Curso de RL · 2012. 11. 7. · Conjunto de palavras ou símbolos ... Conectivo “e”...

PROPOSIÇÃO

Conjunto de palavras ou símbolosque expressão uma declaração àque expressão uma declaração àqual podemos atribuir um dosvalores lógico de verdadeiro – V –ou falso – F – nunca ambos.

Exemplos

1)Belo Horizonte é capital de Minas Gerais.

2)Belo Horizonte é a cidade mais antiga doestado.estado.

3)5x4=20.

4)5+4=20.

Não são proposições

a) As sentenças exclamativas:

Ana é uma menina bonita!

João merece o primeiro lugar!João merece o primeiro lugar!

Hoje foi um dia maravilhoso!


b) As sentenças imperativas ou ordenativas:

Estude mais.Estude mais.

Não pule no sofá.

Preste mais atenção.


c) As sentenças interrogativas:

Será que passarei no concurso?

Quantos são os candidatos porQuantos são os candidatos porvaga?

Haverá aula amanhã?


d) As sentenças sem verbo:

Uma bela criança.

Meu time do coração.Meu time do coração.

A bela e a fera.


e) As sentenças abertas

A capital daquele estado é Aracaju.

Ele é um bom aluno.Ele é um bom aluno.

x+3=10.

Sentenças abertas

São sentenças que possuem um termo desconhecido ou uma incógnita e, assim, não uma incógnita e, assim, não podemos assegurar se são verdadeiras ou falsas.


e) As sentenças abertas

A capital daquele estado é Aracaju.Não sabemos qual é o estado. sabemos qual é o estado.

Ele é um bom aluno.Não sabemosquem é ele.

x+3=10.Não sabemos qual o valor de x.

Atenção

Questão de prova:

“Pedro é um bom advogado”.“Pedro é um bom advogado”.

A sentença acima é uma proposição.


f) As sentenças paradoxais

Esta frase é falsa. (Não podeser verdadeira e não pode serser verdadeira e não pode serfalsa).


a) As sentenças exclamativas.

b) As sentenças imperativas ou ordenativas.

c) As sentenças interrogativas.

d) As sentenças sem verbo.d) As sentenças sem verbo.

e) As sentenças abertas.

f) As sentenças paradoxais.

Proposições

São sentenças declarativas ou afirmativas àsquais podemos atribuir um e somente um dosvalores lógico de verdadeiro ou falso.

Exemplos1) O homem é um animal racional. Valor lógico de1) O homem é um animal racional. Valor lógico deverdadeiro.

2) Brasília é a capital do Brasil. Valor lógico deverdadeiro.

3)O Brasil foi descoberto em 1494. Valor lógico defalso.

Questão de prova

(ICMS/SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatrodelas têm uma mesma característica lógica em comum,enquanto uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia!II. Um excelente livro de raciocínio lógico.III. O jogo terminou empatado?IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é a

a) I b) II c) III d) IV e) V

Solução

Devemos analisar cada uma das cincosentenças apresentadas para descobrirmosqual a característica comum a quatro delas.

I. Que belo dia!A sentença é exclamativa, não éA sentença é exclamativa, não é

proposição.

II. Um excelente livro de raciocínio lógico.A sentença não possui verbo, não é

proposição.

Solução

III. O jogo terminou empatado?A sentença é interrogativa, não é

proposição

IV. Existe vida em outros planetas do universo.IV. Existe vida em outros planetas do universo.A sentença é declarativa, é proposição.

V. Escreva uma poesiaA sentença é ordenativa ou imperativa, não

é proposição.

Solução

Pelas análises percebemos que acaracterística comum é não serproposição, sentenças I, II, III e V.proposição, sentenças I, II, III e V.A sentença IV, que é proposição,não possui essa característica.Assim, a resposta correta é letra d.

Questão de prova

(TRT-17ªR/ES/Téc.Jud./2010/CESPE)Julgue o item a seguir.

A sequência de frases a seguir contémexatamente duas proposições.exatamente duas proposições.

A sede do TRT/ES localiza-se no municípiode Cariacica.Por que existem juízes substitutos?Ele é um advogado talentoso.

Solução

A sede do TRT/ES localiza-se no município deCariacica.

A sentença é uma afirmação, éproposição.

Por que existem juízes substitutos?Por que existem juízes substitutos?A sentença é interrogativa, não é

proposição.

Ele é um advogado talentoso.É uma sentença aberta, não sabemos

quem é “ele”, não é proposição.

Solução

O item proposto está errado, poisafirma a existência de exatamenteduas proposições na sequênciaduas proposições na sequênciaapresentada e vimos que apenasuma das sentenças é proposição.

Representação das proposições

As proposições são representadaspor letras do alfabeto latino.Algumas bancas utilizam letrasAlgumas bancas utilizam letrasmaiúsculas e outras utilizam letrasminúsculas, não faz a menordiferença.

Exemplo

A: Ana é brasileira

Foi usada letra maiúscula.Foi usada letra maiúscula.

p: Pedro é médico ou é professor.

Foi usada letra minúscula.

Valor lógico de uma proposição

Se uma proposição p é verdadeira dissemos que seu valor lógico é verdadeiro e representamos por:verdadeiro e representamos por:

VL(p) = V.

No caso de ser falsa, por: VL(p) = F.

Exemplos

a) Seja a proposição p: Belo Horizonte é capitalde Minas Gerais.

O valor lógico de p é V. Escreve-se VL(p) = V(lê-se: valor lógico de p é V).

b) Seja a proposição q: Belo Horizonte é acidade mais antiga do estado.

O valor lógico de q é F. Escreve-se VL(q) = F(lê-se: valor lógico de q é F).

Exemplos

c) Seja a proposição t: 5X4=20.VL(t) = V.

d) Seja a proposição u: 5+4=20.VL(u) = F.

Princípios do Raciocínio Lógico

1 – Princípio da identidade: Uma proposiçãoverdadeira é verdadeira e uma proposiçãofalsa é falsa.

2 – Princípio do terceiro excluído: Umaproposição ou será verdadeira ou será falsa,2 – Princípio do terceiro excluído: Umaproposição ou será verdadeira ou será falsa,e não há outra possibilidade.

3 – Princípio da não contradição: Nenhumaproposição poderá ser verdadeira e falsa aomesmo tempo.

Conectivos lógicos

ou

Conectivo Notação

v

e ^

ou v

→

↔se e somente se

se...então

ou...ou v

PROPOSIÇÃO SIMPLES

É a proposição única, ela nãopossui os conectivos lógicos “e”,“ou”, “se...então” e “se, e somentese”.se”.Exemplo:

p: Ana é nome de mulher.q: Hoje é quarta-feira.

PROPOSIÇÃO COMPOSTA

É a combinação de proposiçõessimples utilizando-se conectivosimples utilizando-se conectivológico.

Proposição simples |conectivo| proposição simples.

Exemplos

1) O carro de Ana é bonito e é veloz.

2)Amanhã estudarei português ou estudareidireito constitucional.direito constitucional.

3) Se chover, então irei ao clube.

4)Um número natural é primo se, esomente se, for dividido apenas por ele

mesmo e pela unidade.

Atenção

O valor lógico de uma proposiçãocomposta é determinado pelosvalores lógicos das proposiçõesvalores lógicos das proposiçõessimples que a constituem e peloconectivo utilizado. Veremos daquia pouco.

Negação

Atenção, negar é falar o contrário.

A negação de uma verdade é umafalsidade e a negação de umafalsidade e a negação de umafalsidade é uma verdade.

O símbolo de negação é “~” ou “¬”.

Negação

Para uma proposição “p”, suanegação é representada por “ ~p”ou “¬ p”.ou “¬ p”.

Para uma proposição p,podemos formar a sua negação deuma das seguintes formas:

Formas de se fazer uma negação

1) Acrescentando a palavra “não”à frente proposição: “não p”

p: O Brasil é penta campeão de futebol.

~p: O Brasil não é penta campeão defutebol.


2) Acrescentando a expressão“não é verdade que” à frente daproposição:“não é verdade que p”.proposição:“não é verdade que p”.


~p: Não é verdade que o Brasil é pentacampeão de futebol.


3) Acrescentando a expressão “éfalso que” à frente da proposição:“é falso que p”.“é falso que p”.


~p: É falso que o Brasil é penta campeãode futebol.


4) Acrescentando a expressão “émentira que” à frente daproposição: “é mentira que p”.proposição: “é mentira que p”.


~p: É mentira que o Brasil é pentacampeão de futebol.


5) Através da utilização de um antônimo.

p: 2 é número par.

~p: 2 é número ímpar.~p: 2 é número ímpar.

q: Pedro é honesto.

~q: Pedro é desonesto.

Cuidado!

p: Pedro é alto.

~p: Pedro não é alto.~p: Pedro não é alto.

~p: Pedro é baixo ou é de estaturamediana.


6) Retirando-se a palavra “não”.

p: Ana não é brasileira.

~p: Ana é brasileira.


1) Acrescentando a palavra “não” à frente daproposição.

2) Acrescentando a expressão “não é verdade que” àfrente da proposição.

3) Acrescentando a expressão “é falso que” à frente3) Acrescentando a expressão “é falso que” à frenteda proposição.

4) Acrescentando a expressão “é mentira que” àfrente da proposição.

5) Através da utilização de um antônimo.

6) Retirando-se a palavra “não”.

Exemplos

a) a: Os ingleses são altos.~a: Não é verdade que os inglesessão altos.~a: Os ingleses são baixos ou são de~a: Os ingleses são baixos ou são deestatura mediana.

b) b: Verde é a cor da paz.~b: É falso que verde é a cor da paz.

Exemplos

c) c: Os carros da Volks são maioria nas ruas deBelo Horizonte.~c: Os carros da Volks não são maioria nas ruasde Belo Horizonte.

d) d: Belo Horizonte não é a capital de Minasd) d: Belo Horizonte não é a capital de MinasGerais.~d: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais.~d: Não é verdade que Belo Horizonte não é acapital de Minas Gerais.

Exemplos

e) e: O carro é vermelho.

~e: O carro não é vermelho.

f) f: Meu time ganhou.f) f: Meu time ganhou.

~f: Meu time não ganhou.

~f: Meu time empatou ou perdeu.

Estudando os conectivosEstudando os conectivos

Conectivo “e” - Conjunção

Se unirmos duas proposiçõessimples pelo conectivo e, àsimples pelo conectivo e, àproposição composta formadadamos o nome de conjunção.

Conectivo “e”

Chamando de p e q cada umadas proposições simples erepresentando o conectivo e pelorepresentando o conectivo e pelosímbolo ∧∧∧∧, podemos escrever aproposição composta p e q como:p ∧∧∧∧ q.

Conectivo “e”

Uma proposição do tipo p ∧∧∧∧ qsomente será verdadeira se p e qsomente será verdadeira se p e qforem verdadeiras e em qualqueroutro caso a proposição p ∧∧∧∧ qserá falsa.

Conectivo “e”

Considere a proposição:O carro da Ana é bonito e é veloz.

Seja:p: O carro da Ana é bonitop: O carro da Ana é bonitoq: é veloz ( o carro da Ana é veloz)∧∧∧∧: conectivo e.

A proposição pode ser representadapor: p ∧∧∧∧ q.

Conectivo “e”

O carro da Ana é bonito e é veloz: p ∧∧∧∧ q.

Uma proposição composta com oconectivo “e” será verdadeira se todas asconectivo “e” será verdadeira se todas asproposições simples que a compõemforem verdadeiras, em qualquer outrasituação ela será falsa.

p q p∧∧∧∧q

V V V

Tabela Verdade “e” - Conjunção

V F F

F

F

V

FF

F

Representação por conjuntos

Se as proposições p e q foremrepresentadas como conjuntos –por diagramas de Venn – apor diagramas de Venn – aproposição composta p ∧∧∧∧ q será ainterseção do conjunto p com oconjunto q.


Em qualquer ponto do sombreado acima em que o carro da Ana estiver, a proposição composta p ∧∧∧∧ q será verdadeira.

Importante

É importante guardar que umaproposição composta do tipo p ∧∧∧∧ qserá verdadeira apenas se todasserá verdadeira apenas se todasas proposições simples que acompõem forem verdadeiras e emqualquer outro caso será falsa.

Para facilitar

“conectivo “e” será verdadeiro se“conectivo “e” será verdadeiro setodas forem verdadeiras”.

Propriedade comutativa

p ∧∧∧∧ q = q ∧∧∧∧ p

O carro da Ana é bonito e é veloz.O carro da Ana é bonito e é veloz.

=

O carro da Ana é veloz e é bonito.

Conectivo “ou” - Disjunção

Em nossa linguagem do dia a dia oconectivo ou é utilizado dandoconectivo ou é utilizado dandoidéias mutuamente exclusivas, ouocorre isto ou ocorre aquilo.


No estudo da lógica oconectivo ou pode ter sentido deinclusividade, isto é, pelo menosinclusividade, isto é, pelo menosuma das hipóteses ser verdadeira,nada impedindo que ambas sejamverdadeiras.


Por exemplo,

“João é professor ou é médico”.

O conectivo ou é includente, poisO conectivo ou é includente, poisapenas uma das condições podeocorrer, mas nada proíbe de queambas ocorram


Porém, o conectivo ou pode tero sentido de exclusividade, em queo sentido de exclusividade, em queapenas uma das hipóteses éverdadeira.


Por exemplo,

“Pedro é paulista ou é carioca”.

Neste exemplo, apenas uma dascondições pode ocorrer.


“João é professor ou é médico”.(“ou” includente)

“Pedro é paulista ou é carioca”.“Pedro é paulista ou é carioca”.(“ou” excludente)

Vamos estudar cada um dos casos.Primeiramente o caso em que o conectivoou faz papel de inclusividade.

Conectivo “ou” – Disjunção Inclusiva

Se unirmos duas proposiçõessimples pelo conectivo ou, àsimples pelo conectivo ou, àproposição composta formadadamos o nome de disjunçãoinclusiva ou simplesmente dedisjunção.


Chamando de p e q cada uma dasproposições simples e representando oproposições simples e representando oconectivo ou pelo símbolo ∨∨∨∨, podemosescrever a proposição composta p ou qcomo: p ∨∨∨∨ q.


Uma proposição do tipo p ∨∨∨∨ qsomente será falsa se p e q foremsomente será falsa se p e q foremfalsas e em qualquer outro caso aproposição p ∨∨∨∨ q será verdadeira.


Considere a proposição:João é professor ou é médico.

Seja:p: João é professor.p: João é professor.q: é médico ( João é médico)∨∨∨∨ : conectivo ou.

A proposição pode ser representadapor: p ∨∨∨∨ q.


João é professor ou é médico: p ∨∨∨∨ q.

Uma proposição composta com oconectivo “ou” somente será falsa se todasconectivo “ou” somente será falsa se todasas proposições simples que a compõemforem falsas, em qualquer outra situação elaserá verdadeira.

Tabela Verdade “ou” – Disjunção Inclusiva

p q p ∨∨∨∨ q

V V V

V F V

V

F

V

FF

F


Se as proposições p e q foremrepresentadas como conjuntos –por diagramas de Venn – apor diagramas de Venn – aproposição composta p ∨∨∨∨ q será aunião do conjunto p com oconjunto q.


Em qualquer ponto do sombreado acima em que João estiver, a proposição composta p ∨∨∨∨ q será verdadeira.

Importante

É importante guardar que umaproposição composta do tipo p v qserá falsa apenas se todas asserá falsa apenas se todas asproposições simples que acompõem forem falsas e emqualquer outro caso seráverdadeira.

Para facilitar

“conectivo “ou” será falso setodas forem falsas”.


p v q = q v p

João é professor ou é médico.João é professor ou é médico.

=

João é médico ou é professor.

Arguição

p ∧∧∧∧ qverdadeira se todas foremverdadeiras.

p v q falsa se todas forem falsas.

Exercício

Sendo as proposições p e ~qverdadeiras, dê o valor lógico decada uma das seguintescada uma das seguintesproposições.

a) p ∧∧∧∧ ~q

b) p ∧∧∧∧ q

Exercício

c) ~p ∧∧∧∧ ~q

d) ~p ∧∧∧∧ q

e) p v ~qe) p v ~q

f ) p v q

g) ~p v ~q

h) ~p v q

Solução

Lembrando

Conectivo e verdadeiro se todas foremverdadeiras.

Conectivo ou

verdadeiras.

falso se todas forem falsas.

Solução

Lembrando

Se “A” é uma proposição verdadeira,então “~A” é uma proposição falsa.então “~A” é uma proposição falsa.

Se “~B” é uma proposição verdadeira,então “B” é uma proposição falsa.

Solução

“p” é V (*) “~p” é F “~q” é V (*), , e “q” é F.

a) p ∧∧∧∧ ~q = V ∧∧∧∧ V = V

∧∧ V ∧∧∧∧ F

(*) Dados do exercício.

b) p ∧∧∧∧ q = V ∧∧∧∧ F = F

c) ~p ∧∧∧∧ ~q = F ∧∧∧∧ V = F

d) ~p ∧∧∧∧ q = F ∧∧∧∧ F = F

Solução

“p” é V(*) “~p” é F “ ~q” é V(*), , e “q” é F.

e) p v ~q = V v V = V

V v F


f) p v q = V v F = V

g) ~p v ~q = F v V = V

h) ~p v q = F v F = F

Conectivo “ou...ou” – Disjunção Exclusiva

Se unirmos duas proposiçõessimples pelo conectivo ou...ou, àproposição composta formadaproposição composta formadadamos o nome de disjunçãoexclusiva.


Chamando de p e q cada umadas proposições simples erepresentando o conectivo ou...ourepresentando o conectivo ou...oupelo símbolo ∨∨∨∨, podemos escrevera proposição composta ou p ou qcomo: p ∨∨∨∨ q.


Uma proposição do tipo p v qsomente será verdadeira seapenas uma das proposiçõesapenas uma das proposiçõessimples que a compõem forverdadeira, em qualquer outro casop v q será falsa.


Considere a proposição:Pedro é paulista ou é carioca.

Seja:p: Pedro é paulista.p: Pedro é paulista.q: é carioca (Pedro é carioca).v: conectivo ou...ou.

A proposição pode ser representada por:p v q.


Pedro é paulista ou é carioca. p v q

Uma proposição composta com oconectivo “ou...ou” somente seráconectivo “ou...ou” somente seráverdadeira se apenas uma dasproposições simples que a compõemfor verdadeira, em qualquer outro casoela será falsa.


A proposição “Pedro é paulistaou é carioca” também pode serou é carioca” também pode serescrita como “Ou Pedro é paulistaou é carioca”.


Observe as proposições:

A: Marcos é cozinheiro ou Paulo é pedreiro.

Para que a proposição composta sejaverdadeira, apenas uma das proposiçõessimples pode ser verdadeira ou, também, asduas proposições simples podem serverdadeiras. O conectivo ou é includente.


B: Ou Marcos é cozinheiro ou Paulo é pedreiro.

Para que a proposição composta sejaverdadeira, apenas uma das proposiçõesverdadeira, apenas uma das proposiçõessimples deve ser verdadeira. O conectivoou é excludente.


A: Marcos é cozinheiro ou Paulo é pedreiro.(ou includente)

B: Ou Marcos é cozinheiro ou Paulo é pedreiro.(ou excludente)(ou excludente)

C: Caio é pernambucano ou é paraense.(ou excludente)

D: Ou Caio é pernambucano ou é paraense.(ou excludente)

Tabela Verdade “ou...ou” –Disjunção Exclusiva

p q p ∨∨∨∨ q

V V F

V F V

V

F

V

FF

F


Se as proposições p e q foremrepresentadas como conjuntos –por diagramas de Venn – apor diagramas de Venn – aproposição composta p ∨∨∨∨ q será aunião do conjunto p com oconjunto q excluindo a interseçãode p com q.


Em qualquer ponto do sombreado acima em que Pedro estiver, a proposição composta p v q será verdadeira.

