CRISTAIS FOTÓNICOS UNIDIMENSIONAIS COM … · A propagação electromagnética no seio dos...

CRISTAIS FOTÓNICOS UNIDIMENSIONAIS COM

METAMATERIAIS DNG

Filipe Miguel Coelho Entradas Pereira da Silva

Dissertação para Obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Orientadores: Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Professor Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva

Presidente: Professor Doutor António José Castelo Branco Rodrigues

Vogal: Professora Doutora Maria Emília Morais da Fonseca e Silva da Costa Manso

Junho de 2008

v

Agradecimentos

Aos orientadores, Professores Doutores Carlos Paiva e António Topa, não só pelo apoio,

disponibilidade e interesse sempre patenteados ao longo desta intensa tarefa, empenhando sem

hesitar a sua experiência e vastos conhecimentos na resolução de todos os percalços e obstáculos

que surgiram, como também pela preocupação em fomentar um ambiente informal, caracterizado

pela motivação e boa disposição permanentes. Aos professores das diversas disciplinas

frequentadas, especialmente no contexto da área de especialização em telecomunicações, pelo

contributo decisivo para a minha formação pessoal e profissional, pela amizade e também pelo

aconselhamento nas alturas de tomada de decisões relevantes. À Joana, pelo constante incentivo e

pela compreensão e paciência demonstradas, especialmente nas fases mais críticas e nos períodos

de ausência. A todos os meus familiares, que sempre constituíram um esteio de estabilidade,

alicerçando e apoiando o meu crescimento social, humano e académico, em especial a minha mãe, o

meu pai, os meus irmãos e a minha tia Lisa. Ao Duarte e ao Edgar, colegas de trabalho e de sala,

com quem partilhei diariamente momentos de avanço e de estagnação próprios de um complexo e

longo percurso, bem como a todos os outros grandes amigos com quem tenho tido o privilégio e o

orgulho de privar.

vii

Resumo A propagação electromagnética no seio dos cristais fotónicos, nomeadamente estruturas periódicas

por camadas, apresenta um comportamento similar ao da localização de electrões de condução

submetidos a um potencial provocado pela interacção com moléculas e átomos vizinhos. Este campo

do conhecimento tem sido amplamente estudado e analisado em profundidade ao longo de décadas

de investigação científica, uma vez que permitiu o desenvolvimento e implementação de circuitos e

dispositivos electrónicos baseados em semicondutores, que constituem as células fundamentais da

tecnologia nos tempos modernos. O advento da mecânica quântica no pretérito século, em

conjugação com o surgimento do paradoxal e não intuitivo conceito de matéria com comportamento

ondulatório descrito pelo dualismo onda-corpúsculo, levou os investigadores a sugerir a confecção de

redes artificiais que encarnariam o próximo passo em termos de organização estrutural cristalina. De

facto, tanto os semicondutores quanto os cristais fotónicos são constituídos por pequenas unidade

dispostas periodicamente, de forma distinta, uma vez que os últimos são compostos por meios

macroscópicos comuns, ao invés de átomos.

Nesse sentido, a sedutora ideia de uma analogia entre estes dois mundos aparentemente díspares

rapidamente foi posta em prática. Noções como o teorema de Bloch para redes periódicas, a zona de

Brillouin ou a teoria das bandas foram modeladas de forma a satisfazer as necessidades desta nova

família de sólidos organizados. A presente tese fornece as ferramentas que permitem deslindar as

propriedades, comportamentos e fenómenos exibidos pelos cristais fotónicos, nomeadamente no

caso unidimensional alternado por camadas, permitindo a caracterização da propagação

electromagnética nestas estruturas. É especialmente enfocada a questão das bandas permitidas e

proibidas ao nível espectral, como função das dimensões e geometria da rede cristalina, assim como

do ângulo da radiação incidente, uma vez que estas estabelecem as bases para alcançar atributos

não disponíveis nos materiais fornecidos pela natureza.

Com o propósito de conduzir a investigação a novos patamares, um tipo de material recentemente

descoberto e alvo de intensos estudos, os meios DNG, é introduzido na estrutura sob a forma de

camadas, proporcionando-lhe interessantes e inovadoras potencialidades relacionadas com o

confinamento da energia e a reversão da direcção da velocidade de fase. Adicionalmente, a análise

por simulação numérica é levada a cabo tendo em linha de conta a dispersão e as perdas. Apesar de

serem considerados negligenciáveis por alguns autores, estes efeitos devem ser considerados, dado

que os meios DNG operam em regiões de frequência contíguas à ressonância dos parâmetros

electromagnéticos. A curto prazo, é expectável que dispositivos baseados em cristais fotónicos

adquiram a capacidade de modelar o comportamento da luz, propiciando a criação de microchips

compactos totalmente ópticos que revolucionariam a informação e as telecomunicações.

Palavras-Chave Cristais Fotónicos; Estruturas Periódicas Unidimensionais por Camadas; Propagação

Electromagnética; Meios DNG; Modelos Dispersivos; Perdas; Teoria das Bandas; Ondas de Bloch.

ix

Abstract The electromagnetic propagation within photonic crystals, namely stratified periodic structures,

behaves in the exact same way as the localization of conduction electrons submitted to a potencial

caused by the interaction with neighbouring molecules and atoms. That constitutes a field of

knowledge widely studied and deeply analyzed through decades of scientific investigation as it

allowed the development and implementation of electronic circuits and devices based on

semiconductors, which are modern life technology fundamental cells. The dawn of quantum

mechanics in the past century, together with the arise of the paradoxical and non intuitive concept of

matter with undulatory behaviour, described by the wave-particle duality, led researchers into

suggesting the concept of artificially made lattices that would become the next step in terms of crystal

structure organization. In fact, both semiconductors and photonic crystals are made of smaller

periodically arranged units, in a diverse manner, as the latter are composed of common macroscopic

media instead of atoms.

Therefore, the alluring idea of an analogy between these two apparently unfamiliar worlds has soon

developed into practice. Notions like the Bloch’s theorem for periodic lattices, the Brillouin zone or the

theory of bands have been tailored to fit the demands of this new kind of organized solid. The present

thesis provides the tools for unveiling the properties, behaviour and phenomena exhibited by photonic

crystals, specifically the one-dimensional alternate stratified case, allowing the characterization of the

electromagnetic propagation throughout these structures. Great attention is devoted to the emergence

of allowed and forbidden bands at a spectral level, according to the lattice’s dimensions and geometry

as well as the angle of incident radiation, as it may be the basis for achieving attributes not available in

existing natural materials.

With the purpose of a further research, a recently discovered and intensely studied type of material,

the DNG media, is introduced in that structure as a layer, providing it with intriguing innovative

capabilities related with the confining of energy and reversal of the direction of phase velocity.

Moreover, the numerical simulation analysis is carried out taking into account both dispersion and

losses. Despite being considered negligible by some authors, these effects must be considered

because DNG media operate in frequency bands close to the constitutive parameters resonances. In

a near future, devices based on photonic crystals are expected to be capable of molding the flow of

light, therefore leading to compact all-optical microchips that shall revolutionize information and

telecommunications.

Keywords Photonic Crystals; Periodic Unidimensional Stratified Structures; Electromagnetic Propagation; DNG Media; Dispersion Models; Losses; Theory of Bands; Bloch Waves.

xi

Índice

Agradecimentos ....................................................................................... v

Resumo .................................................................................................. vii

Abstract ................................................................................................... ix

Índice ..................................................................................................... xi

Lista de Figuras ...................................................................................... xv

Lista de Acrónimos ................................................................................ xix

Lista de Símbolos .................................................................................. xxi

1 Introdução ..................................................................................... 1

1.1 Enquadramento e Panorma Contextual .................................................. 2

1.2 Motivações e Objectivos ........................................................................ 11 1.2 Contribuições Originais ......................................................................... 13

1.2 Estrutura e Organização ........................................................................ 14

2 As Bandas de Energia nos Cristais ............................................. 19

2.1 Os Cristais como Arquétipos das Estruturas Periódicas.........................20

2.2 O Dualismo Onda-Corpúsculo ............................................................... 20 2.2.1 Da Relatividade à Mecânica Ondulatória . ...........................................................20

2.2.2 A Transformação de Lorentz e o Espaço-Tempo ............................................... 21 2.2.3 A Caracterização Relativista das Partículas ....................................................... 23 2.2.4 A Energia no Contexto da Mecânica Relativista ................................................. 24 2.2.5 A Dupla Natureza da Radiação Electromagnética .............................................. 26

2.3 A Teoria das Bandas ............................................................................. 27 2.3.1 Uma Interpretação Estocástica ........................................................................... 27

2.3.2 O Potencial Periódico de Kronig-Penney ............................................................ 30

2.3.3 As Bandas de Energia no Potencial Periódico .................................................... 32

2.4 Transição para os Cristais Fotónicos .................................................... 37

xii

3 Cristais Fotónicos Unidimensionais ............................................. 39 3.1 Uma Perspectiva Sobre a Periodicidade ............................................... 40

3.2 As Estruturas Periódicas Convencionais ............................................... 42 3.2.1 A Condição de Bragg .......................................................................................... 42

3.2.2 O Teorema de Bloch e as Bandas de Frequência Proibidas .............................. 45

3.2.3 Caracterização Matricial das Estruturas Periódicas por Cama ........................... 54

3.2.4 As Propriedades Refractivas dos Cristais Fotónicos .......................................... 58

3.3 Novos Paradigmas dos Cristais Fotónicos ............................................ 81

4 Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos ......................... 83

4.1 Conceptualização e Desenvolvimento dos Metamateriais..................... 84

4.2 Caracterização de Meios DNG .............................................................. 86 4.2.1 Definições e Nomenclatura ................................................................................. 86

4.2.2 A Noção de Índice de Refracção Negativo ......................................................... 87

4.2.3 Cristal Fotónico DPS-DNG .................................................................................. 95

4.3 Modelos Dispersivos ............................................................................. 99 4.3.1 Os Meios DNG como Subconjunto dos Meios NIR ............................................. 99

4.3.2 Modelos Dispersivos Simplificados ................................................................... 106

4.4 Modelo Real dos Cristais Fotónicos DPS-DNG ................................... 109 4.4.1 Os Efeitos da Dependência Espectral ............................................................... 109

4.4.2 A Influência das Perdas ..................................................................................... 115

4.4.3 Aplicação do Modelo de Lorentz ....................................................................... 119

4.5 Caracterização Global das Estruturas DPS-DNG ................................ 123

5 Conclusão ................................................................................. 127

5.1 Discussão e Análise Crítica de Resultados ......................................... 128

5.2 Epílogo e Perspectivas de Desenvolvimento ....................................... 135

Anexo A – Mecânica Ondulatória ......................................................... 139 A.1 Equação de d’Alembert ....................................................................... 140

A.2 Equação de Schrödinger Unidimensional ............................................ 141

A.3 Equação de Schrödinger Independente do Tempo ............................. 142

A.4 Descontinuidade da Derivada da Função de Onda ............................. 142

A.5 Equação Fundamental das Bandas de Energia .................................. 143

xiii

Anexo B – Estruturas Periódicas .......................................................... 145 B.1 Coeficientes da Série de Fourier da Permitividade Eléctrica ............... 146

B.2 Modelo Elíptico para a Componente Imaginária do Número de Onda 147

B.3 Condições nas Interfaces da Estrutura Periódica ................................ 149

B.4 Coeficientes da Matriz de Transmissão ............................................... 150

B.5 Matriz de Transmissão de uma Estrutura Periódica Genérica ............. 152

B.6 Relação de Dispersão Fundamental dos Cristais Fotónicos ............... 153

B.7 Identidade de Chebyshev .................................................................... 154

Referências .......................................................................................... 159

xv

Lista de Figuras

Figura 1.1 Diagrama de dispersão típico. ........................................................................................ 3 Figura 1.2 Representação esquemática de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6]. .............................. 4 Figura 1.3 Exemplos de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6]. ............................................................ 4 Figura 1.4 Cristalografia por raios-x [8]. ........................................................................................... 5 Figura 1.5 Interferência construtiva e destrutiva [10]. ...................................................................... 5 Figura 1.6 Fragmentação da função de onda pelo teorema de Bloch [20]. .................................... 9 Figura 1.7 Zona de Brillouin e bandas permitidas e proibidas de energia [21]. .............................. 9 Figura 1.8 Cristal electrónico e cristal fotónico [30]. ...................................................................... 10 Figura 1.9 Pormenor de metamaterial DNG [51]. .......................................................................... 12

Figura 2.1 Órbita de um planeta no espaço-tempo e cone de luz invariante na transformação de Lorentz ............................................................................................. 22

Figura 2.2 Constituição parcelar da energia total de uma partícula. ............................................. 26 Figura 2.3 Potencial periódico arbitrário. ....................................................................................... 30 Figura 2.4 Modelo de Kronig-Penney normal e simplificado. ........................................................ 32 Figura 2.5 Regiões adjacentes do espaço em torno da origem do referencial. ............................ 33 Figura 2.6 Equação de dispersão do número de onda de Bloch................................................... 35 Figura 2.7 Diagrama de dispersão do potencial periódico. ........................................................... 36 Figura 2.8 Espectro das bandas proibidas e permitidas de energia. ............................................ 37 Figura 2.9 Diagrama de dispersão reduzido para a primeira banda de energia. .......................... 38 Figura 2.10 Componente imaginária do número de onda de Bloch. ............................................... 38

Figura 3.1 Incidência sobre cristal fotónico e transmissividade [81][82]. ...................................... 41 Figura 3.2 Diagramas de dispersão da radiação electromagnética. ............................................. 41 Figura 3.3 Imagem SEM de um cristal fotónico de InGaAsP [81]. ................................................ 42 Figura 3.4 Estrutura periódica de camadas alternadas. ................................................................ 43 Figura 3.5 Reflexão de Bragg. ....................................................................................................... 44 Figura 3.6 Diagrama de dispersão e primeira banda proibida. ...................................................... 48 Figura 3.7 Modelos elíptico e real para o diagrama de dispersão. ................................................ 52 Figura 3.8 Diagrama de dispersão complexo na primeira banda de energia. ............................... 52 Figura 3.9 Dissecação matricial da estrutura periódica por camadas. .......................................... 55 Figura 3.10 Diagrama de dispersão de com baixo contraste e 0,5Λ. ............................ 62 Figura 3.11 Visualização tridimensional de , Λ 0, baixo contraste e 0,5Λ. .............. 62 Figura 3.12 Visualização tridimensional de , Λ 6 , baixo contraste e 0,5Λ. ........... 62 Figura 3.13 Diagrama de dispersão de com alto contraste e 0,5Λ. ............................... 63 Figura 3.14 Visualização tridimensional de , Λ 0, alto contraste e 0,5Λ .................. 63

xvi

Figura 3.15 Visualização tridimensional de , Λ 6 , alto contraste e 0,5Λ. .............. 63 Figura 3.16 Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ. .................. 64 Figura 3.17 Visualização tridimensional de , Λ 0, alto contraste, 0,95Λ e

0,05Λ. ..................................................................................................................... 64 Figura 3.18 Visualização tridimensional de , Λ 6 , alto contraste, 0,95Λ e

0,05Λ. ..................................................................................................................... 64 Figura 3.19 Diagrama de dispersão de com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ................... 67 Figura 3.20 Visualização tridimensional de , com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ............ 67 Figura 3.21 Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ...................... 67 Figura 3.22 Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ............... 68 Figura 3.23 Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ. .................. 68 Figura 3.24 Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ. ........... 68 Figura 3.25 Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 0. ............... 70 Figura 3.26 Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 3 . ............. 70 Figura 3.27 Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 6 . ............. 70 Figura 3.28 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,5Λ e

0,5Λ. ....................................................................................................................... 72 Figura 3.29 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,75Λ e

0,25Λ. ..................................................................................................................... 72 Figura 3.30 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,5Λ e

0,5Λ. ....................................................................................................................... 73 Figura 3.31 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,95Λ e

0,05Λ. ..................................................................................................................... 73 Figura 3.32 Múltiplas bandas de energia da estrutura de quarto de onda com alto contraste. ...... 75 Figura 3.33 Diagrama de dispersão do cristal fotónico de baixo contraste e respectivos

meios. ........................................................................................................................... 75 Figura 3.34 Diagrama de dispersão da estrutura de quarto de onda e respectivos meios. ............ 75 Figura 3.35 Transmissividade com camadas de espessura similar e alto contraste. ..................... 77 Figura 3.36 Envolvente da transmissividade. .................................................................................. 78 Figura 3.37 Componentes real e imaginária de K da estrutura de quarto de onda. ........................ 78 Figura 3.38 Transmissividade da estrutura de quarto de onda. ...................................................... 79 Figura 3.39 Pormenor da primeira banda de transmissividade nula. .............................................. 80 Figura 3.40 Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 5.............................. 80 Figura 3.41 Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 6.............................. 81 Figura 4.1 Diagrama de classificação dos meios. ......................................................................... 87 Figura 4.2 Permitividade eléctrica no plano complexo. ................................................................. 91 Figura 4.3 Componente do índice de refracção no plano complexo. ....................................... 92 Figura 4.4 Índice de refracção no plano complexo. ....................................................................... 94 Figura 4.5 Orientação espacial dos campos, vector de Poynting e constante de

propagação. .................................................................................................................. 95 Figura 4.6 Representação esquemática de um cristal Fotónico DPS-DNG. ................................. 95 Figura 4.7 Componentes real e imaginária de uma estrutura de quarto de onda DPS-DNG. ...... 97 Figura 4.8 Transmissividade de cristais fotónicos DPS-DPS e DPS-DNG. .................................. 98 Figura 4.9 Transmissividade de cristal fotónico DPS-DNG com número variável de células. ...... 98 Figura 4.10 Crescimento das bandas permitidas em estrutura de quarto de onda

desequilibrada. .............................................................................................................. 99

xvii

Figura 4.11 Variação da constante de propagação em estrutura de quarto de onda desequilibrada. ............................................................................................................100

Figura 4.12 Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade. ............103 Figura 4.13 Modelo de Lorentz para as partes imaginárias da permitividade e

permeabilidade. ..........................................................................................................104 Figura 4.14 Modelo de Lorentz para a parte real do índice de refracção. .....................................105 Figura 4.15 Modelo de Lorentz para a parte imaginária do índice de refracção. ..........................105 Figura 4.16 Modelo de Drude para a parte real do índice de refracção. .......................................106 Figura 4.17 Modelo de Drude para a parte imaginária do índice de refracção. ............................107 Figura 4.18 Modelo dispersivo não causal para a permitividade e permeabilidade. .....................108 Figura 4.19 Modelo dispersivo não causal para o índice de refracção. ........................................108 Figura 4.20 Legenda das figuras relativas aos modelos dispersivos de cristais DPS-DNG. ........110 Figura 4.21 Transmissividade com 1 e modelo linear com 0,1. .....................................110 Figura 4.22 Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,1. .....................................111 Figura 4.23 Diagrama de dispersão com 5 e modelo linear com 0,01. ..........................111 Figura 4.24 Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,01. ...................................112 Figura 4.25 Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,005. .................................112 Figura 4.26 Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,1. ...................................112 Figura 4.27 Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,01. .................................113 Figura 4.28 Diagrama de dispersão com 20 e modelo linear com 0,001. ......................113 Figura 4.29 Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,001. ...............................113 Figura 4.30 Transmissividade com 1 e modelo dispersivo não causal na região DNG. ........114 Figura 4.31 Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição SNG-

DNG. ...........................................................................................................................114 Figura 4.32 Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição DNG-

SNG. ...........................................................................................................................115 Figura 4.33 Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal na região DNG. ......115 Figura 4.34 Diagrama de dispersão com 20 e modelo dispersivo não causal. ......................116 Figura 4.35 Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal. ...............................116 Figura 4.36 Diagrama de dispersão com 10 e modelo de Drude...........................................117 Figura 4.37 Transmissividade com 10 e modelo de Drude. ...................................................117 Figura 4.38 Transmissividade com 5 e modelo de Drude, com Γ 0. ..................................118 Figura 4.39 Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω . ...................118 Figura 4.40 Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω . ...................118 Figura 4.41 Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω . ..........118 Figura 4.42 Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade. ............119 Figura 4.43 Modelo de Lorentz para o índice de refracção. ..........................................................120 Figura 4.44 A região DNG como subconjunto da região NIR. .......................................................120 Figura 4.45 Diagrama de dispersão com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ...............120 Figura 4.46 Transmissividade com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,001. ......................121 Figura 4.47 Transmissividade com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ........................121 Figura 4.48 Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0. ...............................121 Figura 4.49 Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,015. ........................122 Figura 4.50 Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03. ..........................122 Figura 4.51 Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03. .................122 Figura 4.52 Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0. ................124 Figura 4.53 Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ...........125 Figura 4.54 Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0. ..........125

xviii

Figura 4.55 Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade sem perdas. .............126 Figura 4.56 Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ......126 Figura 4.57 Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade com perdas. .............126 Figura 5.1 Cristal fotónico 2D não periódico [92]. ........................................................................136 Figura 5.2 Aplicação de defeitos na rede cristalina de uma estrutura fotónica 2D [98]. .............137 Figura 5.3 Imagens de Fibras de Cristais Fotónicos [92]. ...........................................................138 Figura 5.4 Ilustração de um futuro dispositivo fotónico integrado [102]. .....................................138 Figura B.1 Estrutura periódica de camadas de igual espessura. .................................................146

xix

Lista de Acrónimos

BW Backward Waves

BWM Backward Wave Media

DNG Double Negative

ENG Epsilon Negative

LHM Left-Handed Media

MNG Mu Negative

NIR Negative Index of Refraction

PBG Photonic Band Gap

PC Photonic Crystal

PCF Photonic Crystal Fibers

PIC Photonic Integrated Circuit

QWS Quarter Wave Stack

SEM Scanning Electron Micrograph

SNG Single Negative

TE Polarização Transversal Eléctrica

TM Polarização Transversal Magnética

xxi

Lista de Símbolos evento do espaço-tempo de Minkowski

espessura da primeira camada da estrutura periódica

onda incidente relativa à célula de referência da estrutura periódica

onda incidente relativa à n-ésima célula da estrutura periódica

onda incidente relativa à -ésima camada da n-ésima célula da estrutura periódica

onda incidente relativa à última célula da estrutura periódica

índice identificador das camadas da estrutura periódica

elemento da matriz de transferência

amplitude do campo eléctrico no espectro da constante de propagação

coeficiente de onda de Bloch num período do cristal

espessura da segunda camada da estrutura periódica

onda reflectida relativa à célula de referência da estrutura periódica

onda reflectida relativa à n-ésima célula da estrutura periódica

onda reflectida relativa à -ésima camada da n-ésima célula da estrutura periódica

onda reflectida relativa à última célula da estrutura periódica

índice identificador das camadas da estrutura periódica


campo de indução magnética

coeficiente de onda de Bloch num período do cristal

velocidade da radiação electromagnética no vácuo

valor na origem da característica rectilínea do modelo dispersivo linear

declive da característica rectilínea do modelo dispersivo linear

susceptibilidade eléctrica

susceptibilidade magnética


coeficiente da matriz parcelar auxiliar para obtenção da matriz de transferência


xxii



número de onda no espaço livre normalizado

distância entre o início da estrutura periódica e a primeira interface

distância entre o início da estrutura periódica e a segunda interface

distância entre o início da estrutura periódica e a n-ésima interface

semi-soma do rácio dos índices de refracção a estrutura periódica com o seu inverso

delta de Kronecker


campo eléctrico de deslocamento

Δ condição de Bragg

Δ desfasagem entre as ondas incidente e reflectida

Δ desfasagem entre ondas reflectidas em duas interfaces sucessivas da estrutura periódica

Δ largura espectral da banda proibida

Δ largura espectral aproximada da banda proibida

Δ largura espectral exacta da banda proibida

Δ distância percorrida pela onda reflectida na primeira interface da estrutura periódica

Δ distância percorrida pela onda reflectida na segunda interface da estrutura periódica

Δ distância percorrida pela onda incidente

Δ distância percorrida pela onda reflectida n-ésima interface da estrutura periódica

Δ distância percorrida pela onda reflectida

versor temporal de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

primeiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

segundo versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

terceiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

permitividade eléctrica

permitividade eléctrica no vácuo

permitividade eléctrica na camada de índice 1 da estrutura periódica

permitividade eléctrica na camada de índice 2 da estrutura periódica

permitividade eléctrica relativa

xxiii

componente real da permitividade eléctrica

componente imaginária da permitividade eléctrica

erro associado à largura espectral aproximada da banda proibida

impedância de onda

impedância de onda no vácuo

impedância de onda na camada de índice 1 da estrutura periódica

impedância de onda na camada de índice 2 da estrutura periódica

campo eléctrico

amplitude do campo eléctrico

componente longitudinal do campo eléctrico

componente transversal do campo eléctrico

componente transversal do campo eléctrico

módulo do campo eléctrico na camada de índice 1

módulo do campo eléctrico na camada de índice 2

componente espacialmente periódica do campo eléctrico

energia total de uma partícula

energia própria ou intrínseca de uma partícula

função do número de onda da partícula livre

versor temporal de um referencial no espaço-tempo de Minkowski

primeiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

segundo versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

terceiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

fase da onda plana

fase da onda reflectida na primeira interface da estrutura periódica

fase inicial da onda reflectida na primeira interface da estrutura periódica

fase da onda reflectida na segunda interface da estrutura periódica

fase inicial da onda reflectida na segunda interface da estrutura periódica

fase da onda incidente

fase inicial da onda incidente

fase da onda reflectida na n-ésima interface da estrutura periódica

xxiv

fase inicial da onda reflectida na n-ésima interface da estrutura periódica

fase da onda reflectida

fase inicial da onda reflectida

coeficiente do modelo dispersivo não causal

Φ amplitude espectral de um feixe de ondas planas

Φ amplitude espectral de um feixe estacionário de ondas planas

vector da rede recíproca

múltiplo dos vectores da rede recíproca

factor de Lorentz e índice identificador das camadas da estrutura periódica

comprimento de onda associado à frequência de perdas da permitividade eléctrica

denominador comum aos elementos da matriz

denominador comum aos elementos da matriz para a equação

denominador comum aos elementos da matriz para a equação

Γ frequência de colisão ou de perdas

Γ frequência de colisão ou de perdas da permitividade eléctrica

Γ frequência de colisão ou de perdas da permeabilidade magnética

constante de Planck

constante de Planck reduzida

campo magnético

amplitude do campo magnético

operador hamiltoniano

transformada de Hilbert

matriz identidade

índice dos valores próprios associados à matriz de transferência

densidade de corrente eléctrica

vector de onda no espaço

número de onda no vácuo

número de onda longitudinal relativo à camada de índice 1

número de onda longitudinal relativo à camada de índice 2

componente longitudinal do número de onda

xxv

número de onda longitudinal relativo à camada de índice com incidência perpendicular

número de onda longitudinal relativo à camada de índice

número de onda longitudinal relativo à camada de índice com incidência perpendicular

número de onda longitudinal relativo à camada de índice

componente real do vector de onda

componente imaginária do vector de onda

limite inferior das velocidades relativas

vector de onda de Bloch

componente imaginária do número de onda de Bloch

componente imaginária do número de onda de Bloch no centro da banda proibida

componente real do número de onda de Bloch

componente longitudinal do vector de onda de Bloch

componente transversal do vector de onda de Bloch

componente transversal do vector de onda de Bloch

módulo do vector de onda de Bloch na camada de índice

normalização do vector da rede recíproca

normalização do vector da rede recíproca

vector de onda próprio

largura das barreiras de potencial no modelo de Kronig-Penney

vector de onda próprio no referencial próprio

vector das coordenadas espaciais do vector de onda próprio

comprimento de onda ou factor de intensidade do potencial cristalino

comprimento de onda associado à frequência de ressonância da permitividade eléctrica

comprimento de onda de de Broglie

valores próprios associados à matriz de transferência

comprimento de onda associado à frequência de plasma da permitividade eléctrica

variável normalizada para o modelo de Lorentz da permitividade eléctrica

variável normalizada para o modelo de Lorentz da permeabilidade magnética

limite inferior da banda de componente real do índice de refracção negativa

xxvi

limite inferior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa

limite inferior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa

limite superior da banda de componente real do índice de refracção negativa

limite superior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa

limite superior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa

matriz diagonal com valores próprios de

elemento da matriz

elemento da matriz

elemento da matriz

elemento da matriz

elemento da matriz

matriz à parte o denominador comum

elemento da matriz

elemento da matriz

elemento da matriz

elemento da matriz

Λ período do cristal fotónico unidimensional por camadas

massa de uma partícula

permeabilidade magnética

permeabilidade magnética no vácuo

permeabilidade magnética na camada de índice 1 da estrutura periódica

permeabilidade magnética na camada de índice 2 da estrutura periódica

valor absoluto da permeabilidade magnética no cristal fotónico unidimensional

permeabilidade magnética relativa

componente real da permeabilidade magnética

componente imaginária da permeabilidade magnética

matriz de transferência da estrutura periódica unidimensional

matriz auxiliar no cálculo da matriz de transferência

elemento da inversa da matriz auxiliar genérica


xxvii






matriz de transferência de entrada da estrutura periódica unidimensional

matriz auxiliar genérica no cálculo da matriz de transferência

matriz de transferência de saída da estrutura periódica unidimensional

índice de refracção

índice de refracção da primeira camada da estrutura periódica

índice de refracção da segunda camada da estrutura periódica

índice de refracção da -ésima camada da estrutura periódica

componente do índice de refracção dependente da permitividade eléctrica

componente do índice de refracção dependente da permeabilidade magnética

componente real do índice de refracção

componente imaginária do índice de refracção

parte real da componente do índice de refracção dependente de

parte real da componente do índice de refracção dependente de

parte imaginária da componente do índice de refracção dependente de

parte imaginária da componente do índice de refracção dependente de

número de células da estrutura periódica

rácio entre os módulos das constantes de propagação em camadas sucessivas

operador gradiente

frequência angular

frequência angular central da banda proibida

frequência de ressonância da permitividade eléctrica

frequência de ressonância da permeabilidade magnética

frequência de plasma da permitividade eléctrica

frequência de plasma da permeabilidade magnética

xxviii

limite inferior da banda proibida e da banda DNG

limite inferior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa

limite inferior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa

limite superior da banda proibida e da banda DNG

limite superior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa

limite superior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa

Ω frequência angular normalizada

Ω frequência angular normalizada de ressonância

Ω frequência angular normalizada de ressonância da permitividade eléctrica

Ω frequência angular normalizada de ressonância da permeabilidade magnética

Ω frequência angular normalizada de plasma

Ω frequência angular normalizada de plasma da permitividade eléctrica

Ω frequência angular normalizada de plasma da permeabilidade magnética

Ω frequência angular normalizada de perdas

Ω frequência angular normalizada de perdas da permitividade eléctrica

Ω frequência angular normalizada de perdas da permeabilidade magnética

frequência angular de plasma auxiliar no modelo dispersivo não causal

momento linear relativo de uma partícula

componente longitudinal do momento linear de uma partícula



operador momento linear

probabilidade de localização de uma partícula ou do seu momento linear

parcela da equação de dispersão dos cristais fotónicos unidimensionais por camadas

parcela da equação de dispersão dos cristais fotónicos unidimensionais por camadas

ψ onda plana

ψ módulo da onda plana

amplitude da onda incidente

amplitude da onda reflectida

xxix

onda incidente

onda reflectida

Ψ feixe de ondas planas

Ψ feixe estacionário de ondas planas

Ψ função de onda na região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal

Ψ função de onda na região à direita da origem do referencial espacial do cristal

momento linear próprio de uma partícula

número de onda de Bloch

momento linear próprio de uma partícula no referencial próprio



vector das coordenadas espaciais do momento linear próprio de uma partícula

função de onda independente do espaço e matriz de diagonalização de

vector das coordenadas espaciais de um referencial do espaço-tempo de Minkowski

coeficiente de reflexão da estrutura periódica unidimensional de células

módulo do índice de refracção

módulo da permitividade eléctrica

módulo da permeabilidade magnética

reflectividade da estrutura periódica unidimensional de células

região de continuidade na função potencial de uma rede cristalina electrónica

região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal

região à direita da origem do referencial espacial do cristal

, espaço-tempo de Minkowski

espaço tridimensional

espaço quadridimensional

valor médio do vector de Poynting

primeiro referencial não acelerado

segundo referencial não acelerado

tempo no referencial próprio

coeficiente de transmissão da estrutura periódica unidimensional de células

xxx

espessura da camada de índice

tempo no referencial relativo

ângulo de incidência da radiação electromagnética sobre o cristal fotónico

argumento do índice de refracção

argumento da permitividade eléctrica

argumento da permeabilidade magnética

energia cinética de uma partícula e transmissividade da estrutura periódica de células

envolvente da transmissividade da estrutura periódica unidimensional de células

matriz de transferência da estrutura periódica unidimensional genérica com camadas

velocidade própria de uma partícula

componente espacial ou função de onda independente do tempo

velocidade própria de uma partícula no referencial próprio

vector das componentes espaciais da velocidade própria de uma partícula

energia potencial

notação utilizada no contexto da identidade de Chebyshev

vector próprio associado à matriz de transferência

velocidade de um referencial inercial face ao outro

primeiro elemento do vector próprio associado ao valor próprio

segundo elemento do vector próprio associado ao valor próprio

elemento do vector próprio associado ao valor próprio

elemento do vector próprio associado ao valor próprio na equação ,

função potencial e matriz de colunas correspondentes aos vectores próprios de

elemento da -ésima potência da matriz




elemento da -ésima potência da matriz à parte o denominador comum



xxxi


densidade média de energia eléctrica

densidade média de energia magnética

densidade média de energia eléctrica em meios não dispersivos

densidade média de energia magnética em meios não dispersivos

eixo longitudinal de dimensão espacial de periodicidade da estrutura

coeficiente do versor temporal no referencial próprio

coeficiente do primeiro versor espacial no referencial próprio

primeira coordenada correspondente ao centro no modelo elíptico

coeficiente do segundo versor espacial no referencial próprio

segunda coordenada correspondente ao centro no modelo elíptico

coeficiente do terceiro versor espacial no referencial próprio

coeficiente do versor temporal no referencial relativo

coeficiente do primeiro versor espacial no referencial relativo

coeficiente do segundo versor espacial no referencial relativo

coeficiente do terceiro versor espacial no referencial relativo

versor do eixo longitudinal de dimensão espacial de periodicidade da estrutura

amplitude de onda de Bloch generalizada

amplitude de onda de Bloch

amplitude de onda de Bloch na região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal

amplitude de onda de Bloch na região à direita da origem do referencial espacial do cristal

eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura

versor do eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura

amplitude de onda de Bloch generalizada

amplitude de onda de Bloch

amplitude de onda de Bloch na região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal

amplitude de onda de Bloch na região à direita da origem do referencial espacial do cristal

eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura

versor do eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura

número de onda de Bloch normalizado e impedância de onda normalizada

xxxiii

Capítulo 1

Introdução

Este capítulo introduz as temáticas envolvidas na concepção da presente dissertação,

nomeadamente numa perspectiva contextual e de motivação e, adicionalmente, fornece uma

panorâmica dos pressupostos e objectivos que presidem à sua elaboração, bem como uma sinopse

detalhada da sua estrutura e dos aspectos originais relevantes que pretende focar.

Introdução

2

“The transmitted beam is extinguished much more

rapidly than corresponds to the true absorption of

the crystal.”

C. G. Darwin [1]

1.1 Enquadramento e Panorama Contextual

À medida que as exigências que recaem sobre os recursos tecnológicos, nomeadamente no que diz

respeito à informática e às comunicações, crescem de forma exponencial, as atenções centram-se no

projecto e desenvolvimento de dispositivos ópticos, cuja capacidade, velocidade e largura de banda

apresentam um potencial marcadamente elevado e em grande medida inexplorado. Contudo, esta

tendência tem encontrado nas limitações das propriedades ópticas dos materiais uma barreira,

responsável pelo consubstanciar de um atraso indesejado, em face da incapacidade de estes

reproduzirem de forma rigorosa as funções pretendidas. A actual situação da área da óptica contrasta

com a riqueza de soluções disponível no âmbito da electrónica, em que é viável a implementação de

praticamente qualquer propriedade ou padrão comportamental que se pretenda, por via da

parametrização e dimensionamento dos componentes disponíveis, longa e historicamente

conhecidos, analisados e testados sob a mais variada panóplia de condições. Esta facilidade está

relacionada com o tipo de interacção que os electrões estabelecem com as redes cristalinas dos

materiais presentes no circuito eléctrico, e que estão na base da sua classificação enquanto metais,

semicondutores ou isolantes [2]. De facto, através de alterações pontuais na estrutura, consegue-se

ajustar as propriedades fornecidas pelo meio às pretendidas. É neste contexto que surge a evidente

analogia entre os mundos óptico e eléctrico, detalhada adiante, e que está na base da adaptação do

conceito de rede cristalina electrónica à radiação electromagnética, no que redunda a criação dos

cristais fotónicos.

