Curso de

Sinais e Sistemas

versão 1.0.3

Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa

20 de agosto de 2018

Resumo

O presente material serve de auxílio para o curso de sinais e sistemas mi-nistrado em graduação e pós-graduação. De acordo com as qualificações daturma, capítulos poderão ser supridos, assim como algumas demonstraçõesao longo do documento.

Este é um trabalho inicial, e sofrerá muitas revisões ao longo dos anos.Qualquer comentário, dúvida, críticas e correções, favor contacte-me peloemail.

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

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Sumário

1 Introdução 1

2 Análise no domínio do tempo 2

2.1 Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.1 Sinais pares e ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Solução de EDO linear com coeficientes constantes . . 3

2.2.2.1 Formas de solução homogênea para LTI . . . 32.2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.3.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3.2 Causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3.3 Memória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.4 Resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.5 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.5.1 Propriedades da integral de convolução . . . 19

3 Análise da frequência 27

3.1 Transformada generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Capítulo 1

Introdução

O material que você tem em mãos é um retrato da disciplina de sinais esistemas que tenho ministrado. Tenho dois objetivos nessa disciplina paraalunos de engenharia elétrica e de computação: apresentar todas as relaçõesmatemáticas, bem como deduzi-las a fim de responder a pergunta chave:“de onde essa equação veio?”.

O segundo objetivo é relacionar essa teoria matemática, que parece abs-trata, com elementos de circuitos elétricos e eletrônicos, estruturas de comu-nicação de dados e tecnologias atuais. Aparelhos de celulares ou “smartpho-

nes” não existiriam sem transformada ou séries de Fourier, apenas para seter uma ideia.

Esse texto está em construção e evolução: logo, toda sugestão e críticaé sempre bem vinda.

1

Capítulo 2

Análise no domínio do tempo

2.1 Sinais

2.1.1 Sinais pares e ímpares

Qualquer sinal pode ser decomposto de diversas maneiras. Por exemplo,sinais periódicos podem ser decompostos em uma soma de diversos senose cossenos, como já vimos em Cálculo 4 (esse será uma das análises quefaremos na Seção 3).

Sinais pares e ímpares são sinais que obedecem relações análogas às en-contradas em funções pares e funções ímpares. Mais ainda, qualquer sinal(mesmo aqueles que não são pares nem ímpares) podem ser decompostosem parcelas pares e ímpares. Isso implica que cálculos como o de Sériesde Fourier podem ser facilitados, visto que sinais pares e ímpares possuemrespectivamente bn = 0 e an = 0 (não precisamos calcular componentes asso-ciadas a senos e cossenos respectivamente na construção da série de Fourierde um sinal par ou ímpar).

Matematicamente definimos um sinal par x(t)(∈ C) como:

x(t) = x∗(−t) (2.1)

e um sinal ímpar como:

x(t) = −x∗(−t) (2.2)

Note que são as mesmas definições de funções contínuas: a única dife-rença é a presença da operação conjugado (termo ∗ em ambas as equações.Tal conjugado ocorre devido a consideração de que x(t) pode ser um sinalcuja amplitude assumir valores complexos.

Como qualquer sinal possui uma parcela par e outra ímpar, podemosencontrar tais parcelas da seguinte forma:

Pela definição,

2

3

x(t) = xp(t) + xi(t) (2.3)

na qual xp(t) é a parcela par de x(t) - que obedece a Equação 2.1 - e xi(t)é a parcela ímpar de x(t) - que obedece a Equação 2.2.

Pelas Equações 2.1 e 2.2, temos que:

x(t) = x∗p(−t) − x∗

i (−t)

x(−t) = x∗p(+t) − x∗

i (+t)

x∗(−t) = xp(t) − xi(t)

Combinado esta relação com Equação 2.3 (somando-as e subtraindo umada outra), temos:

xp(t) =x(t) + x∗(−t)

2

xi(t) =x(t) − x∗(−t)

2

(2.4)

Assim, podemos extrair componentes pares e ímpares de qualquer sinal.Isso significa que podemos simplificar cálculos na qual há simetria (par ouímpar) nos sinais. Naturalmente há uma simplificação caso x(t) ∈ R, naqual os conjugados podem ser desconsiderados.

2.2 Sistemas

2.2.1 Modelagem

Descrição de processo de modelagem de sistemas (encontrar suas equaçõesdiferenciais).

2.2.2 Solução de EDO linear com coeficientes constantes

Solução total = solução homogênea + solução particular (ou forçada).

2.2.2.1 Formas de solução homogênea para LTI

A resposta homogênea é bastante importante para avaliação de alguns tran-sitórios do sistema sob a forma de energia acumulada no sistema. A formada solução homogênea é baseada em combinação linear de exponenciais com-plexos cujo expoente é função do tempo e dos autovalores do sistema.

Assumindo que a ordem da EDO que relaciona x(t) e y(t) (ou seja, ordemda maior derivada de y(t)) igual a N , a solução homogênea yh(t) é dada por:

yh(t) = A0eλ0t + A1eλ1t + · · · + AN−1eλN−1t

=N−1∑

n=0

Aneλnt(2.5)

4

Como os auto-valores λn são raízes da equação características da EDO,eles podem ser reais ou complexos, com repetição.

Neste primeiro momento, considere N = 2. Logo, temos 3 possibilidades:

• 2 raízes reais distintas;

• 2 raízes reais iguais;

• 2 raízes complexas, conjugadas entre si.

Assim, para o primeiro caso teríamos:

yh(t) = A0eλ0t + A1eλ1t

Para o segundo caso, teríamos:

yh(t) = A0eλ0t + A1teλ1t

Para o terceiro caso, teríamos:

yh(t) = A0eλ0t + A1eλ1t

= A0eλ0t + A∗0eλ∗

0t

Note que o terceiro caso é equivalente ao segundo (apenas note queA1 = A∗

0 com consequência de λ1 = λ∗0. Em cálculo utilizávamos diretamente

funções senoidais para gerar yh(t), ou:

yh(t) = eℜ(λ0)t A0 sen(ℑ(λ0)t) + A1 cos(ℑ(λ0)t)

Sugerimos que a versão exponencial complexa seja usada, pois sua ma-nipulação é mais simples, sendo conversível, por relações de Euler, para aequação acima. Assim, todos os casos em que não há repetições de autovalorseguem o mesmo padrão de combinação linear de exponenciais complexas.

Genericamente, quando há M repetições de um autovalor λ0, temos:

yh(t) = A0,0eλ0t + A0,1teλ0t + A0,2t2

2eλ0t + · · ·

=M∑

m=0

A0,mtm

m!eλ0t

na qual A0,m é apenas uma representação das constantes associadas ao zero-ésimo autovalor.