Importante

É importante guardar que umaproposição composta do tipo p v qserá verdadeira se apenas umaserá verdadeira se apenas umadas proposições simples que acompõem for verdadeira, emqualquer outro caso será falsa.

Para facilitar

“Conectivo ou...ou” será verdadeiro“Conectivo ou...ou” será verdadeirose apenas uma for verdadeira.


p v q = q v p

Pedro é paulista ou é carioca.Pedro é paulista ou é carioca.

=

Pedro é carioca ou é paulista.

Arguição

p ∧∧∧∧ q

p v q

verdadeira se todas foremverdadeiras.

falsa se todas forem falsas.p v q falsa se todas forem falsas.

p v q verdadeira se apenas uma for verdadeira.

Exercício

Sendo as proposições p e ~q verdadeiras, dê o valor lógico de cada uma das seguintes proposições.proposições.

a) p v ~q b) p v q

c) ~p v q d) ~p v ~q

Solução

Conectivo verdadeiro se apenas uma for Conectivoou...ou

verdadeiro se apenas uma for verdadeira

Solução

Lembrando

Se “A” é uma proposição verdadeira,então “~A” é uma proposição falsa.então “~A” é uma proposição falsa.

Se “~B” é uma proposição verdadeira,então “B” é uma proposição falsa.

Solução

“p” é V(*) “~p” é F “ ~q” é V(*), , e “q” é F.

a) p v ~q


V v V= = F

b) p v q

c) ~p v q

d) ~p v ~q

V v F

F v F

F v V

==

=

=

=

=

V

F

V

Conectivo “Se...então” –Condicional, Implicação

Se unirmos duas proposiçõessimples pelo conectivo Se...então,à proposição composta formadaà proposição composta formadadamos o nome de condicional ouimplicação.


Chamando de p e q cada uma dasproposições simples e representando oconectivo Se...então pelo símbolo →,podemos representar a proposiçãocomposta Se p então q como: p → q.


Considere a proposição:

Se eu ganhar 50 milhões na loteria,então darei 5 milhões para você.

p: eu ganhar 50 milhões na loteria.

q: darei 5 milhões para você.→:conectivo se...então.

Representamos a proposição por: p → q.


Se eu ganhar 50 milhões na loteria,então darei 5 milhões para você.

A proposição p: eu ganhar 50A proposição p: eu ganhar 50milhões na loteria. É chamada deantecedente. A proposição q: darei5 milhões para você é chamada deconsequente.


→ qp → qp

antecedente consequente


A proposição:

“Se eu ganhar 50 milhões naloteria, então darei 5 milhões paraloteria, então darei 5 milhões paravocê”, soa como uma promessa.

Quando quebrarei a minha promessa?


Quebrarei minha promessa quandoeu ganhar 50 milhões na loteria,antecedente verdadeiro e não derantecedente verdadeiro e não der5 milhões para você, consequentefalso. Em qualquer outra situaçãonão quebrarei minha promessa.


Se for verdade que ganhei 50milhões na loteria (antecedenteverdadeiro) e for verdade que dei 5verdadeiro) e for verdade que dei 5milhões para você (consequenteverdadeiro), não quebrei minhapromessa. A proposição compostaé verdadeira.


Se for falso que ganhei 50 milhõesna loteria (antecedente falso) e forfalso que dei 5 milhões para vocêfalso que dei 5 milhões para você(consequente falso), não quebreiminha promessa. A proposiçãocomposta é verdadeira.


Se for falso que ganhei 50 milhõesna loteria (antecedente falso) e forverdade que dei 5 milhões paraverdade que dei 5 milhões paravocê (consequente verdadeiro),não quebrei minha promessa. Aproposição composta é verdadeira.


Antecedente verdadeiro econsequente falso a proposiçãoconsequente falso a proposiçãocomposta com o conectivose...então será falsa, qualqueroutra situação será verdadeiro.


Uma proposição do tipo p → qserá falsa se a primeira proposiçãosimples (antecedente) for verdadeira ea segunda (consequente) for falsa, emqualquer outro caso será verdadeira .

Tabela Verdade “Se...então”

p q p→q

V V V

V F F

V

V

V

FF

F


Se as proposições p e q foremrepresentadas como conjuntos –diagramas de Venn – o condicionalp →→→→ q representa a inclusão dop →→→→ q representa a inclusão doconjunto p no conjunto q, ou seja,o conjunto p está contido noconjunto q, p q.⊂

Importante

É importante guardar que umaproposição composta do tipo p→→→→ qserá falsa se a primeira proposiçãosimples que a compõesimples que a compõe(antecedente) for verdadeira e asegunda (consequente) for falsa,em qualquer outro caso seráverdadeira.

Para facilitar

Conectivo “se...então” será falsose a primeira for verdadeira e asegunda for falsa.”


O conectivo se..então NÃO possuiO conectivo se..então NÃO possuia propriedade comutativa.

Arguição

p ∧∧∧∧ q

p v q

verdadeira se todas foremverdadeiras.

falsa se todas forem falsas.

p v q verdadeira se apenas uma for verdadeira.

p → q falso se primeira verdadeira e segunda falsa.

Macete

Vera Fischer é falso.

Vera → Fischer é falso.

V → F é falso.

Exercício

Sendo as proposições p e ~q verdadeiras, dê o valor lógico de cada uma das seguintes proposições.proposições.

b) p → q

c) ~p → q d) ~p → ~q

a) p → ~q

Solução

Conectivo Falso se primeira verdadeira e Conectivose...então

Falso se primeira verdadeira e segundo falsa. Vera Fischer é falso.

Solução

Lembrando

Se “A” é uma proposição verdadeira, então “~A” é uma proposição falsa.

Se “~B” é uma proposição verdadeira, então “B” é uma proposição falsa.

Solução

a) p → ~q

“p” é V(*) “~p” é F “ ~q” é V(*), , e “q” é F.(*) Dados do exercício.

V → V= = V

b) p → q

c) ~p → q

d) ~p → ~q

V → F

F → F

F → V

==

=

=

=

=

F

V

V

Questão de prova(SEBRAE/2008/CESPE)

Com relação à lógica formal, julgueo item subsequente.

A frase “Pedro e Paulo sãoanalistas do SEBRAE” é umaproposição simples.

Solução

A frase “Pedro e Paulo sãoanalistas do SEBRAE” é umaproposição simples.proposição simples.

Solução

A frase é uma proposição simples.

O item está correto.

Questaõ de prova(SEBRAE/2008/CESPE)

Com relação à lógica formal, julgueo item subsequente.

Toda proposição lógica podeassumir no mínimo dois valoreslógicos.

Solução

Toda proposição lógica pode assumirno mínimo dois valores lógicos.

SoluçãoSolução

Uma proposição lógica pode assumirapenas um valor lógico, verdadeiro oufalso, nunca ambos.

O item está errado.


A proposição “João viajou paraParis e Roberto viajou para Roma”é um exemplo de proposiçãoé um exemplo de proposiçãoformada por duas proposiçõessimples relacionadas por umconectivo de conjunção.

Solução

“João viajou para Paris e Robertoviajou para Roma”.

Solução

Temos acima uma proposiçãoTemos acima uma proposiçãocomposta formada por duasproposições simples relacionadas peloconectivo e, chamado de conjunção.O item está correto.

Formas de se ler o conectivo se...então

Se p, então q.Se estudo, então aprendo.Se sou belo-horizontino, então sou

mineiro.

p acarreta q.Estudar acarreta em aprender.Ser belo-horizontino acarreta em ser

mineiro.



mineiro.mineiro.

p implica q.Estudar implica em aprender.Ser belo-horizotino implica em ser

mineiro.


Se p, então q.

Se estudo, então aprendo.

Se sou belo-horizontino, então soumineiro.mineiro.

p é condição suficiente para q.

Estudar é condição suficiente para aprender.

Ser belo-horizontino é condição suficiente paraser mineiro.



mineiro.mineiro.

q é condição necessária para p.Aprender é condição necessária para

estudar.Ser mineiro é condição necessária para

ser belo-horizontino.


Se p, então q.


Se sou belo-horizontino, então sou mineiro.

A condição necessária para p é q.

A condição necessária para eu estudar é euaprender.

A condição necessária para eu ser belo-horizontino é eu ser mineiro.


Se p, então q.



Se p, q.

Se estudo, aprendo.

Se sou belo-horizontino, sou mineiro.


Se p, então q.



q, se p.

Aprendo, se estudo.

Sou mineiro, se sou belo-horizontino.


Se p, então q.



Quando p, q.

Quando estudo, aprendo.

Quando é belo-horizotino, é mineiro.



mineiro.mineiro.

p somente se q.Estudo somente se aprendo.Sou belo-horizontino somente se sou

mineiro.



mineiro.mineiro.

Todo p é q.Toda vez que estudo, aprendo.Todo belo-horizontino é mineiro.

Formas de se ler o conectivo se...então - Resumo

Se p, então q.

p acarreta q.

p implica q.p implica q.

p é condição suficiente para q.

q é condição necessária para p.

A condição necessária para p é q.

Formas de se ler o conectivo se...então - Resumo

Se p, então q.

Se p,q.

q, se p.q, se p.

Quando p, q.

p somente se q.

Todo p é q.


Os conectivos e, ou, não e ocondicional se ... então são,simbolicamente, representados por ∧∧∧∧, ∨∨∨∨ , ¬e →, respectivamente. As letras maiúsculasdo alfabeto, como P, Q e R, representamdo alfabeto, como P, Q e R, representamproposições. As indicações V e F sãousadas para valores lógicos verdadeiro efalso, respectivamente, das proposições.

Com base nessas informações, julgue oitem seguinte.


A proposição “Tanto João não énorte-americano como Lucas não ébrasileiro, se Alberto é francês” poderiabrasileiro, se Alberto é francês” poderiaser representada por uma expressãodo tipo P → [(¬Q) ∧∧∧∧(¬R)].

Solução

Lembrando de uma das várias formas de se lero conectivo se..então.Se p, então q.

Se estudo, então aprendo.Se estudo, então aprendo.Se sou belo-horizontino, então sou mineiro.

q, se p.

Aprendo, se estudo.Sou mineiro, se sou belo-horizontino.

Solução

A proposição apresentada: “Tanto Joãonão é norte-americano como Lucasnão é brasileiro, se Alberto é francês”está escrita nessa forma.está escrita nessa forma.Reescrevendo-a:se Alberto é francês, então tanto Joãonão é norte-americano como Lucasnão é brasileiro.

Solução

Se Alberto é francês, então tantoJoão não é norte-americano comoLucas não é brasileiro. Reescrevendoo consequente da proposição acima:o consequente da proposição acima:

se Alberto é francês, então João não énorte-americano e Lucas não ébrasileiro.

Solução

Comparando a proposição: “se Albertoé francês, então João não é norte-americano e Lucas não é brasileiro”com a simbologia apresentada: P →com a simbologia apresentada: P →[(¬Q) ∧∧∧∧(¬R)], temos:P: Alberto é francês.¬Q: João não é norte-americano.¬R: Lucas não é brasileiro.

Solução

Alberto é francês é o antecedente P.

João não é norte-americano e Lucas não ébrasileiro é o consequente composto peloconectivo e, (¬Q) ∧∧∧∧(¬R).conectivo e, (¬Q) ∧∧∧∧(¬R).

Portanto, P → [(¬Q) ∧∧∧∧(¬R)] representa aproposição apresentada.


Observações

1) Para o conectivo se...então: seo antecedente for falso, qualquerque seja o valor do consequenteque seja o valor do consequentea composta será verdadeira.

F → F = V F → V = V

F → ? = V

Observações

Por outro lado, se o consequente for verdadeiro, qualquer que seja o valor do antecedente a proposição composta será verdadeira.verdadeira.

F → V = V V→ V = V

? → V = V

Observações

2) Para o conectivo e: se pelo menosuma das proposições simples for falsa,qualquer que seja o valor da(s) outra(s)a composta será falsa.a composta será falsa.F ∧ F = F F ∧ V= F V∧ F = F

F∧ V = F∧ V F ∧ ? = F∧ ?

Observações

3) Para o conectivo ou: se pelo menosuma das proposições simples forverdadeira, qualquer que seja o valorda(s) outra(s) a composta seráda(s) outra(s) a composta seráverdadeira.V ∨ F = V V ∨ V=V V ∨ F = V∨ F

V ∨ F = V∨ V V ∨ ? = V∨ ?

Questão de prova(MDS/Agente Adm./2006/CESPE)

A seguinte proposição éverdadeira:verdadeira:

Se a capital de São Paulo éManaus, então 1 + 1 = 3.

Solução

Se a capital de São Paulo éManaus, então 1 + 1 = 3.“A capital de São Paulo é Manaus”.É uma proposição falsa.O antecedente é falso, qualquerque seja o valor do consequente aproposição será verdadeira.

Solução

Se a capital de São Paulo é Manaus,então 1 + 1 = 3.Analisando o consequente: “1+1=3”.É uma proposição falsa.É uma proposição falsa.Falso e falso no conectivo se...então, oresultado é verdadeiro.O item está correto, a proposiçãoapresentada é verdadeira.

Questão de provaAgente da PF/2004/CESPE

Se as proposições P e Q sãoambas verdadeiras, então aambas verdadeiras, então aproposição (¬ P) ∨∨∨∨ (¬ Q) também éverdadeira.

Solução

(*) Dados da questão.

P é V (*), Q é V (*), ¬P é F, ¬Q é F.

(¬ P) ∨ (¬ Q) = F ∨ F = F

A proposição apresentada é falsa.


(¬ P) ∨ (¬ Q) = F ∨ F = F


Se a proposição T é verdadeirae a proposição R é falsa, então ae a proposição R é falsa, então aproposição R → (¬ T) é falsa.

Solução

T é V e R é F.R → (¬ T), observe que o

antecedente R é falso (F).Se o antecedente é falso,

qualquer que seja o consequente acomposta é verdadeira.O item está errado.


Se as proposições P e Q sãoverdadeiras e a proposição R é falsa,verdadeiras e a proposição R é falsa,então a proposição (P ∧∧∧∧ R) → (¬ Q) éverdadeira.

Solução.

P é V (*), Q é V (*), R é F(*), ¬Q é F.(*) Dados da questão.


(P ∧∧∧∧ R) → (¬ Q) = ( V∧∧∧∧ F ) FF→ = → =F V

Questão de provaINSS/Analista/2008/CESPE

Texto para os itens de -- a --Proposições são sentenças que podemser julgadas como verdadeiras — V —ou falsas — F —, mas não comoou falsas — F —, mas não comoambas. Se P e Q são proposições,então a proposição “Se P então Q”,denotada por P→Q, terá valor lógico Fquando P for V e Q for F, e, nosdemais casos, será V.


Uma expressão da forma ¬P, anegação da proposição P, terávalores lógicos contrários aos devalores lógicos contrários aos deP. P v Q, lida como “P ou Q”, terávalor lógico F quando P e Qforem, ambas, F; nos demaiscasos, será V.


Texto para os itens de -- a --.

Proposições são sentenças que podem serjulgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F—, mas não como ambas. Se P e Q sãoproposições, então a proposição “Se P então Q”,proposições, então a proposição “Se P então Q”,denotada por P→Q, terá valor lógico F quando Pfor V e Q for F, e, nos demais casos, será V. Umaexpressão da forma ¬P, a negação da proposiçãoP, terá valores lógicos contrários aos de P. P v Q,lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P eQ forem, ambas, F; nos demais casos, será V.


Considere as proposições simples e compostasapresentadas abaixo, denotadas por A, B e C,que podem ou não estar de acordo com o artigo5.º da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.A: A prática do racismo é crime afiançável.B: A defesa do consumidor deve ser promovidapelo Estado.C: Todo cidadão estrangeiro que cometercrime político em território brasileiro seráextraditado.


De acordo com as valoraçõesV ou F atribuídas corretamente àsV ou F atribuídas corretamente àsproposições A, B e C, a partir daConstituição Federal, julgue ositens a seguir.


Para a simbolização apresentadaacima e seus correspondentesacima e seus correspondentesvalores lógicos, a proposição B→Cé V.

Solução

B: A defesa do consumidor deve ser promovidapelo Estado.

A proposição B é verdadeira.

C: Todo cidadão estrangeiro que cometercrime político em território brasileiro seráextraditado.

A proposição C é falsa.

Solução

Temos que avaliar se a proposição B→C é V.

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime

B→C == V→F F.

C é FB é V e

O item está errado

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

A proposição apresentada é falsa.


De acordo com a notaçãoapresentada acima, é correto afirmarapresentada acima, é correto afirmarque a proposição (¬A)v(¬C) tem valorlógico F.

Solução

Temos que avaliar se a proposição (¬A)v(¬C) é falsa.

A: A prática do racismo é crime afiançável.C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político emterritório brasileiro será extraditado.

C é FA é F e

(¬A)v(¬C)=V v V = V

A proposição apresentada é verdadeira.


Equivalências

Duas proposições são equivalentesse possuem a mesma tabelase possuem a mesma tabelaverdade.

Equivalências do “se...então”

p

V

q

V F

~q

V

p→q

F

~p ~q→~p

V V

~p v q~p

F

q

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

V F

V

V

F

V

V

F

V

V

F

V

F

p→q = ~q→~p p→q = ~p v q


“Se p, então q” é equivalente a “se“Se p, então q” é equivalente a “se~q, então ~p” e também a “~p v q”.


p → q ~~ pq= → Contrapositiva

p → q = v~p q


ExemploSe p, então q. Se estudo, então aprendo.

Se ~q, então ~p. Se não aprendi, então não estudei.

~p v q. Não estudei ou aprendi.

Questão de prova(BACEN/98) Se Pedro gosta de pimenta, entãoele é falante. Portanto,a) se Pedro não é falante, então ele não gostade pimenta.b) se Pedro é falante, então ele gosta depimenta.pimenta.c) se Pedro é falante, então ele não gosta depimenta.d) se Pedro não gosta de pimenta, então elenão é falante.e) se Pedro gosta de pimenta, então ele não éfalante.

Solução

Se Pedro gosta de pimenta, então ele éfalante.

Antecedente: Pedro gosta de pimenta.

Consequente: ele é falante.Consequente: ele é falante.

Equivalência:

Se Pedro não é falante, então ele não gostade pimenta.

Solução

Se Pedro não é falante, então ele não gosta depimenta.a) se Pedro não é falante, então ele não gosta depimenta.b) se Pedro é falante, então ele gosta de pimenta.c) se Pedro é falante, então ele não gosta dec) se Pedro é falante, então ele não gosta depimenta.d) se Pedro não gosta de pimenta, então ele não éfalante.e) se Pedro gosta de pimenta, então ele não éfalante.Letra A

Aproveitando

(BACEN/98) Se Pedro gosta depimenta, então ele é falante.

Pedro não gosta de pimentaouou

ele é falante

Pedro não gosta de pimenta ou ele éfalante.

Questão de prova

Duas grandezas x e y são tais que“se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que:

a) Se x ≠ 3 , então y ≠ 7b) Se y = 7 , então x = 3c) Se y ≠ 7 , então x ≠ 3d) Se x = 5 , então y = 5e) Nenhuma das conclusões acima é válida.

Solução

“se x = 3, então y = 7”.

Antecedente: x = 3.

Consequente: y = 7.Consequente: y = 7.

Equivalência:

Se y ≠ 7, então x ≠ 3.

Solução

Se y ≠ 7, então x ≠ 3.

a) Se x ≠ 3 , então y ≠ 7b) Se y = 7 , então x = 3c) Se y ≠ 7 , então x ≠ 3d) Se x = 5 , então y = 5e) Nenhuma das conclusões acima é válida.Letra C

Aproveitando

“se x = 3, então y = 7”.

x ≠ 3 ou y = 7.

Treinando a contrapositiva

p q = ~ q→ ~ p

~

→

p q→ = q p→~

= q p→

~p q→ =

~

q ~ p→

~p q→

Recíproca e inversa

p → q

Recíproca: q → p.Recíproca: q → p.

Inversa: ~p → ~q.


p

V

q p ~q~p

V

p→q

V

q

V V

q→p

V

Recíproca

FF

~p→~q

V

Inversa

V

F

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

F


p → q.