Assim, o âmago da presente dissertação reside no estudo e dissecação da possibilidade de utilização

de cristais fotónicos enquanto elementos base para a implementação de circuitos ópticos ou de

microondas baseados nos fenómenos refractivos, como sejam os dispositivos de filtragem. Nesse

sentido, importa escalpelizar a influência que a utilização de estruturas periódicas deste tipo imprime

à radiação electromagnética que sobre elas incide, nomeadamente no que diz respeito à organização

da sua característica de transmissividade, ou reflectividade, ao longo do espectro. Com efeito, ao

contrário do que sucede com os meios materiais simples, que se caracterizam por um diagrama de

dispersão linear, os cristais fotónicos permitem, através da modelação e dimensionamento dos meios

que os constituem, alterar a curva de variação espectral da constante de propagação, introduzindo

deformações, não linearidades ou zonas de evanescência da radiação, conforme se ilustra na Figura

1.1 e adiante se desenvolve.

Introdução

3

Figura 1.1 – Diagrama de dispersão típico.

Desde o início da década de oitenta que a estruturação periódica do índice de refracção, à escala do

comprimento de onda, tem sido uma força motriz de intenso incremento da actividade de pesquisa na

área da fotónica. Neste tipo de materiais, a localização, organização espectral e propagação da luz

apresentam propriedades peculiares, que podem ser utilizadas num vasto leque de domínios, desde

a óptica quântica à óptica integrada, passando por aplicações diversas no âmbito das

telecomunicações ou biofotónica [3].

De uma forma geral, os sistemas fotónicos complexos, cuja designação deriva do facto de tornarem a

propagação da radiação electromagnética e a sua descrição e modelação particularmente mais

elaboradas e de apresentarem propriedades amplamente diversas das que caracterizam os

elementos base que os constituem, dividem-se em dois grandes subconjuntos. Por um lado, os

sistemas compostos por materiais dispostos de forma aleatória, destacando-se neste contexto os

estudos [4] e [5]. Por outro lado, as estruturas periódicas, ou redes cristalinas ou ainda cristais

fotónicos, como são vulgarmente designados nos dias de hoje, e que são definidos por sistemas

fotónicos complexos organizados, i.e., os elementos que os compõem encontram-se dispostos e

dimensionados de uma forma estruturada e ciclicamente repetida numa ou em várias direcções do

espaço.

Neste âmbito, é enfocado, ao nível da presente dissertação, o caso particular das redes com células

de largura definida e equivalente ao período, cada uma delas constituída por um número determinado

de camadas de parâmetros electromagnéticos diferenciados. Particulariza-se o caso unidimensional,

porque permite, de uma forma mais simplificada, ilustrar os conceitos e objectivos pretendidos neste

estudo, que se referenciam na secção seguinte. Porém, de um ponto de vista espacial, os cristais

fotónicos bidimensionais e tridimensionais, ilustrados nas Figuras 1.2 e 1.3, constituem áreas de

intenso esforço de investigação no contexto fotónico. A dimensão que se refere, neste âmbito, diz

respeito ao número de direcções espaciais ao longo das quais se verifica periodicidade das

características electromagnéticas dos materiais envolvidos. O único tipo de estrutura que permite a

obtenção de solução analítica fechada é a unidimensional, sendo que as redes cristalinas 2D e 3D

apenas podem ser analisadas do ponto de vista da simulação numérica.

Historicamente, é possível encontrar as raízes do que viriam a ser os cristais fotónicos e a noção de

PBG, do inglês ‘Photonic Band Gap’, expressão que se refere às bandas permitidas e proibidas de

Cristal Fotónico Meio Comum

Introdução

4

frequência que caracterizam estas estruturas, e que são profundamente analisadas no contexto desta

dissertação, recuando mais de uma centena de anos.

Figura 1.2 – Representação esquemática de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6].

Figura 1.3 – Exemplos de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6].

Com efeito, a ideia de uma banda proibida unidimensional foi prevista por Lord Rayleigh em 1887, em

conexão com as peculiares propriedades reflectivas de um mineral cristalino de camadas planas

periódicas, identificando uma banda proibida estreita de frequências para a qual era impossibilitada a

passagem de raios luminosos. Adicionalmente, verificou que a cor reflectida pela estrutura era

diferente em função do ângulo de incidência da energia electromagnética, por via da alteração da

distribuição e composição das periodicidades experienciadas pela luz.

Esta experiência não surgiu como um caso isolado. De facto, já desde o século dezassete que os

cristais presentes no mundo natural, admirados pela sua assinalável regularidade e simetria, eram

alvo de investigação científica, despoletada pelos estudos de J. Kepler, em 1611, relativos à

organização das moléculas de água no seu estado sólido. Em 1669, N. Steno analisou com êxito a

organização angular das faces dos cristais e, em 1784, R. Haüi concluiu correctamente que estes

constituem conjuntos de átomos ou moléculas, organizados em células que se repetem

periodicamente ao longo de três direcções principais, não necessariamente ortogonais entre si,

segundo uma estrutura de rede de Bravais [7]. Com a descoberta dos raios-x em 1895, por W.

Röntgen, deu-se início ao ramo da cristalografia, que é a ciência que procura determinar a

organização estrutural dos átomos e moléculas num cristal, através da dispersão sofrida pelos raios-x

que nele penetram. Com efeito, quando a rede cristalina é submetida a um intenso feixe de radiação

electromagnética, tipicamente monocromática, resulta um padrão regular de reflexões nos sucessivos

planos de átomos ou moléculas, igualmente espaçados, conforme se esquematiza na Figura 1.4. Por

variação do ângulo de incidência do feixe sobre a superfície do cristal, o referido padrão sofre

Introdução

5

alterações que, tratadas computacionalmente, permitem obter o panorama da estrutura e disposição

dos seus elementos fundamentais.

Figura 1.4 – Cristalografia por raios-x [8].

Em 1912, Sir W. L. Bragg deu um novo ímpeto ao ramo da cristalografia, ao derivar a condição

homónima [9], que se veio a revelar fulcral no desenvolvimento das teorias em torno das redes

cristalinas, quer no âmbito dos semicondutores, quer no dos cristais fotónicos. O físico britânico

verificou que, ao atingir os átomos constituintes da estrutura, a radiação electromagnética provocava

alterações nas respectivas nuvens electrónicas. Os movimentos de cargas resultantes eram

responsáveis por um fenómeno de re-radiação, sob a forma de ondas dotadas de frequência similar

que, conforme se ilustra na Figura 1.5, sofriam interferências mútuas. Estas podiam ser construtivas

ou destrutivas, em função do cumprimento ou incumprimento da condição de Bragg, que relaciona o

ângulo de incidência da radiação electromagnética sobre o cristal com a distância entre os sucessivos

planos de moléculas ou átomos. Mais concretamente, Bragg postulou que a diferença de percurso

entre duas reflexões em planos contíguos da estrutura deveria constituir um múltiplo do comprimento

de onda, para que se desse a reflexão total.

Figura 1.5 – Interferência construtiva e destrutiva [10].

É nesta conjectura histórica que, em 1914, C. G. Darwin, que nascera no ano da publicação de Lord

Rayleigh acerca da assumpção da existência de uma banda proibida unidimensional, deriva uma

Introdução

6

teoria dinâmica da dispersão de raios-x [1]. Nela, confirma todas as previsões acerca da validade das

gamas de frequências para as quais se torna inviável a propagação de raios-x através de redes

cristalinas naturais, conectando definitivamente o seu aparecimento a uma conjugação de

dimensionamentos das distâncias entre planos consecutivos de átomos e comprimento de onda e

ângulo de incidência da radiação electromagnética. Comprova experimentalmente os hiatos de

propagação, que se revelam no entanto particularmente reduzidos. De facto, e como se demonstra ao

nível do terceiro capítulo da presente dissertação, a largura das bandas proibidas nos cristais é tanto

menor quanto menos significativo o contraste dieléctrico que caracteriza a estrutura e, uma vez que

este se revelara residual nos cristais analisados por Darwin, os seus resultados eram expectáveis.

Adicionalmente, para que se verifique o cumprimento da condição de Bragg e a criação de PBG ’s,

constitui requisito fundamental que o período da estrutura em causa e o comprimento de onda

partilhem a mesma ordem de grandeza. Isto explica a utilização, à época, dos raios-x nos trabalhos

experimentais, cuja frequência é compatível com a separação média dos elementos fundamentais.

No espectro do visível, de comprimento de onda marcadamente superior, os átomos e moléculas que

constituem as redes cristalinas habitualmente encontradas na natureza não cumprem esta condição,

pelo que a obtenção de um efeito similar impõe a criação de estruturas artificiais, os cristais fotónicos.

Todos os estudos relativos à organização das redes periódicas e à difracção de raios-x foram

efectuados no âmbito da física do estado sólido, que consiste no ramo da física responsável pela

caracterização fenomenológica da matéria rígida e sólidos [11], nomeadamente os cristais.

Paralelamente aos avanços científicos granjeados nas áreas mencionadas, o desenvolvimento da

área da electrónica conhecia avanços significativos, impulsionado pelo sucesso dos materiais

semicondutores. A sua principal vantagem face aos clássicos condutores e isolantes reside na sua

condutividade dinâmica e exteriormente controlável, o que os converte em elementos fulcrais na

construção dos componentes e circuitos electrónicos modernos. De uma forma geral, o factor que

define e classifica um material face à sua condutividade diz respeito ao hiato, ou gap, que se traduz

na energia necessária para efectuar a promoção de um electrão da banda de valência para a banda

de condução. Assim, um metal ostenta um gap particularmente reduzido, ou mesmo uma

sobreposição de bandas, ao passo que um isolante se caracteriza por um hiato elevado de energia.

Nos semicondutores, esta banda proibida pode ser controlada exteriormente, e através da associação

de materiais diversos é possível restringir os electrões a patamares de energia bem definidos, no que

resultam propriedades e fenómenos eléctricos distintos dos que caracterizam os materiais que os

constituem separadamente e que se revestem de fundamental relevância no projecto e

implementação de todo o tipo de circuitos.

No âmbito da presente dissertação, pretende-se explorar a inequívoca paridade comportamental

entre a radiação electromagnética em estruturas dieléctricas periódicas artificiais, a que se

convencionou apelidar de cristais fotónicos, e a caracterização das interacções de partículas

clássicas, como os electrões, no seio de cristais reais. Para tal, torna-se evidente a necessidade de

recorrer às ferramentas introduzidas pela teoria quântica, nomeadamente no que diz respeito à

mecânica ondulatória. Assim, o dualismo onda-corpúsculo, que transporta na sua definição o

Introdução

7

pressuposto de que todas as partículas apresentam de forma simultânea características materiais e

ondulatórias surge como ponto de conexão entre dois universos aparentemente díspares.

A descoberta de que a radiação electromagnética apresenta, de forma paralela, indissociável e

simultânea, natureza corpuscular e ondulatória, constitui uma das mais notáveis revoluções

proporcionadas ao mundo da física pela comunidade científica do passado século. No seguimento

dos estudos da radiação do corpo negro de Max Planck [12], considerado o pai da teoria quântica, da

teoria do efeito fotoeléctrico de Albert Einstein em 1905, apelidado de Annus Mirabilis pela

extraordinária relevância dos artigos por si publicados nesse período, e do efeito Compton [13], surgiu

a inegável evidência de que a energia se transmite, transporta e comuta sempre na forma de um

múltiplo da sua quantidade fundamental indivisível, ou quantum, vulgarmente denominado de fotão,

calculada através da relação fundamental . Partindo desta premissa, segue de imediato que

uma partícula de energia apresenta uma frequência angular , numa aparentemente paradoxal

mistura de características corpusculares e ondulatórias, através de uma relação de proporcionalidade

regida pela constante de Planck, determinada experimentalmente.

No contexto destas descobertas, surge uma evidente necessidade de reformulação da mecânica

newtoniana ou clássica, orientada segundo princípios meramente corpusculares, e até mesmo das

relações electromagnéticas propostas por J. Maxwell, construídas com base numa concepção

contínua da energia e numa assumpção puramente ondulatória da radiação. Perante paradigmas

totalmente novos no que diz respeito aos princípios orientadores da física, a teoria da relatividade

restrita de Einstein, que constitui um caso particular da relatividade geral em que os efeitos

gravitacionais são negligenciados, surge como ferramenta essencial no desenvolvimento do dualismo

onda-corpúsculo, em associação com a transformação de Lorentz e o espaço-tempo de Minkowski.

Em 1913, N. Bohr limitava a circulação dos electrões em torno do núcleo a órbitas de energias

discretas e bem definidas [15], proporcionais à constante de Planck, sem no entanto compreender as

propriedades ondulatórias destas partículas. De facto, verificar-se-ia posteriormente que os electrões,

como qualquer outra partícula de matéria, contêm uma função de onda associada, correspondendo

cada órbita a um número inteiro de comprimentos de onda.

É a partir desta conjugação de contribuições científicas de origem diversa que, na sua tese, Louis de

Broglie atinge o postulado fundamental da mecânica ondulatória e, mais especificamente, do

dualismo onda-corpúsculo, ou seja, a evidência de que a radiação electromagnética apresenta a

aparentemente contraditória mistura de propriedades associadas às ondas e à matéria, generalizando

estes pressupostos a todas as partículas, ou seja, considera que os fotões constituem um caso

particular do dualismo onda-corpúsculo. Infere ainda que toda a matéria deve ser simultaneamente

caracterizada por uma frequência, característica ondulatória, e por um momento linear, característica

corpuscular. Esta noção é pouca intuitiva ao nível macroscópico, uma vez que o valor residual da

constante de Planck torna particularmente perceptível a separação entre os conceitos ondulatório e

corpuscular. Com efeito, os objectos discerníveis a olho nu têm associado um comprimento de onda

de tal forma reduzido que se torna indetectável para qualquer dispositivo de medição actualmente

existente. Pelo contrário, no caso de partículas de reduzidas dimensões como os electrões, os

Introdução

8

fenómenos de natureza ondulatória são experimentalmente observáveis. Ainda que atractivo, o

dualismo onda-corpúsculo peca por escasso do ponto de vista axiomático, uma vez que se revela

pouco intuitivo o pressuposto de que a matéria possui características ondulatórias. Neste aspecto,

revelaram-se decisivas as contribuições dos físicos K. Heisenberg, com o princípio da incerteza, e E.

Schrödinger [16], com a equação homónima. É nesta altura arrolada a concepção de que não é

possível conhecer com exactidão e em simultâneo a posição e o momento linear das partículas, o

que implica um abandono do conceito clássico de trajectória, verificando-se ainda que todas estas

são caracterizadas por uma função de onda, na forma de um feixe de ondas planas elementares, que

é uma função do tempo e das suas posições. Neste contexto, o referido feixe, associado à matéria,

surge desprovido de qualquer interpretação física, adoptando-se uma revolucionária perspectiva

estocástica. Com efeito, atribui-se ao quadrado do módulo da função de onda o significado de uma

distribuição de probabilidade de localização da partícula em causa. No caso particular da radiação

electromagnética, cuja modelação e controlo é estudada ao nível dos cristais fotónicos, a mencionada

função de onda aflui na famosa equação de d’ Alembert [17], que se deriva igualmente das equações

de Maxwell. De uma forma geral, para qualquer partícula que não o fotão, a equação de Schrödinger

permite descrever a dinâmica do sistema quântico.

Assim, ao passo que na mecânica clássica o estado de uma partícula fica inteiramente definido

através da especificação da sua posição e velocidade, no contexto da teoria quântica, este é

caracterizado pela função de onda. Em qualquer dos casos, o fulcro da questão reside na descrição

do comportamento do estado do sistema ao longo do tempo. Assim, se na conjuntura clássica essa

função é desempenhada pela segunda lei de Newton, ou princípio fundamental da mecânica, na

física quântica é a equação de Schrödinger que assume esse papel. Conhecida a função de onda

num instante determinado, esta permite aferir a sua evolução em qualquer instante arbitrário.

Escalpelizadas todas as questões em torno das trajectórias e localização das partículas, urge retomar

a questão dos electrões livres nos semicondutores. Uma das formas mais comuns de caracterização

da estrutura de bandas de materiais cristalinos deste tipo é o modelo do electrão livre. No entanto,

trata-se de uma aproximação grosseira que não considera a interacção entre os electrões de

condução e os iões que compõem a estrutura. Assim, recorre-se habitualmente ao modelo de Kronig-

Penney [18], que simula este efeito através de um potencial periódico em forma de pente de Dirac,

que constitui um conjunto infinito de barreiras equidistantes, que limitam a circulação dos electrões.

Cumprida a condição de periodicidade, é possível recorrer ao teorema de Bloch, derivado pelo físico

suíço em 1928, mas cuja base e sustentação matemática já haviam sido formuladas de forma

independente por, entre outros, G. W. Hill em 1877, G. Floquet em 1883 e A. Lyapunov em 1892 [19].

Segundo o referido teorema, a função de onda de uma partícula submetida a um potencial periódico,

denominada de onda de Bloch, pode ser escrita na forma de um produto entre uma onda plana

envolvente e uma função periódica de período equivalente ao da rede cristalina, conforme se ilustra

na Figura 1.6. Inserido o potencial previsto pelo modelo de Kronig-Penney na equação de

Schrödinger e impondo condições de continuidade na fronteira, resulta um problema de valores

próprios, dados pelos possíveis estados de energia dos electrões, e que são periódicos de período

equivalente ao da onda plana envolvente. Assim, pode limitar-se a análise à chamada zona de

Introdução

9

Brillouin, na Figura 1.7, que corresponde a um período, obtendo-se todos os restantes por translação.

Em cada uma destas zonas existe um número infinito de modos de energia que, usualmente, não se

sobrepõem, o que está na origem do surgimento de hiatos. Estes correspondem a estados

energéticos que não são passíveis de ser ocupados pelos electrões do cristal e denominam-se

vulgarmente de bandas proibidas. Em conexão com esta definição, os referidos modos de energia da

zona de Brillouin são também denominados de bandas permitidas.

Figura 1.6 – Fragmentação da função de onda pelo teorema de Bloch [20].

Figura 1.7 – Zona de Brillouin e bandas permitidas e proibidas de energia [21].

Muito embora se tenha assistido a muitos estudos posteriores nesta área, só cerca de um século

após a publicação do trabalho de Lord Rayleigh foi retomado o estudo das estruturas periódicas

unidimensionais de células com parâmetros electromagnéticos distintos por camadas, através do

artigo [22] e livro [23] de P. Yeh e A. Yariv, que sustentam toda a fundamentação teórica deduzida ao

longo do terceiro capítulo da presente dissertação. Nesse âmbito, é analisada a estrutura das bandas,

bem como os fenómenos refractivos associados a este tipo de estruturas, através da sua

caracterização matricial. Estes desenvolvimentos matemáticos tiveram por base o recente

desenvolvimento, à época, dos campos da tecnologia de feixes moleculares [24] e cristalografia, o

que permitia finalmente a criação de estruturas periódicas de camadas de espessura suficientemente

reduzida, de tal forma que se tornasse viável o controlo e modelação do comportamento da radiação

electromagnética na gama das microondas.

,

,

Introdução

10

Em 1987, os trabalhos de S. John [25], mas sobretudo de E. Yablonovitch [26], marcam um ponto de

viragem no estudo destas estruturas periódicas. Bebendo de forma orquestrada os ensinamentos

clássicos da área da cristalografia e difracção de raios-x, de que se destaca a condição de Bragg,

bem como a teoria das bandas e a formulação matemática de Bloch, que constituem bases sólidas do

estudo dos cristais electrónicos, Yablonovitch lança a hipótese de um semicondutor da luz, i.e., um

dispositivo óptico que, em última análise, permitisse modelar e controlar os fenómenos relacionados

com o comportamento da radiação electromagnética. Inovadoramente, apelida-o de cristal fotónico

em 1989 [27], nome que vingou no panorama científico. No seio de um vasto conjunto de analogias

entre fenómenos de natureza óptica e electrónica, atribuiu particular relevância à questão da teoria

das bandas, transladando para o âmbito fotónico conceitos como as redes recíprocas, as zonas de

Brillouin, as relações de dispersão ou as funções de onda de Bloch. Assim, como se ilustra na Figura

1.8, o cristal fotónico pode ser encarado como uma extensão do material semicondutor, em que o

potencial periódico é definido pela expansão em série de Fourier das características

electromagnéticas das camadas que o compõem e o problema de valores próprios, dados pela

frequência e não pela energia, é resolvido utilizando a função de onda concernente aos fotões, i.e., as

equações de Maxwell, por oposição à equação de Schrödinger, associada ao modelo electrónico.

Figura 1.8 – Cristal electrónico e cristal fotónico [30].

De uma forma generalizada, no artigo de 1993 [28], Yablonovitch dissecou esta analogia, estendendo

a sua validade a cristais fotónicos 2D e 3D, dimensões para as quais afirmara, dois anos antes, ter

finalmente almejado uma banda proibida na gama das microondas [29]. Admitiu que os dois

universos em análise partilham características similares, sendo que em ambos os casos uma rede

cristalina espacialmente periódica provoca a manifestação de bandas proibidas ao nível da relação de

dispersão, respectivamente para funções de onda de fotões e de electrões. No entanto, ao passo que

as bandas proibidas electrónicas são geradas por um potencial eléctrico periódico que decorre da

disposição dos átomos e moléculas do material semicondutor, as bandas proibidas fotónicas são o

resultado de uma distribuição periódica de um potencial dieléctrico. A analogia proposta era

extraordinariamente apelativa do ponto de vista científico, considerando a preponderância que a

teoria das bandas em cristais clássicos havia revelado no contexto dos semicondutores. No entanto,

o desenvolvimento dos cristais fotónicos tem-se revelado relativamente tardio e moroso, não só por

não serem comuns na natureza casos de estruturas deste tipo, ao contrário do que ocorre

relativamente às redes cristalinas clássicas, como pela dificuldade inerente à sua concepção artificial,

por força da necessidade de compatibilização das dimensões dos materiais elementares com o

comprimento de onda da radiação electromagnética. Além disso, é inegável a diferenciação

Introdução

11

comportamental entre fotões e electrões, enquanto partículas. De facto, a simples transposição dos

modelos conotados com os materiais semicondutores para o caso fotónico pode redundar em

equívocos e incorrecções, sendo necessário encarar o seu estudo como uma área científica de

pesquisa independente e em fase embrionária de desenvolvimento. Ainda assim, é expectável uma

rápida incorporação desta tecnologia ao nível dos dispositivos ópticos.

Como publicações relevantes actuais na área dos cristais fotónicos, destacam-se as de J.

Joannopoulos [21], S. John [31][32], J. Pendry [33]-[35], K. Sakoda [36] e C. Soukoulis [37]-[39].

1.2 Motivações e Objectivos

A propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos constitui um ramo científico em

franco desenvolvimento, sendo cada vez mais recorrente o desenho, implementação e produção de

componentes ópticos baseados nestes, com múltiplas camadas, definidas por espessuras e

características electromagnéticas diversas, dispostas de forma a suprimir, incrementar ou mutar os

efeitos refractivos ou alterar as suas propriedades de dispersão ou de polarização, o que constitui um

forte pilar de motivação e factor de indução à proliferação da investigação nesta área.

Com a recente obtenção de estruturas artificiais caracterizadas por um índice de refracção negativo,

o que acarreta o desenvolvimento de toda uma nova área de análise científica em franco

desenvolvimento, baseada no conceito recente de metamaterial ou, mais concretamente, de meio

DNG, surge o aliciante desafio de testar e analisar a influência que a sua inclusão em cristais

periódicos pode imprimir às propriedades que estes ostentam.

Assim, os objectivos pretendidos ao nível da presente dissertação passam pela particularização da

análise e caracterização fenomenológica da propagação de radiação electromagnética em cristais

fotónicos unidimensionais de camadas alternadas de materiais de índice de refracção distinto, para o

caso em que se admite a utilização de meios DNG. A introdução de especificidades ímpares,

relacionadas com o efeito de focalização e confinamento da energia e a reversão do sentido do vector

de onda, confere a estes meios a capacidade de exploração de propriedades não encontradas nos

cristais fotónicos comuns.

Os metamateriais podem ser definidos [40], de uma forma simples, por uma estrutura artificial de

materiais combinados de forma a obter propriedades vantajosas e raras. Recorrendo a uma analogia,

é possível considerar que são compostos pelos seus elementos da mesma forma que a matéria é

constituída pelos átomos, pelo que representam o próximo patamar de organização estrutural. Com

efeito, ao prefixo ‘meta’ atribui-se a conotação de ‘depois’, ‘para além de’ ou mesmo ‘de tipo superior’.

Historicamente, a primeira estrutura classificável segundo esta definição data de 1898, quando C.

Bose cria artificialmente um meio que, segundo os padrões de hoje, seria considerado quiral. Alguns

anos mais tarde, Lindman trabalha numa estrutura de hélices dispostas aleatoriamente sobre um

meio base [41], obtendo igualmente um material quiral e, em 1948, Kock demonstra a possibilidade

Introdução

12

de modelação do índice de refracção efectivo de um meio artificial [42], através da disposição

periódica de materiais diversos. Desde então, o estudo de meios artificiais complexos tem conhecido

um crescimento assinalável, fundamentalmente impulsionado por dois motivos. Por um lado, a

questão da escala [43], i.e., os meios disponíveis na natureza não permitem a replicação de

determinados fenómenos para alguns comprimentos de onda. Por outro lado, nem todas as

propriedades que se pretende obter ao nível dos dispositivos fotónicos são praticáveis com recurso a

estruturas moleculares simples, o que torna fundamental a concepção destas estruturas artificiais.

De entre as classes de metamateriais mais estudadas e analisadas actualmente, destacam-se os

meios dieléctricos e magnéticos artificiais, os materiais quirais, anisotrópicos e bianisotrópicos e

principalmente, os meios duplamente negativos, ou DNG, ou de Veselago [44]. Esta designação

deriva do facto de terem sido sugeridos pela primeira vez pelo físico russo em 1968, que estudou a

propagação de radiação electromagnética em meios caracterizados por permitividade eléctrica e

permeabilidade magnética ambas negativas [45]. Concluiu que a direcção do vector de Poynting de

uma onda plana monocromática propagando-se ao longo destes meios era oposta à da velocidade de

fase e vector de onda, o que sugere a noção de BW, do inglês Backward Wave, e o conceito

associado de índice de refracção negativo. Apelidou ainda estes materiais de LHM, do inglês Left

Handed Media pois, contrariamente aos meios duplamente positivos comuns, ou DPS, em que o

triedro composto pelos campos eléctrico e magnético e pelo vector de onda é direito, num meio DNG

a potência electromagnética flui no sentido diametralmente oposto ao da fase da radiação e o triedro

é esquerdo.

No entanto, este trabalho e os conceitos que lhe estavam inerentes não cativaram a atenção da

comunidade científica até recentemente, quando finalmente Smith et al. [46], inspirados pelas

investigações de Pendry [47][48], conseguiram efectivar a construção artificial de um meio com

comportamento DNG na gama das microondas, através da disposição periódica de pequenos

condutores metálicos e ressoadores [49][50], como se ilustra na Figura 1.9.

Figura 1.9 – Pormenor de metamaterial DNG [51].

Assim, os últimos anos têm sido pródigos na investigação, estudo, análise e concepção de estruturas

deste tipo, o que se traduz num factor de motivação adicional à realização da presente dissertação.

Com efeito, trata-se de um campo de inegável potencial de desenvolvimento e aplicabilidade na área

da fotónica, na contínua demanda pela total integração de componentes cada vez mais flexíveis no

Introdução

13

contexto de um circuito óptico, usufruindo das sinergias decorrentes da aplicação das novas

fenomenologias associadas aos meios DNG a estruturas solidamente modeladas e conhecidas, como

os cristais fotónicos. Por outro lado, revela-se um terreno particularmente favorável para a

originalidade e inovação científica, na medida em que constitui uma área de pesquisa recente e

ainda, em certas vertentes, inexplorada.

Conhecem-se actualmente diversos grupos de investigação que devotam os seus esforços à

obtenção de desenvolvimentos e resultados científicos no contexto desta nova classe de materiais,

destacando-se designadamente os trabalhos de Smith [50]-[53] e Pendry [54]-[56], com vários

estudos conjuntos, sendo que este último enfoca especialmente a questão da construção de lentes

perfeitas com recurso a metamateriais DNG. De realçar ainda as publicações de Soukoulis

[57][58][59] e de outros autores [60]-[66], especificamente relativos à inserção de meios DNG em

estruturas periódicas unidimensionais por camadas.

1.3 Contribuições Originais

O estudo introduzido por Veselago [45] em 1968, versando acerca da caracterização da propagação

de radiação em meios descritos por permitividade eléctrica e permeabilidade magnética

simultaneamente negativas, não despertou o interesse da comunidade científica da época, sobretudo

por não se verificar a existência dessa condição nos materiais presentes na natureza, o que tornava

improfícuas as fenomenologias por si descritas.

Assim, torna-se pertinente analisar o significado físico da existência de parâmetros de sinal negativo

e de que forma ocorrem num determinado meio. Os modelos dispersivos mais comuns, como o de

Drude ou o de Lorentz, que descrevem o andamento e dependência das características

electromagnéticas do material com a frequência de trabalho, conceptualmente substituem os átomos

e moléculas que o constituem por um conjunto de osciladores com ressonância numa frequência bem

definida. Para frequências muito inferiores a esse valor, um campo eléctrico aplicado afasta os

electrões do núcleo, induzindo uma polarização codireccional. Por outro lado, para valores da

frequência próximos da ressonância, a polarização induzida torna-se significativa, o que é típico

destes fenómenos. Verifica-se que a magnitude desta, que se encontra indexada à energia

acumulada no meio ao longo de diversos ciclos, é consideravelmente elevada e à medida que a

frequência atravessa a zona de ressonância, a resposta deste, em fase com o campo aplicado,

comuta, passando a apresentar fase simétrica, ou seja, o meio exibe resposta negativa [51].

Embora em número reduzido, não são incomuns os exemplos de materiais na natureza com uma das

características electromagnéticas negativa. No entanto apenas exibem esta propriedade numa gama

reduzida de frequências, contígua à ressonância. Uma vez que, tipicamente, as ressonâncias

associadas à permitividade e à permeabilidade ocorrem, respectivamente, em frequências elevadas e

baixas, não se verifica a existência de meios DNG naturais. Em suma, os fenómenos

Introdução

14

electromagnéticos que dão origem às ressonâncias nos materiais ocorrem na prática em intervalos

separados do espectro, ainda que nenhuma lei da física impeça a sua sobreposição, o que sugere a

concepção de meios DNG de forma artificial [46].

Do exposto, ressaltam duas importantes consequências. Por um lado, as regiões do espectro que se

coadunam com parâmetros negativos do meio constituem pequenos intervalos junto às respectivas

ressonâncias e a gama de frequências que torna o material duplamente negativo corresponde à sua

sobreposição, o que indicia que, em geral, os meios são DNG apenas em faixas muito estreitas [67].

Por outro lado, o facto de se tratar de zonas adjacentes às ressonâncias implica que estes meios se

considerem abundantemente dispersivos, i.e., com uma elevada taxa de variação dos seus

parâmetros electromagnéticos com a frequência.

Esta consideração está na origem das contribuições originais associadas à presente dissertação.

Com efeito, não é realista admitir que as características electromagnéticas dos meios DNG são não

dispersivas, pelo que é imperativa a consideração de modelos apropriados. Adicionalmente, e em

consequência directa do princípio da causalidade, qualquer modelo deve ter em conta a existência de

perdas, ou seja, a dispersão e as perdas constituem duas realidades indissociáveis. Esta presunção é

suportada pelas relações de Kramers-Kronig [68], que evidenciam a correspondência entre as

componentes real e imaginária da função de transferência de um sistema linear e invariante no tempo

causal, de tal forma que, conhecida uma delas em todo o espectro, a outra fica imediatamente

determinada.

Assim, na senda de [69], procura-se emprestar algum realismo ao estudo de cristais fotónicos

unidimensionais por camadas contendo materiais DPS e DNG, de que se destaca os artigos recentes

[60]-[66], abandonando a aproximação grosseira segundo a qual não só as características

electromagnéticas destes permanecem invariantes ao longo do espectro como também não se

verifica a absorção de energia pela estrutura. Com o objectivo de satisfação do referido intento, são

adoptados modelos de diversa ordem, que procuram descrever a realidade de forma rigorosa.

1.4 Estrutura e Organização

A presente dissertação versa acerca do estudo teórico, análise fenomenológica experimental e

simulação numérica das propriedades de cristais fotónicos unidimensionais de camadas alternadas

DPS e DNG. Nesse sentido, o presente capítulo, referente à introdução, fornece uma perspectiva

contextual de desenvolvimento em torno das estruturas periódicas e metamateriais, através de uma

resenha histórica cientificamente fundamentada, bem como uma clarificação das contribuições

originais, os factores motivacionais que presidiram à realização deste trabalho e um guia detalhado

da estrutura organizacional dos temas abordados.

O capítulo 2 focaliza o seu espaço de análise nos pressupostos previstos pela teoria quântica,

nomeadamente no que concerne à mecânica ondulatória e, mais concretamente, ao dualismo onda-

Introdução

15

corpúsculo, como forma de dissecação de todos os fenómenos envolvidos na área das redes

cristalinas electrónicas clássicas, como os semicondutores. Com efeito, a aparentemente paradoxal

indexação de características corpusculares e ondulatórias em simultâneo a todas as partículas, com

posterior aplicação à radiação electromagnética por via dos fotões, surge como profícua ferramenta

no estabelecimento de analogias entre os campos electrónico e fotónico, permitindo ainda lançar as

bases do conhecimento relativas às estruturas periódicas em geral, como a teoria das bandas, o

teorema de Bloch ou as zonas de Brillouin. Assim, numa primeira análise, são expostas histórica e

cientificamente as diversas contribuições que permitiram o desenvolvimento de uma autêntica

revolução ao nível dos conceitos clássicos da física, como a relatividade, a transformação de Lorentz

e o espaço-tempo de Minkowski, que facultam a obtenção de uma caracterização relativista da

energia. Em seguida, é analisada a dupla natureza da radiação electromagnética, que se evidencia

por apresentar a aparentemente contraditória mistura de propriedades associadas às ondas e à

matéria, regendo-se simultaneamente pelo par frequência angular e constante de propagação e pelo

par energia e momento linear, como qualquer partícula. Particulariza-se também a noção de fotão

enquanto elemento fundamental de energia, ou quantum. Trata-se do postulado fundamental do

dualismo onda-corpúsculo, no seguimento dos estudos de de Broglie. Na secção seguinte, introduz-

se brevemente o princípio da incerteza de Heisenberg e deduz-se equação de Schrödinger como

forma de imprimir uma interpretação estocástica aos resultados obtidos no seio da teoria quântica.

Nesse sentido, a função de onda associada a cada partícula material é tratada enquanto densidade

de probabilidade de localização da matéria que lhe esta associada, o que a torna desprovida de

qualquer outro significado físico. Posteriormente, pretende-se estudar a interacção de electrões livres,

ou de condução, com uma estrutura cristalina molecular simples, de forma a obter uma aproximação

realista dos fenómenos presentes em redes semicondutoras. Para tal, recorre-se ao modelo de

Kronig-Penney que, de uma forma simplificada, substitui as forças de interacção electromagnética a

um nível subatómico por degraus de potencial periodicamente espaçados, que se opõem à livre

circulação dos electrões. Com o referido modelo potencial, a equação de Schrödinger unidimensional

independente do tempo, que caracteriza o estado quântico do sistema, e recorrendo ao teorema de

Bloch para estruturas periódicas, resulta um problema de valores próprios, cuja solução consiste na

equação fundamental das bandas de energia. Esta consiste numa relação de dispersão do momento

linear em função da energia associada às partículas, que permite a conceptualização da noção de

banda permitida e proibida, relativa a intervalos de energia, ou modos, que se encontram ou não

acessíveis às partículas.

No contexto do capítulo 3 é pormenorizadamente descrita, deduzida e analisada toda a base teórica

relativa aos cristais fotónicos unidimensionais, particularmente no caso em que são compostos por

camadas alternadas de materiais de índices de refracção distintos. É fornecida uma visão abrangente

do comportamento da propagação de radiação electromagnética ao longo de estruturas deste tipo,

nomeadamente no que diz respeito aos diagramas de dispersão e propriedades refractivas, em

constante analogia com as características ostentadas pelas redes cristalinas electrónicas clássicas

examinadas no capítulo precedente. Nesse âmbito, começa por ser explicitada a condição de Bragg,

que impõe o valor do ângulo de incidência da radiação sobre o cristal de tal forma que as diferenças

Introdução

16

de percurso entre reflexões em camadas sucessivas sejam múltiplas do comprimento de onda e, por

conseguinte, se tenha uma interferência construtiva e reflexão total. Nesse caso, verificam-se as

propaladas bandas proibidas de frequência, que correspondem a valores da constante de

propagação complexos e correspondente evanescência da radiação ao longo da estrutura. Em

seguida, tal como no caso electrónico, são utilizados os postulados de Bloch para modelar o

comportamento periódico do cristal fotónico, sendo que desta feita são as equações de Maxwell que

descrevem o estado do sistema e não a equação de Schrödinger. É analisada a composição típica

das bandas de frequência na zona de Brillouin irredutível e, em especial, procede-se à aproximação

do andamento da componente imaginária da constante de propagação de Bloch na região espectral

de evanescência por uma elipse. A estrutura periódica é ainda estudada e caracterizada sob o ponto

de vista matricial, através da aplicação de condições fronteira nas interfaces correspondentes às

camadas, de tal forma que possibilite a obtenção de rácios entre as intensidades dos campos à

entrada e à saída do cristal. Dessa forma, viabiliza-se a obtenção de expressões vocacionadas para o

cálculo de grandezas como a transmissividade e a reflectividade. Como exemplo de casos

particulares no contexto dos cristais fotónicos, introduz-se a estrutura de quarto de onda, que se

reveste de considerável relevância pela simetria e regularidade do seu diagrama de dispersão e

organização espectral das bandas, inerente ao facto de apresentar espessuras das camadas que a

constituem proporcionais aos índices de refracção respectivos. De realçar que todos os estudos em

torno do comportamento e caracterização fenomenológica dos cristais fotónicos unidimensionais são

efectuados tomando como variáveis de manipulação factível tanto a frequência trabalho quanto a

direcção de incidência da radiação electromagnética sobre a estrutura.

