Curso de Eletrônica

Parte Analógica

Ademarlaudo Barbosa I – Introdução

1.1 Representação de grandezas em termos de variáveis complexas (corrente, tensão, impedância, capacitância, indutância)

A relação mais elementar entre grandezas físicas de interesse em eletrônica é possivelmente a expressa pela chamada Lei de Ohm. Esta ‘lei‘ estabelece que, para uma diferença ou variação de tensão elétrica, V, aplicada entre os terminais de um resistor cuja resistência tem valor R, haverá passagem de corrente elétrica I. As grandezas V, I e R se relacionam de acordo com a expressão: V RI= (1)

Um circuito simples que permite a verificação desta relação linear entre grandezas físicas é esboçado na Fig. 1a. Outra regra semelhante é válida quando se trata de um capacitor, de capacitância C, em lugar do resistor. Neste caso há relação linear entre a corrente e a taxa de variação de tensão (Fig. 1b): dV

dt C I= 1 (2) Uma terceira relação linear é encontrada quando um indutor, cujo coeficiente de auto indutância é L, é sujeito a uma variação de corrente. Uma diferença de tensão então surge entre os terminais do indutor, expressa por: V L dI

dt= (3)

V R I V C I I L V

(a) (b) (c)

Fig. 1: Circuitos simples em que se verificam relações lineares entre grandezas elétricas

Tomemos um sinal elétrico, por exemplo uma corrente variando harmonicamente no tempo com freqüência constante ω, que seja descrito pela equação: )cos()( tItI o ω= (4) Conforme veremos na Seção 1.2, qualquer outro sinal pode ser analisado como uma superposição de contribuições de forma análoga a (4), daí sua importância genérica. Nos circuitos com R, C e L, teremos respectivamente as seguintes relações:

)cos()cos()sen()(

)cos()sen()()cos()(

22

211

ππ

πωω

ωωωωωωωω

ω

+=−−=−=−==

=

tLItLItLItVtItItV

tRItV

ooo

oCoC

o

(5)

Portanto, no resistor a tensão e a corrente estão em fase, enquanto no capacitor e no indutor as mesmas estão defasadas de 90o. O significado físico de uma defasagem ϕ fica bastante claro se notamos que

ωϕ

ωϕ ωωϕω

±=

=±=±

tt

ttt,

,)( (6)

Ou seja, ϕ está relacionado com o tempo de atraso ou avanço de um sinal relativamente a outro, conforme ilustrado na Fig. 2. Podemos interpretar que, no caso do circuito com capacitor, a variação de tensão gera uma variação de corrente no capacitor depois de um intervalo π/2ω. No circuito com indutor a variação de tensão é gerada pela variação de corrente. Se observamos apenas a amplitude dos sinais, fica preservada a expressão da Lei de Ohm para os circuitos da Fig. 1, V = ZI, com Z = R, 1/ωC, ωL, respectivamente para os casos do resistor, capacitor e indutor. Entretanto as diferenças de fase não podem ser negligenciadas, já que determinam o comportamento de quaisquer outros circuitos envolvendo R, L e C. Esta situação sugere evidentemente o uso de uma notação matemática em termos de números complexos. Rescrevamos (4) como: ti

oeItI ω=)( Em conseqüência, as equações (5) devem ser re-escritas como:

)()()()(

)()(1

tLIitVtItV

tRItV

Ci

ωω

===

(7)

Em (7) fica claro um primeiro benefício da notação envolvendo números complexos: ela proporciona uma expressão genérica para a Lei de Ohm. Neste

contexto podemos introduzir o conceito de impedância, Z, que podemos entender como o equivalente dinâmico da resistência elétrica:

Z RZZ i L

resistor

capacitor i CiC

indutor

== = −

=

1ω ω

ω (8)

Note-se que não há prejuízo da descrição dos fenômenos físicos, desde que tenhamos em mente que os valores ‘reais’ para tensão e corrente são dados pela parte real das expressões complexas para I(t) e V(t). A presença do número i nas fórmulas para impedância indica que o componente em questão introduz defasagem. O mesmo procedimento utilizado no cálculo de associação de n resistores nos fornece a regra para associação de impedâncias:

Z Z Z Zserie n

Z Z Z Zparalelo n

= + + += + + +

1 2

1 1 1 11 2

...

... (9)

0 5 10 15

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0 Sinal defasado + π/2 Sinal defasado - π2 Sinal original

Ampli

tude

Tempo

Fig. 2: Representação gráfica de sinais harmônicos defasados

1.2 Representação matemática de sinais elétricos (série de Fourier, integral de Fourier, transformada de Fourier, fast-fourier-transform, convolução)

As relações (7), da maneira como foram apresentadas, são válidas para o

caso de um sinal representado por (4). Nesse caso particular, a introdução de uma notação complexa simplificou a relação entre V(t) e I(t), que passou a ser uma multiplicação por uma constante complexa, em lugar de uma derivação ou de uma integração. Veremos a seguir que qualquer forma de sinal elétrico pode ser tratada matematicamente como uma superposição de termos semelhantes a (4). A ação de um circuito envolvendo componentes R, L e C sobre um sinal de entrada pode então ser analisada a partir da resposta destes componentes a cada possível freqüência ω, expressa em (8). Convém portanto familiarizar-se com as ferramentas matemáticas existentes para o tratamento de funções expressas por uma superposição de contribuições elementares.