Recíproca: q → p.

Sua contrapositiva é: ~p → ~q.

Inversa: ~p → ~q.

Sua contrapositiva é: q → p.


A recíproca é a contrapositivada inversa, e a inversa é acontrapositiva da recíproca.contrapositiva da recíproca.

Recíproca e inversa, uma é acontrapositiva da outra.


p → q.

Recíproca: q → p.

Sua contrapositiva é: ~p → ~q.

Inversa: ~p → ~q.

Sua contrapositiva é: q → p.

Questão de prova

(TCI/RJ) A contrapositiva da recíprocade p → q é equivalente a:

a)~ p → p b) ~ p → qa)~ p → p b) ~ p → q

c) q → p d) ~ q →~ p

e) ~ p → ~ q

Solução

A contrapositiva da recíproca é ainversa.

Basta fazer a inversa de p → q.

Inversa: ~p → ~q.

Solução

~p → ~q.

a) ~ p → p b) ~ p → q

c) q → p d) ~ q →~ p

e) ~ p → ~ q

Letra e.

AtençãoSe seu nome é Ana, então você é mulher.Equivale a dizer: Toda Ana é mulher.Recíproca:

Se você é mulher, então seu nome é Ana.Equivale a dizer: Toda mulher tem nome Ana.Equivale a dizer: Toda mulher tem nome Ana.Inversa:

Se seu nome não é Ana, então você não é mulher.Equivale a dizer: Quem não é Ana não é mulher.

Recíproca = Inversa

Atenção

Se é quadrado, então tem 4 lados iguais.

Recíproca:

Se tem 4 lados iguais, então é quadrado.Se tem 4 lados iguais, então é quadrado.Errado, pode ser um losango.

Inversa:

Se não é quadrado, então não tem 4 lados iguais.Errado, pode não ser quadrado e ainda ter 4 lados iguais, pense no losango.

Conectivo “Se e somente se”

A proposição composta com oconectivo se e somente se éconectivo se e somente se échamada de bicondicional ou duplaimplicação.


Chamando de p e q cada umadas proposições simples erepresentando o conectivo Se erepresentando o conectivo Se esomente se pelo símbolo ↔,podemos representar a proposiçãocomposta p se somente se qcomo: p ↔ q.


O conectivo “se e somente se”pode ser escrito como umaconjunção de dois conectivosconjunção de dois conectivos“se..então”.

p ↔ q = p → q ^ q p→


Darei 1 milhão a você se e somentese eu ganhar 10 milhões na loteria.

Vamos representar a proposição acimaVamos representar a proposição acimacomo p↔↔↔↔ q, em que:

p: darei 1 milhão para você

q: eu ganhar 10 milhões na loteria


Darei 1 milhão a você se esomente se eu ganhar 10 milhões naloteria.

A proposição acima soa comouma promessa.

Vamos ver em que situações quebrareiminha promessa.


Darei 1 milhão a você se esomente se eu ganhar 10 milhões naloteria.

Se for verdade que ganhei 10 milhõesSe for verdade que ganhei 10 milhõesna loteria e for verdade que dei 1 milhão avocê, não quebrei a promessa.A proposição composta p ↔↔↔↔ q, seráverdadeira .


1ª verdadeira e 2ª verdadeira.

A composta é verdadeira.



Se for verdade que ganhei 10 milhões naSe for verdade que ganhei 10 milhões naloteria e for falso que dei 1 milhão a você,quebrei a promessa.

A proposição composta p↔↔↔↔ q será falsa.


1ª falsa e 2ª verdadeira.

A composta é falsa.



Se for falso que ganhei 10 milhões na loteriaSe for falso que ganhei 10 milhões na loteriae for verdade que dei 1 milhão a você,quebrei a promessa.

A proposição composta p↔↔↔↔ q será falsa .


1ª verdadeira e 2ª falsa.

A composta é falsa.



Se for falso que ganhei 10 milhões na loteriaSe for falso que ganhei 10 milhões na loteriae for falso que dei 1 milhão a você, nãoquebrei a promessa.

A proposição composta p ↔↔↔↔ q seráverdadeira .


1ª falsa e 2ª falsa.

A composta é verdadeira.


Uma proposição compostacom o conectivo “se e somente se”,

p ↔ q, será verdadeira quandop ↔ q, será verdadeira quandoambas forem verdadeiras ouambas forem falsas. Qualqueroutra situação ela será falsa.

Tabela Verdade “Se e somente se”

p

V V

q p↔q

V

V

F

F

F

F

V F

V

F


Representando as proposiçõesp e q através de conjuntos,diagramas de Venn, odiagramas de Venn, obicondicional p ↔↔↔↔ q representa aigualdade entre os conjuntos p e q,ou seja, p = q.

Importante

É importante guardar que umaproposição do tipo p ↔ q seráverdadeira se p e q forem ambosverdadeira se p e q forem ambosverdadeiros ou ambos falsos, emqualquer outro caso será falsa.

Para facilitar

Conectivo “se e somente se”será verdadeiro se ambas foremserá verdadeiro se ambas foremiguais.


Darei 1 milhão a você se esomente se eu ganhar 10 milhõesna loteria = Ganharei 10 milhõesna loteria = Ganharei 10 milhõesna loteria se e somente se der 1milhão a você.

p ↔↔↔↔ q = q ↔↔↔↔ p

Formas de se ler o conectivo“Se e somente se”

p se e somente se q.

Passarei se e somente se fizer boaprova.prova.

p é condição necessária e suficiente para q.

Passar é condição necessária esuficiente para fazer boa prova.



Passarei se e somente se fizer boa prova.

p se e só se q.

Passarei se e só se fizer boa prova.




Se p, então q e se q, então p.

Se passar,então fiz boa prova e sefizer boa prova, então passarei.




p equivale a q.

Passar equivale a fazer boa prova.

Formas de se ler o conectivo“Se e somente se” - Resumo


p é condição necessária e suficiente para q.p é condição necessária e suficiente para q.

p se e só se q.

Se p, então q e se q, então p.

p equivale a q.

Questão de prova

(Fiscal Trabalho/98) Sabe-se que a ocorrência de B écondição necessária para a ocorrência de C econdição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se,também, que a ocorrência de D é condição necessáriae suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando Cocorre,ocorre,

a) D ocorre e B não ocorre.b) D não ocorre ou A não ocorre.c) B e A ocorrem.d) nem B nem D ocorrem.e) B não ocorre ou A não ocorre.

Solução

A questão explora:

“condição necessária” (conectivo se então);

“condição suficiente” (conectivo se então); e

“condição necessária e suficiente” (conectivose e somente se).

Relembrando!

Se p, então q.Se estudo, então aprendo.

p é condição suficiente para q.Estudar é condição suficiente para aprender.

q é condição necessária para p.Aprender é condição necessária para

estudar.

Relembrando!

Condição necessária e suficiente éCondição necessária e suficiente éjustamente o conectivo se esomente se.

Solução

ocorrência de B é condição necessária para aocorrência de C:

C → B.ocorrência de B é (condição necessária para aocorrência de C) e condição suficiente para aocorrência de C) e condição suficiente para aocorrência de D:

B → D.

ocorrência de D é condição necessária e suficientepara a ocorrência de A:

D ↔ A.

Solução

Temos: C → B, B → D e D ↔ A.

Assim, quando C ocorre:

Se C ocorre , então B também ocorre.

Se B ocorre, então D também ocorre.

D ocorre se e somente se A ocorre, sabemosque D ocorre, então A também ocorre.

Assim, B ocorre, D ocorre e A ocorre.

Solução

a) D ocorre e B não ocorre.

b) D não ocorre ou A não ocorre.

c) B e A ocorrem.

d) nem B nem D ocorrem.d) nem B nem D ocorrem.

e) B não ocorre ou não ocorre.

Resposta letra c.

Ordem de precedência dos conectivos

1º - Negação: ~2º - Conjunção: ^3º - Disjunção: v4º - Condicional: →5º - Bicondicional: ↔

Arguição

“e”: V se todas V.

“ou”: F se todas F.

“ou...ou”: V se apenas uma V.

“se..então”: Vera Fischer é F.

“se e somente se”: V se iguais.

Tabela verdade

∧∧

p q

V

p ∧∧∧∧ q

V

p v q p v q p → q p ↔ q

FV V V V

V

F

F

V

F

F F

F

F F F

FFV

V VV

V

VV

F

Negação das proposições Negação das proposições compostas

Negação do conectivo “e”

p

V

V

F

q

V

V

F

F

F

F

F

V

V

~p ~q p ∧∧∧∧ q ~p v ~q

V

F

F

F

V

VF

F

V

F

FV

V V

F

F

V

V

Observe as colunas de (p ∧∧∧∧ q) e (~p v ~q), o valor lógico deuma, linha a linha, é o contrário do valor lógico da outra.Uma é a negação da outra.


A negação de p ∧∧∧∧ q é ~p v ~q.

Podemos escrever: ~( p ∧∧∧∧ q) = ~p v ~q.


Exemplo:

A negação de (x = 5 e y = 6) é:

(x ≠ 5 ou y ≠ 6).(x ≠ 5 ou y ≠ 6).

A negação de “O dia está bonito e estáclaro” é:

“O dia não está bonito ou não está claro”.

Negação do conectivo “ou”

p

V

V

F

q

V

V

F

F

F

F

F

V

V

~p ~q p v q ~p ∧∧∧∧ ~q

V

V

V

F

F

FF

F

V

F

FV

V V

V

F

F

V

Observe as colunas de (p v q) e (~p ∧∧∧∧ ~q), o valor lógico deuma, linha a linha, é o contrário do valor lógico da outra.Uma é a negação da outra.


A negação de p v q é ~p ∧ ~q.

Podemos escrever: ~( p v q) = ~p ∧ ~q.


Exemplo:

A negação de (x = 7 ou y = 4) é:

(x ≠ 7 e y ≠ 4).(x ≠ 7 e y ≠ 4).

A negação de “Irei à escola ou irei ao clube” é:

“Não irei à escola e não irei ao clube”.

Observação

~( p ∧∧∧∧ q) = ~p v ~q.

~( p ∨∨∨∨ q) = ~p ∧∧∧∧ ~q.

As negações acima sãoconhecidas como leis de DeMorgan.

Negação do conectivo “ou...ou”

p

V

V

q

V

F

F

F

F

V

~p ~q p v q p ↔ q

F

V

V

F

F

F

V

F

FV

V V

V

F

F

V

Observe as colunas de (p v q) e (p ↔↔↔↔ q), o valor lógico de uma, linha a linha, é o contrário do valor lógico da outra.Uma é a negação da outra.


A negação de p v q é p ↔↔↔↔ q.

Podemos escrever: ~( p v q) = p↔↔↔↔ q.


A negação de (ou x = 3 ou y = 5) é:

(x = 3 se e somente se y = 5).

Negação do conectivo “se...então”

p

V

V

F

q

V

V

F

F

F

V

~q p → q p ∧∧∧∧ ~q

V

F

V

F

V

FF

F

V

F

F

V

V

V

F

F

Observe as colunas de (p → q) e (p ∧∧∧∧ ~q), o valor lógico deuma, linha a linha, é o contrário do valor lógico da outra.Uma é a negação da outra.


A negação de p→→→→ q é p ∧∧∧∧ ~q.

Podemos escrever: ~( p→→→→ q) = p ∧∧∧∧ ~q.


A negação de “Se chover, então irei aoclube” é:clube” é:

“Choveu e não fui ao clube”.

Negação do conectivo “se e somente se”

p

V

V

F

q

V

V

F

p ↔ q p v q

V

F

F

F

V

VF

F

V

F

F

V

V

F

Observe as colunas de (p ↔ q) e (p v q), o valor lógico deuma, linha a linha, é o contrário do valor lógico da outra.Uma é a negação da outra.


A negação de p ↔↔↔↔ q é p v q.

Podemos escrever: ~(p ↔↔↔↔ q) = p v q.


p ↔ q =

~(p ↔ q)

(p → q) (q → p)∧

= ~[(p → q) ∧ (q → p)] =

== ~(p → q) ~(q → p)v (p ∧ ~ q) (q ∧ ~ p)

~(p ↔ q)

v

= (p ∧ ~ q) v (q ∧ ~ p)


~(p ↔ q) = (p ∧ ~ q) v (q ∧ ~ p)~(p ↔ q) = (p ∧ ~ q) v (q ∧ ~ p)

Resumo das negações

~(p ∧∧∧∧ q)

~(p v q)

~(p v q)

~p ∧∧∧∧ ~q=

= ~p v ~q

p ↔ q=~(p v q) p ↔ q

~(p → q) =

=

p ∧∧∧∧ ~q

=

= (p ∧∧∧∧ ~q) v (q ∧∧∧∧ ~p)

~(p ↔ q) p v q

~(p ↔ q)

Afirmação e negação no conjunto dos números reais

Afirmação

x = y

x > y

Negação

x ≤ y

x ≠ y

x ≥ y

x ≤ y

x > y

x < y

x > y

x ≥ y

x < y

x ≤ y

Negação no conjunto dos números reais

Exemplos:

a) A negação de 6 = 8 é:

≠6 ≠ 8.

b) A negação de x > 1 é:

x ≤ 1.

Negação no conjunto dos números reais

c) A negação de x ≥ 3 é:x < 3.

d) A negação de x < 8 é:d) A negação de x < 8 é:x ≥ 8.

e) A negação de x ≤ 2 é:x > 2.

Questão de prova

A negação de x > 5 é

a) x ≥ 5

b) x = 5

c) x < 5

d) x ≤ 5

e) Nenhuma das respostas.

Letra d.

Questão de prova

(PUC-RS) Sejam p e q duas proposições.

A negação p ∧ q equivale a:

a) ∼p ∨ ∼q

b) ∼p ∧ ∼q

c) ∼p ∨ q

d) ∼p ∧ q

e) p ∧ ∼q

Solução

A questão pede a negação de: p ∧ q.

O resultado é:O resultado é:

~p v ~q.

Letra a.

Questão de provaSe chove então faz frio. Assim sendo:

a) Chover é condição necessária para fazerfrio.b) Fazer frio é condição suficiente para fazerfrio.c) Chover é condição necessária e suficientec) Chover é condição necessária e suficientepara fazer frio.d) Chover é condição suficiente para fazer frio.e) Fazer frio é condição necessária e suficientepara chover.

Solução

Se chove então faz frio.

Chover é condição suficiente para fazer frio.

Fazer frio é condição necessária para chover.Fazer frio é condição necessária para chover.

a) Chover é condição necessária para fazer frio.

b) Fazer frio é condição suficiente para fazer frio.

c) Chover é condição necessária e suficiente parafazer frio.

Solução

Se chove então faz frio.

Chover é condição suficiente para fazer frio.

Fazer frio é condição necessária para chover.Fazer frio é condição necessária para chover.

d) Chover é condição suficiente para fazer frio.

e) Fazer frio é condição necessária e suficientepara chover.

Letra d.

Questão de prova

(BB/Escriturário/2008/002/CESPE) Todaproposição simbolizada na forma A → Btem os mesmos valores lógicos que atem os mesmos valores lógicos que a

proposição B → A.

Solução

B → A é a recíproca de A → B .

Vimos que possuem valores lógicos diferentes.Vimos que possuem valores lógicos diferentes.


Observe a tabela a seguir.

Solução

A

V

B A

V

A→B

V

B

V V

B→A

V

Recíproca

V

F

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

A→B ≠ B→A

Negação do “algum”

A negação do “algum” é “nenhum”.

Exemplo

p: Algum pescador é mentiroso.

~p: Nenhum pescador é mentiroso.

Negação do “algum”

q: Algum aluno será reprovado.

~q: Nenhum aluno será reprovado.

Negação do “nenhum”

A negação do “nenhum” é “algum”.

Exemplo

p: Nenhum homem é bom cozinheiro.

~p: Algum homem é bom cozinheiro.

Negação do “nenhum”

A: Nenhum aluno será aprovado.

~A: Algum aluno será aprovado.

Negação do “todo”

A negação do “todo” é

“algum ... não”

“pelo menos um ... não”

“ao menos um ... não”

“existe ... não”.


Exemplo

p: Todo jogador é atacante.

~p: Algum jogador não é atacante.

~p: Pelo menos um jogador não é atacante.

~p: Ao menos um jogador não é atacante.

~p: Existe jogador que não é atacante.


p: Todo os alunos serão reprovados.

~p: Algum aluno não será reprovado.

~p: Pelo menos um aluno não será reprovado.

~p: Ao menos um aluno não será reprovado.

~p: Existe aluno que não será reprovado.

Negação do “algum...não”

A negação do “algum...não” é “todo”.

Exemplo

p: Alguma estrela não possui luz própria.

~p: Toda estrela possui luz própria.

Negação do “algum...não”

B: Algum aluno não será aprovado.B: Algum aluno não será aprovado.

~B: Todos os alunos serão aprovados.

Exercício

Faça a negação de:

A: Toda mulher é roda dura.

Alguma não~A: Alguma mulher não é roda dura.

~A: Pelo menos uma mulher não é roda dura.

~A: Existe mulher que não é roda dura.

Exercício

Faça a negação de:

B: Nenhuma mulher sabe dirigir automóvel.

~B: Alguma mulher sabe dirigir automóvel.

Atenção

Para a lógica, a negação do

“nenhuma” NÃO é “toda”.

Atenção

Falar que a negação de:

“Nenhuma mulher sabe dirigir automóvel”

éé

“Toda mulher sabe dirigir automóvel”

está errado!!!!!!!!!!

Questão de prova(CVM/2000/ESAF)

Dizer que a afirmação “todos oseconomistas são médicos” é falsa, do pontode vista lógico, equivale a dizer que aseguinte afirmação é verdadeira:a) pelo menos um economista não é médicob) nenhum economista é médicoc) nenhum médico é economistad) pelo menos um médico não é economistae) todos os não médicos são não economistas

Solução

Se a afirmação “todos oseconomistas são médicos” é falsa,então a sua negação seráentão a sua negação seráverdadeira. Assim, basta fazer anegação da afirmaçãoapresentada.

Solução

A: todos os economistas são médicos

~A: algum economista não é médico

~A: existe economista que não é médico~A: existe economista que não é médico

~A: pelo menos um economista não é médico

~A: ao menos um economista não é médico

Solução

a) pelo menos um economista não émédico~A: algum economista não é médico

~A: existe economista que não é médico



Solução

b) nenhum economista é médico





Solução

c) nenhum médico é economista





Solução

d) pelo menos um médico não é economista


~A: existe economista que não é médico~A: existe economista que não é médico



Solução

e) todos os não médicos são nãoeconomistas

~A: algum economista não é médico~A: algum economista não é médico




Solução

Opção correta letra a.

a) pelo menos um economistaa) pelo menos um economistanão é médico.

Questão de prova(Fiscal Recife/2003)

Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou:“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia nãodormem a sesta”. A condição necessária e suficiente paraque a afirmação de Pedro seja verdadeira é que sejaverdadeira a seguinte proposição:

a) no máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sestaa) no máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta

b) todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta

c) pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta

d) nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta

e) nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta

Solução

Pedro afirmou: “Não é verdade quetodos os aldeões daquela aldeianão dormem a sesta”, quenão dormem a sesta”, queequivalente a dizer: “É mentira quetodos os aldeões daquela aldeianão dormem a sesta”.

Solução

“É mentira que todos os aldeões daquelaaldeia não dormem a sesta”. É equivalente a:

- Algum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

- Pelo menos um aldeão daquela aldeia dormea sesta.

- Existe aldeão daquela aldeia que dorme asesta.

Solução

Opção correta letra c.

c) pelo menos um aldeão daquelac) pelo menos um aldeão daquelaaldeia dorme a sesta.

Número de linhas da tabela

O número de linhas da tabelaverdade é dado por: 2n , em que “n”verdade é dado por: 2 , em que “n”representa a quantidade deproposições simples.