Seguidamente, no capítulo 4, que constitui uma particularização da análise e caracterização da

propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos de camadas alternadas de materiais

de índice de refracção diverso, no caso de se considerar a inclusão de meios DNG, ressaltam as

contribuições originais da presente dissertação, não só pela forma inovadora e detalhada como são

tratadas as estruturas DPS-DNG, como também pelo acréscimo de realismo às publicações

conhecidas nesta área, por via da consideração de modelos dispersivos causais. Numa primeira

análise, são enunciados os pressupostos que estão na base das noções e definições associadas aos

metamateriais e suas classes mais comuns, com natural enfoque para os meios duplamente

negativos, delimitando-se também as diversas nomenclaturas conhecidas actualmente em função dos

sinais das componentes reais dos parâmetros electromagnéticos. Em seguida, é providenciada uma

análise do comportamento da permitividade e da permeabilidade no plano complexo, com o intuito de

justificar fisicamente a origem do sinal negativo ostentado pelo índice de refracção dos meios DNG.

Segue-se uma aplicação destes conceitos à teoria dos cristais fotónicos, tratada no capítulo

precedente. Assim, é descrita uma estrutura periódica de camadas alternadamente constituídas por

materiais DPS e DNG, do ponto de vista matricial, da relação de dispersão e das propriedades

refractivas. Mais uma vez, particulariza-se o caso da estrutura de quarto de onda, cujas bandas

proibidas igualmente espaçadas e de dimensões uniformes ocupam a totalidade do espectro, com

excepção de um conjunto discreto de pontos, que coincidem com uma parte real da constante de

propagação não nula. O resultado traduz-se na obtenção de picos de transmissividade estreitos e

Introdução

17

acentuados para esses valores da frequência angular de trabalho, que estão na origem da escolha

desta estrutura no remanescente do capítulo. O corolário do trabalho de investigação associado à

presente dissertação surge na secção seguinte, com a introdução de modelos dispersivos para a

camada DNG dos cristais fotónicos em análise. Assim, numa primeira fase, explicita-se a

necessidade de se considerar a dependência do índice de refracção com a frequência por força da

obtenção de valores negativos para as densidades médias das energias eléctrica e magnética. É

tratada ainda a indissociabilidade entre o fenómeno dispersivo e a presença de perdas no material,

através das relações de Kramers-Kronig. O primeiro modelo analisado é o de Lorentz, por se tratar do

mais completo e ajustado à realidade. É com base neste que se verifica através de cálculo numérico

que a região do espectro na qual o meio é duplamente negativo constitui um subconjunto da região

na qual apresenta um índice de refracção negativo, pelo que não se verifica necessariamente uma

sobreposição entre meio DNG e meio NIR, do inglês Negative Index of Refraction. Na secção

seguinte, são descritos modelos adicionais, como o modelo de Drude, que consiste numa

particularização do modelo de Lorentz em que se considera que tanto a permitividade quanto a

permeabilidade apresentam uma frequência de ressonância nula, um modelo genérico muito utilizado

nesta área e a que se convencionou denominar de modelo dispersivo não causal e, por fim, um

modelo linear simples baseado numa variação rectilínea dos valores dos parâmetros

electromagnéticos. Os referidos modelos são então aplicados de forma parcelar, do mais simples ao

mais complexo, às camadas duplamente negativas de cristais fotónicos DPS-DNG de quarto de onda,

de forma a permitir uma avaliação da contribuição dos fenómenos da dispersão e das perdas de

forma individualizada. Na última secção são apresentados os diagramas de dispersão de uma

estrutura típica em função da frequência angular de trabalho e do ângulo de incidência da radiação

sobre esta. São também efectuados comentários de índole geral relativos aos resultados obtidos,

numa perspectiva evolutiva e de fecho da dissertação.

Finalmente, no capítulo 5, que constitui a conclusão, é efectuada uma sinopse de todas as

observações e constatações relevantes produzidas ao longo do trabalho, bem como uma análise

crítica dos resultados obtidos face ao que se considerava expectável, terminando com uma

conjectura de possíveis percursos futuros de investigação científica nesta área.

Introdução

18

Capítulo 2

As Bandas de

Energia nos Cristais

Este capítulo fornece uma análise dos pressupostos e considerações que estão na base da mecânica

ondulatória, especificamente no que concerne ao dualismo onda-corpúsculo. Esta noção

aparentemente paradoxal surge, neste contexto, como profícua ferramenta no estabelecimento de

uma relação de analogia entre a teoria das bandas de energia, amplamente escalpelizada no âmbito

das redes cristalinas, e a propagação de radiação electromagnética em estruturas periódicas,

questão abordada no subsequente capítulo.

20

As Bandas de Energia nos Cristais

“The analogy between electromagnetic wave

propagation in multidimensionally periodic

structures and electron wave propagation in real

crystals has proven to be a fruitful one.”

E. Yablonovitch [28]

2.1. Os Cristais como Arquétipo das Estruturas Periódicas

No que se segue, pretende-se explorar a inequívoca paridade comportamental entre a radiação

electromagnética em estruturas dieléctricas periódicas artificiais, a que se convencionou apelidar de

cristais fotónicos, e a caracterização das interacções de partículas subatómicas clássicas, como os

electrões, no seio de cristais reais.

Para tal, torna-se evidente a necessidade de recorrer a toda uma panóplia de desígnios propostos no

âmbito das novas teorias quânticas e, nomeadamente, na mecânica ondulatória. Assim, o dualismo

onda-corpúsculo, que transporta na sua definição o pressuposto de que todas as partículas

apresentam de forma simultânea e perene características materiais e ondulatórias, surge como ponto

de conexão entre estes dois universos aparentemente díspares.

Deste modo, ao atribuir a todas as partículas especificidades próprias das ondas, através de noções

de incerteza e de interpretações estocásticas, como a função de onda, é possível transpor conceitos

corpusculares, amplamente estudados, para o domínio fotónico, como as bandas proibidas e

permitidas de energia, as zonas de Brillouin ou os diagramas de dispersão.

Sobressai do que se encontra exposto no presente capítulo que a equação de Schrödinger não

relativista pode modelar o comportamento de partículas como electrões em interacção com redes

cristalinas de potenciais periódicos, na conjectura proposta pelo modelo de Kronig-Penney,

constituindo o dual das equações de Maxwell para a caracterização espacial e temporal da radiação

electromagnética em estruturas de índice de refracção periódico.

2.2. O Dualismo Onda-Corpúsculo

2.2.1 Da Relatividade à Mecânica Ondulatória

A descoberta de que a radiação electromagnética apresenta, de forma paralela, indissociável e

simultânea, natureza corpuscular e ondulatória, constitui uma das mais notáveis revoluções

21


proporcionadas ao mundo da física pela comunidade científica do século XX. No seguimento dos

estudos da radiação do corpo negro de Max Planck, da teoria do efeito fotoeléctrico de Albert Einstein

e do efeito Compton, surgiu a inegável evidência de que a energia se transmite, transporta e comuta

sempre na forma de um múltiplo da sua quantidade fundamental indivisível, ou quantum, vulgarmente

denominado de fotão, calculada através da inovadora e desafiante relação [70], com

/2 , em que é a constante de Planck, e a frequência angular, válida para qualquer partícula.

Partindo desta premissa, segue de imediato que uma partícula de energia apresenta uma

frequência angular , numa aparentemente paradoxal mistura de características corpusculares e

ondulatórias. A constante de proporcionalidade ente estas duas grandezas ficou determinada de

forma experimental.

No contexto destas descobertas, surge uma evidente necessidade de reformulação da mecânica

newtoniana ou clássica, orientada segundo princípios meramente corpusculares, e até mesmo das

relações electromagnéticas propostas por J. Maxwell, construídas com base numa concepção

contínua da energia e numa assumpção puramente ondulatória da radiação. No âmbito de um

panorama totalmente novo no que diz respeito aos princípios orientadores da física, a teoria da

relatividade restrita, de Einstein, que constitui um caso particular da relatividade geral em que os

efeitos gravitacionais são negligenciados, surge como ferramenta essencial no deslindar desta

questão.

2.2.2 A Transformação de Lorentz e o Espaço-Tempo

As entidades aparentemente independentes e absolutas, espaço e tempo, surgem interligadas numa

única variedade composta de quatro dimensões, das quais três são espaciais e uma é temporal,

resultando no chamado espaço-tempo de Minkowski [71], designação que deriva do nome do

matemático alemão. Habitualmente denotado de , , este espaço é um campo vectorial real, com

forma bilinear simétrica, não degenerada, e assinatura , 1 1 3 1 , ou , , , , composto

por elementos, habitualmente apelidados de eventos, da forma

, (2.1)

o que obriga à definição dos versores do espaço-tempo de tal forma que

11 . (2.2)

No que se segue, é necessário ter em conta a transformação de Lorentz [72]. Esta surge como forma

de mutação de coordenadas entre um referencial em repouso e outro que se move face a este com

uma velocidade constante arbitrária. Trata-se de uma adaptação relativista da clássica transformação

de Galileu que tem em conta os postulados de Einstein, nomeadamente a invariância da velocidade

da luz e das leis da física em todos os referenciais inerciais.

De facto, a intuitiva ideia de que as coordenadas espaciais de um determinado evento não são

absolutas, mas sim relativas a um determinado referencial, devem neste contexto ser generalizadas,

22

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23


enviesando-o, deixando porém inalterada a superfície cónica. Mais se observa que, voltando à

generalização de um espaço-tempo quadridimensional, o cone de luz é definido pelo rácio entre a

distância e o tempo. Assim, recorrendo a (2.1), tal corresponde a considerar invariante a relação

. (2.3)

Adicionalmente, conforme se demonstra na secção seguinte, o factor de Lorentz [73], que permite

calcular do ponto de vista relativista noções essenciais como a energia ou o momento linear

associados a uma partícula, é dado por

1

1 / , (2.4)

em que representa o módulo da velocidade de um referencial inercial face ao outro. É importante

realçar que sobressai da teoria da relatividade que todas as velocidades relativas são

necessariamente inferiores ao limite universal [74] que se aceita, embora não esteja liminarmente

demonstrado, ser equivalente à velocidade da radiação electromagnética no vácuo, ou seja,

1299 792 458 · . (2.5)

2.2.3 A Caracterização Relativista das Partículas

Seja um vector do espaço-tempo descrito em dois referenciais não acelerados e ,

caracterizados por uma velocidade relativa , tal como definido em (2.1). Com recurso às

correspondentes bases para o espaço linear, , , , e , , , , tem-se, respectivamente,

utilizando os resultados da secção anterior,

. (2.6)

De (2.3), verifica-se que o quadrado do vector é necessariamente invariante no espaço-tempo.

Definindo uma separação clara entre as coordenadas correspondentes ao espaço e a coordenada

temporal, através de

, (2.7)

o evento vem dado por

, (2.8)

pelo que o seu quadrado, recorrendo a (2.2), é caracterizado pela expressão

· | | . (2.9)

Quando se verifica 0, está-se na situação particular de um vector do tipo luz que, na sua

generalidade, configura o conjunto de afixos que constituem a hipersuperfície cónica referida

anteriormente. Mais se infere que os vectores tais que 0, do tipo tempo, que correspondem a

regiões do espaço delimitadas pela hipersuperfície cónica, são passíveis de ser experienciadas por

24


um observador na origem do espaço-tempo, ao passo que os vectores tais que 0, do tipo

espaço, na zona exterior à mencionada superfície, são consistentes com regiões do espaço não

atingíveis, sob pena de se ultrapassar o limite universalmente aceite da velocidade da radiação

electromagnética no vácuo, .

Considere-se agora uma partícula de massa que se encontra estática face ao referencial de inércia

. É possível demonstrar [74] que a sua velocidade própria é dada por

. (2.10)

Desta forma, o momento linear próprio vem, por definição,

, (2.11)

incluindo o momento linear relativo,

. (2.12)

É ainda possível definir a energia própria [74], ou intrínseca, da partícula, através da famosa relação

, (2.13)

sendo a energia total dada por

. (2.14)

As expressões (2.12) e (2.14) configuram as denominadas correcções de Einstein,

. (2.15)

De (2.11) e (2.14), exprime-se o momento linear próprio da partícula em função da sua energia,

. (2.16)

Por analogia com esta expressão, facilmente se constata a necessidade de encontrar um vector do

espaço-tempo, em , que manifeste a influência relativista sobre o vector de onda habitual do

espaço , no que constitui o designado vector de onda próprio,

, (2.17)

e em que é o citado vector de onda no espaço,

1 . (2.18)

2.2.4 A Energia no Contexto da Mecânica Relativista

Em virtude dos resultados da secção anterior e invocando as expressões (2.8), (2.16) e (2.17),

podemos assumir que o vector genérico , o vector momento linear próprio e o vector de onda

próprio constituem eventos do espaço-tempo ,

25


, , . (2.19)

Com efeito, tal como se aferiu, qualquer produto entre estes vectores, que naturalmente inclui o seu

quadrado, constitui um invariante no espaço de Minkowski. A título de exemplo, o quadrado da

velocidade, definida por (2.10), vem dado por

· . (2.20)

O seu valor tem que ser invariante, pelo que no referencial próprio, 1 e | | 0, se tem

. (2.21)

De (2.20) e (2.21), obtém-se o coeficiente de Lorentz, definido em (2.4),

1

1 /. (2.22)

O produto · , por outro lado, é dado por

· · · , (2.23)

ou seja, resulta que a fase de uma onda é invariante no espaço-tempo. Este efeito é de fulcral

relevância no seio de toda a estrutura teórica que sustenta a transformação de Lorentz, uma vez que

prova que determinados fenómenos electromagnéticos, como a interferência entre ondas, ocorrem de

forma idêntica, qualquer que seja o referencial considerado.

Adicionalmente, de (2.19), vem para o quadrado do momento linear próprio , com | | : ,

· . (2.24)

Uma vez que no seu referencial próprio 0 0, o momento linear próprio vem dado por

, (2.25)

a energia intrínseca vem, utilizando (2.24) e (2.25),

. (2.26)

No caso genérico de uma partícula que não se encontra em repouso, utilizando (2.12) e (2.20), o

momento linear próprio é regido pela expressão

, (2.27)

pelo que, de (2.24) e (2.27), resulta

, (2.28)

26


ou seja, a energia total da partícula equivale à energia de repouso, ou intrínseca, à parte uma

constante de proporcionalidade equivalente ao coeficiente de Lorentz. Mais se verifica que, igualando

os invariantes (2.24) e (2.25), e tendo em conta (2.26), se retira

. (2.29)

Desta forma, aventa-se a hipótese de encarar a energia total de uma partícula como a hipotenusa de

um triângulo rectângulo caracterizado por um cateto de comprimento equivalente à energia intrínseca

e outro de comprimento variável com uma quantidade proporcional ao quadrado do módulo do

momento linear próprio, conforme o esquema da Figura 2.2. Sem prejuízo do que foi exposto

anteriormente, a energia total (2.28) pode ser decomposta em dois elementos fundamentais, a

energia própria (2.26) e a energia cinética, o que implica que esta seja definida através da expressão

1 . (2.30)

Figura 2.2 - Constituição parcelar da energia total de uma partícula.

2.2.5 A Dupla Natureza da Radiação Electromagnética

Em virtude dos resultados alcançados, chega-se necessariamente a uma relação de

proporcionalidade entre os vectores momento linear próprio e vector de onda próprio supra

mencionados. De facto, da relação fundamental intuída por Einstein, , e das expressões (2.19)

na forma das suas componentes temporais, extrai-se

. (2.31)

Dadas as propriedades de invariância anteriormente inferidas, incorre de imediato que existe, com

toda a generalidade, uma relação de proporcionalidade directa entre os vectores e do espaço de

Minkowski, regida pela constante , pelo que as componentes espaciais de (2.19),

, (2.32)

também respeitam esta relação, ou seja,

. (2.33)

27


No que se segue, analisa-se o caso particular da quantidade fundamental da radiação

electromagnética, o fotão. De facto, e tomando para o número de onda no vácuo [17],

, (2.34)

é viável considerar invariante e constante o quadrado do vector de onda próprio,

· 0 . (2.35)

Posto isto e recorrendo a (2.11) e (2.31), surge de imediato a prova de que a massa do fotão é nula,

0 0 . (2.36)

Chega-se assim ao postulado fundamental da mecânica ondulatória e, mais especificamente, do

dualismo onda-corpúsculo, ou seja, a evidência de que a radiação electromagnética apresenta a

aparentemente contraditória mistura de propriedades associadas às ondas e à matéria. Esta situação

é ilustrada pelas duas equações fundamentais,

. (2.37)

De facto, é hoje incontestável a presunção de que os fotões apresentam a energia quântica mínima e

todas as características ondulatórias, como os fenómenos de interferência, e paralelamente, embora

com massa nula, apresentam um momento linear, numa clara manifestação material.

Na sua tese, Louis de Broglie generaliza estes pressupostos a toda a matéria, ou seja, considera que

os fotões constituem um caso particular do dualismo onda-corpúsculo [75]. Mais se acrescenta que

qualquer partícula deverá ser caracterizada por uma energia e um momento linear próprios e que a

qualquer elemento de matéria pode ser atribuído um vector de onda próprio. Assim, a natureza

simultaneamente ondulatória e corpuscular constitui um desígnio incontornável do novo universo

regido pela mecânica ondulatória, podendo mesmo admitir-se não ser nula a massa do fotão. Esta

noção não é intuitivamente aceite ao nível do mundo macroscópico, uma vez que o valor residual da

constante de Planck torna particularmente perceptível a separação entre os conceitos ondulatório e

corpuscular.

2.3. A Teoria das Bandas

2.3.1 Uma Interpretação Estocástica

Da totalidade do que foi exposto anteriormente, infere-se que a essência da mecânica ondulatória

assenta no postulado de que a cada partícula se encontra associado um leque de características

ondulatórias. Deste modo, define-se o comprimento de onda de de Broglie a partir de (2.33),

28


22

. (2.38)

Uma vez que este comprimento de onda é proporcional à constante de Planck, o seu valor é residual,

num contexto macroscópico. Assim, o referido comportamento ondulatório apenas tem significado

quando aplicado a nível atómico, de tal forma que se tenha partículas cujas dimensões lineares se

coadunem com ordens de grandeza desta magnitude.

Ainda que a um nível microscópico, o dualismo onda-corpúsculo peca por escasso do ponto de vista

axiomático, uma vez que surge como pouco racional o pressuposto de que a matéria possui

características ondulatórias. Neste aspecto, revelaram-se decisivas as contribuições de diversos

físicos, como K. Heisenberg e E. Schrödinger, envolvidos na consecução da mecânica ondulatória e,

posteriormente, da teoria quântica, amplamente aceite pela comunidade científica. Neste âmbito,

desenvolveu-se a concepção [76] de que não é possível conhecer com exactidão e simultaneidade a

posição e o momento linear de uma partícula. O chamado princípio da incerteza de Heisenberg

implica um abandono do conceito clássico de trajectória. Mais se afere que as partículas são

caracterizadas por uma função de onda, na forma de um feixe de ondas planas elementares, que é

uma função do tempo e das suas posições. Sendo a onda plana [17] caracterizada por

ψ , ψ exp ψ exp · , (2.39)

em que ψ é o módulo e a fase, e uma vez que se pretende obter soluções unidimensionais no

espaço, o feixe vem caracterizado pela expressão

Ψ ,1

√2Φ exp . (2.40)

Trata-se de uma equação construída com base no par de Fourier referente à decomposição do feixe

nas suas componentes relativas ao número de onda longitudinal,

Ψ1

√2Φ exp

Φ1

√2Ψ exp

, (2.41)

no caso em que se considera o feixe estacionário, em 0, i.e.,

Ψ Ψ , 0Φ Φ , 0 . (2.42)

Na conjectura da mecânica ondulatória, o feixe de ondas planas associado a cada partícula surge

desprovido de qualquer interpretação física, adoptando-se uma revolucionária perspectiva

estocástica. De facto, atribui-se ao quadrado do módulo da função de onda o significado de uma

distribuição de probabilidade [74] de localização da partícula correspondente. Nesse sentido, a

probabilidade de esta se encontrar no intervalo , é calculada através de

, |Ψ , | , (2.43)

ao passo que a probabilidade de o seu momento linear estar contido no intervalo , vem

29


, |Φ , | . (2.44)

Torna-se relevante realçar que as distribuições estatísticas associadas à matéria se encontram em

permanente analogia com as características ondulatórias relacionadas com o comportamento da

radiação electromagnética. Assim, a onda plana elementar (2.39), que pode ser escrita na forma

ψ ψ exp · , (2.45)

com recurso aos postulados relativistas dá origem à equação de Klein-Gordon,

ψ1c

ψψ 0 , (2.46)

que, por sua vez, no caso em que se considera que a partícula é um fotão, i.e., a massa é nula,

conduz à sobejamente conhecida equação de d’ Alembert [17], ou equação das ondas,

ψ1c

ψ0 , (2.47)

conforme se encontra demonstrado no Anexo A.1. Esta, como é sabido, advém das equações de

Maxwell e exprime em termos espaciais e temporais a propagação da radiação electromagnética.

Retomando a função de onda supra referida, facilmente se infere a equação de Schrödinger

unidimensional,

Ψ2

ΨΨ , , (2.48)

cuja demonstração se encontra patenteada no Anexo A.2. Esta permite descrever a dinâmica de um

sistema quântico no caso de apenas se verificar a existência de uma dimensão espacial, o que

constitui o caso de interesse no estudo efectuado ao nível das bandas de energia. Na mecânica

clássica, o estado de uma partícula fica inteiramente definido através da especificação da sua

posição e velocidade. Por outro lado, no âmbito da teoria quântica, o referido estado é caracterizado

pela função de onda (2.40). Em qualquer dos casos, o fulcro da questão reside na descrição do

comportamento do estado do sistema ao longo do tempo. Assim, se na conjuntura clássica essa

função é desempenhada pela segunda lei de Newton, ou princípio fundamental da mecânica, no raio

de acção da física quântica é a equação de Schrödinger que assume o papel. Deste modo, conhecida

a função de onda num instante determinado, é viável a aferição da sua evolução temporal e, em

consequência, torna-se possível exprimi-la para qualquer instante arbitrário.

Uma vez que se efectua um estudo das bandas de energia com base na análise simplista e

meramente ilustrativa da propagação de ondas monocromáticas em estruturas periódicas, e dada a

relação fundamental amplamente mencionada, conclui-se que o sistema quântico ostenta um

nível de energia constante e bem definido. Nesse sentido, pode ser descrito por uma função de onda

estacionária [77], ou seja, apoiada numa distribuição de probabilidade que apenas varia

espacialmente, mantendo-se fixa ao longo do tempo. Com efeito, se a onda plana elementar (2.39)

for decomposta nas duas componentes expostas,

30


ψ , ψ ψ ψ , (2.49)

e tendo em conta a expressão da densidade de probabilidade, vem

, |Ψ | |Ψ | , (2.50)

uma vez que 1, ou seja, para a onda estacionária em análise a definição de densidade de

probabilidade não encerra dependência com o tempo. Tal epílogo implica que as regiões de

equiprobabilidade de localização espacial das partículas permanecem imutáveis face à coordenada

temporal, no que configura uma situação de distribuição da matéria estática, habitualmente

classificada de estado estacionário.

Acto contínuo, emerge a necessidade de considerar a equação de Schrödinger independente do

tempo,

20 , (2.51)

que advém de (2.48) por separação de variáveis da função de onda Ψ , ,

Ψ , , (2.52)

conforme demonstrado no Anexo A.3.

Evocando (A.25), esta pode ser escrita na forma

, (2.53)

que configura uma equação de valores próprios do operador hamiltoniano, em que o estado

estacionário representa a função própria.

2.3.2 O Potencial Periódico de Kronig-Penney

Com o desígnio de dar início ao estudo das características das bandas de energia, procede-se no

que se segue à análise do comportamento de uma partícula submetida a um potencial periódico,

conforme o esquema da Figura 2.3, uma vez que apresenta especificidades muito similares às dos

meios periódicos, que são dissecados no próximo capítulo e que servem de base à consecução de

estruturas baseadas em propriedades fotónicas complexas.

Figura 2.3 - Potencial periódico arbitrário.

31


Nesse sentido, são introduzidas ao nível da equação de Schrödinger independente do tempo (2.51)

as mudanças de variável relativas ao potencial e à energia,

2

2

, (2.54)

o que resulta numa equação diferencial de Sturm-Liouville [78],

0 . (2.55)

No caso particular de uma partícula livre, i.e. 0, , de (A.16) e (2.37) vem

2 , (2.56)

em que representa o número de onda da partícula no espaço livre, sendo o seu estado

caracterizado pela expressão

0 . (2.57)

Uma vez que o potencial é periódico de período , ou seja,

, (2.58)

torna-se imperioso recorrer ao teorema de Bloch, ou de Floquet, que postula que as soluções da

equação de Schrödinger independente do tempo verificam a condição

. (2.59)

De facto, considerando o meio ilimitado, a deslocação de um período segundo o eixo espacial não

altera as condições na fronteira, pelo que a hipótese de ser solução acarreta implicitamente que

também o seja. Assim, sendo o número de onda de Bloch, ou seja, a constante de

propagação da partícula submetida ao potencial periódico, resulta

Ψ , (2.60)

de onde se retira, com recuso a (2.59) e (2.60),

Ψ Ψ . (2.61)

No que se segue, faz-se uso do modelo de Kronig-Penney [18]. Este descreve os estados de uma

partícula quântica que se move numa região caracterizada por um potencial definido por uma

sucessão de barreiras rectangulares similares e equidistantes, segundo a disposição patenteada na

Figura 2.4a. Por uma questão de simplicidade e uma vez que tal não introduz alterações de relevo na

análise que se pretende efectuar ao nível das bandas de energia, considera-se que a largura das

barreiras de potencial tende a anular-se e a altura varia de tal forma que a área permaneça

invariante. Resulta então a distribuição delta de Dirac, no âmbito do modelo de Kronig-Penney

simplificado, com / ,

32


, (2.62)

representada na Figura 2.4b. O factor em (2.62) pode ser utilizado para regular a intensidade do

potencial cristalino.

Figura 2.4 - Modelo de Kronig-Penney normal e simplificado.

2.3.3 As Bandas de Energia no Potencial Periódico

Dividindo o espaço em regiões de continuidade da função potencial, de tal forma que

1 1 , (2.63)

e com a constante de propagação em espaço livre dada por (2.56), o teorema de Floquet admite uma

solução representada por uma sobreposição de duas ondas de Bloch, na forma

Ψ , (2.64)

para a região . No contexto deste teorema, apenas se torna necessário encontrar uma solução da

função de onda no intervalo de um período, uma vez que esta pode ser gerada em qualquer outra

região do espaço por aplicação da recursividade. Assim, introduzindo os coeficientes

, (2.65)

resulta, para (2.64),

Ψ . (2.66)

Analogamente, vem para a região uma solução do tipo

Ψ . (2.67)

De forma a relacionar a solução da equação de Schrödinger nas duas regiões contíguas do espaço

referidas, recorre-se a (2.61), verificando-se que configuram estados equivalentes, à parte uma

diferença de fase proporcional ao número de onda de Bloch ,

Ψ Ψ . (2.68)

33


De (2.66) e (2.67), por aplicação de (2.68), vem

. (2.69)

Evidenciando os expoentes,

0 , (2.70)

surgem de imediato as expressões que relacionam os coeficientes concernentes a cada região,

. (2.71)

No que se segue, abordam-se os requisitos a ser cumpridos no âmbito das condições na fronteira.

Assim, tendo em conta que a função de onda é, por definição, contínua, é necessário que nos pontos

limite que constituem fronteira entre regiões adjacentes, , venha

Ψ Ψ , (2.72)

expressão que se obtém por substituição do valor na fronteira, , em (2.66) e (2.67).

Relativamente à derivada da função de onda, a continuidade só prevaleceria no caso de não se

verificarem descontinuidades infinitas. Uma vez que o potencial periódico é definido por uma

distribuição delta de Dirac (2.62), demonstra-se no Anexo A.4 que a descontinuidade na derivada de

um ponto genérico da função de onda é determinada por

Ψ ΨΨ . (2.73)

Considere-se doravante o potencial periódico representado na Figura 2.5, com um dos pontos de

potencial não nulo coincidente com a origem do eixo espacial, 0, dando origem a duas regiões

adjacentes, no seio das quais as funções de onda, Ψ e Ψ , seguem as regras supra

postuladas, no âmbito do teorema de Floquet. Neste sentido, as conclusões obtidas para o caso

particular em análise podem ser generalizadas para todo o espaço, por simetria translacional,

conforme já explicitado anteriormente. Os termos em língua inglesa ‘left’ (esquerda) e ‘right’ (direita)

estão na origem dos índices ‘ ’ e ‘ ’, estando subjacente a localização relativa de cada uma das

zonas do espaço face à origem do referencial.

Figura 2.5 - Regiões adjacentes do espaço em torno da origem do referencial.

34


De (2.63), com 0,1 as regiões do espaço são formalmente definidas por

0 0 , (2.74)

pelo que a função de onda vem, de (2.64), (2.67) e (2.71),

ΨΨ Ψ

. (2.75)

Desenvolvendo (2.75) através da fórmula de Euler,

cos sin , (2.76)

e definindo as novas constantes complexas

, (2.77)

tem-se finalmente, após alguma manipulação algébrica,

Ψ sin cosΨ sin cos . (2.78)

Tomando as condições na fronteira, na origem do referencial 0, para a função de onda (2.72),

bem como para a sua derivada (2.73),

Ψ 0 Ψ 0ΨR ΨL 0 ΨR 0 , (2.79)

e as expressões respeitantes às derivadas em ambas as regiões,

ΨR cos sin

ΨL cos sin, (2.80)

resulta finalmente de (2.62), (2.78) e (2.79) o sistema de equações homogéneo,

sin cos

cos sin 0 ΨR 0, (2.81)

que pode ser representado na forma matricial,

sin cos 11 cos sin /

0

0. (2.82)

A solução trivial, 0 0 , não tem relevância do ponto de vista físico, dado que conduz à

função de onda de amplitude nula e, portanto, à inexistência de matéria no sistema. Assim, importa

obter a solução que anule o determinante da matriz principal. Introduzindo as mudanças de variável

e , que estabelecem normalizações para os números de onda em espaço livre e no

meio periódico, respectivamente, obtém-se a equação fundamental das bandas de energia,

35


cos cos 2sin

, (2.83)

cuja demonstração se remete para o Anexo A.5. Trata-se de uma equação transcendente e, como tal,

não comporta resolução analítica. Define uma relação entre os modos de propagação no meio

periódico, através do número de onda de Bloch , e a energia do sistema, através do número de onda

. Uma vez que a energia, pelas relações do dualismo onda-corpúsculo (2.37), equivale à frequência

angular, à parte a constante de Planck, resulta que (2.83) configura uma equação de dispersão da

função de onda. Como tal, deve descrever as modificações à característica de dispersão em espaço

livre impostas pela estrutura periódica, tal como se pode verificar na Figura 2.6. Esta reflecte a

sobreposição de ambos os membros de (2.83) para 3 . O segundo membro da equação pode

tomar qualquer valor em função da intensidade do potencial periódico e da energia do sistema. No

entanto, ao primeiro membro não é facultada a hipótese de assumir valores fora do intervalo 1, 1 ,

sob pena de o número de onda de Bloch se tornar complexo.

Neste contexto, surge a noção de banda de energia. Os valores de , e consequentemente da

energia , que levam a que o primeiro membro de (2.83) se encontre abrangido pelo intervalo

mencionado, ou seja, que originam valores reais do número de onda , constituem as chamadas

bandas permitidas de energia. Em contrapartida, os valores de que conduzem a números de onda

de Bloch complexos promovem a não existência de solução para a função de onda, no que

habitualmente se designa de hiatos ou bandas proibidas de energia, realçadas na Figura 2.6. Resulta

do exposto a inexistência de estados estacionários num potencial periódico de Kronig-Penney com o

valor da energia contido num dos intervalos proibidos.

O correspondente diagrama de dispersão , que relaciona a constante de propagação no meio

potencial periódico com a energia e, consequentemente, com a frequência angular, encontra-se

exposto na Figura 2.7. De (A.16) e (2.33), advém

2 2 . (2.84)

Figura 2.6 - Equação de dispersão do número de onda de Bloch.

36


Agregando a mudança de variável , redunda para a energia

2 2 . (2.85)

Definindo a normalização

2 , (2.86)

vem finalmente

, (2.87)

expressão que está na origem do diagrama de dispersão da Figura 2.7. Os valores de são

obtidos por simulação numérica de (2.83), visto tratar-se de uma equação transcendente. A largura

dos intervalos proibidos de energia é variável e depende da intensidade do potencial periódico, ,

definida anteriormente. No entanto, as suas localizações no diagrama são fixas e ocorrem para

valores do número de onda de Bloch normalizado, , múltiplos de . Nesse sentido, a característica

de dispersão combina propriedades dos modelos da partícula livre e da partícula numa caixa [79].

Assim, embora sejam admitidas exclusivamente bandas discretas de energia, a forma geral que

acompanha o andamento das curvas correspondentes é parabólica, a tracejado na figura. Esta é

obtida considerando as barreiras de potencial infinitesimais, pelo que é dada pela expressão

, (2.88)

que configura uma solução coincidente com (2.87) nos pontos múltiplos de , de descontinuidade da

energia.

Focalizando a equação (2.83), facilmente se infere que a dependência com a constante de

propagação no meio periódico, através de cos , implica que o número de onda da partícula livre

seja periódico, de período 2 / e, em consequência de (2.84), também a energia. Na realidade,

substituindo o segundo membro da equação de dispersão por cos 2 , com inteiro, este

mantém o valor, pelo que advém de (2.83) uma solução similar.

Figura 2.7 - Diagrama de dispersão do potencial periódico.

37


Desta forma, o diagrama da Figura 2.7 pode ser expandido, em cada uma das bandas de energia, a

todo o espectro do número de onda de Bloch, dando origem ao gráfico da Figura 2.8. Neste caso, são

particularmente visíveis as soluções periódicas da característica de dispersão, correspondentes aos

diversos modos da função de onda que se propagam para cada valor permitido da energia ou, por

utilização da relação fundamental, da frequência angular. Torna-se identicamente clara a existência

de hiatos, ou seja, intervalos de energia para os quais os citados modos de propagação se tornam

evanescentes.

Figura 2.8 - Espectro das bandas proibidas e permitidas de energia.

Partindo do que foi previamente referido, fica subjacente o pressuposto de que uma análise ao

primeiro par de modos de propagação é suficiente, no que constitui o designado diagrama de

dispersão reduzido, uma vez que o restante espectro pode ser obtido por expansão translacional.

Assim, representa-se na Figura 2.9 a característica de dispersão no intervalo 0, 2 , para o

caso particular da primeira banda de energia. Para valores contidos na banda proibida, o número de

onda de Bloch assume uma natureza complexa. A componente real mantém-se, porém acrescida de

uma componente imaginária,

, (2.89)

esboçada a tracejado na figura, o que torna evanescentes todos os modos de propagação da função

de onda no meio periódico que tenham por base um valor de energia que integre um dos hiatos

precedentemente definidos.

2.4. Transição para os Cristais Fotónicos

No capítulo seguinte, efectua-se uma análise em profundidade das estruturas artificiais de índice de

refracção unidimensionalmente periódico, por camadas, no que configura um meio habitualmente

designado por cristal fotónico. Nesse sentido e no seguimento de tudo o que foi exposto, tem toda a

38


lógica transpor para esse contexto as noções adquiridas no âmbito das redes cristalinas, como os

diagramas de dispersão e a teoria das bandas de energia.

Figura 2.9 - Diagrama de dispersão reduzido para a primeira banda de energia.

De facto, em analogia com os electrões num cristal, as ondas electromagnéticas que se propagam

em estruturas com as características citadas encontram-se organizadas em bandas fotónicas,

separadas por hiatos que correspondem a modos evanescentes, ou seja, grupos de frequências para

as quais se dá uma interferência construtiva entre as ondas incidente e reflectida nas sucessivas

camadas. Trata-se de um fenómeno conhecido por reflexão de Bragg e cuja análise conhece

desenvolvimentos nas secções subsequentes. A título ilustrativo, encontra-se delineada na Figura

2.10 a curva correspondente à componente imaginária da constante de propagação no meio

periódico em estudo, na qual são facilmente perceptíveis os intervalos de energia, ou frequência,

correspondentes às bandas proibidas.

