Cubagem-Madeira

8/6/2019 Cubagem-Madeira

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MODELAGEM NO ENSINO MDIO: CUBAGEM DEMADEIRA

Universidade Federal de UberlndiaFaculdade de Matemtica

Lren Grace Kellen Maia Amorim Mariana Martins Pereira Rosana Sueli da Motta [email protected] [email protected] [email protected]

INTRODUOEste trabalho mostra a utilizao da modelagem no ensino mdio (Modelao no

ensino), procurando mostrar uma aplicao da matemtica no cotidiano. O textodescreve algumas etapas da modelagem e um mtodo desenvolvido para mostrar avalidade do mtodo de cubagem utilizado pelo madeireiro e apresenta tambm umaatividade que tem por objetivo auxiliar o professor no processo de ensino aprendizagem

de como ajudar o aluno na construo do conhecimento em relao ao volume do cone.A inteno, quando procuramos compreender o mtodo de cubagem da madeira

utilizado pelo madeireiro exibido em (BIEMBENGUT, 2003) proporcionar ao alunoum ambiente diferente para que o mesmo desenvolva sua aprendizagem de formacompreensiva e significativa. O desenvolvimento deste projeto que fora intituladoModelagem no ensino mdio: Cubagem de Madeira propiciou um espao deaprendizagem em Geometria Espacial.

Nesse trabalho trataremos do relato da experincia e dificuldades de elaboraodo referido projeto, bem como, da reflexo sobre os saberes movimentados e osdesdobramentos decorrente destes.

Para a realizao do projeto o desafio era o de elaborar uma proposta de umaatividade para alunos do ensino mdio, envolvendo o ensino de Matemtica atravs damodelagem. Muito tempo foi necessrio para se chegar deciso de que havia no grupoo desejo e a necessidade de desenvolver algo que pudesse ser trabalhado com o aluno,deste nvel de ensino, de maneira fcil, prtica e prazerosa. A utilizao da informticase despontou como propcio para explorar os conceitos de Geometria Plana e Espacial

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e, alm disso, despertar o interesse dos alunos. Acreditava-se que este contedo abririaum leque enorme de possibilidades para a realizao de um trabalho interessante eestimulador. Mas que material seria esse? Aps a dedicao de vrias horas discutindo erealizando leituras e pesquisas, em diferentes textos e sites , optou-se pela construo deuma atividade de ensino no ambiente computacional na tentativa de tornar real proposta imaginada.

Pensvamos que compreender a modelagem do mtodo de cubagem utilizado pelo madeireiro e a construo da atividade de ensino no ambiente computacional seriafcil, porm quando comeamos a desenvolver o trabalho, tivemos algumas surpresas, pois no foi to trivial perceber a matemtica utilizada na abordagem de(BIEMBENGUT, 2003) e nem na construo da atividade. Durante a elaborao damesma descobrimos o quanto importante o professor desenvolver uma atividade antesde prop-la a seus alunos, pois assim poder identificar e entender que contedoMatemtico possvel ser explorado, e quando os alunos indag-lo o professor no ser pego de surpresa.

Outro ponto relevante na produo da apresentao se relaciona a descoberta,durante a preparao, sobre os vrios contedos de Matemtica possveis de seremexplorados alm daqueles pensados inicialmente. A idia inicial proposta evidenciava

apenas o volume do cone, do cilindro e do prisma. Entretanto, a experincia nos levou adescobrir que outros contedos estavam relacionados e poderiam ser tambmexplorados, tais como: permetro, rea, semelhana de tringulo.

Modelos Matemticos e Situaes Problemas Envolvendo Modelagem Matemtica

Para (BASSANEZI, 2004), a Modelagem Matemtica de uma situao problema

real deve seguir uma seqncia de etapas visualizadas na Figura 1.