A tabela verdade da proposição p ∧ q terá 4

linhas. 22 = 4.

p q p ∧ qp

V

V

F

F

q

V

F

V

F

p ∧ q

V

F

F

F


A tabela verdade da proposição ( p ∧ q) → t, terá 8linhas. 23 = 8.

p

V

q

V

t

V

p ∧ q

V

( p ∧ q) → t

VV

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

Tautologia

É a proposição compostaque é sempre verdadeiraindependentemente da verdade ouindependentemente da verdade oufalsidade das proposições simplesque a compõem.

Tautologia

É a proposição composta queapresenta em sua tabela verdadeapresenta em sua tabela verdadeapenas o valor lógico verdadeiro.

Tautologia

Exemplo

Se seu nome não for Ana,Se seu nome não for Ana,então será outro diferente.

Tautologia

Exemplo

A proposição p v ~p é uma tautologia.

p

V

F

~p

V

p v ~p

V

V

F

Tautologia

Verifique se a proposiçãoabaixo é uma tautologiaabaixo é uma tautologia

(A ∧ B) → (A v B)

Solução

Construindo a tabela verdade(A ∧ B) → (A v B)

A B A v BA ∧ B (A ∧ B)→ (A v B)A

V

V

F

F

B

V

F

V

F

A v B

F

F

F

V

A ∧ B

F

V

V

V

(A ∧ B)→ (A v B)

V

V

V

V

Contradição

É a proposição composta queé sempre falsa independentementeé sempre falsa independentementeda verdade ou falsidade dasproposições simples que acompõem.

Contradição

É a proposição composta queapresenta em sua tabela verdadeapresenta em sua tabela verdadeapenas o valor lógico falso.

Contradição

Exemplo

Passei e não passei no concurso.Passei e não passei no concurso.

Contradição

Verifique se a proposição abaixo éuma contradiçãouma contradição

~(A v B) ∧ (A ∧ B)

Solução

Construindo a tabela verdade

~(A v B) ∧ (A ∧ B)

B A v B ~(A v B) A ∧ B ~(A v B) ∧ (A ∧ B)A B

V

F

V

F

A v B

V

V

V

F

~(A v B)

F

F

F

V

A ∧ B

V

F

F

F

~(A v B) ∧ (A ∧ B)

F

F

A

V

F

F

V

F

F

Contingência

É a proposição composta queÉ a proposição composta quenão é tautologia e que não écontradição.

Contingência

Verifique se a proposição abaixo éuma contingênciauma contingência

(A v B) →(A ∧ B)

Solução

Construindo a tabela verdade de(A v B) →(A ∧ B)

B A v B A ∧ B (A v B) → (A ∧ B)A B

V

F

V

F

A v B

V

V

V

F

A ∧ B

V

F

F

F

(A v B) → (A ∧ B)

V

F

A

V

F

F

V

F

V

Questão de prova(ESAF)

Chama-se tautologia a toda proposição que é sempreverdadeira, independentemente da verdade dos termosque a compõem. Um exemplo de tautologia é

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo;

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo;b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo;

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme égordo;

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é altoe Guilherme é gordo;

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

Solução

Uma maneira de resolver aquestão é fazer a tabela verdadequestão é fazer a tabela verdadepara cada uma das opções atéencontrarmos a que representauma tautologia.

Solução

Representando as proposições porletras do alfabeto latino:

A: João é alto.

B: Guilherme é gordo.

Solução

a) se João é alto, então João é alto ouGuilherme é gordo; A→(A v B).

A B A v B A→(A v B)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

É tautologia

Solução

b) se João é alto, então João é alto eGuilherme é gordo; A → ( A ∧ B).

A B A ∧ B A → ( A ∧ B).

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

Não é tautologia, é contingência

Solução

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, entãoGuilherme é gordo; ( A v B) → B.

A B A v B ( A v B) → BB

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V


Solução

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João éalto e Guilherme é gordo; (A v B) → (A ∧ B).

A

V

B

V

A v B

V

A ∧ B

V

(A v B) → (A ∧ B)

VV

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

V


Solução

e) se João é alto ou não é alto, entãoGuilherme é gordo; ( A v ~A) → B.

A B ~A A v ~A ( A v ~A) → BBA

V

V

F

F

B

V

F

V

F

~A

F

F

V

V

A v ~A

V

V

V

V

( A v ~A) → B

V

F

V

F

B

V

F

V

F

Não é tautologia, é contingência.

Tautologia

Para verificar se uma proposição(composta) representa uma tautologia,podemos construir a tabela verdade eobservar se todas as valorações sãoobservar se todas as valorações sãoverdadeiras.

Porém, em alguns casos oprocesso pode ser demorado.

Tautologia

Na tentativa de agilizar o processo,vamos ver uma alternativa desolução.

Tautologia

Verifique se a proposição abaixo éuma tautologia (A ∧ B) → (A v B).

A questão já foi resolvida com aA questão já foi resolvida com aelaboração da tabela verdade.

Vamos à solução alternativa.

Tautologia

Se a proposição (A ∧ B) → (A v B)é uma tautologia ela não será falsa(é muito lógico pensar assim).Então, vamos tentar mostrar que aEntão, vamos tentar mostrar que aproposição acima é falsa emalguma situação. Se issoacontecer, ela não é tautologia.Caso contrário, ela é tautologia.

Tautologia

(A ∧ B) → (A v B).

Antecedente: (A ∧ B) deverá ser V.

Consequente: (A v B) deverá ser F.Consequente: (A v B) deverá ser F.

(A ∧ B) será V se A e B forem V.A ∧ B

V ∧ V

V

→ A v B

V v V

V→ V

Tautologia

Tentamos mostrar que aproposição (A ∧ B) → (A v B), emalgum momento, é falsa, e nãoalgum momento, é falsa, e nãoconseguimos. Assim, a proposiçãoé sempre Verdadeira. Ela é umatautologia.

Contradição

Verifique se a proposição abaixo éuma contradição: ~(A v B) ∧ (A ∧ B).

Questão já resolvida com utilização databela verdade.

Contradição

Para verificar se uma proposição écontradição, basta tentar mostrar queela é verdadeira. Se for verdadeira,não é contradição. Caso contrário, écotradição.

Contradição


A~ A B∧B (v ) )( ∧A~ A

V

B∧B (v ) )(

∧

∧

)~ (

v

∧

V

VVVV

F V F

É contradição.

Contradição


A~ A B∧B (v ) )( ∧A~ A

F

B∧B (v ) )(

∧

∧

)~ (

v

∧

F

FFFF

V F F

É contradição.

Contingência

Verifique se a proposição abaixo é umacontingência: (A v B) →(A ∧ B).

Devemos fazer o teste da tautologia eo teste da contradição.

Contingência


Teste da tautologia: mostrar que é falsa.

)A v B →( A B

V ? V

V

∧

F

( )∧

v F

→ F

Não é tautologia.

Contingência


Teste da contradição: mostrar que é verdadeira.

)A v B →( A B

F F F

F

∧

F

( )∧

v F

→ V

Não é contradição.

Contingência

A proposição (A v B) →(A ∧ B)não é tautologia e não é contradição.não é tautologia e não é contradição.

Ela é uma contingência.

Questão de prova(ESAF)

Chama-se tautologia a toda proposição que ésempre verdadeira, independentemente da verdade dostermos que a compõem. Um exemplo de tautologia é

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo;

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo;b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo;

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme égordo;

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é altoe Guilherme é gordo;

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

Solução

a) se João é alto, então João é alto ouGuilherme é gordo; A→(A v B).Procuro tautologia: mostro que é falso.

A → ( A B

V

v )

v

VV → V

?V

É tautologia

Solução

b) se João é alto, então João é alto eGuilherme é gordo; A → ( A ∧ B).Procuro tautologia: mostro que é falso.

A → ( A B

V

∧ )

∧

FV → F

FV

Não é tautologia

Solução

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, entãoGuilherme é gordo; ( A v B) → B.Procuro tautologia: mostro que é falso.

A

F

→

V

→

B

F F

B( v

V

v

Não é tautologia

F

)

Solução

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, entãoJoão é alto e Guilherme é gordo;(A v B)→ (A∧B).Procuro tautologia: mostro que é falso.

Bv ) ( ∧ )

∧v

( → A

F

F

?F

V

V

F→

BA

Não é tautologia

Solução

e) se João é alto ou não é alto, entãoGuilherme é gordo; ( A v ~A) → B.Procuro tautologia: mostro que é falso.

A A → B

FV

F/VV/F

→

F

( v ~ )

v

F

Não é tautologia.

Questão de prova(CESPE)

A proposição (¬B) v [(¬B)→A]é tautologia.Solução: Procuro tautologia: mostro que é falso.

(¬ B)

F → ?F

A→(¬ B)v

F v

É tautologia. O item está certo.

VV

][


A proposição (¬B) v [(¬B)→A] é tautologia.Solução

A

V

B

V

¬ B

F

A

V

¬ B → A

V

( ¬ B) v [ ¬ B → A]

VV

V

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

V

É uma tautologia, o item está certo.


A proposição [ ¬ B] ∧ [ A → B ] éA proposição [ ¬ B] ∧ [ A → B ] élogicamente falsa.

Solução

Se uma proposição compostaé logicamente falsa, então ela éuma contradição.uma contradição.

Para avaliar o item proposto bastafazer o teste da contradição.

Solução

[ ¬ B] ∧ [ A → B ].Procuro contradição: mostro que é verdadeiro.

¬ B B→A )(∧

V

V →? V

∧ V V

A proposição apresentada é V em algum momento, logo não é logicamente falsa. Ela não é contradição. O item está errado.

Implicações lógicas

(TFC/CGU/ESAF/2008) Sou amiga de Abel ou souamiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não souamiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não souamiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara.Assim,a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.

b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.

c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.

d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.

e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

Implicações lógicas

É uma questão típica deÉ uma questão típica deimplicações lógicas.

Questão de prova(TFC/CGU/ESAF/2008)

Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar.Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Souamiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora,não sou amiga de Clara. Assim,

a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.

b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.

c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.

d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.

e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

Solução

Para facilitar, vamos simbolizar as 4proposições apresentadas.

A: Sou amiga de Abel.A: Sou amiga de Abel.

O: Sou amiga de Oscar.

N: Sou amiga de Nara.

C: Sou amiga de Clara.

Solução

P1: Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar.

P1: A v O.

P2: Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel.

P2: N v ~A.P2: N v ~A.

P3: Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar.

P3: C v ~O.

P4: Não sou amiga de Clara.

P4: ~C.

Solução

P1: A v O.

P2: N v ~A.

P3: C v ~O.

P4: ~C.

Solução

Não sou amiga de Oscar

V

Não sou amiga de Clara

C ~ O

~C

vP3:

P4:

F

N

F

O

F

A

~A

V

P2:

v

v

P1:

Sou amiga de Nara

V

Sou amiga de Abel

V

Solução

Não sou amiga de Clara. Não sou amiga de Oscar.

Sou amiga de Abel. Sou amiga de Nara.

sou amiga de Abelenão sou amiga de Naraa)

FVF

b) e

FVF

amiga de Abel

FV F

não sou amiga de Naranão sou amiga de Clara

V

ec) sou amiga de Nara

V V

Solução



d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara

e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara

FVF

V

Resposta correta letra c

F F

Explorando a questão



Sou amiga de Clara ou

F V V

sou amiga de Nara

F V

Se

V

sou amiga de Oscar então não sou amiga de Nara

FF V

Questão de prova(AFC/CGU – ESAF/2006)

Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Maurogosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávianão é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não éartista e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluircorretamente que

a) Ana não é artista e Carlos não é compositor.a) Ana não é artista e Carlos não é compositor.

b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa.

c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma.

d) Ana não é artista e Mauro gosta de música.

e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.

Solução

P1: Ana é artista ou Carlos é compositor.

P1: A v C.

P2: Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa.

P2: M → ~F.P2: M → ~F.

P3: Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor.

P3: ~F → ~C.

P4: Ana não é artista e Daniela não fuma.

P4: ~A ∧ ~D.

Solução

~A ~D

V V

Ana não é artista

A C Carlos é compositor

∧

P1: v

P4: Daniela não fuma

F

P3: →~F ~C

FF

V

F F

Flávia é fotógrafa

~FM →P2: Mauro não gosta de música

Solução

Ana não é artista. Daniela não fuma.

Carlos é compositor. Flávia é fotógrafa.

Mauro não gosta de música.

Ana não é artista Carlos não é compositora) e

Carlos é compositor Flávia é fotógrafa

V V

Mauro gosta de música

V F

V

F

F

b) e

c) Daniela não fuma

FV

e

Solução

Ana não é artista. Daniela não fuma.

Carlos é compositor. Flávia é fotógrafa.

Mauro não gosta de música.

Ana não é artista Mauro gosta de músicad) eAna não é artista Mauro gosta de música

V F F

Mauro não gosta de música Flávia não é fotógrafa

V F F

Resposta correta letra b

d)

e)

e

e

Questão de provaFiscal Trabalho – ESAF/1998

Se Pedro é inocente, então Lauro éinocente. Se Roberto é inocente, então Sônia éinocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia éculpada. Segue-se logicamente, portanto, que:

a) Lauro é culpado e Sônia é culpadaa) Lauro é culpado e Sônia é culpada

b) Sônia é culpada e Roberto é inocente

c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado

d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado

e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente

Solução

P: Pedro é inocente.

L: Lauro é inocente.L: Lauro é inocente.

R: Roberto é inocente.

S: Sônia é inocente.

Solução

p1: Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. p1: P→L

p2: Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente.

p : R→Sp2: R→S

p3: Pedro é culpado ou Sônia é culpada.p3: ~P v ~S

Solução

P L Supondo V o antecedente

V V Pedro é inocente Lauro é inocente

p1:

p3: v~P ~S

→

p2:

F V Sônia é culpada

R → S

F Roberto é culpadoF

Solução

Pedro é inocente. Lauro é inocente.

Sônia é culpada. Roberto é culpado.

Lauro é culpado Sônia é culpadaa) e

V F

Sônia é culpada Roberto é inocente

V F F

F

c)

b) e

F

ou

VV

Roberto é culpadoPedro é culpado

Solução

Pedro é inocente. Lauro é inocente.


então Lauro é culpadoRoberto é culpadoSed) então Lauro é culpado

V

Se e somente seRoberto é inocente

FF

Roberto é culpado

Lauro é inocente

FF

e)

Sed)

Letra c

V

E se...

A questão foi resolvidasupondo o antecedente de p1verdadeiro (e deu tudo certo).

1verdadeiro (e deu tudo certo).E se a suposição fosse que oconsequente é falso?

Solução - 2

p1:

p :

Supondo F o consequente

FF

→

Lauro é culpado

~P v ~S

LP

Pedro é culpado

V

Sônia é inocente

Supondo que seja V?

Supondo que seja F

p2:

p3: ~P v ~S

?

R S→

V

Roberto é inocente

Solução - 2

Lauro é culpado. Pedro é culpado.

Sônia é inocente. Roberto é inocente.


F F


F V F

V

c)

b) e

V

ou

VF


Solução - 2

Pedro é culpado. Lauro é culpado.

Sônia é inocente. Roberto é inocente.


F


VV

Roberto é culpado

Lauro é inocente

FV

e)

Sed)

Encontramos DUAS opções corretas?!?!!! E agora?

F

Solução – 2(VOLTANDO À SUPOSIÇÃO)

p1:

p :


FF

→

Lauro é culpado

~P v ~S

LP

Pedro é culpado

V

Sônia é inocente

Supondo que seja V?

Supondo que seja F

p2:

p3: ~P v ~S

?

R S→

V

Roberto é inocente

Solução - 2

p1:

p :


FF

→

Lauro é culpado

~P v ~S

LP

Pedro é culpado

V

Sônia é inocente

Supondo que seja F?

Supondo que seja F

p2:

p3: ~P v ~S

?

R S→

V

Roberto é culpado

Solução - 2


Sônia é inocente. Roberto é culpado.


F F


F F F

V

c)

b) e

V

ou

VV


Solução - 2


Sônia é inocente. Roberto é culpado.


V


VV

Roberto é culpado

Lauro é inocente

VF

e)

Sed)

Encontramos TRÊS opções corretas?!?!!! E agora?

F


p1:

p :


FF

→

Lauro é culpado

~P v ~S

LP

Pedro é culpado

V

Sônia é inocente

Supondo que seja V/F?

Supondo que seja F

p2:

p3: ~P v ~S

?

R S→

V


p1:

p :


FF

→

Lauro é culpado

~P v ~S

LP

Pedro é culpado

F

Sônia é culpada

F

Supondo que seja V

p2:

p3: ~P v ~S

?

R S→

V

Roberto é culpado

Solução - 2




V V


V F F

V

c)

b) e

V

ou

VV


Solução - 2




V


VV

Roberto é culpado

Lauro é inocente

VF

e)

Sed)

Encontramos QUATRO opções corretas?!?!!! E agora?

F


p1:

p :


FF

→

Lauro é culpado

~P v ~S

LP

Pedro é culpado

V Supondo que seja V/F?

Supondo que seja F/V

p2:

p3: ~P v ~S

?

R S→

V

Questão de ProvaFiscal Trabalho – ESAF/1998

Se Luís estuda História, então Pedro estudaMatemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorgeestuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helenaestuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:

a)Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina

b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina

c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estudaMedicina

d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática

e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estudaFilosofia

Solução

L: Luís estuda História.

P: Pedro estuda Matemática.P: Pedro estuda Matemática.

H: Helena estuda Filosofia.

J: Jorge estuda Medicina.

Solução

P1: Se Luís estuda História, então Pedro estudaMatemática.

P1: L → P.

P : Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estudaP2: Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estudaMedicina.

P2: H → J.

P3: Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia.

P3: L v H

Solução

Supondo V o antecedente

P3

P1: →

V

PL

Luís estuda História Pedro estuda Medicina

L v H

V

V ?Temos que fazer uma suposição para:Helena estuda Filosofia, semelhanteao que foi feito na questão anterior.

Às vezes, temos como contornar tal situação. Vejamos!

Solução

P1: →

?2

PL

?1VV

FF

Fazer uma suposição

Pedro não estuda Matemática

Luís não estuda História

P3: L v H

V V/F

VF

?

Helena estuda Filosofia

P2: H J→

V V Jorge estuda Medicina

Solução

Pedro não estuda Matemática. Luís não estuda História.

Helena estuda Filosofia. Jorge estuda Medicina

a) Pedro estuda Matemática

V

ou Jorge estuda Medicina

VF

b)

VV

Pedro estuda Matemática

V

F

Jorge estuda Medicina

F

Luís não estuda Históriac)

F

e

Se então Jorge não estuda Medicina

V F F

Solução

Pedro não estuda Matemática. Luís não estuda História.

Helena estuda Filosofia. Jorge estuda Medicina.

Helena estuda Filosofiad) e Pedro estuda Matemática

F

e) Pedro estuda Matemática

F

F

V

ou

F

Conseguimos fazer a questão com mais facilidade.Resposta correta letra a.

Helena não estuda Filosofia

F

Questão de ProvaAFC/96

Se Beto briga com Glória, então Glória vai aocinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa.Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora,Raul não briga com Carla. Logo,

a)Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

Solução

P1: Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema.

P2: Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa.

P3: Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla.

P4: Raul não briga com Carla

Solução

P4:

P3:

Raul não briga com Carla

Se

VRaul não briga com Carla

Carla fica em casa então Raul briga com Carla

P2:

FF

F F

Carla não fica em casa

Glória vai ao cinemaSe então Carla fica em casa

P1: Se Beto briga com Glória então

Glória não vai ao cinema

F F

Glória vai ao cinema

Beto não briga com Glória

Solução

Raul não briga com Carla. Carla não fica em casa.

Glória não vai ao cinema. Beto não briga com Glória.

a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Carla

VV V

b) e

F

c) e

F

Carla fica em casa

F



F

Carla não fica em casa

V F

Solução

Raul não briga com Carla. Carla não fica em casa.