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2.2.3 Propriedades

As propriedades listadas aqui ajudam a classificar os sistemas em grupos.Naturalmente alguns grupos possuem características que ajudam ou dificul-tam a obtenção da resposta do sistema a uma data excitação. Listaremosaqui propriedades importantes, que culminarão na definição de uma classede sistemas chamada LTI (linear and time-invariant systems) intimamenteassociadas a um processo matemático chamado convolução.

2.2.3.1 Estabilidade

Há vários critérios que definem se um sistema é estável ou não. Utilizaremosaqui o critério chamado BIBO, do inglês Bounded-Input, Bounded-Output,que significa que se aplicarmos uma excitação cuja máxima amplitude ab-soluta não é infinita, a resposta do sistema deve apresentar uma máximaamplitude absoluta também não infinita para ser definido como sistema es-tável.

|x(t)| ≤ A < ∞ ⇒ |y(t)| ≤ B < ∞, ∀t ∈ R (2.6)

Por esse critério, tais sistemas estáveis devem ser dissipativos, o queimplica que a parte real dos auto-valores das soluções homogêneas devemser negativos para um horizonte de variável independente monotonicamentecrescente (lembrando que a resposta homogênea está ligada a descarga deenergia armazenada/acumulada quando a excitação se torna nula).

Lembrando que cada exponencial complexa que forma a solução homo-gênea do sistema pode ser escrita como:

eλt

No caso mais genérico, λ ∈ C, λ = ℜ(λ) + ℑ(λ), e

eλt = eℜ(λ)teℑ(λ)t

= eℜ(λ) cos(ℑ(λ)t) + j sen(ℑ(λ)t)

Claramente uma parcela do exponencial total oscila com o incremento det. Assim, resta-nos avaliar o comportamento do exponencial com expoentereal (já que t ∈ R).

Assim, temos as seguintes situações:

• Se ℜ(λ) = 0, a resposta homogênea ou é oscilante (ℑ(λ) 6= 0) ou éconstante (ℑ(λ) = 0). Nesse caso, o sistema é instável, pois não édissipativo;

• Se ℜ(λ) > 0, a resposta homogênea cresce com o aumento de t. Nessecaso o sistema é instável, independente disso ocorrer de modo oscilanteou não;

6

• Se ℜ(λ) < 0, a resposta homogênea decai com o aumento de t, ten-dendo a zero, independente da presença de um fator oscilante.

Naturalmente se a resposta homogênea for composta de múltiplos ex-ponenciais associados a múltiplos auto-valores (λ’s), a estabilidade dependede que todos esses auto-valores tenham suas partes reais com magnitudenegativa.

Estabilidade de acumulador ideal

Considere um integrador definido por:

y(t) =ˆ t

−∞x(a)da

Para tornar tal equação em uma EDO, basta derivá-la uma vez,obtendo:

d

dty(t) = x(t)

Sua equação característica é λ = 0, produzindo como solução ho-mogênea:

yh(t) = Ke0t = K

Se x(t) = 0, notamos que a solução total será y(t) = K. Ou seja, osistema não dissipa energia acumulada, mantendo-a indefinidamente.

2.2.3.2 Causalidade

Causalidade é um conceito baseado no princípio causa-efeito. Em um sis-tema, isso significa que o sistema reage apenas quando excitado. Isso édefinido matematicamente por:

x(t) = 0, t ≤ t0 ⇒ y(t) = 0, t ≤ t0 (2.7)

Como consequência disso, sistemas causais são não-antecipatórios, oumelhor, não dependem de informações de um futuro de x(t = t0) para secalcular y(t = t0). Fisicamente não existem sistemas não-causais (que apre-sentam dependência de futuro), mas em alguns projetos notaremos que sis-temas ditos ideais exigiriam conhecimento do futuro. Nesses casos, teremosque aplicar atrasos a esses sistemas projetados de forma a implementá-los.

Exemplo de sistema não-causal

7

Considere o sistema média-móvel teórico de duração T :

y(t) =1T

ˆ t+T/2

t−T/2x(a)da

Note que o cálculo de y(t) para um determinado instante t = t0,exige, além do conhecimento de x(t) no intervalo [t0, t0−T/2] (passado)como no intervalo [t0, t0 + T/2] futuro. Logo, o sistema é não-causal.

2.2.3.3 Memória

Um sistema com memória é aquele que o cálculo de y(t) para um instantet = t0 qualquer exige o conhecimento de x(t) para algum t > t0 ou t < t0,independente do valor de x(t0). Tal sistema é dito sistema dinâmico.

Se y(t) não apresenta qualquer dependência de x(t) tanto para t > t0

quanto para t < t0, ele é um sistema sem memória, ou sistema estático.Como exemplo podemos citar circuitos RL, RLC, RC como sistemas

com memória, enquanto que redes puramente resistivas são sistemas semmemória.

2.2.4 Resposta ao impulso

Dado um sistema qualquer, representado por uma EDO linear com coefici-entes constantes, conseguimos calcular sua resposta para qualquer sinal x(t)a partir da soma das respostas homogênea e forçada (particular).

Para o sinal impulso unitário, temos uma peculiaridade: com exceção doinstante t = 0, a resposta do sistema é totalmente homogênea, tanto parat < 0 quanto para t > 0. A excitação de δ(t) ocorre instantaneamente emt = 0.

Isso representa o seguinte cenário: o sistema era homogêneo (descarre-gando condições iniciais uma vez que se trata x(t) = 0 para t < 0). Emt = 0, há uma excitação, que é instantaneamente retirada. Logo, o sistemaretorna a condição de homogeneidade para t > 0, mas com condições iniciaispara descarregamento distintas da condição para t < 0.

Reforçamos que o sinal x(t) força o sistema a produzir uma saída comcomportamento similar à entrada (daí o nome de resposta forçada, poisforçamos o sistema a uma condição específica).

Primeiramente abordaremos o problema com um exemplo envolvendo aresposta de um circuito RC para uma aproximação do sinal impulso, vistoque não conhecemos a forma da resposta forçada para δ(t). Na sequênciadiscutiremos uma abordagem para cálculo da resposta ao impulso.

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Resposta de um circuito RC ao impulso por aproximação

Considere a seguinte EDO para um circuito RC, com capacitor total-mente descarregado (Vout(0) = y(0) = 0), excitado por um impulsounitário (Vin(t) = x(t) = δ(t)):

RCdy(t)

dt+ y(t) = x(t)

Como excitação, considere um pulso de largura w e amplitude 1/w(x1(t)). Naturalmente, quando w → 0, x1(t) → δ(t) (outras aproxima-ções são possíveis, mas usamos esta, pois x(t) será facilmente decom-posto em sinais já conhecidos).

