curso probabilidade

7/24/2019 curso probabilidade

http://slidepdf.com/reader/full/curso-probabilidade 1/171

Analise Combinatoria eProbabilidade

Francisco Oliveira de Lima

7 de maio de 2015



Analise Combinatoria eProbabilidade



SIGLAS

UFS - SE - Universidade Federal de Sergipe.UFPR - Universidade Federal do Parana.IFPA - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do ParaIFMA - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Maranhao.UEPA - Universidade Estadual do Para.UFPA - Universidade Federal do Para.UFMA - Universidade Federal do Maranhao.UEMA - Universidade Estadual do Maranhao.IFAP - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Amapa.

IFNMG - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Norte de Minas Gerais.IFMG - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Minas Gerais.UFU - MG - Universidade Federal de Uberlandia.UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais.UEMG - Universdidade do Estado de Minas Gerais.UFOP -MG - Universidade Federal de Ouro Preto.UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro.UF Rural - RJ - Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro.UFF - RJ - Universidade Federal Fluminense.IFF - RJ - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia Fluminense.

UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro.CESGRANRIO - RJ - Fundacao Cesgranrio.IF Sul Minas - MG - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Sul de MinasGerais.UNIVASF - Universidade Federal do Vale do Sao Francisco.UESC - BA - Universidade Estadual de Santa Cruz.UFBA - Universidade Federal da Bahia.UEFS - BA - Universidade Estadual de Feira de Santana.IFBA - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da Bahia.IFES - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Espirito Santo.UFES - Universidade Federal do Espırito Santo.IFS - SE - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Sergipe.IFPR - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Parana.UEPG - PR - Universidade Estadual de Ponta Grossa.UEM - PR - Universidade Estadual de Maringa.UFC - CE - Universidade Federal do Ceara.IFCE - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Ceara.URCA - CE - Universidade Regional do Cariri.UFGD - MS - Universidade Federal da Grande Dourados.UFG - GO - Universidade Federal de Goias.UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.



OBMEP - Olimpiada Brasileira de Matematica das Escolas Publicas.CESPE - UNB - Centro de Selecao e de Promocao de Eventos da Universidade de Brasılia.UFT -TO - Universidade Federal do Tocantins.IFTO - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Tocantins.FCC - Fundacao Carlos Chagas.IFPE - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Pernambuco.UFPE - Universidade Federal de Pernambuco.UPE - Universidade de Pernambuco.Mackenzie - SP - Universidade Presbiteriana Mackenzie.IFAL - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Alagoas.UFAL - Universidade Federal de Alagoas.

UFLA - MG - Universidade Federal de Lavras.UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul.IF Farroupilha - RS - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia Farroupilha.UNICAMP - SP - Universidade Estadual de Campinas.ITA - SP - Instituto Tecnologico da Aeronautica.UNIFEI - MG - Universidade Federal de Itajuba.IFSP - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Sao Paulo.IFMT - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Mato grosso.UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso.UNEMAT -MT - Universidade do Estado de Mato Grosso.

IFRN - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Rio Grande do Norte.UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.UERN - Universidade do Estado do Rio Grande do Norte.FGV - Fundacao Getulio Vargas.UFCG - PB - Universidade Federal de Campina Grande.UFAM - Universidade Federal do Amazonas.UEA - AM - Universidade do Estado do Amazonas.UEAP - Universidade do Estado do Amapa.PUC - RJ - Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro.PUC - MG - Pontifıcia Universidade Catolica de Minas Gerais.

PUC - RS - Pontifıcia Universidade Catolica do Rio Grande do Sul.PUC - PR - Pontifıcia Universidade Catolica do Parana.PUC - SP - Pontifıcia Universidade Catolica de Sao Paulo.UNIVASF - Universidade Federal do Vale do Sao Francisco.UFV - MG - Universidade Federal de Vicosa.UNIFESP - Universidade Federal de Sao Paulo.UNIR - RO - Universidade Federal de Rondonia.FEI - SP - Centro Universitario da FEI - Fundacao Educacional Inaciana Pe. Saboia deMedeiros.ULBRA - RS - Universidade Luterana do Brasil.UCS - RS - Universidade de Caxias do Sul.

FURG - RS - Universidade Federal do Rio Grande.



IFRS - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Rio Grande do Sul.UFSM - RS - Universidade Federal de Santa Maria.FUVEST - SP - Fundacao Universitaria para o Vestibular.VUNESP - SP - Fundacao para o vestibular da Unesp.UNESP - Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho.UFTM - MG - Universidade Federal do Triangulo Mineiro.UFAC - Universidade Federal do Acre.EsPCEx - SP - Escola Preparatoria de Cadetes do Exercito.AFA - SP - Academia da Forca Aerea.NUCEPE - UESPI - Nucleo de Concursos e Promocao de eventos da Universidade Esta-dual do Piauı.

UESPI -Universidade Estadual do Piauı.IFPI - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Piauı.UFPI - Universidade Federal do Piauı.IFG - GO - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Goias.Unimontes - MG - Universidade Estadual de Montes Claros.Unirio - RJ - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro.Ufscar - SP - Universidade Federal de Sao Carlos.UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina.UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul.UNIFOR - CE - Universidade de Fortaleza.

UNIFAL - MG - Universidade Federal de Alfenas.IFRO - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Rondonia.IF Sudeste MG - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Sudeste de MinasGerais.UFRR - Universidade Federal de Roraima.UEPB - Universidade Estadual da Paraıba.UFPB - Universidade Federal da Paraıba.UEG - GO - Universidade Estadual de Goias.



”A matem´ atica e linda, igualmente um sorriso

estampado no rosto de uma crianca sapeca”

Januario Oliveira de Lima.



Prefacio

Esse texto foi produzido com o objetivo, de fornecer uma variedade de questoesreferentes ao estudo da Analise Combinatoria, Binomio de Newton e a Probabilidade denıvel medio. Notamos que esse assunto apresenta grandes aplicacoes em problemas docotidiano. Desejo sucesso a todos os estudantes.

12 de abril de 2015.Dom Eliseu - PA.

7



Sumario

Prefacio 7

1 Analise Combinatoria 101.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Permutacao Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Permutacao com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Combinacao Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.10 Respostas dos Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.11 Respostas dos Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 Binomio de Newton 562.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2 Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Termo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4 Polinomio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.6 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.8 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.9 Respostas dos Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.10 Respostas dos Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Probabilidade 823.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.2 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3 Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.5 Distribuicao Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8



SUM ARIO 9

3.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.8 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.9 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.10 Respostas dos Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.11 Respostas dos Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4 Questoes Resolvidas 1474.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Referencias Bibliograficas 171



Capıtulo 1

Analise Combinatoria

1.1 Introducao

Definicao 1.1.1. (Princıpio da adicao) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, onde Atenha x elementos e B tenha y elementos. Entao, o conjunto A∪B possui x +y elementos.

Exemplo 1.1.1. Na lanchonete da Dona Nete ela oferece 8 sabores de pizzas e 7 saboresde vitaminas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode escolher uma pizza e umavitamina ?

Solucao: Seja A o conjunto que representa os sabores de pizza e B o conjunto querepresenta os sabores de vitamina. Notamos que os conjuntos A e B sao disjuntos. Ouseja, o conjunto A ∪ B possui 15 elementos. Logo, a pessoa podera fazer 15 pedidosdistintos.

Definicao 1.1.2. (Princıpio fundamental da contagem) Suponha que um trabalhoseja composto por duas etapas sucessivas; onde a primeira etapa pode ser realizada de mmaneiras diferentes e a segunda etapa pode ser realizada de n maneiras diferentes. Entao,o numero de maneiras distintas de realizar esse trabalho e dado por m · n.

Observac˜ ao 1.1.1. Na definicao acima, esse princıpio pode ser generalizado para um tra-

balho que tenha mais que 2 etapas.Exemplo 1.1.2. Usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9. Quantos numeros com quatroalgarismos distintos podemos formar ?Solucao: Observamos que os numeros de quatro algarismos tem a forma ABCD. Sabe-mos que para a posicao A existem 6 possibilidades, para a posicao B existem 5 possibili-dades, para a posicao C existem 4 possibilidades e finalmente para a posicao D existem 3posssibilidades. Agora, pelo princıpio fundamental da contagem, segue que a quantidadede numeros vale 6 · 5 · 4 · 3 = 360. Ou seja, a resposta e 360 numeros.

Exemplo 1.1.3. Uma bandeira e formada por cinco faixas, que devem ser coloridas

usando apenas as cores preta, vermelha, azul e amarela, nao devendo faixas adjacentester a mesma cor. De quantas maneira essa bandeira pode ser colorida?

10



CAP ITULO 1. AN ALISE COMBINAT ´ ORIA 11

Solucao: Notamos que a primeira faixa pode ser colorida de 5 modos, a segunda de4 modos, a terceira de 4 modos, a quarta faixa de 3 modos e finalmente a ultima faixade 4 modos. Ou seja, usando o princıpio fundamental da contagem, concluimos que essabandeira pode ser pintada de 5 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1280 maneiras diferentes.

Exemplo 1.1.4. (IFAL) Um professor deve elaborar uma avaliacao com 4 questoes.Cada questao deve ter 5 alternativas, das quais somente uma e verdadeira. De quantosmodos distintos o professor pode compor o gabarito dessa prova?a) 20b) 120c) 60

d) 480e) 625Solucao: Essa problema pode ser dividido em quatro etapas. Na primeira, existem 5possibilidades; na segunda, existem 5 possibilidades; na terceira, existem 5 possibilidadese na ultima existem 5 possibilidades. Portanto, pelo princıpio fundamental da contagem,temos 5 · 5 · 5 · 5 = 625 modos distintos de elaborar a prova.

Exemplo 1.1.5. (IFRO) Se uma sala tem 8 portas, entao o numero de maneiras dis-tintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente e?a) 16b) 40

c) 48d) 56e) 8Solucao: Nesse problema existem duas etapas; a primeira, consiste em escolher umaporta para entrar na sala (temos 8 possibilidades); na segunda etapa, consiste em esco-lher uma porta para sair ( temos 7 possilidades, pois excluimos a porta onde aconteceu aentrada). Portanto, pelo princıpio fundamental da contagem, temos 8 · 7 = 56 possibili-dades.

1.2 ArranjosDefinicao 1.2.1. Seja um conjunto com n elementos distintos, chamamos de arranjo dosn elementos, tomados p a p, a qualquer sequencia ordenada formada por p elementosescolhidas do conjunto. Onde, a notacao de arranjo e An,p e representamos por

An,p = n!

(n − p)!, n ≥ p.

Exemplo 1.2.1. Usando os algarismos 1, 2, 3, 7, 8 e 9. Quantos numeros de 3 algarismosdistintos podemos formar ?

Solucao: Nesse caso, vamos usar arranjos. Ou seja, devemos formar arranjos de 6




elementos tomados 3 a 3. Portanto, temos

A6,3 = 6!

(6 − 3)! =

6!

3! = 120.

Ou seja, podemos formar 120 numeros.

Exemplo 1.2.2. Juliana deseja formar uma senha com 4 caracteres diferentes. Sabe-seque existem 12 caracteres diferentes para sua escolha. De quantas maneiras ela poderaconstruir a senha ?Solucao: Notamos que trata-se de um problema de arranjos. Logo, vamos formararranjos de 12 elementos tomados 4 a 4. Assim, segue que

A12,4 = 12!

(12 − 4)! =

12!

8! = 11880.

Ou seja, existem 11880 possibilidades.

1.3 Permutacao Simples

Definicao 1.3.1. Seja um conjunto com n elementos diferentes. Uma permutacao simplese um caso particular de arranjo simples, onde n = p. Ou seja, a permutacao de n elementos

e um arranjo simples de n elementos tomandos n a n. Assim, vale a relacao

P n = An,n = n!

(n − n)! = n!.

Exemplo 1.3.1. (ITA - SP) O numero de anagramas da palavra V ESTIBULANDO,que nao apresentam as cinco vogais juntas ea) 12!b) (8!)(5!)c) 12! - (8!)(5!)d) 12! - 8!

e) 12! - (7!)(5!)Solucao: Sabemos que a palavra V ESTIBULANDO possui 12 letras diferentes. Logo,a quantidade de anagramas e P 12 = 12!. Por outro lado, colocando as cinco vogais juntas,obtemos P 8 · P 5 = 8! · 5! anagramas. Portanto, a quantidade de anagramas que naoapresentam as cinco vogais juntas e P 12 − P 8 · P 5 = 12! − 8! · 5!. Ou seja, a resposta e aalternativa C.

Exemplo 1.3.2. (FCC) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA.Quantos deles tem as vogais juntas ?a) 36

b) 72c) 120




d) 144e) 180Solucao:Notamos que a palavra MORENA possui 6 letras diferentes. Agora, colocando as tresvogais juntas, obtemos P 4 · P 3 = 4! · 3! = 24 · 6 = 144 anagramas. Portanto, a resposta ea alternativa D.

Exemplo 1.3.3. (UEFS - BA) O numero de anagramas da palavra PROVA que naoapresenta as duas vogais juntas eA) 24B) 36

C) 48D) 60E) 72Solucao: Observamos que a palavra PR OV A tem 5 letras distintas. Logo, possuiP 5 = 5! anagramas. Alem disso, destes anagramas P 2 · P 4 = 2! · 4! possuem as vogais juntas. Portanto, podemos dizer que P 5 − P 2 · P 4 = 5! − 2! · 4! = 120 − 48 = 72 anagramasnao tem as vogais juntas. Ou seja, a resposta e a alternativa E.

1.4 Permutacao com repeticao

Definicao 1.4.1. Seja um conjunto com n elementos. O total de permutacoes desses nelementos com repeticoes, nos quais n1, n2, · · · , nk sao as quantidades das repeticoes dosdiferentes elementos, tais que n1 + n2 + · · · + nk = n, vale

P n1,n2,··· ,nkn =

n!

n1! · n2! · · · nk!.

Exemplo 1.4.1. (FURG - RS) Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mailtrocando de lugar as letras do seu nome. O numero de maneiras como ela pode fazer isso,considerando qua a senha escolhida deve ser diferente do proprio nome, e:a) 817

b) 48c) 5039d) 23e) 2519Solucao: Notamos que a palavra MANOELA, possui duas letras A e cinco letrasdistintas. Portanto, o total de anagrama e dado por

P 27 = 7!

2! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2520.

Mas, sabemos que deve ser excluido o nome. Logo, temos 2520

−1 = 2519. Ou seja, a

resposta e a alternativa E.




Exemplo 1.4.2. Seja N =

0, 1, 2, 3,· · ·

o conjunto dos numeros naturais. Calcule aquantidadade de solucoes naturais da equacao x + y + z = 9, onde x, y,z ∈ N.Solucao: Vamos usar uma estrategia, com auxilio de bolas pretas e tracos verticais.Agora, faremos algumas configuracoes, observemos a primeira:

• • • | • • •• | • • representa (3, 4, 2).

Na segunda configuracao, temos

• • • • • || • • • • representa (5, 0, 4).

Na terceira configuracao, temos

| • • • • • • •• | • representa (0, 8, 1).

Portanto, para obter a quantidade de solucoes naturais, basta usarmos a permutacao comrepeticao. Ou seja, temos um total de 11 objetos, composto por 9 bolas pretas e 2 tra cosverticais. Portanto, resulta que

P 9,211 =

11!

9! · 2! = 55.

Ou seja, a equacao possui 55 solucoes naturais.

Exemplo 1.4.3. Um comercio vende 4 tipos de lata de tinta, nas marcas A, B, C e D.Juliano deseja comprar 8 latas de tinta. De quantas maneiras distintas ele podera fazeressa compra ?Solucao: Consideremos a seguinte notacao, onde:

x = quantidade de latas da marca A;

y = quantidade de latas da marca B;

z = quantidade de latas da marca C ;

w = quantidade de latas da marca D.

Portanto, esse problema e equivalente a resolver x + y + z + w = 7, onde x, y, z, w ∈ N.Entao, usando a estrategia de bolas pretas e tracos verticais, temos a configuracao

•• | • | • | • • • representa (2, 1, 1, 4).

Por outro lado, temos 10 objetos, sendo 7 bolas pretas e 3 tra cos verticais. Logo, temos

P 7,310 =

10!

7! · 3! = 120.

Ou seja, existem 120 maneiras diferentes de Juliano realizar sua compra.




Exemplo 1.4.4. Uma pastelaria vende pasteis de queijo e palmito. Entao, a quantidadede maneiras que uma possoa podera comprar 6 pasteis e:a) 7b) 8c) 12d) 15Solucao: Suponhamos que x = quantidade de pasteis de queijo e y = quantidade depasteis de palmito. Entao, devemos resolver x + y = 6, onde x, y ∈ N. Logo, resulta que

P 6,17

= 7!

6! · 1! = 7.

Ou seja, a resposta e a alternativa A.Exemplo 1.4.5. Seja Z = · · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · o conjunto dos numeros inteiros.Ache o total de solucoes inteiras e positivas da equacao x + y + z = 8, onde x, y,z ∈ Z.Solucao: Inicialmente, fazendo x = a + 1, y = b + 1 e z = c + 1, obteremos a equacao(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = 8, que resulta em a + b + c = 5. Ou seja, esse problemae equivalente a obter solucoes inteiras e nao-negativas da equacao a + b + c = 5, ondea,b,c ∈ Z. Usando tracos verticais e bolas pretas, temos

P 2,57 =

7!

