Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório...
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Curso de Matemática Aplicada .
Margarete Oliveira Domingues
PGMET/INPE
Aula 1 – p.1/25
Sistema de números reais e complexos
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Conjuntos
Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo umacaracterística específica é fundamental em matemática
Exemploum conjunto de estações climatológicas,todas as letras do alfabeto
��
��
��� � �
�
membros ou elementos — objetos individuais
subconjunto — qualquer parte de um conjunto
conjunto vazio — conjunto sem elementos
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Conjunto de Números Reais
Conjunto dos números inteiros
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Conjunto de Números Reais
Conjunto dos números inteirosNúmeros Naturais ou inteiros positivos Usadospara contar membros de um conjuntoInteiros Negativos e zero Permitem soluções deequações tais como � � � � � em que � e
�
sãoquaisquer números naturais.
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Conjunto de Números Reais
Conjunto dos números inteiros
Números racionais ou fraçõesPermitem soluções como
� � � � � � �� � ��
� �� �
a operação de divisão
� �
��
� numeradordenominador
Os números inteiros são um caso particular dosnúmeros racionais, quando
� � �
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Conjunto de Números Reais
Números racionais
Números irracionais Tais como�
e � são númerosque não são racionais, i.e., números que não podem
ser expressos como
��
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Conjunto de Números Reais
Números racionais
Números irracionais
O conjunto de números racionais e irracionais é chamadode conjunto de números reais.
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Representação decimal
Qualquer número real pode ser expresso na suarepresentação decimal, e.g.,
� �� � � ���
�
�� � � � ��
� �
��
� ��
� � � � � �� � �
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Representação decimal
No caso dos números racionais a expansão decimal podeterminar ou se ela não terminar um número ou um grupode números passa a se repetir
��
� ��
� � � � � �� � �
��
� ��
� � �� � � � � �� � � � � �� � �� � �
No caso dos números irracionais tais repetições nãopodem ocorrer, e.g.,
� � ���
� � � ��� � � � � ��
� � � � � � �� � �
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Representação decimal
Para indicar os decimais que serão repetidos algumasvezes coloca-se pontos sobre os dígitos que estão sendorepetidos, e.g.,
��
� ��
� � � � � � �� � � � �
� ��
� ��
� � �
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Representação decimal
É sempre possível considerar uma expansão de diversasformas, e.g.,
1.3751.375000000. . .1.374999999. . .
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Representação decimal
O sistema decimal utiliza dez dígitos��
��
�� � � � �
�
O sistema binário utiliza dois dígitos�
e
�
O sistema octal utiliza oito dígitos
��
��
�� � � � �
�
O sistema hexadecimal utiliza os dígitos e letras��
��
�� � � � �
��
��
��
��
��
��
�
Obs: O número� �
na base decimal é expresso por
� � � � � � � �
� � � � �na base binária.
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Representação Geométrica
A representação de números reais como pontos emuma reta é chamado de eixo real.
Para cada número real existe uma correspondência
��
�
com cada ponto dessa reta.
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Representação Geométrica
Conj. Denso — Entre quaisquer dois númerosracionais (e irracionais) na reta existe infinitosnúmeros racionais (e irracionais).
Obs.: No sistema de representação numérico dasmáquinas computacionais (ponto flutuante) não épossivel representar um conjunto denso de pontos.
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Axiomas
*Se � �� � �
, então:
Lei de fechamento � � �
e � � � �Lei comutativa da adição � � � � � � �
Lei associativa da adição � � � � ��� ��
� � � � � ���
Lei comutativa da multiplicação � � � � �
Lei associativa da multiplicação � � �� ��
� � � ��
Lei distributiva � � � ��� �� � � � ��
�
é chamado identidade com respeito a adição
�
é chamado identidade com respeito a multiplicação
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Axiomas
Para qualquer � existe � � � � � � � �. Esse número
� é chamado de inverso com respeito a adição e édenotado por � �.
Para cada � �� �
existe � � ��� � � � �
. Esse número �
é chamado de inverso com respeito a multiplicação e é
denotado por � ��
,� � � ou
�� .
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Axiomas
Com esse axiomas é possível operar de acordo comas regras usuais da álgebra.
Em geral, qualquer conjunto, como os reais, que osmembros satisfazem esses axiomas é chamado decampo.
Observação: Na aritmética de ponto flutuante a LeiAssociativa não é válida em todos os casos,i.e., � � � � � � � �
�� � � � � � � no caso geral.
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Desigualdades
Se � ��
é um número não negativo, então � � �
ou
� � �.
Se não existe a possibilidade � � �
, então � � �
ou
� � �.
� � �
, que significa que � é um número real que podeser
�
ou qualquer número menor que
�
.
Se � ��
e� são quaisquer números reais, então:ou � � �
ou � � �
ou � � �
Lei transitiva se � � �
e
� � � , então � � �
se � � �, então � ��� � � ���
Se � � �
, e� � �
, então �� � ��
Se � � �
, e� � �
, então �� � ��
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Valores absolutos
O valor absoluto de um número real �, denotado por
� � �
, édefinido por
� se � � �
;
�
se � � �
ou � � se � � �
.