1.2.1 – Série de Fourier

Sabemos que qualquer função matemática de comportamento periódico pode ser representada por uma série de senos e cossenos1. Seja T o período de uma tal função f(t). Pode-se demonstrar que

( )f t a n t b n tan n

n

o( ) cos( ) sen( )= + +=

∞

∑21

ω ω (10)

onde

a f t dt

a f t n t dt

b f t n t dt

o T

T

n T

T

n T

T

T

=

=

=

=

∫

∫

∫

2

0

2

0

2

0

2

( )

( )cos( )

( )sen( )

ω

ω

ω π

(11)

Esta representação é possível porque o conjunto das funções sen(nωt) e cos(nωt) se comporta como o equivalente a uma base vetorial para funções periódicas. Ou seja, se os valores assumidos por uma função são tomados em analogia com os componentes de um vetor, as funções seno e cosseno proporcionam algo análogo a uma base ortonormal com a qual se pode expressar qualquer das funções periódicas, já que:

1 Desde que atenda certas condições, como ser contínua por intervalo e assumir valores limitados.

2

2

2 0

To

T

nm

To

T

nm

To

T

n t m t

n t m t

n t m t

sen( )sen( )

cos( )cos( )

sen( )cos( )

ω ω δ

ω ω δ

ω ω

∫

∫

∫

=

=

=

(12)

Com δnm = 0 para n≠m, e 1 para n=m. As relações (12) são válidas independentemente dos limites de integração, bastando que estes limites cubram um período completo. Portanto não é obrigatório que se integre de 0 a T. Genericamente, os limites do intervalo vão de to a to+T, onde to é um instante qualquer. Como exemplo, tomemos a função ‘dente de serra’ , expressa por f(t) = t, para t entre zero e um, período um. Para esta função verifica-se facilmente que as contribuições de cada termo da série são especificadas pelos coeficientes:

aab

o

n

n n

=== −

10

1π

(para todo n)

Fig. 3 apresenta as contribuições acumuladas para os termos correspondentes a n=0 até n=9. Note-se que, conforme assegurado pela expressão (10), a representação em série tende à própria função f(t) à medida que n tende a infinito. Valores crescentes de n acrescentam as contribuições dos harmônicos de freqüências proporcionalmente crescentes (nω). Os termos de alta freqüência (nω →∞) são justamente os mais importantes para se representar as regiões singulares, como as descontinuidades, de f(t).

n=9

n=8

n=7

n=6

n=5

n=4

n=3

n=2

n=1

n=0

Fig. 3: Representação da função ‘dente de serra’ em Série de Fourier

Lembrando que: )cos()sen()cos( nnnn tntnbtna ϕωρωω −≡+ (13) onde

( )ρ

ϕ

n = +

= −

a b

tgn n

nba

n

n

2 2

1

(14)

podemos re-escrever (10) como:

f t n tan n

n

o( ) cos( )= + −=

∞

∑21

ρ ω ϕ (15)

Em (15) fica evidente a interpretação de que f(t) pode ser decomposta como uma soma de oscilações harmônicas, cujas freqüência são múltiplos da freqüência fundamental ω=2π/T. Cada termo da soma de harmônicos contribui com amplitude ρn, e apresenta ângulo de fase ϕn. Uma expressão ainda mais simples para (10) é possível quando fazemos apelo a variáveis complexas. Partindo da identidade: e ii± = ±ϕ ϕ ϕcos sen , (16) podemos escrever os seguintes termos:

a e a n t ia n t

b e b n t ib n t

a e a n t ia n t

b e b n t ib n t

ni n t

n n

ni n t

n n

ni n t

n n

ni n t

n n

( )

( )

( )

( )

cos( ) sen( )

cos( ) sen( )

cos( ) sen( )

cos( ) sen( )

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

= +

= +

= −

= −

−

−

Com estes últimos encontramos: ( ) ( )1

212a ib e a ib e a n t b n tn n

i n tn n

i n tn n− + + = +−( ) ( ) cos( ) sen( )ω ω ω ω

Portanto (10) pode também ser escrita como:

[ ]( )( )

f ta

c e c e

c a ib

c a ib

on

i n tn

i n t

n

n n n

n n n

( ) ( ) ( )= + +

= −

= +

−−

=

∞

−

∑2 1

12

12

ω ω

(17)

Ou ainda de forma mais simples, se agrupamos os termos cn e c-n num mesmo somatório:

f t c enn

i n t( ) ( )==−∞

∞

∑ ω (18)