Glória não vai ao cinema. Beto não briga com Glória.

d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória

e)

F

F

Opção correta letra a

eGlória não vai ao cinema Beto briga com Glória

F

FV

F

Questão de provaFiscal do Trabalho/ESAF/98

Se o jardim não é florido, então o gato mia. Seo jardim é florido, então o passarinho não canta.Ora, o passarinho canta. Logo:

a) o jardim é florido e o gato mia

b) o jardim é florido e o gato não mia

c) o jardim não é florido e o gato mia

d) o jardim não é florido e o gato não mia

e) se o passarinho canta, então o gato não mia

Solução

P1: Se o jardim não é florido, então o gato mia.

P2: Se o jardim é florido, então o passarinhoP2: Se o jardim é florido, então o passarinhonão canta.

P3: O passarinho canta.

Solução

P3: O passarinho canta

V O passarinho canta

P2:

P1:

o jardim é floridoSe o passarinho não canta

Se o jardim não é florido

então

F F O jardim não é florido

VV

então o gato mia

O gato mia

Solução

O passarinho canta.

O jardim não é florido. O gato mia.

a) o jardim é florido e gato mia

b) o jardim é florido e o gato não mia

F V F

F f f

c) o jardim não é florido o gato miae

V V V

Solução

O passarinho canta.

O jardim não é florido. O gato mia.

d) eo jardim não é florido o gato miad) e

V

o jardim não é florido o gato mia

F F

e) Se o passarinho canta então o gato não mia

V F F

Opção correta letra c

Questão de provaFiscal Trabalho/ESAF/98

Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão.Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro nãoé português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio éespanhol nem Isaura é italiana. Logo:

a) Pedro é português e Frederico é francês

b) Pedro é português e Alberto é alemão

c) Pedro não é português e Alberto é alemão

d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês

e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês

Solução

P1: Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão.

P2: Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol.

P3: Se Pedro não é português, então Frederico é francês.

P4: nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.

P’4: Egídio não é espanhol e Isaura não é italiana.

Solução

P’ 4: Egídio não é espanhol e Isaura não é italiana

P :

V

Alberto é alemãoOu ou Egídio é espanhol

Egídio não é espanhol

V Isaura não é italiana

P2: Alberto é alemãoOu ou Egídio é espanhol

P1: Se Frederico é francês então Alberto não é alemão

V

F Frederico não é francêsF

F

F Alberto é alemão

P3: Se Pedro não é português então Frederico é francês

F Pedro é português

Solução

Egídio não é espanhol. Isaura não é italiana.

Alberto é alemão. Pedro é português.

Frederico não é francês.

a) Pedro é português e Frederico é francêsa) Pedro é português e Frederico é francês

V F F

b) Pedro é português e Alberto é alemão

V V V

c) Pedro não é português e Alberto é alemão

F V F

Solução

Egídio não é espanhol. Isaura não é italiana.

Alberto é alemão. Pedro é português.

Frederico não é francês.

d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês

F F F

e) Alberto é alemãoSe então Frederico é francês

V F F

Opção correta letra b.

Questão de provaAFTN/ESAF/98

Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, agovernanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamentecometido por um ou por mais de um deles, já que podem teragido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se ocozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou omordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não osdois; C) o mordomo não é inocente. Logo:dois; C) o mordomo não é inocente. Logo:

a) a governanta e o mordomo são os culpados

b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados

c) somente a governanta é culpada

d) somente o cozinheiro é inocente

e) somente o mordomo é culpado

Solução

P1: se o cozinheiro é inocente, então agovernanta é culpada;

P : ou o mordomo é culpado ou aP2: ou o mordomo é culpado ou agovernanta é culpada, mas não os dois;

P3: o mordomo não é inocente.

Solução

P3: o mordomo não é inocente

O mordomo é culpado

P : Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada

V

P2: Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada

V F A governanta é inocente

P1: o cozinheiro é inocenteSe então a governanta é culpada

FF

O cozinheiro é culpado

Solução

Mordomo é culpado. Cozinheiro é culpado.Governanta é inocente.a) a governanta e o mordomo são os culpados

b) o cozinheiro e o mordomo são os culpadosb) o cozinheiro e o mordomo são os culpados

c) somente a governanta é culpada

d) somente o cozinheiro é inocente

e) somente o mordomo é culpado

Resposta correta letra b

Questão de provaFiscal do trabalho/ESAF/98

Maria tem três carros: um Gol, um Corsa eum Fiesta. Um dos carros é branco, o outro épreto, e o outro é azul. Sabe-se que:1) ou o Gol ébranco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ouo Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa éazul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são,respectivamente,

a)branco, preto, azul b) preto, azul, branco

c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul

e) branco, azul, preto

Solução

Temos 4 proposições verdadeiras com o conectivo “ou...ou”.1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.

2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.

3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.

4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.

Solução1) gol branco ouou

2)

V1 F2

gol preto corsa azul

F3

gol branco

fiesta branco

ouou

V4 corsa azul

4)

3)

ou

ou

ou

ou fiesta azul corsa azul

F6 V5

corsa preto fiesta preto

F7 V8 fiesta preto

Solução

Gol branco, corsa azul e fiesta preto.

a) branco, preto, azul

b) preto, azul, branco

c) azul, branco, pretoc) azul, branco, preto

d) preto, branco, azul

e) branco, azul, preto

Resposta correta letra e.

Observação

Dei sorte na primeira escolha, gol branco V1.

Nem sempre é assim.Nem sempre é assim.

E se a primeira escolha fosse fiesta brancoV1?

Solução1) gol branco ouou

2)

F2 V1


F6

fiesta branco

fiesta branco

ouou

V5

4)

3)

ou

ou

ou

ou

corsa azul

fiesta azul corsa azul

F3 V4


V8 F7 corsa preto

Conflito, corsa azul e corsa preto.

Outra solução1) gol branco ouou

2)

V8 F7


F1

gol branco

fiesta branco

ouou

V2 corsa azul

4)

3)

ou

ou

ou

ou fiesta azul corsa azul

F4 V3


F5 V6 fiesta preto

Quantificadores

Quantificadores ou proposições categóricas.

São as proposições do tipo:

“todo A é B”“todo A é B”

“algum A é B”

“nenhum A é B”

“algum A não é B”

Quantificadores

Todo A é B

A

B

O conjunto A está contido no conjunto B.

BA ⊂

QuantificadoresTodo A é B

Todo paulista é brasileiro

paulistas

brasileiros

paulistas

Se é paulista, então é brasileiro.

Quantificadores

Algum A é B

A B••

O conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

A ∩ B ≠ Ø

QuantificadoresAlgum A é B

Algum filósofo é matemático

filósofos matemáticos•

Quantificadores

Nenhum A é B.

A B

Os conjuntos A e B não possuem elementos comuns.Eles são chamados de conjuntos disjuntos.

A ∩ B = Ø

QuantificadoresNenhum A é B

Nenhum carioca é paulista.

cariocas paulistascariocas paulistas

Quantificadores

Algum A não é B.

A B

•

O conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B.

QuantificadoresAlgum A não é B

Algum brasileiro não é rico.

ricosbrasileiros

ricos

•

Quantificadores

“todo A é B”

“algum A é B”“algum A é B”

“nenhum A é B”

“algum A não é B”

Argumento

Argumentar é apresentar umaproposição como sendo umaproposição como sendo umaconseqüência de uma ou maisproposições.

Argumento

Chamamos de argumento arelação que associa umaseqüência (finita) de proposiçõesseqüência (finita) de proposiçõesP1, P2, P3, ...,Pn , chamadas depremissas, a outra proposição C,chamada conclusão.

Validade de um argumento

Um argumento é válido(verdadeiro, legítimo, correto, bem(verdadeiro, legítimo, correto, bemconstruído) se a conclusão éconseqüência de suas premissas.

Argumento - Exemplo

Todo mineiro é brasileiro.

João é mineiro.

Logo, João é brasileiro.

(Premissa um)

(Premissa dois)

(Conclusão)

mineiro

brasileiros

João é brasileiro.

Argumento válido.João

Validade de um argumento

Um argumento é inválido(falso, ilegítimo, incorreto, mal(falso, ilegítimo, incorreto, malconstruído, falacioso) se aconclusão não é conseqüência desuas premissas.

Argumento - Exemplo

Todo mineiro é brasileiro.

João não é mineiro.

Logo, João não é brasileiro.

mineiro

brasileiros

João (1)

João (2)

Não podemos afirmar que João é brasileiro.

Não podemos afirmar que João não é brasileiro.

Argumento inválido.

Questão de prova

(Fiscal Trabalho – ESAF/1998) Sabe-se queexiste pelo menos um A que é B. Sabe-se,também, que todo B é C. Segue-se, portanto,necessariamente que

a) todo C é Bb) todo C é Ac) algum A é Cd) nada que não seja C é Ae) algum A não é C

Solução

A BPelo menos um A é B

Todo B é C A B

C

Solução

A B

C

a) todo C é Ba) todo C é B

b) todo C é A

c) algum A é CBA

C

Solução

d) nada que não seja C é AA B

C

= quem não é C é A

A B

C

e) Algum A não é C

Opção correta: letra c

QuantificadoresExemplo

Alguns mineiros são ricos.

Alguns ricos são desonestos.Alguns ricos são desonestos.

Logo, alguns mineiros são desonestos.

Argumento inválido

Questão de Prova(BACEN/98)

Todos os jornalistas defendem a liberdade deexpressão. Cristina não é jornalista. Logo,a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade deexpressão.b) não existe jornalista que não defenda a liberdadede expressão.de expressão.c) existe jornalista que não defende a liberdade deexpressão.d) Cristina não defende a liberdade de expressão.e) Cristina defende a liberdade de expressão.Solução: letra b

Questão de Prova(BACEN/98)

Quem não fuma economiza dinheiro. Nenhumvegetariano fuma. Logo,a) quem fuma não economiza dinheiro.b) quem economiza dinheiro é vegetariano.b) quem economiza dinheiro é vegetariano.c) todo vegetariano economiza dinheiro.d) nenhum vegetariano economiza dinheiro.e) algum vegetariano não economiza dinheiro.

Solução: letra c.

Questão de Prova(TTN/98)

Se é verdade que “Alguns A são R” e que“Nenhum G é R”, então é necessariamenteverdadeiro quea)algum A não é G.b) algum A é Gb) algum A é Gc) nenhum A é Gd) algum G é Ae) nenhum G é A

Solução: letra a.

Questão de Prova(Fiscal do Trabalho/98/ESAF)

Ou A = B, ou B = C, mas não ambos. Se B = D,então A = D. Ora, B = D. Logo:a)B ≠ Cb) B ≠ Ac) C = Ac) C = Ad) C = De) D ≠ ASolução: letra a.

Questão de Prova(Fiscal Trabalho – ESAF/1998)

Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P sãoconjuntos não vazios):Premissa 1: “X está contido em Y e em Z, ou X estácontido em P”Premissa 2: “X não está contido em P”Premissa 2: “X não está contido em P”Pode-se, então, concluir que, necessariamentea) Y está contido em Zb) X está contido em Zc) Y está contido em Z ou em Pd) X não está contido nem em P nem em Ye) X não está contido nem em Y e nem em ZSolução: letra b.

Questão de Prova(TRT 8ªR/FCC/2010/Téc. Judiciário)

Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves,todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves sãoAleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre oshabitantes desse planeta, é correto afirmar quea) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves.a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves.b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves.c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves.d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves.e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Alevespodem não ser Cleves.Solução: letra d.

Questão de Prova(TRF 3ª Região/Téc. Jud./2007/FCC)

Se "Alguns poetas são nefelibatas" e "Todos osnefelibatas são melancólicos", então,necessariamente:a)Todo melancólico é nefelibata.b) Todo nefelibata é poeta.c) Algum poeta é melancólico.d) Nenhum melancólico é poeta.e) Nenhum poeta não é melancólico.Solução: letra c

Questão de Prova(TRE/MS/Tec Jud/2007/FCC)

Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:“Alguma mulher é vaidosa.”

“Toda mulher é inteligente.”

Assim sendo, qual das afirmações seguintes é certamenteverdadeira?verdadeira?a) Alguma mulher inteligente é vaidosa.b) Alguma mulher vaidosa não é inteligente.c) Alguma mulher não vaidosa não é inteligente.d) Toda mulher inteligente é vaidosa.e) Toda mulher vaidosa não é inteligente.Solução: letra a

Questão de ProvaBB/Escriturário/2007/003/CESPE

Considere que a proposição “Sílviaama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu”seja verdadeira. Então pode-seseja verdadeira. Então pode-segarantir que a proposição “Sílviaama Tadeu” é verdadeira.

Solução: E


Considere as seguintes proposições:P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”

Nessa situação, é válido o argumento em que asNessa situação, é válido o argumento em que aspremissas são “Mara não trabalha ou Mara ganhadinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é“Mara não ganha dinheiro”.Solução: E


É correto o raciocínio lógico dado pela seqüênciade proposições seguintes:

Se Antônio for bonito ou Maria for alta, entãoJosé será aprovado no concurso.José será aprovado no concurso.

Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.

Solução: C


É correto o raciocínio lógico dado pelasequência de proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, entãoela conseguirá um emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Célia tem um bom currículo.

Solução: E


Suponha um argumento no qual as premissas sejam asproposições I e II abaixo.I Se uma mulher está desempregada, então, ela éinfeliz.II Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco.II Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco.Nesse caso, se a conclusão for a proposição “Mulheresdesempregadas vivem pouco”, tem-se um argumentocorreto.

Solução: C

Questão de ProvaEspecialista em políticas públicas/Ba/2004/FCC

Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposiçãoverdadeira, é correto inferir que:a)“nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamenteverdadeirab) “algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamenteverdadeirac)“algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ouc)“algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira oufalsad)“algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsae)“algum livro não é instrutivo” é uma proposiçãonecessariamente verdadeira

Solução: letra b

Questão de ProvaTRT/PR/2004/FCC

Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existemcorruptos. Admitindo-se verdadeira a frase “Todos oscorruptos são desonestos”, é correto concluir que:

a) quem não é corrupto é honesto;

b) existem corruptos honestos;b) existem corruptos honestos;

c) alguns honestos podem ser corruptos;

d) existem mais corruptos do que desonestos;

e) existem desonestos que são corruptos.

Solução: letra e

Questão de ProvaTCU/1999/ESAF

Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que“Nenhum músico é poeta”, então, também énecessariamente verdade que:

a) nenhum músico é escritor

b) algum escritor é músicob) algum escritor é músico

c) algum músico é escritor

d) algum escritor não é músico

e) Nenhum escritor é músico

Solução; letra d

Questão de ProvaTRT/PE/Técnico/2006/FCC

As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feitaentre os funcionários de certa empresa.

Todo indivíduo que fuma tem bronquite.

Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho.

Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:

a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho

b) todo funcionário que tem bronquite é fumante

c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho

d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite enão falte ao trabalho

e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e nãotenha bronquite.


Todo indivíduo que fuma tem bronquite.

Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar aotrabalho.

Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:

a) existem funcionários fumantes que não faltam aotrabalho

b) todo funcionário que tem bronquite é fumante


c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho

d) é possível que exista algum funcionário que tenhabronquite e não falte ao trabalhobronquite e não falte ao trabalho

e) é possível que exista algum funcionário que sejafumante e não tenha bronquite.

Solução: letra c.

Questão de ProvaFiscal Trabalho/98/ESAF

Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados comTeresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem).Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os trêsfizeram as seguintes declarações:

Nestor: “Marcos é casado com Teresa”

Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina”Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina”

Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa éSandra”

Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido deTeresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís,Marcos e Nestor são, respectivamente:

Questão de ProvaFiscal Trabalho/98/ESAF

a) Sandra, Teresa, Regina

b) Sandra, Regina, Teresa

c) Regina, Sandra, Teresac) Regina, Sandra, Teresa

d) Teresa, Regina, Sandra

e) Teresa, Sandra, Regina

Solução: letra d

Questão de ProvaSenado Federal/2002/CESPE

A noção de conjunto fornece umainterpretação concreta para algumasideias de natureza lógica que sãoideias de natureza lógica que sãofundamentais para a Matemática e odesenvolvimento do raciocínio.


Por exemplo, a implicação lógicadenotada por p → q pode ser interpretadacomo uma inclusão entre conjuntos, ou seja,como , em que P é o conjunto cujosQP ⊂como , em que P é o conjunto cujosobjetos cumprem a condição p, e Q é oconjunto cujos objetos cumprem a condiçãoq.

QP ⊂


Com o auxílio do texto acima,julgue se a proposição apresentada emcada item a seguir é equivalente àsentença abaixo.sentença abaixo.Se um indivíduo está inscrito no concurso

do Senado Federal, então ele pode ter

acesso às provas desse concurso.


Se um indivíduo está inscrito no concurso



1. Se um indivíduo não pode ter acesso àsprovas do concurso do Senado Federal,então ele não está inscrito nesse concurso.

Item certo.





2. O conjunto de indivíduos que não podemter acesso às provas do concurso doSenado Federal e que estão inscritos nesseconcurso é vazio.

Item certo.





3. Se um indivíduo pode ter acesso àsprovas do concurso do Senado Federal,então ele está inscrito nesse concurso.

Item errado.





4. O conjunto de indivíduos que podem teracesso às provas do concurso do SenadoFederal é igual ao conjunto de indivíduosque estão inscritos nesse concurso.

Item errado.





5. O conjunto de indivíduos que estãoinscritos no concurso do Senado Federal ouque podem ter acesso às provas desseconcurso está contido neste último conjunto.

Item certo.

Questão de ProvaSEPLAG/Auditor Contábil/2011/CESGRANRIO

Em Belém do Pará, durante o período chamadoVerão Amazônico, é comum ouvirmos falar da “hora dachuva”, em torno das 16 horas, por meio da seguinteproposição:

Se são 16 horas, então está chovendo.

A contrapositiva da proposição acima é

A)Se não são 16 horas, então pode chover.B) Se ainda não são 16 horas, então não pode chover.C) Se não está chovendo, então não são 16 horas.D) Para ser 16 horas, é suficiente estar chovendo.E) Para chover, é necessário ser 16 horas.


Em Belém do Pará, durante o períodochamado Verão Amazônico, é comumouvirmos falar da “hora da chuva”, em tornodas 16 horas, por meio da seguintedas 16 horas, por meio da seguinteproposição:

Se são 16 horas, então está chovendo.

A contrapositiva da proposição acima é


Se são 16 horas, então está chovendoSe são 16 horas, então está chovendo.

A) Se não são 16 horas, então pode chover.

B) Se ainda não são 16 horas, então não pode chover.

C) Se não está chovendo, então não são 16 horas.

D) Para ser 16 horas, é suficiente estar chovendo.

E) Para chover, é necessário ser 16 horas.

LETRA C

Questão de ProvaIBGE/Ag. censitário municipal/2009/CESGRANRIO

Admita como verdadeiras as seguintes declarações:

• todo matemático sabe física;• há médicos que não sabem física.

Com base nestas declarações, é correto concluir que há

A) médicos que não são matemáticos.B) médicos que são matemáticos.C) médicos que sabem física.D) físicos que são matemáticos.E) físicos que são médicos.


Admita como verdadeiras as seguintesdeclarações:

• todo matemático sabe física;• todo matemático sabe física;

• há médicos que não sabem física.

Com base nestas declarações, é corretoconcluir que há


A) médicos que não são matemáticos.

B) médicos que são matemáticos.

C) médicos que sabem física.

D) físicos que são matemáticos.

E) físicos que são médicos.

Letra A

Questão de ProvaIBGE/Ag.censitário municipal/2009/CESGRANRIO

Aldo, Beto e Caio são amigos. Um deles é médico,o outro, jornalista e o terceiro, advogado. Sabe-se que:

• Beto não é o jornalista;• Caio não é o médico;• Aldo não é o advogado e nem o médico.

Com base nas informações, conclui-seCom base nas informações, conclui-secorretamente queA) Caio é o advogado.B) Caio é o jornalista.C) Beto é o advogado.D) Beto não é o médico.E) Aldo é o médico.