Assim,

x1(t) =

1w , 0 < t < w

0, c.c.

=1w

u(t) −1w

u(t − w)

Naturalmente

x(t) = δ(t) = limw→0

x1(t) ⇒ y(t) = limw→0

hx1(t)

onde hx1(t) é a resposta do circuito RC para x1(t).Tal aproximação é possível, pois o sistema representado pela EDO é

linear e invariante no tempo. Como x1(t) é composto por dois degrausunitários ponderados, calcularemos então a saída desse sistema paraum único degrau, e tal saída será ponderada de modo análogo a x1(t)em relação a tal degrau unitário.

Sendo x2(t) = u(t), temos a seguinte EDO a resolver

RCdy2(t)

dt+ y2(t) = u(t)

Obtendo sua solução homogênea e sua solução forçada para t >0, obtemos a seguinte família de soluções (já fizemos tal cálculo naSeção 2.2.1) a seguinte família de soluções para t > 0 (soma da soluçãohomogênea:

y2(t) = Ke−tRC + 1

na qual K é uma constante a ser determinada.Como y2(0) = 0 e x2(t) = 0 para t < 0, isso implica em K = −1 e:

y2(t) =(

1 − e−tRC

)

u(t)

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Agora retrocedemos para encontrar y1(t) e y(t) a partir das relaçõesentre x1(t) e x(t) em relação a x2(t):

y1(t) =1w

y2(t) −1w

y2(t − w)

=

(

1 − e−tRC

)

u(t) −

(

1 − e−(t−w)

RC

)

u(t − w)

w

Finalmente,

y(t) = limw→0

y1(t)

que exige a aplicação da relação de L’Hospital, por exemplo, dada aindeterminação 0

0 . Ou seja:

y(t) = limw→0

ddw

[

(

1 − e−tRC

)

u(t) −

(

1 − e−(t−w)

RC

)

u(t − w)]

ddw w

= limw→0

−d

dw

[(

1 − e−(t−w)

RC

)

u(t − w)]

= limw→0

−

−e

−tRC

RCu(t − w) + [−δ(t − w)]

(

1 − e−(t−w)

RC

)

=

e−tRC

RCu(t) +

(

1 − e−tRC

)

δ(t)

=e

−tRC

RCu(t)

Podemos notar que a maior dificuldade deste processo envolvendo si-nal impulso unitário é a necessidade de se “esquivar” do problema principalusando combinações lineares de sinais cuja resposta nós conheçamos ou sai-bamos como calculá-las.

Há alguns métodos para atacar diretamente o problema. O método queveremos aqui envolve definir uma forma para a solução homogênea apóst > 0. Vamos considerar o formato geral de uma EDO:

andn

dtny(t) + an−1

dn−1

dtn−1y(t) + · · · + a1

d

dty(t) + a0y(t) =

bmdm

dtmx(t) + bm−1

dm−1

dtm−1x(t) + · · · + b1

d

dtx(t) + b0x(t)

com n 6= m.Como estamos interessados em encontrar a resposta ao impulso (ou seja

h(t) = y(t) para x(t) = δ(t)), reescrevemos a EDO usando outros símbolos

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para os sinais de entrada e saída:

andn

dtnh(t) + an−1

dn−1

dtn−1h(t) + · · · + a1

d

dth(t) + a0h(t) =

bmdm

dtmδ(t) + bm−1

dm−1

dtm−1δ(t) + · · · + b1

d

dtδ(t) + b0δ(t)

Para formar h(t) devemos considerar as seguintes condições:

• Se substituirmos h(t) e suas derivadas sucessivas até a ordem n narelação acima, que naturalmente deve conter combinação linear desinais impulso e suas derivadas, devemos ter correspondência entreδ(t) e suas derivadas do lado direito com o lado esquerdo da relação;

• A combinação linear de todas as derivadas de h(t) deve ser igual a zeropara t 6= 0.

Assim, com base na ordem n e m (maiores derivadas de h(t) e δ(t),obtemos as seguintes regras para construção de h(t) a partir da respostahomogênea da EDO (ou seja, hh(t)):

Condição h(t)

n > m hh(t)u(t)n = m hh(t)u(t) + K0δ(t)

n + 1 = m hh(t)u(t) + K0δ(t) + K1ddtδ(t)

n < m hh(t)u(t) + K0δ(t) + K1ddtδ(t) + · · · + dm−n

dtm−n δ(t)

Tabela 2.1: Regras para obtenção do formato da resposta ao impulso h(t)

Note que cada acréscimo na diferença positiva entre m e n exige a adiçãouma derivada de δ(t) ponderada por uma constante a determinar. Todasessas constantes serão obtidas a partir de sua aplicação na EDO. Entre-tanto, como ha equação é não-homogênea somente em t = 0, usaremos aspropriedades de integração de δ(t) na vizinhança desse instante para cal-cular relações entre as constantes a determinar de h(t) e os coeficientes daEDO: basicamente usaremos integração nessa vizinhança e integração cumu-lativa para obter relações diferenciais linearmente independentes. Tambémconsideraremos áreas de funções com base infinitesimal.

Exemplo de cálculo de h(t)

Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:

d

dty(t) + ay(t) =

d

dtx(t)

Sujeito a x(t) = δ(t). Para facilitar, reescrevermos essa EDO:

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d

dth(t) + ah(t) =

d

dtδ(t)

A equação homogênea associada a essa EDO é:

d

dthh(t) + ahh(t) = 0

cuja solução homogênea tem a forma:

hh(t) = Ae−at

A resposta ao impulso é definida pela relação entre as ordens dasmaiores derivadas de h(t) e δ(t), que no caso são m = n = 1. PelaTabela 2.1, temos:

h(t) = hh(t)u(t) + Bδ(t)

= Ae−atu(t) + Bδ(t)

Ao integrarmos a EDO no intervalo [0−, 0+], considerando h(t) queacabamos de definir, observaremos a influência do impulso unitário (quetem algum valor indefinido em t = 0 na EDO para definir relaçõesenvolvendo os coeficientes A e B desconhecidos. Os valores 0− e 0+significam, respectivamente, vizinhança a esquerda e a direita de zero.