Tal fenómeno encontra inúmeras aplicações, em dispositivos como cavidades, ressoadores, lasers ou

antenas [37], destacando-se ainda o caso dos filtros de banda estreita, sobretudo quando se introduz

a possibilidade de utilização de compostos metamateriais.

Figura 2.10 - Componente imaginária do número de onda de Bloch.

Capítulo 3

Cristais Fotónicos

Unidimensionais

Este capítulo fornece uma visão global do comportamento da propagação de radiação

electromagnética em estruturas caracterizadas por um índice de refracção unidimensionalmente

periódico, nomeadamente no que diz respeito às bandas proibidas e permitidas, em permanente

analogia com os axiomas quânticos das partículas em cristais. Fazendo uso da caracterização

matricial, são enfatizadas propriedades singulares deste tipo de meios, nomeadamente no que

concerne aos diagramas de dispersão e às características de reflexão e refracção.

40

Cristais Fotónicos Unidimensionais

“One of the remarkable aspects of the human

civilisational development is the intention to create

or construct something that is not available in

natural surroundings.”

M. Lapine e S. Tretyakov [40]

3.1 Uma Perspectiva Sobre a Periodicidade

Os metamateriais são estruturas que interagem com a radiação electromagnética, nomeadamente a

luz, reproduzindo determinadas características ou efeitos não encontrados habitualmente no estado

natural da matéria. Nesse sentido, podem ser utilizados enquanto elemento base em diversos

mecanismos ópticos, pelo que constitui objectivo geral da presente dissertação analisar, do ponto de

vista estrutural, a influência e alterações comportamentais que decorrem da sua inclusão em

estruturas periódicas.

Assim, procede-se neste capítulo à descrição e caracterização de toda a fenomenologia

electromagnética que está na base dos cristais fotónicos, nomeadamente no que concerne ao caso

unidimensional, de forma a permitir uma posterior inclusão dos meios duplamente negativos e uma

consequente dissecação analítica das transformações que materiais deste género podem imprimir à

estrutura, do ponto de vista funcional e enquanto dispositivos ópticos.

Do leque de características ostentadas por estes meios artificiais, sobressai a questão das bandas de

energia, fenómeno representado a título ilustrativo na Figura 3.1, com destaque para a manifestação

de bandas proibidas no gráfico da transmissividade. De facto, no seio de um vasto conjunto de

analogias conhecidas entre fenómenos de natureza óptica e electrónica, este assume particular

relevância, quer por se tratar de um assunto amplamente escalpelizado, quer em virtude da

assinalável quantidade de aplicações que daí decorrem, como sejam a concepção de filtros eficazes

ou a inibição da emissão espontânea em elementos de circuitos ópticos. Assim, se as interacções de

partículas como os electrões com redes cristalinas de semicondutores clássicas, analisadas no

capítulo precedente, podem ser descritas pela teoria das bandas, o mesmo sucede com a radiação

electromagnética, sob a forma de um distinto espécime de partículas, os fotões, propagando-se

através de estruturas dieléctricas periódicas, na senda dos resultados da teoria quântica e mais

concretamente do dualismo onda-corpúsculo.

É no âmbito deste paradigma de analogias que nasce a conceptualização de bandas fotónicas de

frequência proibida, da expressão inglesa ‘photonic bandgaps’ ou PBG, e a transladação de conceitos

[80] como as redes recíprocas, as zonas de Brillouin, as relações de dispersão ou as funções de onda

de Bloch para o contexto das ondas electromagnéticas, conforme se apresenta nas secções

subsequentes. A designação adoptada tem a ver com o facto de se pretender definir intervalos de

41


frequência para os quais as ondas electromagnéticas não apresentam capacidade de se propagar,

independentemente do ângulo de incidência com o cristal fotónico.

Figura 3.1 – Incidência sobre cristal fotónico e transmissividade [81][82].

Em suma, é viável admitir que os dois patamares em análise partilham paralelamente características

similares, sendo que em ambos os casos um potencial espacialmente periódico provoca a

manifestação de bandas proibidas de energia ao nível da relação de dispersão, respectivamente para

funções de onda de fotões e de electrões. No entanto, ao passo que as bandas proibidas electrónicas

são geradas por um potencial eléctrico periódico que decorre da disposição dos átomos que

constituem a rede cristalina de material semicondutor, as bandas proibidas fotónicas são o resultado

de uma distribuição periódica de um potencial dieléctrico. Na Figura 3.2 encontram-se esboçados os

diagramas de dispersão genéricos para o caso da radiação propagando-se em espaço livre e ao

longo de um cristal fotónico, de forma a evidenciar o aparecimento das bandas proibidas.

Figura 3.2 – Diagramas de dispersão da radiação electromagnética.

A analogia proposta apresenta-se como uma evidência extraordinariamente apelativa do ponto de

vista científico. De facto, considerando a tremenda preponderância que a teoria das bandas em

cristais clássicos motivou ao nível da electrónica, é de supor um impacto de magnitude

marcadamente mais vincada no caso dos cristais fotónicos.

42


No entanto, o advento destes meios no panorama científico [83] revela-se relativamente tardio e

moroso. Uma das causas que justificam essa situação prende-se com o facto de não serem comuns

na natureza casos de estruturas periódicas fotónicas deste tipo, ao contrário do que ocorre

relativamente às redes cristalinas clássicas, nas quais os átomos se encontram dispostos de forma

favorável à interacção com os electrões. Isto implica que a sua concepção seja fundamentalmente

obtida do ponto de vista artificial. Nesse sentido, e tendo em atenção que a obtenção de

determinadas funcionalidades ópticas a partir de cristais fotónicos requer, entre outros factores de

diversa ordem, que o período da rede se coadune com ordens de grandeza comparáveis ao

comprimento de onda da radiação incidente [36], facilmente se infere que a sua confecção é crítica

quando se trabalha com determinadas gamas de frequência, como é o caso do espectro do visível.

Deste modo, e apesar da aparentemente frutífera analogia supra descrita, é necessário ter em

consideração que, para além de toda a problemática associada ao fabrico de estruturas periódicas de

reduzidas dimensões, é inegável a diferenciação comportamental entre fotões e electrões, enquanto

partículas. Assim, a simples transposição dos modelos conotados com as redes cristalinas

semicondutoras para o caso dos cristais fotónicos, dada a complexidade inerente, pode redundar em

equívocos e incorrecções, sendo necessário encarar o seu estudo como uma área científica de

pesquisa independente. Na Figura 3.3 encontra-se reproduzida uma imagem SEM, ‘Scanning

Electron Micrograph’, de uma rede cristalina real.

Figura 3.3 – Imagem SEM de um cristal fotónico de InGaAsP [81].

3.2 As Estruturas Periódicas Convencionais

3.2.1 A Condição de Bragg

As características electromagnéticas de uma estrutura periódica podem ser descritas através de uma

simetria translacional dos tensores permitividade eléctrica,

, (3.1)

e permeabilidade magnética,

43


, (3.2)

em que é um vector genérico do espaço e é um vector tal que se verifique uma similitude das

características do meio em e em , ou seja, define o período da estrutura.

Considerando meios não magnéticos cuja variação periódica das relações constitutivas é

unidimensional, o tensor permitividade eléctrica é descrito por

Λ , (3.3)

em que é um inteiro e Λ representa o período. Nesse sentido, representa-se a título ilustrativo na

Figura 3.4 um meio periódico simples constituído por camadas alternadas de dois materiais de

índices de refracção distintos.

Figura 3.4 - Estrutura periódica de camadas alternadas.

Assumindo que a radiação electromagnética incide no meio periódico segundo um ângulo ,

conforme esquematizado na Figura 3.5, é progressivamente reflectida e refractada em cada uma das

interfaces que constituem a fronteira entre camadas, provocando interferência construtiva ou

destrutiva. Considere-se uma incidência perpendicular, /2 , e | |. Tendo em conta as

ondas incidente e reflectida,

exp exp , (3.4)

com as respectivas fases dadas por

, (3.5)

em que as fases iniciais se admitem nulas, i.e.,

0 , (3.6)

vem, para a origem do referencial, 0,

Λ

… …

44


0 Δ 0 0

0 Δ 2Λ2 Λ

Δ 0 0 0 Λ . (3.7)

Considerando, no que se segue, a interferência de duas ondas reflectidas em interfaces localizadas,

no eixo espacial longitudinal, em dois múltiplos sucessivos do período da estrutura, obtém-se para as

fases respectivas na origem,

0 Δ Δ 0 Λ Λ 2 Λ0 Δ 2Δ 0 2 Λ 2 Λ 4 Λ , (3.8)

uma vez que, como facilmente se infere por análise da Figura 3.5,

0 Δ Δ 0 Λ Λ 2 Λ . (3.9)

Resulta, assim, com toda a generalidade, a diferença de fase

Δ 0 0 0 2 1 Λ 2 Λ 2 Λ . (3.10)

Tendo em conta que a interferência construtiva originada por reflexões em camadas sucessivas da

estrutura se verifica quando estas se encontram em fase, tem-se

Δ 0 2 2 Λ 2 , (3.11)

com inteiro, no que configura a expressão habitualmente designada por condição de Bragg,

Δ 22Λ 0 . (3.12)

Esta surge historicamente como desfecho de experiências levadas a cabo pelo físico homónimo no

contexto da difracção de raios-x em superfícies cristalinas [9], sendo viável, tal como demonstrado em

(3.12), a sua generalização à propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos, em

analogia com o estudo das bandas de energia levado a cabo no âmbito do capítulo precedente.

Assim, torna-se evidente que os intervalos de frequência que conduzem ao cumprimento da condição

de Bragg, inerentemente associada a uma reflexão total da energia incidente ao nível das interfaces

que separam as camadas do meio periódico, constituem, na realidade, as propaladas bandas

proibidas de energia, ou seja, gamas de frequência para as quais se torna evanescente a propagação

ao longo da estrutura.

Figura 3.5 – Reflexão de Bragg.

…

Λ

2Λ

45


No seguimento do exposto, tendo em conta a relação fundamental entre a constante de propagação e

o comprimento de onda e arrolando agora um ângulo genérico de incidência no cristal, vem para

o número de onda longitudinal

| | cos cos2

cos , (3.13)

pelo que, de (3.12), decorre

Λ 0 2

cos Λ 0 2Λ cos , (3.14)

expressão que estabelece um resultado generalizado para a condição de Bragg.

3.2.2 O Teorema de Bloch e as Bandas de Frequência Proibidas

Uma vez restrita a análise comportamental a cristais fotónicos não magnéticos e dado que a

periodicidade do meio deriva de uma variação espacial longitudinalmente homogénea do tensor

permitividade eléctrica, este pode ser expandido com recurso a uma série de Fourier,

exp · , (3.15)

em que percorre todos os vectores da rede recíproca , contemplando os múltiplos da variação

espacial da estrutura periódica. Assim, num meio unidimensional, vem

2Λ

2Λ , (3.16)

com inteiro. Adicionalmente, o campo eléctrico que se propaga no meio em análise pode também

ser descrito por um integral de Fourier, por decomposição em coeficientes da constante de

propagação,

· . (3.17)

Tendo em conta que a propagação da radiação electromagnética obedece à equação de onda (A.12),

que pode ser reescrita na forma [17],

0 , (3.18)

substituindo (3.15) e (3.17) em (3.18), vem

· · 0 . (3.19)

Colocando em evidência o termo de fase, a equação (3.19) é satisfeita para

0 . (3.20)

O somatório abrange todos os vectores da rede recíproca e resulta um sistema de equações

homogéneas em ordem aos coeficientes , para cada valor distinto do vector de onda . Por

46


princípio, poderia ser obtida uma solução igualando o determinante a zero. No entanto, verifica-se

que apenas os coeficientes da forma se encontram acoplados, o que conduz a uma

fragmentação do sistema em subconjuntos de equações que integram os coeficientes e

, para um dado vector de onda e para todos os valores possíveis de . Assim, optando

por uma resolução independente dos subconjuntos referidos, vem [23] para cada , a solução

· · , (3.21)

com

· . (3.22)

Particularmente, no caso de interesse, admitindo uma única dimensão espacial, resulta de (3.15)

, (3.23)

em que é um inteiro, pelo que de (3.22) reverte

, (3.24)

que constitui uma expressão periódica em de período Λ. Assim, (3.21) estabelece o designado

teorema de Bloch, ou de Floquet, para os cristais fotónicos, por analogia com as preposições

registadas ao nível do precedente capítulo, no âmbito dos cristais electrónicos. Deste modo, o campo

eléctrico (idêntica análise seria verificável para o caso do campo magnético),

· , (3.25)

é caracterizado por uma parcela relativa à fase (regida pelo vector de onda de Bloch ) e por uma

componente de amplitude periódica,

. (3.26)

Verifica-se deste modo a existência de uma relação de dispersão que está na base de todas as

características patenteadas por este tipo de meios e referenciadas a título introdutório, como sejam

as peculiariedades ao nível das características de reflexão e refracção, associadas à manifestação

das denominadas bandas de energia. No caso particular em que não existe periodicidade no meio, ou

seja, este é consistente com um índice de refracção perene e homogéneo ao longo da dimensão

espacial, (3.26) traduz uma constante no que configura uma situação de modos normais de

propagação associados a ondas planas, caracterizadas pela constante de propagação de Bloch. Por

outro lado, no caso geral, (3.17) estabelece uma sobreposição dos modos de propagação de Bloch

descritos por (3.25) para cada vector de onda . Admitindo que este apenas exibe componente

longitudinal, ou seja, que a propagação se faz através de uma incidência normal às superfícies de

índice de refracção constante do meio, com 0 e | |, vem, de (3.24) e (3.25),

47


. (3.27)

Considerando ainda que os vectores de onda e campo eléctrico são ortogonais, i.e., · 0, e ainda

que os coeficientes da expansão em série de Fourier da permitividade dieléctrica são escalares, no

que se coaduna com um meio isotrópico, advém de (3.20) a expressão

. (3.28)

A onda de Bloch relativa ao número de onda específico decorre da resolução da expressão (3.28)

para , no que resulta um conjunto infinito de equações em ordem a coeficientes da forma

. Nesse sentido, a única maneira de obter uma solução explícita passa pela adopção de

aproximações razoáveis. Tomando (3.28) para ,

1, (3.29)

para ,

1 , (3.30)

e para ,

1 , (3.31)

com

11 , (3.32)

verifica-se que, cumpridas as condições

| |, (3.33)

os coeficientes e se tornam dominantes, ou seja, as ondas planas descritas pelos

números de onda e prevalecem sobre todas as restantes, no que configura uma situação de

acoplamento ressonante. Assim, considerando todos os termos adicionais negligenciáveis, (3.28)

desdobra-se num sistema de apenas duas equações que, na forma matricial, fica

0

0. (3.34)

Tendo em conta que se é uma função dieléctrica real, e uma vez que se pretende obter

uma solução não trivial para (3.34), ou seja, excluindo a hipótese segundo a qual ambos os

coeficientes são nulos porquanto tal conjectura é consistente com a inexistência de propagação da

radiação electromagnética no meio periódico, torna-se imperioso anular o determinante da matriz

principal, no que resulta a expressão

48


0 , (3.35)

que, pela sua natureza, assume as características de uma relação de dispersão. Analisando (3.12),

facilmente se constata que (3.33) equivale, na realidade, à condição de Bragg, ou seja,

12 Λ .

(3.36)

Quando esta é satisfeita, revertem de (3.35) as frequências angulares, calculadas no Anexo B.2,

12

1

12

1 , (3.37)

que estabelecem os limites da gama de frequências que até aqui se tem vindo a denominar de banda

proibida.

Na Figura 3.6 encontra-se esboçado o diagrama de dispersão típico de um cristal fotónico, aferido

com recurso à expressão (3.35), para o caso específico de células periódicas com duas camadas de

idêntica espessura, 0,5Λ, e com um período arbitrário Λ 0,185 .

Figura 3.6 – Diagrama de dispersão e primeira banda proibida.

Dado o formato apresentado pela relação de dispersão (3.35), torna-se imperativo obter os

coeficientes da expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica ao longo da

coordenada espacial (3.23), análise efectuada no âmbito do Anexo B.1. Considera-se que o índice de

refracção, regido por um perfil do tipo (B.1), é dado por um par de valores considerado usual no

contexto dos materiais tipicamente utilizados na construção de estruturas periódicas fotónicas,

3,4 , Λ 0,5 Λ3,2 , 0,5 Λ 1 Λ . (3.38)

49


De (B.9) e (B.10), retiram-se os dois primeiros coeficientes da expansão em série de Fourier da

função permitividade eléctrica correspondentes aos índices de refracção assumidos (3.38), com a

permitividade eléctrica no vácuo 8,854 10 · ,

2 96,5 10

3,7 10 (3.39)

Introduzindo os coeficientes (3.39) na relação de dispersão (3.35), resulta a curva da Figura 3.6,

correspondente à componente real do número de onda de Bloch . Tal como era esperado, surge um

hiato na frequência para o qual não se manifesta qualquer constante de propagação real e que se

coaduna com a existência da primeira banda proibida de energia, identificado pela zona de

preenchimento colorido na imagem, e delimitada pelos extremos calculados com recurso às

expressões (3.37), para Λ e 4 10 · ,

1,573 ·1,513 ·

. (3.40)

Estes valores estão em completo acordo com os resultados obtidos graficamente, por simulação

numérica. De facto, e na senda das conclusões obtidas no capítulo antecedente, no âmbito dos

cristais reais, confirmam-se singularidades análogas na propagação de radiação electromagnética em

meios caracterizados por um índice de refracção periódico. Assim, para frequências angulares

contidas no intervalo mencionado, o número de onda de Bloch torna-se complexo, o que é

consistente com a evanescência da radiação incidente e sua consequente reflexão. Nesse contexto,

ostenta uma componente real constante e uma componente imaginária variável,

Λ12

12 , . (3.41)

Para todas as frequências não contidas na banda proibida, o número de onda de Bloch é real, o que

se coaduna com uma situação de propagação da radiação ao longo da direcção espacial definida.

Adicionalmente, das condições (3.33), retira-se a frequência angular central da banda proibida,

12

1 . (3.42)

Por outro lado, de (3.35), ressalta a expressão

12

12 2

, (3.43)

que configura uma forma exacta da equação de dispersão que relaciona a frequência angular de

trabalho com a componente imaginária do número de onda de Bloch, na banda proibida. Substituindo

a frequência angular de trabalho por em (3.43), vem

50


12 0 . (3.44)

Por experiência prática [23], verifica-se que o módulo da componente imaginária do número de onda

de Bloch é desprezável face à componente real, i.e.,

| |12 . (3.45)

Nesse sentido, torna-se viável negligenciar o termo em na equação (3.44), resultando

12 0 , (3.46)

de onde se retira a componente imaginária do número de onda de Bloch no centro da banda proibida,

14 , (3.47)

que corresponde ao seu valor máximo. Os cálculos intermédios encontram-se expostos no contexto

do Anexo (B.2).

Outro parâmetro físico da banda proibida de particular interesse reside na obtenção da sua largura

Δ . Nesse contexto, é útil analisar a razão entre os módulos dos dois primeiros coeficientes da

expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica (B.9) e (B.10),

2 . (3.48)

Nas estruturas periódicas habitualmente arquitectadas, o contraste entre os índices de refracção

correspondentes a cada uma das camadas que constituem as células é baixo, ou seja, são

normalmente utilizados materiais de tal forma que . Nestas condições, de (3.48) é legítimo

inferir a aproximação segundo a qual

0 . (3.49)

A largura da banda proibida é, por definição, equivalente ao dobro do módulo da diferença entre um

dos extremos e a frequência central ,

Δ 2| | 2| | . (3.50)

Por outro lado, de (3.37) e (3.42), retira-se

12

1 12

1 1

1 1.

(3.51)

Assim, conforme demonstração do Anexo (B.2), vem

51


Δ . (3.52)

Trata-se de um resultado aproximado, porém válido e rigoroso dentro das condições de baixo

contraste mencionadas. No caso do problema prático em análise, com a permitividade eléctrica da

estrutura caracterizada pelos coeficientes (3.39), reverte

Δ 59,127 · . (3.53)

Comparando com o resultado exacto,

Δ 59,181 · , (3.54)

verifica-se que o erro é residual,

Δ ΔΔ 100 0,09% . (3.55)

Em virtude de a banda proibida se encontrar delimitada pelas frequências angulares (3.37), que

definem a largura de banda Δ (3.52), e o facto de ser caracterizada por uma frequência angular

central (3.42) para a qual a componente imaginária do numero de onda de Bloch é máxima,

(3.47), sugere a adopção de um modelo elíptico para parametrizar o comportamento de .

Dado um espaço com um referencial ortogonal e ortonormado, a elipse centrada em , e

com semi-eixos de comprimento e , consiste no lugar geométrico dos pontos genéricos da forma

que cumprem a condição

1 . (3.56)

Desta forma, a equação de dispersão que relaciona a componente imaginária do número de onda de

Bloch com a frequência angular pode ser aproximada pela expressão

Δ2

1 , (3.57)

uma vez que no centro da banda proibida, para , a frequência é , ao passo que para

0,5Δ vem 0. Substituindo (3.47) e (3.52) em (3.57), resulta

14

ω2

1 , (3.58)

ou, com alguma manipulação algébrica,

12

ω 2 . (3.59)

A curva correspondente à relação de dispersão baseada num modelo elíptico (3.59) encontra-se

esboçada na Figura 3.7, sobreposta ao gráfico da relação de dispersão real (3.43), obtido por

52


simulação numérica. Como facilmente se constata, há uma sobreposição quase total das curvas, pelo

que a utilização do modelo aproximado é legítima, permitindo simplificar significativamente os

cálculos envolvidos na obtenção das grandezas relacionadas com as bandas proibidas.

Figura 3.7 – Modelos elíptico e real para o diagrama de dispersão.

Na Figura 3.8 representam-se as componentes real, a traço contínuo, e imaginária, a tracejado, do

número de onda de Bloch na primeira banda de energia, face à frequência angular de trabalho, com

realce para as respectivas zonas permitidas e proibida. Por observação do gráfico, verifica-se que a

relação de dispersão segue um andamento aproximadamente linear para zonas de frequência

suficientemente afastadas da banda proibida, o que sugere uma situação análoga à da propagação

em espaço livre, quer para a onda incidente, quer para a onda reflectida. Por outro lado, para

frequências no intervalo , , dá-se um acoplamento entre estas, ou seja, uma sobreposição

construtiva de fases, prevista pela condição de Bragg (3.12) supra descrita, e que se manifesta sob a

forma de uma reflexão total da energia electromagnética que se faz incidir sobre a estrutura periódica.

Figura 3.8 – Diagrama de dispersão complexo na primeira banda de energia.

53


Nesse caso, a parte real do número de onda de Bloch é constante, Λ , ao passo que a parte

imaginária pode ser aproximadamente descrita pelo modelo elíptico (3.59). De notar que a parte

imaginária, cuja amplitude se encontra triplicada na Figura 3.8, de forma a permitir um melhor realce

da sua forma aproximadamente elíptica, apresenta um módulo bastante inferior ao que está

associado à parte real, pelo que a aproximação (3.45) também se reveste de acentuada validade.

De realçar que a dedução da relação de dispersão (3.35) partiu do pressuposto do cumprimento das

condições (3.33), ou seja, da existência de um acoplamento entre os coeficientes e ,

no que reverte uma primeira banda proibida de largura Δ essencialmente regida pelo primeiro

coeficiente da expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica, , conforme é

confirmado pela expressão (3.52). Tomando o conjunto de condições mais geral,

| |, (3.60)

para inteiro, revertem expressões similares ao sistema de duas equações (3.34), para o caso de um

acoplamento entre os coeficientes genéricos e ,

0

0. (3.61)

De (3.61), redunda agora a condição geral de Bragg,

12 Λ , (3.62)

equivalente à expressão (3.12) obtida anteriormente. Por analogia, verifica-se que a cada inteiro

está associada uma onda reflectida de amplitude regida pelo coeficiente em acoplamento

com a onda incidente, num fenómeno de troca de energia electromagnética entre modos, para

intervalos de frequência bem determinados. Esta situação é traduzida fisicamente por uma infinidade

de bandas proibidas de energia de ordem , separadas por múltiplos de no eixo Λ do diagrama de

dispersão do cristal fotónico, a que correspondem as gamas de frequência para as quais cada uma

das ondas planas de Bloch reflectidas sofre uma interferência construtiva de fase nas sucessivas

camadas da estrutura, originando uma reflexão total da radiação incidente, de acordo com a teoria de

Bragg. Assim, de (3.62) e em concordância com (3.52) cada banda proibida genérica de ordem é

caracterizada por uma largura

Δ , (3.63)

regida pelo coeficiente . Da expressão (B.8),

2 1 , (3.64)

que permite calcular os coeficientes da expansão em série de Fourier da função permitividade

dieléctrica para a estrutura periódica típica em análise, retratada na Figura B.1, afere-se que o

módulo dos coeficientes de ordem ímpar, 2 1, com inteiro, é dado por

54


12 1 1 1 1

1, (3.65)

enquanto que o módulo dos coeficientes de ordem par, 2 , é nulo,

12 1 1 1 1 0 . (3.66)

Assim, de (3.23), a expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica vem

, (3.67)

com os respectivos coeficientes sujeitos à sucessão imposta por (3.65),

2 1 12 1

2 12 1 , (3.68)

i.e., cada coeficiente é sempre menor que o que o precede, , pelo que de (3.63)

se conclui que

Δ Δ . (3.69)

De facto, verifica-se que as bandas proibidas, correspondentes a um número de onda de Bloch

complexo e respectiva evanescência da radiação incidente sobre o cristal fotónico, se repetem

indefinidamente para valores de Λ múltiplos ímpares de , caracterizando-se por uma largura cada

vez menor à medida que se faz incrementar a frequência angular de trabalho. Na prática, verifica-se

que a diminuição da largura das referidas bandas se dá de forma muito acentuada, pelo que apenas

as que estão associadas aos primeiros coeficientes são significativas.

3.2.3 Caracterização Matricial das Estruturas Periódicas por Camadas

No que se segue, examina-se analiticamente o caso de interesse no seio dos cristais fotónicos, que

consiste de uma estrutura periódica de camadas alternadas de materiais caracterizados por índices

de refracção distintos e incidência não ortogonal, o que origina uma dependência da relação de

dispersão com a polarização. Ao nível do presente capítulo, admite-se que estes apresentam valores

constantes, tanto em relação à coordenada espacial como ao espectro, uma vez que se admitem

independentes da frequência de trabalho. A consideração de modelos dispersivos é efectuada

apenas no contexto do capítulo seguinte. O perfil do índice de refracção, no seguimento do esquema

da Figura 3.4, com inteiro, é dado por

, Λ Λ , Λ 1 Λ , (3.70)

em que e são, respectivamente, as espessuras das camadas de índice de refracção e ,

conforme se encontra representado na Figura 3.9. A distribuição típica do campo eléctrico ao longo

da estrutura é descrita por

, . (3.71)

55


Admite-se que a propagação se efectua ao longo do plano , sendo a dimensão espacial que

serve de base à periodicidade da estrutura e a componente segundo o eixo da constante de

propagação, que se assume constante, sendo nula a componente segundo o eixo , 0. Tal

como representado na Figura 3.9, considera-se que o campo eléctrico em cada camada do meio

pode ser descrito com recurso a um vector coluna,

, (3.72)

constituído pelas ondas planas incidente e reflectida, sendo o índice correspondente à -ésima

célula de espessura correspondente ao período Λ e 1,2 a respectiva camada.

Figura 3.9 – Dissecação matricial da estrutura periódica por camadas.

De (3.72), a componente do campo que depende da componente espacial é dada por

, (3.73)

pelo que, de (3.71), a distribuição do campo eléctrico na estrutura vem

, , (3.74)

com o número de onda longitudinal relativo a cada uma das camadas 1,2 de índice de

refracção , descrito pela expressão

, (3.75)

uma vez que o índice de refracção [17] resulta do rácio entre os módulos da constantes de

propagação na estrutura e no vácuo,

. (3.76)

Para estabelecer uma relação entre os vectores colunas que caracterizam cada conjunto de camadas

consecutivas, torna-se imperioso fazer uso das condições na fronteira das interfaces que as separam.

b b ba a a

Célula 1 Célula Célula 1

… …

56


Nesse sentido, no contexto de uma célula, apenas um dos vectores coluna ou uma componente de

cada um dos vectores coluna pode ser fixados arbitrariamente. Considerando que a propagação se

efectua com suporte em ondas caracterizadas por um campo vectorial eléctrico ortogonal face ao

plano de propagação , i.e., ondas com polarização transversal eléctrica (TE),

0

, (3.77)

a continuidade do campo eléctrico e da sua derivada implica que se verifique

. (3.78)

As condições na fronteira (3.78), aplicadas a uma estrutura periódica genérica como a da Figura 3.9

são deduzidas e obtidas no âmbito do Anexo B.3,

, (3.79)

podendo ser escritas em subconjuntos de duas equações, sob a forma matricial,

1 1

1 1, (3.80)

para a interface 1 Λ e

, (3.81)

para a interface 1 Λ .

Com base no conjunto de equações que regem as condições nas interfaces que separam as

camadas constituintes da estrutura periódica, obtém-se no contexto do Anexo B.4 os coeficientes que

compõem a matriz de transferência, ou transição, . Esta relaciona as amplitudes dos campos

incidente e reflectido em células contíguas, para camadas do mesmo tipo, 1. De realçar que uma

relação entre amplitudes dos campos em camadas do tipo 2 ou para uma polarização diversa,

como a polarização transversal magnética (TM), redundaria numa matriz de transição distinta. Em

todo o caso, trata-se de uma relação entre amplitudes complexas de ondas planas em camadas de

geometria semelhante e caracterizadas pelo mesmo índice de refracção, pelo que a matriz ,

definida pela relação

, (3.82)

57


e pelos coeficientes (B.52)

cos12 sin

12 sin

12 sin

cos12 sin

, (3.83)

é necessariamente unimodular, i.e.,

det 1 1 . (3.84)

De facto, o produto vem, de (3.83),

cos14 2 sin , (3.85)

ao passo que, para o produto , se tem

14 2 sin , (3.86)

pelo que resulta para o determinante de ,

cos sin 1 , (3.87)

tal como previsto.

Como foi referido, é possível fixar arbitrariamente um vector coluna da forma (3.72), tornando todos

os restantes directamente dependentes deste, por meio de uma relação de transformação. Deste

modo, tomando como referência a célula 0, decorre imediatamente que (3.82) assume o carácter

de uma sucessão,

. (3.88)

A expressão (3.88) pode ser escrita na forma

. (3.89)

Dada a inversa da matriz de transferência,

adjdet adj , (3.90)

na qual se faz uso da propriedade da matriz unimodular (3.84), resulta a relação que permite aferir as

amplitudes complexas dos campos em qualquer célula do cristal, dado o seu valor ao nível da célula

de referência,

. (3.91)

58


No contexto do Anexo B.5, encontra-se deduzida a expressão que permite calcular a matriz de

transmissão genérica de uma estrutura periódica caracterizada por células de camadas de

espessuras arbitrárias, caracterizadas por índices de refracção constantes, não dispersivos e

mutuamente distintos,

12

1 11 1

, (3.92)

em que representa o rácio entre os módulos das constantes de propagação (B.59) em duas

camadas sucessivas da estrutura.

3.2.4 As Propriedades Refractivas dos Cristais Fotónicos

Para avaliar a possibilidade de utilização de estruturas baseadas em cristais fotónicos em funções tão

complexas quanto a filtragem, torna-se imperioso caracterizá-las do ponto de vista das suas

propriedades refractivas. Nesse sentido, toda a fenomenologia já analisada, associada à reflexão de

Bragg e à ocorrência de bandas proibidas e permitidas de frequência, se reveste de particular

utilidade, nomeadamente a caracterização matricial supra deduzida.

Do teorema de Bloch, dissecado no contexto da segunda secção do presente capítulo, reverte a

evidência de que a amplitude complexa do campo eléctrico (3.27) no interior da estrutura apresenta

uma evolução do tipo

, , (3.93)

em que se admite, tal como anteriormente, que a incidência se dá paralelamente ao plano , i.e.,

0 e ainda que é periódica de período Λ, ou seja,

Λ , (3.94)

com inteiro. Adicionalmente, depreende-se de (3.93) que a componente do campo que depende da

coordenada longitudinal vem

. (3.95)

Considera-se, por uma questão de simplicidade, a notação , em que a constante representa

o número de onda de Bloch. De (3.71) e (3.73), a componente periódica do campo é descrita por

, (3.96)

na célula 1. Efectuando uma translação espacial correspondente a um período, vem

Λ , (3.97)

para a célula . De (3.94), para 1, resulta

Λ . (3.98)

Assim, de (3.95),

59


Λ Λ , (3.99)

pelo que a relação entre dois vectores coluna na forma (3.72) correspondentes a camadas do mesmo

tipo e em células contíguas de período Λ da estrutura obedece, por definição, a

Λ. (3.100)

Recuperando a matriz de transferência definida na secção anterior (3.82), redunda

, (3.101)

que constitui uma equação de valores próprios. Desta forma, o factor de fase representa o

conjunto de valores próprios , com 1,2 , da matriz , pelo que cumpre a condição

det 0 0 , (3.102)

em que simboliza a matriz identidade.

Resolvendo (3.102), reverte

0 0 . (3.103)

Recorrendo à fórmula resolvente e ao facto de a matriz ser unimodular (3.84), vem para os valores

próprios o conjunto de duas soluções

42 2 2 1 . (3.104)

Os vectores próprios associados são obtidos com recurso à condição

0 , (3.105)

pelo que se tem

0

0 . (3.106)

Um dos componentes , com 1,2 , do vector próprio associado ao valor próprio , pode

ser imposto arbitrariamente. Assim, assumindo e considerando a equação que resulta da

primeira linha da matriz quadrada de (3.106), vem

0 , (3.107)

pelo que o vector próprio obtido, à parte uma constante arbitrária, se escreve na forma

. (3.108)

De uma forma geral, o vector coluna correspondente a uma célula genérica pode ser obtido a partir

do vector próprio (3.108), fazendo uso da propriedade (3.91),

60


. (3.109)

No que se segue, faz-se uso da espargida e prática relação matemática [84],

ln 1 cosh . (3.110)

Comparando (3.110) com a solução dos valores próprios (3.104) e tomando

2 , (3.111)

obtém-se a expressão

ln 2 2 1 ln Λ cosh 2 , (3.112)

ou, tendo em atenção a relação cosh cos ,

Λ cos 2 1Λ cos 2 . (3.113)

Em (3.110) apenas se fez uso de um dos valores próprios (3.104). De facto, e como já se demonstrou

anteriormente, a matriz de transferência é unimodular (3.87). Uma vez que o determinante de uma

matriz genérica é dada pelo produto dos seus valores próprios, i.e.,

det λ , (3.114)

o valor próprio relativo a 2 pode ser obtido directamente de ,

det 1 1 1

. (3.115)

Uma vez que os coeficientes e (3.83) da matriz de transferência dependem da frequência

angular de trabalho e também da componente da constante de propagação paralela às interfaces que

compõem a estrutura, através do número de onda longitudinal correspondente a cada camada

(3.75), a expressão (3.113) constitui a equação de dispersão na forma , , que relaciona o

número de onda de Bloch com a frequência e com o ângulo de incidência da radiação

electromagnética com o cristal fotónico. Para valores destas grandezas de tal forma que | | 1,

resulta para o número de onda um valor real, que é consistente com a ondas de Bloch que se

propagam ao longo da estrutura. Por outro lado, se | | 1, reverte para um número complexo na

forma (3.41), no que constitui uma situação de evanescência da radiação incidente ao longo da

estrutura. Nesse sentido, volta a ser possível identificar claramente, ao nível da relação de dispersão,

as gamas de frequência e de ângulo de incidência coniventes com as apelidadas bandas permitidas e

proibidas, cujos valores extremos, já escalpelizados na secção anterior (3.37), obedecem à condição

intermédia | | 1.

Nas Figuras 3.10 a 3.18 encontram-se representados os diagramas de dispersão da componente real

do número de onda de Bloch , i.e., , segundo a forma descrita por (3.41), em função da

61


frequência angular de trabalho e da componente da constante de propagação ortogonal à direcção

espacial de periodicidade do meio que, por definição, está estritamente relacionada com o ângulo

de incidência. De facto, por concatenação das Figuras 3.5 e 3.9, resulta, de (3.13),

sin , (3.116)

em que representa o ângulo segundo o qual a radiação electromagnética incide sobre a estrutura

periódica. Nos casos em análise, admite-se que esta é semi-ilimitada e constituída por células que

agregam duas camadas, 1,2 , conforme disposto na Figura 3.9, e cujos índices de refracção

, e espessuras , se fazem variar.