Aldo, Beto e Caio são amigos. Um deles é médico,o outro, jornalista e o terceiro, advogado. Sabe-se que:

• Beto não é o jornalista;• Beto não é o jornalista;

• Caio não é o médico;

• Aldo não é o advogado e nem o médico.

Com base nas informações, conclui-secorretamente que


A) Caio é o advogado.

B) Caio é o jornalista.

C) Beto é o advogado.C) Beto é o advogado.

D) Beto não é o médico.

E) Aldo é o médico.Letra A

Questão de ProvaPROMINP/Gerenciamento/2009/CESGRANRIO

Considere verdadeira a premissa:“se estou de férias, então viajo”.

Analise as conclusões a seguir.I - Se viajo; então posso ou não estar de férias.II - Se não viajo, então não estou de férias.III - Se não estou de férias, então não viajo.III - Se não estou de férias, então não viajo.Com base na premissa, é correto concluirA) I, apenas.B) II, apenas.C) I e II, apenas.D) I e III,apenas.E) I, II e III.


Considere verdadeira a premissa:“se estou de férias, então viajo”.

Analise as conclusões a seguir.I - Se viajo; então posso ou não estar deI - Se viajo; então posso ou não estar deférias.

II - Se não viajo, então não estou de férias.III - Se não estou de férias, então não viajo.Com base na premissa, é correto concluir


A) I, apenas.B) II, apenas.C) I e II, apenas.C) I e II, apenas.D) I e III,apenas.E) I, II e III.

LETRA B


Qual é a negação de

“Todos os filhos de Maria gostam de quiabo edesgostam de bife”?

A) Nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo e desgostade bife.de bife.

B) Nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo ougosta de bife.

C) Algum filho de Maria desgosta de quiabo e gosta debife.

D) Algum filho de Maria desgosta de quiabo ou gosta debife.

E) Algum dos filhos de Maria gosta de bife.


Qual é a negação de

“Todos os filhos de Maria gostam“Todos os filhos de Maria gostamde quiabo e desgostam de bife”?


A) Nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo edesgosta de bife.

B) Nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo ougosta de bife.

C) Algum filho de Maria desgosta de quiabo e gostaC) Algum filho de Maria desgosta de quiabo e gostade bife.

D) Algum filho de Maria desgosta de quiabo ou gostade bife.

E) Algum dos filhos de Maria gosta de bife.

Letra D


Se todo A é B e algum C é A, então

A) algum C é B.

B) algum C não é B.

C) algum B não é C.

D) todo C é B.

E) todo B é C.


A)

Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente,as suas negações. Os conectivos ee ou são representados, respectivamente, por ^ e v . A implicação é representada por → .

(p → q) → (~p → q)

Assinale a opção que corresponde a uma tautologia.

A)

B)

C)

D)

E)

~p v q

(p → q) → (~p → q)

(p → q) ^ (~p → q)

(p → q) v (~p → q)

~p ^ q Letra B


Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente,as suas negações. Os conectivos ee ou são representados, respectivamente, por ^ e v . A implicação é representada por → .

A negação de (p → q) ^ (q → p) é.

(p ^ q) v (~p ^ ~q)A)

B)

C)

D)

Letra EE)

(p v q) ^ (~p v ~q)

(p ^ ~q) ^ (~p ^ q)

(p v ~q) ^ (~p v q)

(p ^ ~q) v (~p ^ q)


Analise as afirmativas a seguir.I - Para x < 5 é suficiente x < 8.II - Para x < 5 é necessário x < 8.III - Para x = 5 é necessário e suficiente x2 = 25.

É(são) correta(s) a(s) afirmativa(s)(A) II, apenas.(A) II, apenas.(B) III, apenas.(C) I e III, apenas.(D) II e III, apenas.(E) I, II e III.

Letra A


O silogismo é uma forma de raciocíniodedutivo. Na sua forma padronizada, éconstituído por três proposições: as duasprimeiras denominam-se premissas e aterceira, conclusão. As premissas são juízosterceira, conclusão. As premissas são juízosque precedem a conclusão. Em umsilogismo, a conclusão é conseqüêncianecessária das premissas. São dados trêsconjuntos formados por duas premissasverdadeiras e uma conclusão nãonecessariamente verdadeira.


(I) Premissa 1: x é múltiplo de 2.Premissa 2: y é múltiplo de 3.Conclusão: x.y é múltiplo de 6.

(II) Premissa 1: p é múltiplo de 4.Premissa 2: q é divisor de 6.Premissa 2: q é divisor de 6.Conclusão: q é divisor de p.

(III) Premissa 1: a é número ímpar.Premissa 2: b é divisor de 9.Conclusão: a + b é par.


São silogismos:

(A) I, somente.

(B) II, somente.

(C) III, somente.(C) III, somente.

(D) I e III, somente.

(E) I, II e III.


(I) Premissa 1: x é múltiplo de 2.

Premissa 2: y é múltiplo de 3.

Conclusão: x.y é múltiplo de 6.


(II) Premissa 1: p é múltiplo de 4.

Premissa 2: q é divisor de 6.Premissa 2: q é divisor de 6.

Conclusão: q é divisor de p.


(III) Premissa 1: a é número ímpar.

Premissa 2: b é divisor de 9.Premissa 2: b é divisor de 9.

Conclusão: a + b é par.


São silogismos:(A) I, somente.(B) II, somente.(C) III, somente.(D) I e III, somente.(E) I, II e III.

LETRA D

Questão de ProvaPROMINP/Área Gerenciamento/2009/CESGRANRIO

Sejam p, q e r proposições e ~p, ~q e ~r, respectivamente, as suasnegações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente,por ^ e v. A Implicação é representada por →.A proposição composta(p v ~r) → q é equivalente a

A)

B)

E)

C)

D)

q → ( p v ~r )

q → (~p ^ r )

~q → ( p ^ ~r )

~q → ( ~p ^ r )

~q → (~p v r)Letra D

Questão de ProvaPROMINP/Área Gerenciamento/2009/CESGRANRIO

A negação de “Todos os filhos de Maria gostam dequiabo” é

(A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo.

(B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo.(B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo.

(C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo.

(D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta dequiabo.

(E) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo.

Letra D

Questão de ProvaPROMINP/Nível médio/2009/CESGRANRIO

Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente,As suas negações. Os conectivos e e ou são representados,respectivamente, por ^ e v . Assinale a opção queCorresponde a uma tautologia.

A)

B)

C)

D)

E)

~p ^ p

~p v p

~p ^ q

~p v q

~p v ~q Letra B

Questão de ProvaBanco do Brasil/2010/CESGRANRIO

Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agênciaP do Banco do Brasil tem menos de 20 anos”?

A)Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20anos.

B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20anos.anos.

C) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20anos.

D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de20 anos.

E) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menosde 20 anos.

Letra D

Questão de ProvaAneel/Téc.Adm./2006/ESAF

Três rapazes - Alaor, Marcelo e Celso - chegam a umestacionamento dirigindo carros de cores diferentes. Um dirigindo umcarro amarelo, o outro um carro bege e o terceiro um carro verde.Chegando ao estacionamento, o manobrista perguntou quem era cadaum deles. O que dirigia o carro amarelo respondeu: “Alaor é o queestava dirigindo o carro bege”. O que estava dirigindo o carro begefalou: “eu sou Marcelo”. E o que estava dirigindo o carro verde disse:“Celso é quem estava dirigindo o carro bege”. Como o manobrista“Celso é quem estava dirigindo o carro bege”. Como o manobristasabia que Alaor sempre diz a verdade, que Marcelo às vezes diz averdade e que Celso nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificarquem era cada pessoa. As cores dos carros que Alaor e Celso dirigiameram, respectivamente, iguais a:a) amarelo e bege b) verde e amareloc) verde e bege d) bege e amareloe) amarelo e verde


Alaor, Marcelo e Celso, carro amarelo, bege e verde.

Carro amarelo:“Alaor é o que estava dirigindo o carrobege”.

Carro bege: “eu sou Marcelo”.

Carro verde: “Celso é quem estava dirigindo o carroCarro verde: “Celso é quem estava dirigindo o carrobege”.

Alaor sempre diz a verdade.

Marcelo às vezes diz a verdade.

Celso nunca diz a verdade.


a) amarelo e bege

b) verde e amarelo

c) verde e begec) verde e bege

d) bege e amarelo

e) amarelo e verdeLETRA C

Questão de ProvaAneel/Espec.reg./2006/ESAF

Dizer que não é verdade que A=B eC=D , é logicamente equivalente a dizer queé verdade que:a) A não é B e C não é D.a) A não é B e C não é D.b) A não é B ou C não é D.c) A é B ou C não é D.d) se A não é B, então C é D.e) se A não é B, então C não é D.LETRA B


Das seguintes premissa: A: “Bia é altae patriota, ou Bia é educada”. B: “Bianão é educada”, conclui-se que Bia é:a) não alta e não patriota.a) não alta e não patriota.b) alta ou patriota.c) não alta ou não educada.d) alta e não patriota.e) alta e patriota.LETRA E


Três meninos, Alberto, Bernardo e Paulo, suspeitosde haver roubado o caderno de Maria, foram levados àdireção da escola. Sabe-se que um e apenas um dossuspeitos é culpado, e que o culpado às vezes falaverdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dosoutros dois suspeitos (que não são culpados), um semprediz a verdade e o outro sempre mente. A diretora da escoladiz a verdade e o outro sempre mente. A diretora da escolaperguntou a cada um dos suspeitos qual entre eles era oculpado. Alberto respondeu: “eu sou o culpado”. Bernardorespondeu: O culpado é Alberto. Por fim Paulo falou: “eusou o culpado”. Acostumada a tratar com questõesdelicadas, a diretora da escola, corretamente, concluiu queo culpado é


a)Paulo, e Alberto sempre mente.

b) Bernardo, e Paulo sempre mente.

c) Alberto, e Paulo sempre mente.c) Alberto, e Paulo sempre mente.

d) Paulo, e Alberto sempre diz a verdade.

e) Alberto, e Alberto sempre diz a verdade.


Apenas um dos suspeitos é culpado, e que oculpado às vezes fala verdade e às vezes mente.

Sabe-se, também, que dos outros dois suspeitos(que não são culpados), um sempre diz a verdadee o outro sempre mente.e o outro sempre mente.

Alberto respondeu: “eu sou o culpado”.Bernardo respondeu: O culpado é Alberto.Por fim Paulo falou: “eu sou o culpado”.


O culpado é

•Paulo, e Alberto sempre mente.

b) Bernardo, e Paulo sempre mente.

c) Alberto, e Paulo sempre mente.c) Alberto, e Paulo sempre mente.

d) Paulo, e Alberto sempre diz a verdade.

e) Alberto, e Alberto sempre diz a verdade.

Letra C

Princípio fundamental da contagem - PFC

Também chamado de princípiomultiplicativo.

Se há x maneiras de tomar umaSe há x maneiras de tomar umadecisão D1 e y maneiras de tomar umadecisão D2, então o número demaneiras de tomar sucessivamente asdecisões D1 e D2 é igual a x�y.

Exemplo

Ana tem 3 calças e 4 blusas,todas de cores diferentes. Quantastodas de cores diferentes. Quantasvezes Ana poderá sair de casa,vestida, sem repetir o conjunto?

Exemplo

Em uma sala há 4 portas, dequantas maneiras uma pessoapode entrar e sair dessa sala?

Exemplo

Em uma sala há 4 portas, dequantas maneiras uma pessoaquantas maneiras uma pessoapode entrar e sair dessa salausando portas diferentes?

Exemplo

Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8 e 9,quantos números de trêsquantos números de trêsalgarismos distintos podemosformar?

Exemplo

Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8 e 9,quantos números de trêsquantos números de trêsalgarismos podemos formar?

Exemplo

No sistema de numeraçãodecimal, quantos números dedecimal, quantos números dequatro algarismos distintospodemos formar?

Exemplo

No sistema de numeraçãodecimal, quantos números dedecimal, quantos números dequatro algarismos podemosformar?

Fatorial

Dado um número natural n,chamamos fatorial de n ou n fatorial aonúmero n!, tal que:número n!, tal que:

n!=n�(n-1)�(n-2)�s�2�1.

0! =1.

1! =1.

Arranjos

São agrupamentos em que aSão agrupamentos em que aordem dos elementos é importante.

Arranjo simples

Não é permitida a repetição deNão é permitida a repetição deelementos

Arranjo simples

O arranjo simples de n elementostomados, agrupados, p a p é dado

por: A =n!______por: An,p =

(n - p)!

______

n: é a quantidade de elementos colocados àdisposição

p: é a quantidade de elementos colocadosem cada agrupamento

ExemploArranjo simples

Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8 e 9,quantos números de trêsquantos números de trêsalgarismos distintos podemosformar?

ExemploArranjo simples

No sistema de numeraçãodecimal, quantos números dedecimal, quantos números dequatro algarismos distintospodemos formar?

Arranjo com repetição

É permitida a repetição deÉ permitida a repetição deelemento.

Arranjo com repetição

O arranjo com repetição de nelementos tomados, agrupados, p a p

é dado por: AR n,p= npé dado por: AR n,p= n

ExemploArranjo com repetição

Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8 e 9,quantos números de trêsquantos números de trêsalgarismos podemos formar?

ExemploArranjo com repetição

No sistema de numeraçãodecimal, quantos números dequatro algarismos podemosformar?

Permutação

Permutação: é um caso especialde arranjo.A ordem dos elementos éimportante e cada agrupamento éformado por todos os elementoscolocados à disposição

Permutação simples

Permutação: usaremos apermutação se a questão apresentar aideia de embaralhar, trocar a posiçãoideia de embaralhar, trocar a posiçãodos objetos.

A permutação simples de nelementos é dada por: Pn= n!

ExemploPermutação simples

Quantos são os anagramas daQuantos são os anagramas dapalavra AMOR?


Quantos são os anagramas daQuantos são os anagramas dapalavra PINCEL?


Quantos números de 4algarismos distintos podemosalgarismos distintos podemosformar com os dígitos 6, 7, 8 e 9?


Dada a palavra LÓGICA, determine:

a) Quantos são os anagramas?

b) Quantos anagramas começam com a letra L?

c) Quantos anagramas começam por vogal?c) Quantos anagramas começam por vogal?

d) Quantos anagramas apresentam as letras ICAjuntas e nessa ordem?

e)Quantos anagramas apresentam as letras ICAjuntas?

Permutação com repetição

É permitida a repetição deelementos.

A permutação com repetição éA permutação com repetição édada por:

Pna,b,c...=

a! b! c!...

n!__________

ExemploPermutação com repetição

Quantos anagramas tem aQuantos anagramas tem apalavra ARARA?


Quantos anagramas tem aQuantos anagramas tem apalavra MISSISSIPI?


Quantos anagramas tem apalavra MISSISSIPI que começamcom a letra M?


Quantos anagramas tem apalavra MISSISSIPI que começamcom a letra S?


Quantas soluções naturaisQuantas soluções naturaispossui a equação x + y + z = 7?

Permutações circulares

Permutação circular de n objetosdistintos é a arrumação (arranjo)desses n objetos em torno de umdesses n objetos em torno de umcírculo (ou segundo a ideia de umcírculo) de modo que estejamdispostos em n lugares igualmenteespaçados.

ExemploPermutação circular

De quantos modos distintostrês crianças podem se organizartrês crianças podem se organizarem uma roda de ciranda?


De quantos modos distintosquatro crianças podem sequatro crianças podem seorganizar em uma roda deciranda?


De quantos modos distintoscinco crianças podem se organizarcinco crianças podem se organizarem uma roda de ciranda?

Permutação circular

3 crianças: 2 = 2 x 1.

4 crianças: 6 = 3 x 2 x 1.4 crianças: 6 = 3 x 2 x 1.

5 crianças: 24 = 4 x 3 x 2 x 1.

6 crianças:120 = 5 x 4 x3 x 2 x 1.

n crianças: ?

Permutações circulares

A permutação circular de nobjetos é dada por :objetos é dada por :

PCn= (n-1)!


De quantas maneiras 6pessoas podem assentar em tornopessoas podem assentar em tornode uma mesa?

Questão de provaBHTRANS/Assistente Adm/Fumarc/2003

Considere um ANAGRAMA comosendo uma permutação simples das letrasde uma palavra dada.Usando a informação acima, é CORRETOafirmar que o número de anagramas daafirmar que o número de anagramas dapalavra BHTRANS que começam pela letraA é igual a:a) 600 b) 720c) 760 d) 800LETRA B

Questão de provaPROMINP/Gerenciamento/2009/CESGRANRIO

O número de anagramas dapalavra GERENTE nos quais asletras N e T estão juntas éA) 120 B) 240A) 120 B) 240C) 720 D) 840E) 1680LETRA B

Questão de provaTranspetro/Administrador Jr/2011/CESGRANRIO

Qual é o número de anagramas dapalavra TRANSPETRO em que asletras PETRO ficam juntas e nessaordem?ordem?A)6!/(2! 2!) B) 6!C) 6!.5! D) 10!/(2! 2!)E) 10!LETRA B

Questão de provaBB/Escriturário/2007/003/CESPE

Um correntista do BB deseja fazer umúnico investimento no mercado financeiro,que poderá ser em uma das 6 modalidadesde caderneta de poupança ou em um dos 3fundos de investimento que permitemfundos de investimento que permitemaplicações iniciais de pelo menos R$200,00. Nessa situação, o número deopções de investimento desse correntista éinferior a 12.Item correto

Combinações

São agrupamentos em que aordem dos elementos não éordem dos elementos não éimportante.

Combinação simples

Não é permitida a repetição deelementos.

A combinação simples de n elementostomados, agrupados p a p é dada por:

Cn,p=___________

p! (n-p)!

n!

Questão de provaPetrobras/Inspetor segurança/2010/CESGRANRIO

De um grupo de seis operadores deequipamentos de produção e refino depetróleo, quatro serão escolhidos paratrabalhar na mesma equipe. De quantosmodos distintos é possível escolher osmodos distintos é possível escolher osoperadores que integrarão esta equipe?A) 15 B) 30C) 60 D) 125 E) 360LETRA A

Questão de provaEPE/Assistente Adm.jr./2009/CESGRANRIO

Um grupo é formado por 7 pessoas,dentre as quais estão Lúcio e Pedro. Dequantas maneiras diferentes é possívelescolher 4 pessoas desse grupo de formaque Lúcio e Pedro não façam parte,que Lúcio e Pedro não façam parte,simultaneamente, dos quatro selecionados?A) 5 B) 10C) 15 D) 20 E) 25LETRA E

Questão de provaMPOG/Analista/2009/ESAF

Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínicaum programa de reabilitação para 10 pacientes. Paraobter melhores resultados neste programa, Beatrizprecisa distribuir esses 10 pacientes em três salasdiferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, nasala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras queBeatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentessalas, é igual a:a) 2.440 b) 5.600c) 4.200 d) 24.000 e) 42.000Letra C

Questão de provaPetrobras/Téc. Contabilidade/2010/CESGRANCIO

Em um setor de uma empresa,trabalham 3 geólogos e 4 engenheiros.Quantas comissões diferentes de 3pessoas podem ser formadas com,pessoas podem ser formadas com,pelo menos, 1 geólogo?A) 28 B) 31C) 36 D) 45 E) 60LETRA B

Questão de provaPROMINP/Nível médio/2009/CESGRANRIO

Certo restaurante oferece aos seus clientescinco tipos de massa, dois tipos de molho e oitoingredientes que podem ser acrescentados aomolho escolhido. Pedro já decidiu o tipo demassa que vai comer, mas ainda vai escolher omassa que vai comer, mas ainda vai escolher omolho e três ingredientes. De quantos modosdistintos Pedro poderá fazer a sua escolha?A) 56 B) 70 C) 112D) 180 E) 212LETRA C


Uma mesa circular tem seus 6lugares que serão ocupados pelos6 participantes de uma reunião.Nessa situação, o número deNessa situação, o número deformas diferentes para se ocuparesses lugares com os participantesda reunião é superior a 102.Item correto


Considere que o BB oferececartões de crédito Visa e Mastercard,sendo oferecidas 5 modalidadesdiferentes de cartão de cada umadessas empresas. Desse modo, se umdessas empresas. Desse modo, se umcidadão desejar adquirir um cartãoVisa e um Mastercard, ele terá menosde 20 possíveis escolhas distintas.Item errado.


Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessasituação, a quantidade desituação, a quantidade decomissões que é possível formar,constituídas por 3 vice-presidentese 3 diretores, é superior a 105.

Item correto

Questão de provaPetrobrás/Administrador/2010/CESGRANRIO

O gerente de um projeto quer dividir sua equipe,que é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatropessoas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, Joãoe Maria, por questões de perfil profissional, serãocolocadas em grupos diferentes. O número de maneirasdistintas que esse gerente tem para dividir sua equipedistintas que esse gerente tem para dividir sua equipesegundo a forma descrita éA) 930 B) 3.720C) 4.200 D) 8.640 E) 12.661

LETRA C


Considere que, para ter acesso à sua contacorrente via Internet, um correntista do BBdeve cadastrar uma senha de 8 dígitos, quedevem ser escolhidos entre os algarismosde 0 a 9. Se o correntista decidir que todosde 0 a 9. Se o correntista decidir que todosos algarismos de sua senha serão diferentes,então o número de escolhas distintas queele terá para essa senha é igual a 8!.Item incorreto.


O número de países representadosnos Jogos Pan-Americanosrealizados no Rio de Janeiro foi 42,sendo 8 países da Américasendo 8 países da AméricaCentral, 3 da América do Norte, 12da América do Sul e 19 do Caribe.Com base nessas informações,julgue os itens que se seguem.


Considerando-se que, emdeterminada modalidade esportiva,havia exatamente 1 atleta de cada paísda América do Sul participante dosda América do Sul participante dosJogos Pan-Americanos, então onúmero de possibilidades distintas dedois atletas desse continentecompetirem entre si é igual a 66.Item correto.


Se determinada modalidade esportivafoi disputada por apenas 3 atletas,sendo 1 de cada país da América doNorte participante dos Jogos Pan-Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número depossibilidades diferentes declassificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foiigual a 6.Item correto.


Há, no máximo, 419 maneirasdistintas de se constituir um comitêcom representantes de 7 paísesdiferentes participantes dos Jogosdiferentes participantes dos JogosPan-Americanos, sendo 3 daAmérica do Sul, 2 da AméricaCentral e 2 do Caribe.Item errado.


Considerando-se apenas os paísesda América do Norte e da AméricaCentral participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade decomitês de 5 países que poderiamAmericanos, a quantidade decomitês de 5 países que poderiamser constituídos contendo pelomenos 3 países da América Centralé inferior a 180.Item errado.

Probabilidade

Na promoção para o dia das mães o ShoppingFortuna promoverá o sorteio de um automóvel novinhoentre os seus clientes. Armando, cliente habitual doshopping depositou em uma das urnas espalhadas pelorecinto 50 cupons. Mara tomou conhecimento dapromoção através de anúncio veiculado na TV e comoresultado de suas compras depositou 20 cupons em outraresultado de suas compras depositou 20 cupons em outradas urnas existente no promotor. No dia marcado para osorteio, os dois concorrentes, Armando e Mara, ao verem amontanha de cupons existentes e ouvirem o apresentadordizer que ali haviam 40.000 cupons, questionaram-sesobre quais as chances que teriam de que os seus cuponsfossem sorteados.

Probabilidade

Armando: 50 cupons.

Mara: 20 cupons.Mara: 20 cupons.

Total de cupons: 40.000.

Chances de Armando: 50 em 40.000.

Chances de Mara: 20 em 40.000.

Probabilidade

Armando = ______50

40.000

Mara

40.000

_______ =

20

Experimento Aleatório

Todo experimento cujo resultadodepende exclusivamente do acaso échamado de experimento aleatório.

É o experimento que mesmorepetido diversas vezes sob asmesmas condições pode apresentarresultados diferentes.

São exemplos de experimentos aleatórios

Lançamento de um dado.Lançamento de uma moeda.Sorteio de um cupom em um total de40.000.40.000.Lançamento de duas moedas.Retirar uma carta de um baralhocomum de 52 cartas e observar seuvalor.

Probabilidade

A teoria das probabilidades permitecalcular as chances de ocorrer (ounão ocorrer) um determinadonão ocorrer) um determinadoresultado (evento) em umexperimentos aleatórios.

Probabilidade

Armando: 0,125% de probabilidadede ser sorteado.de ser sorteado.

A probabilidade de Armando nãoser sorteado é: 99,875%.

Probabilidade

Mara: 0,05% de probabilidade deser sorteada.ser sorteada.

A probabilidade de Mara não sersorteada é: 99,95%.

Probabilidade

Um candidato tem 87% deprobabilidade de ser aprovado.

A probabilidade de ele não seraprovado é: 100% - 87% = 13%.

Espaço Amostral

Espaço amostral é o conjuntode todos os resultados possíveisde todos os resultados possíveisde um experimento aleatório.

Espaço Amostral: exemplo

Lançamento de uma moeda:temos como espaço amostral oconjunto U = { C, K }, em que Cconjunto U = { C, K }, em que Crepresenta cara e K coroa.

Indicamos o número deelementos de U pelo símbolo n(U).Assim, n(U) = 2.


Lançamento de um dadocomum: temos como espaçoamostral o conjunto U = { 1, 2, 3, 4,amostral o conjunto U = { 1, 2, 3, 4,5, 6 }. Portanto n(U) = 6.


Lançamento de duas moedas:temos como espaço amostral oconjunto:U = { (C, K), (C, C), (K, C), (K, K) }.U = { (C, K), (C, C), (K, C), (K, K) }.

Assim, n(U) = 4.

Observe que o par (C, K), é diferentedo par (K, C).


Lançamento de dois dados, temos:

U = { (1, 1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 5),(1, 6), (2, 1), (2, 2) ..., (6, 1), (6, 2),(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.

Logo n(U) = 36.

Espaço Amostral: observação

Em algumas situações não épossível descrever, um a um, todosos possíveis resultados.os possíveis resultados.

Nesses casos, usaremos o queaprendemos no tópico de AnáliseCombinatória.

Observação: exemplo

De todos os possíveisanagramas da palavra MISSISSIPI,qual a probabilidade de se escolherqual a probabilidade de se escolherum ao acaso e ele ter comoprimeira letra a letra M?

Evento de um espaço amostral

É qualquer subconjunto doespaço amostral.

Evento: exemplos

Uma urna contém 30 bolasidênticas, numeradas de 1 a 30.Uma pessoa, com os olhosUma pessoa, com os olhosvendados, retira uma bola dessaurna.

Evento: exemplos

Vamos escrever o espaço amostral:Vamos escrever o espaço amostral:

U = {1, 2, 3, ..., 28, 29, 30}.

n(U) = 30.

Evento: exemplos

Vamos escrever alguns subconjuntosde U (eventos).

A: A bola sorteada ser par.A: A bola sorteada ser par.

A = { 2, 4, 6, 8, ..., 26, 28, 30}.

n(A) = 15.

Evento: exemplos

B: A bola sorteada ser ímpar.B = { 1, 3, 5, ..., 25, 27, 29}.n(B) = 15.

C: A bola sorteada ter um número múltiplode 5.C = { 5, 10, 15, 20, 25, 30}.n(C) = 6.

Evento: exemplos

D: A bola sorteada ter um número menor ouigual a 30.

D = { 1, 2, 3, ..., 28, 29, 30}.

n(D) = 30.n(D) = 30.

Observe que o evento coincide com oespaço amostral (U), ele é chamado deevento certo.

Evento: exemplos

E: A bola sorteada ter um númeromaior que 30.E = Ø.n(E) = 0.n(E) = 0.

Observe que o evento é o conjuntovazio (Ø), ele é chamado de eventoimpossível.

Eventos complementares

A probabilidade de você seraprovado é 77%.

Qual é a probabilidade de você nãoQual é a probabilidade de você nãoser aprovado?

A probabilidade de você nãoser aprovado é 23%.


Os eventos E1 = { ser aprovado } eE2 = { não ser aprovado} sãoeventos complementares.A soma das probabilidades decada um deles é igual a 100% (ouigual a 1).


A representação do eventocomplementar de um evento E écomplementar de um evento E éEc.

Exercício

Um dado é lançado e o número daface voltada para cima é anotado.

a) Qual é o espaço amostral?

b) Qual é o evento “o número obtido émúltiplo de 3”?

c) Qual é o evento “ o número obtido éprimo”?

Exercício - solução

Um dado é lançado e o número daface voltada para cima é anotado.

a) Qual é o espaço amostral?a) Qual é o espaço amostral?

Solução:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

n(U) = 6.


Um dado é lançado e o número daface voltada para cima é anotado.b) Qual é o evento “o número obtido émúltiplo de 3”?múltiplo de 3”?Solução:E = { 3, 6 }.n(E) = 2.


Um dado é lançado e o número daface voltada para cima é anotado.c) Qual é o evento “ o número obtido éprimo”?primo”?Solução:E = { 2, 3, 5 }n(E) = 3.

Exercício

Uma moeda é lançada duasvezes e a face voltada para cima(cara ou coroa) é anotada.(cara ou coroa) é anotada.

a) Qual o espaço amostral?

b) Qual o evento “pelo menos umacara”?


Uma moeda é lançada duasvezes e a face voltada para cima(cara ou coroa) é anotada.a) Qual o espaço amostral?a) Qual o espaço amostral?Solução:U = { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) }.n(U) = 4.


Uma moeda é lançada duas vezese a face voltada para cima (cara oucoroa) é anotada.b) Qual o evento “pelo menos umab) Qual o evento “pelo menos umacara”?Solução:E = { (c,c), (c,k), (k,c) }.n(E) = 3.

Espaço amostral equiprovável

É aquele em que todos oselementos possuem as mesmas chanceselementos possuem as mesmas chancesde serem sorteados.

Espaço amostral equiprovávelexemplo

Ao lançar uma moeda honesta (ounão viciada) a chance de sair caranão viciada) a chance de sair cara(50%) é a mesma de sair coroa(também 50%).

Espaço amostral equiprovávelexemplo

No lançamento de um dado nãoviciado a chance de sair qualquer umviciado a chance de sair qualquer umdos números de 1 a 6 é a mesma.

Espaço amostral equiprovável

Espaço amostral equiprovável:formado por elementos que têm asformado por elementos que têm asmesmas chances de ocorrerem.

Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis

Sejam “U” um espaço amostral equiprovável,finito e não vazio, e “E” um evento de “U”. A probabilidade de ocorrer algum elemento de “E” é indicada por P(E) e definida por: de “E” é indicada por P(E) e definida por:

P(E) = ____n(E)

n(U)

=____________________________número de resultados favoráveis

número de resultados possíveis

Exercício

No lançamento de uma moeda,qual é a probabilidade de se obtera face cara?a face cara?

U = {c, k }, n(U) = 2.

E = {c }, n(E) = 1.

P (E) = n(E)/n(U)=1/2=0,5=50%.

Exercício

No lançamento de um dado,qual é a probabilidade de se obter,qual é a probabilidade de se obter,na face voltada para cima, umnúmero de pontos menor que três?

Exercício

Qual a probabilidade de sairum 2 de copas quando retiramosuma carta de um baralho de 52cartas (chamado de baralhocartas (chamado de baralhocomum)?a)1/26 b) 2/48 c) 1/52d) 1/51 e) 1

Exercício

Qual a probabilidade de sairum dez quando retiramos umaum dez quando retiramos umacarta de um baralho de 52 cartas?

Exercício

Qual a probabilidade de sairuma figura quando retiramos umauma figura quando retiramos umacarta de um baralho de 52 cartas?

Exercício

Em um lote de 12 peças, 4 sãodefeituosas. Sendo retirada umapeça, qual a probabilidade de sepeça, qual a probabilidade de seretirar uma peça defeituosa?

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3

d) 1/2 e) 1

ExercícioNa tabela abaixo está representada a distribuição por

turno dos alunos de determinada academia.

Mulheres

Manhã Tarde Noite

50 70 30

Homens 20 6515

a) mulher

b) homem frequentador do período diurno

Escolhendo ao acaso um aluno dessa academia, quala probabilidade de que seja:

Exercício

c) frequentador matutino

d) frequentador vespertinod) frequentador vespertino

e) frequentador noturno do sexofeminino.

Questão de ProvaBRB/Escriturário/2005/CESPE

Em um concurso público, registrou-se ainscrição de 100 candidatos. Sabe-se que30 desses candidatos inscreveram-se parao cargo de escriturário, 20 para o cargo deauxiliar administrativo, e apenas 10auxiliar administrativo, e apenas 10candidatos se inscreveram para os doiscargos. Os demais candidatos inscreveram-se para outros cargos. Julgue os itens aseguir, considerando que um candidato seráescolhido aleatoriamente nesse conjunto de100 pessoas.


I – A probabilidade de que oindivíduo escolhido seja candidatoindivíduo escolhido seja candidatoao cargo de auxiliar administrativoé superior a 1/4.


II – A probabilidade de que oindivíduo escolhido seja candidatoindivíduo escolhido seja candidatoao cargo escriturário ou ao cargoauxiliar administrativo é igual a 1/2.

Questão de ProvaTCU/2004/CESPE

Um baralho comum contém 52 cartasde 4 tipos (naipes) diferentes: paus,espadas, copas e ouros. Em cadanaipe, que consiste de 13 cartas, 3naipe, que consiste de 13 cartas, 3dessas cartas contêm as figuras do rei,da dama e do valete, respectivamente.Com base nessas informações, julgueos itens subsequentes.


I – A probabilidade de se extrairaleatoriamente uma carta de umaleatoriamente uma carta de umbaralho e ela conter uma dasfiguras citadas no texto é igual a3/13.


II – Sabendo que há 4 ases em umbaralho comum, sendo um de cadanaipe, conclui-se que anaipe, conclui-se que aprobabilidade de se extrair umacarta e ela não ser o ás de ouros éigual a 1/52.


III – A probabilidade de se extrairuma carta e ela conter uma figurauma carta e ela conter uma figuraou ser uma carta de paus é igual a11/26.

Questão de ProvaCGU/2008/ESAF

Uma empresa de consultoria no ramo deengenharia de transporte contratou 10profissionais especializados, a saber: 4engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, aoacaso, três desses profissionais para constituíremum grupo de trabalho, a probabilidade de os trêsum grupo de trabalho, a probabilidade de os trêsprofissionais sorteados serem do mesmo sexo éigual a:a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15d) 0,20 e) 0,24LETRA D

Questão de ProvaSEFAZ-SP/ESAF/2009

Considere que numa cidade 40% da população adulta éfumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60%dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual aprobabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhidaao acaso ser mulher?a) 44%a) 44%b) 52%c) 50%d) 48%e) 56%LETRA B

AproveitandoSEFAZ-SP/ESAF/2009

Qual a probabilidade de umapessoa ser escolhida e ela sermulher, dado* que é fumante?mulher, dado* que é fumante?

*sabendo que.

Probabilidade condicional.Probabilidade condicional.

Resposta: 40%.


Qual a probabilidade de umapessoa ser escolhida e ela sermulher, dado que não é fumante?mulher, dado que não é fumante?

Resposta: 60%.


Qual a probabilidade de umapessoa ser escolhida e ela serfumante, dado que é mulher?fumante, dado que é mulher?

Resposta: 4/13 = 30,8%.

Exercício

Um dado comum é lançado.Qual a probabilidade de ocorreruma potência de 2?uma potência de 2?

Resposta: 1/3.

ExercícioProbabilidade condicional

Um dado comum é lançado.Qual a probabilidade de ocorreruma potência de 2 dado que saiuuma potência de 2 dado que saiuum número par?

Resposta: 2/3.

Questão de ProvaESAF/Téc./MPU/2004

Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pelaEuropa. Com as informações que dispõe, ele estimacorretamente que a probabilidade de Ana estar hoje emParis é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje emParis é de 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana eBeatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então,Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então,recebe um telefonema de Ana informando que ela estáhoje em Paris. Com a informação recebida pelotelefonema de Ana, Carlos agora estima corretamenteque a probabilidade de Beatriz também estar hoje emParis é igual aa) 1/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 5/7 e) 4/7

Questão de provaCEF/Téc.banc./CESPE/2010

Em uma pesquisa de opinião, foram entrevistados 2.400 eleitores dedeterminado estado da Federação, acerca dos candidatos A, aoSenado Federal, e B, à Câmara dos Deputados, nas próximaseleições. Das pessoas entrevistadas, 800 votariam no candidato A enão votariam em B, 600 votariam em B e não votariam em A e 600não votariam em nenhum desses dois candidatos.Com base nessa pesquisa, a probabilidade de um eleitor desseCom base nessa pesquisa, a probabilidade de um eleitor desseestado, escolhido ao acaso,a) votar no candidato A ou no candidato B será igual a 0,75.b) votar nos candidatos A e B será igual a 0,2.c) votar no candidato B e não votar no candidato A será igual a 1/3.d) votar em apenas um desses dois candidatos será igual a 0,5.e) não votar no candidato A será igual a 1/3.LETRA A

Questão de provaCEF/Téc.banc./CESPE/2010

Saul e Fred poderão ser contratados por uma empresa. Aprobabilidade de Fred não ser contratado é igual a 0,75; aprobabilidade de Saul ser contratado é igual a 0,5; e aprobabilidade de os dois serem contratados é igual a 0,2.Nesse caso, é correto afirmar que a probabilidade deA) Fred ser contratado e Saul não ser contratado é igual a0,1.A) Fred ser contratado e Saul não ser contratado é igual a0,1.B) Saul não ser contratado é igual a 0,25.C) Pelo menos um dos dois ser contratado é igual a 0,75.D) Fred ser contratado é igual a 0,5.E) Saul ser contratado e Fred não ser contratado é igual a0,3.LETRA E

Questão de prova

Uma pesquisa, realizada com 900 pessoas quecontraíram empréstimos bancários e tornaram-seinadimplentes, mostrou a seguinte divisão dessaspessoas, de acordo com a faixa etária.

A partir da tabela acima e considerando a escolha, aoacaso, de uma pessoa entre as 900 que participaram dareferida pesquisa, julgue os itens subseqüentes.


A probabilidade de a pessoaescolhida ter de 31 a 40 anos deidade é inferior a 0,3.idade é inferior a 0,3.

ITEM CORRETO


A chance de a pessoa escolhida ter até30 anos de idade ou mais de 50 anos deidade é superior a 30%.

ITEM CORRETO


A probabilidade de essapessoa não ter menos de 41 anosde idade é inferior a 0,52.de idade é inferior a 0,52.

ITEM ERRADO

Questão de provaBB/Escriturário/2008/003/CESPEA probabilidade de essa pessoa ter de 41 a50 anos de idade, sabendo-se que ela tempelo menos 31 anos, é superior a 0,5.

ITEM ERRADO

Questão de provaMPE/RR/Analista/2008/CESPE

Em uma urna há 100 bolasnumeradas de 1 a 100. Nesse caso, aprobabilidade de se retirar uma bolacuja numeração seja um múltiplo de 10cuja numeração seja um múltiplo de 10ou de 25 será inferior a 0,13.

ITEM CORRETO

Questão de provaMPE/RR/Analista/2008/CESPE

Um dado não viciado é lançadoduas vezes. Nesse caso, aprobabilidade de se ter um número parno primeiro lançamento e um númerono primeiro lançamento e um númeromúltiplo de 3 no segundo lançamento éigual a 1/6.