ˆ 0+

0−

[

d

dth(t)

]

dt +ˆ 0+

0−[ah(t)] dt =

ˆ 0+

0−

[

d

dtδ(t)

]

dt

[h(t)]t=0+t=0− + a

ˆ 0+

0−h(t)dt = [δ(t)]t=0+

t=0−

h(0+) − h(0−) + a

ˆ 0+

0−h(t)dt = δ(0+) − δ(0−)

A − 0 + a

ˆ 0+

0−h(t)dt = 0 − 0

A + a

ˆ 0+

0−

[

Ae−atu(t) + Bδ(t)]

dt = 0

A + a

ˆ 0+

0−

[

Ae−atu(t)]

dt +ˆ 0+

0−[Bδ(t)] dt

= 0

Como as integrações finais possuem bases infinitesimais na vizi-nhança de t = 0, devemos considerar a existência ou não de uma funçãoδ(t) nos integrandos, pois qualquer outra função resultará em área nula(por conta da base nula). Assim, não precisamos efetuar os cálculos,pois obteremos zero sempre.

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Assim, obtemos a primeira relação envolvendo A e B:

A + aB = 0

Para obter outra relação, vamos nos lembrar que se o problemafosse uma EDO excitada por outro sinal qualquer x(t), haveria algumacondição de contorno envolvendo derivadas de y(t) com valor conhecidopara alguns instante t = t0. Isso implicaria em derivar y(t) e aplicarvalores para t = t0, o que geraria relações linearmente independentesenvolvendo os coeficientes a determinar da solução total y(t).

Em nosso caso, partimos para o sentido reverso: primeiro obtere-mos uma EDO linearmente independente daquela manipulada até aquiatravés da integração cumulativa. Na sequência integra-la-emos no in-tervalo [0−, 0+]. Ou seja:

ˆ t

−∞

[

d

dxh(x)

]

dx +ˆ t

−∞[ah(x)] dx =

ˆ t

−∞

[

d

dxδ(x)

]

dx

h(t) − h(−∞) + a

ˆ t

−∞h(x)dx = δ(t) − δ(−∞)

h(t) + a

ˆ t

−∞h(x)dx = δ(t)

Agora, com base na forma de h(t), integramos a nova EDO nointervalo [0−, 0+]:

ˆ 0+

0−h(t)dt +

ˆ 0+

0−

[

a

ˆ t

−∞h(x)dx

]

dt =ˆ 0+

0−δ(t)dt

B +ˆ 0+

0−

[

a

ˆ t

−∞h(x)dx

]

dt = 1

O último cálculo que falta é de uma sucessão de integrações, comintervalos distintos. Não precisamos calculá-la: visto que a integra-ção mais interna não produzirá um sinal impulso, a integração externaresultará em zero, já que o único modo de uma integração de baseinfinitesimal resultar em valor não nulo é se seu integrando possuissealguma função δ(t).

Logo,B = 1

Consequentemente, A = −a e

h(t) = δ(t) − ae−atu(t)

Como podemos ver, o método apresentado é bastante simbólico, exigindo

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que recordemos alguns conceitos:

• A integração (independente de ser própria ou imprópria) é o cálculode uma área;

• Integramos no intervalo [0−, 0+] para avaliar o efeito do impulso emt = 0;

• Integramos cumulativamente uma EDO, para gerar uma nova EDOlinearmente independente, de modo a extrair uma relação linearmenteindependente entre os coeficientes da EDO e aqueles a determinar deh(t).

Caso x(t) = δ(t − t0), temos 2 alternativas para encontrar y(t):

• Calculamos a resposta do sistema para x(t) = δ(t), produzindo h(t).Na sequência, atrasamos esse resultado para produzir y(t) = h(t − t0);

• Efetuamos todas as integrações de base infinitesimal no intervalo[t0−, t0+] ao invés de [0−, 0+]. Isso ocorre porque o impulso temvalor não-nulo em t = t0 e não mais em t = 0. Agora definiremos aforma de h(t) através de uma variação de regras da Tabela 2.1, alte-rando aqueles δ(t) e u(t) por, respectivamente, δ(t − t0) e u(t − t0), jáque o comportamento do sistema é perturbado em t = t0.

Resposta de um circuito RC ao impulso

Sabemos que a equação diferencial de um circuito RC é dado por:

RCdVout(t)

dt+ Vout(t) = Vin(t)

Assim, vamos considerar Vin(t) = δ(t) e Vout(t) = h(t) (apenas porquestões de nomenclatura e facilidade de identificação de δ(t) para suaintegração. Logo, temos:

RCdh(t)

dt+ h(t) = δ(t)

Inicialmente vamos calcular sua resposta homogênea, como semprefazemos para qualquer equação diferencial ordinária linear com coefici-entes constantes a partir de sua equação homogênea:

RCdhh(t)

dt+ hh(t) = 0

Sua forma exponencial é:

hh(t) = Aeλt

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Substituindo-a na equação diferencial homogênea, encontramos al-gumas relações entre A e λ e os coeficientes dessa equação, ou seja:

RCλAeλt + Aeλt = 0

AeλtRCλ + 1 = 0

Dentre as possibilidades, temos duas singulares (A = 0 e λ = −∞)que serão descartadas, pois não apresentam sentido para o problemacom o qual trabalhamos. A terceira possibilidade é definida pelo termoentre chaves, que define a equação característica do problema. Logo,

λ = −1

RC

Logo, a solução homogênea é:

hh(t) = Ae−tRC

Agora formamos a solução total do problema. Como as maioresderivadas de h(t) e δ(t) da EDO deste problema são respectivamente 1e zero, pela Tabela 2.1 sabemos que a forma de h(t) é:

h(t) = hh(t)u(t)

= Ae−tRC u(t)

lembrando que o termo u(t) ocorre pois a perturbação da EDO ocorreem t = 0 por causa do sinal de entrada ser δ(t).

Agora integraremos a EDO definida em termos de h(t) e δ(t) emum intervalo infinitesimal a esquerda e a direita de zero (0− → 0+), ouseja:

ˆ 0+

0−RC

dh(t)dt

dt +ˆ 0+

0−h(t)dt =

ˆ 0+

0−δ(t)dt

RC [h(t)]t=0+t=0− +

ˆ 0+

0−h(t)dt = 1

RC [A − 0] + 0 = 1

A =1

RC

lembrando que a integração de base infinitesimal de uma função (nocaso acima, h(t)) que não possui qualquer impulso é sempre zero.

Assim,

h(t) =1

RCe

−tRC u(t)

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2.2.5 Convolução

Até o presente momento, a resolução de uma EDO para obtenção de suaresposta a qualquer sinal x(t) exige, para os sistemas considerados (sendo ounão LTI), o cálculo da resposta homogênea e a resposta forçada associada ax(t).