2! · 5! = 35.

Portanto, a equacao possui 35 solucoes positivas.

Exemplo 1.4.6. (IF Sudeste MG)Quantos sao os anagramas da palavra PORTUGUES?a) 362880b) 181440c) 40320d) 5040e) 81Solucao: Inicialmente, observamos que a palavra PORTUGUES, possui 9 letras. Alemdisso, existe uma repeticao de duas letras U. Portanto, para obter a quantidade de ana-gramas, devemos usar a permutacao com repeticao. Logo, resulta

P 2

9 = 9!

2! = 181440.

Ou seja, a resposta e a alternativa B.

1.5 Combinacao Simples

Definicao 1.5.1. Seja um conjunto com n elementos distintos, denota-se combinacao dosn elementos, tomados p a p, a qualquer subconjunto com p elementos formado a partirdos elementos do conjunto. Onde, a notacao e C n,p e representamos por

C n,p = n

p =

n!

p! · (n − p)! , n ≥ p.




Exemplo 1.5.1. Uma sorveteria oferece 9 sabores de sorvete a seus clientes. De quantasmaneiras uma pessoa pode escolher 4 sabores ?Solucao: Notamos que se a pessoa escolhesse os sabores (A,B,C,D), seria o mesmo queela escolhesse os sabores (A,C,D,B). Portanto, observamos que a ordem nao e importante.Ou seja, trata-se de um problema de combinacao. Logo, temos

C 9,4 = 9!

4! · (9 − 4)! =

9!

4! · 5! = 126.

Portanto, existem 126 maneiras de fazer a escolha.

Exemplo 1.5.2. Uma escola tem uma diretoria formada por oito pessoas. Deve ser

formada uma comissao de tres pessoas. Quantas comissoes diferentes podem ser formadas?a) 54b) 56c) 65d) 68e) 84Solucao: Supomos que (A,B,C ) seja uma comissao. Logo, a sequencia (A,C,B) trata-se da mesma comissao. Portanto, a ordem nao e importante. Dessa forma, esse problematrata-se de combinacao simples. Logo, resulta que

C 8,3 = 8!

3! · (8 − 3)! =

8!

3! · 5! = 56.

Portanto, a resposta e a alternativa B.

Exemplo 1.5.3. (UF Rural - RJ) Em uma sala estao 6 rapazes e 5 mocas. Quantascomissoes podemos formar, tendo em cada comissao 3 rapazes e 2 mocas ?(a) 50.(b) 100.(c) 150.

(d) 200.(e) 250.Solucao: Inicialmente, vamos dividir esse problema em duas etapas: Na primeira, deve-mos escolher 3 rapazes num total de 6, e a segunda etapa, consiste em escolher 2 mo casnum total de 5. Entao, pelo principio fundamental da contagem, resulta que

6

3

·

5

2

=

6!

3! · 3! · 5!

2! · 3! = 200.

Portanto, a resposta e a alternativa D.

Exemplo 1.5.4. (IFMA) No campeonato de xadrez do IFMA a regra e que cadacompetidor jogue duas vezes com cada um dos outros. Sabendo que houve 110 partidas,




Exemplo 1.5.7. (UFRJ) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares dolivro ? Combinatoria e facil? e 5 exemplares de ? Combinatoria nao e difıcil?. Considereque os livros com mesmo tıtulo sejam indistinguıveis. Determine de quantas maneirasdiferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Com-binatoria nao e difıcil nunca estejam juntos.Solucao: Sejam as notacoes A = Livro de combinatoria e facil e B = Livro de combi-natoria nao e difıcil. Agora, consideremos a seguinte configuracao

−A − A − A − A − A − A − A − A − A − A − A−

Notamos, que na representacao acima, existem 10 espacos internos e 2 espacos externos.

Agora, devemos distribuir 5 livros nesses 12 espacos livres. Portanto, a resposta e igual a

C 12,5 = 12!

5! · (12 − 5)! =

12!

5! · 7! = 792.

Exemplo 1.5.8. (IFMA) Numa escola do ensino medio da rede Estadual de Sao Luısdo Maranhao, existem 5 professores de Matematica e 4 de Fısica. Quantas comissoes de3 professores podemos formar, tendo cada uma delas 2 matematicos e um fısico?a) 40b) 45c) 30

d) 14e) 10Solucao: Dividindo inicialmente esse problema em duas etapas: Notamos que a primeiraetapa consiste em escolher 2 matematicos entre 5 matematicos e a segunda etapa consisteem escolher 1 fısico entre 4 fısicos. Pelo princıpio fundamental da contagem, temos

5

2

·

4

1

= 40.

Assim, a resposta e a alternativa A.

Exemplo 1.5.9. (UCS - RS) Em uma escola, ha seis rapazes e quatro mocas dispostosa participar de um congresso nacional. No entanto, a representacao de cada instituicaodevera restringir-se a seis estudantes. Se, no grupo de representantes, houver, pelo menos,duas mocas, o numero de possibilidades diferentes de selecao seraa) 165.b) 105.c) 185.d) 145.e) 125.Solucao: Notamos que cada grupo e formado por seis estudantes. Seja X o subconjunto

formado por seis estudantes de modo que, exista pelo menos duas mocas. Entao, X




podera ser formado por: A) 2 mocas e 4 rapazes; B) 3 mocas e 3 rapazes; C) 4 mocas e 2rapazes. Portanto, temos

4

2

·

6

4

+

4

3

·

6

3

+

4

4

·

6

2

= 185.

Ou seja, a resposta e a alternativa C.

Exemplo 1.5.10. (IFRN) Para discutir um possıvel aumento nas passagens de onibusem uma cidade, o prefeito esta formando uma comissao de 6 pessoas, sendo 2 escolhidasentre os 6 representantes do setor de transporte coletivo, 2 entre os 8 membros do governomunicipal e 2 entre os 4 representantes da classe estudantil. A quantidade de comissoesdistintas que podem ser formadas com essa configuracao e igual aa) 1.260.b) 2.520.c) 3.080.d) 5.040.Solucao: Notamos que esse problema possui tres etapas; onde a primeira consiste emescolher 2 pessoas entre 6 pessoas do setor de transporte coletivo; a segunda etapa, consisteem escolher 2 pessoas entre 8 pessoas do governo municipal e finalmente, escolher 2 pessoasentre 4 pessoas da classe estudantil. Pelo princıpio fundamental da contagem, temos

62 ·8

2 ·4

2 = 2520.





1.6 Atividades1. Quantos anagramas da palavra EDIT ORA possui as vogais juntas ?

2. Quantos anagramas da palavra EXT RA nao possui duas vogais juntas ?

3. Seja a equacao x + y + z + w = 12, onde x, y, z, w ∈ Z. Encontre o total de solucoesinteiras nao-negativas.

4. Considere todos os anagramas da palavra AMOR. Colocando esses anagramas emordem alfabetica, qual a posicao da palavra ”ROMA” ?

5. (PUC-SP) Determine a quantidade de numeros de tres algarismos, maiores que500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9.

6. Colocando todos os anagramas da palavra CLARO em ordem alfabetica. Qual oanagrama que ocupa a trigesima posicao ?

7. Fomando numeros com 4 algarismos distintos, usando os elementos do conjunto1, 2, 4, 8. Colocando esses numeros em ordem crescente, qual a posicao ocupadapelo numero 4281 ?

8. (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os numeros quese obtem permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Nessa disposicao, que lugar ocupao numero 75391 ?

9. Uma sala e formada por 8 meninos e 9 meninas. Quantos grupos com 5 pessoaspodem ser formados, de modo que cada grupo tenha no mınimo 4 meninos ?

10. Sejam A e B duas retas paralelas distintas. Marcam-se 13 pontos sobre a reta A e12 pontos sobre a reta B. Quantos triangulos podemos formar unindo tres pontosquaisquer desses 25 pontos ?

11. (UFRJ) Quantos numeros de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo2 aparece ao menos uma vez ?

12. (UFJF - MG) Um jornalista foi designado para cobrir uma reuniao de ministrosde estado. Ao chegar ao local da reuniao, descobriu que havia terminado. Aoperguntar ao porteiro o numero de ministros presentes, ele disse: ”Ao saırem, todosos ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mao”.Com base nessa informacao, qual foi o numero de ministros presentes ao encontro ?

13. (UEG - GO) Calcule de quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 4 cava-lheiros numa fila, de forma que nao fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas.




1.7 Exercıcios Propostos1. (IFMA) Permutam-se de todas as formas possıveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e

escrevem-se os numeros formados em ordem crescente. A posicao ocupada pelonumero 42167 e a:a) 31a

b) 30a

c) 55a

d) 49a

e) 54a

2. (UECE) Quantos sao os numeros inteiros positivos, divisıveis por 5, escritos comquatro algarismos distintos escolhidos entre os elementos de 1, 3, 5, 7, 9 ?A) 120.B) 60.C) 24.D) 20.

3. (UEA - AM) A soma de todos os numeros de tres algarismos, nao repetidos, quepodem ser formados com os algarismos 1, 3 e 5 e:

(A) 734.(B) 1017.(C) 1998.(D) 3994.(E) 5322.

4. (IFMA) Quantos sao os numeros de tres dıgitos distintos que sao ımpares?a) 648b) 405c) 360

d) 729e) 320

5. (NUCEPE - UESPI) Quantos sao os numeros pares formados por tres algarismosdistintos?a) 256.b) 328.c) 360.d) 450.

e) 504.




6. (IFES) Dos 16 policiais que vao sair em duplas para fazer ronda, 4 sao do sexo fe-minino. Se as duplas formadas por duas mulheres nao forem permitidas, de quantosmodos diferentes as duplas poderao ser formadas?a) 144.b) 132.c) 120.d) 114.e) 66.

7. (OBMEP) Uma formiguinha esta no ponto A do quadriculado da figura e quer

chegar ao ponto B passando pelo ponto R, andando sobre os lados dos quadradinhose apenas para a direita ou para baixo. De quantas maneiras ela pode fazer essetrajeto?

(A) 20(B) 24(C) 40(D) 48

(E) 60

8. (IFMA) Observando as placas dos carros, nota-se que elas possuem tres letras equatro algarismos. Considerando que o alfabeto latino tem 26 letras, o numero decarros emplacados em que as placas iniciam sempre com a letra A e terminam como algarismo 3, e:a) 6 760 000b) 17 576 000c) 676 000d) 600 000e) 1 757 600




9. (FCC) A quantidade existente de numeros pares maiores que 1 500 e menores que2 000, formados apenas por algarismos distintos, e igual a(A) 89(B) 161(C) 201(D) 250(E) 304

10. (URCA - CE) Um atleta frequenta diariamente um clube para praticar seu esporte.Tal clube fica distante de sua casa oito quarteiroes ao leste e cinco quarteiroes aonorte, como descreve a figura abaixo:

De quantas maneiras distintas ele pode chegar ao clube, partindo de sua casa, semovimentando apenas nas direcoes norte ou leste.a) 1287b) 1288

c) 1289d) 1290e) 1291

11. (UERN) Um jogo e formado por pecas de dois tipos de formas geometricas: cubose cones. Pretende-se formar um conjunto de 5 pecas com, no maximo, 2 cones.Sabendo-se que o jogo e formado por 8 cubos e 3 cones e todas pecas sao de coresdistintas, entao, o numero de possibilidades para se formar esse conjunto eA) 56.B) 168.

C) 210.D) 434.




12. (IFAP) Um professor de Matematica deseja formar uma equipe de quatro integran-tes para disputar o campeonato estadual de xadrez. Seis meninos e quatro meninasse inscreveram para participar da seletiva. Considerando que a equipe contara coma participacao de pelo menos uma menina, de quantos modos o professor poderafazer a escolha dos membros da equipe?a) 240b) 195c) 194d) 170e) 80

13. (IFPE) Para ir da cidade A para a cidade D, Alvaro obrigatoriamente passa pelascidades B e C, nessa ordem. Sabendo que existem cinco estradas diferentes de Apara B, quatro estradas diferentes de B para C e tres estradas diferentes de C paraD, quantos trajetos diferentes existem de A para D?a) 12b) 15c) 30d) 60e) 120

14. (IFMG) Numa reuniao, estao presentes 10 pessoas, dentre elas, Ana e tres desafetos

seus: Bruno, Carlos e Diogo. De quantas maneiras diferentes pode ser formada umacomissao com 5 pessoas desse grupo, se Ana nao admite estar em uma comissaocom qualquer um de seus tres desafetos citados?a) 128b) 162c) 141d) 108e) 157

15. (IFPA) Cinco amigos foram passar ferias num hotel fazenda na ilha do Mosqueiro,distrito administrativo do municıpio de Belem. Para tornar as noites mais movi-mentadas, resolveram fazer um campeonato de natacao com a participacao de todosnum so turno, em que serao premiados o campeao e o vicecampeao. Quantas sao aspossibilidades de classificacao nos dois primeiros lugares?A) 5B) 10C) 15D) 20E) 25




16. (IFMA) O pentatlo moderno e uma modalidade olımpica composta das seguintesmodalidades: corrida, tiro, hipismo, natacao e esgrima Olimpıadas de Londres 2012,a atleta brasileira Yane Marques ganhou a medalha de bronze. A fim de se prepa-rar para essa prova, inicialmente ela programou um treinamento com tres dessasmodalidades. De quantas maneiras distintas Yane Marques poderia ter escolhido asmodalidades para esse treinamento inicial?a) 15 maneirasb) 6 maneirasc) 3 maneirasd) 2 maneirase) 10 maneiras

17. (NUCEPE - UESPI) Uma comissao de 5 gerentes deve ser formada a partir de umgrupo de 10 pessoas, sendo 5 da empresa A, 3 da empresa B e 2 da empresa C.Quantas diferentes comissoes de gerentes podem ser formadas se cada uma delasdeve conter pelo menos um representante de cada uma dessas empresas?a) 135b) 145c) 155d) 165e) 175

18. (IFMT) Alguns truques com palavras tambem envolvem a Matematica. Observeas letras da palavra AMOR, como estao dispostas

A M O R

M O R

O R

R

O numero de maneiras distintas que se pode obter com a palavra AMOR, partindosempre do A e indo para a direita e/ou para baixo e:

a) 12b) 10c) 8d) 7e) 6

19. (IFRO) O sistema binario e um sistema numerico que difere do decimal na quan-tidade de sımbolos para representar os valores, o decimal possui dez sımbolos (0 a9) enquanto no binario apenas dois (0 e 1), seu uso e frequente na programacao decomputadores, um exemplo, o byte, unidade de armazenamento com oito dıgitos,

ou seja, uma sequencia de oito sımbolos (0 ou 1). Quantas formas diferentes podemter a configuracao de um byte?




a) 80b) 64c) 256d) 128e) 100

20. (IFES) Os alunos Joao e Pedro sao membros atuantes do diretorio academico eestudam Engenharia Metalurgica no IFES numa turma de 25 alunos. Essa turmasera responsavel pela organizacao da 1a Semana de Ciencia e Tecnologia e umacomissao com quatro membros devera ser formada para a organizacao desse evento.O numero de comissoes que podem ser formadas de modo que Joao e Pedro sejam

membros e:a) 12.650b) 1.625c) 3.036d) 300e) 253

21. (URCA - CE) Se marcarmos 27 pontos em um plano, sendo que 15 , e somente 15 ,destes pontos sao colineares, podemos afirmar que o numero de triangulos diferentesque podemos formar com vertices em quaisquer dos 27 pontos e igual a:A) 2.925

B) 2.470C) 455D) 3.380E) 525

22. (UEA - AM) Em uma danca folclorica havia n pessoas dispostas em um cırculo, ecada pessoa desse cırculo saudou todas as outras com um aperto de mao, havendo,assim, um total de 45 apertos de mao. Conclui-se, entao, que o numero de pessoasnessa roda e(A) 10.(B) 12.(C) 14.(D) 16.(E) 18.

23. (UEA - AM) Em um ritual indıgena, dez pessoas, entre elas A e B, devem formaruma fileira, colocando-se umas atras das outras. Considerando que A e B devemficar sempre juntas, o numero maximo de formacoes diferentes para essa fileira e(A) 2 · 10!(B) 10!(C) 2 · 9!

(D) 9!(E) 2 · 8!




24. (UFAL) O diretor de um departamento de uma empresa quer selecionar equipesformadas por 5 pessoas entre seus 12 empregados (que sao 5 homens e 7 mulheres).Quantas equipes ele podera formar se cada equipe deve conter pelo menos um homeme pelo menos uma mulher?A) 770B) 760C) 750D) 740E) 730

25. (UFAL) O comite gestor de uma escola e formado por um diretor, um vice-diretor,

um secretario e um tesoureiro. O comite deve ser escolhido entre os professores daescola, e um mesmo professor nao pode ocupar mais de um cargo. Se uma escola tem15 professores, de quantas maneiras diferentes pode se escolher um comite gestor?A) 32.740B) 32.750C) 32.760D) 33.670E) 34.076

26. (UFAL) Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve ser escolhida em umaturma com vinte estudantes, para participar de uma olimpıada. De quantas ma-

neiras a equipe pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimpıada no anoanterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudantes, deve fazer parte da equipe?A) 3.872B) 3.874C) 3.876D) 3.878E) 3.880

27. (NUCEPE - UESPI) O numero de cinco algarismos que ocupa a 70a posicao, obtidoao permutar-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e escrever-se em ordem crescente sem

algarismos repetidos, ea) 35241.b) 35412.c) 35421.d) 41235.e) 41253.