De acordo com as definições anteriores teremos:

[ ]

c f t dt

c f t n t i n t dt f t e dt

oa

T

T

n T

T

Ti n t

T

o= =

= − =

∫

∫ ∫ −

21

0

1

0

1

0

( )

( ) cos( ) sen( ) ( ) ( )ω ω ω

(19)

Em (18) toda informação referente às amplitudes e aos ângulos de fase de cada harmônico está contida nos coeficientes cn:

( )

( ) ( )

c a ib

c a b

Arg c

n n n

n n n n

nba n

n

n

= −

= + =

= − = −

12

2 2 ρ

ϕtan

(20)

1.2.2 – Transformada de Fourier Os resultados da seção anterior já nos permitem vislumbrar a importância da Série de Fourier. Podemos notar inicialmente que qualquer sinal elétrico expresso por uma função f(t) pode ser efetivamente considerado como uma superposição de harmônicos. Para isto basta que f(t) seja conhecida num certo intervalo de duração finita. A Série de Fourier representa uma função periódica de período T, e em particular a própria função f(t) no intervalo em que é conhecida (por exemplo de 0 a T). O número de termos necessários não é necessariamente infinito, já que a partir de algum termo n a representação pode ser considerada satisfatória segundo algum critério prático. Por mais complicada que seja a forma de f(t) , sua representação se reduz a termos simples: os harmônicos. Por outro lado, o comportamento de um dispositivo que produza algum sinal elétrico pode ser avaliado se conhecemos sua resposta aos harmônicos. Este fato é importante para análise e desenvolvimento de circuitos elétricos. Podemos agora avançar em direção a uma representação mais abrangente para funções matemáticas que representem grandezas físicas. Partindo de (18), façamos as seguintes mudanças de notação:

δωωωω

δωωωω

ππω )()()( 2

12

1 FFFc

n

Tn ==≡→→

(21)

Com as mudanças acima estamos fazendo de ω uma variável que assume os valores das freqüência dos harmônicos (múltiplos de 2π/T, a freqüência ‘fundamental’, segundo a notação anterior). E a freqüência fundamental está sendo tratada como um intervalo de freqüência: δω. Os coeficientes cn apenas são re-escritos convenientemente com uma função de ω, que de fato o são. Nestes termos, (18) é refeita como:

f t F ei t( ) ( )==−∞

∞

∑12π

ω

ωω δω (22)

Suponhamos agora que se queira representar a função f(t) num intervalo de –T/2 a T/2. De acordo com (19) e (21):

F Tc f t e dtni t

T

T

( ) ( )ω ω= = −

−∫

2

2

(23)

Quando fazemos o intervalo tender a infinito, a freqüência fundamental torna-se tão pequena que ω tende a uma variável contínua e δω se torna um elemento de diferenciação. Nestas condições podemos escrever:

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

=

=

dtetfF

deFtf

ti

ti

ω

ωπ

ω

ωω

)()(

)()( 21

(24)

Em (24) t e ω são variáveis efetivamente contínuas. As funções f(t) e F(ω) são relacionadas por uma transformação que remete a função f, definida no domínio da variável t, à função F, definida no domínio da variável ω. Reciprocamente, F(ω) remete a f(t). Diz-se que F(ω) é a Transformada de Fourier de f(t), e que f(t) é a Transformada de Fourier inversa de F(ω). Naturalmente a interpretação atribuída à Série de Fourier continua sendo pertinente no caso da Transformada de Fourier. Esta última é mais abrangente, já que não é limitada ao caso em que a função a se representar seja periódica. Desde que seja possível calcular (24), pode-se fazer uso transformação. Outro aspecto importante da Transformada de Fourier é que ela provê a composição espectral – distribuição em termos de amplitudes e fases das freqüência que compõem a representação de f(t) – em termos de uma função. Um exemplo: um pulso elétrico de forma gaussiana, descrito por

f t e t( ) = − 2

Para este pulso temos

F e( )ω πω

= −2

4 Como a Transformada de Fourier encontrada para este caso é real, concluímos de (20) e (21) que F(ω) exprime diretamente a amplitude da contribuição do harmônico de freqüência ω (ρn = cn = F(ω)dω/2π), e que as defasagens são todas nulas . As seguintes propriedades são válidas para duas funções relacionadas pela Transformada de Fourier:

( )( )

f at F

f F a

h t t F e

f t e F

a a

ata

oi t

i to

o

o

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

⇔

⇔

− ⇔

⇔ −−

1

1

2

2

ω

π ω

π ω

ω

ω

ω ω

(25)

