#ConquistaNoEstudo ■ #Dia1Semana4 Ensino Médio ■ 2º. ano

Matemática

LogaritmosDefinição de logaritmo, logaritmo de um número, propriedades dos logaritmos, Função logarítmica e equações logarítmicas.

O estudo dos logaritmos permite resolver problemas encontrados em situações reais, como, por exemplo, na música, na economia, na química e na medida da intensidade dos abalos sísmicos. Apropriar-se dos conceitos de logaritmos significa ter mais uma ferramenta para resolver problemas e de reconhecer a realidade.

“É preciso perceber a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la, trabalhando-se subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações.” (PCN 1998)

#PartiulogaritmosComCQT

#ConteúdoObjetivos:

■ Conhecer a história dos logaritmos;

■ Compreender a ideia de logaritmo;

■ Reconhecer a importância do seu estudo;

■ Explorar logaritmo de um número;

■ Equações logarítmicas;

■ Calcular equações logarítmicas.

#ConteúdoPara esta aula de logaritmos, apresentaremos de uma situação em que se fez necessário o estudo dos logaritmos, para posteriormente explorarmos seus conceitos, história e algumas aplicações com exercícios.

Videoaula para ajudar:

https://www.youtube.com/watch?v=esdFuyG7zGs

#SaberMaisOs astrônomos medem o brilho aparente dos objetos que aparecem no céu através das magnitudes. A escala de magnitudes é diferente da maioria das escalas que estamos acostumados a utilizar, pois se trata de uma escala inversa. Quanto menor o valor do número, maior o brilho do objeto. Quando observamos o firmamento estrelado, notamos que as estrelas possuem brilhos diferentes. Algumas estrelas possuem brilho intenso, existem aquelas que têm brilho intermediário e outras que mal podemos enxergá-las. Esta diversidade chamou a atenção dos antigos observadores da Grécia Clássica, onde teve origem o primeiro sistema de classificação das estrelas segundo o seu brilho, e que acabou originando o sistema utilizado até os dias de hoje. Na metade do século XIX havia evidências de que a resposta visual a um estímulo seria proporcional ao logaritmo da intensidade luminosa. Mas apenas em 1856 o astrônomo inglês Normam Pogson (1829 – 1891) desenvolveu um modelo matemático preciso para o sistema de magnitudes estelares. Pogson propôs então a criação de uma escala de acordo com a que já se conhecia levando em consideração a resposta visual aos estímulos luminosos. A magnitude estabelecida desta forma por Pogson, chamada de magnitude visual, passa a ser representada pela letra m (minúscula) e está definida pela relação abaixo, onde Fv (e.g. W/m2) é o fluxo visual da estrela considerada, e F0 é o fluxo visual de Vega, que por definição tem magnitude zero.

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Por meio desta ferramenta de cálculo, alguns objetos astronômicos foram listados conforme ilustrado no quadro abaixo:

Observando os dados do quadro acima e a fórmula descoberta por Pogson, descubra quantas vezes a estrela Sírius é mais brilhante que a estrela Acrux, a estrela mais brilhante do Cruzeiro do Sul.

Resposta na próxima aula

Para te ajudar, segue a fórmula inicial

#SaberMaisA história do uso logaritmoNo início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar esses cálculos, surgiram naquela época as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente por Jost Bürgi (1552-1632) e John Napier (1550-1671). Seguidos de Henry Briggs (1561-1631), que aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais. Segundo Maor (2008), Napier após realizar alguns estudos, descobrindo o comportamento de alguns números quando submetidos a determinadas operações, chamou o expoente de cada potência de “número artificial”, mas depois decidiu pelo termo logaritmo, a palavra significando “número proporcional”. Segundo ele, os logaritmos facilitaram os cálculos principalmente por permitir transformar as operações de multiplicação em adição e de divisão em subtração. Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que estavam envolvidos na Navegação e Astronomia. Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos “duplicou” a vida dos astrônomos, pois produziriam muito mais do que haviam produzido antes dos logaritmos. Posteriormente, surgiram às réguas de cálculo, baseadas nessas propriedades dos logaritmos. Hoje, com o advento das calculadoras e microcomputadores, elas caíram em desuso.