28. (NUCEPE - UESPI) Com 7 homens e 5 mulheres, quantas comissoes de 5 pessoas,com exatamente 2 mulheres, podem ser formadas?a) 4200.b) 2100.

c) 1050.




d) 350.e) 210.

29. (UFPA) No cartao da mega-sena existe a opcao de aposta em que o apostadormarca oito numeros inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheca um poucode Analise Combinatoria e que ele percebeu que e mais vantajoso marcar umdeterminado numero de cartoes, usando apenas os oito numeros, de modo que, se osseis numeros sorteados estiverem entre os oito numeros escolhidos, ele ganha, alemda sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feitausando apenas seis numeros, a quantidade de cartoes que o apostador deve apostare

(A) 8(B) 25(C) 28(D) 19(E) 17

30. (UESPI) De quantas maneiras podemos enfileirar 5 mulheres e 3 homens de talmodo que os 3 homens permanecam juntos?A) 8!B) 6!

C) 6!3!D) 7!E) 9!

31. (UNIVASF) O gerente de uma empresa dispoe de 10 funcionarios, dentre eles Carlose Paulo. O numero de comissoes de 6 funcionarios que poderao ser formadas a partirdesses 10 funcionarios e que nao terao Carlos e Paulo juntos na mesma comissaoseraA) 28B) 84C) 112D) 140E) 210

32. O numero de anagramas da palavra JU LIANE em que as vogais ficam juntas eigual a:A) 120B) 275C) 390

D) 576E) 865




33. (UECE) Se os conjuntos X e Y possuem, respectivamente, cinco e oito elementos,quantas funcoes, f : X → Y , injetivas e distintas, podem ser construıdas?A) 6680.B) 6700.C) 6720.D) 6740.

34. (PUC - RS) O numero de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficamlado a lado, e as consoantes tambem, eA) 24

B) 48C) 96D) 240E) 720

35. (PUC - RS) Um fotografo foi contratado para tirar fotos de uma famılia compostapor pai, mae e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhosentre os pais. Mantida essa configuracao, o numero de formas em que poderao seposicionar para a foto eA) 4

B) 6C) 24D) 36E) 48

36. (IFNMG) Quantos anagramas podemos formar com as letras que compoem a pa-lavra FEDERAL ?A) 1120B) 2520

C) 360D) 5040

37. (IF Sul Minas - MG) Em uma prova com 10 questoes de verdadeiro ou falso, quantosgabaritos diferentes podemos fazer assinalando V para cinco questoes e F para asoutras cinco?a) 832b) 252c) 102d) 2




38. (IFTO) Considerando-se todos os anagramas que podem ser formados com as 4letras da palavra IFTO e colocando-os em ordem alfabetica em que posicao estaraa palavra ”TOF I ” ?a) 22a

b) 23a

c) 16a

d) 17a

e) 20a

39. (UFF - RJ) O total de numeros naturais pares de tres dıgitos formados por alga-rismos distintos do conjunto S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e igual a:

(A) 35(B) 45(C) 90(D) 108(E) 210

40. (IFAP) Para a selecao brasileira foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7meios de campo e 4 atacantes. De quantos modos e possıvel escalar a selecao com1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes?a) 7200b) 4500

c) 6500d) 5500e) 6300

41. (IFRN) Uma reuniao pedagogica conta com a participacao de professores de tresareas, sendo eles: 6 (seis) da area de Ciencias Exatas, 5 (cinco) da area de CienciasHumanas e 7 (sete) da area de Ciencias Biomedicas. No final da reuniao, o grupode professores decidiu formar uma comissao com dois professores para representa-los em um evento internacional. Tendo sido estabelecido que os dois professoresdeveriam ser de areas diferentes, o total de duplas de professores diferentes que

podem representar o grupo no evento internacional e igual aa) 107b) 87c) 117d) 18

42. (UFRN) Determinado produto e composto por oito caracterısticas especıficas. Secinco ou mais dessas caracterısticas forem identificadas pelo setor de controle dequalidade da empresa fabricante, ele esta em condicoes de ser comercializado. Onumero de maneiras possıveis de identificar um produto com qualidade para sercomercializada e

A) 217.




B) 56.C) 336.D) 93.

43. (UFTM - MG) Uma pessoa possui 5 vasos, sendo que em cada um foi plantado umtipo diferente de flor, e deseja coloca-los sobre uma mureta. O numero de maneirasdiferentes que esses vasos podem ser colocados, um ao lado do outro, e(A) 120.(B) 80.(C) 50.(D) 20.

(E) 5.

44. (UFRR) Numa reuniao devem intervir 5 pessoas: A, B , C , D e E , com a condicaode que B nao deve intervir antes do que A. Sob esta restricao e possıvel definir:(A) 24 listas diferentes de oradores.(B) 96 listas diferentes de oradores.(C) 114 listas diferentes de oradores.(D) 60 listas diferentes de oradores.(E) 40 listas diferentes de oradores.

45. (EsPCEx - SP) Num determinado setor de um hospital, trabalham 4 medicos e 8

enfermeiras. O numero de equipes distintas, constituıdas cada uma de 1 medico e3 enfermeiras, que podem ser formadas nesse setor e de(A) 60(B) 224(C) 495(D) 1344(E) 11880

46. (EsPCEx - SP) Sete livros didaticos, cada um de uma disciplina diferente, devemser posicionados lado a lado em uma estante, de forma que os livros de Fısica, deQuımica e de Matematica estejam sempre juntos, em qualquer ordem. O numero

de maneiras diferentes em que esses livros podem ser posicionados e(A) 720(B) 1440(C) 2160(D) 2880(E) 5040

47. (EsPCEx - SP) Os alunos de uma escola realizam experiencias no laboratorio deQuımica utilizando 8 substancias diferentes. O experimento consiste em mistu-rar quantidades iguais de duas dessas substancias e observar o produto obtido. O

professor recomenda, entretanto, que as substancias S 1, S 2 e S 3 nao devem ser mis-turadas entre si, pois produzem como resultado o gas metano, de odor muito ruim.




Assim, o numero possıvel de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir ogas metano e(A) 16(B) 24(C) 25(D) 28(E) 56

48. (OBMEP) Tio Paulo trouxe cinco presentes diferentes, entre os quais uma boneca,para distribuir entre suas sobrinhas Ana, Bruna, Cecılia e Daniela. De quantosmodos ele pode distribuir os presentes entre as sobrinhas de modo que todas ganhem

pelo menos um presente e a boneca seja dada para Ana?A) 20B) 32C) 60D) 72E) 120

49. (AFA - SP) Para evitar que Joao acesse sites nao recomendados na internet, sua maequer colocar uma senha no computador formada apenas por m letras A e tambemm letras B (sendo m par). Tal senha, quando lida da esquerda para a direita ouda direita para a esquerda, nao devera se alterar (Ex: ABBA). Com essas carac-

terısticas, o numero maximo de senhas distintas que ela podera criar para depoisescolher uma e igual a:

a) (2m)!

m! m!

b)

m!m

2

!m

2

!

2

c) (2m)!

m

2! 3m

2!

d) m!m

2

!m

2

!

50. (ULBRA - RS) O numero de anagramas da palavra COTIDIANO que iniciam coma letra C e:(A) 6 720.(B) 10 080.(C) 20 160.

(D) 40 320.(E) 362 880.




51. (UNIFOR - CE) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa,sabe-se que 18 sao do sexo masculino, 13 dos candidatos sao fumantes e 7 sao asmulheres que nao fumam. De quantos modos podem ser selecionados 2 homens e 2mulheres entre os nao fumantes?(A) 900(B) 945(C) 990(D) 1035(E) 1080

52. (UFPI) De quantos modos podemos comprar 4 sorvetes na Sorveteria ”Sonho Ge-lado”, sabendo-se que a mesma os oferece em 7 sabores distintos?(A) 35(B) 126(C) 168(D) 189(E) 210

53. (IFG - GO) Quantos numeros de quatro algarismos distintos maiores que 3000pode-se formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 ?

a) 180b) 60c) 150d) 120e) 160

54. (EsPCEx - SP) Um gerente de um hotel, apos fazer alguns calculos, chegou aconclusao de que, para atingir a meta de economia de energia eletrica, bastavaapagar 2 lampadas de um corredor com 8 l ampadas alinhadas. Para manter um

mınimo de claridade ao longo do corredor, o gerente determinou que 2 lampadasadjacentes nao poderiam ficar apagadas ao mesmo tempo, e as 2 lampadas dasextremidades deveriam permanecer acesas. Sendo assim, o numero de maneiras queeste gerente pode apagar 2 lampadas e:A) 24B) 10C) 15D) 12E) 6




55. (UFLA - MG) Uma equipe de voleibol e formada por 9 jogadores, dos quais apenas2 sao levantadores, e nao jogam em outras posicoes. De quantas maneiras podemosformar o time titular com 1 levantador e mais 5 jogadores nas demais posi coes?a) 21b) 35c) 42d) 72e) 162

56. (Unimontes - MG) O Codigo Morse usa duas ”letras”, ponto e traco, e as palavras

tem de 1 a 4 letras. O numero total de palavras escritas com o Codigo Morse eA) 24.B) 26.C) 28.D) 30.

57. (Unimontes - MG) Um professor tinha 4 exemplares de um livro para distribuirentre os alunos Pedro, Carlos, Joao, Cleiton, Joaquim e Jose. De quantos modosessa distribuicao podera ser realizada, se ele der os livros para 4 alunos distintos ?A) 10 modos.

B) 15 modos.C) 20 modos.D) 24 modos.

58. (IFCE) No plano, sao dados 12 pontos, tres a tres nao colineares. A quantidade detriangulos que podem ser formados, tendo como vertices pontos dados, eA) 110.B) 220.C) 660.

D) 1320.E) 36.

59. (Unimontes - MG) Considere um grupo de 12 mocas e 10 rapazes, no qual 3 mocase 2 rapazes sao filhos da mesma mae, e o restante nao tem parentesco entre eles. Aquantidade de casamentos possıveis nesse grupo e:A) 110.B) 114.C) 120.D) 116.




60. (UFC - CE) Assinale a alternativa na qual consta a quantidade de numeros inteirosformados por tres algarismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que saomaiores que 200 e menores que 800.a) 30b) 36c) 42d) 48e) 54

61. (FUVEST - SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! =

720 ”palavras”(anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas ”palavras”foremcolocadas em ordem alfabetica, como num dicionario, a 250a ”palavra”comeca com:a) EVb) FUc) FVd) SEe) SF

62. (UFV - MG) Para controlar o estoque de um produto, uma empresa usa etiquetasformadas por uma parte literal e outra numerica, nesta ordem. A parte literal e

formada de tres letras do nosso alfabeto, incluindo y, k, w, e a parte numerica eformada por quatro dos algarismos de 0 a 9. Sabendo-se que pode haver repeticaodas letras e dos numeros, a quantidade do produto que pode ser etiquetado sem quehaja coincidencia de etiquetas e:a) 253 + 104

b) 253 · 94

c) 253 · 104

d) 263 · 104

e) 263 + 104

63. (UFF - RJ) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas quecomecam por vogal e y anagramas que comecam e terminam por consoante. Osvalores de x e y sao, respectivamente:a) 48 e 36b) 48 e 72c) 72 e 36d) 24 e 36e) 72 e 24




64. (UNESP) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoaquer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim,ela caminhara sempre nos sentidos ”de baixo para cima”ou ”da esquerda para adireita”. O numero de percursos diferentes que essa pessoa podera fazer de A ateB e:

A) 95 040.B) 40 635.C) 924.D) 792.E) 35




1.8 Exercıcios Complementares1. (UFCG - PB) Waldhycleuza esta fazendo um regime alimentar. Sua medica pres-

creveu um regime que consiste de tres grupos de alimentos:

GRUPO 1 6 tipos de alimentoGRUPO 2 7 tipos de alimentoGRUPO 3 3 tipos de alimento

Para variar o cardapio a cada refeicao, a jovem Waldhycleuza pode escolher 2 ali-mentos do primeiro grupo, 5 alimentos do segundo grupo e 2 alimentos do terceiro

grupo. Com essas possibilidades, quantos cardapios diferentes tem Waldhycleuzaao seu dispor?a) 6 × 7 × 3.b) 2 × 5 × 2.c) 15 × 21 × 3.d) 7 × 21 × 9.e) 3 × 8 × 1.

2. (UEAP) Quantos anagramas tem a palavra UEAP?a) 720b) 480c) 120d) 24e) 12

3. (UEAP) Numa gincana escolar, cada atleta trocou um aperto de mao com todosos outros. Foram registrados 55 apertos de maos. Entao, o numero de atletas queparticiparam da gincana foi de:(a) 21(b) 16(c) 15

(d) 11(e) 10

4. (IFS - SE) De quantos modos podemos organizar uma fila com estudantes do IFS,tendo 5 mulheres e 8 homens de modo que as mulheres permane cam juntas e oshomens tambem permanecam juntos.a) 5!8!b) 3!5!8!c) 3!d) 8!e) 2!5!8!




5. (Mackenzie - SP) Na figura, o quadrado ABCD e formado por 9 quadrados con-gruentes. O total de triangulos distintos, que podem ser construıdos, a partir dos16 pontos, e:

a) 516b) 520c) 526d) 532

e) 546

6. (UFAM) Quantos anagramas distintos da palavra P SC 2012 e possıvel formar, demodo que comecem por uma letra e terminem por um numero ?

a) 9 × 5!

2

b) 7!

2

c) 6!

2

d) 7!4

e) 6!

7. (NUCEPE - UESPI) As permutacoes das letras da palavra UESPI foram listradasem ordem alfabetica, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionario. A73a palavra nessa lista e:a) SIEPU.b) SEIPU.c) SUIEP.

d) UEIPS.e) UIEPS.




8. (NUCEPE - UESPI) Considere todos os numeros de tres algarismos distintos,formados com os algarismos 0, 1, 2 ou 3. Quantos desses numeros sao multiplos de6?a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

9. (UFAM) Quantas funcoes f : A −→ B existem, sabendo-se que conjunto A possui4 elementos e o conjunto B possui 3 elementos.

a) 64b) 81c) 12d) 16e) 9

10. (UEMG) Na Copa das Confederacoes de 2013, no Brasil, onde a selecao brasileirafoi campea, o tecnico Luiz Felipe Scolari tinha a sua disposicao 23 jogadores devarias posicoes, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes.Para formar seu time, com 11 jogadores, o tecnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Julio Cesar como goleiro e Fred como

atacante, o numero de times distintos que o tecnico podera formar eA) 14000B) 480C) 8! + 4!D) 72000

11. (UEL - PR) Numa competicao internacional, um paıs obteve, no total, 10 medalhasdentre as de ouro, prata e bronze. Sabendo-se que este paıs recebeu pelo menos umamedalha de ouro, uma de prata e uma de bronze, quantas sao as possibilidades decomposicao do quadro de medalhas deste paıs ?a) 10b) 30c) 36d) 120e) 132

12. Adriano pretende distribuir 13 bolas pretas identicas nas caixas A, B, C e D demodo que cada caixa receba pelo menos uma bola. De quantas maneiras Adrianopodera fazer essa distribuicao ?A) 220B) 340

C) 460D) 580




13. (FURG - RS) Considerando que sao usadas as letras A, B, C, D, E, para formarsenhas, entao o numero de senhas formado com 3 letras distintas e igual aA) 10.B) 60.C) 72.D) 120.E) 360.

14. (FUVEST - SP) Em uma classe de 9 alunos, todos se dao bem, com excecao deAndreia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, sera constituıdauma comissao de cinco alunos, com a exigencia de que cada membro se relacione

bem com todos os outros. Quantas comissoes podem ser formadas ?a) 71b) 75c) 80d) 83e) 87

15. (IFMG) De quantas maneiras e possıvel organizar 6 homens e 3 mulheres em umafila, de modo que as mulheres fiquem separadas, ou seja, entre duas mulheres existapelo menos um homem?a) 151.200

b) 362.880c) 4.320d) 30.240e) 332.640

16. (UEL - PR) Gabi e Ana Paula sao membros atuantes do Gremio Estudantil e estaose formando numa turma de 27 alunos, no total. Uma comissao de formatura, comcinco membros, deve ser formada para a organizacao dos festejos. Quantas comissoespodem ser formadas de modo que Gabi e Ana Paula sejam membros?(A) 2300

(B) 9828(C) 9288(D) 3276

17. (IFAL) Quantos numeros pares de quatro algarismos distintos, maiores que 1999,existem no nosso sistema de numeracao?A) 2012.B) 2014.C) 2016.D) 2018.E) 2020.