As propriedades acima são referidas respectivamente como: escala em tempo, escala em freqüência, deslocamento em tempo e deslocamento em freqüência. 1.2.3 Transformada de Laplace A utilização da Transformada de Fourier é frequentemente limitada na prática pela condição de existência das integrais que a definem. Em particular, a função a se representar tem que ser nula para t = ±∞ , condição que não é obedecida por funções simples como f(t) = constante ou f(t) = sen(ωt). Por outro lado, a maioria das funções de interesse prático não se referem a eventos que duram de -∞ a +∞. Geralmente os eventos tratados têm início em um instante definido (ex.: t=0). Um recurso que estende a aplicabilidade da Transformada de Fourier consiste em se limitar ao intervalo de t = 0 a t = +∞ , e multiplicar a função em questão por um fator que a reduza a zero em t = +∞. Um fator conveniente é a função e-rt, onde r é um número real tal que: e-rt f(t) = 0 para t = +∞. Para isto, f(t) deve ser nula para o intervalo de t = -∞ a t = 0. A Transformada de Fourier para e-rt f(t) nesse caso é dada por uma outra função, que chamaremos F(p), com p=r+iω:

[ ]F p e f t e dt e f t dtrt i t pt( ) ( ) ( )= =−∞

− −∞

∫ ∫0 0

ω (26)

A Transformada de Fourier inversa para e-rt f(t) deve ser tal que:

{12 0

0 0π

ω ωF p e di te f t t

trt( )

( ) ( )( )

−∞

+∞

→ >→ <∫ = −

Então, para t>0, podemos escrever:

f t F p e d F p e de i t ptrt( ) ( ) ( )= =−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫21

2πω

πω ω

Como dω=dp/i, finalmente obtemos para t>0:

f t F p e dpipt

r i

r i

( ) ( )=− ∞

+ ∞

∫12π (27)

As expressões (26) e (27) são análogas a (24), que define a a relação entre f(t) e F(ω) pela Transformação de Fourier. Temos assim uma nova relação de transformação:

f t F p e dp

F p f t e dt

ipt

r i

r i

pt

( ) ( )

( ) ( )

=

=

− ∞

+ ∞

−∞

∫

∫

12

0

π

(28)

Esta é a chamada Transformação de Laplace, que estende a aplicabilidade do procedimento da Transformação de Fourier à quase totalidade dos casos de interesse físico. Note-se que para r=0 a transformada de Laplace reproduz a transformada de Fourier para a função f(t). É pertinente uma comparação entre os três procedimentos acima expostos (Série de Fourier, Transfornada de Fourier e Transformada de Laplace). Tomemos o caso da função utilizada como exemplo para a Série de Fourier na Seção 1.2.1: { 100

10)( >>→<<→= t

tttf (29) A interpretação que nos guia é: f(t) pode ser analisada como sendo composta de oscilações harmônicas. O caso da Série de Fourier é o que se presta mais claramente a esta interpretação. A amplitude de cada oscilação é dada por (14), e os coeficientes an e bn foram calculados em 1.2.1. A Transformada de Fourier para esta f(t) é: ( )F e i i( )ω ω

ω ω ω= + −− 1 12 2

A partir de F(ω) podemos chegar facilmente à composição espectral de f(t), lembrando que a mesma está relacionada com os coeficientes an e bn da Série de Fourier, e que os termos F(ω) e F(-ω) se referem à mesma freqüência ω. A composição espectral é então dada por:

{ } 2

122* )sen(2)cos(22)()(2)(2)( 2 ωωωωωωωωρω

−−+=== FFF Quanto aos ângulos de fase, já que os coeficientes an são todos nulos, teremos para a Série de Fourier: 2)( πϕ =∞= ArcTgn Com a Transformada de Fourier calculamos os ângulos de fase a partir do argumento da função F(ω) : [ ] [ ])sen()cos(1

)cos()sen(1)()( ωωωωωωωωϕ −−

−−−=−= tgFArg A Figura 4 inclui os resultados para amplitudes e fases encontrados via Série de Fourier e Transformada de Fourier para o caso da função definida em (29).

0 100 200 300 400 500 600 700

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

Integral Série

Ampl

itude

ω

0 10 20 30 40 50 60 70

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Série Integral

Ampl

itude

ω

0 5 10 15 20 25 30 35-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5 Série Integral

Ângu

lo d

e Fa

se

ω

Para a Transformada de Laplace a interpretação é um pouco menos evidente. A operação (28) nos fornece: ( ) 22

111)( ppppepF ++−= −

Fig. 04: Comparação entre resultados da Série de Fourier e da Integral de Fourier, para o caso da função ‘dente de serra’.

Segundo (26), F(p) é Transformada de Fourier para e-rt f(t), portanto a composição espectral a que ela remete se refere à função atenuada pelo fator r. Entretanto, p=r+iω, e se fizermos r=0 (⇒ sem atenuação de f(t)) na expressão acima, recuperamos exatamente a função F(ω) já calculada pela Transformada de Fourier. O interesse da Transformada de Laplace é precisamente facilitar o cálculo das representações espectrais. Dada f(t), geralmente o cálculo de F(p) é mais simples que o cálculo de F(ω), que finalmente é obtida por simples substituição da variável p, por iω. Já são conhecidas e catalogadas em tabelas as Transformadas de Laplace para várias funções fundamentais. A partir destas podem-se calcular as Transformadas de Laplace para a maioria das funções de interesse prático [Ver Tabela 01].