Se considerarmos um único sistema h(t), qualquer novo sinal (x1(t),x2(t), · · · , etc.) exigirá o mesmo procedimento. Apenas a forma da so-lução homogênea não muda. Mesmo assim, não há nada, até agora, quefacilite a obtenção da resposta y1(t), y2(t), · · · , etc.

O intuito de obter a resposta ao impulso de um sistema é obter umaexpressão matemática que evite a necessidade de resolver EDOs para qual-quer sinal x(t). Partindo do princípio que o sistema é LTI, a saída dessesistema para uma combinação linear de sinais deslocados no tempo é igualà combinação linear das respostas do sistema para cada um desses sinais.

Considerando que qualquer sinal pode ser construído como combinaçãolinear de sinais impulso deslocados no tempo, podemos construir sua saídacombinando as respostas a esses impulsos deslocados no tempo.

Para facilitar o processo, considere o seguinte sinal pulso de duração Tp:

p(t) = rect(t/Tp) =

1, |t| <Tp

2

0, c.c.

Tal sinal tem área Tp. Podemos aproximar qualquer sinal por uma com-binação linear de p(t) deslocados no tempo:

x(t) ≈ · · · + x(−2Tp) p(t − 2Tp) + x(−Tp) p(t + Tp)

+ x(0) p(t)

+ x(+Tp) p(t − Tp) + p(+2Tp) p(t + 2Tp) + · · ·

≈+∞∑

n=−∞

x(n Tp) p(t − n Tp)

Se multiplicarmos e dividirmos a aproximação x(t) por Tp, temos:

x(t) ≈+∞∑

n=−∞

Tp x(n Tp)

1Tp

p(t − n Tp)

em que reconhecemos o termos entre chaves como sendo um pulso retangularde área unitária, e

limTp→dτ

1Tp

p(t) → δ(t)

na qual dτ é um infinitésimo.Os valores x(−2Tp), x(−Tp), x(0), x(+Tp), x(+2Tp), etc. são amostras

de x(t) capturadas a intervalos igualmente espaçados de Tp unidades da

16

variável independente (tempo, no caso). A expressão matemática pode pa-recer estranha mas corresponde a uma soma ponderada de p(t) deslocadosno tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x(t)

Excitação genérica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x(t)

Excitação genérica

Figura 2.1: Exemplo de x(t) e sua versão aproximada por pulsos.

Considere agora hp(t) como a resposta de um sistema ao sinal x(t) =1

Tpp(t), ou seja, resolvendo a EDO do sistema (solução homogênea + solução

particular) para o sinal pulso retangular de área unitária obtemos hp(t) comosua saída.

Se o sistema for LTI, para uma entrada formada pela combinação linearde p(t)’s deslocados no tempo, a saída então será uma combinação linear dehp(t) deslocados no tempo. Ou seja:

y(t) ≈ · · · + Tpx(−2Tp) hp(t − 2Tp) + Tpx(−Tp) hp(t + Tp)

+ Tpx(0) hp(t)

+ Tpx(+Tp) hp(t − Tp) + Tp x(+2Tp) hp(t + 2Tp) + · · ·

≈+∞∑

n=−∞

Tp x(nTp) hp(t − nTp)

Quando Tp se torna um infinitésimo dτ (se for zero, temos uma singu-laridade), nTp (múltiplos desse infinitésimo) se torna uma variável contínuaτ , a resposta ao pulso retangular de área unitária - hp(t) - se torna respostaao impulso unitário - h(t) - e o somatório desses infinitésimos ponderadosde h(t) se tornam uma integração, ou seja:

x(t) =ˆ +∞

−∞x(τ)δ(t − τ)dτ

y(t) =ˆ +∞

−∞x(τ)h(t − τ)dτ

(a segunda expressão é a definição da integral da convolução).

17

Assim, define-se processo de encontrar a saída de um sistema LTI apartir de sua resposta ao impulso como integral da convolução ousimplesmente convolução, sendo calculada por:

y(t) = x(t) ∗ h(t) =ˆ +∞

−∞x(a)h(t − a)da (2.8)

na qual a é uma variável auxiliar para integração (geralmente, livros da áreausam τ no lugar de a: preferimos a para evitar confusão durante a escritada expressão e deixar bem claro que se trata de uma variável auxiliar).

Outro termo para convolução é filtragem, cuja semântica será melhorcompreendida na Capítulo 3.

A Figura 2.2 apresenta uma representação gráfica da aproximação queconduz à convolução. Primeiramente temos o sinal x(t) aproximado porduas versões de pulsos retangulares de área unitária. Da mesma forma,temos a direita aproximações da resposta do sistema a tais pulsos.

-2 0 2 4 6 8 10

t

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x(t)

Excitação senóide amortecida

exatoaproximado (T

p=0.50)

aproximado (Tp=1.75)

-2 0 2 4 6 8 10

t

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x(t)

Resposta ao pulso e impulso de sistema RC

impulsopulso T

p=0.50

pulso Tp=1.75

Figura 2.2: Exemplos de x(t)’s e a resposta do sistema para tais sinais.

Se considerarmos a soma da respostas à combinação linear dos pulsosatrasados que compõem as aproximações de x(t), teremos:

-2 0 2 4 6 8 10

t

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x(t)

Resposta do sistema RC

exata: impulsoaproximada: pulso (T

p=0.50)

aproximada: pulso (Tp=1.75)

Figura 2.3: Respostas do sistema aos pulsos retangulares, e ao impulso.

18

Isso implica em dizermos que a resposta ao impulso de um sistema LTIcarrega todas as informações e características daquele sistema. É como sefosse sua assinatura: a partir da resolução de uma única EDO (para osinal impulso unitário - δ(t)), podemos obter a saída do sistema para qual-quer outro sinal pelo processo de convolução (não mais resolvemos a EDO).Consequentemente, poderíamos manter a lista de respostas ao impulso detodos os sistemas de nosso interesse e, a partir de agora, calcular apenasa convolução - integral imprópria de produto - para obter a saída dessessistemas para quaisquer sinais, por mais esdrúxulo que sejam.

Note que temos duas variáveis na expressão da convolução: a variávelauxiliar a, no cálculo da área de base infinita do produto entre h(a) e x(t−a).Em relação a esta variável, fixamos h(a) em um eixo de abscissa a e refletimosx(a) (gerando x(−a).

Em relação a integração, t é responsável pelo atraso de x(a), ou seja,x(t − a) ≡ x(−a + t) ≡ x(−(a − t)). Assim, fixamos h(a), refletimos eatrasamos x(a) em t e calculamos a área de base infinita.

Ou seja, realizaremos a integração da convolução para um dado t.Claramente a definição da convolução exige o cálculo de uma integral

imprópria, ou seja, espera-se que o resultado seja sempre ∞. Entretanto,características de h(t) ou de x(t) podem conduzir a uma integral imprópriaconvergente ou até mesmo uma integral própria.