18. (IFAL) Suponha que, em certo paıs, o alfabeto tenha 15 letras. Nesse paıs, as placasdos carros sao compostas por apenas 4 letras nao repetidas. Nessas condicoes, essepaıs pode emplacar, no maximo,A) 3.276 carros.B) 31.760 carros.C) 32.760 carros.D) 46.225 carros.E) 50.625 carros.

19. (IFAL) Um grupo, constituıdo de 10 alunos ira disputar uma prova que premiaos tres primeiros colocados. Sabe-se que Manoel e Carla fazem parte desse grupo.

Quantos resultados da prova poderao premiar Carla e Manoel?a) 720.b) 120.c) 8.d) 48.e) 144.

20. (UFV - MG) Uma equipe de futebol de salao de 5 membros e formada escolhendo-seos jogadores de um grupo V, com 7 jogadores, e de um grupo W, com 6 jogadores. Onumero de equipes diferentes que e possıvel formar de modo que entre seus membroshaja, no mınimo, um jogador do grupo W e:

a) 1266b) 1356c) 1246d) 1376

21. (UFU - MG) Uma fabrica de tintas necessita contratar uma equipe para desenvolvere produzir um novo tipo de produto. A equipe deve ser formada por 4 quımicos, 1engenheiro ambiental e 2 engenheiros de producao. Se no processo final de selecaocompareceram 6 quımicos, 3 engenheiros ambientais e 4 engenheiros de producao,o numero de maneiras que a equipe podera ser formada e igual a (nos itens abaixo,

× denota multiplicacao numerica):A) 6! × 3B) 6! × 18C) 6! × 3/8D) 6! × 3/4

22. (UEPA) Uma loja de um shopping Center na cidade de Manaus divulga inscricoespara um torneio de Games. Para realizar essas inscricoes, a lo ja gerou um codigo deinscricao com uma sequencia de quatro dıgitos distintos, sendo o primeiro elementoda sequencia diferente de zero. A quantidade de codigos de inscricao que podem sergerados utilizando os elementos do conjunto

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

e:

a) 4.500




b) 4.536c) 4.684d) 4.693e) 5.000

23. (UFES) Uma rede de lojas de eletrodomesticos tem 50 vendedores. Deseja-se esco-lher 3 desses vendedores para trabalhar em 3 lojas, uma no bairro Jardim da Santa,outra no bairro Praia da Beira e a outra no Centro. Cada uma das 3 lojas deveraficar com um, e apenas um, dos 3 vendedores. O numero de possıveis maneiras defazer essa escolha e:A) 300

B) 19600C) 39200D) 58800E) 117600

24. (FEI - SP) Em uma sala ha seis matematicos e quatro engenheiros. Se X e o totalde maneiras de se formar uma comissao com cinco membros, composta por pelomenos tres matematicos, entao:(A) X = 206(B) X = 194(C) X = 200

(D) X = 178(E) X = 186

25. (FEI - SP) Considere duas retas paralelas. Em uma delas sao marcados cincopontos distintos e na outra sao marcados sete pontos distintos. O numero totalde triangulos que podem ser obtidos unindo tres pontos quaisquer de todos essespontos e igual a:(A) 175(B) 200(C) 35

(D) 20(E) 135

26. (FEI - SP) No cardapio de um restaurante, sao oferecidos quatro tipos de carne,tres saladas distintas, dois tipos de massa e cinco tipos de bebida. Uma pessoadeseja comer uma carne, uma salada, um tipo de massa e tomar uma bebida. Onumero total de diferentes pedidos que poderiam ser feitos e igual a:(A) 14(B) 120(C) 150(D) 98

(E) 10




27. (CESPE - UNB) A quantidade de anagramas que podem ser formados com apalavra CUTIA e que comecam e terminam com consoante e igual aA) 6.B) 10.C) 12.D) 18.

28. (UNIR - RO) Para ganhar na MEGA-SENA deve-se acertar os 6 numeros sorteadosdentre os 60 primeiros numeros inteiros positivos, que sao os numeros utilizados parao sorteio. Cada jogo e feito marcando-se em um cartao 6, 7, 8, 9 ou 10 numeros dos60 dados. Admitindo-se que o preco de um cartao e proporcional a quantidade de

combinacoes de 6 numeros presentes nele e que um cartao com 6 numeros custa R$3,00, quanto custara um cartao com 8 numeros?A) R$ 54,00B) R$ 84,00C) R$ 26,00D) R$ 8,00E) R$ 120,00

29. (IFF - RJ) A quantidade de numeros naturais ımpares de quatro algarismos distin-tos que podem ser formados com os algarismos do conjunto S = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e:a) 120

b) 144c) 180d) 360e) 540

30. (FEI - SP) Dois adultos e cinco criancas serao colocados lado a lado para uma foto.Se os adultos ocuparem as posicoes extremas e todas as criancas ficarem entre osdois adultos, de quantos modos distintos essas pessoas podem posar para a foto?(A) 120(B) 240

(C) 60(D) 5(E) 100

31. Camila deseja distribuir 17 bolas pretas identicas nas caixas A, B e C . De quantasmaneiras essa distribuicao pode ser feita de modo que cada caixa receba pelo menosduas bolas ?A) 44B) 52C) 62D) 78

E) 94




32. (FEI - SP) Em um grupo de dez pessoas, deseja-se formar comissoes com exatamentequatro integrantes. Nesse grupo, ha duas pessoas, Saulo e Marli, que, por problemasde relacionamento, nao podem participar da mesma comissao. Nessas condicoes, dequantas maneiras distintas e possıvel formar comissoes desse tipo?(A) 210(B) 235(C) 182(D) 196(E) 28

33. (UFT - TO) Numa cantina de uma escola sao servidos bolos e salgadinhos. Cada

aluno recebera um prato com 2 bolos, dos 4 tipos disponıveis e 3 salgadinhos, dos 6tipos fabricados. Qual e o numero total de possibilidades de escolha de 2 bolos e 3salgadinhos de cada aluno?(A) 360(B) 120(C) 100(D) 20(E) 18

34. (IF Farroupilha - RS) Um parque ambiental dispoe de apenas 5 vigilantes paraocuparem 8 postos de vigilancia. Considerando que, em cada posto, fica no maximo

um vigilante e que o posto de entrada principal nao pode ficar desguarnecido, indiquea opcao correspondente ao numero de maneiras distintas em que o chefe de segurancapode dispor para distribuir os vigilantes.A) 840;B) 4200;C) 3360;D) 2520;E) 1680.

35. (FURG - RS) Existem cinco livros diferentes de Matematica, sete livros diferentes

de Fısica e dez livros diferentes de Quımica. O numero de maneiras que podemosescolher dois livros com a condicao de que eles nao sejam da mesma materia eA) 35B) 50C) 70D) 155E) 350

36. (UCS - RS) Tres integrantes de uma Comissao Parlamentar de Inquerito (CPI), naCamara dos Deputados, devem ser escolhidos para ocupar os cargos de Presidente,Secretario e Relator, cada qual de um partido diferente. Foram pre-indicados 4

deputados do Partido A , 3 do partido B, e 2 do Partido C. De quantas maneiras




diferentes podem ser escolhidos os ocupantes desses tres cargos?a) 24b) 48c) 72d) 132e) 144

37. (UNEMAT - MT) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sao formados numeros de 5algarismos distintos. Entre eles, sao divisıveis por 5:a) 120 numeros.b) 30 numeros.

c) 60 numeros.d) 20 numeros.e) 180 numeros.

38. (UFRR) Numa cidade havia cinco candidatos a prefeitura no primeiro turno e houvesegundo turno no processo eleitoral. Cada eleitor podia votar no candidato de suapreferencia, votar em branco ou votar nulo. Uma pessoa que compareceu as urnasnos dois turnos dispos (incluindo as duas votacoes) de um total de possibilidadesdiferentes de escolha igual a:(A) 7(B) 10

(C) 28(D) 240(E) 120

39. (UCS - RS) Um designer de uma editora quer utilizar 3 figuras diferentes e alinhadaspara compor o motivo que fara parte da capa de um livro. Se o designer possuir 7figuras diferentes relacionadas ao tema requerido, o numero de composicoes distintasque poderao ser criadas para o referido motivo e igual aa) 42.b) 128.

c) 240.d) 36.e) 210.

40. (UFRR) Cada candidato aprovado no vestibular 2010 da UFRR que realizar suamatrıcula recebera um numero que o identificara. Este numero sera composto por9 nove algarismos, sendo que os quatro primeiros algarismos sao fixos referentes aoano de ingresso, os da quinta e sexta posi cao tambem sao fixos e referem-se ao cursode ingresso e os tres ultimos podem ser qualquer algarismo entre 0 e 9. Quantasmaneiras distintas existem para constituicao do numero de matrıcula de um aluno?(A) 109

(B) 729




(C) 1.000(D) 27(E) 99

41. (PUC - RS) Uma melodia e uma sequencia de notas musicais. Para compor umtrecho de tres notas musicais sem repeti-las, um musico pode utilizar as sete notasque existem na escala musical. O numero de melodias diferentes possıveis de seremescritas e:A) 3B) 21C) 35

D) 210E) 5040

42. (UCS - RS) O jogo da sena consiste no sorteio de seis numeros distintos, escolhidosao acaso, entre os numeros inteiros de 01 a 50. Uma aposta consiste na escolha deseis numeros distintos entre os cinquenta possıveis. Um apostador que dispunha demuito dinheiro para jogar escolheu quinze numeros entre os cinquenta e fez todasas apostas possıveis com esses numeros. O apostador feza) 5005 apostas.b) 4200 apostas.c) 3603 apostas.

d) 789 apostas.e) 501 apostas.

43. (UCS - RS) Uma pessoa participa de um jogo que consiste de oito apostas conse-cutivas, sendo que em cada uma delas arrisca perder ou ganhar a metade do que jaganhou durante o jogo. O numero de possıveis ordens em que a pessoa pode ganharquatro e perder quatro dessas apostas e igual aa) 60.b) 15.c) 70.

d) 1680.e) 8.

44. (IFRN) Para discutir as modificacoes curriculares no Projeto Pedagogico dos CursosTecnicos Subsequentes, um Instituto Federal formou uma comissao com nove inte-grantes, sendo dois representantes dos professores, tres dos coordenadores de curso,um dos estudantes, um da pro-reitoria de ensino e dois dos diretores academicos doscampus do Instituto. A presidencia dessa comissao ficou a cargo do representanteda pro-reitoria de ensino. O vice-presidente e o relator seriam escolhidos entre osoutros participantes. A quantidade maxima de comissoes distintas que podem serformadas com essas caracterısticas e

a) 28




b) 42c) 56d) 84

45. (CESPE - UNB) Considere que, em uma escola, 5 alunos tenham sido escolhidospara representarem os demais alunos em comissoes responsaveis pela organizacaodos jogos estudantis da regiao. Se o numero de comissoes e igual a 5 e um alunoso pode participar de um unica comissao, assinale a opcao que apresenta o numerode maneiras diferentes que os 5 alunos selecionados podem ser distribuıdos nascomissoes.A) 3.125

B) 120C) 25D) 15

46. (PUC - RS) Numa estante da Biblioteca, encontram-se cinco livros de FısicaQuantica de autores diferentes, seis livros de Fısica Medica de autores diferentese quatro livros de Fısica Nuclear, tambem de autores diferentes. Um grupo de alu-nos, para realizar uma pesquisa, precisa consultar dois livros de Fısica Quantica,tres livros de Fısica Medica e um livro de Fısica Nuclear. O numero de escolhaspossıveis para essa consulta eA) 8400

B) 800C) 204D) 144E) 34

47. (UCS - RS) Nas placas de automoveis de um determinado municıpio, constituıdasde tres letras iniciais, seguidas de 4 algarismos, podem ser utilizadas somente asletras I, F e G. Quantos automoveis registrados nesse municıpio podem ter placaem que aparecem os algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repeticao e nao necessariamentenessa ordem ?

a) 108b) 144c) 648d) 768e) 6 912

48. (UCS - RS) Para uma feira de dois dias, da qual a UCS ira participar com umestande, foi escolhido um aluno de cada uma das oito diferentes cidades em que aUCS mantem campus ou nucleo. Esta previsto que no estande irao trabalhar noprimeiro dia quatro alunos e no segundo dia outros quatro. De quantas maneiraspode ser organizada a escala ?

a) 8




b) 12c) 24d) 64e) 70

49. (UFPR) Apos uma reuniao do conselho escolar de uma instituicao, os 20 professorespresentes decidem formar grupos menores para aprofundar as discussoes e encami-nhar propostas. De quantas formas diferentes esses 20 professores podem dividir-seem grupos de 4 professores para iniciar as discussoes?a) 4.845.b) 1.140.

c) 15.504.d) 116.280.e) 190.

50. (IFS - SE) Ao ser infectada por certo vırus, uma pessoa pode desencadear 7 tiposde sintomas diferentes. Os orgaos de saude publica definiram que, se um individuoapresentasse 4 desses sintomas, seria submetido a tratamento medico preliminarenquanto os resultados dos exames nao estivessem prontos. De quantas maneirasdiferentes um individuo pode manifestar sintomas suficientes para que seja encami-nhado a tratamento medico preliminar?

a) 28 maneirasb) 35 maneirasc) 120 maneirasd) 210 maneirase) 840 maneiras.

51. (UFOP - MG) O numero de gabaritos possıveis para uma prova com 10 questoes,com quatro alternativas por questao e apenas uma alternativa correta e:A) 40B) 410

C) 104

D) 10

52. (UCS - RS) Esta prova de Matematica e composta por 12 questoes, cada uma com5 alternativas. Assinalando uma unica alternativa em cada questao, o numero totalde possibilidades de preenchimento da folha de respostas ea) 512.b) 125.c) 12 × 5.

d) 512

+ 12.e) 125 + 12.




53. (IF Farroupilha - RS) Um restaurante, preocupado com a saude nutricional de seusclientes, resolveu modificar o cardapio das sobremesas, disponibilizando 6 diferentesvariedades por dia. Sua doceira conhece a receita de 10 diferentes tipos de sobre-mesas. De quantas maneiras diferentes podera ser composto o referido cardapio?A) 210B) 5040C) 25200D) 2100E) 187

54. (Unimontes - MG) Considere os algarismos 2, 3, 4, 5, 7, 9. Com esses algarismos,

quantos numeros pares de tres algarismos distintos podem ser formados ?A) 20.B) 30.C) 40.D) 60.

55. (Unimontes - MG) Dos 6 livros que estao em promocao na livraria ”Leitor”, umapessoa comprara 3 para presentear 3 amigos. Quantas sao as maneiras que essapessoa podera dispor para presentear com esses livros?A) 20.B) 30.

C) 60.D) 120.

56. (UEMA) O prefeito da cidade Beta ira promover um torneio comemorativo do cen-tenario da cidade. Participarao do torneio seis times e cada equipe jogara com todasas outras em turno unico. Quantas partidas serao disputadas durante o torneio?a) 25 partidasb) 15 partidasc) 30 partidasd) 36 partidas

e) 60 partidas57. (UEG - GO) Uma pizzaria oferece a seus clientes um cardapio com dez sabores

distintos. As pizzas podem ser compostas por um ou dois sabores entre os dez dis-ponıveis. Dessa forma, de quantas maneiras um cliente pode escolher a sua pizza ?a) 100b) 55c) 45d) 10




58. (UEPA) Segundo a Revista VEJA (11/01/2012), cinco habilidades fundamentaiscompoem a nova teoria da inteligencia social: Comunicacao; Empatia; Assertivi-dade; Feedback e Autoapresentacao. Dentre as habilidades que compoem a novateoria da inteligencia social, o numero de possibilidades distintas em que o setor deRecursos Humanos de uma empresa pode eleger tres dessas habilidades e:a) 120b) 60c) 30d) 20e) 10

59. (Unimontes - MG) Um total de 28 apertos de mao foram dados ao final de umafesta. Se cada participante foi igualmente polido com relacao aos demais, entao onumero de pessoas na festa eraA) 4.B) 6.C) 7.D) 8.

60. (IFNMG) Para cadastrar uma senha de acesso a um site de rede social, certa pessoausou 10 caracteres distintos. Sabendo que esses caracteres podem ser algarismos de0 a 9 e letras de A a Z , o numero maximo de tentativas que uma pessoa que nao

conhece a senha devera fazer para acessar o site e:A) C 36,10

B) P 36C) A36,10

D) P 36 − P 10

61. (Unimontes - MG) Sobre uma circunferencia, marquei 6 pontos distintos. O numerode quadrilateros convexos que posso formar, com vertices nesses pontos, eA) 15.B) 24.C) 360.D) 720.