F(p) f(t) 1 δ(t) 1 γ(t) 12p t

1pn t

nn

( !−1) 1

p a+ e at− 1

2( )p a+ te at− 1

2 2p +ω 1ω ωsen( )t

pp2 2+ω cos( )ωt

12 2p a− 1

a atsenh( ) p

p a2 2− cosh( )at p b

p a++( )2 [ ]1+ − −( )b a t e at

p bp

++2 2ω 1 2 2

ωωω ω ϕ ϕb t tg b+ + ↔ =sen( )

p ap a

++ +( )2 2ω e tat− cos( )ω ω

ω( )p a+ +2 2 e tat− sen( )ω 1

( )( )p a p b+ + 1b a

at bte e−− −−( )

1p p a p b( )( )+ + ( )1 1ab

be aeb a

at bt− − −−−

pp a p b( )( )+ + be ae

b abt at− −−−

12 2p p( )+ω [ ]1

2 1 1ωωω− + −( )t e t

1.3 Função de transferência, diagrama de Bode Na Seção 1.1 ficou demonstrado que o comportamento dos componentes elementares de circuitos elétricos em resposta a uma oscilação harmônica depende da freqüência desta oscilação, e introduzem também uma defasagem.

Na seção seguinte vimos que uma função, em particular um sinal elétrico, pode ser entendido como composto por um espectro de oscilações. O tratamento matemático é facilitado pelo uso de funções incluindo parte real e parte imaginária. Podemos agora buscar uma função que expresse o efeito de um circuito elétrico sobre um sinal apresentado a sua entrada. A Fig. 05 representa um circuito ao qual é apresentado um sinal de entrada, que gera um sinal de saída. Trata-se de uma representação simples, mas circuitos mais complexos poderão ser analisados a partir deste. Definimos para este circuito uma função, que chamamos Função de Transferência ( T ), que traduz seu efeito sobre o sinal de entrada: V TVsaida entrada= (30) Sabemos que a ação do circuito pode introduzir diferenças de fase entre saída e entrada, e que as diferenças de fase são adequadamente levadas em conta quando adotamos a representação de grandezas incluindo variáveis complexas. Fica assim admitido que, no caso geral, T é uma função complexa, e como tal pode ser representada como: T AeV

Visaida

entrada= = ϕ (31)

A e ϕ são grandezas reais. Notamos imediatamente que ambas dependem da freqüência, e exprimem respectivamente o ganho e a defasagem introduzidos pelo circuito.

T A ganhoArg T fase

= == =

( )( ) ( )

ωϕ ω

(32)

Demonstra-se facilmente que, para um circuito composto por n sub-circuitos conectados em cascata, a função de transferência T será o produto das funções de transferência dos sub-circuitos: T T T Tn= 1 2 ... (33)

Ventrada Vsaída

circuito

Fig. 05: Representação genérica de um circuito elétrico com sinais de entrada e saída.

Tomemos o caso de um circuiro RC, como o mostrado na Fig. 06. É fácil mostrar que:

T V

V i RCsaida

entrada

i C

i C= = =+ +

1

111

1ω

ωω (34)

Daí tiramos

( )

A

ArcTan RCR C

( )

( )

ω

ϕ ω ωω

=

= −+

11 2 2 2

(35)

Fazendo ωo = 1/RC, e ν = ω/ωo, as expressões acima podem ser re-escritas de forma mais simples:

)()(

)( 211

ννϕ

νν

ArcTan

A

−=

=+ (36)

As funções A e ϕ incluem as informações essenciais, necessárias à compreensão do comportamento do circuito. O gráfico de A e ϕ em função da freqüência é conhecido como Diagrama de Bode. Geralmente se mostram estas funções em um gráfico, em escala Log-Log, já que a composição espectral e o ganho podem cobrir várias ordens de grandeza. Por esta mesma razão é também usual se definir a unidade de ganho em escala logarítmica. Nesta escala a unidade é chamada decibel (dB): 1 20 10dB Log V

Vsaida

entrada= (37)

Vsaída Ventrada

Fig. 06: Exemplo de circuito RC.

0,001 0,01 0,1 10,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Gan

ho (d

B]

ν0,1 1 10 100

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

Ângu

lo d

e fa

se [R

adia

nos]

ν

Note-se que a função de transferência (34) é expressa em termos da variável ω, ou seja, no domínio da freqüência. Assim são levados em conta o ganho e a fase para cada componente harmônico. Supõe-se portanto que T atue sobre funções também definidas no domínio da freqüência, pelo que em (30) e (31) Ventrada e Vsaída são as transformadas de Fourier para Ventrada(t) e Vsaída(t).