Resposta do circuito RC ao degrau unitário

Vimos anteriormente que a resposta ao impulso do circuito RC é:

h(t) =1

RCe

−tRC u(t)

Pela Equação 2.8, temos:

y(t) =ˆ +∞

−∞h(a)x(t − a)da

=ˆ +∞

−∞

1RC

e−aRC u(a)u(t − a)da

Os degraus unitários presentes influenciarão os limites de integração,ou seja:

y(t) =ˆ +∞

0

1RC

e−aRC u(t − a)da

Como u(t−a) 6= 0 para t−a ≥ 0, em relação a variável de integraçãoa, isso significa u(t − a) 6= 0 para a < t.

19

y(t) =

ˆ t

0

1RC

e−aRC da

u(t)

A colocação do u(t) envolvendo o resultado da integração deve-seao fato de que esperamos que y(t) = 0 para t < 0, pois fisicamente ocircuito só opera a partir de t ≥ 0, não fazendo sentido obter saída paraentrada nula (sistema causal).

Matematicamente, pelo fato da integração inicial possuir u(a), queé zero para a < 0, a substituição de t < 0 implica em u(a)u(t − a) = 0para todo a.

Assim, a resposta ao degrau unitário é:

y(t) =

[

1RC

e−aRC (−RC)

]a=t

a=0

u(t)

=(

1 − e−tRC

)

u(t)

2.2.5.1 Propriedades da integral de convolução

As propriedades da convolução evidenciam características do processo deintegração. Sua primeira utilidade é acelerar procedimentos de cálculo cujaabordagem direta (pela integração imprópria propriamente dita) demanda-ria tempo.

Em sistemas LTI cuja resposta ao impulso é conhecida, algumas propri-edades da convolução auxiliam na rápida classificação de um sistema quantoa sua estabilidade, causalidade e memória, sem a necessidade de determinarcasos e contra-casos como visto na Seção 2.2.3.

Amostragem do Impulso Propriedade descreve o processo teórico deatrasar ou adiantar um sinal.

y(t) = x(t) ∗ Aδ(t − t0) = Ax(t − t0) (2.9)

O termo A apenas qualifica uma amplificação ou atenuação, real ou com-plexa. Note que no atrasador/avançador perfeito, a amplitude de entradapermanece inalterada na filtragem.

Demonstração. Pela definição de convolução, com x(t) = δ(t − t0), temos:

y(t) = x(t) ∗ δ(t − t0)

=ˆ +∞

−∞x(t − a)x(a)da

=ˆ +∞

−∞x(t − a)δ(a − t0)da

20

Como a integração imprópria envolve a função δ(a−t0), ela só faz sentidopara a = t0, cujo resultado é uma das definições do impulso unitário, ou seja:

y(t) = x(t − t0)

Comutativa Propriedade interessante para cálculos, pois indica que a or-dem dos sinais na integral da convolução é irrelevante.

x(t) ∗ y(t) = y(t) ∗ x(t) (2.10)

Demonstração. Pela definição de convolução, temos:

x(t) ∗ y(t) =ˆ +∞

−∞x(a)y(t − a)da

Por troca de variáveis (t − a = a′, a = t − a′, da = −da′, a = −∞ ⇒a′ = +∞ e a = +∞ ⇒ a′ = −∞), temos:

x(t) ∗ y(t) = −

ˆ −∞

+∞x(t − a′)y(a′)da′

=ˆ +∞

−∞x(t − a′)y(a′)da′

= y(t) ∗ x(t)

Distributiva ou Paralela

y(t) = [h1(t) + h2(t)] ∗ x(t) = h1(t) ∗ x(t) + h2(t) ∗ x(t) (2.11)

Demonstração. Pela definição da convolução, temos:

y(t) = [h1(t) + h2(t)] ∗ x(t)

=ˆ +∞

−∞[h1(a) + h2(a)] x(t − a)da

=

[

ˆ +∞

−∞h1(a)x(t − a)da

]

+

[

ˆ +∞

−∞h2(a)x(t − a)da

]

= h1(t) ∗ x(t) + h2(t) ∗ x(t)

21

Diferenciação

y(t) = h(t) ∗ x(t) ⇒d

dty(t) =

d

dth(t) ∗ x(t)

⇒d

dty(t) = h(t) ∗

d

dtx(t)

(2.12)

Isso implica que a soma da ordem das derivadas do lado direito deve serigual ao número de derivadas do lado esquerdo, ou seja:

d2

dt2y(t) =

d2

dt2h(t) ∗ x(t)

= h(t) ∗d2

dt2x(t)

=d

dth(t) ∗

d

dtx(t)

Para usar esta propriedade, é necessário reconhecer que um dos lados daconvolução pode ser derivado sucessivamente até produzir completamentecombinações lineares de δ(t). Assim, calcula-se primeiro a derivada suces-siva de y(t), que será uma convolução em que um dos lados possui apenascombinação linear de sinais impulso e, em seguida, integra-se sucessivamenteesse resultado (usando integrações cumulativas) até encontrar o resultadooriginal desejado (y(t)).

Demonstração. Pela definição da convolução, temos:

y(t) =ˆ +∞

−∞x(a)h(t − a)da

d

dty(t) =

d

dt

ˆ +∞

−∞x(a)h(t − a)da

=ˆ +∞

−∞x(a)

d

dth(t − a) da

=ˆ +∞

−∞

d

dtx(a) h(t − a)da

= x(t) ∗d

dth(t) =

d

dtx(t) ∗ h(t)

Escala

y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇒ y(at) = |a|x(at) ∗ h(at) (2.13)

Demonstração. Pela definição de convolução, temos:

y(t) = x(t) ∗ y(t) =ˆ +∞

−∞x(τ)y(t − τ)dτ

22

Considere agora t = ±|a|, ou seja, t pode sofrer escala positivo (+|a|) ounegativa (−|a|). Logo,

y(±|a|t) =ˆ +∞

−∞x(τ) h(±|a|t − τ)dτ

=ˆ +∞

−∞x(τ) h

(

±|a|

(

t −

(

τ

±|a|

)))

dτ

Por troca de variáveis (t− (τ/±|a|) = τ ′, τ = ±|a|(t− τ ′), dτ = ∓|a|dτ ′,τ = ±∞ ⇒ τ ′ = ∓∞ para a < 0 e τ = ∓∞ ⇒ τ ′ = ±∞ para a > 0), temos:

y(±|a|t) = ∓|a|

ˆ ∓∞

±∞x(±|a|(t − τ ′)) h(±|a|τ ′)dτ ′

= |a|

ˆ +∞

−∞x(a(t − τ ′)h(aτ ′)dτ ′

= |a|x(at) ∗ h(at)