62. (UFSM - RS) Sendo p o numero de anagramas da palavra LULA e m o numero deanagramas da palavra ALCKMIN, o valor do determinante da matriz, e

A =

m 240 p 1

a) −2160b) −720c) 720

d) 2160e) 2880




63. (Unirio - RJ) Uma famılia formada por 3 adultos e 2 criancas vai viajar numautomovel de 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atr as. Sabendo-se que so 2 pessoaspodem dirigir e que as criancas devem ir atras e na janela, o numero total demaneiras diferentes atraves das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, naopermitindo criancas irem no colo de ninguem, e igual a:a) 120b) 96c) 48d) 24e) 8

64. (EsPCEx - SP) Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 sao oriundos de ColegiosMilitares (CM) e 20, de Colegios Civis (CC). Pretende-se formar grupos com tresalunos, de tal forma que um seja oriundo de CM e dois de CC. O numero de gruposdistintos que podem ser constituıdos dessa forma eA) 200B) 900C) 1260D) 1900E) 4060




1.9 Respostas das Atividades1. 576

2. 72

3. 455

4. 24a posicao.

5. 100

6. CAROL

7. 16a posicao.

8. 88a posicao.

9. 686

10. 1794

11. 3168

12. 6

13. 1152




1.10 Respostas dos Exercıcios Propostos01) C 17) E 33) C 49) D02) C 18) C 34) C 50) B03) C 19) C 35) E 51) B04) E 20) E 36) B 52) E05) B 21) B 37) B 53) A06) D 22) A 38) B 54) B07) E 23) C 39) C 55) C08) C 24) A 40) E 56) D09) B 25) C 41) A 57) B

10) A 26) C 42) D 58) B11) D 27) A 43) A 59) B12) B 28) D 44) D 60) B13) D 29) C 45) B 61) D14) C 30) C 46) A 62) D15) D 31) D 47) C 63) A16) E 32) D 48) C 64) D




1.11 Respostas dos Exercıcios Complementares01) C 17) C 33) B 49) A02) D 18) C 34) B 50) B03) D 19) D 35) D 51) B04) E 20) A 36) E 52) A05) A 21) C 37) A 53) A06) E 22) B 38) C 54) C07) B 23) E 39) E 55) D08) D 24) E 40) C 56) B09) B 25) A 41) D 57) B

10) A 26) B 42) A 58) E11) C 27) C 43) C 59) D12) A 28) B 44) C 60) C13) B 29) B 45) B 61) A14) A 30) B 46) B 62) D15) A 31) D 47) C 63) E16) A 32) C 48) E 64) D



Capıtulo 2

Binomio de Newton

2.1 Introducao

Definicao 2.1.1. O coeficiente binomial e dado porn

k

=

n!

k! · (n − k)! , com n ≥ k e k, n ∈ N.

2.2 Triangulo de Pascal

Na matematica basica, estuda-se as potencias do tipo ( p + q )n, para n ∈ N. Notamos quesao validas as igualdades do tipo:

( p + q )0 = 1

( p + q )1 = p + q

( p + q )2 = p2 + 2 pq + q 2

( p + q )3 = p3 + 3 p2q + 3 pq 2 + q 3

( p + q )4 = p4 + 4 p3q + 6 p2q 2 + 4 pq 3 + q 4

Por outro lado, usando os coeficientes de cada igualdade acima, observamos que

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

55



CAP ITULO 2. BIN OMIO DE NEWTON 56

os coeficientes dispostos acima e chamado de triangulo de Pascal. Alem disso, o trianguloacima pode ser reescrito da seguinte maneira

0

0

1

0

1

1

2

0

2

1

2

2

3

0

3

1

3

2

3

3

4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

Teorema 2.2.1. (Relacao de Stifel) A soma de dois elementos consecutivos de uma

mesma linha e igual ao elemento localizado abaixo da ´ ultima parcela. Assim, temos n

k

+

n

k + 1

=

n + 1

k + 1

,

v´ alida para n e k naturais, com n ≥ 1 e k ≤ n.

Demonstrac˜ ao. Com efeito, usando coeficientes binomiais, temos

nk

+ n

k + 1

= n!

k!(n − k)! + n!

(k + 1)!(n − k − 1)!

= (k + 1)n! + (n − k)n!

(k + 1)!(n − k)!

= (k + 1 + n − k)n!

(k + 1)!(n − k)!

= (n + 1)n!

(k + 1)!(n − k)!

= (n + 1)!

(k + 1)!(n − k)!

=

n + 1

k + 1

2.3 Termo Geral

Teorema 2.3.1. Sejam p e q n´ umeros reais e n ∈ N. Ent˜ ao, vale

( p + q )

n

=

n

k=0

n

k · pn−k

· q

k

. (2.1)




Observac˜ ao 2.3.1. O termo geral do binomio de Newton e dado por

T k+1 =

n

k

· pn−k · q k. (2.2)

onde T 1 representa o primeiro termo, T 2 o segundo termo e assim por diante.

Exemplo 2.3.1. Ache o desenvolvimento do binomio (2x + 5)3.Solucao: Aplicando a formula (2.1), obtemos

(2x + 5)3 =3

k=0

3

k

· (2x)3−k · 5k

=

3

0

(2x)350 +

3

1

(2x)251 +

3

2

(2x)152 +

3

3

(2x)053

= 8x3 + 60x2 + 150x + 125.

Exemplo 2.3.2. Desenvolva o binomio (x − 3)4.Solucao: Aplicando a formula (2.1), obtemos

(x − 3)4 =4

k=0

4

k

· x3−k · (−3)k

=4

0

x4(−3)0 +

41

x3(−3)1 +

42

x2(−3)2 +

43

x1(−3)3 +

44

x0(−3)4

= x4 − 12x3 + 54x2 − 108x + 81.

Exemplo 2.3.3. (UNIFOR - CE) No desenvolvimento do binomio

x4 +

2

x

8

, segundo

as potencias decrescentes de x, o quarto termo e:a) 448x17

b) 56x17

c) 448x20

d) 56x20

e) 448x23

Solucao: Aplicando a formula (2.2), obtemos

T k+1 =

8

k

· x4

n−k ·

2

x

k

Para obtermos o quarto termo, basta fazer k = 3 na expressao acima. Portanto, temos

T 4 =

8

3

· x20 · 23

x3 =

8

3

· 8 · x17 = 448x17.

Logo, a resposta e a alternativa A.




Exemplo 2.3.4. O coeficiente de x6

, no binomio x2

+ 1

x9

e igual a:

A) 118B) 126C) 132D) 145Solucao: Aplicando a formula do termo geral da expansao do binomio de Newton, temos

T k+1 =

9

k

.

x29−k

.

1

x

k

= 9

k.x18−2k

.x−k

=

9

k

.x18−3k

onde k ∈ 0, 1, 2, · · · , 9. Por outro lado, fazendo 18 − 3k = 6, encontramos k = 4.Finalmente, substituindo k = 4 no termo geral, resulta

T 5 =

9

4

.

x29−4

.

1

x

4

=

9

4

.x6 = 126x6.


Exemplo 2.3.5. (PUC - SP) O termo no desenvolvimento de (2x2 − y3)8

que contemx10 e:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6Solucao: Notamos que o termo geral desse binomio e

T k+1 = 8k(2x2)8−k(−y3)k = 8

k.28−k.x16−2k.(−y3)k.

Alem disso, para termos x10, devemos fazer 16 − 2k = 10. Logo, resulta que k = 3. Poroutro lado, substituindo no termo geral acima, temos

T 4 =

8

3

(2x2)5(−y3)3 = −1792x10y9.

Ou seja, a resposta e o quarto termo. (alternativa C)




2.4 Polinomio de LeibnizTeorema 2.4.1. Sejam k1, k2, · · · , k p ∈ N com k1 + k2 + · · · + k p = n. Ent˜ ao,

(x1 + x2 + · · · + x p)n = n!

k1! k2! · · · k p!xk1

1 xk22 · · · xkp

p (2.4)

Exemplo 2.4.1. Desenvolva o polinomio (x2 − x + 4)3.Solucao: Usando a formula (2.4), temos

(x2 − x + 4)3 = 3!

a! b! c!(x2)a (−x)b (4)c

= 6

a! b! c!x2a+b

(−1)b

(4)c

onde a, b, c ∈ N e a + b + c = 3. Por outro lado, atribuindo valores convenientes para asconstantes a , b e c, encontramos a seguinte tabela

a b c termos

0 0 3 640 3 0 −x3

3 0 0 x6

1 1 1 −24x3

2 1 0 −3x5

1 2 0 3x4

2 0 1 12x4

1 0 2 48x2

0 2 1 12x2

0 1 2 −48x

Somando os termos semelhantes, encontramos

(x2 − x + 4)3 = x6 − 3x5 + 15x4 − 25x3 + 60x2 − 48x + 64

Exemplo 2.4.2. Ache o coeficiente de x6 no polinomio (x2 + x − 1)7.Solucao: Usando a formula (2.4), temos

(x2 + x − 6)4 = 7!

a! b! c!(x2)a (x)b (−1)c

= 7!

a! b! c!x2a+b (−1)c

onde a, b, c ∈ N , a + b + c = 7 e 2a + b = 6. Agora, atribuindo valores convenientes paraas constantes a , b e c, obtemos a tabela

a b c termos

0 6 1 −7x6

1 4 2 105x6

2 2 3 −210x6

3 0 4 35x6




Logo, o termo em x6 e (−

7 + 105−

210 + 35)x6 = −

77x6. Assim, a resposta e −

77.

Exemplo 2.4.3. Determine o coeficiente de x5 no polinomio (x3 − x2 + x − 2)6.Solucao: Usando a formula (2.4), temos

(x3 − x2 + x − 2)6 = 6!

a! b! c! d!(x3)a (−x2)b (x)c (−2)d

= 6!

a! b! c!x3a+2b+c (−1)b+d 2d

onde a,b,c,d ∈ N , a + b + c = d = 6 e 3a + 2b + c = 5. Agora, atribuindo valoresconvenientes para as constantes a , b , c e d, obtemos a tabela

a b c d termos

1 1 0 4 −480x5

1 0 2 3 −480x5

0 1 3 2 −240x5

0 2 1 3 −480x5

0 0 5 1 −12x5

Finalmente, o termo em x5 e igual a (−480 − 480 − 240 − 480 − 12)x5 = −1692x6. Ouseja, a resposta e −1692.

Exemplo 2.4.4. (UESPI) Qual o coeficiente de x3 na expansao multinomial de

1 + 1x3

+ x210

?A) 1.380B) 1.480C) 1.580D) 1.680E) 1.780Solucao: Usando a formula (2.4), temos

1 + 1

x3 + x210

= 10!

a! b! c! (1)a 1

x3b

(x2)c

= 10!

a! b! c! x−3b x2c

= 10!

a! b! c! x2c−3b

onde a, b, c ∈ N , a + b + c = 10 e 2c − 3b = 3. Agora, atribuindo valores convenientespara as constantes a , b e c, obtemos a tabela

a b c termos

6 1 3 840x3

1 3 6 840x3




Logo, o termo em x3 e (840 + 840)x3 = 1680x3. Portanto, a resposta e a alternativa D.

Exemplo 2.4.5. Na expansao

x2 +

1

x + 1

8

, o coeficiente de x4 e igual a:

A) 408B) 555C) 658D) 855Solucao: Usando a formula (2.4), temos

x2 + 1

x + 1

8

= 8!

a! b! c! (x2)a

1

xb

(1)c

= 8!

a! b! c! x2a x−b

= 8!

a! b! c! x2a−b

onde a, b, c ∈ N , a + b + c = 8 e 2c − b = 4. Agora, atribuindo valores convenientes paraas constantes a , b e c, obtemos a tabela

a b c termos

4 4 0 70x4

3 2 3 560x4

2 0 6 28x4

Assim, o termo em x4 e (70 + 560 + 28)x4 = 658x4. Logo, a resposta e a alternativa C.

Exemplo 2.4.6. Na expansao

x2 +

1

x2 + 1

9

, o termo independente de x e:

A) 2481B) 2582C) 3040D) 3139Solucao: Usando a formula (2.4), temos

x2 +

1

x2 + 1

8

= 9!

a! b! c! (x2)a

1

x2

b

(1)c

= 9!

a! b! c! x2a x−2b

= 9!

a! b! c! x2a−2b

onde a,b,c ∈ N , a + b + c = 9 e 2a − 2b = 0. Agora, atribuindo valores convenientes

para as constantes a , b e c, obtemos a tabela




a b c termos

0 0 9 11 1 7 722 2 5 7563 3 3 16804 4 1 630

Portanto, o termo independente de x e 1 + 72 + 756+ 1680+ 630 = 3139. Logo, a respostae a alternativa D.

Exemplo 2.4.7. Em relacao ao polinomio P (x) =

x3 − 2x2 + 1

6, podemos afirmar que

o coeficiente de x6

e igual a:A) −145B) 225C) −340D) 490Solucao: Usando a formula (2.4), temos

x3 − 2x2 + 1

6=

6!

a! b! c! (x3)a

−2x2b

(1)c

=

6!

a! b! c! (−2)b x3a x2b

= 6!

a! b! c! (−2)b x3a+2b

onde a,b,c ∈ N , a + b + c = 6 e 3a + 2b = 6. Agora, atribuindo valores convenientespara as constantes a , b e c, obtemos a tabela

a b c termos

2 0 4 15x6

0 3 3 −160x6

Ou seja, concluımos que (15 − 160)x6 = −145x6. Portanto, a resposta e a alternativa A.




2.5 Atividades1. Desenvolvendo o binomio (3x2 + 1)

8, segundo as potencias decrescentes de x. De-

termine o quarto termo.

2. Desenvolvendo o binomio (x2 + y3)6, segundo as potencias crescentes de y. Encontre

o terceiro termo.

3. No desenvolvimento de (x + 2y2)9, encontre o coeficiente do termo em x6y6.

4. Determine o termo independente de x no binomio

√ x − 1

x

6

.

5. Encontre o coeficiente de x8 no desenvolvimento de

4x +

x2

2

6

.

6. (ITA - SP) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2)9.

7. Ache o termo independente de x em

x3 +

2√ x

7

.

8. Determine o coeficiente de x7 no binomio (x + 4)9.

9. Ache o termo central do binomio (x − 2)8

.

10. Calcule o coeficiente de x4 na expansao de

x5 +

1

x2 + 1

12

.

11. Determine o coeficiente de x5 na expansao de

x3 + x + 18

.




2.6 Exercıcios Propostos1. (IFNMG) O coeficiente do termo x12 no desenvolvimento de (x3 + 2)6 e:

A) 60B) 45C) 80D) 45

2. (URCA - CE) Considere o binomio de Newton

x +

1

x2

9

. Se p for o coeficiente

de x6 , q o coeficiente de x3 e s o termo independente, entao p + q + s vale:

a) 126b) 127c) 128d) 129e) 130

3. (UFOP - MG) No desenvolvimento de

x +

13√

x

6

, qual e o coeficiente do termo

em x2 ?a) 20b) 35

c) 56d) 70e) 15

4. (UESPI) Qual e o coeficiente independente de x na expansao de (1 + x + x2)10 ?A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

5. (UESPI) Qual o coeficiente de x7 na expansao de (2 + 3x + x2)4 ?A) 18B) 16C) 14D) 12E) 10

6. (UFRN) Para que exista um termo independente de x no desenvolvimento de2

x − x2

n

, n deve ser um numero inteiro:

a) multiplo de 3.b) par.




c) divisıvel por 5.d) multiplo de 7.e) divisıvel por 11.

7. No desenvolvimento de√

2 + x28

, o coeficiente do termo central e:a) 125b) 4

√ 2

c) 280d) 15

√ 2

8. Em relacao ao binomio (x + ky)8. Sabe-se que o coeficiente do termo x6y2 e 252.

Entao, o valor de k e igual a:A) 1B) 2C) 3D) 4

9. (PUC - RJ) O coeficiente de a13 no binomio (a + 2)15 e:a) 105b) 210c) 360d) 420

e) 480

10. (CESGRANRIO - RJ) O coeficiente de x4 no polinomio P (x) = (x + 2)6 e:a) 64b) 60c) 12d) 4e) 24

11. A soma dos coeficientes de todos os termos do desenvolvimento de (x + 4y)4 e:a) 18

b) 95c) 350d) 480e) 625

12. O coeficiente de x, no desenvolvimento de

√ x +

13√

x

12

e:

a) 648b) 736c) 872

d) 924




13. (PUC - RJ) O coeficiente de x no desenvolvimento x + 1

x7

e:

a) 10b) 35c) 15d) 6e) 20

14. (UNIFOR - CE) No desenvolvimento do binomio

2x +

1

x

4

, o termo independente

de x e:

a) 24b) 12c) 8d) 6e) 4

15. (UFU - MG) O coeficiente de x5 no desenvolvimento de (√

x + 3√

x)12

e:a) 1b) 66c) 220d) 792e) 924

16. (UFC - CE) O coeficiente de x3 no polinomio p(x) = (x − 1) · (x + 3)5 e:a) 30b) 50c) 100d) 120e) 180

17. (NUCEPE - UESPI) Com relacao ao desenvolvimento do binomio (x + 3y)9 eCORRETO afirmar quea) existem 9 termos.b) o coeficiente de x5y4 e ımpar.c) a soma dos coeficientes e menor que 1000.d) o coeficiente de x2y7 e par.e) o termo central tem coeficiente igual a 32.

18. (UFGD - MS) A soma dos termos de grau um e dois do desenvolvimento de (√

2 +2x)4 e:a) 32x(2 + 3x)b) 16x((

√ 2) + 3x)

c) 16x((√ 2) + 6x)




d) 8x((√

6) + 6x)e) 4x((√ 6) + 6x)

19. (UFAL) Qual o termo independente de x na expansao de

x5 +

1

x3

8

?