Para conhecermos o sinal de saída correspondente a um dado sinal de entrada, Ventrada = f(t), devemos então primeiramente computar a Transformada de Fourier F(ω) para f(t) , multiplicá-la pela função de transferência T(ω), e finalmente computar a transformada inversa de T(ω)F(ω), que será una função definida no domínio do tempo, referente ao sinal de saída. Em casos como o da Fig. 06, para obter uma expressão analítica para o sinal de saída podemos nos servir também da equação diferencial que governa o comportamento do circuito, e assim trabalhar diretamente no domínio da variável tempo: entradaC

QdtdQ VR =+ (38)

A solução para (38) é conhecida para o caso Ventrada = constante = Vo . Nesse caso, derivando os dois lados de (38) chegamos a: RC

t

eItI oRCI

dtdI −=⇒−= )(

( )RC

t

eRCIdttItQ o−−== ∫ 1)()( (39)

Onde Io é a corrente quando t=0. Vemos também, do próprio circuito, que ( )RC

tsaida eRIdttIV oCsaidadt

dQCdt

dV −−==⇒= ∫ 1)(11 (40) Daqui obtemos uma expressão analítica equivalente ao que parece ser a função de transferência no domínio do tempo. Como Ventrada = Vo = RIo, podemos escrever:

Fig. 07: Ganho e Fase (Gráfico de Bode) para o circuito da Fig. 06

T eV

Vsaida

o

tRC= = − −1 (41)

Nesse caso particular o sinal de saída é obtido de uma maneira simples, que é a multiplicação por uma função T(t). Entretanto, no domínio do tempo, a relação entre os sinais de entrada e saída geralmente não pode ser expressa por uma simples operação de multiplicação. Em (41) isto foi possível porque o sinal de entrada é uma constante. Para um sinal de entrada genérico, mesmo para circuitos simples como o da Fig. 06, não é possível encontrar T(t) tal que Vsaída(t) = T(t)Ventrada(t). Caso isto fosse possível, o circuito estaria transmitindo sinais instantaneamente, sem tempo de propagação. Sabemos que esta é uma impossibilidade física. 1.4 Convolução Uma outra via é possível quando se pretende obter o sinal de saída no domínio do tempo, dados o sinal de entrada e a função de transferência. Esta via é a utilização do ‘Teorema da Convolução’, que estabelece que para as funções f(t), g(t) e h(t), cujas transformadas de Fourier são F(ω), G(ω), H(ω), tais que F=GH, então f é a convolução de g e h, definida como:

f t g h g h t d( ) * ( ) ( )= = −−∞

∞

∫ τ τ τ (42)

Um enunciado mais objetivo para este teorema é: a transformada de Fourier da Convolução de duas funções é o produto das transformadas de Fourier individuais ( g*h ⇔ GH). A expressão (42) mostra que, para cada instante t, a função h é reconstruída de -∞ a +∞, segundo uma distribuição de ‘pesos’ dada pela função g. Esta operação pode ser entendida como uma média temporal, cujo resultado é a função f. De acordo com a definição da função de transferência, este teorema nos permite afirmar que: V T V V t T t V tsaida entrada saida entrada( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )ω ω ω= ⇒ = (43) Dado o sinal de entrada, Vsaída(t) é portanto calculável desde que se conheça a transformada de Fourier inversa, T(t) , para T(ω).

Pode-se também recorrer a técnicas de cálculo numérico para computar as transformadas de Fourier conforme mostramos a seguir. 1.5 Transformada de Fourier Discreta e Fast Fourier Transform (FFT) O cálculo analítico de transformadas de Fourier é inviável em muitos casos de interesse prático. Para estes casos buscam-se soluções numéricas para as mesmas.

Dada uma função f(t) para a qual se procura a transformada de Fourier, passamos então a tratá-la como um conjunto finito de valores numéricos amostrados. Certamente um número mínimo de amostragens é necessário para se caracterizar inequivocamente a função original. Este número é determinado pelo Teorema da Amostragem. Suponha-se que uma amostragem seja registrada a cada ∆t segundos (portanto a uma freqüência ν=1/∆t). Admitamos que a composição espectral de f(t) contenha componentes limitados a uma freqüência máxima ωmax=2πνmax. O Teorema da Amostragem estabelece que f pode ser inequivocamente amostrada desde que a freqüência de amostragem seja maior que 2νmax. Então ∆tmin =1/(2νmax), e o número mínimo de amostragens é nmin=τ/∆tmin, onde τ é o intervalo de tempo em que f está definida. A freqüência νmax=1/(2∆tmin) é conhecida como ‘Freqüência de Nyquist’. Partimos então desta substituição de f pelo conjunto de valores fi : f → fk, com k = 0, 1, 2, ...., N-1 (44) Os valores fk correspondem a f(k∆t). Com estes N valores podemos supostamente gerar N equações com N incógnitas, e portanto computar os N pontos da transformada de Fourier (F→Fk). Por analogia com a Série de Fourier, procuraremos computar valores de F múltiplos da freqüência fundamental, 2π/τ = 2π/(N∆t). Substituímos a integral de Fourier definida em (24) por uma soma de termos discretos:

Nink

tNn

ktNn

n eftteftefdtetfFN

kk

tkiN

kk

tiN

kk

tin

πππωω21

0

21

0

21

0)()( −

−

=

∆−−

=

−−

=

∞

∞−

− ∑∑∑∫ ∆=∆=∆≈= ∆∆

O último dos somatórios acima define o que chamamos de transformada de Fourier discreta: um conjunto de valores Fn , n=0,...,N-1, tais que:

Nink

efFN

kkn

π21

0

−−

=∑= (45)

Por comodidade estamos admitindo ∆t = 1. Note-se que (45) é facilmente interpretável como uma operação matricial, em que o vetor F é gerado pela atuação de uma matriz M sobre o vetor f: [ ] [ ][ ]n

knk fMF = (46) onde:

nknk Ni

eMπ2−= (47)

O mesmo procedimento permite a computação da transformada inversa, que devolve os valores fk a partir dos Fn :

nkN

knn

Ni

eFfπ2

1

0∑−

=

= (48)

O cálculo de (45) ou (46) envolve pelo menos 2N2 operações numéricas, uma vez que para cada um dos N elementos do conjunto Fn ou fk é realizado um somatório de N termos complexos envolvendo os elementos de outro conjunto, respectivamente fk ou Fn. Em cada somatório há que se realizar N multiplicações, portanto da ordem N2 operações no total. Suponhamos entretanto que o número N seja uma potência de 2 (2m). Então o somatório (45) pode ser dividido em dois, um contendo os termos com k ímpares outro com os k pares, cada um com N/2 termos. É fácil demonstrar (ver §1.5.1) que, para cada termo Fk teremos: i

kkp

kk FMFF 22 += (49) Onde Fp e Fi são transformadas de Fourier discretas com N/2 termos, respectivamente os termos pares e ímpares do somatório original.

Em (49) cada termo pode também ser dividido em dois outros somatórios, cada um com N/4 termos. E assim recursivamente, até que se chegue a N somatórios de um termo cada. Dispondo os termos do último somatório na ordem adequada, basta combinar termos adjacentes para se formar o que corresponde a um dos 2m-1 termos do somatório precedente. Em seguida podem-se somar os termos adjacentes deste último para formar os 2m-2 termos do somatório anterior, e da mesma forma sucessivamente até se chegar ao somatório completo. Seja por exemplo N=16. A seqüência de arranjos será:

{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15} (1 x 16 termos) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} (2 x 8 termos) {0, 4, 8, 12} {2, 6, 10 14} } {1, 5, 9, 13} {3, 7, 11, 15} (4 x 4 termos) {0, 8} {4, 12} {2, 10} {6, 14} {1, 9} {5, 13} {3, 11} {7, 15} (8 x 2 termos) {0} {8} {4} {12} {2} {10} {6} {14} {1} {9} {5} {13} {3}{11} {7} {15} (16 x 1 termo)

Se dispusermos os termos na ordem acima, em vez de se realizar 16 produtos para gerar a transformada de Fourier, podemos realizar combinações (somas) de termos adjacentes de modo a gerar o mesmo resultado. Uma curiosidade está embutida na ordem aparentemente exótica dos termos no último arranjo. Escrevendo o resultado em notação binária encontramos: {0000,1000,0100,1100,0010,1010,0110,1110,0001,1001,0101,1101,0011,1011,0111,1111} Tomemos agora os bits na ordem reversa: {0000,0001,0010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111} Esta última corresponde a:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} Portanto basta considerar os índices na notação binária e reverter os bits para se obter a ordenação adequada de termos. Em seguida, termos adjacentes são reagrupados recursivamente, de modo a compor a transformada de Fourier com N termos a partir de N transformadas de Fourier incluindo um único termo. Este processo reduz o número de operações necessárias ao cálculo da transformada, ou seja, permite um cálculo mais rápido. Por esta razão é chamado de Fast Fourier Transform (FFT). 1.5.1 Número de operações necessárias para o cálculo da FFT De acordo com (45), a separação dos termos da transformada de Fourier em termos pares e ímpares leva a:

Nkin

N

Nin

Nkin

N

Nkin

N

Nkin

N

efeefefefFk

kk

kk

kk

kn

)2(222)2(22)12(22)2(22 1

012

1

02

1

012

1

02

πππππ −−

=+

−−−

=

−−

=+

−−

=∑∑∑∑ +=+=

+

Ou seja, usando a notação definida em (46) e (47): [ ] [ ][ ] [ ][ ] nn

kknn

kknn N

i

eMfMMfMFπ2

onde ,12)2(

2)2( −

+ =+= [50] Entretanto, as matrizes que aparecem na equação acima têm dimensão N/2 x N/2, enquanto que em (46) a dimensão é NxN. De fato, esta equação só permite o cálculo dos termos F0 até FN/2. Para os termos restantes, notemos que: )2()2)((2)2)(()2)(()2)(()2)(()2)(( 22