Estabilidade Agora que dispomos da resposta ao impulso de um sistemaLTI, podemos determinar rapidamente se o mesmo é ou não estável no sen-tido BIBO (Bounded Input, Bounded Output: Um sistema LTI é estável se,e só se:

ˆ +∞

−∞|h(t)| < ∞ (2.14)

Demonstração. Seja um sistema LTI representado pela sua resposta ao im-pulso h(t). Seja x(t) um sinal de amplitude limitada:

|x(t)| ≤ A < ∞

na qual A é um valor tão grande quanto possível mas nunca infinito.Pela definição da convolução, temos:

y(t) =ˆ +∞

−∞h(τ)x(t − τ)dτ

|y(t)| =

∣

∣

∣

∣

∣

ˆ +∞

−∞h(τ)x(t − τ)dτ

∣

∣

∣

∣

∣

≤

ˆ +∞

−∞|h(τ)x(t − τ)| dτ

≤

ˆ +∞

−∞|h(τ)| |x(t − τ)| dτ ≤

ˆ +∞

−∞|h(τ)A| dτ

≤ A

ˆ +∞

−∞|h(τ)| dτ

23

Se´ +∞

−∞ |h(a)|da for finita/limitada, então |y(t)| também será fi-nita/limitada.

ˆ +∞

−∞|h(a)|da ⇒ |y(t)| ≤ C < ∞

Causalidade Um sistema é causal se não há dependência de informaçõesno futuro, ou nenhuma resposta é produzida (y(t) = 0) até um instante t0

se não houver qualquer excitação até t0. Isso significa que em um sistemaLTI cuja resposta ao impulso é conhecida temos:

h(t) = 0, t < 0 (2.15)

Demonstração. Seja x(τ) = 0 para τ < t0.Logo

y(t) =ˆ +∞

−∞x(τ)h(t − τ)dτ =

ˆ +∞

t0

x(τ)h(t − τ)dτ

Se o sistema for causal, isso implica em y(t) = 0 para t < t0, ou seja:

ˆ +∞

t0

x(τ)h(t − τ)dτ = 0, t < t0

Ou seja, h(t − τ) = 0 para t < t0 e τ > 0 (pois x(τ) = 0 para τ < t0).Combinando estas inequações, temos:

t < t0

τ > t0 ⇒ −τ < −t0

⇒ t − τ < 0

Logo h(t − τ) = 0 se, e só se, t − τ < 0, ou, de modo simplificado,h(x) = 0 se, e só se, x < 0.

Memória Um sistema LTI com resposta ao impulso h(t) é dito sem me-mória se, e só se:

h(t) = 0, t 6= 0 (2.16)

Demonstração. Pela definição de convolução temos:

24

y(t) =ˆ +∞

−∞x(τ)h(t − τ)dτ =

= lime→0

ˆ −e

−∞x(τ)h(t − τ)dτ+

lime→0

ˆ +e

−ex(τ)h(t − τ)dτ+

lime→0

ˆ +∞

+ex(τ)h(t − τ)dτ

Enquanto a última integração define a dependência de y(t) do passado dex(t) (causalidade), a primeira integração define sua dependência do futurode x(t) (anti-causalidade). Ambos devem ser nulos para um sistema sememória.

Logo, um sistema é dito sem memória se h(t) = 0 para t 6= 0, pois issoimplica em termos apenas a segunda integração produzindo valores não-nulos.

Convolução entre rect(t/2) e rect(t − 1)

Primeiramente, converteremos as funções retangulares em funções maissimples (no caso, em degraus unitários). Assim

rect(t/2) = u(t + 1) − u(t − 1)

rect(t − 2) = u(t − 3/2) − u(t − 5/2)

-1 0 1

t

1

1.5 2 2.5

t

1

Figura 2.4: Representação gráfica dos sinais a serem convoluídos.

Ao invés de calcularmos diretamente a convolução entre essas fun-ções (y(t)), calcularemos a convolução da derivada da derivada de y(t).Isso implica em:

25

d2

dt2y(t) =

d

dtrect(t/2) ∗ rect(t − 2)

=d

dtu(t + 1) − u(t − 1) ∗ u(t − 3/2) − u(t − 5/2)

= δ(t + 1) − δ(t − 1) ∗ δ(t − 3/2) − δ(t − 5/2)

Pelas Equações 2.9 e 2.11 (propriedades distributiva e da convoluçãocom impulso unitário atrasado/adiantado, respectivamente), considereum dos lados da última expressão como h(t) e o outro como aquela quepossui impulsos unitários:

d2

dt2y(t) = δ((t + 1) − 3/2) − δ((t + 1) − 5/2)

− δ((t − 1) − 3/2) + δ((t − 1) − 5/2)

= δ(t − 1/2) − δ(t − 3/2) − δ(t − 5/2) + δ(t − 7/2)

Agora, integrando cumulativamente duas vezes a última expressão,temos:

d

dty(t) =

ˆ t

−∞

d2

da2y(a)da

= u(t − 1/2) − u(t − 3/2) − u(t − 5/2) + u(t − 7/2)

e

y(t) =ˆ t

−∞

d

day(a)da

= rampa(t − 1/2) − rampa(t − 3/2)

− rampa(t − 5/2) + rampa(t − 7/2)

ou, graficamente,

26

0.5 1.5 2.5 3

t

1

Figura 2.5: Representação gráfica dos sinais a serem convoluídos

Note que este problema poderia ser resolvido com apenas uma de-rivação e uma integração cumulativa, já que na primeira derivação, umdos lados seria transformado em combinação linear de sinais impulso.

Capítulo 3

Análise da frequência

X(Ω) =ˆ +∞

−∞x(t) e−Ωtdt (3.1)

e

x(t) =ˆ +∞

−∞X(Ω) eΩtdt (3.2)

3.1 Transformada generalizada

Como vimos, o cálculo da transformada de Fourier de um sinal qualquerexige a resolução de uma integral imprópria, que pode ser transformada emuma integral definida de acordo com as características do sinal (por exemplo,se o sinal tiver duração finita, os limites da integral deixam de ser −∞ e+∞.