A) 52B) 53C) 54D) 55E) 56

20. (UFAL) Na expansao de x + 1

x212

, qual o coeficiente independente de x ?

A) 491B) 492C) 493D) 494E) 495

21. (UFT - TO) Sabendo-se que o termo geral de um binomio de Newton e (x + a)n,com x ∈ R, a ∈ R e n ∈ N. E que o termo qualquer de ordem ( p + 1), segundo os

expoentes decrescentes de x , e dado por T p+1 = n

p a p xn− p. No desenvolvimento

de

4x2 +

1

2

10

, o valor do termo independente de x vale

(A) 2−8

(B) 2−10

(C) 2−12

(D) 2−14

(E) 2−16

22. Na expansao do binomio

x +

1

x

13

, o coeficiente do termo em x5 e:

A) 715B) 750C) 838D) 878

23. (UFMA) O coeficiente do termo em x8, no desenvolvimento de

x2 +

1

x2

8

, e:

a) 8!b) 70c) 28

d) 8e) 112




24. Na expansao do binomio x2

+ 2

x25

, o coeficiente do termo em x2

e:

A) 24B) 30C) 35D) 40

25. No desenvolvimento do binomio

√ x

2 +

16√ x

10

, podemos afirmar que o coeficiente

de x3 e igual a:A) 35

B) 45C) 52D) 62

26. (UECE) O valor do termo medio do desenvolvimento binomial de

x3 − 1

x2

12

e:

A)

13

6

x6

B)

13

6

x5

C)12

6

x5

D)

12

6

x6

27. Desenvolvendo o binomio

x3 + 27

, segundo as potencias decrescentes de x. Pode-mos afirmar que o quinto termo e igual a:A) 320x19

B) 395x16

C) 560x9

D) 765x6

28. (UECE) O coeficiente de x6 no desenvolvimento de√

2.x2 + 25

e:

a) 40√

2b) 48

√ 2

c) 60√

2d) 80

√ 2

29. No desenvolvimento de

x2 +√

58

, segundo as potencias decrescentes de x. Pode-mos afirmar que o coeficiente do termo central e igual a:A) 10

√ 5

B) 1750




C) 60√

5D) 3490

30. Na expansao multinomial

x +

1

x + 2

6

, o termo independente de x e:

A) 141B) 281C) 384D) 434

31. Em relacao ao polinomio P (x) =

2 + x − x2

4, podemos afirmar que o coeficiente

do termo em x6

e:A) −8B) 6C) −2D) 4

32. No desenvolvimento do polinomio M (x) =

1 + 3x + x45

, podemos afirmar que ocoeficiente do termo em x7 e:A) 225B) 365C) 420

D) 540E) 642

33. Na expansao

√ x +

1

x2 + 4

6

, com x > 0, o termo independente de x e:

A) 120B) 235C) 350D) 475E) 515




2.7 Exercıcios Complementares1. (UFAM) Sabendo que um dos termos do desenvolvimento de (x + α)6 , com α ∈ R

e igual a 540x3, entao o valor de α e igual a:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

2. (UEPB) No desenvolvimento do binomio x + 1

x10

, a razao entre o quarto e o

quinto termos e:

a) 4

7

b) 4

7x2

c) 5

7x2

d) 4

5x2

e) 47

x3

3. (IFAL) No desenvolvimento

x2 +

3

x

n

, n ∈ N, os coeficientes binominais do quarto

e do decimo terceiro termos sao iguais. Entao o termo independente de x e o:A) decimo.B) decimo-primeiro.C) nono.D) decimo-segundo.E) oitavo.

4. (UFU - MG) Considere o binomio

x6 + 1

x4

n

, em que n e um numero natural

maior ou igual do que 1. Pode-se afirmar que o desenvolvimento desse binomiopossui um termo independente de x sempre que:A) n e multiplo de 5B) n e multiplo de 2C) n e multiplo de 7D) n e multiplo de 3

5. No desenvolvimento do binomio 2x + 1

x2

9

, o termo independente de x e igual a:

A) 3264




INCORRETA.A) O 3 termo e 540x3.B) O 4 termo e 540x2.C) A razao entre o 3 e o 4 termo e x.D) A razao entre o 1o e o 3o termo e 3x.

11. Em relacao ao binomio√

2 + x48

. Podemos afirmar que o coeficiente do termoem x16 e igual a:A) 16

√ 2

B) 280C) 34

√ 2

D) 490

12. No desenvolvimento de

√ x +

1

4

6

, com x > 0. Entao, o coeficiente do termo em

x2 e igual a:

A) 9

13

B) 35

48

C)

12

25

D) 15

16

13. (UEM - PR) Considerando o polinomio P (x) = (2x2 − 3x3)2006

, a soma dos seuscoeficientes eA) 2006.B) −1.C) 1.333.452.D) 1.

E) 32.

14. (EsPCEx - SP) No desenvolvimento do binomio

x2 +

k

x4

9

, o termo independente

de x e igual a 672. Entao k e um numeroA) primo.B) divisıvel por 3.C) multiplo de 5.D) inteiro quadrado perfeito.E) inteiro cubo perfeito.

15. (AFA - SP) Com relacao ao binomio x2 + 2xn

e correto afirmar que:




a) se n e ımpar, seu desenvolvimento possui um numero ımpar de termos.b) possui termo independente de x, ∀n ∈ N∗.c) a soma de seus coeficientes binomiais e igual a 64 quando esse binomio possuiseis termos.d) se o 5o termo do desenvolvimento desse binomio, segundo as potencias decres-centes de x, e 560x2, entao n e igual a 7.

16. Na expansao

x +√

x + 15

, com x > 0, o coeficiente do termo em x2 e:A) 30B) 35C) 40

D) 45

17. Na expansao

x +

1√ x

+ 1

6

, com x > 0, o coeficiente do termo em x3 e:

A) 75B) 80C) 85D) 90


x2 − x + 34

, o coeficiente do termo em x3 e igual a:A) −110

B) 115C) −120D) 140


x2 + x

2 + 1

5, o coeficiente do termo em x2 e igual a:

A) 15

2

B) 17

4

C) 23

8

D) 39

16


x + 3√

x − 26

, o coeficiente do termo em x2 e igual a:A) 274B) 383C) 462D) 481

21. (UESPI) O coeficiente independente de x na expansao de 1 − 2x − x

311 e igual aa) 0




b) 1c) 2d) 3e) 4


x − √ x + 2

8, com x > 0, o coeficiente do termo inde-

pendente de x e:A) 64B) 128C) 256D) 512

23. No desenvolvimento do binomio

x2

3 +

1

x

5

, o coeficiente do termo em x4 e:

A) 10

27

B) 19

9

C) 11

81

D) 23

3

24. Em relacao ao binomio

β

2 +

1

x

6

, sabe-se que o coeficiente do termo em x−3 e 20.

Assim, podemos afirmar que o valor de β e igual a:A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

25. Em relacao a expansao

x + 1x

+ 29

, podemos afirmar que o coeficiente de x4 e:

A) 2694B) 3778C) 4536D) 5182E) 6504

26. (IF Sudeste MG) O termo independente de x no desenvolvimento de

x − 2

x

4

e:

a) 8b) 16




2.8 Respostas das Atividades1. 1512x6

2. 15x4y12

3. 672

4. 15

5. 960

6. 414

7. 448

8. 1344

9. 1120x4

10. 8415

11. 224




2.9 Respostas dos Exercıcios Propostos01) A 17) D 33) A 49)02) D 18) B 34) 50)03) A 19) E 35) 51)04) B 20) E 36) 52)05) D 21) B 37) 53)06) A 22) A 38) 54)07) C 23) C 39) 55)08) C 24) D 40) 56)09) D 25) B 41) 57)

10) B 26) D 42) 58)11) E 27) C 43) 59)12) D 28) D 44) 60)13) B 29) B 45) 61)14) A 30) A 46) 62)15) E 31) C 47) 63)16) E 32) D 48) 64)




2.10 Respostas dos Exercıcios Complementares01) B 17) B 33) 49)02) B 18) C 34) 50)03) B 19) A 35) 51)04) A 20) D 36) 52)05) C 21) B 37) 53)06) C 22) C 38) 54)07) D 23) A 39) 55)08) D 24) B 40) 56)09) B 25) C 41) 57)

10) D 26) D 42) 58)11) B 27) D 43) 59)12) D 28) 44) 60)13) D 29) 45) 61)14) A 30) 46) 62)15) D 31) 47) 63)16) D 32) 48) 64)



Capıtulo 3

Probabilidade

3.1 Introducao

Definicao 3.1.1. Seja A um evento de um espaco amostral finito Ω, cujos elementos saoigualmente provaveis. A probabilidade do evento A e dada pela razao

P (A) = N (A)

N (Ω)

onde N (A) representa o numero de casos favoraveis e N (Ω) representa o numero de casos

possıveis.

Exemplo 3.1.1. (UFPB) A probabilidade de se escolher, no conjunto A = n ∈ N | 1 ≤n ≤ 21, um numero que seja divisor de 12 e de 16 ea) 5/7b) 4/21c) 1/7d) 1/21e) 4/7Solucao: Suponhamos que D(k) represente o conjunto dos divisores de k ∈ N. Logo,temos que D(12) =

1, 2, 3, 4, 6, 12

e D(16) =

1, 2, 4, 8, 16

. Agora, seja X o evento

formado pelos divisores de 12 e 16. Logo, segue que X = 1, 2, 4. Sabe-se que oespaco amostral S e formado por todos os numeros do conjunto A. Logo, obtemos S =1, 2, 3, · · · , 19, 20, 21. Portanto, resulta que

P (X ) = N (X )

N (S ) =

3

21 =

1

7.


Exemplo 3.1.2. (Mackenzie - SP) Escolhidos, ao acaso, dois numeros distintos do conjunto

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

, a probabilidade de que o produto deles seja ımpar e:

a) 34

81



CAP ITULO 3. PROBABILIDADE 82

b) 12

c) 2

7

d) 2

9

e) 3

5

Solucao: Notamos que o espaco amostral Ω consiste em escolher dois numeros do con-

junto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Isso pode ser feito de 102 = 45 maneiras. Alem disso,

sabemos que o produto de dois numeros impares e um numero ımpar. Seja o evento A,que consiste em escolher dois numeros do conjunto 1, 3, 5, 7, 9. Isso pode ser feito de

5

2

= 10 maneiras. Portanto, resulta

P (A) = N (A)

N (Ω) =

10

45 =

2

9

Ou seja, a resposta e a alternativa D.

Exemplo 3.1.3. (UNEMAT - MT) Em uma competicao ha sete candidatos, dois dosexo masculino e cinco do sexo feminino. Para definir os dois primeiros candidatos queirao iniciar a competicao, efetuam-se dois sorteios seguidos, sem reposicao, a partir deuma urna contendo fichas com os nomes de todos os candidatos. Nesta situacao, a pro-babilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino e de:

a) 10

21

b) 7

21

c) 2

5

d) 5

7

e) 5

14

Solucao: Seja S o espaco amostral que consiste em escolher 2 pessoas num grupo

formado por 7 pessoas. Logo, existem N (S ) =

7

2

= 21 maneiras de fazer essa escolha.

Alem disso, seja X o evento que consiste em escolher 2 mulheres num total de 5 mulheres.




Podemos fazer isso de N (X ) = 5

2 = 10 maneiras. Portanto, encontramos

P (X ) = N (X )

N (S ) =

10

21.

Ou seja, a resposta e a alternativa A.

Exemplo 3.1.4. Escolhendo ao acaso um dos anagramas da palavra P RETA. Qual aprobabilidade desse anagrama comecar com a letra A?

(A) 1

5

(B) 16

(C) 1

12

(D) 1

18

Solucao: Seja S o espaco amostral formado por todos os anagramas da palavra P RETA.Sabe-se que o numeros de anagramas e P 5 = 5! = 120. Ou seja, N (S ) = 120. Alem disso,seja X o evento formado por todos anagramas que comecam com a letra A. Logo, devemos

fixar a letra A e permutar as letras restantes, de acordo a representacao abaixo

A, −, −, −, − 4 espacos

Nesse caso, temos P 4 = 4! = 24. Ou seja, N (X ) = 24. Finalmente, a probabilidade e

P (X ) = N (X )

N (S ) =

24

120 =

1

5.


Exemplo 3.1.5. Uma caixa tem 6 bolas verdes e 7 bolas pretas. Retiram-se 4 bolas dessacaixa, sem reposicao. Calcule a probabilidade de serem retiradas 2 bolas de cada cor.Solucao: Notamos que retirar 4 bolas, sem reposicao e equivalente a retirar 4 bolassimultaneamente. Seja Ω o espaco amostral que consiste em retirar 4 bolas entre 13bolas. Portanto, resulta que

N (Ω) =

13

4

=

13!

4! · 9! = 715.

Seja, A o evento composto por 4 bolas, sendo 2 verdes e 2 pretas. Entao, temos que

N (A) = 62 ·7

2 = 6!

2! · 4! · 7!

2! · 5! = 315.




Logo, a probabilidade e dada por

P (A) = N (A)

N (Ω) =

315

715 =

63

143.

Exemplo 3.1.6. Num caixa eletronico de um banco existem somente notas de 2 e 5reais. Sabe-se que Juliana retirou 20 reais. Qual a probabilidade da quantidade de notasretiradas formarem um numero par ?Solucao: Inicialmente, usaremos a seguinte notacao a = quantidade de notas de 2 reaise b = quantidade de notas de 5 reais. Entao, temos a relacao 2a + 5b = 20, onde a, b ∈ N.Alem disso, vamos atribuir valores convenientes, com isso formamos a seguinte tabela

a a = (20 − 5b)/2 a + b

0 10 10 (par)2 5 7 (ımpar)4 0 4 (par)

Alem disso, supomos que os casos possiveis acima sao equiprovaveis. Portanto, temos tresresultados possıveis e dois casos favoraveis. Ou seja, a probabilidade e dada por

P = 2

3.

Exemplo 3.1.7. Uma caixa tem 9 bolas verdes e 5 bolas amarelas. Quatro bolas saoretiradas ao acaso e sem reposicao. Qual a probabilidade de que pelo menos duas sejamamarelas?Solucao: Seja Ω o espaco amostral formado por todas as combinacoes de 14 bolas,tomadas 4 a 4. Portanto, temos

N (Ω) =

14

4

=

14!

4! · 10! = 1001.

Seja A o evento formado por 4 bolas, onde pelo menos duas s ao amarelas. Nesse caso,temos tres possibilidades; A primeira, consiste em 2 amarelas e 2 verdes; a segunda,

consiste em 3 amarelas e 1 verde e a terceira, consiste em 4 amarelas. Portanto, obtemos

N (A) =

9

2

·

5

2

+

9

3

·

5

1

+

5

4

= 785.


P (A) = N (A)

N (Ω) =

785

1001.

Exemplo 3.1.8. Uma caixa tem 7 bolas brancas e 9 bolas pretas. Cinco bolas saoselecionadas ao acaso e sem reposicao. Qual a probabilidade de que no maximo duas




bolas sejam pretas ?Solucao: Seja Ω o espaco amostral formado por todas as combinacoes de 16 bolas,tomadas 5 a 5. Portanto, temos

N (Ω) =

16

5

=

16!

5! · 11! = 4368.

Seja B o evento formado por 5 bolas, onde no maximo 2 sao pretas. Nesse evento, temostres casos; o primeiro, consiste em 5 brancas e nenhuma preta; o segundo, consiste em 4brancas e 1 preta e o terceiro, consiste 3 brancas e 2 pretas. Logo, encontramos

N (B) = 7

5 + 7

4 ·9

1 + 7

3 ·9

2 = 1596.


P (B) = N (B)

N (Ω) =

1596

4368.

Exemplo 3.1.9. (IFAP) Uma urna contem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duasbolas, escolhidas ao acaso, sao sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposicao. Aprobabilidade de que ambas sejam brancas vale:

a) 1/6b) 2/9c) 4/9d) 16/81e) 20/81Solucao: Seja S o espaco amostral que consiste em escolher 2 bolas entre 9 bolas,

podemos fazer isso de

9

2

= 36 formas diferentes. Agora, seja X o evento que consiste

em escolher 2 bolas brancas entre 4 bolas brancas, podemos fazer isso de

4

2

= 6 formas

diferentes. Portanto, resulta que

P (X ) = N (X )

N (S ) =

6

36 =

1

6.


Exemplo 3.1.10. Considere o lancamento de dois dados nao - viciados. Qual a probabi-lidade de se obter na soma dos pontos das faces voltadas para cima um numero ımpar ?A) 45%B) 50%

C) 55%D) 60%




Solucao: Um dado tem 6 faces numeradas de 1 ate 6. Assim, no lancamento de doisdados, o espaco amostral Ω e dado por

Ω =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento A formado pelos pares ordenados de modo que a soma dos numeros sejaum numero ımpar. Assim, temos que

A =

(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5)(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5)(5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)

Portanto, a probabilidade e dada por

P (A) = N (A)

N (Ω) =

18

36 = 50%.