222

22

2 knkniknkknknkn MeeeeeeM Ni

NiN

Ni

NiN

NiN

===== −−−−−+−+ πππππ π e que nninnnn MeeeeeeM N

iN

iNN

iN

iNN

iN

−=−==== −−−−−+−+ πππππ π 222

222

22 )()(

Portanto, para computar todos os termos teremos: [ ] [ ][ ] [ ][ ] )10 (para 212

)2(2

)2( −≤≤+= +N

kknn

kknn nfMMfMF [51]

[ ][ ] [ ][ ] )1 (para 212)2(

2)2(2 −≤≤−=

++ NnfMMfMF N

kknn

kknNn [52]

Podemos agora proceder a uma estimativa do número de operações necessárias ao cálculo da FFT. Naturalmente está suposto que o número N é uma potência de 2 ( N = 2p, p inteiro), de modo que os termos possam ser adequadamente agrupados em subconjuntos. Sejam m(p) e a(p) respectivamente os números de multiplicações e de adições (ou subtrações) necessárias ao cálculo de uma FFT com 2p termos. Utilizemos as regras [50]-[52] para fazer a estimativa de m(p) e a(p).

Lembremos que a subdivisão dos termos iniciais em termos pares e ímpares leva a 2p transformadas de um único termo. A transformada de Fourier para uma função que só contém um termo, fu, é o próprio termo: Fu = M00fu = fu. Para p=1 (2 termos), temos: 1

001

0000

000 )( fMffMMfMF +=+= 1

001

0000

00101 )( fMffMMfMFF −=−== + Tivemos portanto uma multiplicação e duas adições: m(1)=1, a(1)=2. Para p=2 (4 termos), temos: )()( 31

0203

021

0002

020

000 ffMfffMfMMfMfMF +++=+++= )()( 3

121

12

1203

121

1012

120

101 fMfMfMffMfMMfMfMF +++=+++= )()( 31

0203

021

0002

020

00202 ffMfffMfMMfMfMFF +−+=+−+== + )()( 3

121

12

1203

121

1012

120

10213 fMfMfMffMfMMfMfMFF +−+=+−+== + Ou seja,

DMCFBMAFDMCFBMAF

13

02

11

00

−=

−=

+=

+=

Onde

312

1

212

0

31

20

fMfDfMfC

ffBffA

+=

+=

+=+=

Chegamos portanto a: m(2)=4, a(2)=8. Está claro que o agrupamento dos termos pares e ímpares da transformada, juntamente com as propriedades (51) e (52) permitem a redução do número de operações de cálculo. No caso de N=4 (p=2) realizamos 4 multiplicações em lugar das 16 que seriam normalmente necessárias pelo procedimento sugerido em (46).

Pode-se verificar que, para um inteiro p qualquer, vale a seguinte regra recursiva: ....] 12m(3) 4,m(2) 2,[m(1) pmpm p ===+−= −12)1(2)( ....] 24a(3) 8,a(2) 2,[a(1) papa p ===+−= 2)1(2)( Podemos agora provar que de fato o número de operações necessárias à FFT é proporcional a NLog2N. Ou seja, podemos mostrar que NpNNLogpm 2

122

1)( == NpNNLogpa == 2)( Para isto fazemos apelo ao método indutivo, no qual admitimos que a igualdade é válida para algum inteiro p, e mostramos que também é válida para p+1. Portanto é válida para todo p. De fato, se Nppm 2

1)( = então ( ) )1(2)1(222222)(2)1( 1

21

21 +=+=+=+=+≡+ + pppNppmpm pppppp

Mas 2p+1 é o número N’ de termos que tem a transformada quando p’ = p+1. Portanto: ''

21' )( pNpm =

E concluímos que a relação vale para qualquer p. Igualmente: ( ) )1(2222)2(2222)(2)1( 111111 +=+=+=+=+≡+ ++++++ pppNppapa ppppppp Donde: ''' )( pNpa = Em conclusão, frisemos que o número nop de operações necessárias ao cálculo da FFT de N termos é dado por: NNLogNNLogNNLognop

223

2221 =+=

Fig 08 mostra uma comparação entre o número de operações requeridas pelas transformadas de Fourier regular (46) e FFT (51,52), em função do número de termos envolvidos. Evidentemente, quanto maior for o número de termos, menor o tempo de computação requerido pela FFT relativamente ao tempo de computação para a transformada regular.

100 101 102 103 104 105100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

1010

Transformada regular

FFT

Núme

ro to

tal de

oper

açõe

s

Número de termos 100 101 102 103 104

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Nop(F

FT)/N

op(T

F)

Número de termos

Fig. 08: Esquerda: número de operações em função do número de termos no cálculo da FFT

e da transformada regular. Direita: quociente entre as curvas do primeiro gráfico, evidenciando a redução no tempo de computação