Exemplo: x(t) = A

Seja x(t) = A, onde A é um sinal constante. Aplicando a definição detransformada de Fourier, temos:

X(Ω) =ˆ +∞

−∞x(t) e−Ωtdt

=ˆ +∞

−∞A e−Ωtdt

= A

ˆ +∞

−∞e−Ωtdt

que não converge.Agora, calculando a transformada de Fourier do sinal:

27

28

xσ(t) = x(t)e−σ|t|

com σ ∈ R.Temos que:

X(Ω) = limσ→0

Xσ(Ω)

e

Xσ(Ω) =ˆ +∞

−∞xσ(t) e−Ωtdt =

=ˆ +∞

−∞x(t)e−σ|t| e−Ωtdt =

= A

ˆ +∞

−∞e−σ|t| e−Ωtdt

Como

|t| =

t t > 0

−t t ≤ 0

Então

Xσ(Ω) = A

ˆ 0

−∞e(σ−Ω)tdt +

ˆ +∞

0e(−σ−Ω)tdt

= A

[

e(σ−Ω)t

σ − Ω

]t=0

t=−∞

+

[

e(σ−Ω)t

−σ − Ω

]t=+∞

t=0

= A2σ

σ2 + Ω2

E

X(Ω) = limσ→0

A2σ

σ2 + Ω2

Note que X(Ω) = 0 para Ω 6= 0. Entretanto é indefinido paraΩ = 0. Aparentemente parece que tal transformada se assemelha muitocom a função impulso (agora no domínio da frequência). Para sabermosse realmente se trata dessa função, devemos calcular a área de Xσ(Ω)e verificar se ela é uma área constante. Em caso afirmativo, se trata dafunção impulso. Caso contrário, é outra função.

Calculando a área, temos:

29

ˆ +∞

−∞Xσ(Ω) =

ˆ +∞

−∞A

2σ

σ2 + Ω2

= 2A

[

arctan(

Ωσ

)]σ=+∞

σ=−∞

Note que a função arctan(x) admite uma infinidade de valores parax = −∞ e para x = +∞, da forma −pi/2 + 2kπ e +pi/2 + 2kπ, res-pectivamente. Mas nosso interesse é o resultado no intervalo [−π, +π],nos valores principais de x. Isso significa que a área de Xσ(Ω) - e,consequentemente, de X(Ω) é:

ˆ +∞

−∞Xσ(Ω) = 2A [π − (−π)]

= 2πA

Note que se a área fosse 1, saberíamos que se trata da função im-pulso. Como a área é constante mas não unitária, sabemos que se tratade um múltiplo 2πA da unidade. Ou seja.

X(Ω) = 2πδ(Ω)

Exemplo: x(t) = sen(Ω0t)

Seja x(t) = cos(Ω0t). Aplicando a definição de transformada de Fourier,temos:

X(Ω) =ˆ +∞

−∞x(t) e−Ωtdt

=ˆ +∞

−∞sen(Ω0t) e−Ωtdt

que não converge, seja pela função sen() ou pelo exponencial complexoda integração.

Para facilitar as operações de integração, transformaremos a funçãocos(t) em exponenciais complexas pela relação de Euler, ou seja:

x(t) = sen(Ω0t) =eΩ0t − e−Ω0t

2

Calculando a tranformada de Fourier de xσ(t) = x(t)e−σ|t| elevando-se em conta a função modular |t|:

30

Xσ(Ω) =12

[

ˆ 0

−∞e+Ω0te+σte−Ωt +

ˆ +∞

0e+Ω0te−σte−Ωt

]

−12

[

ˆ 0

−∞e−Ω0te+σte−Ωt +

ˆ +∞

0e−Ω0te−σte−Ωt

]

=12

[

1σ − (Ω − Ω0)

+−1

−(σ + (Ω − Ω0))

]

−12

[

1σ − (Ω + Ω0)

+−1

−(σ + (Ω + Ω0))

]

=12

[

2σ

σ2 + (Ω − Ω0)2−

2σ

σ2 + (Ω + Ω0)2

]

Aplicando σ → 0 e usando resultados do exemplo anterior, temos:

X(Ω) = limσ→0

Xσ(Ω)

=π

[δ(Ω − Ω0) − δ(Ω + Ω0)]

= π [δ(Ω + Ω0) − δ(Ω − Ω0)]

Exemplo: x(t) = cos(Ω0t)

Seja x(t) = cos(Ω0t). Aplicando a definição de transformada de Fourier,temos:

X(Ω) =ˆ +∞

−∞x(t) e−Ωtdt

=ˆ +∞

−∞cos(Ω0t) e−Ωtdt

que não converge, seja pela função cos() ou pelo exponencial complexoda integração.

Para facilitar as operações de integração, transformaremos a funçãocos(t) em exponenciais complexas pela relação de Euler, ou seja:

x(t) = cos(Ω0t) =eΩ0t + e−Ω0t

2Assim, temos:

31

X(Ω) =12

[

ˆ +∞

−∞e+Ω0te−Ωt +

ˆ +∞

−∞e−Ω0te−Ωt

]

=12

[

ˆ +∞

−∞e−(Ω−Ω0)t +

ˆ +∞

−∞e−(Ω+Ω0)t

]

Mas, como vimos no exemplo anterior:

ˆ +∞

−∞e−Ωtdt = 2πδ(Ω)

Logo:

X(Ω) = π [δ(Ω − Ω0) + δ(Ω + Ω0)]

Exemplo: x(t) = sign(t)

Esta função é estudada apenas para dar suporte a análise do sinaldegrau unitário, que será visto na sequência. Seja x(t) = sign(t). Apli-cando a definição de transformada de Fourier, temos:

X(Ω) =ˆ +∞

−∞x(t) e−Ωtdt

=ˆ +∞

−∞sign(Ω0t) e−Ωtdt

que não converge.Aproximando x(t) = limσ→0 xσ(t), e lembrando que:

sign(t) =

−1, t < 0

0, t = 0

+1, t > 0

Temos:

X(Ω) = limσ→0

ˆ +∞

−∞sign(t)e−σ|t| e−Ωtdt

= limσ→0

[

ˆ 0

−∞−e+σte−Ωtdt +

ˆ +∞

0e−σte−Ωtdt

]

= limσ→0

[

−1

σ − Ω+

1σ + Ω

]

=1

Ω+

1Ω

=2

Ω

32

Exemplo: x(t) = u(t)

Sabendo que a relação entre u(t) e sign(t) é dada por:

u(t) =12

(1 + sign(t))

Podemos calcular a transformada de Fourier de u(t) a partir depropriedades simples, ou seja:

X(Ω) =ˆ +∞

−∞

12

(1 + sign(t)) e−Ωtdt

=12

ˆ +∞

−∞e−Ωtdt +

ˆ +∞

−∞sign(t) e−Ωtdt

=

=12

2πδ(Ω) +2

Ω

= πδ(Ω) +1

Ω