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Logaritmo — 1 —

Função Logarítmica

Introdução

Veja a sequência de cálculos abaixo: 12 2= 22 4= x2 6= 32 8=

Qual deve ser o valor de x nesse caso? Como a função exponencial é estritamente crescente, certamente x está entre 2 e 3. Mais adiante veremos que este valor é 2log 6 .

Definição

O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve elevar a base para se obter b.

xa

forma exponencialforma logarítmica

log b x a b= ⇔ =�� (1.1)

b 0, a 0 e a 1> > ≠

Exemplo 1: Calcule o valor do logaritmo 10log 0,01 .

Solução: Aplicando a definição (1.1), temos:

x 210

1log x 10 10 x 2

100−= ⇒ = ⇒ = −

Observação 1: Quando a base é 10 podemos omiti-la.

Condições de Existência

Para que o logaritmo sempre exista devemos ter:

a

b 0log b

a 0 e a 1

>⇒ > ≠

Chamamos de campo de existência ou domínio dos logaritmos.

Exemplo 1: Calcule o valor de x na expressão x

1log 2

4

=

.

Solução: Aplicando a definição teremos:

2 1 1x x

4 4= ⇒ = ±

1x

2= ou

1x

2= −

Testando as condições de existência: x 0> e x 1≠

Portanto, somente um valor de x atende ao problema: 1

x2

=

Conseqüências da Definição

A partir da definição de logaritmos, algumas particularidades ocorrem e estas são importantes para a resolução de problemas:

1) alog 1 0=


Logaritmo — 2 —

2) alog a 1=

3) malog a m=

4) alog ba b= 5) a alog b log c b c= ⇔ =

Equações Logarítmicas

São as equações que envolvem logaritmos. Para resolver seguimos três passos simples:

1) Indicar as condições de existência; 2) Resolver a equação; e 3) Verificar a solução nas condições de existência.

Exemplo 1: Resolver a equação: ( )4log 5x 1 2− = .

Solução: Seguindo os passos temos: 1) Condições de existência (CE):

15x 1 0 x

5− > ⇒ >

2) Aplicando a definição:

2 175x 1 4 x

5− = ⇒ =

3) Verificando as CE temos: 17 1

5 5>

Portanto, a solução encontrada é válida.

S = {17

5}

Propriedades Operacionais dos Logaritmos

Segue abaixo uma lista de propriedades dos logaritmos que aplicaremos para resolver problemas.

1) b b blog ac log a log c= +

2) b b b

alog log a log c

c= −

3) nb blog a n log a=

4) nb b

1log a log a

n=

5) n bb

1log a log a

n=

Aplicação das Propriedades na Resolução de Equações

Vamos aplicar as propriedades vistas anteriormente na resolução de equações.

Exemplo 1: Resolver a equação ( ) ( )2 2log x 2 log x 2 5+ + − = .

Solução: Primeiro vamos às CE: 1) x 2 0+ >

x 2> − e

2) x 2 0− >

x 2>


Logaritmo — 3 —

Para que exista o logaritmo, ambas as condições 1) e 2) devem ser satisfeitas, portanto teremos x 2> . Como vimos, a soma de logaritmos equivale ao logaritmo de um produto, logo:

( ) ( )2log x 2 x 2 5− + =

( )22log x 4 5− =

2x 4 32− = 2x 36=

O que nos dá x 6= − ou x 6=

Verificando as condições de existência, temos x 6=

Portanto

{ }S 6=

Mudança de Base

Para mudarmos um logaritmo na base b, de um número a para o logaritmo de a na base c, usamos a seguinte relação:

cb

c

log alog a

log b= (1.2)

Exemplo 1: Sendo log 2 0,3= e log 3 0, 4= , calcular 2log 6 .

Solução: Podemos usar a relação (1.2). Como os valores dados estão na base 10 podemos fazer:

2

log 6log 6

log 2=

Para calcular log 6 podemos usar a propriedade do logaritmo de um produto:

2

log 2 3log 6

log 2

⋅=

2

log 2 log 3log 6

log 2

+=

Pelos valores dados

2

0,3 0,4log 6

0,3

+=

2

7log 6

3=

Gráfico da Função Logarítmica

Seja a função logarítmica:

( ) 2f x log x=

Adotando valores positivos para x e, calculando o correspondente em y, teremos o Gráfico 1:


Logaritmo — 4 —

1 2

1

0

( )f x

x

Gráfico 1

Agora vamos considerar a função

( ) 1

2

f x log x=

Fazendo o mesmo procedimento anterior, teremos o Gráfico 2:

1 2

1−

0

( )f x

x

Gráfico 2

Dos exemplos dados, podemos concluir que:

― Se a 1> , então ( ) af x log x= é crescente.

― Se 0 a 1< < , então ( ) af x log x= é decrescente.

Inequações Logarítmicas

Para resolvermos um problema envolvendo desigualdades e logaritmos, devemos levar em conta as condições de existência e a base do logaritmo, devido às propriedades do gráfico de uma função logarítmica. Veja: Se a 1> teremos uma função crescente, o que significa dizer que

1 2 1 2x x y y< ⇔ <

Então

1 2 a 1 a 2x x log x log x< ⇔ <

Se 0 a 1< < teremos uma função decrescente, o que significa dizer que

1 2 1 2x x y y< ⇔ >

Então

1 2 a 1 a 2x x log x log x< ⇔ >

Exemplo 1: Resolver a inequação ( )3 3log 5x 1 log 4− > .

Solução: Checando as condições de existência:

15x 1 0 x

5− > ⇒ >

Como a base é maior que 1 (a base vale 3) a desigualdade se conserva: 5x 1 4− > 5x 5> x 1>

Como a solução satisfaz as condições de existência, então:


Logaritmo — 5 —

{ }S x | x 1= ∈ >ℝ

Exercícios de Fixação

1) A solução da equação 6 x 14

16− = é o número real k. Calcule a logaritmo de k na

base 2. 2) No campo real para que valores de x tem sentido a expressão:

( )210y log x x 12= + − ?

3) Determinar o conjunto de valores reais para que seja possível definir

2

10 2

x x 12y log

x 2x 1

− −= − + .

4) Determine o valor da expressão: 4 5log 3 log 45 ⋅

5) Determine y, se ( )25 3

1log log y

2=

6) Seja k a solução da equação ( )8 2log log x 12

2= . Calcule o valor de 8k .

7) Resolva, no campo real, a equação 10 2

x 1log 0

x 1

+ = + .

8) Dê o conjunto solução da equação 3 log x

42 log x

+ =−

.

9) Calcule 3 3 3clog a b c , sendo clog a 5= e clog b 2= .

10) Encontre os valores de x para os quais 2 log x log 4 log 3x= + .

11) Resolva a equação ( )2 x2 xlog 5 log 400 4+− + = .

12) Dê o conjunto solução da equação 3

3x

1log x 2

log 9+ = .


Logaritmo — 6 —

Gabarito 1) 3

2) { }x | x 4 x 3∈ < − ∪ >ℝ

3) { }x | x 3 x 4∈ < − ∪ >ℝ

4) 3 5) 243 6) 2

7) { }0,1

8) { }10

9) 52

27

10) { }12

11) { }2, 2−

12) { }3

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