Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens
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Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens
Mestrado de Instrumentaçãodo CBPF
Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque
Aula 03
Análise Freqüêncial e Transformada Z
A03 2
Análise Freqüêncial de Sinais e Sistemas
• A Transformada de Fourier (TF) é uma das diversas ferramentas utilizadas na análise e projetos de sistemas LTI
• Esta transformação é basicamente a representação do sinal através de sua decomposição em termos senoidais
• Para sinais períodicos esta decomposição é chamada de série de Fourier
• Para classes de sinais a energia finita, esta decomposição é chamada de Transformada de Fourier
• Desta forma, dizemos que o sinal está representado no domínio da freqüência
A03 3
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
Em 1762 Newton denomina espectro as bandas contínuas de cores
Da física, sabemos que a cada cor corresponde uma freqüência
A análise da luz por cores é uma forma de análise freqüêncial
• Se decompormos uma forma de onda em componentes senoidais, podemos fazer uma analogia ao prisma que separa a luz branca em diferentes cores
• A soma destas componentes resulta na forma de onda original
A03 4
Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo Contínuo
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
A03 5
Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo Contínuo
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
A03 6
Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo Contínuo
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
A03 7
Densidade Espectral de Potência de Sinais Periodicos
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
A03
A03 8
Densidade Espectral
de Potência de Sinais
Periódicos
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
A03 9
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
• Como observado anteriormente, a série de Fourier de um sinal contínuo no tempo pode ter um número infinito de componentes de freqüência com largura de faixa de de - a .
• Em tempo discreto a faixa de freqüência é única de - a (-½ a ½). Um sinal em tempo discreto, com período fundamental N contém componentes de freqüência separadas por f=1/N.
• Esta é a diferença básica entre a série de Fourier para sinais períodicos no tempo contínuo e no tempo discreto.
A03 10
Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo Discreto
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
A03 11
Exemplos de Série
de Fourier
no Tempo
Discreto
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
A03
A03 12
Densidade Espectral de Potência de Sinais Periódicos
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
A03
A03 13
Densidade Espectral de Energia de Sinais não-Periódicos
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
A03 14
Exemplo de Densidade Espectral de Energia de Sinais
não-Periódicos
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
A03 15
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A TZ tem o mesmo papel na análise de sinais e sistemas LTI discretos no tempo como a transformada de Laplace tem na análise de sinais e sistemas LTI no tempo contínuo
Exemplo: A convolução de dois sinais no domínio do tempo é equivalente a multiplicação de suas TZ
A TZ nos fornece meios para caracterizarmos um sistema LTI e sua resposta para vários sinais utilizando Pólos e Zeros
A03 16
A Transformada Z DiretaTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03
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Exemplos da TZ DiretaTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03
A03 18
Exemplos da TZ Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03
A03 19
Exemplos da TZ Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03
A03 20
Exemplos da TZ Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03 21
Famílias Característica de Sinais com
suas ROC correspondentes
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03
A03 22
A TZ inversa
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03 23
A relação entre a TZ e a TF
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03 24
Propriedades da Transformada Z
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03
A03 25
Propriedades da Transformada Z
Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03 26
Propriedades da TZTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03 27
Algumas TZ ComunsTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI
A03
A03 28
Transformada Z racional
• Uma família importante de TZ são aquelas para o qual X(z) é uma função racional, i.e. a razão de dois polinômios em z-1 (ou z)
• Nesta seção discutiremos algumas características das TZ racionais
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Pólos e Zeros
Transformada Z racional
A03
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Exemplo de Pólos e ZerosTransformada Z racional
A03
A03 31
Localização dos Pólos e Comportamento no Domínio do Tempo de Sinais Causais
Transformada Z racional
A03
Círculo unitário
|z|=1
A03 32
Localização dos Pólos e Comportamento no Domínio do Tempo de Sinais Causais
Transformada Z racional
A03
Círculo unitário
|z|=1
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Localização dos Pólos e Comportamento no Domínio do Tempo de Sinais Causais
Transformada Z racional
A03
The distance r of the poles from the origin determines the envelope of the sinusoidal signal and their angle with the real positive axis, its relative frequency
Note that the amplitude of the signal is growing if r>1, constant if r=1 (sinusoidal signals), and decaying if r<1.
A03 34
A Função de Transferência de um Sistema
LTI
Transformada Z racional
A03 35
A Função de Transferência de um Sistema LTI
Transformada Z racional
A03 36
A Função de Transferência de um Sistema
LTI
Transformada Z racional
A03 37
Exemplo de TZ inversa
por Expansão em
Frações Parciais
Transformada Z racional
A03 38
Análise de Sistemas LTI no Domínio Z
• Nesta seção descrevemos o uso da Função de Transferência de um Sistema LTI na determinação da resposta deste sistema a algum sinal de excitação
• Nossa atenção está voltada a classe de Sistemas com PZ representados pela equação diferença em condição inicial arbitrária
• Consideraremos também a estabilidade de sistemas LTI apresentando um teste baseado no denominador da função de transferência
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Resposta de um
Sistema
Análise de Sistemas LTI no Domínio de Z
A03
A03 40
Exemplo da Resposta de um SistemaAnálise de Sistemas LTI no Domínio de Z
A03 41
Estabilidade e CausalidadeAnálise de Sistemas LTI no Domínio de Z
A03
A03 42
Cancelamento de Pólos e ZerosAnálise de Sistemas LTI no Domínio de Z
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A03 43
Resumo• A TZ tem um papel fundamental na análise de sinais e sistemas no tempo discreto
• Vimos a propriedade da convolução – que transforma a convolução de duas seqüências no produto de suas TZ
• Nos sitemas LTI podemos calcular y(n) através do cálculo de Y(Z)-1=[X(z)H(z)]-1
• Muitos sinais tem TZ racional
• Sistemas LTI caracterizados pela equação diferença tem função de transferência racional
• A TZ inversa usando expansão em frações parciais é relativamente simples de ser usada
• Introduzimos a noção de Pólos e Zeros
• Caracterizamos a localização dos PZ em relação a estabilidade e causalidade dos sistemas LTI
• Em um sistema causal e estável os polos de H(z) estão dentro do círculo unitário
• Para um sistema ser estável ele requer que a ROC de H(z) esteja dentro do círculo unitário