Na Figura 3.10, considera-se um cristal fotónico de baixo contraste, 3,0 e 3,4, o que

configura uma situação de validade da aproximação (3.49) e, consequentemente, de todos os

resultados obtidos na secção relativa ao teorema de Bloch, nomeadamente no que diz respeito às

larguras e extremos das bandas proibidas de frequência, à relação de proporcionalidade directa entre

a largura de cada uma das bandas mencionadas e o respectivo coeficiente da expansão em série de

Fourier da função permitividade eléctrica com o mesmo índice, e ainda à utilização de modelos

elípticos para a caracterização do andamento da componente imaginária do número de onda de

Bloch nas zonas de propagação evanescente. Estas zonas de inexistência de propagação dizem

respeito às regiões do gráfico de coloração mais escura e podem classificar-se em dois grandes

tipos, em função do fenómeno que as origina. Assim, na Figura 3.10, os corredores ou intervalos de

coloração escura que intermedeiam corredores ou intervalos de coloração variável e de largura mais

elevada ao nível do andamento segundo o eixo relativo à frequência angular, constituem as supra

mencionadas bandas proibidas de frequência, cujo tratamento analítico e numérico se encontra

amplamente escalpelizado no contexto das anteriores secções do presente capítulo e que resultam

de interferências de fase construtivas da radiação que é reflectida nas diversas camadas que

compõem a estrutura, segundo o estipulado pela condição de Bragg (3.12). Por outro lado, a grande

região de coloração escura na zona inferior direita do gráfico diz respeito a pares de valores do

número de onda e da frequência angular de trabalho pertencentes a rectas características de

dispersão de índice de refracção efectivo superior aos índices de refracção das camadas que

constituem a estrutura. Esta situação torna-se mais clara no caso de cristais fotónicos de elevado

contraste. Nas Figuras 3.11 e 3.12 encontram-se esboçadas as visualizações tridimensionais do

mesmo diagrama de dispersão, com enfoque para os planos de Λ 0 e Λ 6 ,

respectivamente. É necessário ter em conta que, ao fixar um ponto determinado Λ, redunda de

imediato um plano correspondente a um diagrama de dispersão da componente real do número de

onda de Bloch , face à frequência angular . De (3.48) e (3.63), verifica-se que a largura das

bandas proibidas é proporcional aos coeficientes da expansão em série de Fourier da permitividade

eléctrica e que estes, por seu turno, são directamente proporcionais ao contraste que caracteriza as

camadas da estrutura. Assim, no caso em análise, com baixo contraste, seria de esperar residual

largura das bandas proibidas, o que se confirma por observação das Figuras 3.10 a 3.12. O reduzido

62


Figura 3.10 – Diagrama de dispersão de com baixo contraste e , .

Figura 3.11 – Visualização tridimensional de , , baixo contraste e , .

Figura 3.12 – Visualização tridimensional de , , baixo contraste e , .

32

3

0

16 10

3 0 0

6

Λ

Λ ·

63


Figura 3.13 – Diagrama de dispersão de com alto contraste e , .

Figura 3.14 – Visualização tridimensional de , , alto contraste e , .

Figura 3.15 – Visualização tridimensional de , , alto contraste e , .

32

3

0

16 10

3 0 0

6

Λ

Λ ·

64


Figura 3.16 – Diagrama de dispersão de com alto contraste, , e , .

Figura 3.17 – Visualização tridimensional de , , alto contraste, , e , .

Figura 3.18 – Visualização tridimensional de , , alto contraste, , e , .

32

3

0

16 10

3 0 0

6

Λ

Λ ·

65


contraste está ainda na base do formato aproximadamente linear que os diagramas de dispersão de

exibem em cada plano específico Λ. Esta situação é também marcadamente intuitiva, uma vez

que no caso limite de índices de refracção similares nas duas camadas que compõem cada célula da

estrutura, ou seja, um meio simples caracterizado por , ter-se-ia relações de dispersão

rectilíneas e de declive proporcional a , na senda do formato ilustrado na Figura 3.2.

Na Figura 3.13, representa-se o diagrama de dispersão da uma estrutura geometricamente similar à

retratada pela Figura 3.10, i.e., com 0,5Λ, porém com camadas caracterizadas por índices de

refracção 2 e 4, no que configura uma situação de elevado contraste. Neste caso, as

bandas proibidas são caracterizadas por uma largura muito superior em termos de frequência e as

aproximações anteriormente postuladas perdem validade. As rectas a branco, quer na Figura 3.10,

quer na Figura 3.13, representam as características de dispersão que dois meios simples com índices

de refracção ou apresentariam. Como facilmente se infere por observação das Figuras 3.14 e

3.15, que correspondem a visualizações tridimensionais do mesmo diagrama de dispersão, com

destaque para os planos de Λ 0 e Λ 6 respectivamente, as bandas permitidas e proibidas

apresentam características amplamente diversas em função da sua localização no espaço

geométrico do diagrama de dispersão face aos planos verticais definidos pelas referidas rectas.

Assim, para pares de valores de e pertencentes a rectas características de dispersão fictícias

associadas à propagação em meios de índice de refracção inferior a e , ou seja, de declive

superior a ambas as rectas a branco traçadas na Figura 3.13, as bandas proibidas e permitidas

apresentam um formato tradicional e regular, que se coaduna com o estudo efectuado ao nível do

presente capítulo. No entanto, para pares de valores de e situados na região do diagrama de

dispersão delimitada pelas duas rectas a branco, em virtude da condição elementar (3.75) e uma vez

que se tem um índice de refracção efectivo , a constante de propagação longitudinal

nas camadas 1, , é necessariamente complexa. Deste modo, a propagação é evanescente em

toda a estrutura, uma vez que por força da disposição intercalada do cristal, a constante de

propagação longitudinal nas camadas 2, , depende de . As características de dispersão

num plano específico Λ tornam-se horizontais, como fica particularmente claro na Figura 3.15, o

que anula a largura das bandas permitidas, tornando inexistente a propagação em todo o espectro.

Finalmente, para pares de valores de e pertencentes a rectas características de dispersão

fictícias associadas à propagação em meios de índice de refracção superior a e , no que

corresponde à região do diagrama de dispersão abaixo das rectas a branco na Figura 3.13, tem-se

, pelo que de (3.75) sobressai que a constante de propagação longitudinal , tanto

para a camada 1 quanto para a camada 2, é complexa. Nesse sentido, a propagação é

evanescente em toda a estrutura, conforme demonstra a existência de uma considerável região de

coloração escura na zona inferior direita da Figura 3.13.

Por fim, representa-se na Figura 3.16 o diagrama de dispersão de uma estrutura de elevado

contraste, mas geometricamente díspar, uma vez que se admite que uma das camadas apresenta

uma espessura manifestamente superior face à outra, com 0,95Λ e 0,05Λ. A desigualdade

geométrica do cristal, aliada ao considerável valor do contraste, é responsável por um visível

66


incremento na largura das bandas, quer permitidas quer proibidas, provocando um superior

espaçamento espectral das características de dispersão. Por outro lado, estas especificidades

configuram uma situação particularmente similar à do potencial periódico de Kronig-Penney aplicado

aos cristais electrónicos, no âmbito do precedente capítulo, se se considerar negligenciável a

espessura da camada 2 face ao período Λ da estrutura, ou seja, Λ, o que em primeira

aproximação entraria em analogia com a função delta de Dirac então utilizada para modelar a função

potencial. De facto, da observação das Figuras 3.17 e 3.18, que correspondem à visualização

tridimensional do diagrama de dispersão da Figura 3.16, com relevo para os planos de Λ 0 e

Λ 6 respectivamente, sobressai de imediato, tal como é característico dos cristais electrónicos,

um andamento aproximadamente sinusoidal das características dispersivas, e não linear e rectilíneo

como sucede com as estruturas fotónicas de reduzido contraste. De referir ainda que, nesta estrutura,

apenas a primeira banda proibida se encontra abrangida pela região do diagrama de dispersão

delimitada pelas duas rectas a branco, pelo que apenas se verifica a subsistência de propagação nas

regiões contíguas às bandas proibidas de ordem , com 2 inteiro.

As Figuras 3.19 a 3.24 contêm, tal como anteriormente, a representação do diagrama de dispersão

para as três estruturas periódicas analisadas, mas para o caso da componente imaginária do número

de onda de Bloch , . A zona inferior direita dos gráficos corresponde, conforme já explicitado, a

pares de valores da constante de propagação transversal e da frequência angular de trabalho

pertencentes a rectas características de dispersão fictícias associadas à propagação em meios de

índice de refracção superior a e , i.e., com menor declive que as rectas a branco esboçadas nos

gráficos antecedentes. Esta região, que se coaduna com uma evanescência da propagação ao longo

da estrutura, à qual se encontra naturalmente associado um elevado módulo da componente

imaginária, não é representada nos gráficos seguintes, de forma a realçar a evolução de nas

bandas proibidas, que constituem as zonas de interesse na análise dos cristais fotónicos.

Assim, as Figuras 3.19 e 3.20 contêm, respectivamente, o diagrama de dispersão da componente

imaginária de em função da frequência angular e da constante de propagação transversal e a sua

visualização tridimensional, para o caso de uma estrutura de baixo contraste e camadas de igual

espessura. Na senda do que foi exposto anteriormente, as bandas proibidas de frequência são, nesta

situação particularmente próximas e de reduzida largura, o mesmo sucedendo com a amplitude de ,

que se restringe a uma gama de valores pouco significativa.

Pelo contrário, numa estrutura geometricamente similar mas de elevado contraste, como é o caso do

cristal cujo diagrama de dispersão é retratado pelas Figuras 3.21 e 3.22, as bandas proibidas surgem

mais espaçadas e com dimensões vincadamente superiores, tanto ao nível espectral, com um

incremento da gama de frequências conducentes à evanescência da propagação, quanto ao nível da

amplitude da componente imaginária da constante de propagação, conforme documenta a evidente

divergência na escala de valores patenteada nas Figuras 3.19 e 3.21.

Por fim, as Figuras 3.23 e 3.24 dizem respeito à já referida estrutura geometricamente desequilibrada,

com 0,95Λ e 0,05Λ, e que procura transpor para os cristais fotónicos as propriedades de um

cristal electrónico clássico, descrito por uma função potencial regida pelo potencial periódico de

67


Figura 3.19 – Diagrama de dispersão de com baixo contraste, , e , .

Figura 3.20 – Visualização tridimensional de , com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.

Figura 3.21 – Diagrama de dispersão de com alto contraste, , e , .

32

3

0

1 10

3 0 0

6

Λ

Λ ·

32

3

0

14 10

3 0 0

6

Λ

Λ ·

68


Figura 3.22 – Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.

Figura 3.23 – Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ.

Figura 3.24 – Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ.

32

3

0

8 10

3 0 0

6

Λ

Λ ·

69


Kronig-Penney. Neste caso, resultam bandas proibidas de formato bastante regular,

aproximadamente sinusoidal em cada plano Λ, bem como um crescimento da amplitude da

componente imaginária do número de onda de Bloch com a frequência. Adicionalmente, é possível

constatar a não existência de sobreposição de modos de propagação.

Em suma, no cômputo das estruturas analisadas, verifica-se por simulação numérica toda a

caracterização anteriormente aventada por via do estudo teórico. Assim, quanto maior a assimetria

geométrica da estrutura, mais espaçadas, amplas e regulares se tornam as bandas proibidas e

permitidas de frequência, tomando-se como caso limite a situação em que a espessura de uma das

camadas que constituem as células de período Λ é infinitesimal, o que está na origem de

características de dispersão similares à dos cristais electrónicos. Por outro lado, quanto mais

reduzido o contraste dieléctrico, menores as larguras das bandas proibidas, tornando-se

aproximadamente rectilíneas as formas das relações de dispersão dos diversos modos, em troços

suficientemente afastados destas. No limite em que se admite índices de refracção similares nas

duas camadas que compõem cada célula da estrutura, ou seja, um meio simples caracterizado por

, revertem de imediato relações de dispersão lineares em todo o espectro e de declive

proporcional a . No extremo oposto, a assumpção de índices de refracção de valores díspares

conduz à maximização da magnitude das bandas proibidas, quer por via da sua largura, quer por

incremento da amplitude da componente imaginária da constante de propagação. Finalmente,

constata-se que a proximidade entre as diversas bandas que caracterizam o cristal fotónico é tanto

mais acentuada, quanto maior a amplitude do número de onda transversal e, por via de (3.116), o

ângulo da incidência da radiação electromagnética. Assim, o espaçamento máximo entre bandas é

obtido no caso particular em que 0 e que diz respeito a uma situação de incidência

perpendicular da radiação sobre a estrutura.

Nas Figuras 3.25, 3.26 e 3.27 é possível observar o andamento das componentes real e imaginária

do número de onda de Bloch com a frequência, para uma estrutura assimétrica do ponto de vista

geométrico, com 0,75Λ e 0,25Λ, e de elevado contraste, particularmente nos planos Λ 0,

Λ 3 e Λ 6 respectivamente, i.e., tomando ângulos de incidência diversos. Dada a

considerável assimetria, 3 , as bandas proibidas ostentam uma largura relevante face às

estruturas de baixo contraste e encontram-se periodicamente espaçadas. No entanto, verifica-se

ainda a sobreposição de modos de propagação em alguns intervalos de frequência, conforme é bem

patente na Figura 3.25. Realce ainda para a forma aproximadamente sinusoidal da característica de

dispersão, que está indexada ao elevado contraste considerado. No plano de dispersão Λ 3 ,

esboçado na Figura 3.26, fica claro que uma zona considerável do espectro se encontra já contida na

região delimitada pelas rectas a branco representadas nas figuras anteriores, de declive proporcional

ao índice de refracção de cada uma das camadas, e que corresponde a uma situação de

evanescência da propagação. De facto, a característica de dispersão torna-se vertical nas gamas de

valores de frequência relativos às bandas permitidas, o que se traduz na anulação da sua largura. No

caso da Figura 3.27, com Λ 6 , todo o espectro analisado se encontra abrangido pela região

mencionada, pelo que resulta um perfil rectangular para a característica de dispersão da componente

70


Figura 3.25 – Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 0.

Figura 3.26 – Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 3 .

Figura 3.27 – Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 6 .

Λπ

Λπ

Λπ

Λ

Λ

Λ

71


real da constante de propagação. Assim, no intervalo referido, as bandas permitidas apresentam uma

largura infinitesimal e todo o espaço espectral é constituído por bandas proibidas, pelo que as ondas

de Bloch são evanescentes, o que inviabiliza a propagação de radiação electromagnética na

estrutura. Verifica-se ainda que a componente imaginária de ostenta uma característica de forma

não exactamente elíptica, embora esta a posso modelar com razoável precisão, conforme exposto ao

nível da secção relativa ao teorema de Bloch.

Considerando, por uma questão de simplicidade, uma incidência da radiação electromagnética

perpendicularmente à orientação das células que compõem o cristal fotónico, ou seja, 0, reverte

simplesmente de (3.75) a expressão geral da constante de propagação longitudinal relativa a cada

camada do tipo da estrutura,

, (3.117)

pelo que qualquer rácio de constantes de propagação longitudinais se pode escrever na forma de um

rácio de índices de refracção,

, (3.118)

em que e são inteiros não nulos que identificam a camada em questão no contexto de cada

célula. No caso em análise no presente capítulo, com células de duas camadas, tem-se , 1,2 .

Assim, encontra-se patenteada no Anexo B.6 a dedução da versão final da equação de dispersão

, para o caso particular de radiação electromagnética incidindo perpendicularmente sobre a

estrutura periódica,

cos Λ cos cos12 sin sin , (3.119)

que relaciona a frequência angular de trabalho com a constante de propagação correspondente às

ondas de Bloch na estrutura, na situação singular de esta ser constituída por células de duas

camadas, de espessuras e , e às quais estão associados índices de refracção não dispersivos e

espacialmente invariantes, e .

Representam-se nas Figuras 3.28 a 3.31 as soluções da componente real da equação de dispersão

(3.119), correspondentes a diversos modos de propagação das ondas de Bloch para estruturas de

características distintas. Assim, no caso de uma estrutura geometricamente simétrica, na Figura 3.28,

cuja análise em termos da expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica se

encontra na secção relativa ao Teorema de Bloch, redunda de (3.66) que os coeficientes de ordem

par são nulos. Por outro lado, na aproximação de baixo contraste, a largura de cada banda proibida é

directamente proporcional ao respectivo coeficiente (3.63). Confirma-se assim, por via gráfica, que as

bandas proibidas de ordem par apresentam uma largura nula, i.e., apenas ostentam existência

efectiva enquanto hiatos de frequência caracterizados por tornar evanescente a propagação de

radiação electromagnética na estrutura as bandas proibidas de ordem ímpar. De facto, tornando a

estrutura geometricamente assimétrica, por hipótese através da adopção das espessuras 0,75Λ

72


Figura 3.28 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.

Figura 3.29 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,75Λ e 0,25Λ.

e 0,25Λ, resulta o diagrama de dispersão da Figura 3.29, com bandas proibidas de qualquer

ordem com largura não nula. Quer na Figura 3.28, quer na Figura 3.29, fica bem patente a forma

típica da característica de dispersão dos diversos modos presentes num cristal fotónico de reduzido

contraste, aproximadamente rectilínea para gamas de frequência suficientemente afastadas das

bandas proibidas.

No diagrama de dispersão da Figura 3.30, relativo a um cristal fotónico geometricamente simétrico,

porém com 2 e 4, o elevado contraste torna inaceitável a aproximação (3.49) e, por

consequência, a relação de proporcionalidade directa (3.63) entre os coeficientes da expansão em

série de Fourier e a largura das bandas proibidas da mesma ordem, pelo que o aparecimento de

hiatos espectrais não nulos de ordem par emerge com naturalidade. Embora a característica de

dispersão de cada um dos modos de propagação evidenciados por esta estrutura apresente um

Λπ

Λπ

Λ

Λ

73


Figura 3.30 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.

Figura 3.31 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ.

comportamento aproximadamente sinusoidal com a frequência, constata-se a existência de modos

sobrepostos. O mesmo não sucede no diagrama da Figura 3.31, referente ao cristal fotónico de alto

contraste, marcadamente assimétrico do ponto de vista geométrico. Tal como referido anteriormente,

este apresenta evidentes similitudes com o cristal electrónico clássico de potencial periódico,

segundo o modelo de Kronig-Penney, como comprova o seu espectro de bandas proibidas e

permitidas, esboçado na Figura 2.8.

Considere-se, no que se segue, o caso particular de uma estrutura caracterizada por uma

dependência das espessuras das camadas com o correspondente índice de refracção, na forma

2 , (3.120)

Λπ

Λπ

Λ

Λ

74


no que resulta

2

2

. (3.121)

Substituindo (3.121) em (3.119) e tendo em conta (3.117), vem

cos Λ cos Ωπ2

12 sin Ω

π2 , (3.122)

com a frequência angular normalizada

Ω . (3.123)

O primeiro termo do segundo membro de (3.122) é um produto simples de co-senos, porquanto

necessariamente de módulo não superior à unidade, tornando-se nulo para Ω ímpar. Já o segundo

termo, um produto de senos por uma constante dependente da soma do rácio dos índices de

refracção e com a sua inversa, apresenta um módulo nunca inferior à unidade e anula-se para

valores pares de Ω. Assim, com inteiro positivo, reverte para a equação de dispersão (3.122),

cos Λ12 , Ω 2 1

1 , Ω 2. (3.124)

Para Ω ímpar, tem-se Λ arccos , com 1, que corresponde ao centro das bandas proibidas,

com a constante de propagação de Bloch dada pela expressão clássica (3.41). Por outro lado, com Ω

par, resulta Λ arccos 1 2 , com inteiro, que constitui o centro das bandas permitidas. Estas

são formadas por sobreposição de dois modos de propagação periódicos, conforme é possível

constatar no diagrama de dispersão da Figura 3.32. Um cristal fotónico com estas particularidades do

ponto de vista geométrico é habitualmente designado de estrutura de quarto de onda, da expressão

anglo-saxónica ‘quarter wave stack’, sendo caracterizado pela simetria e regularidade da sua relação

de dispersão. De facto, e conforme retrata a Figura 3.32, as bandas proibidas e permitidas

distribuem-se harmoniosamente pelo espectro e apresentam largura constante, sendo que as últimas

resultam constantemente da sobreposição de dois modos de propagação contíguos. Estas estruturas,

pela previsibilidade e regularidade da sua organização espectral, revestem-se de particular utilidade

no estudo e análise das características reflectivas e refractivas dos cristais fotónicos.

Nas Figuras 3.33 e 3.34 reproduz-se o enquadramento da característica de dispersão de duas

estruturas periódicas, respectivamente de reduzido e elevado contraste, face aos diagramas

correspondentes a dois meios simples de índices de refracção e . Tal como se previra, o

decremento do contraste provoca quer uma diminuição das bandas proibidas, quer uma aproximação

da forma da característica de dispersão do cristal às dos materiais que compõem as respectivas

camadas. A Figura 3.34, em particular, diz respeito à referida estrutura de quarto de onda, de alto

contraste, permitindo evidenciar o andamento regular do número de onda de Bloch, com a frequência,

bem como a constância da distância de separação entre bandas proibidas.

75


Figura 3.32 – Múltiplas bandas de energia da estrutura de quarto de onda com alto contraste.

Figura 3.33 – Diagrama de dispersão do cristal fotónico de baixo contraste e respectivos meios.

Figura 3.34 – Diagrama de dispersão da estrutura de quarto de onda e respectivos meios.

Λπ

Λ

Λπ

Λπ

Λ

Λ

76


Para obter as características refractivas do cristal fotónico, recorre-se à equação matricial (3.88), que

relaciona o vector coluna relativo às amplitudes complexas das ondas de Bloch incidente e reflectida

na interface que separa o meio exterior da estrutura com o vector coluna respeitante à célula de

ordem . Admite-se, no que se segue, que o cristal é espacialmente limitado a células, pelo que

esta constitui igualmente fronteira com o exterior, resultando

. (3.125)

A potência da matriz de transferência , no segundo membro da equação, pode ser obtida com

recurso à identidade de Chebyshev, cuja demonstração se encontra documentada ao nível do Anexo

B.7, revertendo a expressão

, (3.126)

onde se introduz a notação

sin Λsin Λ . (3.127)

O coeficiente de reflexão, por definição, é calculado através do rácio das amplitudes complexas das

ondas reflectida e incidente à entrada da estrutura, na condição de não se fazer incidir radiação

electromagnética no final desta, i.e., 0, pelo que se tem

. (3.128)

De (3.125), (3.126) e (3.128), vem

, (3.129)

ou, substituindo (3.127),

sin Λsin Λ sin 1 Λ . (3.130)

A reflectividade [23], que se reveste de particular utilidade no contexto do presente trabalho analítico,

é dada por

| | N| |

| | sin Λsin Λ

, (3.131)

de onde resulta, de imediato, a expressão da transmissividade,

11

1 | | sin Λsin Λ

. (3.132)

O coeficiente da matriz de transferência assume uma importância fulcral no cálculo de grandezas

deste tipo uma vez que, conforme ressalta de (3.131), modela por si só a reflectividade de um cristal

77


baseado numa célula única,

| || | 1 | |

1 . (3.133)

Uma vez que a reflectividade de um cristal fotónico unicelular típico é habitualmente muito inferior à

unidade [22], é possível admitir, por aproximação, que | | . Por outro lado, para estruturas

com um número de células suficientemente elevado, o segundo termo do denominador de (3.131)

varia rapidamente com e, consequentemente, com a frequência angular e com a constante de

propagação transversal que, por seu turno, se encontra directamente indexada ao ângulo de

incidência da radiação electromagnética sobre o cristal. Nesse sentido, o referido termo domina a

estrutura espectral das grandezas em análise, sendo responsável pelas rápidas oscilações que se

podem observar na Figura 3.35, que corresponde à transmissividade de uma estrutura fotónica

geometricamente simétrica e de elevado contraste.

Figura 3.35 – Transmissividade com camadas de espessura similar e alto contraste.

Os nulos de transmissividade coincidem com os centros das bandas proibidas, como fica claro por

comparação da Figura 3.35 com a Figura 3.25, que ilustra o diagrama de dispersão das componentes

real e imaginária do número de onda de Bloch, para a mesma estrutura. Por outro lado, ressalta de

(3.132), com o segundo termo do denominador descrito por uma quociente entre senos com razão de

velocidade de variação de fase de , que a envolvente a transmissividade segue uma envolvente

1

1 | |sin Λ

. (3.134)

esboçada a azul na Figura 3.36. É importante realçar que os resultados alcançados apenas se

revestem de validade no âmbito dos intervalos espectrais correspondentes às bandas permitidas, i.e.,

com real. Nas bandas proibidas, com complexo e dado por (3.41), tem-se

Λ

78


Λ Λ , (3.135)

com inteiro, resultando para a reflectividade,

| |

| | sinh Λsinh Λ

, (3.136)

e para a transmissividade,

1

1 | | sinh Λsinh Λ

. (3.137)

Figura 3.36 – Envolvente da transmissividade.

Conhecidas as expressões que permitem obter todas as grandezas relacionadas com as

características de reflexão e refracção dos cristais fotónicas, importa proceder à sua aplicação a

estruturas com um comportamento mais regular das características de dispersão, como é o caso das

supra referidas estrutura de quarto de onda, cujo andamento espectral das componentes real e

imaginária da constante de propagação de Bloch se representa na Figura 3.37.

Figura 3.37 – Componentes real e imaginária de da estrutura de quarto de onda.

Ω ·

Λπ

Λ

,

79


Tal como se previra, o diagrama de dispersão da estrutura de quarto de onda caracteriza-se por uma

distribuição particularmente homogénea das bandas permitidas e proibidas, cuja amplitude e largura

se mantêm inalteradas ao longo de todo o espectro. O correspondente gráfico de transmissividade,

na Figura 3.38, que reproduz com considerável acuidade os resultados alcançados em [60], confirma

estes pressupostos. Para efeitos de simulação numérica, admitiu-se um contraste elevado, com

2 e 4. No entanto, torna-se premente realçar que as oscilações provocadas pelo termo

trigonométrico de rápida variação de fase em (3.132) são de magnitude tanto menor, quanto mais

reduzido o contraste dieléctrico que caracteriza o cristal. Como se referira, os múltiplos ímpares da

frequência angular normalizada Ω correspondem aos centros das bandas proibidas, o que se

coaduna com uma situação de transmissividade nula, ao passo que os múltiplos pares da referida

grandeza dizem respeito aos centros das bandas permitidas, dotando a envolvente da

transmissividade do seu valor máximo.

Figura 3.38 – Transmissividade da estrutura de quarto de onda.

As oscilações mencionadas podem ser observadas com maior rigor na Figura 3.39, que realça a

característica de transmissividade da mesma estrutura no caso particular da primeira banda proibida

de frequência, centrada em Ω 1. Para analisar a dependência da transmissividade com o ângulo de

incidência da radiação electromagnética sobre a estrutura, faz-se variar esta grandeza no intervalo

0,5 ; 0,5 que corresponde, segundo o esquema da Figura 3.5, ao seu intervalo de valores

admissíveis, fixando, em simultâneo, a frequência angular de trabalho. Assim, a característica de

transmissividade da estrutura de quarto de onda, com alto contraste, encontra-se esboçada nas

Figuras 3.40 e 3.41, para Ω 5 e para Ω 6, respectivamente. A primeira é relativa a um valor ímpar

da frequência normalizada, porquanto correspondente ao centro de uma banda proibida, ao passo

que a segunda, baseada num valor par da frequência normalizada, diz respeito ao centro de uma

Ω ·

80


Figura 3.39 – Pormenor da primeira banda de transmissividade nula.

banda permitida. Nesse sentido, surge com naturalidade a evidência de que a transmissividade

assume os valores 0 e 1, no valor central do eixo das abcissas dos gráficos das Figuras 3.40

e 3.41 respectivamente, uma vez que este corresponde ao caso particular da incidência

perpendicular, i.e., 0 . Deste modo, de (3.116) resulta para a constante de propagação

transversal 0. De referir ainda que, em qualquer dos casos, a variação de para uma frequência

fixa provoca a mutação da característica de dispersão da estrutura, que percorre várias bandas

proibidas e permitidas adjacentes. Esta situação torna-se particularmente clara nos gráficos

referentes aos diagramas de dispersão dos cristais fotónicos em função de e de , das Figuras

3.10 a 3.18. Assim, apenas para um ângulo de reduzida abertura se pode garantir a permanência da

zona de funcionamento numa banda determinada.

Figura 3.40 – Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 5.

Ω ·

81


Figura 3.41 – Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 6.

Por uma questão de rigor, torna-se necessário referir que todos os resultados obtidos por simulação

numérica na presente secção, no âmbito da transmissividade de cristais fotónicos, se baseiam em

estruturas periódicas de 20 células, valor tipicamente aceite como vulgar na literatura, pelo que a

crítica comparativa se reveste de legitimidade. Por outro lado, admite-se que o cristal se encontra

imerso num meio com índice de refracção , que coincide com o da primeira camada em contacto

com o exterior. Só desta forma permanecem válidos todos os pressupostos obtidos no âmbito da

caracterização matricial, introduzida na secção anterior. No caso de se pretender analisar o

comportamento e fenomenologia associados a este tipo de estruturas em ambientes diversos, como

seja o ar ou o vácuo, é necessário levar em consideração as condições fronteira associadas às novas

interfaces, relativas ao início e ao fim do cristal. Assim, a equação (3.125) surge reescrita, de forma a

incluir as novas matrizes de transferência da entrada e da saída ,

. (3.138)

3.3 Novos Paradigmas dos Cristais Fotónicos

A propagação de radiação electromagnética em estruturas periódicas, habitualmente designadas

neste contexto por cristais fotónicos, constitui um ramo científico em franco desenvolvimento. É muito

frequente o estudo, desenho e produção de componentes ópticos baseados nestes, com múltiplas

camadas, definidas por espessuras e características electromagnéticas diversas, organizadas de

forma a suprimir ou aumentar efeitos de reflectividade ou transmissividade ou alterar as suas

propriedades de dispersão ou de polarização [68].

82


Estes fenómenos são análogos aos que se encontram associados às redes cristalinas sólidas, como

os semicondutores, tratadas ao nível do capítulo precedente. Nesse caso, trata-se de caracterizar as

funções de onda relativas a partículas, como os electrões, e que definem univocamente a densidade

de probabilidade da sua localização na estrutura, quando submetidos a um potencial periódico. Tal

como nos cristais fotónicos, surgem bandas proibidas, que nesse caso são gamas de energia que

não se encontram acessíveis. Esta similitude comportamental entre dois tipos de partículas, os

electrões e os fotões, levou a que se apelidassem de cristais fotónicos as estruturas em rede que são

alvo de análise no presente capítulo.

Estas podem ser ou não periódicas, contendo em qualquer dos casos uma, duas ou três dimensões

espaciais. Apenas as redes fotónicas periódicas unidimensionais são alvo de estudo nesta

dissertação, destacando-se neste contexto dois grandes tipos, que diferem pela existência ou não de

características electromagnéticas continuamente variantes. Nos casos em que esta condição se

verifica, o estudo é direccionado para a dissecação da estrutura através da obtenção dos coeficientes

em série de Fourier das funções permitividade eléctrica e permeabilidade magnética. Quando o cristal

consiste de camadas alternadas de materiais de índice de refracção diverso, porém espacialmente

invariantes em intervalos determinados e correspondentes às respectivas espessuras, recorre-se a

um tratamento matricial. Em qualquer das situações, os cristais fotónicos constituem ou estão na

base de dispositivos flexíveis e com dotações diversas, como sejam a utilização como espelhos que

reflectem ondas que sobre eles incidam em determinados ângulos ou como filtros selectivos que

permitem ou evitam a passagem de determinadas gamas de frequência. Torna-se relevante referir

que a obtenção de propriedades deste tipo apenas é conseguida quando as ondas ópticas,

inerentemente periódicas, interagem com a estrutura periódica, o que requer que as referidas

periodicidades sejam compatíveis, no sentido em que apresentem escalas da mesma ordem de

grandeza.

Com o advento dos metamateriais e, mais especificamente, dos meios DNG, o que acarreta a

consequente introdução do conceito de índice de refracção negativo, reveste-se de particular

interesse a análise da influência que a sua inclusão, ainda que parcial, no seio dos cristais fotónicos,

traria ao nível de toda a fenomenologia envolvida. Por outro lado, não é realista considerar que as

características electromagnéticas dos meios que os constituem são espectralmente invariantes, pelo

que é imperativa a consideração de modelos dispersivos. Estas apreciações constituem o cerne do

capítulo seguinte.

Capítulo 4

Cristais Fotónicos com Meios

DNG Dispersivos

Este capítulo constitui uma particularização da análise e caracterização da propagação de radiação

electromagnética em cristais fotónicos de camadas alternadas de materiais de índice de refracção

diverso, efectuada de forma geral no contexto do capítulo anterior, através da introdução de materiais

duplamente negativos, ou DNG. São especialmente enfocadas as peculiaridades que lhes estão

associadas, face aos meios DPS clássicos, e a forma como estas permitem a obtenção de

propriedades não evidenciadas por estruturas periódicas comuns. Adicionalmente, procura-se

emprestar algum realismo ao estudo de cristais deste tipo, abandonando a aproximação grosseira

segundo a qual as características electromagnéticas do meio permanecem invariantes ao longo do

espectro. Assim, são adoptados distintos modelos dispersivos, que acarretam, pelo princípio da

causalidade, a consideração das perdas, em constante comparação com o caso ideal.

84

Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos

“In an ideal world, magnetic and electrical field

lines can be placed anywhere that the laws of

physics allow and a suitable metamaterial found to

accommodate the desired configuration of fields.”

J. Pendry [85]

4.1 Conceptualização e Desenvolvimento dos Metamateriais

O percurso e o desenvolvimento da ciência sempre foram marcados pela obtenção de fenómenos ou

características não existentes de forma natural no meio ambiente. Assim, através da transformação,

reorientação, combinação e manipulação de materiais básicos, prossegue-se uma demanda contínua

pela consecução de propriedades úteis, de forma cada vez mais acelerada e profunda. O limite óbvio

para esta actividade surge ao nível atómico, uma vez que este constitui o patamar fundamental da

matéria e surge como barreira intransponível à expansão desta actividade.

Desta forma, no contexto de uma evidente necessidade de encontrar um curso de progresso que

avance paralelamente à manipulação pura e simples dos meios, surge a noção de metamaterial. Este

pode ser definido [40], de uma forma simplista, por uma estrutura artificial de materiais, combinados

de forma a obter propriedades vantajosas e incomuns. Mesmo uma definição particularmente flexível

como esta, limita de forma óbvia o conceito pretendido. Na realidade, a noção de material é ela

própria ambígua. Ainda assim, e recorrendo a uma analogia, é possível considerar que os

metamateriais são compostos pelos seus elementos da mesmo forma que a matéria é constituída

pelos átomos. Porém, estes elementos estruturais são materiais convencionais, pelo que os

metamateriais representam o próximo patamar de organização estrutural, o que está na origem da

sua designação. De facto, ao prefixo ‘meta’ atribui-se a conotação de ‘depois’, ‘para além de’ ou

mesmo ‘de tipo superior’. Existe ainda muita controvérsia em torno desta definição, que tem sofrido

permanentes mutações, sobretudo em virtude de se tratar de uma área de amplo tratamento científico

em anos recentes. Porém, é amplamente aceite, no contexto do electromagnetismo [86], que um

metamaterial é um objecto cujas propriedades advêm mais significativamente da sua estrutura e da

forma de organização dos elementos que os compõem, do que das características que estes

ostentam singularmente.

Em termos da influência sobre a radiação electromagnética, o principal efeito que a maior parte dos

materiais clássicos acarreta é o da modelação dos campos que sobre ele incidem, de uma forma bem

determinada e que pode ser descrita pelos parâmetros permitividade eléctrica e permeabilidade

magnética. Com o advento dos metamateriais, estas relações tornam-se amplamente mais

complexas e artificialmente moldáveis, o que está na base da persecução de características

pretendidas para o funcionamento de determinados dispositivos. Nos meios normais, os referidos

parâmetros dependem da escala que se considera. De facto, entende-se por características

electromagnéticas do meio os coeficientes que modelam o comportamento global da estrutura,

85


funcionando em bloco e não como um aglomerado de contribuições individuais dos átomos ou

moléculas que a compõem. Assim, só faz sentido a sua assumpção enquanto elementos

caracterizadores do material se a escala das suas dimensões lineares for comparável à dos

comprimentos de onda que estão envolvidos no processo. O mesmo se passa com os metamateriais,

aos quais surgem associados parâmetros caracterizadores globais, como a permitividade, a

permeabilidade ou o índice de refracção, o que implica que os materiais comuns que estão na base

da sua concepção apresentem dimensões desprezáveis face aos comprimentos de onda da radiação

electromagnética envolvida.

Adicionalmente à questão da escala, surge a necessidade de clarificação da problemática referente

ao número de elementos estruturais. Na realidade, um material comum apenas pode ser encarado

enquanto tal quando uma quantidade significativa de unidades individuais que o compõem está

presente, quer se trate de um único tipo ou espécie, quer seja um composto organizado segundo um

padrão determinado. Nesta altura, torna-se relevante frisar que os próprios cristais fotónicos, tema

central da presente dissertação, podem ser classificados como metamateriais [87], quando cumprida

a questão da escala supra referida. No entanto, no âmbito deste trabalho de análise, as estruturas

periódicas estudadas não são analisadas globalmente enquanto matéria indiferenciável, mas sim

enquanto arranjo periódico de células constituídas por camadas alternadas de características

electromagnéticas distintas. Admite-se sim, no âmbito do presente capítulo, que as células

mencionadas são formadas por um par de camadas, sendo uma composta de um material comum e

a outra de um metamaterial, segundo especificidades que adiante se definem. Retomando a questão

do número de elementos, é conveniente referir que no que diz respeito à resposta de um material, o

que por via da analogia previamente explicitada também é válido para um metamaterial, esta traduz a

média ponderada das diversas contribuições individuais, através da adopção de parâmetros de

validade macroscópica. Para que esta seja consistente e mesmo estatisticamente válida, torna-se

imperioso considerar um número elevado de elementos fundamentais.

