . e–0,015x

b = – 0,015

c) Como a primeira função é estritamente crescente e a segunda é estritamente decrescente, a diferença máxima (d) acontecerá para x = 80 meses.

Assim: d = 0,4 (80) + 62 – 14 . e–0,015 (80)

d = 32 + 62 – 14 (0,3) d = 89,8%

03. Uma editora abriu duas lojas para venda P direta de seus produtos aos consumidores: uma loja na rua e uma loja no shopping. Após um ano, uma pesquisa mostrou os seguintes resultadosparaasduasopções:

Loja de Rua Loja de Shopping

Investimento inicial(dezembro de 2014)

R$210 000,00 R$ 250 000,00

Receita anual de 2015 R$ 382 500,00 R$ 480 000,00Custo anual de 2015 R$ 120 000,00 R$ 180 000,00

a) Determine a taxa anual de juros compostos que a editora conseguiu com o lucro obtido em relação ao investimento inicial feito na Loja de Rua.

b) Quanto deveria ter sido a mais a receita anual da Loja de Shopping para obter a mesma taxa de juro anual que a Loja de Rua?

Resolução:

a) L = R – C L = 382 500 – (210 000 + 120 000) L = 52 500

Assim: 210 000 . x = 52 500 Þ x = 0,25 = 25%

b) LI = 0,25 Þ

R – CI = 0,25

(480 000 + x) – (180 000 + 250 000)

250 000 = 0,25

x = 12 500 reais

A quantidade a mais deveria ser de R$ 12 500,00.

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04. Rubinho dirigiu seu carro de sua casa até o aeroporto para pegar um voo. Ele dirigiu 20 km nos primeiros 20 minutos, mas percebeu que chegaria 10 minutos atrasado se continuasse na mesma velocidade média. Assim, Rubinho aumentou sua velocidade média em 20 km/h no resto do percurso e chegou ao aeroporto 10 minutos adiantado.

Qual a distância da casa de Rubinho ao aeroporto?

Resolução:

Se Rubinho dirigiu 20 km em 20 min, sua velocidade média inicial era de 1 km/min = 60 km/h.

Ao aumentar sua velocidade em 20 km/h, a sua velocidade médiafinalpassouaser80km/h=

43 km/min.

Sendo x a distância percorrida no segundo trecho, temos:

43 =

xt – 10

Þ x = 80 km 1 =

xt + 10

A distância total da casa de Rubinho ao aeroporto é de 100 km.

05. Um consumidor deseja comprar um aparelho e possui dois cupons promocionais para obter descontos na compra à vista desse aparelho, mas só pode usar um dos dois cupons:

· Cupom 1: 10% de desconto sobre o preço na etiqueta, se opreçonaetiquetafor,nomínimo,igualaR$60,00;

· Cupom 2: R$ 20,00 de desconto sobre o preço na etiqueta, se o preço na etiqueta for, no mínimo, igual a R$ 120,00.

Seja x o preço na etiqueta de uma mercadoria, em reais.

a) Escreva dois modelos funcionais que representem, respectivamente, os preços a serem pagos usando-se o cupom 1 ou usando-se o cupom 2, isto é, escreva duas funçõesP1(x) e P2(x) que expressem o preço a ser pago por uma mercadoria cujo preço na etiqueta seja x reais, quando usamos, respectivamente, o cupom 1 ou o cupom 2.

b) Para que valores de xéfinanceiramentemelhorusarocupom 2?

Resolução:

a) De acordo com o enunciado, temos:

P1 (x) = 0,90 x se 60 ≤ x < 120

P2 (x) = x – 20 se x ≥ 120

b) Devemos ter:

P2 (x) < P1 (x)

x – 20 <0,9xÞ 0,1x < 20 Þ x < 200

Financeiramente, é melhor usar o cupom 2 quando 120 ≤ x < 200.

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06. Os quatro cantos de S um cubo de aresta 6a são cortados, obtendo-se um novo sólido geométrico sem os quatro prismas retos,comooprismaindicadocomoexemplonafiguraabaixo.

a) Qual é a área do sólido geométrico formado em termos de a?

b) Qual é o volume do novo sólido geométrico formado em termos de a?

Resolução:

a) A superfície do sólido remanescente é formada por 8 retângulos laterais de dois tipos e 2 octógonos, como os representados abaixo

4 6a 6a 4a4a

a

a

a aa

aaa 4a

4a4a

a 2

4 2

Sendo A a área desse sólido, teremos, respectivamente: A = 4 . a 2 . 6a + 4 . 4a . 6a + 2 [(6a)2 – 4 . a . a

2]

A = 24 a2 2 +96a2 + 68a2

A = 4 a2 (6 2 + 41)

b) Conforme o enunciado, o volume do novo sólido geométrico é igual ao volume do cubo menos a soma dos volumes dos 4 prismas, isto é:

V = (6a)3 – 4 . a . a2

. 6a Þ 216a3 – 12a3 Þ V = 204a3

07.a) Gnomos são representações geométricas de númeroscomo pontos nos lados de um ângulo reto. Acrescentando gnomos,osbabilôniosdescobriammuitasconexõesentreos números. Qual é a soma dos 100 primeiros termos da sequênciadegnomosdafiguraabaixo?

b) Qual é a diferença de gnomos entre o centésimo primeiro eocentésimotermosdasequênciadafiguraabaixo?