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4. Validao: o processo de aceitao ou no do modelo proposto. Nesta etapa,os modelos, juntamente com as hipteses que lhes so atribudas, devem ser testados em confronto com os dados empricos, comparando suas solues e previses com os valores obtidos no sistema real. O grau de aproximaodesejado destas previses ser o fator preponderante para validao;

5. Modificao: Alguns fatores ligados ao problema original podem provocar arejeio ou aceitao dos modelos. Quando os modelos so obtidosconsiderando simplificaes e idealizaes da realidade, suas soluesgeralmente no conduzem s previses corretas e definitivas, pois oaprofundamento da teoria implica na reformulao dos modelos. Nenhummodelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado, poder-se-ia dizer que um bom modelo aquele que propicia a formulao de novosmodelos, sendo esta reformulao dos modelos uma das partes fundamentais do processo de modelagem.

Genericamente, (BIEMBENGUT; HEIN, 2005), apresentam o modelo de

Modelagem Matemtica, Figura 2, no qual matemtica e realidade so dois conjuntos

disjuntos e a modelagem o meio de faz-los interagir.

Figura 2 (BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 13)

Essa interao, que permite representar um fenmeno atravs da linguagemmatemtica (modelo matemtico), envolve uma srie de procedimentos, que podem ser

agrupados em trs etapas, subdivididas em seis subetapas, a saber:



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a) InteraoReconhecimento da situao-problema;Familiarizao com o assunto a ser modelado referencial terico.

b) MatematizaoFormulao do problema hipteses;Resoluo do problema em termos do modelo;

c) Modelo matemticoInterpretao da soluo;

Validao do modelo avaliao.

Se o modelo no atender s necessidades que o geraram, o processo deve ser retomado na segunda etapa Matematizao mudando-se ou ajustando hipteses,variveis, etc. Veja a Figura 3:

Figura 3 (BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 15)

importante ao concluir o modelo, a elaborao de um relatrio que registre todasas fases do desenvolvimento, a fim de propiciar seu uso de forma adequada(BIEMBENGUT,1999).



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COMPREENDENDO O PROCESSO DE CUBAGEM DE MADEIRA

O nosso intuito ao realizar este trabalho foi o de utilizar a modelagem comomeio de auxiliar no processo de ensino-aprendizagem. Tambm consideramos aoportunidade de discutir por meio deste projeto a possibilidade real do professor deixar um pouco de lado o quadro negro e as frmulas, atuando como mediador para que oaluno construa o seu conhecimento a partir das aplicaes e manuseio do material.

Abaixo descrevemos a modelagem do mtodo de cubagem da madeira de formaa explanar toda matemtica utilizada, os objetivos do objeto de aprendizagem propostoe os procedimentos em cada etapa do trabalho.

Segue abaixo o mtodo de cubagem utilizado pelo madeireiro segundo(BIEMBENGUT, 2003).Segundo o madeireiro, o procedimento para calcular a metragem cbica de

madeira ou tbua que obter do tronco de uma rvore aps o corte o seguinte:a) primeiro, estima o ponto central do tronco da rvore;

b) com um cordel (barbante), a partir desse ponto, encontra o permetro dotronco (circunferncia);

c) a seguir, dobra o cordel (relativo ao permetro encontrado) em quatro partesiguais2 r = 4l.

2 r = 4l l = r/2

d) num ato contnuo, eleva ao quadrado a medida desse quarto da circunferncia;



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e) e, finalmente, multiplica o valor desse quarto cordel ao quadrado, pela medidada altura da rvore obtendo, ento, o volume ou o nmero de m da madeira.

Qual a validade do mtodo do madeireiro? Nesse processo, o madeireiro "aproxima" primeiro o tronco (de cone) a um

cilindro. Essa aproximao se dar como permetro, a mdia entre os permetros das bases menor e maior do tronco.

Posteriormente, efetua o clculo do volume de um prisma de base quadrada.Com isso, a diferena entre os volumes significativa. Vejamos por qu:

ao dividir o cordel em quatro partes e elev-lo ao quadrado, o madeireiro calculaa rea de um quadrado, ou seja, transforma o crculo em um quadrado.Embora os permetros sejam iguais, as reas so diferentes.

ao multiplicar a rea (Aq) pela altura (h), determina o volume de um prisma e

no de um cilindro. A razo de

4.