As questões expostas, relativamente à escala e ao número de unidades individuais, são comuns aos

materiais clássicos e aos metamateriais. No entanto, estes últimos ostentam uma vantagem

competitiva evidente sobre os primeiros. As células ou elementos estruturais são artificiais, pelo que

podem ser desenhadas, esquematizadas e implementadas tendo em vista resultados específicos, ao

contrário do que sucede com os materiais típicos, que são compostos por elementos básicos

encontrados na natureza e listados na tabela periódica. Assim, as características dos metamateriais

podem ser projectadas a partir de um nível primário, podendo os seus elementos, que consistem de

pseudo átomos artificiais, assumir propriedades particularmente variadas. Adicionalmente, por muitos

avanços que se vislumbrem ao nível tecnológico, as manipulações de materiais a nível atómico,

referenciadas no início desta secção, revestem-se de uma complexidade indubitavelmente superior à

que está associada ao arranjo e disposição de materiais comuns segundo uma estrutura ordenada,

tal como sucede nos metamateriais, o que as torna inclusivamente mais dispendiosas. Mais se

constata que, no caso dos metamateriais, é não só possível construir de raiz um meio com

determinadas características electromagnéticas pretendidas, como também é viável o seu ajuste e

controlo durante as operações relativas ao seu funcionamento, usando ferramentas e mecanismos

86


inerentes à própria estrutura [40]. Outra vantagem dos metamateriais face aos materiais vulgares diz

respeito à sua inequivocamente mais simples facilidade de análise, especificação e padronização

comportamental. De facto, conhecendo as propriedades associadas a uma única célula fundamental

de um metamaterial, é possível obter de forma fechada e exacta, com recurso às leis da

electrodinâmica clássica, a caracterização e a resposta da estrutura como um todo, através de uma

generalização ponderada, ao nível macroscópico. Nos materiais comuns, por seu turno, as células

fundamentais são os próprios átomos ou moléculas que as constituem, pelo que uma análise deste

género se revestiria de abundante complexidade e implicaria a utilização de recursos científicos mais

gerais, como a mecânica quântica.

Definidos os pressupostos que estão na base da noção e definição de metamaterial, importa

conhecer as suas potencialidades e áreas de aplicação. De entre as classes de metamateriais

presentemente mais comuns, destacam-se os meios dieléctricos e magnéticos artificiais, os materiais

quirais, anisotropia e bianisotropia e principalmente, os meios DNG, ou de Veselago [45], que são

alvo de análise no presente capítulo, enquanto elemento base de camadas de cristais fotónicos, em

alternância com camadas DPS. Estes acrónimos são definidos e escalpelizados na secção seguinte.

Sugeridos pela primeira vez na década de sessenta por Viktor Veselago, os meios DNG constituem o

expoente máximo da actual linha de investigação científica em torno dos metamateriais. Na sua

génese, resultam da conjugação de diversos elementos e matérias, organizados e estruturados de tal

forma que, macroscopicamente, ambas as características electromagnéticas, permitividade eléctrica

e permeabilidade magnética, apresentem, ainda que numa gama reduzida de frequências, um valor

negativo. Como fica claro em secções subsequentes, surge em consequência um índice de refracção

negativo, que está na base de noções aparentemente contraditórias e pouco intuitivas. Constata-se

ainda que o vector de onda associado à radiação incidente sobre estes materiais e o vector de

Poynting partilham a direcção, mas não o sentido. De facto, ao passo que num meio DPS clássico, o

triedro composto pelos campos eléctrico e magnético e pelo vector de onda é direito, num meio DNG

a potência electromagnética flui no sentido diametralmente oposto ao da fase da radiação e o triedro

é esquerdo. Por estes motivos, estes meios são também habitualmente designados por BWM ou

LHM, das expressões anglo-saxónicas ‘Backward Wave Media’ e ‘Left-Handed Media’,

respectivamente.

4.2 Caracterização de Meios DNG

4.2.1 Definições e Nomenclatura

As características electromagnéticas de um meio específico, permitividade eléctrica e

permeabilidade magnética , são grandezas complexas, pois este apresenta inerentemente perdas,

conforme fica claro em secções posteriores. Nesse sentido, podem ser decompostas nas suas

componentes real e imaginária,

87


, (4.1)

pelo que se tem

. (4.2)

Define-se por meio DNG ou Duplamente Negativo, do inglês ‘Double Negative’, um material cujas

características electromagnéticas e encontrem condicionas às imposições

, 0 , (4.3)

sendo que um meio comum DPS ou Duplamente Positivo, do inglês ‘Double Positive’, analisado nos

capítulos precedentes no seio dos cristais fotónicos, respeita restrições complementares,

, 0 . (4.4)

Das combinações possíveis de sgn e de sgn , remanescem os meios do tipo SNG ou

Simplesmente Negativo, do inglês ‘Single Negative’, sujeitos à limitação

0 , (4.5)

e que podem ser subdivididos em meios do tipo ENG e MNG, acrónimos para ‘Epsilon Negative’ e

para ‘Mu Negative’, que apresentam a parte real das características electromagnéticas de sinal

oposto e respectivamente, 0 ou 0. O diagrama da Figura 4.1 ilustra a localização de cada

um dos meios considerados num sistema de eixos formado pelas componentes reais de e de .

Figura 4.1 – Diagrama de classificação dos meios.

4.2.2 A Noção de Índice de Refracção Negativo

As relações constitutivas clássicas de um meio genérico encontram-se, na realidade, descritas no

domínio da frequência, ou seja,

Meios

ENG

Meios

DNG

Meios

MNG

Meios

DPS

88


, (4.6)

com as respectivas características electromagnéticas, permitividade eléctrica e permeabilidade

magnética, dadas por

11 , (4.7)

onde e representam, respectivamente, as susceptibilidades eléctrica e magnética.

No que se segue, considere-se uma propagação da radiação electromagnética segundo o eixo

espacial e o campo eléctrico polarizado segundo , de tal forma que se tenha

expexp , (4.8)

com o rácio entre módulo da constante de propagação e constante de propagação no vácuo,

, (4.9)

definido pelo índice de refracção, i.e.,

, (4.10)

e com a velocidade da luz no vácuo,

. (4.11)

Considerando as duas primeiras equações de Maxwell,

∂∂ , (4.12)

na situação de inexistência de corrente de condução, 0, e recorrendo aos operadores diferenciais

de espaço e de tempo no plano complexo,

, (4.13)

resulta, tendo em conta as relações constitutivas (4.6),

. (4.14)

De (4.8), tem-se

expexp , (4.15)

pelo que, substituindo (4.14) em (4.15), reverte

89


00 , (4.16)

ou, na forma matricial,

0

0. (4.17)

Uma vez que não se pretende obter a solução trivial 0, que corresponde à inexistência de

radiação electromagnética no meio em questão, anula-se o determinante da matriz principal,

0 , (4.18)

que, considerando (4.9) e (4.11), fica

. (4.19)

Dada a definição de índice de refracção (4.10), obtém-se finalmente a expressão que permite a sua

obtenção em função das características electromagnéticas do meio,

. (4.20)

A impedância de onda do meio, por seu lado, de (4.16), vem dada por

. (4.21)

Definindo por impedância de onda normalizada o rácio entre a impedância de onda num meio

genérico e a impedância de onda no vácuo,

, (4.22)

resulta, de (4.9), (4.10), (4.11) e (4.21),

. (4.23)

Definida a impedância de onda normalizada, que fornece uma relação entre as amplitudes dos

campos eléctrico e magnético, e o índice de refracção, que alude à magnitude da constante de

propagação no meio em causa, em ambos os casos face aos seus valores no vácuo, é possível,

considerando (4.21) e (4.23), escrever as equações das amplitudes complexas dos campos na forma

exp

exp , (4.24)

uma vez que, de (4.20), o índice de refracção é da forma

, (4.25)

decomposto nas suas componentes real e imaginária,

90


. (4.26)

De (4.24), redunda o valor médio do vector de Poynting,

12

12| | 1

exp 2 . (4.27)

Como facilmente se infere de (4.27), tanto a componente imaginária do índice de refracção como,

por força da relação (4.10), a da constante de propagação, são necessariamente positivas, pois de

outra forma não se verificaria uma extinção da energia ao longo do sentido positivo do eixo ,

coincidente com a propagação da radiação, condição que caracteriza um meio passivo.

No segundo membro da expressão (4.27), tendo em conta (4.23), pode-se escrever o factor que

depende da impedância de onda normalizada como

1. (4.28)

Considera-se que o meio é passivo, i.e., , , 0, e também DNG, logo, , 0.

Adicionalmente, como fica claro em secções posteriores, 0. Assim, a expressão (4.28) é

necessariamente não negativa e a potência flui no sentido positivo do eixo , que coincide com o de

propagação,

· 0 . (4.29)

Com o intuito de obter uma inspecção da expressão para o índice de refracção de um meio DNG,

torna-se necessário efectuar uma análise ao comportamento das características electromagnéticas

deste no contexto do plano complexo. De notar que é possível arrolar uma decomposição de ,

descrito por (4.20), em duas componentes dependentes exclusivamente da permitividade eléctrica e

da permeabilidade magnética,

. (4.30)

É suficiente efectuar o estudo da permitividade eléctrica, uma vez que os resultados relativos à

permeabilidade magnética decorrem por analogia. Nesse sentido, atente-se ao esquema da Figura

4.2, em que e representam, respectivamente, o argumento e o módulo de , que assim pode ser

escrito na forma

exp . (4.31)

De (4.30) e (4.31), definindo

, (4.32)

91


Figura 4.2 – Permitividade eléctrica no plano complexo.

tem-se

exp 2

exp 2

, (4.33)

conforme se representa no esquema do plano complexo da Figura 4.3, com as grandezas expressas

em (4.31), para o caso de , descritas por

cos

sin

. (4.34)

Uma vez que, por definição de meio DNG passivo, 0 e 0, resulta cos , sin 0 no que

implica uma gama de variação de ângulo restrita ao intervalo

2 , . (4.35)

Dado que o argumento da componente do índice de refracção corresponde a metade do ângulo

formado pelas componentes real e imaginária da permitividade eléctrica, sobressai de imediato de

(4.35) que o seu valor se encontra limitado ao intervalo

arg 2 4 , 2 . (4.36)

É possível escrever (4.33) na forma

sin 2 cos 2 , (4.37)

92


Figura 4.3 – Componente do índice de refracção no plano complexo.

com as relações trigonométricas

cos 21 cos

2

sin 21 cos

2

, (4.38)

ou, substituindo (4.34) em (4.38),

cos 212 1

sin 212 1

. (4.39)

Recorrendo ao esquema da Figura 4.2, a (4.33), a (4.34) e a (4.39), tem-se para as partes real e

imaginária da componente do índice de refracção, com sgn | | e | | ,

| |2 1 1

sgn

1

| |2 1 1

sgn

1

. (4.40)

Da análise desta expressão, facilmente se constata que , o que está de acordo com o

intervalo (4.36) para arg , dado que sgn 1, por se tratar de um meio DNG. Considerando o

caso limite em que não se verificam perdas, i.e., 0, resulta

2

93


0

| | | | . (4.41)

Por analogia, e tendo em conta que todos as premissas, gráficos e cálculos são similares para o caso

da permeabilidade magnética, reverte de imediato para a componente do índice de refracção,

| |2 1 1

sgn

1

| |2 1 1

sgn

1

, (4.42)

e no caso limite da inexistência de perdas, 0, a expressão

0

| | | | . (4.43)

Como corolário de (4.41) e (4.43), mantendo a ausência de perdas, 0, e fazendo uso da

expressão (4.30), obtém-se finalmente o índice de refracção relativo a um meio DNG que é, em valor

absoluto, equivalente ao do correspondente meio DPS, mas de sinal contrário,

| | | | , (4.44)

o que constitui demonstração de que, nos meios DNG, é negativo.

No caso mais geral, em que se admite a existência de perdas ao nível de ambas as características

electromagnéticas, de (4.30) e (4.32), fica

, (4.45)

e, tendo em conta a constatação de que , , , que sobressai de (4.40) e (4.42), e também a

condição (4.36), válida por analogia, e que implica que , , , 0, vem

00 . (4.46)

Desta forma, quer o meio DNG apresente ou não perdas, a parte real do índice de refracção é

inerentemente nula. Mais se observa que, de (4.33),

exp exp 2 , (4.47)

ou seja, o argumento de é calculado através da média dos ângulos que relacionam as componentes

real e imaginária de cada uma das características electromagnéticas. Dado que estes se encontram

limitados à gama de valores (4.36), que também é válida para , por analogia, arg encontra-se

condicionado ao intervalo

94


arg 2 2 , , (4.48)

conforme se representa no esquema da Figura 4.4.

Figura 4.4 – Índice de refracção no plano complexo.

Destes resultados sobressai a sustentação teórica das BW, expressão utilizada para designar ondas

de radiação electromagnética que apresentam um sentido de propagação inverso ao do sentido do

fluxo de potência associado. De facto, a constante de propagação é proporcional ao índice de

refracção segundo a expressão (4.10), pelo que se tem

, (4.49)

ou decompondo nas componentes real e imaginária,

. (4.50)

Como fica claro por análise das equações (4.24) e (4.27), a parte imaginária da constante de

propagação actua como factor de atenuação exponencial da energia electromagnética, ficando

indexada à parte real a definição da direcção e sentido da propagação, bem como da velocidade de

fase. De (4.29), (4.46) e (4.50), redunda

· 0· 0 , (4.51)

ou seja, tal como se referira anteriormente, a constante de propagação e o vector de Poynting

partilham a direcção, mas não o sentido. De facto, ao passo que num meio DPS clássico, o triedro

, , é direito, num meio DNG a potência electromagnética flui no sentido diametralmente oposto

ao da fase da radiação, i.e., o triedro , , é esquerdo, conforme se ilustra na Figura 4.5.

95


Figura 4.5 – Orientação espacial dos campos, vector de Poynting e constante de propagação.

4.2.3 Cristal Fotónico DPS-DNG

Definidas as condições que estão na base da noção de um meio DNG, nomeadamente o facto de,

quer as características electromagnéticas permitividade e eléctrica e permeabilidade magnética, quer

o índice de refracção, apresentarem parte real negativa, procede-se, no que se segue, à sua

aplicação no seio dos cristais fotónicos, escalpelizados no capítulo precedente. Numa primeira fase,

torna-se necessário recuperar a formulação clássica da relação de dispersão das estruturas

periódicas no caso particular de incidência perpendicular da radiação electromagnética, i.e., 0,

tal como ficou demonstrado no Anexo B.6 e amplamente analisado no contexto do Capítulo 3,

cos Λ cos cos sin sin , (4.52)

em que a semi-soma do rácio dos índices de refracção com o seu inverso é definido por

12 1 . (4.53)

Assume-se que não se verifica quer dependência espectral das características electromagnéticas

quer perdas, pelo que as características electromagnéticas dos meios envolvidos assumem a

natureza de grandezas reais. Mais se considera que o cristal fotónico apresenta um valor absoluto de

similar ao nível das camadas DPS e DNG, ou seja, | | | |, e que a sua estrutura segue a

representação esboçada na Figura 4.6.

Figura 4.6 – Representação esquemática de um cristal Fotónico DPS-DNG.

Meio DPS Meio DNG

…

0 0 0 0

0 0 0 0

DPS DNG DPS DNG

96


Tendo em conta as expressões do índice de refracção (4.20) e da impedância de onda (4.23), é

possível reescrever (4.53) na forma

12

12

12 , (4.54)

em que e , representam respectivamente as impedâncias de onda nas camadas 1 e 2.

De um ponto de vista genérico, recorrendo a (4.2) e a (4.25), a impedância de onda normalizada

(4.23) pode ser escrita como

, (4.55)

pelo que, por analogia com os resultados obtidos na secção anterior para o caso do índice de

refracção (4.41) e (4.43), no caso de se admitir inexistência de perdas, vem, para um meio DNG,

| |

| |

| |

| |0 , (4.56)

e, por via de (4.23), também 0, i.e., as impedâncias de onda relativas aos meios que constituem a

estrutura periódica são positivas, quer se trate de um material DPS, quer seja DNG. Assim, a

expressão (4.53) permanece invariante, independentemente do meio considerado. O mesmo não

sucede no caso das constantes de propagação , descritas por (3.117),

, (4.57)

que são directamente proporcionais aos índices de refracção respectivos. Relativamente às camadas

1, constituídas por meios DNG, presencia-se a formação das supra referidas Backward Waves

(BW), resultando 0. Nas camadas 2, por seu turno, o material é DPS, no que reverte 0.

Substituindo estas considerações em (4.52), obtém-se a equação de dispersão fundamental [88] de

um cristal fotónico DPS-DNG,

cos Λ cos | | cos12 sin | | sin . (4.58)

Considerando o caso particular da estrutura de quarto de onda, com as espessuras das camadas

dadas por (3.121), a relação de dispersão vem

cos Λ cos Ωπ2

12 sin Ω

π2 , (4.59)

com a frequência angular normalizada,

Ω . (4.60)

Tendo em atenção a expressão trigonométrica clássica

97


cos sin 1 , , (4.61)

verifica-se, dada a condição (4.53), que os membros da equação (4.59) apresentam um valor nunca

inferior à unidade. Assim, com inteiro, a constante de propagação de Bloch é imaginária pura em

todo o espectro, à excepção dos pontos

sin Ωπ2 0 Ω 2 , (4.62)

ou seja, a parte real de é discreta [61], só se manifestando para valores pares da frequência

angular normalizada. Nesse caso, tem-se

cos Λ 1 2 Λ . (4.63)

Conforma retrata a Figura 4.7, a componente imaginária do número de onda de Bloch, da qual

apenas se representa o primeiro modo, anula-se em pontos discretos do espectro, nos quais a

respectiva componente real se manifesta, através de modos diversos, periodicamente espaçados nos

eixos e .

Figura 4.7 – Componentes real e imaginária de uma estrutura de quarto de onda DPS-DNG.

Numa estrutura deste tipo, cada frequência discreta, correspondente a uma onda plana com

também ele discreto, leva a que cada camada se torne transparente para os meios vizinhos, no que

se coaduna com a criação de um modo de propagação ao longo do cristal. Por outro lado, radiação

incidente caracterizada por qualquer outra frequência satisfaz a condição de Bragg, conduzindo à sua

total reflexão pelas células que compõem a rede. Desta forma, torna-se possível a obtenção de picos

de transmissividade acentuados centrados nestes valores da frequência angular, conforme é visível

na Figura 4.8, que traduz o gráfico correspondente a um cristal fotónico de camadas alternadas DPS-

DNG, face à representação clássica já esboçada no capítulo anterior, respeitante a um cristal DPS-

DPS simples. A largura das bandas de transmissividade é consideravelmente reduzida, o que permite

a sua utilização como filtro selectivo de elevado factor de qualidade, e tanto menor quanto mais

Λπ

Ω ·

98


elevado o número de células que constituem a estrutura periódica, tal como fica claro na Figura 4.9, o

que confirma os resultados de [60].

Figura 4.8 – Transmissividade de cristais fotónicos DPS-DPS e DPS-DNG.

Figura 4.9 – Transmissividade de cristal fotónico DPS-DNG com número variável de células.

Ω ·

Ω ·

99


O fenómeno de discretização da constante de propagação que está na base da estrutura de quarto

de onda constitui uma ressonância obtida por via puramente geométrica, e que está relacionada com

a dependência das espessuras das camadas com os índices de refracção respectivos. No entanto,

qualquer ligeiro desequilíbrio a este nível provoca a perda de ressonância e o aparecimento gradual

de bandas permitidas, visível nas Figura 4.10 e 4.11. Este desfasamento é cíclico na frequência, pelo

que, a intervalos espectrais bem definidos, se repetem pontualmente as condições que configuram

uma estrutura de quarto de onda.

Figura 4.10 – Crescimento das bandas permitidas em estrutura de quarto de onda desequilibrada.

4.3 Modelos Dispersivos

4.3.1 Os Meios DNG como Subconjunto dos Meios NIR

Os resultados obtidos no contexto das Figuras 4.10 e 4.11 deixam antever a influência que

fenómenos como a dependência espectral dos parâmetros electromagnéticos podem acarretar ao

nível das características de dispersão e de transmissividade de cristais deste tipo. De facto, a

subordinação dos índices de refracção ao valor da frequência, alvo de análise nesta secção e

subsequentes, constitui um efeito inerente a qualquer meio na natureza, e que não pode ser

negligenciado, uma vez que produziria efeitos similares aos de desequilíbrios geométricos

anteriormente descritos, alterando por esta via as características comportamentais do cristal. É

habitual calcular as densidades médias de energia eléctrica e magnética através das expressões

Ω ·

Λπ

100


Figura 4.11 – Variação da constante de propagação em estrutura de quarto de onda desequilibrada.

14

| |

14

| | . (4.64)

Na realidade, as equações (4.64) constituem uma aproximação que resulta de se considerar que o

meio é não dispersivo. Trata-se de uma solução forçada e irrealista, uma vez que não é possível a

verificação deste pressuposto na prática. Com efeito, quando um determinado meio é excitado por via

de energia electromagnética, o princípio da causalidade impõe que a sua resposta impulsiva apenas

se inicie após esse instante e nunca a priori, uma vez que de outra forma se estaria a admitir a

suposição incongruente de que o material possui capacidade de se antecipar a variações futuras das

condições a que é submetido. Por outro lado, em meio algum o vector polarização acompanha

instantaneamente a aplicação de um campo electromagnético, pelo que as relações constitutivas

clássicas (4.6) se encontram, na realidade, descritas no domínio espectral, e não no domínio do

tempo, tal como se referira. Ainda assim, a utilização das aproximações (4.64) pode ser levada a

cabo com validade em alguns meios, sobretudo quando os campos se caracterizam por uma reduzida

intensidade, podendo desta forma considerar-se, por aproximação, lineares. No caso dos meios

DNG, no entanto, tal é inviável, desde logo pela constatação simples e imediata de que se obteria

valores negativos para as densidades médias de energia eléctrica e magnética, por via da própria

definição de meio duplamente negativo (4.3). Assim, torna-se vital recorrer às expressões exactas

[89] que permitem o cálculo destas grandezas para meios dispersivos,

14

| |

14

| | , (4.65)

que naturalmente, no caso particular em que as características electromagnéticas do meio não

apresentam qualquer dependência com a frequência, resultam nas expressões (4.64).

Ω ·

Λπ

101


A constatação da obrigatoriedade da consideração da dispersão em meios DNG obriga à utilização

de modelos para o andamento espectral de e , que são analisados em seguida. De realçar que,

em consequência directa do princípio da causalidade, qualquer modelo deve levar em consideração a

existência de perdas, i.e., a dispersão e as perdas constituem duas realidades indissociáveis. Esta

presunção é suportada pelas relações da transformada de Hilbert, ou de Kramers-Kronig [68],

1 2

21 , (4.66)

que evidenciam a correspondência entre as componentes real e imaginária da função de

transferência de um sistema linear e invariante no tempo causal, pelo que se uma das partes é

conhecida em todo o espectro, a outra fica imediatamente determinada.

Considere-se então um modelo de Lorentz [68] para as características electromagnéticas do meio,

que se admite ainda linear, isotrópico e desprovido de acoplamento magnetoeléctrico,

1

1 , (4.67)

em que Γ , , , e , representam, respectivamente, as frequências de colisão, relativas às

perdas, as frequências de ressonância e as frequências de plasma, quer no caso da permitividade

eléctrica, quer para a permeabilidade magnética.

É possível discriminar as partes real e imaginária de , por via de manipulação algébrica simples,

ΓΓ

ΓΓ

. (4.68)

Para determinar a banda de frequências consistente com um meio DNG, i.e., com a parte real da

permitividade negativa, torna-se necessário anular esta componente,

0 2 Γ 0 , (4.69)

e, acto contínuo, aplicar a fórmula resolvente,

2 2 Γ Γ 2Γ 4Γ , (4.70)

da qual resultam os extremos da banda espectral que se caracteriza por conduzir a valores

negativos da componente real da permitividade eléctrica. No caso específico em que se admite a

inexistência de perdas, Γ 0, vem

, (4.71)

102


tendo-se, por analogia, para a permeabilidade magnética,

. (4.72)

Os pares de frequências angulares (4.71) e (4.72) delimitam ao intervalos espectrais em que a

permitividade eléctrica e a permeabilidade magnética, respectivamente, apresentam parte real

negativa. Por definição, o meio torna-se DNG na intersecção dos referidos conjuntos, i.e., no intervalo

, , , . (4.73)

Admitindo que (4.73) constitui um conjunto não vazio e que se verificam as condições relacionais

, a gama de frequência para a qual o meio é duplamente negativo vem

simplesmente

, , . (4.74)

Considerando um modelo de Drude [89], posteriormente analisado, e que parte da premissa de que

as frequências de ressonância são nulas, ou seja, 0, vem, de (4.70), para a

permitividade

0

Γ , (4.75)

e, por analogia, para a permeabilidade,

0

Γ , (4.76)

pelo que, no contexto deste modelo, a gama de frequências correspondentes à classificação do meio

como duplamente negativo obedece à intersecção

, , , 0, 0, , (4.77)

no que resulta

, 0,min , . (4.78)

No que se segue, introduzem-se os comprimentos de onda

2 2

2

2

2

, (4.79)

no que resulta para a permitividade eléctrica, de (4.67),

103


11

. (4.80)

Introduzindo as variáveis

1 2

21

2

, (4.81)

redunda, após manipulação algébrica, o modelo de Lorentz para a permitividade eléctrica,

11 1

, (4.82)

e, por analogia, para a permeabilidade magnética,

11 1

. (4.83)

Nas Figuras 4.12 e 4.13 representam-se as curvas referentes ao modelo de Lorentz, para as

componentes real e imaginária da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética,

considerando, para efeitos de simulação numérica, os valores 1, 0,8, 100,

0,3 e 0,32 . De destacar os comprimentos de onda de ressonância, que

correspondem a transições abruptas do sinal das componentes reais, bem como a máximos das

componentes imaginárias, relativas às perdas.

Figura 4.12 – Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade.

0,2122

0,2386 0,3200

0,3000

DNG

104


Figura 4.13 – Modelo de Lorentz para as partes imaginárias da permitividade e permeabilidade.

Tal como previsto pelas equações (4.71) a (4.74), os intervalos correspondentes a componentes reais

negativas das características electromagnéticas apresentam uma zona de sobreposição, que constitui

a gama espectral para a qual o meio é DNG, assinalada a sombreado na Figura 4.12, e que é

delimitada por

, , 0,2386; 0,3000 . (4.84)

As duas regiões restantes a sombreado dizem respeito às zonas em que o meio se comporta como

SNG, particularmente como ENG no intervalo

, 0,2122; 0,2386 , (4.85)

e como MNG no intervalo

, 0,3000; 0,3200 . (4.86)

Das expressões (4.34) e (4.45), resulta a simulação numérica do modelo de Lorentz para o

andamento espectral do índice de refracção de um meio caracterizado pela permitividade eléctrica

(4.82) e pela permeabilidade magnética (4.83), cujas componentes real e imaginária se encontram

esboçadas nas Figuras 4.14 e 4.15, respectivamente. De notar que a região do espectro na qual a

parte real de é negativa, habitualmente apelidada de NIR, da expressão anglo-saxónica ‘Negative

Index of Refraction’, é restringida pelos comprimentos de onda

, 0,2280; 0,3090 . (4.87)

Fica desta forma claro, da análise das gamas de valores (4.84) e (4.87), que o facto de o meio

apresentar um índice de refracção negativo, embora necessário, não constitui condição suficiente

para que seja DNG, i.e., o intervalo de frequências que tornam o meio DNG é um subconjunto do

intervalo que conduz a uma parte real do índice de refracção negativa, ou NIR. Esta situação torna-se

particularmente evidente por observação do esquema da Figura 4.15, que se encontra sobreposto à

componente imaginária de .

105


Figura 4.14 – Modelo de Lorentz para a parte real do índice de refracção.

Figura 4.15 – Modelo de Lorentz para a parte imaginária do índice de refracção.

Da expressão (4.46), que permite obter a componente real do índice de refracção, ressalta a

condição que é necessário impor para que o meio seja NIR,

, (4.88)

ou, tendo em conta (4.40) e (4.42),

, (4.89)

no que resulta, após manipulação algébrica,

. (4.90)

No caso dos meios DNG, com , 0, verifica-se

NIR

0,2280 0,3090

DNG DPS DPS

NIR

106


, (4.91)

que, como fica claro, constitui um caso particular da condição (4.90), necessária para que o meio seja

NIR, i.e., apresente um índice de refracção negativo.

4.3.2 Modelos Dispersivos Simplificados

O modelo de Drude, mencionado na secção anterior, constitui uma particularização do modelo de

Lorentz, em que se admite que tanto a permitividade eléctrica quanto a permeabilidade magnética

apresentam uma frequência de ressonância nula, ou seja, 0, pelo que, de (4.67), vem

1 Γ

1Γ

. (4.92)

Considerando, para efeitos de simulação numérica, que tanto a frequência angular de plasma

normalizada, quanto a frequência de colisão, são similares para e , e dadas, respectivamente, por

Ω Ω Ω µ 140 e Γ Γ Γ 1,2 10 Ω , resulta o gráfico da Figura 4.16, que caracteriza o

andamento espectral da componente real de , e , bem como o gráfico da Figura 4.17, que contém

a curva da componente imaginária das mesmas grandezas. Como era expectável, a evolução do

índice de refracção com a frequência sobrepõe-se, nos dois gráficos mencionados, à das

características electromagnéticas do meio, em virtude de se ter adoptado valores equivalentes para

ambas. Por outro lado, e também em consequência disto, as regiões SNG são inexistentes, ou de

largura nula, pelo que se trata de um caso peculiar em que o conjunto DNG é coincidente com o

conjunto NIR.

Figura 4.16 – Modelo de Drude para a parte real do índice de refracção.

Ω ·

107


Figura 4.17 – Modelo de Drude para a parte imaginária do índice de refracção.

De facto, um dos grandes desafios que a realização de meios deste tipo comporta é o de tornar as

ressonâncias da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética tão próximas quanto possível,

de forma a que a região DNG tenha uma largura similar à da região NIR, no que confere um máximo

aproveitamento das capacidades do meio enquanto metamaterial. Tal possibilita ainda, por via

indirecta, que se trabalhe em regiões aproximadamente lineares, evitando variações abruptas das

grandezas envolvidas, que estão muitas vezes na origem da total distorção das características e

funcionalidades pretendidas para os dispositivos aos quais servem de base.

Nesse sentido, é muito comum nesta área a adopção do modelo dispersivo não causal que, embora

não considere as perdas, o que, na senda do que foi referido na secção anterior, o torna irrealista, é

bastante razoável como solução aproximada num número considerável de casos, no domínio das

microondas [90]. A evolução das características electromagnéticas do meio vem assim, com o

coeficiente 0 1,

Ω 1ΩΩ

Ω 1Ω

Ω Ω

. (4.93)

Admitindo a frequência de plasma normalizada Ω 200 e a frequência de ressonância normalizada

Ω 80, tem-se 0 para Ω 200 e 0 para Ω 200. Por outro lado, tem-se 0

para Ω 80 e, para se fixar 0 para 80 120, é necessário impor para o valor

0 Ω

1 1ΩΩ 0,5556 . (4.94)

As características espectrais da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética, na Figura

4.18, e do índice de refracção, na Figura 4.19, confirmam por via de simulação numérica, os

parâmetros previamente assumidos para o modelo. As zonas a sombreado, em ambos os gráficos,

permitem realçar as regiões em que o meio é SNG ou DNG, em função da variação da coloração.

Ω ·

108


Figura 4.18 – Modelo dispersivo não causal para a permitividade e permeabilidade.

Figura 4.19 – Modelo dispersivo não causal para o índice de refracção.

Observando o diagrama da Figura 4.3, facilmente se constata que, em face da inexistência de

perdas, que se manifesta por uma componente imaginária nula das características electromagnéticas

do meio, se verifica , , com inteiro e par ou ímpar, respectivamente quando as

componentes reais destas grandezas são positivas ou negativas. Por outro lado, os módulos são

simplesmente dados por | | e | | e, de (4.33) e (4.45), ressalta

exp 2 exp 2| | | | exp 2 exp 2 , (4.95)

pelo que o índice de refracção, em cada região do espectro, vem

| | | | exp 0 exp 0 | | | |

| | | | exp 2 exp 2| | | |

| | | | exp 2 exp 0 | | | |

| | | | . (4.96)

Ω ·

Ω ·

DNG SNG SNG

DNG SNG SNG

109


Estas expressões estão de acordo com as regiões esboçadas na Figura 4.19. De notar que apenas

as regiões DPS e DNG apresentam parte real não nula, pelo que nas zonas SNG a propagação é

evanescente. Torna-se relevante realçar que esta situação deriva da premissa irrealista de que o

meio não apresenta perdas o que, tal como se referia na secção anterior, colide com as relações de

Kramers-Kronig (4.66).

4.4 Modelo Real dos Cristais Fotónicos DPS-DNG

4.4.1 Os Efeitos da Dependência Espectral

Introduzidos os modelos que permitem avaliar o efeito dispersivo inerente às características

electromagnéticas do meio, importa estimar o seu efeito sobre o comportamento das curvas de

transmissividade de cristais fotónicos típicos. Para tal recorre-se à estrutura de quarto de onda, QWS,

amplamente estudada em secções anteriores, e cujo diagrama de transmissividade, no caso em que

se negligencia a dispersão, se encontra esboçado na Figura 4.9, para um número variável de células

que compõem a estrutura. Verificara-se então que as propriedades refractivas particularmente

harmoniosas e homogéneas deste tipo de cristal fotónico assentam no surgimento de valores

discretos da componente real da constante de propagação, coincidentes com a anulação da

componente imaginária respectiva e sucessivamente equidistantes. Por outro lado, foi possível

concluir que as bandas de transmissividade notavelmente estreitas, o que se reveste de particular

utilidade na construção de filtros selectivos, resultam desta ressonância geométrica, que se

caracteriza por ser peculiarmente instável. De facto, conforme ilustram as Figuras 4.10 e 4.11,

qualquer ligeira perturbação na espessura das camadas que compõem cada célula, indexadas ao

índice de refracção respectivo, desequilibra a estrutura, distorcendo inapelavelmente as propriedades

anteriormente registadas. Dada a relação biunívoca entre o período da estrutura e o índice de

refracção, torna-se crível que uma perturbação espectral ao nível deste último, como seja o efeito

dispersivo, alvo de análise no presente capítulo, produza o mesmo efeito, pelo que qualquer estudo

que verse sobre as propriedades refractivas de cristais fotónicos deve incluir, impreterivelmente, os

efeitos dispersivos do meio e as perdas que estes acarretam, por via das relações de Kramers-

Kronig.

Admite-se, em primeira análise, que as perdas são negligenciáveis e que a dispersão se manifesta

simplesmente sob a forma de características rectilíneas de declive variável , na forma

Ω Ω Ω , (4.97)

em que o coeficiente representa o valor da permitividade e da permeabilidade no ponto de

frequência angular normalizada nula, Ω 0, escolhido de tal forma que estas sejam pontualmente

similares ao caso não dispersivo em Ω 100.

110


No que se segue, em todas as representações gráficas relativas a cristais fotónicos DPS-DNG

tocantes aos diversos modelos dispersivos já mencionados, considera-se, salvo indicação em

contrário, que as componentes real e imaginária da constante de propagação, bem com a

característica de transmissividade, são regidos pelo esquema de cores descrito na Figura 4.20.

Figura 4.20 – Legenda das figuras relativas aos modelos dispersivos de cristais DPS-DNG.

O gráfico da Figura 4.21 contém, para efeito de comparação, a curva de transmissividade de uma

rede cristalina unicelular, nos casos que se considera ou negligencia o modelo dispersivo linear, com

um declive elevado, 0,1. Como se observa, o efeito de dependência espectral sobre as

características electromagnéticas do meio provoca um incremento do valor médio da componente

imaginária da constante de propagação, em contraste com o diagrama de dispersão do meio ideal,

retratado na Figura 4.7, o que impõe uma diminuição do valor médio da transmissividade ao longo do

intervalo examinado.

Figura 4.21 – Transmissividade com 1 e modelo linear com 0,1.