Exemplo 3.1.11. (UFRGS - RS) Dois dados perfeitos numerados de 1 a 6 sao jogadossimultaneamente. Multiplicam-se os numeros sorteados. A probabilidade de que o pro-duto seja par e(A) 25%(B) 33%(C) 50%(D) 66%(E) 75%Solucao: Notamos que o espaco amostral S e dado pelo conjunto abaixo

S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que o produto dos numeros formeum numero par. Portanto, temos

X = (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)





P (X ) = N (X )

N (S ) =

27

36 = 75%.

Assim, a resposta e a alternativa E.

Exemplo 3.1.12. (PUC - RS) Dois dados sao jogados simultaneamente. A probabili-dade de se obter soma igual a 10 nas faces de cima e

A) 1

18

B) 112

C) 1

10

D) 1

6

E) 1

5

Solucao: Notamos que o espaco amostral S e dado pelo conjunto abaixo

S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que a soma e igual a 10. Assim,temos

X = (4, 6), (6, 4), (5, 5) Logo, a probabilidade e dada por

P (X ) = N (X )

N (S ) =

3

36 =

1

12.


Exemplo 3.1.13. Seja X o conjunto formado por todas as permutacoes de seis letrasda palavra CABELO. Sabendo que uma dessas permutacoes foi escolhida ao acaso. Aprobabilidade de a escolhida comecar com a letra A e terminar com a letra B e:

(A) 110




(1) 0 ≤

P (A) ≤

1, com A ⊂

Ω ;

(2) P (Ω) = 1 ;

(3) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) , com A ∩ B = ∅Observac˜ ao 3.1.1. Quando A ∩ B = ∅, dizemos que A e B sao mutuamente exclusivos.

Teorema 3.1.1. Sejam A e B eventos de um espaco amostral Ω. Ent˜ ao,

(1) P (∅) = 0 ;

(2) P (Ac) = 1

− p(A), onde Ac e o complemento do evento A ;

(3) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Demonstrac˜ ao. Em (1), notamos que A∪∅ = A e A∩∅ = ∅. Entao, temos P (A∪∅) = P (A)implica em P (A) + P (∅) = P (A). Portanto, obtemos P (∅) = 0.Em (2), observamos que Ac ∪ A = Ω e Ac ∩ A = ∅. Portanto, P (Ac ∪ A) = P (Ω) implicaem P (Ac) + P (A) = P (Ω). Ou seja, resulta que P (Ac) = 1 − p(A).Em (3), percebemos que A ∩ (Ac ∩ B) = ∅ e A ∪ B = A ∪ (Ac ∩ B). Portanto,

P (A ∪ B) = P (A ∪ (Ac ∩ B)) = P (A) + P (Ac ∩ B) (3.1)

Alem disso, sabemos que (A ∩ B) ∩ (Ac

∩ B) = ∅ e B = (A ∩ B) ∪ (Ac

∩ B). Portanto,

P (B) = P (A ∩ B) + P (Ac ∩ B) (3.2)

Logo, de (2.1) e (2.2) segue que P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Exemplo 3.1.15. Um numero entre 1 e 90 e escolhido de forma aleatoria. Determine aprobabilidade desse numero ser divisıvel por 2 ou por 3.Solucao: Seja A o evento formado por numeros divisıveis por 2 e B o evento formadopor numeros divisıveis por 3. Sabemos que N (A) = 45 e N (B) = 30. Mas, existemnumeros que sao divisıveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Assim, temos que obter os

numeros divisiveis por 6. Ou seja, resulta que N (A ∩ B) = 15. Portanto, segue que

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

= 45

90 +

30

90 − 15

90

= 60

90 =

2

3.

Exemplo 3.1.16. Patricia foi ao mercado. Sabe-se que a probabilidade dela comprartres ou mais objetos e 75% e a probabilidade dela comprar tres ou menos objetos e 38%.Qual a probabilidade dela comprar exatamente tres objetos ?

A) 93%B) 57%




C) 75%D) 13%Solucao: Sejam os eventos A = Patricia comprar tres ou mais objetos; B = Patriciacomprar tres ou menos objtos; A ∩ B = Patricia comprar exatamente tres objetos. Alemdisso, sabemos que A ∪ B = Espaco Amostral, que significa comprar menos que tresobjetos, ou comprar tres ob jetos, ou comprar mais que tres objetos. Portanto, resulta

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

1 = 0, 75 + 0, 38 − P (A ∩ B)

Logo, obtemos P (A ∩ B) = 0, 13. Ou seja, a resposta e a alternativa D.

Exemplo 3.1.17. (UEPA) Os cursos ofertados pela UEPA no PROSEL e PRISE, nomunicıpio de IGARAPE-ACU, com as respectivas vagas, constam na tabela abaixo :

CURSO OFERTADO PROSEL PRISELicenciatura em Letras 20 20

Licenciatura em Matematica 20 20

Supondo que todas as vagas serao preenchidas, a probabilidade de sortearmos, ao acaso,um aluno do Curso de Licenciatura em Matematica ou um aluno aprovado no PRISE ede:a) 25%b) 50%

c) 60%d) 75%e) 100%Solucao: Inicialmente, consideremos os eventos A = aluno do curso de licenciatura emmatematica e B = aluno aprovado no PRISE. Usando a probabilidade da uni ao de doiseventos, temos

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

= 40

80 +

40

80 − 20

80 = 0, 75.


3.2 Probabilidade condicional

Definicao 3.2.1. Sejam os eventos A e B de um espa co amostral Ω. Denotamos porP (B/A) a probabilidade condicional de B dado A e representamos por

P (B/A) = P (A ∩ B)

P (A) , com P (A) > 0.

Usando a relacao acima, podemos obter a formula do produto para dois eventos, dada

por P (A ∩ B) = P (A) · P (B/A). Por outro lado, sendo P (B) > 0, podemos ter a formaP (B ∩ A) = P (B) · P (A/B).




Definicao 3.2.2. Sejam os eventos B1, B2, · · ·

, Bn de um espaco amostral Ω. Dizemosque eles formam uma particao de Ω, quando:1) P (Bk) > 0, para cada k ∈ 1, 2, · · · , n .2) Bi ∩ B j = ∅, para i = j .3) n

i=1Bi = Ω.

Teorema 3.2.1. (Teorema da probabilidade total) Se os eventos A1, A2, · · · , An

formam uma partic˜ ao de Ω e B e um evento contido em

ni=1

Ai. Sabendo que P (Ai) > 0,

para cada i ∈ 1, 2, · · · , n. Ent˜ ao, vale a relac˜ ao

P (B) = P (A1) · P (B/A1) + P (A2) · P (B/A2) + · · · + P (An) · P (B/An)

Exemplo 3.2.1. Uma urna I tem 3 bolas boas e 2 defeituosas e na urna II tem 7 bolasboas e 3 defeituosas. Escolhendo uma urna ao acaso e retirando uma bola.a) Qual a probabilidade dela ser defeituosa ?b) Qual a probabilidae dela ser boa ?Solucao: No item a), seja D o evento formado por bola defeituosa. Alem disso, sabemosque os conjuntos D ∩ I e D ∩ II sao mutuamente exclusivos e que D = (D ∩ I ) ∪ (D ∩II ).Portanto, temos que

P (D) = P (D∩

I ) + P (D∩

II )

= P (I ) · P (D/I ) + P (II ) · P (D/II )

= 1

2 · 2

5 +

1

2 · 3

10

= 7

20.

No item b), seja B o evento formado por bola boa. Mas, sabemos que os conjuntos B ∩ I e B ∩ II sao mutuamente exclusivos e que B = (B ∩ I ) ∪ (B ∩ II ). Portanto, temos que

P (B) = P (B ∩ I ) + P (B ∩ II )

= P (I ) · P (B/I ) + P (II ) · P (B/II )

= 1

2 · 3

5 +

1

2 · 7

10

= 13

20.

3.3 Eventos Independentes

Definicao 3.3.1. Sejam os eventos A e B do espaco amostral Ω. Dizemos que esseseventos A e B sao independentes, quando P (B/A) = P (B) e P (A/B) = P (A).

Definicao 3.3.2. Os eventos A e B sao independentes, quando P (A∩B) = P (A) · P (B).




Exemplo 3.3.1. A probabilidade de Adriana resolver um problema e P (A) =

1

6 e a

probabilidade de Bruno resolver esse problema e P (B) = 4

5. Qual a probabilidade de

ambos resolverem o problema ?Solucao: Sendo os eventos A e B independentes. Entao, resulta que

P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 1

6 · 4

5 =

4

30

Ou seja, a resposta e aproximadamente 13%.

Exemplo 3.3.2. Sabendo que A e B sao eventos independentes. Mostre que AC e B sao

independentes.Solucao: Notamos que A∩B e AC ∩B sao disjuntos e B = (A∩B)∪(AC ∩B). Portanto,

P (B) = P [(A ∩ B) ∪ (AC ∩ B)]

= P (A ∩ B) + P (AC ∩ B)

= P (A) · P (B) + P (AC ∩ B)

Logo, obtemos P (B) = P (A) · P (B) + P (AC ∩ B). Por outro lado, resulta que

P (AC ∩ B) = P (B) − P (A) · P (B)

= P (B)·

(1−

P (A))

= P (B) · P (AC )

Portanto, mostramos que AC e B sao independentes.

Exemplo 3.3.3. Sabendo que A e B sao eventos independentes. Mostre que AC e BC

sao independentes.Solucao: Inicialmente, sabemos que vale a relacao AC ∩ BC = (A ∪ B)C . Portanto,

P (AC ∩ BC ) = P ((A ∪ B)C ) = 1 − P (A ∪ B)

= 1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B))

= 1 − P (A) − P (B) + P (A ∩ B)= (1 − P (A)) − P (B) · (1 − P (B))

= (1 − P (A)) · (1 − P (B))

= P (AC ) · P (BC )

Logo, provamos que AC e BC sao independentes.

Definicao 3.3.3. Dizemos que os eventos A, B e C sao independentes, quando:1) P (A ∩ B) = P (A) · P (B) ;2) P (A ∩ C ) = P (A) · P (C ) ;3) P (B

∩C ) = P (B)

·P (C ) ;

4) P (A ∩ B ∩ C ) = P (A) · P (B) · P (C )




Exemplo 3.3.4. As probabilidades de Adriano, Beatriz e Carlos resolverem um problema

sao P (A) = 13

, P (B) = 25

e P (C ) = 38

, respectivamente. Qual a probabilidade de somente

duas pessoas resolverem o problema ?Solucao: Seja X o evento que consistem em somente duas pessoas resolverem o problema.Alem disso, os eventos A, B e C independentes. Portanto, temos

P (X ) = P (AC ∩ B ∩ C ) + P (A ∩ BC ∩ C ) + P (A ∩ B ∩ C C )

= P (AC ) · P (B) · P (C ) + P (A) · P (BC ) · P (C ) + P (A) · P (B) · P (C C )

= 2

3 · 2

5 · 3

8 +

1

3 · 3

5 · 3

8 +

1

3 · 2

5 · 5

8

= 12120

+ 9120

+ 10120

= 31120

Logo, a resposta e aproximadamente 25%.

Exemplo 3.3.5. (IFTO) Supondo que a probabilidade de acertar esta questao seja de0,8 para o candidato A, que estudou e 0,2 para o candidato B, que nao estudou, qual aprobabilidade de ambos acertarem esta questao?a) 8%b) 80%c) 32%

d) 10%e) 16%Solucao: Sabemos que P (A) = 0, 8 e P (B) = 0, 2. Sendo os eventos independentes,temos P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0, 8 · 0, 2 = 0, 16. Logo, a resposta e a alternativa E.

Exemplo 3.3.6. (UFPE) Oito rapazes e doze mocas concorrem ao sorteio de doispremios. Serao sorteadas duas dessas pessoas, aleatoriamente, em duas etapas, de modoque o sorteado na primeira etapa concorrera ao sorteio na segunda etapa. Qual a proba-bilidade percentual de ser sorteado um par de pessoas de sexos diferentes?Solucao: Sejam os eventos R = sortear um rapaz e M = sortear uma moca. Sendo re-tiradas com reposicao, logo os eventos R e M sao independentes. Agora, seja X o evento

que consiste em sair pessoas de sexos diferentes. Portanto, temos

P (X ) = P (R ∩ M ) + P (M ∩ R)

= P (R) · P (M ) + P (M ) · P (R)

= 8

20 · 12

20 +

12

20 · 8

20

= 192

400 = 0, 48.

Logo, a resposta e 48%.




3.4 Teorema de BayesTeorema 3.4.1. (Teorema de Bayes) Se os eventos A1, A2, · · · , An formam uma

partic˜ ao de Ω e B e um evento contido em

ni=1

Ai. Sabendo que P (Ai) > 0, para cada

i ∈ 1, 2, · · · , n. Ent˜ ao, vale a relac˜ ao

P (Ai/B) = P (Ai) · P (B/Ai)

P (A1) · P (B/A1) + P (A2) · P (B/A2) + · · · + P (An) · P (B/An)

Exemplo 3.4.1. Numa loja existem tres caixas A, B e C , cada uma possui uma certaquantidade de bolas brancas, verdes e pretas. A distribuicao da quantidade de bolas em

cada caixa e fornecida pela tabela

cores \ caixas Caixa A Caixa B Caixa C

Brancas 2 3 7V erdes 1 2 5Pretas 2 5 3

Escolheu-se uma caixa ao acaso e dela retirou-se uma bola ao acaso, em seguida verificou-se que a bola era preta. Determine a probabilidade dela ter vindo da:a) caixa A.b) caixa B.

c) caixa C .Solucao: Na parte (a), seja A = Caixa A, B = Caixa B e C = Caixa C . Alem disso,

sabemos que P (A) = 1

3; P (B) =

1

3 e P (C ) =

1

3; P ( preta/A) =

2

5; P ( preta/B) =

5

10 e

P ( preta/C ) = 3

15. Agora, usando o Teorema de Bayes, temos

P (A/preta) = P (A) · P ( preta/A)

P (A) · P ( preta/A) + P (B) · P ( preta/B) + P (C ) · P ( preta/C )

=

1

3 · 2

5

13 · 2

5 + 1

3 · 5

10 + 1

3 · 3

15

=

2

15

3390

= 4

11

Na parte (b), sabemos que P (A) = 1

3; P (B) =

1

3 e P (C ) =

1

3; P ( preta/A) =

2

5;

P ( preta/B) = 5

10 e P ( preta/C ) =

3

15. Agora, usando o Teorema de Bayes, temos

P (B/preta) = P (B) · P ( preta/B)

P (A) · P ( preta/A) + P (B) · P ( preta/B) + P (C ) · P ( preta/C )

=

1

3 · 5

10

13 · 2

5 + 1

3 · 5

10 + 1

3 · 3

15

=

5

30

3390

= 5

11




P (defeito/A) =

4

100 e P (defeito/B) =

2

100 . Pelo Teorema de Bayes, temos

P (A/defeito) = P (A ∩ defeito)

P (defeito)

= P (A) · P (defeito/A)

P (A) · P (defeito/A) + P (B) · P (defeito/B)

=

60

100 · 4

10060

100 · 4

100 +

40

100 · 2

100

= 240320

= 0, 75.

Ou seja, a resposta e p = 75%.

Exemplo 3.4.4. (UFRJ) Fernando e Claudio foram pescar num lago onde so existemtrutas e carpas. Fernando pescou, no total, o triplo da quantidade pescada por Claudio.Fernando pescou duas vezes mais trutas do que carpas, enquanto Claudio pescou quanti-dades iguais de carpas e trutas. Os peixes foram todos jogados num balaio e uma trutafoi escolhida ao acaso desse balaio. Determine a probabilidade de que esta truta tenhasido pescada por Fernando.

Solucao: Seja F a quantidade de peixes pescado por Fernando e C a quantidade depeixes pescado por Claudio. Entao, temos a relacao P (C ) + 3P (C ) = 1. Logo, encon-

tramos P (C ) = 1

4 e P (F ) =

3

4. Alem disso, Fernando pescou duas vezes mais trutas

do que carpas. Portanto, temos P (truta/F ) = 2

3 e P (carpa/F ) =

1

3. Por outro lado,

Claudio pescou quantidades iguais de carpas e trutas. Logo, temos P (truta/C ) = 1

2 e

P (carpa/C ) = 1

2. Pelo Teorema de Bayes, temos

P (F/truta) =

P (F

∩truta)

P (truta)

= P (F ) · P (truta/F )

P (F ) · P (truta/F ) + P (C ) · P (truta/C )

=

3

4 · 2

33

4 · 2

3 +

1

4 · 1

2

= 4

5 = 0, 80.

Portanto, a resposta e 80%.




3.5 Distribuicao BinomialTeorema 3.5.1. (Teorema Binomial) Seja um experimento binomial consistindo em

n provas independentes, e X representa a quantidade de sucessos. Ent˜ ao, a probabilidade

de ocorrer exatamente k sucessos e dada por

P (X = k) =

n

k

· pk · (1 − p)n−k , com k = 0, 1, 2, · · · , n.

onde, p e a probabilidade de sucesso e 1 − p e a probabilidade de fracasso.