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Nesse caso, o volume obtido pelo mtodo do madeireiro menor do que ovolume do tronco. Isto porque o volume do cilindro igual a /4 do volume do prisma.

Outro fato interessante que o corte para a obteno de tbuas, nessa madeireira,era feita de forma hexagonal. Isto , cortava-se uma tbua e, em seguida, girava-se o

tronco em um ngulo (aproximadamente) de 60 , seguindo o processo at no ser mais possvel retirar tbuas.

Por esse processo, o volume de um prisma hexagonal

Se compararmos os volumes, veremos que:

Volume do cilindro > volume do prisma hexagonal > volume do prismaquadrangular.

Numa anlise superficial, observamos que o madeireiro "paga" pelo tronco,como se fosse um prisma de base quadrangular, corta-o como um prisma de basehexagonal e "ganha" efetuando seus clculos a partir do cilindro, pois o tronco transformado em madeira e lenha.

Nesse momento poder ser abordado os seguintes volumes:

h L

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Volume do prisma:O volume de um prisma dado por V(prisma) = A(base).h

Volume do cilindro:Em um cilindro, o volume dado pelo produto da rea da base pela altura.

V = A(base). hSe a base um crculo de raio r, ento:V = r h

Volume do cone:O volume do cone obtido por 1/3 do produto da rea da base pela altura, ento:

V = (1/3) r

Volume do tronco de um cone:O volume de um tronco de cone reto igual diferena entre os volumes do cone (maior) e do cone (menor), isto :

Matematizando com dados numricosVamos tomar a medida de uma rvore de eucalipto e passar ao clculo do

volume, supondo que o tronco de eucalipto seja "aproximadamente" um tronco de umcone reto. Fazendo:

raio maior ( R ) = 0,30 m; raio menor ( r ) = 0,25 m; altura ( h ) = 4,8 m

1) O volume de um tronco de cone reto igual diferena entre os volumes

do cone (maior) de altura (4,8 m + x) e do cone (menor) de altura x, isto :

Substituindo os valores dos raios, temos:

hr H RV V V V t cC t 3

hr H RV V V V t cC t 3

3

432,00275,03

25,08,430,0 x x xV t



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Uma vez que os tringulos ABC e ADE so semelhantes podemos obter o valor de x, por:

Portanto, o volume do tronco (V):V 0,364 1,143m

2) Tomando a tora como cilindro, o volume (V2)

3) Obtendo o volume de um prisma hexagonal, por ser este o processo de cortedo tronco.

Um hexgono regular de (lado L ) composto por seis tringulos eqilteros.

Calculando a rea de um tringulo eqiltero.

248,425,03,0

x x

x x

xhr

R

140,1363,0

8,4275,0

2

2

mmV

V

hr V



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Figura 4

Temos que L = 27,5 cm (mdia dos raios)A tbua tem 2,5 cm de espessura, encontrando a altura do tringulo eqiltero

teremos:

Como a espessura 2,5cm teremos:

Assim, 2x = 24,6 cm

Logo a primeira tbua a ser cortada ter a largura de 24,6cm.

Observe o tringulo vermelho, Figura 5:

Figura 5

Encontrando k (espessura de cada tbua), temos que:

81,2325,27)5,27(2

22

h

3,1231,2181,23

25,27

x x



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Considerando que o corte da madeira feito girando o tronco, o volume de p deserra ser aproximadamente:

V(p) = 6 X (55660) = 333964,8 cm = 0,33 m

Comparando:

1,140 m (madeira mais casca) - 0,33 m (p) = 0,81 m (volume de madeira)

Em percentagem, representa aproximadamente

Segundo o madeireiro, a perda em torno de 20%.Tomando o valor determinado pelo clculo de volume feito pelo mtodo do

madeireiro e subtraindo do valor "real":

1,140 m - 0,896 m = 0,244 m de perdaO que representa, em percentual:

Ou seja, uma perda em torno de 21%.