Idêntica análise pode ser feita para os gráficos das Figuras 4.22, 4.24 e 4.25, respeitantes ao modelo

linear, com declive progressivamente menor. Tal como anteriormente se explicitara, a componente

imaginária deixa de se anular apenas nos pontos discretos correspondentes a valores pares da

frequência angular normalizada Ω, o que introduz efeitos diversos. Por um lado, as anteriormente

estreitas bandas de passagem alargam, em virtude da eliminação da discretização da constante de

propagação, o que está igualmente na origem do surgimento de lobos laterais, provocados pela

,Λπ

Ω ·

111


rápida oscilação do valor de . Por outro lado, são criadas pequenas bandas de passagem

secundárias, que intermedeiam as principais, em consequência dos troços anteriormente

inexistentes, em que 0. De notar que, como se torna particularmente claro na Figura 4.25, com

um declive já relativamente baixo, no que constitui uma situação de quase constância do índice de

refracção, apenas na vizinhança da frequência central Ω 100, se dá uma sobreposição parcial das

características de transmissividade dos meios com e sem modelo dispersivo, o que dá ideia da total

adulteração que a não consideração deste efeito pode imprimir aos resultados obtidos. A título

ilustrativo, representa-se na Figura 4.23 o diagrama de dispersão do cristal com modelo linear de

declive 0,01 que, quando comparado com o da Figura 4.7, no caso ideal, contribui para reforçar a

ideia da relevância dos modelos dispersivos.


Figura 4.23 – Diagrama de dispersão com 5 e modelo linear com 0,01.

O procedimento é repetido na obtenção dos gráficos das Figuras 4.26 a 4.29, para um cristal fotónico

DPS-DNG de 20 camadas e modelo dispersivo linear, com declive progressivamente menor. Tal

como se verificara anteriormente, o constante incremento do valor médio da componente imaginária

de , na Figura 4.26, provoca uma gradual diminuição do valor médio da transmissividade.

Ω ·

Ω ·

,Λπ

Λπ

112




Nas Figuras 4.27 e 4.29, com declives menos acentuados, dá-se uma maior aproximação da

característica de transmissão à situação ideal. No entanto, à medida que se caminha para zonas

espectrais mais afastadas da frequência central Ω 100, as bandas permitidas, que se caracterizam

por uma parte real nula da constante de propagação, abrangem uma maior gama de frequências, o

que está em estreita relação com o alargamento das regiões de transmissividade aproximadamente

unitária, perdendo-se alguma da capacidade de filtragem selectiva.


Ω ·

Ω ·

,Λπ

,Λπ

Ω ·

,Λπ

113



Figura 4.28 – Diagrama de dispersão com 20 e modelo linear com 0,001.


Admita-se agora que a dispersão do meio é bem descrita pelo modelo dispersivo não causal,

analisado na secção anterior, que embora negligencie as perdas, tal como o modelo linear, apresenta

um comportamento que é possível aproximar com elevado grau de razoabilidade a muitos materiais,

especialmente no domínio das microondas. Tal como fica evidente nas Figuras 4.18 e 4.19, apenas

existe propagação ao longo da estrutura periódica no intervalo espectral Ω 80,120 , que coincide

com a zona na qual o meio é DNG. Nas regiões SNG adjacentes, o índice de refracção torna-se

imaginário puro (4.96), o que está na origem da evanescência da radiação incidente sobre o cristal.

De facto, apenas nas regiões DPS e DNG se consegue antever passagem de energia

Ω ·

Ω ·

Ω ·

,Λπ

,Λπ

Λπ

114


electromagnética e consequente transmissividade não nula. Representa-se na Figura 4.30 a evolução

desta grandeza em função da frequência, em comparação com o caso em que se despreza o modelo

dispersivo, bem como a componente imaginária da constante de propagação, para uma estrutura

unicelular. Esta apresenta valores médios mais elevados junto aos extremos da banda analisada, em

virtude de estes constituírem intervalos de transição para regiões DNG, nas quais é imaginário

puro, e uma oscilação mais acentuada na vizinhança de Ω 80. De facto, trata-se da frequência

correspondente à ressonância da permeabilidade magnética, o que acarreta não só uma mudança de

sinal, como também uma transição brusca do valor absoluto desta grandeza. Na passagem da região

DNG para a região SNG através de Ω 80, a permeabilidade é instantaneamente infinita e, acto

contínuo, também o índice de refracção e a constante de propagação. Por outro lado, torna-se

imaginário puro, o que explica o comportamento de , na Figura 4.31, na região Ω 80. Na outra

transição SNG-DNG, que se dá na frequência angular normalizada Ω 120, pelo contrário, não se

verifica qualquer ressonância, resultando a mudança apenas da passagem da permeabilidade

magnética de valores negativos para valores positivos, através da sua anulação. Assim, conforme fica

claro na Figura 4.32, a propagação ao longo da estrutura torna-se evanescente para Ω 120, já que

na região SNG o índice de refracção é imaginário puro, porém de módulo progressivamente

crescente, acompanhando o aumento gradual ao longo do espectro dos valores absolutos das

características electromagnéticas do meio.

Figura 4.30 – Transmissividade com 1 e modelo dispersivo não causal na região DNG.

Figura 4.31 – Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição SNG-DNG.

Ω ·

,Λπ

Ω ·

Λπ

115


Figura 4.32 – Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição DNG-SNG.

Na Figura 4.33 encontra-se esboçada a característica de transmissividade na região do espectro em

que o meio é DNG, segundo o modelo dispersivo não causal, no caso em que a estrutura periódica

contém 20 células. Tal como no cristal unicelular, a componente imaginária da constante de

propagação apresenta valores médios mais elevados junto das frequências que delimitam o intervalo

e que correspondem a zonas de transição do material de DNG para SNG, apresentando também um

valor mínimo, que está na origem da região de elevada transmissividade média no gráfico. As Figuras

4.34 e 4.35 exibem, respectivamente, o diagrama de dispersão e a curva de transmissividade do

mesmo cristal fotónico em torno da frequência central da região DNG, Ω 100. Tal como se

constatara através do modelo linear, com o advento da dispersão as zonas de parte imaginária da

constante de propagação nula deixam de ser discretas e periodicamente espaçadas, o que suscita a

total descaracterização das propriedades refractivas da estrutura, face ao caso ideal.

Figura 4.33 – Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal na região DNG.

4.4.2 A Influência das Perdas

Os modelos previamente aplicados a cristais fotónicos DPS-DNG típicos apenas levavam em linha de

conta o efeito dispersivo originado pela dependência das características electromagnéticas do meio

Ω ·

Λπ

Ω ·

,Λπ

116


duplamente negativo com a frequência de trabalho. Tal como se referira, esta hipótese, embora

razoável dentro de determinadas condições, é irrealista, por se basear em modelos não causais. De

facto, para se obter uma visão correcta e rigorosa dos fenómenos envolvidos e da forma como

influenciam as características refractivas das estruturas, é necessário considerar as perdas.

Figura 4.34 – Diagrama de dispersão com 20 e modelo dispersivo não causal.

Figura 4.35 – Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal.

Numa primeira análise, admita-se que a dispersão no cristal é regida por um modelo de Drude,

analisado na secção anterior, cujo andamento espectral é razoavelmente simples, em virtude das

frequências de ressonância na origem. De frisar que, em face dos parâmetros adoptados, a estrutura

é DNG para Ω 140 e DPS no espectro restante. Conforme é visível no diagrama de dispersão da

Figura 4.36, em virtude da consideração das perdas, a constante de propagação torna-se complexa

para todas as frequências, deixando de ser tão clara a distinção entre bandas permitidas e proibidas.

De facto, a propagação é evanescente em todo o espectro, pelo que importa definir as regiões que

conduzem a uma maior ou menor atenuação da amplitude dos campos envolvidos. Observando o

andamento da transmissividade na zona DNG, na Figura 4.37, verifica-se uma diminuição do valor

médio desta grandeza, gerado pelas perdas, em adição à distorção introduzida pelo fenómeno

dispersivo. De realçar que, como demonstram as Figuras 4.16 e 4.17, nas proximidades da

frequência de transição, Ω 140, a curva da componente real do índice de refracção apresenta um

Ω ·

Λπ

Ω ·

,Λπ

117


crescimento mais lento, o que é limitativo da dispersão, e a da componente imaginária é bastante

reduzida, o que indicia fraca amplitude de perdas. Justifica-se assim uma maior proximidade,

constatável na Figura 4.37, entre as características de transmissividade real e ideal, no intervalo que

antecede a transição DNG-DPS.

Figura 4.36 – Diagrama de dispersão com 10 e modelo de Drude.

Figura 4.37 – Transmissividade com 10 e modelo de Drude.

Nas Figuras 4.38, 4.39 e 4.40 representa-se a curva de transmissividade de um cristal fotónico DPS-

DNG de 5 células, com a camada DNG descrita por um modelo de Drude com frequências de

perdas Γ 0, Γ 4 10 Ω e Γ 4 10 Ω , respectivamente. Constata-se que, quando as perdas

não são nulas, a constante de propagação se torna complexa em todo o espectro, conforme se

destaca na Figura 4.41, o que origina uma atenuação global da amplitude dos campos e,

consequentemente, da energia electromagnética transferida ao longo da estrutura, em adição à

distorção causada pela dispersão. De referir que, com Γ 4 10 Ω , na Figura 4.40, embora o rácio

entre as componentes imaginária e real das características electromagnéticas seja sempre inferior a

0,2%, i.e., considerando reduzida magnitude relativa das perdas, a adulteração da curva de

transmissividade face ao caso ideal é evidente.

Ω ·

Λπ

Ω ·

,Λπ

118


Figura 4.38 – Transmissividade com 5 e modelo de Drude, com Γ 0.

Figura 4.39 – Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω .

Figura 4.40 – Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω .

Figura 4.41 – Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω .

Ω ·

Ω ·

Ω ·

Ω ·

,Λπ

,Λπ

,Λπ

Λπ

119


4.4.3 Aplicação do Modelo de Lorentz

Os modelos apensos às secções anteriores permitiram avaliar, de forma simplificada e sistemática, a

influência que os fenómenos dispersivos, em conjugação com as perdas, acarretam sobre o

comportamento das características refractivas de cristais fotónicos de camadas alternadas DPS e

DNG. Contudo, o desfasamento face à realidade reduz a sua relevância a um âmbito meramente

académico e ilustrativo. De facto, para se obter, por via da simulação numérica, resultados que se

aproximem com razoável rigor dos observados experimentalmente para meios típicos, torna-se

imperioso recorrer a modelos mais completos, como o de Lorentz, descrito por (4.67) ou, recorrendo

às frequências angulares normalizadas,

Ω 1Ω

Ω Ω Ω

Ω 1Ω

Ω Ω Ω Ω

. (4.98)

Admitindo as frequências de plasma Ω 200 e Ω 70, as frequências de ressonância Ω 2 e

Ω 80 e os coeficientes de perdas Ω Ω Ω 0,01, resultam as curvas das partes reais da

permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética da Figura 4.42, onde se destacam as regiões

em que o meio é DNG ou SNG. Na Figura 4.43, é possível observar o quadro geral do andamento

das componentes real e imaginária do índice de refracção e na Figura 4.44 representa-se uma visão

mais próxima e detalhada das mesmas grandezas, o que permite obter um retrato mais claro da

magnitude das perdas introduzidas pelo modelo de Lorentz na região DNG. De realçar que o material

se comporta como DNG no intervalo Ω 80; 106,3 e como NIR no intervalo Ω 63,2; 127,1 . As

gamas de valores referidas, em conjugação com a observação da Figura 4.44, permitem confirmar a

noção, lançada em secções anteriores, de zona DNG como subconjunto da zona NIR, destacada a

sombreado.

Figura 4.42 – Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade.

No Modelo de Lorentz, ao contrário do que se verificava no modelo dispersivo não causal,

consideram-se as perdas e a parte real de não se anula quando se efectua a transição de uma

região DNG para uma região SNG. No entanto, o seu valor absoluto continua a ser particularmente

SNG DNG SNG

Ω ·

120


baixo em comparação com o da parte imaginária, pelo que, em primeira aproximação, é expectável

que a curva da componente imaginária da constante de propagação, na Figura 4.45, siga andamento

similar aos que se verificava para o modelo X, nas Figuras 4.31 e 4.32, fora da zona DNG.

Figura 4.43 – Modelo de Lorentz para o índice de refracção.

Figura 4.44 – A região DNG como subconjunto da região NIR.

Figura 4.45 – Diagrama de dispersão com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,01.

Nas Figuras 4.46 e 4.47 encontram-se expostas as curvas de transmissividade, na região DNG, de

um cristal fotónico de 20 células, com camadas pares regidas pelo modelo de Lorentz (4.98),

respectivamente com Ω 0,001 e Ω 0,01. Confirma-se a distorção da curva face ao caso ideal,

DNG

Ω ·

Ω ·

Ω ·

Λπ

121


por via da dispersão e das perdas, sendo que estas últimas estão igualmente na origem da

diminuição do valor médio da energia electromagnética que atravessa a estrutura fotónica.

Figura 4.46 – Transmissividade com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,001.


O mesmo fenómeno pode ser observado localmente, em torno da região espectral central da banda

DNG, para o caso de um cristal fotónico de 5 células, com Ω 0, Ω 0,015 e Ω 0,03,

respectivamente nas Figuras 4.48, 4.49 e 4.50, i.e., aumentando gradativamente o coeficiente de

perdas. Mesmo no pior caso, com o rácio entre as componentes imaginária e real das características

electromagnéticas sempre inferior a 0,25%, mantém-se a deturpação da curva de transmissividade

face ao caso ideal, tal como se constara previamente com outros modelos.

Figura 4.48 – Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0.

Ω ·

Ω ·

,Λπ

,Λπ

Ω ·

,Λπ

122




De realçar que o mesmo coeficiente Ω produz uma atenuação mais significativa quando aplicado a

estruturas de mais elevado número de células, como facilmente se certifica comparando os casos

5 e 20, uma vez que a extensão percorrida pela radiação electromagnética ao atravessar o

cristal é superior, o que implica uma maior sujeição aos efeitos das perdas. Desta constatação

sobressai a importante conclusão de que os fenómenos dispersivos e em particular as perdas são

limitativos da dimensão a atribuir a um dispositivo baseado em cristais fotónicos DPS-DNG.

Finalmente, expõe-se a título ilustrativo, na Figura 4.51, o diagrama de dispersão referente à

derradeira estrutura analisada, com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03. A componente

imaginária da constante de propagação é não nula em todo o espectro, o que implica uma

relativização da noção de bandas permitidas e proibidas.

Figura 4.51 – Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03.

Ω ·

,Λπ

,Λπ

Ω ·

Λπ

Ω ·

123


4.5 Caracterização Global das Estruturas DPS-DNG

Neste capítulo, procede-se ao estudo e análise, por via de simulação numérica, de cristais fotónicos

de camadas alternadas de características electromagnéticas distintas, com a variante proporcionada

pela introdução de meios DNG. Estes constituem a tendência mais forte da actual linha de

investigação em torno dos metamateriais e a sua mais relevante peculiaridade reside no facto de

apresentarem um índice de refracção de parte real negativa. Esta percepção aparentemente

paradoxal acarreta novas conceptualizações, como a noção de Backward Wave (BW) ou de Left-

Handed Media (LHM). De facto, verifica-se que, de uma forma pouco intuitiva, a constante de

propagação e, por consequência, a velocidade de fase, apresentam a mesma direcção que o fluxo de

energia electromagnética, porém em sentido oposto, o que provoca uma distorção no triedro formado

pelo vector de onda e pelos campos eléctrico e magnético, que passa a ser esquerdo. Estas

propriedades introduzem vantagens inequívocas, no âmbito dos cristais fotónicos relativamente à

implementação de filtros selectivos, quer no domínio das microondas quer no domínio óptico, embora

importe referir que a produção de materiais que exibam parâmetros negativos em zonas espectrais

correspondentes a pequenos comprimentos de onda se encontra ainda num estádio embrionário de

desenvolvimento [91]. O facto de o sentido de evolução da fase se reverter nas camadas DNG,

resulta numa maior taxa de incidência construtiva das fases das ondas reflectidas nas diversas

interfaces da estrutura, na senda dos estudos referentes à condição de Bragg, dissecada no capítulo

anterior. De facto, o fenómeno de reflexão total, associado às bandas proibidas de energia, estende-

se a regiões mais amplas do espectro, o que se traduz no aparecimento de pequenas gamas

estreitas de transmissividade unitária, úteis no âmbito de uma filtragem passa-banda de elevado

factor de qualidade. Por outro lado, quando a incidência da radiação electromagnética sobre a rede

cristalina não é normal à sua fronteira, os meios DNG emprestam à estrutura uma relevante

propriedade, relacionada com a focagem. Com efeito, cada vez que a radiação se depara com uma

interface DPS-DNG, a transmissão faz-se através de um ângulo negativo, pelo que a componente do

vector de onda segundo o eixo , perpendicular à direcção de propagação , vai comutando

permanentemente de sentido, o que permite confinar a energia electromagnética que atinge o final da

estrutura a uma faixa limitada, evitando a sua dispersão espacial.

No caso particular da estrutura de quarto de onda, com as espessuras das camadas indexadas ao

valor do índice de refracção respectivo, verifica-se a ocorrência de uma ressonância espacial, que

redunda na discretização da constante de propagação na estrutura, i.e., as bandas permitidas

tornam-se pontuais ou de largura tendencialmente nula, o que poderia estar na base da concepção

de um filtro ideal. No entanto, facilmente se verifica que a referida ressonância depende de um

equilíbrio geométrico de elevada sensibilidade, uma vez que qualquer pequena perturbação ao nível

do dimensionamento da estrutura ou das características electromagnéticas do meio faz distorcer por

completo a organização espectral das bandas proibidas e permitidas.

É neste contexto que a dispersão assume particular relevância. Com efeito, a variação dos

parâmetros dos materiais com a frequência ou, mais concretamente, do índice de refracção que os

124


caracteriza, não pode ser negligenciada no âmbito do estudo de cristais fotónicos DPS-DNG,

conforme ficou patente neste capítulo. Por adulterar por completo quer o diagrama de dispersão quer

a característica de transmissão que estão associados à estrutura, é necessário conhecer, modelar e

considerar os efeitos dispersivos em qualquer projecto de implementação de um dispositivo óptico ou

de microondas baseado num cristal deste tipo. Adicionalmente, por via da consideração das relações

de Kramers-Kronig (4.66), a manifestação das perdas é indissociável do fenómeno da dispersão,

surgindo neste contexto como um efeito colateral inerente à não idealidade dos materiais polarizados

por via de radiação electromagnética.

Para ilustrar precisamente a influência dos dois efeitos referidos, representam-se nas Figuras 4.52 e

4.53 os rácios entre as componentes imaginária e real da constante de propagação em função da

frequência angular normalizada e do ângulo de incidência da radiação electromagnética sobre a

estrutura, respectivamente sem e com perdas. Conforme se atestara, com a introdução das perdas

ao nível dos modelos utilizados, a noção de bandas permitidas e proibidas torna-se dúbia e

desaconselhável, uma vez que a parte imaginária de é não nula em todo o espectro. Nesse

sentido, o recurso ao rácio mencionado surge como alternativa viável na classificação das diversas

gamas de frequência, i.e., embora a radiação seja evanescente para qualquer valor de Ω, trata-se de

averiguar quais as bandas que permitem uma maior distância de propagação. Em primeira análise,

constata-se que, ainda que com um reduzido coeficiente de perdas Ω 0,01, as regiões do

diagrama em que o rácio não excede os 5% são escassas e de reduzida dimensão, face às bandas

permitidas da estrutura sem perdas, o que atesta a necessidade de se considerar estes fenómenos

na presente análise. Por outro lado, é necessário ter em conta o ângulo de incidência da radiação

sobre a estrutura, uma vez que qualquer mudança adultera totalmente a disposição das bandas. Da

observação cuidada das Figuras 4.52 e 4.53, ressalta de imediato que as bandas permitidas e

proibidas ou, mais rigorosamente, as regiões de maior ou menor evanescência, no caso de se admitir

perdas, são tanto mais numerosas e próximas quanto maior o ângulo .

Figura 4.52 – Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0.

93

94

95

96

97

0 0,250,125

Ω ·

0

5

20

20

%

125


Figura 4.53 – Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01.

Nas Figuras 4.54 e 4.55, encontram-se esboçados o diagrama de transmissividade de um cristal

fotónico DPS-DNG e a respectiva visualização tridimensional, com Ω 0, ao passo que as Figuras

4.56 e 4.57 realçam as mesmas grandezas, para o caso em que não se negligencia as perdas. Como

corolário dos resultados alcançados, surge a evidência de que a característica de transmissividade é

consideravelmente atenuada, ainda que se admita um reduzido coeficiente de perdas, Ω 0,01, e

uma estrutura de apenas 5 células. Com efeito, no projecto e dimensionamento de cristais

fotónicos, é imprescindível a consideração de um modelo completo, como o de Lorentz, uma vez que

a dispersão faz degenerar a disposição espectral das bandas e as perdas reduzem substancialmente

a percentagem de energia electromagnética que atravessa a estrutura, limitando de forma irrevogável

a sua dimensão máxima.

Figura 4.54 – Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0.

93

94

95

96

0 0,250,125

Ω ·

0

5

20

20

%

97

93

94

95

96

0 0,250,125

Ω ·

97

126


Figura 4.55 – Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade sem perdas.

Figura 4.56 – Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01.

Figura 4.57 – Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade com perdas.

0,25

0 93

97 95

Ω ·

93

94

95

96

0 0,250,125

Ω ·

97

0,25

0 93

97 0

1

95 Ω ·

0

1

Capítulo 5

Conclusão

Este capítulo encerra a presente dissertação, compilando uma discussão e análise crítica dos

resultados obtidos face ao que era pretendido e projectando as possibilidades de evolução futura do

conhecimento científico nesta área, assinalando os passos e contribuições dados nesse sentido e

destacando todo um conjunto de aplicações que daí advêm.

128

Conclusão

“Nanostructured materials containing ordered

arrays of holes could lead to an optoelectronics

revolution, doing for light what silicon did for

electrons. […] Unlike lattices of atoms, photonic

crystals have structural possibilities limited only by

the human imagination. Any shape can be

sculpted at the lattice sites.”

E. Yablonovitch [92]

5.1 Discussão e Análise Crítica de Resultados

Constitui pretensão da presente dissertação o estudo teórico, análise de hipóteses, modelação e

simulação numérica da propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos constituídos

por camadas alternadas de materiais DPS e DNG. Nesse sentido, optou-se por efectuar uma

abrangente dissecação teórica da organização estrutural, espacial e espectral, bem como das

propriedades e comportamento das estruturas periódicas fotónicas. Esta é frequentemente baseada

nos sedimentados conhecimentos adquiridos pela comunidade científica ao longo dos anos, no

contexto das redes cristalinas moleculares, de que são exemplo dispositivos electrónicos como os

semicondutores, pela sua proliferação e disseminação em circuitos de diversa ordem, sendo hoje em

dia considerados elementos fundamentais do ponto de vista tecnológico. Isso torna a sua

caracterização fenomenológica particularmente explorada, o que se reveste de ampla utilidade na

aplicação desses conhecimentos ao caso fotónico, por analogia.

Assim, no contexto do estudo das redes cristalinas moleculares, modeladas por um potencial

periódico de Kronig-Penney, e sua interacção com os electrões de condução, cujo estado quântico é

regido pela equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo, foi deduzida a equação

fundamental das bandas de energia, que resulta de um problema de valores próprios. Esta origina um

diagrama de dispersão que relaciona os modos energéticos acessíveis a cada partícula com a

constante de propagação da função de onda que lhes está associada, que pelos dissecados

postulados da teoria quântica descreve a sua densidade de probabilidade de localização no seio da

rede cristalina. É neste contexto que surgem os conceitos de bandas proibidas e permitidas de

energia e zonas de Brillouin, noções muito gratas à área dos dispositivos electrónicos semicondutores

e de potencial elevado de aplicabilidade aos cristais fotónicos, tema central da presente dissertação.

Foi possível verificar, de forma gráfica e por via de simulação numérica da equação transcendente

que resulta do referido problema de valores próprios, que para determinadas gamas de valores da

energia, que se coadunam com a definição de hiatos ou bandas proibidas, se verifica a inexistência

de estados estacionários no cristal electrónico. Verificou-se que a largura dos mencionados intervalos

proibidos de energia é variável e depende da intensidade do potencial periódico considerado. No

entanto, foi possível constatar que as suas localizações no diagrama são fixas e ocorrem para valores

129

Conclusão

do número de onda de Bloch normalizado múltiplos de . Estas observações permitiram concluir que

a característica de dispersão de uma rede cristalina deste tipo combina propriedades dos modelos da

partícula livre e da partícula numa caixa, pelo que embora sejam admitidas bandas discretas de

energia, a sua envolvente revelou-se parabólica.

O vasto conjunto de analogias partilhadas pelos cristais electrónicos e fotónicos foi particularmente

útil na prossecução dos objectivos propostos, com especial ênfase para a teoria das bandas, quer por

se tratar de um assunto amplamente investigado, quer por via da assinalável quantidade de

aplicações que dela podem decorrer, como a concepção de filtros de banda estreita ou a inibição da

emissão espontânea em elementos de circuitos ópticos. Numa primeira fase, foram utilizadas duas

ferramentas conhecidas. A condição de Bragg, que provém dos estudos da cristalografia por raios-x

[9], e o Teorema de Bloch, utilizado na construção dos modelos de cristais moleculares. Serviram de

base ao enquadramento de um problema de valores próprios, em tudo similar ao que esteve na base

da equação fundamental das bandas de energia nas redes cristalinas electrónicas, porém com o

estado do sistema descrito pelas equações de Maxwell e não pela equação de Schrödinger, por se

tratar de radiação electromagnética, i.e., o caso particular das partículas de massa nula, os fotões.

Nesse contexto, foram confirmados todos os resultados, quer teóricos quer experimentais, obtidos por

autores como Yariv e Yeh [22][23] e Saleh e Teich [68], relativos à zona de Brillouin, bandas

permitidas e proibidas de frequência, respectivas larguras e valores extremos e dependência com os

coeficientes da expansão em série de Fourier dos parâmetros electromagnéticos. Para a componente

imaginária da constante de propagação de Bloch, foi proposta com sucesso uma aproximação por um

modelo elíptico, como forma de obviar a imensamente complexa expressão exacta. Esta opção

revelou-se rigorosa e apropriada, uma vez que foi possível observar, através da simulação numérica

do diagrama de dispersão reduzido, uma quase sobreposição do modelo face ao caso real.

Demonstrou-se ainda com sucesso que, no caso dos cristais fotónicos de período espacial composto

por pares de camadas de material não magnético e permitividades eléctricas constantes por

patamares, os módulos dos coeficientes pares da expansão em série de Fourier são nulos e os

ímpares são continuamente decrescentes. Uma vez que, por aproximação, se prova que nas

estruturas periódicas de baixo contraste a largura da banda proibida de determinada ordem é

directamente proporcional ao correspondente coeficiente de Fourier da permitividade, fica vincada a

ideia de que no cristal em causa apenas surgem hiatos de frequência de ordem ímpar e

constantemente mais estreitos. Esta observação constitui uma contribuição original não prevista pelas

publicações supra referidas, podendo revelar-se de peculiar relevância no dimensionamento de

dispositivos ópticos baseados em cristais fotónicos, cujas funções dependem muito frequentemente

da organização estrutural e disposição das bandas permitidas e proibidas de frequência, que neste

caso particular adquirem um grau adicional de liberdade.

No seguimento do lançamento das bases teóricas relativas aos cristais fotónicos por camadas, surgiu

a necessidade de proceder à sua caracterização matricial, impulsionada pelo carácter harmonioso e

periódico destas estruturas, sob a forma de uma matriz de transferência que relacionasse as

amplitudes dos campos à saída e à entrada. Este tratamento, que teve por base as condições de

continuidade dos campos e suas derivadas nas interfaces das camadas, foi também motivado pela

130

Conclusão

necessidade de tratamento numérico e gráfico das propriedades refractivas e reflectivas dos cristais,

que constituem uma ferramenta de análise espectral por excelência. A obtenção de resultados neste

campo, nomeadamente uma relação de dispersão generalizada, permitiu a simulação numérica e

representação gráfica do diagrama de dispersão e respectiva visualização tridimensional, quer em

função da frequência angular de trabalho, quer em função do ângulo de incidência da radiação

electromagnética sobre a estrutura, para cristais fotónicos diversos, por variação dos seus

parâmetros controláveis, dimensões espaciais das camadas e contraste dieléctrico. Estes diagramas,

por sua vez, foram obtidos em duas variantes, relativas às componentes real e imaginária da

constante de propagação. Na globalidade das estruturas analisadas, verificou-se que as bandas

proibidas e permitidas de frequência são tão mais espaçadas, amplas e regulares, quanto maior a

assimetria geométrica. No limite em que uma das camadas apresenta uma espessura infinitesimal,

tem-se curvas dispersivas dos diversos modos permitidos de propagação aproximadamente

sinusoidais, similares às obtidas no contexto dos cristais electrónicos, no capítulo 2. De facto, era

previsível que tal se verificasse, porquanto a equação fundamental das bandas foi derivada a partir de

um potencial periódico de Kronig-Penney constituído por um pente de Dirac, ou seja, as regiões de

potencial não nulo apresentam também espessura infinitesimal. Adicionalmente, foi também possível

observar uma dependência clara entre o contraste dieléctrico que caracteriza as camadas das

estruturas e as respectivas larguras das bandas proibidas. Quanto mais reduzida em módulo a

diferença entre os índices de refracção das camadas, mais estreitos se revelam os hiatos de

frequência, tornando-se aproximadamente rectilíneas as formas das relações de dispersão dos

diversos modos. No limite em que as camadas são electromagneticamente similares, resulta de

imediato um diagrama de dispersão linear em todo o espectro e de declive proporcional ao respectivo

índice de refracção. O fenómeno referido sugere a utilização de cristais fotónicos de reduzido

contraste para aplicações que nele se baseiam de forma directa, como os filtros selectivos. Por outro

lado, no extremo oposto em que os índices de refracção apresentam valores díspares, dá-se a

maximização da magnitude das bandas proibidas, quer por via da sua largura quer pelo incremento

da amplitude da componente imaginária da constante de propagação. No que diz respeito à influência

do ângulo de incidência, que está associado à componente transversal da constante de propagação,

verificou-se que a sua dilatação conduz a uma maior proximidade entre bandas, i.e., constatou-se um

estreitamento espectral, sendo que o espaçamento máximo entre estas e consequente valor supremo

da largura ocorre no caso em que a incidência é perpendicular à fronteira do cristal. De realçar ainda,

ao nível dos diagramas de dispersão obtidos, a existência de zonas de transição, demarcadas pelas

rectas de declive correspondente ao inverso do índice de refracção de cada uma das camadas que

compõem a estrutura. Os pares de valores de frequência angular de trabalho e do ângulo de

incidência, ou por inerência a componente imaginária da constante de propagação transversal, que

correspondem a pontos pertencentes a rectas fictícias passando na origem e de declive superior ao

das duas rectas mencionadas, dizem respeito à chamada região normal de funcionamento, onde se

desenvolvem as comuns bandas permitidas e proibidas. No caso particular dos pontos pertencentes à

recta de maior declive, está-se no caso particular em que a constante de propagação transversal

iguala o módulo do número de onda de Bloch nas camadas de menor índice de refracção, o que

131

Conclusão

implica o anulação da constante de propagação longitudinal. De facto, nas camadas de velocidade de

grupo superior, a direcção do vector de onda torna-se paralela às interfaces e não se verifica

propagação ao longo da direcção de periodicidade da estrutura. Para pontos situados na região

compreendida pelas duas rectas, a constante de propagação fica necessariamente complexa nas

camadas referidas, pelo que se tornam nulos os intervalos de frequência que intermedeiam as

bandas proibidas, correspondentes às bandas permitidas. Finalmente, para pontos pertencentes a

rectas fictícias passando na origem e de declive menor que as duas rectas mencionadas, o fenómeno

passa a ser comum a todas as camadas da estrutura e não apenas às camadas de menor velocidade

de grupo, pelo que redunda uma única super banda proibida que ocupa a totalidade do espectro e

torna a propagação evanescente em qualquer condição. Estes resultados assumem uma

considerável relevância, pois indiciam a possibilidade de um controlo quase absoluto sobre as

dimensões, disposição e localização das bandas de frequência associadas a um determinado cristal

fotónico, por simples manipulação das espessuras das suas camadas, do contraste dieléctrico e

ainda do ângulo de incidência da radiação electromagnética.

Nas deduções e simulações numéricas seguintes, passou a admitir-se, por uma questão de

simplicidade do ponto de vista ilustrativo, a situação particular de incidência perpendicular. Nesse

âmbito, foi possível obter uma amplamente útil equação de dispersão fundamental para os cristais

fotónicos unidimensionais por camadas, em função das dimensões geométricas, índices de refracção

e ângulo de incidência, em analogia com a equação fundamental das bandas de energia, que se

havia derivado no contexto das redes cristalinas electrónicas. Esta relação serviu de base à obtenção

por simulação numérica dos diagramas de dispersão de estruturas de diversas combinações de

parâmetros, reforçando-se as conclusões previamente obtidas relativamente à influência que estes

exercem sobre a dimensão, disposição e forma das bandas permitidas e proibidas.

Fundamentadas as bases teóricas do conhecimento e os postulados fundamentais das estruturas

fotónicas unidimensionalmente periódicas, introduziu-se um tipo de cristal muito particular e que

serviu de suporte a todo o trabalho de análise de características refractivas e reflectivas, a estrutura

de quarto de onda, caracterizada por uma dependência das espessuras das camadas com o índice

de refracção, de tal forma que o dobro do produto destas grandezas equivalha a . Cumprida esta

imposição geométrica, obteve-se um diagrama de dispersão com bandas proibidas e permitidas

harmoniosamente distribuídas pelo espectro e de largura constante, sendo que as últimas resultam

em todos os casos da sobreposição de dois modos de propagação contíguos. Estas estruturas, pela

previsibilidade e regularidade da sua organização espectral, constituíram o elemento base dos

trabalhos de análise e simulação numérica subsequentes.

A identidade de Chebyshev e a matriz de transferência genérica previamente aferida viabilizaram a

obtenção de expressões para a reflectividade e transmissividade destas redes cristalinas e, por esta

via, de gráficos de simulação numérica destas grandezas. Através destes, observou-se que, tal como

era expectável, a transmissividade é nula nas gamas de frequência correspondentes às bandas

proibidas. Nas bandas permitidas, por seu turno, constatou-se que esta é não nula e caracterizada

por oscilações, de frequência tanto mais acentuada quanto maior o número de células que compõem

132

Conclusão

a estrutura, de valor médio mais elevado no valor central de frequência e de amplitude menor em

estruturas de contraste dieléctrico mais reduzido. Idêntica análise foi efectuada para a obtenção dos

gráficos de transmissividade em função do ângulo de incidência, por fixação do valor de frequência,

no que resultaram conclusões semelhantes.

Um passo fundamental desta dissertação consistiu na aplicação de materiais DNG aos cristais

fotónicos analisados teoricamente. Mais concretamente, optou-se pela concepção de uma estrutura

periódica unidimensional de camadas DPS e DNG alternadas. Para tal, foi necessário recuperar

conceitos muito em voga na literatura actual, em torno dos metamateriais, como o índice de refracção

negativo ou NIR, Backward Waves ou Left-Handed Media. Assim, para justificar o sinal negativo do

índice de refracção e, consequentemente, da constante de propagação em meios DNG, foi efectuada

uma análise do comportamento dos parâmetros electromagnéticos no plano complexo. Aplicando

este inovador resultado à estrutura de quarto de onda previamente definida, obteve-se um diagrama

de dispersão caracterizado por uma constante de propagação de Bloch imaginária pura em todo o

espectro, à excepção de pontos periodicamente espaçados, nos quais se manifesta também a parte

real da mesma grandeza, através de modos discretos de propagação. Nesta estrutura, cada

frequência discreta, correspondente a uma onda plana com vector de onda também ele discreto, leva

a que cada camada se torne transparente para os meios vizinhos, no que se coaduna com a criação

de um modo de propagação ao longo do cristal. Por outro lado, radiação incidente caracterizada por

qualquer outra frequência satisfaz a condição de Bragg, conduzindo à reflexão total. Deste cenário

resultou uma curva de transmissividade com picos acentuados centrados nestes valores da

frequência e largura consideravelmente reduzida e tanto menor quanto mais elevado o número de

células, o que indicia a possibilidade da utilização destas estruturas como filtros selectivos de

considerável factor de qualidade.

No entanto, estas simulações numéricas, que foram consideradas nas publicações de autores

diversos, pecam pela assumpção da aproximação irrealista segundo a qual não se verifica a

dependência dos índices de refracção dos materiais com a frequência. De facto, a dispersão constitui

um efeito inerente a todos os materiais na natureza, não podendo ser negligenciada, especialmente

no caso dos meios duplamente negativos, cuja gama espectral se situa particularmente próxima da

frequência de ressonância. Esta constatação obrigou à utilização de modelos para o andamento

espectral da permitividade e da permeabilidade e, em consequência directa do princípio da

causalidade, suportado pelas relações de Kramers-Kronig, também as perdas foram consideradas, no

que constitui a principal contribuição original emprestada por este trabalho à investigação levada

actualmente a cabo pela comunidade científica nesta área. Este pressupostos são especialmente

relevantes no caso do cristal fotónico estudado, a estrutura de quarto de onda, cujas propriedades ao

nível das bandas de frequência resultam da dependência das espessuras das camadas com o índice

de refracção, o que a torna particularmente sensível do ponto de vista geométrico a oscilações no

valor desta grandeza.

