Critérios de Paralelismo e Perpendicularidade

ESCOLA SECUNDÁRIA DA CIDADELA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - 10ºano

PIT 3– GEOMETRIA

PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE

Critérios de paralelismo e perpendicularidade

Resolva os seguintes problemas seguindo os seguintes procedimentos:

1. CRITÉRIO DE PARALELISMO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

Como é que o carpinteiro pode ter a certeza de que o corrimão fica paralelo à rampa?

Ele pode ter a certeza de que o corrimão fica paralelo à rampa, uma vez que está paralelo a uma recta contida nesta.

O corrimão é paralelo a uma O corrimão não é paralelo arecta desenhada na rampa, por nenhuma recta da rampa, isso é paralelo à rampa. por isso não é paralelo à rampa.

Critério1: Se uma recta é paralela a uma recta de um plano, é paralela ao plano.

Quando utilizar o critério?

Quando se quer provar que uma recta é paralela a um plano.

Como utilizar o critério?

Basta encontrar no plano uma recta que seja paralela à recta dada.

Aplicação do critério:

Consideremos o seguinte cubo [ABCDEFGH].Provemos que a recta BC é paralela ao plano EFG.

A recta BC é paralela ao plano EFG porque é paralela à recta FG que está contida nesse plano.

(Como os segmentos [BC] e [FG] são lados opostos de um quadrado então são paralelos e consequentemente as rectas BC e FG também são paralelas)

Esc.Sec.Cidadela- Dep. Matemática – Matemática A- 10º Ano – Paralelismo e Perpendicularidade - Pág1

Edições Contraponto

CRITÉRIO DE PARALELISMO ENTRE DOIS PLANOS

O Sr. Amaral queria colocar uma prateleira triangular no canto da sua sala, de modo a esta ficar na horizontal (obviamente!), isto é, paralela ao chão. Repara como ele executou a tarefa.

De facto, só há garantia de a prateleira estar paralela ao chão se os seus dois lados, que formam o canto, estiverem respectivamente paralelos a duas rectas concorrentes (por exemplo, as que formam o canto) do plano do solo.

O plano contém uma recta Se o plano contém duas rectasparalela ao plano , mas os concorrentes paralelas aodois planos não são paralelos. plano , então os dois planos são paralelos.

Critério 2: Se um plano contém duas rectas concorrentes paralelas a outro plano, os planos são paralelos.


Quando se quer provar que um plano é paralelo a outro plano.


Basta encontrar nesse plano duas rectas concorrentes que sejam paralelas ao outro plano.


Consideremos o seguinte cubo [ABCDEFGH].Provemos que o plano ABC é paralelo ao plano EFG.

O plano ABC é paralelo ao plano EFG porque contém duas rectas concorrentes, AB e BC, que são paralelas ao plano EFG.

(A recta AB é paralela ao plano EFG porque é paralela à recta EF que está contida nesse plano; a recta BC é paralela ao plano EFG porque é paralela à recta FG que está contida nesse plano)


3. CRITÉRIO DE PERPENDICULARIDADE ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

Estes técnicos querem colocar no terraço uma antena que fique na vertical, isto é, perpendicular ao chão do terraço, visto este ser horizontal.

O Sr. Aníbal (à esquerda na figura) verificou com um esquadro que o varão que suporta a antena estava perpendicular a uma recta do plano horizontal. O Sr. Faustino (à direita na figura) achou melhor usar dois esquadros.

O Sr. Faustino é que tinha razão: para ver se uma recta é perpendicular a um plano, não basta verificar se ela é perpendicular a uma recta desse plano.

A recta r é perpendicular à A recta a é perpendicular às recta s do plano mas não é rectas b e c do plano, por issoperpendicular ao plano. é perpendicular ao plano.

Critério: Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, é perpendicular ao plano.


Quando se quer provar que uma recta é perpendicular a um plano.


Basta encontrar no plano duas rectas concorrentes que sejam perpendiculares à recta dada.


Consideremos o seguinte cubo [ABCDEFGH].Provemos que a recta BF é perpendicular ao plano EFG.

A recta BF é perpendicular ao plano EFG porque é perpendicular às rectas EF e FG que são concorrentes e que estão contidas no plano EFG.

(Como os lados adjacentes de um quadrado são perpendiculares, os segmentos [BF] e [EF] são perpendiculares e consequentemente as rectas BF e EF também o são. Da mesma maneira se prova que as rectas BF e FG são perpendiculares)



4. CRITÉRIO DE PERPENDICULARIDADE ENTRE DOIS PLANOS

Os dois operários querem construir uma parede de tijolo na vertical. Um deles utiliza o fio de prumo, que é um fio com um peso na ponta para indicar a posição vertical, isto é, a direcção perpendicular a um plano horizontal. O outro fez tudo «a olho».

De facto para verificar que um plano está vertical basta verificar que ele contém uma recta vertical, ou seja, uma recta perpendicular ao plano horizontal.

É por isso que se usa o fio de prumo.

Critério 4: Se um plano contém uma recta perpendicular a outro plano, os dois planos são perpendiculares.


Quando se quer provar que um plano é perpendicular a outro plano.


Basta encontrar nesse plano uma recta perpendicular ao outro plano.


Consideremos o seguinte cubo [ABCDEFGH].Provemos que o plano ABF é perpendicular ao plano EFG.