Resolução:

a) Os gnomos estão formando uma P.A. em que: a1=1;r=2ea100=1+99. 2=199 A soma dos 100 primeiros termos é dada por:

S100 = (a1 + a100)

2 =

(1+199)1002

Þ S100 = 10 000 A soma dos 100 primeiros termos da sequência de

gnomos é 10 000.

b) Pelafigura,temos:a1=2;a2=6;a3=12;a4 = 20 ... a2 – a1 = 4 a3 – a2 = 6 a4 – a3 = 8 a5 – a4 = 10 . . . an – an – 1 = 2 . n

Portanto:

a101 – a100 = 2 . 101 Þ a101 – a100 = 202

A diferença entre o 101o e o 100o termos da sequência é 202.

1 3 5 7 9 11

2 6 12 20 30

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08.Afiguraabaixomostrao trapézioU isóscelesABCD de bases AB e DC, o segmento variável PQ paralelo a AB e o ponto M, médio de AB.

Considere as medidas a seguir:

AB = 8, DC = 2, AD = BC = 5 e AP = x (0 < x ≤ 5)

a) Calcule a área do triângulo MPQ quando x = 2.

b) Determine o valor máximo para a área do triângulo MPQ.

Resolução:

a)

A

P

D

T

S H R

NO

11

13

3

2

x = 2

C

Q

MB

Seja CH ^ MB e aplicando teorema de Pitágoras no ΔCHB temos

CB2 = CH2 + HB2 Þ 52 = CH2 + 32 Þ CH = 4

ΔCHB ~ ΔQRB Þ QR2 =

CH5

Portanto, QR = 2 . 4

5 = 85

ΔCNQ ~ ΔCHB Þ NQ3 =

35

Portanto, NQ = 95

Temos que PQ = 2 (NQ + ON) = 2 . ( 95 + 1) , isto é,

PQ = 285

A

x

P

D C

Q

MB

A área do ΔPQM é A = PQ . QR

2

A =

285 .

85

2 = 11225

A área do triângulo MPQ é 11225 .

b) Temos que CH = 4

O Δ CNQ ~ Δ CHB Þ b

5 – x = 35 Þ b =

15 – 3x5

O Δ QRB ~ Δ CHB Þ hx =

45 Þ h =

4x5

A área Δ PQM é

A = PQ . QR

2 = (2 + 2b) h

2 = (2 + 30 – 6x

5 ) . 4x5

2

A = (40 – 6x) 4x

50

A = (20 – 3x) 4x

25 = –12x2

7 + 80x25

Amax = yv = – Δ4a

= –

8025

2 – 0

4 . – 1225

= 163

O valor máximo para a área do triângulo MPQ é 163 .

A

P

D C

Q

MB

h

bN

H R

5 – x

x

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09.Emumquartoescuro,dezmeiasbrancasedezmeiaspretasestão em uma gaveta.

a) Uma pessoa, sem conseguir ver as cores das meias, quer retirar dois pares que combinem. Quantas meias deve retirar, no mínimo, para ter certeza de conseguir os pares desejados?Paresquecombinemsignificaquecadapardeve ter duas meias com a mesma cor.

b) Se ele pretende retirar somente dois pares, qual é a probabilidade de retirar um par de meias brancas e um par de meias pretas?

Resolução:

a) Para ter certeza de retirar dois pares da mesma cor, é preciso retirar 5 meias. As possibilidades são:

B B B P (P ou B) ou P P P B (P ou B)

podendo permutar as quatro primeiras.

Deve retirar, no mínimo, 5 meias para ter certeza de conseguir os pares desejados.

b) B B P P ↓ ↓ ↓ ↓

1020 .

919 .

1018 .

917 .

4!2! 2! =

135323

A probabilidade de retirar um par de meias brancas

e um par de meias pretas é 135323 .

10.OcasaldecãesKingeQueentêmdoisfilhotes:ValenteeFormosa. Os quatro cães deverão ser distribuídos para três petshopsenenhumdospais(KingouQueen)poderáficarna mesma petshop dequalquerfilhote.Nãoháaexigênciade que toda petshop receba pelo menos um cão.

De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa distribuição?

Resolução:

As maneiras como os quatro cães podem ser divididos nos três petshops é:

P1

(K e Q) P2V

P3F = 3! = 6

ou

P1

(K e Q) P2

(V e F) P3x = 3! = 6 6 + 6 + 6 = 18

ou

P1K

P2Q

P3(V e F) = 3! = 6

Há 18 maneiras diferentes desses cães serem distribuídos.

CoMentário Do CPV

AprovadissertativadeMatemáticadoVestibularFGV-Admdezembro-2015 mostrou-se bem elaborada, com enunciados claros e precisos.

Parabenizamos a Banca Examinadora por essa prova criativa e objetiva, que deverá atender aos anseios de uma boa seleção.

Oníveldedificuldadefoidemédioadifícil,sendoquealgumasquestõestiveramníveldeexigênciaacimadoesperado.

Os temas abordados foram:

01. Equação do 1o grau02.Funções03. Matemática Financeira04. Médias / interdisciplinar com Física (Cinemática)05.Funções06.GeometriaEspacial07.P.A.08.GeometriaPlana09.AnáliseCombinatória/Probabilidades10. Análise Combinatória