Por exemplo,
�
�� � �
� � � � �� �
� ��
Propriedades
� � � �
�� � � � � �
ou� � �� �� � � � �
�� � � � � � �� � � � �� � �
� � �
� � � � � � � � � � � � �
ou
� � � � ��� � � � � � � � � �
�� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �
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Expoentes e raízes
O produto de ��
��
��
�� � �
� de um número real � por ele
mesmo � vezes é denotado por � �
em que � é chamado
expoente e � é chamado de base.
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Expoentes e raízes
O produto de ��
��
��
�� � �
� de um número real � por elemesmo � vezes é denotado por � �
em que � é chamadoexpoente e � é chamado de base. Propriedades
� ��
� � � � � � �
� �� �
� � � � �
� � � � ��
� �
� � � � � � � �
�� �
� � � � �
� � � �
��
�
�
� �� �
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Expoentes e raízes
Se � � � �
, em que � pertence aos inteiros positivos, �
é chamado de p–ésima raiz de�
, e é escrita com
� �
.
Pode haver mais de um número que seja a p–ésimaraiz de
�
.
Por exemplo, desde que� �
� �
e
��
� � �
� �
existe duasraizes reais de
�
. É costume se denotar a raiz positivapor
� � �
e a negativa por �
� � �
.
Se � e � são inteiros positivos, define–se
� � � �
�
� � ��
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Logaritmos
Se � � � �
, � é chamado de logaritmo de�
na base �,escreve–se como
� � � � ���
�Se � e
�
são positivos e � �� �
, então existe um úniconúmero real para �.Propriedades
� � ��
� � � � ���
� � � ���
�
� � ��
�� � � � �� �
� � ���
�
� � ��
� � � � � ��
Na prática duas bases são as mais utilizadas a base
� � � �
e base natural � � � � ��
� � � ��� � � , conhecida
como base do sistema Neperiana.Aula 1 – p.11/25
Conjunto de pontos e intervalos
Um conjunto de pontos (números reais) na reta real échamado de conjunto de pontos unidimensionais.
O símbolo � representa qualquer número de umconjunto e é chamado variável.
Os números � e
�
são chamados constantes.
� � � � �
é chamado de intervalo fechado e édenotado por
� � �� �
.
� � � � �
é chamado de intervalo aberto e édenotado por
� � �� �
.
Os conjuntos de pontos � � � � � � � � � �
sãochamados de intervalos semi–abertos ousemi–fechados denotados por
� � �� �
e
� � �� �
.Aula 1 – p.12/25
Conjunto de pontos e intervalos
Exemplo
O conjunto de todas os � que representam
� � � � �
,i.e., �
� � � � �
é representado pelo intervalo aberto��
��
� �
.
O conjunto de � � � também pode ser representadopor � � � � �. Tal conjunto é chamado intervaloinfinito ou ilimitado. Similarmente,
� � � � � �
representa todos os valores de � na reta real.
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Enumerabilidade
Conjunto enumerável – seus elementos podem sercolocados em uma correspondência 1–1 com osnúmeros naturais.
Por exemplo, o conjunto de números pares
��
��
�� � � é
um conjunto contável pois eles possuem umacorrespondência 1–1 com os números naturais
números pares
� � � �
� � �
� � � �
� � �
números naturais
� � � �� � �
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Enumerabilidade
Um conjunto é infinito se ele tem umacorrespondência 1–1 com um sub–conjunto delemesmo. Um conjunto infinito é contavelmente infinito.
Por exemplo, o conjunto de números racionais écontavelmente infinito enquanto os racionais não.
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Enumerabilidade
O número de elementos em um conjunto é chamadode número cardinal.
Um conjunto contavelmente infinito é denotado tercardinalidade
�
(letra aleph–null do alfabeto Hebreu)
O conjunto de números reais (ou qualquer outroconjunto que possa ter correspondência 1–1 com esteconjunto) é dado o número de cardinalidade
�
,chamada cardinalidade do continuum.
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Vizinhança
Um conjunto de todos os pontos de � tais que
� � � � � � �
, em que
� � �
, é chamado de vizinhança deum ponto �.
O conjunto de todos os pontos de � tais que
� � � � � � � � �
, em que � � � é excluído, é chamadode vizinhança de um ponto � sem a fronteira.
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Pontos limites
Os pontos limites, pontos de acumulação ouagrupamento de um conjunto de números é umnúmero
�
tal que toda a vizinhança sem fronteira
�
de
�
contenha membros do conjunto.
Em outras palavras, para todo
� � �
, por menor queseja, é possível achar um membro � do conjunto oqual não é igual a
�
mas é tal que
� � �� � � �
.Considerando valores menores e menores de
�
épossível verificar-se que deve existir infinitos valoresde �.
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Pontos limites
Um conjunto finito não pode ter pontos limites. Umconjunto infinito pode ou não ter pontos limites.