Numa primeira fase, foi introduzido o modelo de Lorentz que, sendo o mais completo, se revelou útil

na conceptualização por via experimental da zona DNG como subconjunto da zona NIR. Como ficou

133

Conclusão

claro por análise dos valores numéricos obtidos, o facto de o meio apresentar um índice de refracção

negativo, embora necessário, não constitui condição suficiente para que seja DNG, i.e., o intervalo de

frequências que tornam o meio DNG é um subconjunto do intervalo que conduz a uma parte real do

índice de refracção negativa, ou NIR. Em seguida, foram admitidos e estudados outros modelos

menos complexos, como o de Drude, o dispersivo não causal ou o linear simples.

Introduzidos os modelos que permitem avaliar o efeito dispersivo inerente às características

electromagnéticas do meio, procedeu-se ao âmago da presente dissertação, que consistia na

avaliação do seu efeito sobre o comportamento das curvas de transmissividade dos cristais fotónicos

DPS-DNG, nomeadamente a estrutura de quarto de onda. Esta havia revelado, na situação ideal não

dispersiva, propriedades refractivas particularmente harmoniosas e homogéneas, que assentam no

surgimento de valores discretos da componente real da constante de propagação, coincidentes com a

anulação da componente imaginária respectiva e sucessivamente equidistantes. No entanto, dada a

relação biunívoca entre o período da estrutura e o índice de refracção, era expectável que uma

perturbação espectral ao nível deste último, como seja o efeito dispersivo, produzisse um

desequilíbrio geométrico, distorcendo as formas originais dos gráficos de transmissividade.

Para avaliar de forma independente os efeitos da dispersão e das perdas sobre as propriedades da

estrutura, foram inicialmente admitidos apenas o modelo linear simples, que considera que não se

verifica a absorção de energia pelo material ao longo da estrutura e que a dependência dos

parâmetros electromagnéticos com a frequência se dá segundo um andamento rectilíneo, fazendo-se

variar progressivamente o declive, e o modelo dispersivo não causal, que sugere um andamento mais

complexo das componentes reais da permitividade e permeabilidade, mas negligencia também as

perdas. Em qualquer dos casos, ficou muito clara uma total descaracterização das propriedades

refractivas da estrutura, com o advento da dispersão. De facto, as zonas de componente imaginária

da constante de propagação nula deixaram de ser discretas e periodicamente espaçadas, surgindo

um panorama totalmente novo e completamente díspar ao nível do diagrama de dispersão.

Os modelos previamente aplicados a cristais fotónicos DPS-DNG típicos apenas levavam em linha de

conta o efeito dispersivo originado pela dependência das características electromagnéticas do meio

duplamente negativo com a frequência de trabalho. Tal como se referira, esta hipótese, embora

razoável dentro de determinadas condições, é irrealista por se basear em modelos não causais. De

facto, para se obter uma visão correcta e rigorosa dos fenómenos envolvidos e da forma como

influenciam as características refractivas das estruturas, foi necessário considerar o fenómeno das

perdas, através dos modelos de Drude e especialmente de Lorentz, sendo que o primeiro consiste de

uma particularização do último no caso em que se consideram as frequências de ressonância de

ambos os parâmetros electromagnéticos sobrepostas e coincidentes com a origem. De facto, em

todos os modelos simplificados previamente considerados o desfasamento face à realidade reduz a

sua relevância a um âmbito meramente académico e ilustrativo. Para se obter por via da simulação

numérica resultados que se aproximem com razoável rigor dos observados experimentalmente para

meios típicos, tornou-se imperioso recorrer a modelos mais completos, como o de Lorentz. De uma

forma geral, ressaltou da análise dos diagramas de dispersão que, em virtude da consideração das

134

Conclusão

perdas, a constante de propagação se tornou complexa para todos os valores de frequência, o que

implicou uma relativização da noção de bandas proibidas e permitidas. Com efeito, a propagação

tornou-se evanescente em todo o espectro, surgindo a necessidade de definição das regiões que

conduzem a uma maior ou menor atenuação da amplitude dos campos envolvidos, por oposição à

anterior noção rígida de bandas. Por observação do andamento da transmissividade na zona DNG,

verificou-se uma evidente e esperada diminuição do valor médio desta grandeza, por influência das

perdas, em adição à distorção introduzida pelo fenómeno dispersivo. De facto, mesmo escolhendo

coeficientes de perdas de tal forma que no pior caso se tivesse um rácio entre as componentes

imaginária e real dos parâmetros electromagnéticos inferior a um quarto de ponto percentual, ou seja,

considerando uma reduzida magnitude relativa das perdas, a adulteração da curva de

transmissividade face ao caso ideal revelou-se evidente. Outra conclusão relevante que resultou

deste estudo foi o facto de o mesmo coeficiente de perdas produzir uma atenuação mais significativa

quando aplicado a estruturas com mais elevado número de células, uma vez que a extensão

percorrida pela radiação electromagnética ao atravessar o cristal é obviamente superior, o que

implica uma maior sujeição ao efeito de absorção pelo material. Assim, constata-se que os

fenómenos dispersivos, em particular as perdas, são bastante limitativos da dimensão máxima

aplicável a um dispositivo baseado em cristais fotónicos DPS-DNG.

Em suma e de uma forma geral e globalizante, procedeu-se ao nível da presente dissertação ao

estudo e análise, por via de dissecação teórica e simulação numérica, de cristais fotónicos

unidimensionais de camadas alternadas de características electromagnéticas distintas, com a

variante proporcionada quer pela introdução dos meios duplamente negativos quer pela consideração

das suas propriedades dispersivas e perdas. Os meios DNG constituem a mais forte tendência de

investigação actual em torno dos metamateriais, por via do conceito pouco intuitivo de índice de

refracção e velocidade de fase negativos, que acarretam novas conceptualizações, como a noção de

Backward Wave ou Left-Handed Media. Estas características traduzem-se na apresentação de

sentidos opostos por parte da velocidade de fase e do vector de Poynting, o que está na origem da

distorção do triedro formado vector de onda e pelos campos eléctrico e magnético, que passa a ser

esquerdo.

Muito embora a produção de materiais duplamente negativos em regiões de reduzido comprimento

de onda se encontre ainda pouco desenvolvida, as propriedades citadas introduzem vantagens

inequívocas no âmbito dos cristais fotónicos. Por um lado, a reversão do sentido de evolução da fase

resulta numa maior taxa de incidência construtiva das fases das ondas reflectidas nas diversas

interfaces da estrutura, no seguimento da teoria de Bragg, com o fenómeno de reflexão total

associado às bandas proibidas a estender-se a regiões mais amplas do espectro. Por outro lado, nos

casos em que a incidência da radiação electromagnética sobre a estrutura não é perpendicular, os

meios DNG permitem que esta adquira uma relevante capacidade de focagem, uma vez que em cada

interface DPS-DNG a transmissão é efectuada segundo um ângulo negativo. Assim, a componente

transversal da constante de propagação comuta permanentemente de sentido, o que permite confinar

a energia que atinge o final da rede cristalina a uma faixa limitada, evitando a dispersão espacial.

135

Conclusão

É neste âmbito que ressalta a mais relevante conclusão emprestada pela presente dissertação ao

estudo e conhecimento científico nesta área. A dependência do índice de refracção dos materiais que

compõem o cristal fotónico DPS-DNG com a frequência não pode ser negligenciada, por adulterar por

completo quer o diagrama de dispersão quer a característica de transmissão que lhe estão

associados. Assim, torna-se impreterível estudar, analisar e modelar os efeitos dispersivos em

qualquer projecto de implementação de um dispositivo óptico ou de microondas baseado nestas

estruturas. Mais se acrescenta que, por via das relações de Kramers-Kronig, a manifestação das

perdas é indissociável do fenómeno da dispersão, surgindo como efeito colateral inerente à não

idealidade da relação dos materiais com a propagação de radiação electromagnética e culminando no

desaparecimento das noções clássicas de bandas proibidas e permitidas de frequência, uma vez que

o vector de onda de Bloch se torna complexo em todo o espectro.

5.2 Epílogo e Perspectivas de Desenvolvimento

Estabelecidos os fundamentos e pressupostos teóricos em torno dos cristais fotónicos DPS-DNG

unidimensionais e criticamente analisadas as conclusões e constatações que ressaltam do seu

estudo nas diversas vertentes, importa conhecer as perspectivas de desenvolvimento futuro e as

pontes do conhecimento que a presente dissertação permite lançar.

Os cristais fotónicos são estruturas artificiais periódicas nas quais a radiação e fluxo de energia

electromagnética podem ser moldados e controlados, da mesma forma que as bandas de energia são

manipuladas nos cristais semicondutores. Os desenvolvimentos nesta área envolvem a descoberta e

criação de redes cristalinas de dimensões, disposições e formatos diversos de tal forma que

apresentem propriedades consideradas úteis, de que é exemplo o aparecimento de bandas proibidas

fotónicas, PBG. Com efeito, os estudos devotados aos cristais fotónicos revelam-se amplamente

transversais, percorrendo áreas tão distintas quanto a física, a óptica, a cristalografia, a teoria

quântica, o electromagnetismo ou até mesmo a biologia. No campo da caracterização geral e futuras

aplicações, destacam-se publicações de autores tão diversos como J. Joannopoulos [21], K. Busch

[93], K. Inoue e K. Ohtaka [94], K. Yasumoto [95] ou J. Lourtioz [96].

Uma das aplicações futuras a decorrer do presente trabalho pode passar pelo estudo e

implementação de um dispositivo baseado nas propriedades espectrais deste tipo de estruturas,

nomeadamente no que concerne à dimensão, localização e tipo de bandas. Conforme redundou da

análise efectuada ao nível do pretérito capítulo, a utilização de meios DNG intercalados com os meios

DPS clássicos permite melhorar a taxa de verificação de interferência construtiva das reflexões

provenientes das diversas interfaces, aumentando a largura das bandas proibidas e, por esta via,

permitindo a criação de picos de transmissividade unitária isolados, que se coadunam com o modo de

funcionamento de filtros selectivos, de inegável utilidade nos circuitos ópticos.

136

Conclusão

Outra área de amplo potencial que deriva do estudo de cristais fotónicos está relacionada com o

controlo da emissão espontânea. Durante muito tempo este foi considerado um fenómeno natural

inultrapassável. No entanto, com o advento das estruturas periódicas e das PBG, surgiu a

possibilidade de introdução deste tipo de redes cristalinas na concepção de dispositivos ópticos, de

forma a melhorar ou refinar as suas propriedades. De uma forma simplificada, quando ao nível de um

determinado material se dá a recombinação de electrões e lacunas, é produzido um fotão de

frequência bem determinada. Se se verificar a presença de um cristal fotónico caracterizado por uma

banda que inclua a frequência referida, não fica disponível qualquer localização para o fotão,

limitando-se assim a taxa de emissão espontânea, o que acarreta um número considerável de

consequências e aplicações na área dos dispositivos semicondutores fotónicos [97]. Com efeito, o

controlo coerente e efectivo sobre este fenómeno poderá vir a permitir o projecto de desenvolvimento

e implementação de memórias ópticas e, por consequência, computadores ópticos quânticos [93].

Para tal, não é possível limitar o âmbito desta área científica ao caso unidimensional. Nesse sentido,

uma das possíveis evoluções da análise exposta na presente dissertação passa pela transposição

dos resultados para as estruturas 2D e 3D, nomeadamente no que diz respeito à utilização de meios

DNG e à consideração de modelos dispersivos causais. As estruturas pluridimensionais permitem a

concepção e fabrico de redes cristalinas não limitadas ao conjunto de camadas periodicamente

dispostas, mas sim através de configurações mais complexas, como se ilustra na Figura 5.1, de que é

exemplo a criação de lacunas sobre um substrato de um determinado material, com formas e

localizações diversas, podendo mesmo constituir um padrão não linear, calculadas com objectivo de

proporcionar determinados comportamentos e propriedades no domínio da óptica, desde a privação

da passagem de radiação em zonas determinadas até à modelação e alteração de impulsos de luz.

De referir que, ao contrário do que sucede com os cristais fotónicos unidimensionais clássicos, as

estruturas 2D e 3D não permitem uma caracterização analítica, o que impõe a utilização da via da

simulação numérica para o seu estudo.

Figura 5.1 – Cristal fotónico 2D não periódico [92].

A sempre presente analogia entre as redes cristalinas electrónicas e os cristais fotónicos tem

constituído uma fonte inesgotável de recursos técnicos e ferramentas teóricas, cuja aplicação ao

mundo da óptica se tem revelado frutífera e bem sucedida. Como é sabido, os semicondutores são

137

Conclusão

hoje em dia um elemento fundamental enquanto matéria-prima para a construção de dispositivos

electrónicos, que estão na base de grande parte dos avanços tecnológicos da era moderna,

nomeadamente no campo da informática, contribuindo de forma decisiva para o crescimento da

economia global. Os cristais fotónicos, enquanto semicondutores da luz, podem transportar esta

revolução aos campos da informação e telecomunicações, levando mais longe o fenómeno evolutivo,

através de conceitos como fibras ópticas de elevada capacidade, nanotecnologia laser ou circuitos

integrados fotónicos, que se prevê que venham a substituir os actuais microchips. A magia em torno

dos semicondutores, que passa por processos como a comutação ou a construção de funções

lógicas, encontra-se intimamente ligada ao controlo da localização de electrões e lacunas, por via da

existência de bandas de energia. Estas, por seu turno, dependem directamente da organização

estrutural do cristal, nomeadamente o tipo de átomos e moléculas, o espaçamento entre eles e a

forma e disposição da rede. Através da inserção de agentes dopantes em substituição de

determinados elementos originais da estrutura, ou ocupando espaçamentos existentes entre estes,

ou ainda da criação de defeitos em localizações específicas da rede cristalina, é possível controlar de

forma directa a localização e movimento dos electrões, modelando assim as propriedades do

semicondutor. Transportando este conceito para o domínio fotónico, como ilustra a Figura 5.2, é

igualmente viável a obtenção de características não permitidas por uma estrutura periódica simples,

e.g., preenchendo determinadas lacunas do cristal ou implementando uma rede não linear. Neste

âmbito, podem ser alcançados efeitos tão diversos quanto o surgimento de cavidades, na Figura 5.2

a), ou a condução de energia electromagnética segundo um percurso determinado, na Figura 5.2 b).

Figura 5.2 – Aplicação de defeitos na rede cristalina de uma estrutura fotónica 2D [98].

Os fenómenos associados à aplicação de defeitos aos cristais fotónicos sugerem outro filão de

pesquisa que certamente se revelará influente no mundo das comunicações ópticas, sendo

actualmente alvo de intensa atenção por parte de grupos de investigação diversos. De facto, uma

estrutura periódica fotónica 2D simples, desde que dotada de uma PBG na frequência de trabalho,

pode impedir a propagação da radiação electromagnética através do plano que define. Transladando

esta região espacial segundo uma terceira dimensão, é possível obter uma nova concepção de fibra

óptica, as denominadas fibras de cristais fotónicos ou PCF, Photonic Crystal Fibers. As fibras ópticas

comuns são dotadas de um núcleo de elevado índice de refracção, de forma a confinar a luz através

da reflexão total interna. As PCF, por seu lado, consistem de um túnel de ar ou vácuo revestido por

a) b)

138

Conclusão

um cristal fotónico com PBG no comprimento de onda de trabalho, na Figura 5.3, tendo sido

sugeridas pela primeira vez por P. Russell em estudos não publicados de 1991 e posteriormente

detalhados em 2003 [99]. A potência óptica que pode ser transportada através desse espaço vazio

central é amplamente superior à que o vidro se permite suportar, o que acarreta um considerável

aumento da capacidade de transporte de informação, face à tecnologia actual. A este nível, é

pertinente referenciar as obras [83][100][101].

Figura 5.3 – Imagens de Fibras de Cristais Fotónicos [92].

Finalmente, uma das aplicações futuras mais atractivas no campo dos cristais fotónicos diz respeito

ao sonho da total integração óptica, conforme ilustra a Figura 5.4. Com efeito, a criação de um

Circuito Fotónico Integrado ou PIC, do inglês Photonic Integrated Circuit, capaz de efectuar um

processamento de sinais puramente óptico, ganhou um admirável impulso com o advento dos cristais

fotónicos. Este conceito é fundamentado nas propriedades das estruturas artificiais fotónicas, que

permitem eliminar, reter ou amplificar a propagação de luz ao longo de circuitos ópticos, no que se

coaduna com a definição de funções lógicas e, em última análise, a criação de transístores fotónicos.

A criação de redes cristalinas fotónicas compostas por materiais semicondutores, numa agregação

das plataformas electrónica e óptica, será uma das áreas de mais intenso labor por parte da

comunidade científica devota a este domínio nos anos vindouros.

Figura 5.4 – Ilustração de um futuro dispositivo fotónico integrado [102].

Anexo A

Mecânica Ondulatória

Este Anexo contém relevantes demonstrações no domínio da mecânica ondulatória, de onde se

destaca a equação de Schrödinger nas suas diversas variantes. Abrange ainda resultados

fundamentais no contexto das funções de onda e das bandas de energia em redes cristalinas.

140


A.1 Equação de d’ Alembert

No contexto dos resultados obtidos no âmbito da mecânica ondulatória, assume-se que, a cada

partícula, se encontra associado um feixe de ondas planas. A onda plana elementar genérica é

caracterizada pelo seu módulo ψ e fase ,

ψ ψ exp . (A.1)

Uma vez que, no espaço-tempo, a fase de uma onda é dada pela expressão (2.23), vem

ψ , ψ exp · . (A.2)

Dadas as relações fundamentais (2.37), resulta

ψ , ψ exp · . (A.3)

Determinando a derivada parcial temporal e o laplaciano da expressão anterior, tem-se

ψψ exp · ψ (A.4)

ψ

ψ exp · ψ (A.5)

ψψ , (A.6)

ψ ψ exp · ψ (A.7)

ψ ψ exp · ψ (A.8)

Ψ ψ . (A.9)

Substituindo (A.6) e (A.9) na equação (2.29), que define a composição parcelar da energia, obtém-se

a relação

ψψ

ψ ψ . (A.10)

Dividindo ambos os membros de (A.10) pelo factor multiplicativo de ψ, chega-se à equação de

Klein-Gordon,

ψ1c

ψψ 0 , (A.11)

que no limite em que 0, correspondente à massa da quantidade fundamental de energia, o fotão,

conduz à equação de d’ Alembert que, como seria de prever, rege a propagação da radiação

electromagnética,

141


ψ1c

ψ0 . (A.12)

A.2 Equação de Schrödinger Unidimensional

Dadas as relações fundamentais (2.37), a expressão do feixe de ondas planas decomposto em série

de Fourier nas componentes relativas ao número de onda longitudinal (2.40) pode ser expressa em

função das componentes relativas ao momento linear,

Ψ ,1

√2Φ exp . (A.13)

Uma vez que a energia total de uma partícula, que é dada pelas soma das contribuições das energias

cinética [73],

12 2 2 , (A.14)

e potencial , pode ser escrita na forma

2 , (A.15)

resulta, no caso de uma partícula livre, 0, ,

2 . (A.16)

Determinando a derivada parcial temporal e o laplaciano da expressão do feixe,

Ψ 1√2

Φ exp , (A.17)

Ψ 1√2

Φ exp (A.18)

Ψ 1

√2Φ exp , (A.19)

e recorrendo a (A.17) e (A.19), retira-se

Ψ2

Ψ 1√2

Φ exp . (A.20)

No caso da partícula livre (A.16), resulta finalmente

Ψ2

Ψ . (A.21)

Introduzindo os conceitos de operador momento linear,

, (A.22)

142


e o operador hamiltoniano, associado à energia da partícula livre,

2 2 , (A.23)

a equação de Schrödinger pode ser escrita na forma simples

ΨΨ . (A.24)

No caso de se considerar uma partícula sujeita a uma força, a energia vem dada por (A.15), pelo que

o operador hamiltoniano fica

2 . (A.25)

Assim, tem-se para a equação de Schrödinger unidimensional

Ψ2

ΨΨ , . (A.26)

A.3 Equação de Schrödinger Independente do Tempo

Nos casos em que a densidade de probabilidade corresponde a um estado estacionário, i.e., não

varia ao longo do eixo temporal, faz todo o sentido apurar a equação de Schrödinger independente do

tempo. Nesse sentido, recorre-se à separação de variáveis na função de onda,

Ψ , . (A.27)

Introduzindo (A.27) na equação de Schrödinger (A.26), resulta

Q2 . (A.28)

Dividindo ambos os membros de (A.28) pela função de onda (A.27), tem-se

1 Q2

1. (A.29)

De facto, uma vez que a equação (A.29) ostenta um membro com dependência temporal e outro com

dependência espacial, é condição necessária para que a expressão seja válida que haja uma

equivalência a uma constante, que no caso constitui a energia do sistema quântico em análise. Posto

isto, resulta de imediato de (A.29) a equação de Schrödinger independente do tempo,

2 . (A.30)

A.4 Descontinuidade da Derivada da Função de Onda

A equação diferencial de Sturm-Liouville (2.55), que representa a normalização adoptada para a

equação de Schrödinger independente do tempo (2.51), pode ser expressa na forma

143


. (A.31)

Uma vez que o potencial é descrito por uma distribuição delta de Dirac, o que implica que a derivada

da função de onda não é contínua nos pontos pertencentes ao conjunto que define as condições na

fronteira, torna-se inevitável considerar um intervalo centrado no ponto genérico e de largura 2 ,

de tal forma que

. (A.32)

Considerando o limite em que 0, i.e., um intervalo infinitesimal, o integral do segundo membro da

equação anula-se, por ser contínua a função de onda, pelo que se retira

lim lim 0 , (A.33)

o que equivale a impor a descontinuidade no ponto dada por

. (A.34)

A.5 Equação Fundamental das Bandas de Energia

Adoptando as normalizações e , vem para o determinante da matriz principal de (2.82)

sin sin cos 1 . (A.35)

Dividindo ambos os membros da equação (A.35) pelo número de onda da partícula livre, vem

sin sin cos 1 . (A.36)

Desenvolvendo o quadrado do segundo membro de (A.36),

cos 1 cos 2 cos 1 , (A.37)

e incorporando (A.37) em (A.36), resulta

sin sin cos 2 cos 1 , (A.38)

Por aplicação da relação trigonométrica sin cos 1, (A.38) origina a expressão quadrática

2 1 0 , (A.39)

em que é uma função do número de onda da partícula livre e, consequentemente, da sua

energia, dada por

cos 2sin

. (A.40)

144


Resolvendo (A.39) em ordem a (A.40), chega-se a

12 cos , (A.41)

que está na base da equação fundamental das bandas de energia,

cos cos 2sin

. (A.42)

Anexo B

Estruturas Periódicas

Este Anexo surge como suporte para deduções relevantes no âmbito das características

electromagnéticas de cristais fotónicos baseados em estruturas periódicas constituídas por células

contíguas similares. Adoptando uma concepção segundo a qual estas são constituídas por camadas

de índices de refracção constantes e mutuamente distintos, dá-se ênfase à expansão em coeficientes

da série de Fourier da função permitividade eléctrica, que permite um tratamento amplamente mais

simplificado de meios periódicos, bem como a uma caracterização matricial da estrutura, com base

nas condições nas interfaces, que está na origem da obtenção dos diversos parâmetros a ela

associados.

146


B.1 Coeficientes da Série de Fourier da Permitividade Eléctrica

Dada uma estrutura periódica constituída por células de duas camadas de espessura equivalente, tal

como esquematizado na Figura B.1, de tal forma que se tem um índice de refracção constante por

patamares, com 0,5Λ e inteiro, vem de (3.70)

, Λ 0,5 Λ , 0,5 Λ 1 Λ . (B.1)

Figura B.1 – Estrutura periódica de camadas de igual espessura.

A expansão em série de Fourier da permitividade eléctrica é dada por (3.23), com os coeficientes

respectivos [84] calculados através da expressão

1Λ . (B.2)

O índice de refracção [17] é obtido com recurso a

. (B.3)

Uma vez que o meio é não magnético, 1, , é possível exprimir a função permitividade

eléctrica ao longo da coordenada espacial em função de ,

, (B.4)

sendo que o seu valor no vácuo é constante, 8,854 10 · .

Tomando os valores da permitividade eléctrica em cada uma das camadas, e , de tal forma que

, Λ 0,5 Λ , 0,5 Λ 1 Λ

, (B.5)

vem, de (B.2) e (B.5), para uma célula arbitrária com início na origem do referencial espacial,

… …

0,5Λ 0,5Λ 0,5Λ 0,5Λ

147


1Λ , (B.6)

o que, introduzindo a restrição geométrica 0,5Λ, impõe

2

,

,. (B.7)

De (B.7), redunda a expressão

2 1 . (B.8)

Assim, vem para o coeficiente de ordem 1 da expansão em série de Fourier, de (B.5) e (B.8),

2 11

. (B.9)

Da mesma forma, obtém-se de (B.5) e (B.6) o coeficiente de ordem 0 que, por definição,

corresponde ao valor médio da permitividade eléctrica no espaço de um período ou célula,

1Λ

,, 2 2 . (B.10)

B.2 Modelo Elíptico para a Componente Imaginária do Número de Onda

Dada a relação de dispersão (3.35) que caracteriza a estrutura periódica em análise, é possível obter

as frequências angulares que correspondem aos extremos da banda proibida, por substituição do

número de onda de Bloch pela condição de Bragg (3.36),

14 0 , (B.11)

resultando, após manipulação algébrica simples,

14

12

1

12

1 . (B.12)

Introduzindo o número de onda de Bloch (3.41), na forma ,

12

12

12

12

12

, (B.13)

com , na relação de dispersão (3.35), reverte a expressão

12

12 0 . (B.14)

Desenvolvendo o produto de complexos conjugados e agrupando os termos semelhantes, vem

148


12

12 2 0 , (B.15)

expressão que constitui uma forma exacta da equação de dispersão que relaciona a frequência

angular de trabalho com a componente imaginária do número de onda de Bloch, na banda proibida.

Substituindo a frequência angular de trabalho por , dada por (3.42), em (B.15), vem

12

12

12

12

12

12 0 , (B.16)

que equivale a

116

18

12

12

116

12 0 , (B.17)

ou, agrupando as potências semelhantes,

12 0 . (B.18)

Fazendo uso da aproximação (3.45),

12 0 , (B.19)

e substituindo a componente imaginária pela sua expressão original (3.41),

, (B.20)

resulta finalmente a componente imaginária do número de onda de Bloch no centro da banda

proibida,

1 12

14 , (B.21)

que corresponde ao seu valor máximo.

De (3.50) e (3.51), reverte para a largura da banda proibida a expressão

Δ 2

1

21 1

1

. (B.22)

Tendo em conta a aproximação [84],

1 112 , 1 (B.23)

e assumindo a condição (3.49), é exequível admitir que

149


1 1 2 . (B.24)

Assim, a equação (B.22) pode ser escrita na forma

Δ 21 1 2

1 2

22

22

22

, (B.25)

ou, invocando novamente a condição (3.49), segundo a qual ,

Δ . (B.26)

B.3 Condições nas Interfaces da Estrutura Periódica

De (3.74), e considerando polarização transversal eléctrica (TE), o campo eléctrico que se propaga

nas células 1 e vem dado por

é

é

. (B.27)

Recorrendo a (B.27) e aplicando as condições nas interfaces (3.78) vem, para fronteiras entre

células,

, (B.28)

e para fronteiras entre camadas da mesma célula,

. (B.29)

Assim, resulta para a interface correspondente aos pontos 1 Λ

, (B.30)

e 1 Λ , com Λ ,

, (B.31)

ambos assinalados na Figura 3.9.

Os campos (B.27) admitem as derivadas parciais em ordem à coordenada espacial correspondente à

direcção de propagação da radiação,

é

é

. (B.32)

150


Aplicando novamente as condições nas interfaces (3.78), reverte, para fronteiras entre células,

, (B.33)

e para a fronteira entre camadas da mesma célula,

. (B.34)

Desta forma, provém para a interface correspondente respectivamente aos pontos 1 Λ

, (B.35)

e 1 Λ , com Λ ,

. (B.36)

B.4 Coeficientes da Matriz de Transmissão

A matriz de transição que permite obter a transformação operada sobre os valores das ondas

incidente e reflectida correspondentes a duas células consecutivas do cristal fotónico é da forma

, (B.37)

em que , , e representam os respectivos coeficientes.

De (3.80) e (3.81), redunda a equação

, (B.38)

com as matrizes , 1,2,3,4, caracterizadas pelas expressões

1 11 1 , (B.39)

, (B.40)

, (B.41)

. (B.42)

A inversa de uma matriz genérica : , com 2, pode ser espontaneamente obtida através de

adjdet

1. (B.43)

Assim, de (B.39) e (B.41) revertem as matrizes inversas,

151


121 11 1 , (B.44)

para 1, e

12 , (B.45)

para 3. No seguimento da equação (B.38), o primeiro processo multiplicativo vem

12

1 1

1 1. (B.46)

Da multiplicação do terceiro operando (B.41) e da relação Λ ,

14 , (B.47)

surgem os coeficientes

1 1 2 cos sin

1 1 2 cos sin

1 1 2 cos sin

1 1 2 cos sin

, (B.48)

simplificados com recurso às expressões que relacionam os operadores trigonométricos com a

exponencial complexa,

cos 2

sin 2

. (B.49)

Finalmente, multiplicando (B.47) pelo quarto operando (B.42),

, (B.50)

emanam os coeficientes da matriz de transição ,

12 cos

12 sin

12 cos

12 sin

12 cos

12 sin

12 cos

12 sin

12 cos

12 sin

12 cos

12 sin

12 cos

12 sin

12 cos

12 sin

, (B.51)

que podem ser escritos na forma simplificada

152


cos12 sin

12 sin

12 sin

cos12 sin

. (B.52)

B.5 Matriz de Transmissão de uma Estrutura Periódica Genérica

Considere-se uma estrutura periódica genérica constituída por células de camadas de espessuras

arbitrárias, caracterizadas por índices de refracção constantes e não dispersivos, porém mutuamente

distintos , de tal forma que

, , (B.53)

com inteiro no intervalo 1, , periodicidade Λ e Λ , em que e são

abcissas que delimitam cada camada de espessura . De (3.73), a distribuição da

componente do campo eléctrico que depende da coordenada espacial, na camada , vem

. (B.54)

Nesse sentido, a matriz de transferência que permite obter a transformação operada sobre os valores

das ondas incidente e reflectida correspondentes à estrutura periódica genérica na camada de

duas células contíguas , com radiação electromagnética incidente caracterizada por uma

polarização transversal eléctrica (TE), no seguimento do caso particular anterior, é calculada através

da expressão

, (B.55)

em analogia com (B.37). Inserindo as condições na fronteira (3.79), válidas para o caso particular

1 camada, surge da matriz (B.46),

12

1 1

1 1 , (B.56)

correspondente a uma interface arbitrária. Generalizando para a estrutura de 1 camadas, resulta

12

1 1

1 1 , (B.57)

ou, de forma mais simplificada,

153


12

1 11 1

, (B.58)

em que representa o rácio entre os módulos das constantes de propagação em duas camadas

sucessivas da estrutura,

. (B.59)

De notar que se verifica uma repetição dos parâmetros de em camadas,

, (B.60)

com inteiro, o que implica que

1

Λ

. (B.61)

B.6 Relação de Dispersão Fundamental dos Cristais Fotónicos

A expressão (3.113), com recurso aos coeficientes da matriz de transferência (B.52) e aos

operadores trigonométricos na forma exponencial complexa (B.49), pode ser escrita na configuração

expandida

cos Λ 2 2 , (B.62)

com a parcela regida por

cos 2cos cos , (B.63)

e a parcela por

12 sin

sin sin . (B.64)

De (B.62), considerando as nomenclaturas (3.116) e (3.117) associadas ao caso particular de

radiação electromagnética incidindo perpendicularmente sobre a estrutura periódica, resulta

finalmente

cos Λ cos cos12 sin sin , (B.65)

154


que configura a versão final da equação de dispersão , que relaciona a frequência angular de

trabalho com a constante de propagação correspondente às ondas de Bloch na estrutura, na situação

singular de esta ser constituída por células de duas camadas, de espessuras e , e às quais estão

associados índices de refracção não dispersivos e espacialmente invariantes, e .

B.7 Identidade de Chebyshev

No que se segue, procede-se à dedução da Identidade de Chebyshev, útil no cálculo de potências de

matrizes unimodulares, como é o caso de uma matriz de transferência aplicada a uma estrutura

periódica fotónica composta por células. A equação dos vectores próprios de (3.106) vem dada

por

0

0 . (B.66)

Uma vez que um dos valores próprios , com 1,2 é necessariamente da forma (3.104),

é possível admitir que , resultando imediatamente de (3.115) a imposição . Por

outro lado, de (B.66), redunda o sistema de duas equações a duas incógnitas,

0

0 . (B.67)

Qualquer das duas equações permite a obtenção de vectores próprios válidos e, adicionalmente, uma

vez que singularmente correspondem a equações simples a duas incógnitas, um dos seus

componentes pode ser fixado arbitrariamente. Assim, identificando por , os vectores próprios

relativos a cada uma das equações, e consignando e , resulta

, (B.68)

pelo que os valores próprios de associados a cada valor próprio se escrevem na forma

. (B.69)

Para efeitos de cálculo de potências de matrizes, reveste-se de particular relevância a utilização da

diagonalização, que consiste na concepção de uma matriz quadrada de tal forma que se tenha

, (B.70)

em que é uma matriz caracterizada por uma diagonal principal formada pelos valores próprios de ,

sendo nulos os restantes elementos, ou seja,

155


0 ,, , (B.71)

com e inteiros não nulos, e com o símbolo relativo ao delta de Kronecker. Uma vez que a

matriz inversa de corresponde ao quociente de uma matriz de colunas correspondentes aos

vectores próprios de pela raiz quadrada do seu determinante,

det1

, (B.72)

decorre de imediato a expressão da matriz ,

adjdet

1. (B.73)

De forma a verificar a veracidade da condição (B.70), é necessário efectuar a multiplicação

1

1 1 (B.74)

em que ,

, (B.75)

define o denominador comum a todos os elementos da matriz descrita por

. (B.76)

Tomando no que se segue , as expressões (B.69) e (3.115), e a equação resultante da relação

de dispersão (3.113),

2cos Λ , (B.77)

vem para o elemento ,

, (B.78)

e, tendo em conta o facto de ser unimodular (3.87),

2 cos Λ cos Λ 0 . (B.79)

156


Identicamente, para o elemento , de (B.76),

, (B.80)

o que, recorrendo a (3.87) e (B.77), conduz a

2cos Λ 2 cos Λ cos Λ 0 . (B.81)

Para o elemento , de (B.76), vem

1 , (B.82)

e, recorrendo a (3.87) e (B.76),

2 1 cos Λ . (B.83)

Finalmente, vem para o elemento ,

1 , (B.84)

que, tendo em conta (3.87) e (B.76),

2 cos Λ 1 . (B.85)

Uma vez que o denominador comum vem dado por

2 sin Λ , (B.86)

e dada a relação (B.74), resulta de (B.83) e (B.86),

1 cos Λsin Λ

1 cos Λ sin Λ cos Λsin Λ

sin Λ sin Λ cos Λsin Λ cos Λ sin Λ , (B.87)

e de (B.85) e (B.86),

cos Λ 1sin Λ

cos Λ sin Λ cos Λ 1sin Λ

sin Λ sin Λ cos Λsin Λ cos Λ sin Λ . (B.88)

Deste modo, de (B.74) reverte

00

, (B.89)

o que está de acordo com (B.70).

Elevando (B.89) a uma potência de ordem , tem-se

157


00

, (B.90)

de onde decorre de imediato uma expressão para a potência de ordem da matriz de transferência

,

00

. (B.91)

Recorrendo a (B.72), (B.73) e (B.75) e desenvolvendo os produtos matriciais, vem

1 00

1

1

1. (B.92)

A expressão (B.92) constitui um resultado que pode ser aplicado independentemente em cada

elemento da matriz com , . Assim, o denominador , com , vem

2 sin Λ . (B.93)

Da mesma forma, tendo em conta (B.49), (B.69) e (B.92), com , tem-se

2 sin Λ , (B.94)

e também,

2 sin Λ sin 1 Λ . (B.95)

Utilizando as mesmas expressões para , fica

2 sin Λ , (B.96)

e, adicionalmente,

2 sin Λ sin 1 Λ . (B.97)

Utilizando (B.86) e (B.92), tem-se para (B.96) e (B.97),

158


sin Λ sin 1 Λsin Λ

sin Λsin Λ

, (B.98)

ao passo que para os elementos (B.94) e (B.95), fica


sin Λsin Λ

. (B.99)

Das duas pretéritas expressões, obtém-se finalmente o resultado relativo à potência de ordem

(B.92) da matriz de transferência da estrutura periódica,


sin Λsin Λ

sin Λsin Λ


. (B.100)

Neste ponto, faz sentido, por uma questão de simetria e simplicidade, introduzir a notação

sin Λsin Λ , (B.101)

que permite reescrever a potência (B.100) na forma que se denomina de identidade de Chebyshev,

. (B.102)

159

Referências

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