#ConteúdoLogaritmos O logaritmo é um importante instrumento para a resolução de equações exponenciais. Segundo Lima (2013), além de servir para o cálculo destas equações, atualmente continuam a merecer destaque na matemática, devido a suas aplicações. Esta posição justifica-se porque a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, constituem a única maneira de descrever matematicamente a evolução de uma grandeza em função de sua taxa de crescimento (ou decrescimento) num dado momento.

Definição de logaritmo de um número:

Dados os números reais positivos a e b, com a ≠ 1 chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b.

Em símbolos: se a, b ∈ , 0 < a ≠ 1 e b > 0, então: logab = x → ax = b

Em logab = x, dizemos:

a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

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A partir dos conhecimentos adquiridos, resolva os exercícios abaixo:

1. A que número x se deve elevar:

a) O número 2 para se obter 8?

b) O número 3 para se obter 181

?

2. Calcule:

Não deixe de enviar as resoluções ao seu professor.Resolução na próxima aula.

#ConteúdoAplicação dos logaritmos no dia a dia

Os logaritmos têm aplicações em diversas áreas do conhecimento, como na própria Matemática, em Química, Biologia, Geografia, etc.

Os logaritmos têm várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. Por meio de exemplos, demonstraremos a utilização dessas técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Definição básica

O logaritmo de um número b, em certa base a, é o expoente x que se deve atribuir a essa base para obter o número b.

Exemplos:

log28 = 3 ↔ 23 = 8

log10100 = 2 ↔ 102 = 100

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1º. exemplo – Matemática FinanceiraUma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária, que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C·(1 + i)t. De acordo com a situação-problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C · (1 + i)t

3500 = 500 · (1 + 0,035)t

3500/500 = 1,035t

1,035t = 7

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2º. exemplo – GeografiaEm uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade dobrará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0

População após um ano = P0 · (1,03) = P1

População após dois anos = P0 · (1,03)2 = P2

População após x anos = P0 · (1,03)x = Px

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3º. exemplo – QuímicaDetermine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra à taxa de 2% ao ano, reduza-se a 200 g.

Utilize a seguinte expressão: Q = Q0 · e–rt, em que Q é a massa da

substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 · e–rt

200 = 1000 · e–0,02t

200/1000 = e–0,02t

1/5 = e–0,02t

#EntreterimentoO filme mostra os antecedentes e as consequências do colapso econômico mundial de 2008. No filme, quatro analistas, baseados em estatísticas e usando modelos de previsões, conseguem antever um colapso bancário e percebem a fragilidade do modelo usado pelas agências de risco até então. Baseado na história real do analista Michael Lewis. A teoria das probabilidades, juntamente com as funções que distribuem essas probabilidades, são as partes fundamentais da Matemática retratadas no filme e são amplamente estudadas em cursos de Economia e Ciências Atuariais, permitindo fazer, de forma adequada, análise e precificação de riscos em operações financeiras.

Também baseado numa história real, o técnico de baseball do time Oakland A’s contrata o estatístico Peter Brand para usar modelos matemáticos que permitem identificar jogadores que, isoladamente em seus times, não tinham um bom desempenho – e, por isso, seu ‘passe’ não era um valor alto – mas que, quando combinados todos num mesmo time, produziriam um resultado significativamente melhor. É mais um filme que mostra a importância da modelagem algébrica de problemas, utilizando a teoria das funções e conhecimentos de estatística. Nesse filme, vale o destaque para a discussão entre modelos intuitivos e modelos matemáticos, representados pela discussão entre como os ‘olheiros’ recrutavam jogadores e os modelos probabilísticos de recrutamento.