Um conjunto que contém seus pontos limites échamado de conjunto fechado.
Exemplo
O conjunto dos racionais não é fechado. por exemplo
�
não pertence ao conjunto de números racionais.
O conjunto� � � � �
é fechado.
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Limitadores
limite superior —
� � de um conjunto existe umnúmero tal que � �
, o conjunto é dito limitadosuperiormente
limite inferior — se � � �, o conjunto é limitadoinferiormente.
conjunto limitado — se� �, � � � �
o .
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Limitadores
Mínimo limite superior — Se é um número tal quenenhum dos membros do conjunto é maior que ,mas existe ao menos um membro que ultrapassa
� � para todo � � �
.
Máximo limite inferior — Se nenhum membro doconjunto é menor que
� �, mas pelo menos um membroé menor que
� � � � para todo � � �
.
O Teorema de Weistrass–Bolzano estabelece quetodo o conjunto infinito limitado possui pelo menos umponto limite.
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N
��� algébricos e transcendentais
número algébrico — Um número � que é solução deuma equação polinomial
� � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � �
� � � � � � �
em que � �
�� �� � � � � � � � � � � � são inteiros e � é um inteiro
positivo, chamado grau da equação.
Um número que não pode ser expresso dessa forma échamado número transcendental.
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N
��� algébricos e transcendentais
Exemplo
Números algébricos
��
� � �� � �
� ��
�� � �
Números transcendentais
��
Casos ainda não definidos
� � �
� � �
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Conjunto dos n
��� complexos
Como não existe um número real � que satisfaça aequação polinomial �
� � � � �
ou equações similares,os números complexos foram introduzidos. Umnúmero complexo tem a seguinte forma
� ��
�
em que � e
�
são números reais chamados parte real eimaginária e � � �
�
é chamada unidade imaginaria.
Dois números complexos � ��
�
e� ��
�
são iguais see somente se � � � e
� � �
.
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Conjunto dos n
��� complexos
É possível se considerar os números reais como umsubconjunto dos números complexos, com
� � �
.
O número
� ��
�
corresponde ao número real
�
.
O valor absoluto ou módulo de � ��
�
é definido como
� � ��
� �
� � � � � �
.
O complexo conjugado de � ��
�
é definido como
� � �
�
.
O complexo conjugado de um número � é denotado de
��
.
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Conjunto dos n
��� complexos
No desenvolvimento de operações algébricas osnúmeros complexos podem ser operados como sefossem números reais substituindo �
�
� ��
.
Do ponto de vista da fundação axiomática dosnúmeros complexos, é desejável tratar um númerocomplexo como um par ordenado
� � �� �
de númerosreais sujeitos a certas regras de operação:
� � �� � � �� �
� ��
� � ��� �� � � �
� � �� � �� �
� ��
� �� �� �� � �
��� �
� � � �� �
�� � � � � � �
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Conjunto dos n
��� complexos
Tem–se que
� � �� �
� � � ��
� � � � � ��
� �
associado � ��
�
em que � é o símbolo para
� ��
� �
.
Desigualdades não são definidas para númeroscomplexos.
O conjunto dos números complexos obedecem osaxiomas apresentados, então esse conjunto denúmeros constitui um campo.
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Forma polar
Se escalas reais são escolhidas em dois eixosmutuamente perpendiculares
� �� �e
� � � �
(os eixos
� e �) é possível localizar qualquer ponto no planodeterminado por essas linhas pelo par ordenado
� � � � �
chamado de coordenadas retangulares do ponto.
� �� � pode ser expresso como um par ordenado
� � � � �
é possível presentear tal número em um plano
� � � � �
conhecido como plano complexo ou diagrama deArgand.
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Forma polar
� � � � �� �
, � � � � � � �
, em que o módulo
� � � � � � �
�� � �
� � ��
�
é chamado de amplitude ou argumento, é o ângulo que alinha
� �
faz com o eixo positivo de � � �
.
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Forma polar
� � � �� � � � � � �� � �� � � � � �
conhecida como a forma polar de um número complexo,em que � e
�
são as coordenadas polares.PropriedadesPara � � � � �
� � �� �� �
� � � � ��
�e � � � � �
� � �� �� �
� � � � ��
�
� � � � � � � � �� � �� � �
� � ��
� �� � � � � �
� � ��
� �
� �� �
�
� �� �
� � �� � �� �
��
� �� � � � � �
� ��
�� �
�� �
� � � � �� � � � �� � � � � � � � � �
�
� � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � �
, em que �
é um número real.
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Forma polar
O Teorema de Moivre é utilizada para determinar raizes denúmeros complexos.
Se � é um inteiro positivo
��
� �
� � � � �� � �� � � � � � �
�� (0)
� ��
� � ��
� � � �
�
�
�� � � �
� � � �
�
�
�
� � ��
��
��
�
(0)
Disto tem–se que haverá � diferentes valores para ��
� .
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Obrigada a [email protected]
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