O plano ABF é perpendicular ao plano EFG porque contém a recta BF que é perpendicular ao plano EFG.

(A recta BF é perpendicular ao plano EFG porque é perpendicular às rectas EF e FG que são concorrentes e que estão contidas no plano EFG)



Usando os critérios que estudámos e trabalhámos resolva os seguintes exercícios:

Exercício 1

1. Prove que a recta AB é paralela ao plano EFG.2. Prove que a recta AE é paralela ao plano DCG.3. Prove que a recta DH é paralela ao plano BFG.

Exercício 2

1. Prove que o plano AEH é paralelo ao plano BFG.2. Prove que o plano ABF é paralelo ao plano DHG.3. Prove que o plano BCD é paralelo ao plano GFE.

Exercício 3

1. Prove que a recta AE é perpendicular ao plano EFG. 2. Prove que a recta AB é perpendicular ao plano CGF.

3. Prove que a recta HD é perpendicular ao plano ABC.

Exercício 4

1. Prove que o plano ABC é perpendicular ao plano ABF.2. Prove que o plano EHG é perpendicular ao plano BFG.3. Prove que o plano ABD é perpendicular ao plano HDC.


Depois de ter construído um cubo com plasticina e fósforos, resolva os seguintes exercícios:

1.1. Indique duas rectas paralelas.

1.2. Indiqur duas rectas perpendiculares.

1.3. Indique duas rectas concorrentes não perpendiculares.

1.4. Cite vários planos aos quais pertença A. Cite planos que contenham a recta AB. Há

vários planos que contenham A, B e C?

1.5. Quantos planos consegues definir com duas rectas concorrentes? Dê um exemplo.

1.6. Quantos planos consegues definir com duas rectas paralelas? Dê um exemplo.

1.7. Quantos planos consegues definir com a recta AB e o ponto F?

1.8. Qual a posição relativa da recta DC em relação ao plano ABG? Porquê?

1.9. Qual a posição relativa da recta DA em relação ao plano ABG? Porquê?

1.10. Qual a posição relativa da recta HA em relação ao plano ABG?

1.11. Qual a posição relativa da recta AG em relação ao plano ABG?

1.12. Indique dois planos paralelos em sentido estrito. Porquê?

1.13. Indique dois planos paralelos coincidentes.

1.14. Indique dois planos perpendiculares. Porquê?

1.15. Comente a afirmação: “As rectas AD e FG são perpendiculares”.

2. Utilizando os conceitos e princípios abordados preencha:

2.1. Um plano é definido por 3 pontos não colineares, ou também por ................., ou ainda

por .............. ou ......................................

2.2. Uma recta está contida num plano se ..................................

2.3. Uma recta é paralela a um plano se ...................................

2.4. Uma recta é perpendicular a um plano se ...................................

2.5. Dois planos são paralelos se .......................................

2.6. Dois planos são perpendiculares se .......................................


Soluções:

1.1.16. As rectas DC e AB são paralelas.

1.17. As rectas AB e BC são perpendiculares.

1.18. As rectas AB e BD são concorrentes (no ponto B) mas não são perpendiculares.

1.19. Planos aos quais pertence o ponto A: ABC, ADF, ABG, AGH, etc. Os planos ABG, ABC,

ABH contêm a recta AB. Só há 1 plano que contém A, B e C porque 3 pontos definem

um único plano.

1.20. Com duas rectas concorrentes só se define um plano. Ex: AB e BC definem o plano

ABC

1.21. Com duas rectas paralelas só se define um plano. Ex: BG e CH definem o plano CBG.

1.22. A recta AB e o ponto F (exterior à recta) definem um único plano (ABF).

1.23. A recta DC é estritamente paralela ao plano ABG porque é paralela à recta AB contida

no plano. (Pelo critério de paralelismo entre uma recta e um plano)

1.24. A recta DA é perpendicular ao plano ABG porque é perpendicular a duas rectas

concorrentes do plano, AB e AF (Pelo critério de perpendicularidade entre uma recta e

um plano)

1.25. A recta HA é concorrente oblíqua ao plano ABG (intersecta o plano no ponto A).

1.26. A recta AG é paralela contida no plano ABG (porque os 2 pontos que a definem estão

no plano)

1.27. Os panos DCH e ABG são estritamente paralelos porque DCH contém 2 rectas

concorrentes DC e CH que são paralelas ao plano ABG. (Pelo critério de paralelismo

entre dois planos)

1.28. Os planos ABG e AFG são paralelos coincidentes (são o “prolongamento” da face

inferior).

1.29. Os panos ADC e ABG são perpendiculares porque ADC contém a recta DA que é

perpendicular ao plano ABG, como vimos em 1.9. (Pelo critério de perpendicularidade

entre dois planos)

1.30. A afirmação: “As rectas AD e FG são perpendiculares” é verdadeira. São não

complanares perpendiculares.

2.

2.1. Um plano é definido por 3 pontos não colineares, ou também por2 rectas concorrentes,

ou ainda por 2 rectas paralelas ou uma recta e um ponto exterior à recta.

2.7. Uma recta está contida num plano se os dois pontos que a definem estiverem no plano.

2.8. Uma recta é paralela a um plano se for paralela a uma recta do plano.

2.9. Uma recta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas rectas concorrentes

do plano.

2.10. Dois planos são paralelos se um deles contém 2 rectas concorrentes paralelas ao

outro.

2.11. Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma recta perpendicular ao

outro.


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