ITEM CORRETO

Questão de provaSAD-PE/Analista/2010/CESPE

Em uma auditoria, a equipe responsável consultou umasérie de arquivos. Entre esses havia 5 arquivos de documentosfiscais, 4 arquivos de recursos humanos e 1 arquivo de doaçõesempresariais. Cada arquivo continha 30 pastas. Como ovolume era grande, a auditoria foi feita por amostragem emque uma em cada seis pastas, de cada arquivo, foi auditada.Alguns meses depois foi realizada uma inspeção, na qualque uma em cada seis pastas, de cada arquivo, foi auditada.Alguns meses depois foi realizada uma inspeção, na qualaleatoriamente foram retiradas duas pastas entre os arquivosauditados.Com base nas informações acima, pode-se concluir que aprobabilidade de se retirar ao menos uma pasta de documentosfiscais é igual a 37/49.

ITEM CORRETO

Questão de provaCESPE/2004

Um juiz deve analisar 12 processos dereclamações trabalhistas, sendo 4 demédicos, 5 de professores e 3 de bancários.Considere que, inicialmente, o juizConsidere que, inicialmente, o juizselecione aleatoriamente um grupo de 3processos para serem analisados. Com basenessas informações, julgue os itens aseguir.


A probabilidade de que, nessegrupo, todos os processos sejam debancários é inferior a 0,005.bancários é inferior a 0,005.

ITEM CORRETO


As chances de que nessegrupo, pelo menos um dosprocessos seja de professor éprocessos seja de professor ésuperior a 80%.

ITEM CORRETO


A quantidade de permutaçõesdistintas que podem ser formadascom as 7 letras da palavracom as 7 letras da palavraREPETIR, que começam eterminam com R, é igual a 60.

Item correto.


Caso as senhas de acesso dosclientes aos caixas eletrônicos de certainstituição bancária contenham 3 letrasdas 26 do alfabeto, admitindo-sedas 26 do alfabeto, admitindo-serepetição, nesse caso, a quantidadedessas senhas que têm letrasrepetidas é superior a .Item errado.


Com as letras da palavraTROCAS é possível construir maisTROCAS é possível construir maisde 300 pares distintos de letras.

Item errado.

O jogo de dominó tradicional é jogadocom 28 peças, igualmente divididas entre 4jogadores sentados face a face em torno deuma mesa retangular. As peças sãoretangulares e possuem uma marcação queretangulares e possuem uma marcação queas divide em duas metades iguais; em cadametade: ou não há nada gravado, ou estágravado um determinado número deburacos que representam números.

As metades representam 7números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendoeste último representado por umametade sem marcação. Cada númerometade sem marcação. Cada númeroocorre em 7 peças distintas.

Em 7 peças, denominadas buchas, onúmero aparece nas duas metades.

Existe também uma variaçãode dominó conhecida como doublenine, em que as metadesnine, em que as metadesrepresentam os números 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55peças.

M. Lugo. How to play better dominoes. New York:

Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações).

Questão de ProvaTER-BA/Téc./2010/CESPE

Uma variação de dominó cujasmetades representem os números0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 120, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12terá um total de 82 peças.

Item errado.


No dominó tradicional, os 4jogadores podem se sentar à mesajogadores podem se sentar à mesade 6 maneiras distintas.

Item correto.


Considere que cada jogador, na sua vez, retireas 7 peças ao mesmo tempo.Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4 jogadores de

4)!7(

!28maneiras distintas.

Item correto

Conta-se na mitologia grega queHércules, em um acesso de loucura,matou sua família. Para expiar seucrime, foi enviado à presença do reicrime, foi enviado à presença do reiEuristeu, que lhe apresentou uma sériede provas a serem cumpridas por ele,conhecidas como Os doze trabalhos deHércules.

Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia,se: matar o leão de Neméia,capturar a corça de Cerinéria ecapturar o javali de Erimanto.

Considere que a Hércules sejadada a escolha de preparar umalista colocando em ordem os dozelista colocando em ordem os dozetrabalhos a serem executados, eque a escolha dessa ordem sejatotalmente aleatória..

Além disso, considere quesomente um trabalho sejaexecutado de cada vez. Comexecutado de cada vez. Comrelação ao número de possíveislistas que Hércules poderiapreparar, julgue os itenssubsequentes.

Questão de ProvaPF-Agente/CESPE/2004

O número máximo de possíveislistas que Hércules poderialistas que Hércules poderiapreparar é superior a 12 x 10! .

Item correto


O número máximo de possíveislistas contendo os trabalhos “capturar acorça de Cerinéia” na primeira posiçãoe “capturar o javali de Erimanto” nae “capturar o javali de Erimanto” naterceira posição é inferior a

72 x 42 x 20 x 6 .

Item errado.


O número máximo de possíveislistas contendo os trabalhos “capturar acorça de Cerinéia” e “capturar o javalide Erimanto” nas últimas duasde Erimanto” nas últimas duasposições, em qualquer ordem, éinferior a 6! X 8!.Item correto.


O número máximo de possíveislistas contendo o trabalho “matar o leãode Neméia” na primeira posição éinferior a 240 × 990 × 56 × 30.

Item correto

Questão de ProvaTER-BA/Téc. jud./2010/CESPE

Sabendo que um anagrama équalquer ordenação formada com asletras de uma palavra, tendo ou nãosignificado, então, com a palavrasignificado, então, com a palavraCORREGEDOR será possível formar151.200 anagramas distintos.

Item correto.


Dez policiais federais — doisdelegados, dois peritos, dois escrivãese quatro agentes — foram designadose quatro agentes — foram designadospara cumprir mandado de busca eapreensão em duas localidadespróximas à superintendência regional.


O grupo será dividido em duasequipes. Para tanto, exige-se que cadauma seja composta, necessariamente,por um delegado, um perito, umpor um delegado, um perito, umescrivão e dois agentes.

Considerando essa situação hipotética,julgue os itens que se seguem.


Se todos os policiais em questãoestiverem habilitados a dirigir, então,formadas as equipes, a quantidade demaneiras distintas de se organizar umamaneiras distintas de se organizar umaequipe dentro de um veículo com cincolugares — motorista e mais quatropassageiros — será superior a 100.Item correto.

Questão de ProvaAgente PF/2012/CESPE

Há mais de 50 maneirasdiferentes de compor as referidasdiferentes de compor as referidasequipes.

Item errado.


Se cinco dos citados policiaisforem escolhidos, aleatoriamente eindependentemente dos cargos, entãoa probabilidade de que essesa probabilidade de que essesescolhidos constituam uma equipe coma exigência inicial será superior a 20%.

Item errado.


Em uma página da PolíciaFederal, na Internet, é possívelFederal, na Internet, é possíveldenunciar crimes contra os direitoshumanos.


Esses crimes incluem o tráfico depessoas — aliciamento de homens,mulheres e crianças para exploraçãosexual — e a pornografia infantil —envolvimento de menores de 18 anosenvolvimento de menores de 18 anosde idade em atividades sexuaisexplícitas, reais ou simuladas, ouexibição dos órgãos genitais do menorpara fins sexuais.


Com referência a essa situaçãohipotética e considerando que,após a análise de 100 denúncias,após a análise de 100 denúncias,tenha-se constatado que 30 delasse enquadravam como tráfico depessoas e como pornografiainfantil;


outras 30 não se enquadravam emnenhum desses dois crimes e que,em relação a 60 dessas denúncias,havia apenas a certeza de que sehavia apenas a certeza de que setratava de pornografia infantil,julgue os itens subsequentes,acerca dessas 100 denúnciasanalisadas.


Dez denúncias foram classificadasapenas como crime de tráfico deapenas como crime de tráfico depessoas.

Item correto.


Os crimes de tráfico depessoas foram mais denunciadospessoas foram mais denunciadosque os de pornografia infantil.

Item errado.


Um jovem, ao ser flagrado noaeroporto portando certaaeroporto portando certaquantidade de entorpecentes,argumentou com os policiaisconforme o esquema a seguir:


Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário.

Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levandouma grande quantidade de droga e ateria escondido.

Premissa 3: Como sou usuário e não levo umagrande quantidade, não escondi adroga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grandequantidade, não seria usuário.


Considerando a situação hipotéticaConsiderando a situação hipotéticaapresentada acima, julgue os itensa seguir.


A proposição correspondente ànegação da premissa 2 é logicamenteequivalente a “Como eu não soutraficante, não estou levando uma grandequantidade de droga ou não a escondi”.quantidade de droga ou não a escondi”.

Premissa 2: Se eu fosse traficante, estarialevando uma grande quantidade de droga ea teria escondido .Item errado.


Se a proposição “Eu não soutraficante” for verdadeira, então apremissa 2 será uma proposiçãopremissa 2 será uma proposiçãoverdadeira, independentementedos valores lógicos das demaisproposições que a compõem.

Solução

Premissa 2:

Se eu fosse traficante, estarialevando uma grande quantidade delevando uma grande quantidade dedroga e a teria escondido.

Item correto.


Se P e Q representam,respectivamente, as proposições“Eu não sou traficante” e “Eu sou“Eu não sou traficante” e “Eu souusuário”, então a premissa 1 estarácorretamente representada por

P ^ Q.

Solução

Premissa 1:

Eu não sou traficante, eu sou usuário.

Item coreto.


Sob o ponto de vista lógico, aargumentação do jovem constituiargumentação do jovem constituiargumentação válida.

Solução

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário.

Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levandouma grande quantidade de droga e a teriaescondido.

Premissa 3: Como sou usuário e não levo umagrande quantidade, não escondi a droga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grandequantidade, não seria usuário.

Solução

A: Eu não sou traficante.

B: Eu sou usuário.

C: Estaria levando uma grande C: Estaria levando uma grande quantidade de droga.

D: A teria escondido.

Solução


B: Eu sou usuário.

C: Estaria levando uma grande quantidade de droga.


Premissa 1:

Eu não sou traficante, eu sou usuário.

Solução


B: Eu sou usuário.



Premissa 2:

Se eu fosse traficante, estaria levandouma grande quantidade de droga e ateria escondido.

Solução


B: Eu sou usuário.



Premissa 3:

Como sou usuário e não levo umagrande quantidade, não escondi adroga.

Solução


B: Eu sou usuário.



Conclusão:

Se eu estivesse levando uma grandequantidade, não seria usuário.Item errado.

Questão de ProvaPM-CE/Soldado/2012

Acerca da proposição

R: “A população aprende a votar ouR: “A população aprende a votar ouhaverá novos atos de corrupção”,

julgue os itens seguintes.


1) A proposição

“Enquanto a população não aprender a“Enquanto a população não aprender avotar, haverá novos casos de corrupção”

tem o mesmo valor lógico da proposição R.

Questão de Prova - SoluçãoPM-CE/Soldado/2012

Verificar se as proposições apresentadas sãoequivalentes.

“Enquanto a população não aprender a“Enquanto a população não aprender avotar, haverá novos casos de corrupção”.

R: “A população aprende a votar ou haveránovos atos de corrupção”.

Questão de Prova- SoluçãoPM-CE/Soldado/2012

“Enquanto a população não aprender a votar,haverá novos casos de corrupção”.

É equivalente a:

“Se a população não aprender a votar, então,“Se a população não aprender a votar, então,haverá novos casos de corrupção”.

É equivalente a:

“A população aprende a votar ou haverá novos casos de corrupção”.

Item correto.

Questão de Prova-SoluçãoPM-CE/Soldado/2012

Outra solução.Queremos verificar se as duas proposiçõesapresentadas possuem o mesmo valor lógico.

R: “A população aprende a votar ou haverá novosR: “A população aprende a votar ou haverá novosatos de corrupção”,

“Enquanto a população não aprender a votar,haverá novos casos de corrupção”tem o mesmo valor lógico da proposição R.Item correto.


2) Se P e Q forem, respectivamente,as proposições “A populaçãoaprende a votar” e “Haverá novosatos de corrupção”, então aatos de corrupção”, então aproposição R estará corretamenteassim simbolizada:

P ^ Q.

Questão de Prova-SoluçãoPM-CE/Soldado/2012

P: “A população aprende a votar”.

Q: “Haverá novos atos de corrupção”.

R: “A população aprende a votar ouR: “A população aprende a votar ouhaverá novos atos de corrupção”.

PR: v Q

Item errado.


Para o policiamento ostensivo eininterrupto de uma cidade, o comandolocal estabeleceu a escala de 24 horasde plantão por 48 horas de folga parade plantão por 48 horas de folga paracada policial local e, em cada plantão,por razões de segurança, determinouque nenhum policial poderá trabalharsozinho.


Com base nas informações dasituação hipotética acima apresentada,situação hipotética acima apresentada,julgue os itens que se seguem.


1) Caso o comando local disponha de12 policiais e 4 deles devam estar deplantão a cada dia, então, nesse caso,haverá mais de 500 maneiras distintashaverá mais de 500 maneiras distintasde se escolher a equipe que trabalharáno primeiro dia.Item errado.


2) Para que a escala atenda aoestabelecido, o comando localnecessita de, pelo menos, 6necessita de, pelo menos, 6policiais.

Item correto.


3) Considere que, entre os 12 policiaisdo comando local, sejam sorteadosdois prêmios distintos e que ummesmo policial não receba os doismesmo policial não receba os doisprêmios. Nesse caso, existem mais de100 maneiras distintas de sedistribuírem esses prêmios.Item correto.

Questão de ProvaMinistério da Ciência, Tecnologia e Informação (MCTI) – CESPE - 2012

Julgue os três próximos itens,considerando a proposição P, a seguir:

“O desenvolvimento científico do país“O desenvolvimento científico do paíspermanecerá estagnado se, e somentese, não houver investimento empesquisa acadêmica no Brasil”.

Questão de ProvaMCTI – CESPE - 2012

A proposição P é logicamente equivalentea: “Se não houver investimento em pesquisaacadêmica no Brasil, então o desenvolvimentocientífico do país permanecerá estagnado, e secientífico do país permanecerá estagnado, e sehouver investimento em pesquisa acadêmicano Brasil, então o desenvolvimento do país nãopermanecerá estagnado”.

Item correto.


A negação da proposição P estácorretamente enunciada da seguinteforma:“Ou o desenvolvimento científico do“Ou o desenvolvimento científico dopaís permanecerá estagnado, ou nãohaverá investimento em pesquisaacadêmica no Brasil”.Item correto.


Se a proposição P for verdadeira, entãoas proposições

“O desenvolvimento científico dopaís permanece estagnado” e “Hápaís permanece estagnado” e “Háinvestimento em pesquisa acadêmica noBrasil” terão os mesmos valores lógicos.

Item errado


Considere o argumento formadopelas proposições de 1 a 4pelas proposições de 1 a 4enunciadas a seguir.


Proposição 1: Se ocorre desenvolvimentocientífico no Brasil, então o país dispõe derecursos humanos capacitados.

Proposição 2: Se o Brasil dispõe deProposição 2: Se o Brasil dispõe derecursos humanos capacitados, então opaís realizou investimentos consistentes,contínuos, de longo prazo e de porte paraconstruir sua competência científica.


Proposição 3: O Brasil realizouinvestimentos consistentes, contínuos, delongo prazo e de porte para construir suacompetência científica.

Proposição 4: Ocorre desenvolvimentocientífico no Brasil. Com base no argumentoacima, julgue os itens a seguir.


Um argumento que tenha comopremissas as proposições 1, 2 e 4premissas as proposições 1, 2 e 4e como conclusão a proposição 3 éum argumento válido.

Solução

Proposição 1: Se ocorre desenvolvimentocientífico no Brasil, então o país dispõe derecursos humanos capacitados.A: ocorre desenvolvimento científico no Brasil.A: ocorre desenvolvimento científico no Brasil.

B: o país dispõe de recursos humanoscapacitados.

Proposição 1: A B→

Solução

Proposição 2: Se o Brasil dispõe de recursoshumanos capacitados, então o país realizouinvestimentos consistentes, contínuos, de longoprazo e de porte para construir sua competênciacientífica.científica.B: o país dispõe de recursos humanos capacitados.C: o país realizou investimentos consistentes,contínuos, de longo prazo e de porte para construirsua competência científica.Proposição 2: B C→

Solução

Proposição 3: O Brasil realizou investimentosconsistentes, contínuos, de longo prazo e deporte para construir sua competência científica.

C: o país realizou investimentos consistentes,C: o país realizou investimentos consistentes,contínuos, de longo prazo e de porte paraconstruir sua competência científica.

Proposição 3: C

Solução

Proposição 4: Ocorre desenvolvimentocientífico no Brasil.

Proposição 4: A


Um argumento que tenhacomo premissas as proposições 1,2 e 4 e como conclusão a2 e 4 e como conclusão aproposição 3 é um argumentoválido.

Item correto.


É possível que a proposição 2 sejaverdadeira, ainda que a proposiçãoverdadeira, ainda que a proposição“O Brasil dispõe de recursoshumanos capacitados” seja falsa.

Solução

Proposição 2: Se o Brasil dispõe de recursoshumanos capacitados, então o país realizouinvestimentos consistentes, contínuos, de longo prazoe de porte para construir sua competência científica.B: o país dispõe de recursos humanos capacitados.B: o país dispõe de recursos humanos capacitados.C: o país realizou investimentos consistentes,contínuos, de longo prazo e de porte para construirsua competência científica.Proposição 2:Item correto

B C→


Um argumento que tenhacomo premissas as proposições 1,2 e 3 e como conclusão a2 e 3 e como conclusão aproposição 4 é um argumentoválido.

Item errado.

ANCINE/CESPE/2012

Proposições são sentenças que podem serjulgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F—, de forma que um julgamento exclui o outro, esão simbolizadas por letras maiúsculas, como P,Q, R etc. Novas proposições podem serconstruídas usando-se símbolos lógicos. Umaconstruídas usando-se símbolos lógicos. Umaexpressão da forma P Q é uma proposição cujaleitura é “se P, então Q” e terá valor lógico Fquando P for V e Q for F; caso contrário, serásempre V. Uma expressão da forma P Q é umaproposição que se lê: “P ou Q”, e será F quando Pe Q forem F; caso contrário, será sempre V.

→

∨

ANCINE/CESPE/2012

Uma expressão da forma P Q, que se lê “Pe Q”, será V quando P e Q forem V; casocontrário, será sempre F. Uma expressãoda forma P Q, que se lê “P, se e somentese Q” será V quando P e Q tiverem o

∧

↔

se Q” será V quando P e Q tiverem omesmo valor lógico, caso contrário, serásempre F. A forma ¬P simboliza a negaçãode P e tem valores lógicos contrários aos deP.A partir das informações acima, julgue ositens que se seguem.

ANCINE/CESPE/2012

A negação da proposição“Todo ator sabe cantar e dançar” éequivalente a “Existe ator que nãoequivalente a “Existe ator que nãosabe cantar ou que não sabedançar”.

Item correto.

ANCINE/CESPE/2012

A proposição abaixo temsomente o valor lógico V,independentemente dos valoresindependentemente dos valoreslógicos de P e Q.

(P Q) [(¬P) Q]∨ ↔ ∧

Item errado.

ANCINE/CESPE/2012

As proposições apresentadas abaixosão logicamente equivalentes.são logicamente equivalentes.

¬{P Q (¬R)}∨ → (¬Q)} R{(¬P)e ∧ →

Item errado.

ANCINE/CESPE/2012

A proposição “Se todo diretor éexcêntrico e algum excêntrico é mau ator,então algum diretor é mau ator”é logicamente equivalente à proposiçãoé logicamente equivalente à proposição“Algum diretor não é excêntrico ou todoexcêntrico é bom ator ou algum diretor émau ator”.

Item correto.

ANCINE/CESPE/2012

A proposição abaixo tem somenteo valor lógico V, independentementedos valores lógicos de P e Q.

[P Q] [(¬P)↔ → (¬Q)]∨

Item errado.

ANCINE/CESPE/2012

As proposições abaixo sãologicamente equivalentes.

[(¬P) Q] (R S)∨ → ∧

e

S)(RQ][P → ∧→

Item correto.

ANCINE/CESPE/2012

A proposição “Se roteirista não fordiretor, então dublador não serámaquiador” é logicamente equivalenteà proposição “Se algum dublador forà proposição “Se algum dublador formaquiador, então algum roteirista serádiretor”.

Item correto.

Curso de RL · 2012. 11. 7. · Conjunto de palavras ou símbolos ... Conectivo “e”...

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