Conclumos que vlido o mtodo de cubagem de madeira do madeireiro, e aexperincia mostra que um modelo matemtico, pois "aproxima" o tronco de cone (no

caso da rvore) a um prisma de base quadrada para saber o volume ou o nmero demetros cbicos de tbuas que conseguir obter de uma rvore.

ATIVIDADE

Diante da grande dificuldade dos alunos em compreender a Matemtica e, alm

disso, a concepo de muitos alunos de diferentes nveis como sendo esta rea um

%9,28140,1

10033,0

%4,21140,1 100244,0



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bicho-de-sete-cabeas, consideramos interessante que o aluno tenha a oportunidade deaprender interagindo e refletindo, evitando assim, um aprender mecnico, repetitivo eaquele fazer sem saber o que faz e por que faz. Nesse sentido, optamos por desenvolver um trabalho sobre o uso da modelagem e da informtica, por acreditarmos que com essaferramenta as aulas de Matemtica podero ser mais interativas, despertando acuriosidade, a criatividade e estimulando os alunos a fazerem perguntas.

Atividade 1: Nessa atividade o aluno ir escolher um cone, no qual um estcheio de areia e o outro cheio de gua, em seguida ir movimentar o cone at o cilindro,esse processo ser feito trs vezes, se o aluno colocar menos de trs o cilindro ficarvazio se passar de trs o contedo escolhido transbordar.

O objetivo dessa atividade que o aluno compreenda como encontrar o volumede um cone sabendo o volume do cilindro.

Atividade 2: Nessa atividade o aluno ir escolher uma altura, na tela apareceruma serra eltrica que ir cortar o cone em uma certa altura. Depois do corte teremosum cone menor e um tronco de cone.

Em seguida o cone e o tronco de cone iro encher ento os alunos tero quecolocar o contedo no cone maior.

O objetivo dessa atividade que o aluno compreenda como encontrar o volumedo tronco de cone.



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Atividade 3: Nessa atividade teremos a simulao do corte de uma rvorequando o aluno passar o mouse sobre a tora no cho aparecer o ponto mdio entre a base maior e a base menor. Em seguida teremos um barbante que contorna a toraexatamente nesse ponto.

O aluno nesse momento ter que arrastar o barbante e escolher em quantos pedaos esse se divide.

Se a escolha for trs ele perceber com animao que o volume ocupado pelo prisma de base triangular bem menor que o volume do tronco.Se a escolha for quatro ele perceber com animao que o volumeocupado pelo prisma quadrangular menor que o volume do tronco,

porm maior que o volume do prisma de base triangular.Se a escolha for seis ele perceber com animao que o volume do prisma de base hexagonal ser maior que o volume do tronco.



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CONSIDERAES FINAIS

A experincia relatada neste texto nos mostrou evidncias da possibilidade real

de oferecer aos alunos do ensino mdio uma aula mais dinmica, em que os mesmos participam ativamente de todo o processo de construo do conhecimento. Alm disso,se sobressaram nessa caminhada de aprendizagem e desenvolvimento profissional, a possibilidade e a vantagem da utilizao da modelagem para proporcionar aulas deMatemticas mais interativas, que despertam curiosidades e estimulam os alunos afazerem perguntas, descobrirem semelhanas / diferenas, criarem hipteses e chegarems prprias solues.

Pensamos que o projeto em si tem suas potencialidades, mas se no houver amediao do professor a modelagem e a atividade de ensino no ambientecomputacional, por si s, no contribuir para o processo de ensino-aprendizagem. Parafinalizar, acreditamos que o professor, com a mediao adequada, poder explorar diversos conceitos de matemtica no mtodo de cubagem a madeira.

BIBLIOGRAFIA

BIEMBENGUT, M. S.Modelagem Matemtica no ensino/ Maria Sallet Biembengut, Nelson Hein. 3 ed. So Paulo: Contexto, 2003.

FREITAS, M.T.M .A escrita no processo de formao contnua do professor deMatemtica.2006. 299f. Tese (Doutorado em Educao: Educao Matemtica) FE,

Unicamp, Campinas (SP).


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