Exemplo 3.5.1. Um atirador acerta no alvo, 30% dos tiros. Se ele da 4 tiros. Qual a

probabilidade dele acertar:a) 2 tiros ?b) no maximo 2 tiros ?

Solucao: Usaremos o Teorema Binomial, com sucesso

p = 30% =

3

10

e fracasso

q = 70% = 7

10

. Onde X representa a quantidade de acertos. Portanto, no item (a),

temos

P (X = 2) = 4

2 · 3

102

· 7

102

= 1323

5000

.

No item (b), temos

P (B) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

=

4

0

·

3

10

0

·

7

10

4

+

4

1

·

3

10

1

·

7

10

3

+

4

2

·

3

10

2

·

7

10

2

= 2401

10000 +

4116

10000 +

2646

10000 =

9163

10000.

Exemplo 3.5.2. Adriano e Bruno disputam um serie de 4 partidas de jogos de xadrez.

A probabilidade de Adriano ganhar uma partida e de 45% e nao ha empate. Calcule aprobabilidade de Adriano ganhar a serie.Solucao: Notamos que para Adriano ganhar essa serie de jogos, ele precisa vencer pelomenos 3 jogos. Ou seja, basta vencer 3 ou 4 jogos. Usando o Teorema Binomial, temos

P (B) = P (X = 3) + P (X = 4)

=

4

3

·

9

20

3

·

11

20

1

+

4

4

·

9

20

4

·

11

20

0

= 32076

(20)4 +

6561

(20)4 =

38637

(20)4 .





Exemplo 3.5.5. (Mackenzie - SP) No lancamento de 4 moedas honestas, a probabili-dade de ocorrerem duas caras e duas coroas e:

a) 1

16

b) 3

16

c) 1

4

d) 3

8

e) 1

2

Solucao: Denotamos por sucesso a probabilidade de aparecer cara e f racasso a proba-

bilidade de aparecer coroa. Portanto, temos que o sucesso e

p = 50% =

1

2

e o fracasso

q = 50% = 1

2

. Suponhamos que X represente a quantidade de caras. Logo, usando o

Teorema Binomial, temos

P (X = 2) = 42 ·1

22

·122

= 38

.


Exemplo 3.5.6. (UPE) Carlos precisa fazer um teste psicotecnico para ocupar umavaga em uma industria de alimentos. O teste consta de 10 questoes do tipo verdadeiroe falso. Carlos nao se preparou para este teste e nao sabe responder nenhuma pergunta,resolvendo chutar todas as questoes. A probabilidade de Carlos acertar 5 questoes e,aproximadamente, deA) 24%B) 10%C) 6%D) 50%E) 60%Solucao: Denotamos por sucesso a probabilidade dele acertar uma questao e fracasso

a probabilidade dele errar uma questao. Portanto, temos que o sucesso e

p = 50% =

1

2

e o fracasso

q = 50% =

1

2

. Suponhamos que X represente a quantidade de acertos.

Logo, usando o Teorema Binomial, temos

P (X = 5) = 105 ·1

25

·125

= 2521024

≈ 0, 24.





Exemplo 3.5.7. (UFPE) Suponha que: a probabilidade de cada pessoa, de um grupo dequatro pessoas, ser aprovada no vestibular seja de 60%. Calcule a probabilidade percentualde, exatamente, duas das quatro pessoas serem aprovadas no vestibular e indique a somade seus dıgitos.Solucao: Denotamos por sucesso a probabilidade da pessoa ser aprovada no vestibulare fracasso a probabilidade da pessoa ser reprovada no vestibular. Portanto, temos que o

sucesso e

p = 60% =

3

5

e o fracasso

q = 40% =

2

5

. Suponhamos que X represente a

quantidade de pessoas aprovadas no vestibular. Logo, usando o Teorema Binomial, temos

P (X = 2) =

4

2

·

3

5

2

·

2

5

2

= 216

625 = 0, 3456.

Ou seja, a resposta e 34, 56% e a soma = 18 .




3.6 Atividades1. (UNICAMP - SP) Uma loteria sorteia tres numeros distintos entre doze numeros

possıveis.a) Para uma aposta em tres numeros, qual e a probabilidade de acerto ?b) Se a aposta em tres numeros custa R$ 2,00, quanto deveria custar uma apostaem cinco numeros ?

2. Um estudante criou uma loteria que consiste em sortear 4 numeros de 1 a 30. Paraganhar alguma premiacao, o apostador deve acertar 2, 3 ou 4 numeros. Sabendoque um apostador assinalou 4 numeros no cartao. Calcule a probabilidade desse

apostador acertar:a) 4 numeros.b) 3 numeros.c) 2 numeros.

3. Uma empresa possui tres maquinas produzem o mesmo tipo de produto. A maquinaI produz 20% do total produzido, a maquina II produz 30% do total e a maquinaIII produz 50% do total. Mas, sabe-se que a maquina I produz 90% de pecas boas,a maquina II produz 80% de pecas boas e a maquina III produz 70% de pecas boas.Uma peca e escolhida ao acaso e verifica-se que e boa. Qual a probabilidade de quetenha sido produzida pela maquina II ?

4. (UNIFEI - MG) Dispoe-se de um grupo de 10 pessoas para formar comissoes cons-tituıdas por 4 pessoas. Porem, entre essas 10 pessoas, existe um casal (marido eesposa) que nao pode participar, juntos, dessas comissoes. Pergunta-se:a) De quantas maneiras distintas essas comissoes podem ser formadas?b) Escolhendo-se, aleatoriamente, uma das comissoes formadas, qual e a probabili-dade de que a esposa faca parte dessa comissao?

5. (UFMG) Vinte alunos de uma escola, entre os quais Gabriel, Mateus e Roger,formam uma fila aleatoriamente.a) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que Gabriel,

Mateus e Roger aparecam juntos, em qualquer ordem.b) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que, entre Gabriele Mateus, haja, exatamente, cinco outros alunos.

6. (UFAL) Sabe-se que, de um lote de pecas produzidas por uma maquina, 10 estavamperfeitas, 4 com pequenos defeitos e 2 com defeitos graves. Retirando-se ao acasoduas dessas pecas, sem reposicao, determinine a probabilidade de:a) ambas serem perfeitas.b) nenhuma delas ter defeitos graves.

7. (PUC - RJ) Em uma amostra de 20 pecas, existem exatamente quatro defeituosas.

Retirando-se ao acaso, sem reposicao, 3 pecas, qual a probabilidade de todas as tresserem perfeitas ?




8. (UFRJ) Em um jogo, cada partida consiste no lancamento de uma moeda honestaate dez vezes. Se o numero de caras obtidas atingir o valor cinco, voce perde; casocontrario, voce ganha. Calcule a probabilidade de voce ganhar uma partida desse jogo.

9. (UFPE) Em um grupo de cinco torcedores, tres torcem pelo time A, e dois torcempelo time B. Escolhendo aleatoriamente tres torcedores do grupo, qual a probabili-dade percentual de serem selecionados os dois torcedores do time B?

10. (UNIFESP) Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% dasvezes em que e colocado para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo umcompromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem pretendecolocar os dois relogios para despertar.a) Qual e a probabilidade de que os dois relogios venham a despertar na hora pro-gramada ?b) Qual e a probabilidade de que nenhum dos dois relogios desperte na hora pro-gramada ?




3.7 Exercıcios Propostos1. (IFRN) Escrevendo cada um dos anagramas da palavra ” protesto”, em cartoes

identicos, a probabilidade de, ao sortearmos aleatoriamente um desses cartoes, sairum anagrama iniciado com a letra P, e dea) 12, 5%b) 13%c) 13, 5%d) 14%

2. (UNICAMP - SP) Um caixa eletronico de certo banco dispoe apenas de cedulasde 20 e 50 reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do numero decedulas entregue ser ımpar e igual a:

A) 1

4

B) 2

5

C) 2

3

D) 3

5

3. (NUCEPE - UESPI) Num lote de 20 pecas de uma empresa, temos 2 pecas defei-tuosas. Se escolhermos ao acaso 3 dessas pecas, qual a probabilidade de nenhumaser defeituosa?

a) 68

95

b) 7295

c) 32

95

d) 78

95

e) 88

95




10. (NUCEPE - UESPI) No lancamento simultaneo de dois dados, a possibilidade dese obter soma maior que 7 e igual a

a) 5

12

b) 7

12

c) 3

8

d) 3

5

e) 1

11. (IFSP) Sandra comprou uma caixa de balas sortidas. Na caixa, havia 8 balas desabor menta, 6 balas de sabor morango, 6 balas de sabor caramelo e 4 balas desabor tangerina. A probabilidade de Sandra escolher na caixa, ao acaso, uma balade tangerina e

A) 1

7

B)

1

6

C) 1

5

D) 1

4

E) 1

3

12. (IFSP) Numa festa, ha 10 criancas que vao ganhar 10 presentes, que estao empa-cotados da mesma maneira. Elas sabem que os presentes consistem em 7 caixas debombons e em 3 jogos. Para a escolha dos presentes, os nomes das criancas seraosorteados e a crianca cujo nome for sorteado escolhera um dos pacotes, sem sabero que ha dentro. O primeiro sorteado ganhou uma caixa de bombons e o segundosorteado ganhou um jogo. Se o terceiro sorteado quer ganhar um jogo, a probabili-dade de ele consegui-lo e de

A) 1

4

B) 1

5




C)

1

8

D) 3

5

E) 3

10

13. (IFMT) No Brasil, os jovens menores de 16 anos nao podem votar. Ja para aspessoas analfabetas ou maiores de 70 anos, ou com idade entre 16 e 18 anos, o votoe facultativo. Para o restante da populacao, o voto e obrigatorio. Em um bairro,45% da populacao e de homens, sendo que desses 80% sao obrigados a votar. Aprobabilidade de uma pessoa desse bairro escolhida ao acaso ser homem e nao serobrigado a votar e de:a) 55%b) 20%c) 16%d) 9%e) 12%

14. (FCC) O resultado de uma partida de futebol entre duas equipes A e B terminou4 × 3 para a equipe A. Caso nao se saiba em qual ordem ocorreram os gols e seescolha uma ao acaso, como, por exemplo, ABABABA, qual e a probabilidade deque essa escolha corresponda a ordem correta?

A) 1

35

B) 1

48

C) 1

84D)

1

144

E) 1

5040

15. (CESPE - UNB) Uma professora entregou a seus alunos duas listas de exercıciospara serem resolvidos: a primeira, com 12 exercıcios e a segunda, com 8. Simoneresolveu 5 exercıcios da primeira lista e 2, da segunda. Tiago resolveu 3 exercıcios daprimeira e 4, da segunda. Para compor um teste a professora sorteou um exercıcioda primeira lista e um da segunda lista. Se P (S ) e P (T ) sao, respectivamente, as

probabilidades de Simone e Tiago terem resolvido antecipadamente os dois exercıcios




sorteados, entao

P (S )

P (T ) e igual a

A) 6

5

B) 1

C) 8

9

D) 5

6

16. (OBMEP) Carolina tem tres cartoes brancos numerados de 1 a 3 e tres cartoespretos, tambem numerados de 1 a 3. Ela escolheu, ao acaso, um cartao branco eum preto. Qual e a probabilidade de a soma dos numeros dos cartoes escolhidos serpar?

A) 3

5

B) 5

9

C) 1

2

D) 23

E) 3

4

17. (UERJ) Tres modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e III, de diferentespotencias, sao produzidos por um determinado fabricante. Uma consulta sobreintencao de troca foi realizada com 1000 usuarios desses produtos. Observe a matrizA, na qual cada elemento aij representa o numero daqueles que pretendem trocardo modelo i para o modelo j.

A = 50 150 200

0 100 3000 0 200

Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuarios consultados, a probabilidade de queele nao pretenda trocar seu modelo de ar-condicionado e igual a:(A) 20%(B) 35%(C) 40%(D) 65%




18. (UFAL) Os times X e Y disputam um jogo nos penaltis. A probabilidade de ogoleiro do time X defender o penalti e 1/8, e a probabilidade de o goleiro do timeY defender o penalti e 1/5. Se cada time tera direito a um penalti, qual a probabi-lidade de exatamente um dos goleiros defender o penalti, e, assim, vencer o time dogoleiro que defendeu o penalti?A) 1/4B) 11/40C) 13/40D) 7/20E) 3/8

19. (UEA - AM) As maquinas A, B e C produziram, respectivamente, 20%, 50% e30% do total de pecas de um determinado lote. Sabe-se que 6% das pecas produ-zidas em A, 3% das produzidas em B e 3, 5% das produzidas em C apresentaramdefeitos. Retirou-se aleatoriamente uma peca do lote produzido, e constatou-se queera defeituosa. A probabilidade de que essa peca defeituosa tenha sido produzidana maquina A e de(A) 30%(B) 32%(C) 36%

(D) 38%(E) 40%

20. (UFPA) De um refrigerador que tem em seu interior 3 refrigerantes da marca A, 4refrigerantes da marca B e 5 refrigerantes da marca C, retiram-se dois refrigerantessem observar a marca. A probabilidade de que os dois retirados sejam da mesmamarca e:(A) 1/6(B) 5/33(C) 19/66

(D) 7/22(E) 3/11

21. (UFRGS) O resultado de uma partida de futebol foi 3x2. A probabilidade de queo time vencedor tenha marcado os dois primeiros gols e(A) 15%.(B) 20%.(C) 30%.(D) 40%.(E) 45%.




22. (UFGD - MS) A Boutique TT tem em estoque 400 camisas da marca X das quais50 apresentam defeitos e 200 da marca Y das quais 15 sao defeituosas. Se um clientecomprou uma camisa nesta loja, a probabilidade de ela ser da marca Y ou defeituosae:(A) 0,025(B) 0,358(C) 0,417(D) 0,500(E) 0,892

23. (UNIFAL - MG) Aos serem lancados dois dados nao viciados, qual a probabilidade

de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 7?a) 13, 65%b) 14, 76%c) 14, 98%d) 15, 05%e) 16, 67%

24. (UNIFAL - MG) De uma caixa, retira-se um bilhete aleatoriamente. Sabe-se queexistiam 40 bilhetes numerados de 1 a 40. Qual a probabilidade do bilhete retiradoser um numero primo?a) 20%

b) 30%c) 45%d) 70%e) 85%

25. (Mackenzie - SP) Sempre que joga, um time tem probabilidade 2

3 de vencer uma

partida. Em quatro jogos, a probabilidade de esse time vencer, exatamente doisdeles, e

(A) 4

27

(B) 16

81

(C) 8

27

(D) 4

81

(E) 16

27




26. (FGV - SP) Uma caixa contem 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bolinhae sorteada. A probabilidade de a bolinha sorteada ter um numero multiplo de 7 e:a) 0,139b) 0,140c) 0,141d) 0,142e) 0,143

27. (FURG - RS) A prova de Matematica do vestibular da Universidade Federal do RioGrande (FURG) e composta por 15 questoes de multipla escolha, cada uma com5 alternativas, sendo apenas 1 correta. A probabilidade de um candidato, respon-

dendo a prova de forma aleatoria, acertar todas as questoes e:

A) 0

B) 1

515

C) 1

5

D) 1

75

E) 1155

28. Numa sala existem tres caixas A, B e C , cada uma possui uma certa quantidade debolas vermelhas e amarelas. A distribuicao da quantidade de bolas em cada caixa efornecida pela tabela

cores \ caixas Caixa A Caixa B Caixa C

V ermelha 5 6 1Amarela 3 2 7

Escolhendo uma caixa ao acaso e dela retirando uma bola ao acaso, em seguidaverificou-se que a bola era amarela. Entao, a probabilidade dela ter vindo da caixaB e igual a:

(A) 1

5

(B) 1

6

(C) 11

12

(D) 5

24




29. (UFAM) Em uma determinada cidade, existe um hotel que possui 100 apartamen-tos, cuja numeracao vai de 1 a 100 . A probabilidade de um hospede deste hotel(suponha que o hotel esteja lotado), escolhido ao acaso, esteja alojado em um apar-tamento cujo numero seja um multiplo de 5 ou de 7, e:a) 32%b) 30%c) 25%d) 40%e) 28%

30. (UEAP) Numa urna com 50 bolas numeradas de 1 a 50, escolhem-se ao acaso duasbolas. Qual e a probabilidade de que o produto dos numeros dessas bolas seja umnumero ımpar?

a) 2

50

b) 1

25

c) 2

25

d) 12

e) 12

49

31. (IFAP) Em um municıpio amapaense foi realizada uma pesquisa de opiniao sobreum projeto de lei proposto pela camara dos vereadores. Uma amostra significativade pessoas adultas entrevistadas revelou que 44% delas nao quiseram opinar, 360eram a favor do projeto e 480 contra. Uma estimativa da probabilidade de uma

pessoa selecionada nessa amostra ser favoravel ao projeto e da ordem de:a) 18%b) 20%c) 21%d) 24%e) 27%

32. (IFRN) Uma urna contem cinco bolas verdes e duas bolas amarelas. Tres bolas saoretiradas sucessivamente e sem reposicao. A probabilidade de retirarmos tres bolasverdes e:




a)

2

5

b) 2

7

c) 1

7

d) 3

5

33. (Mackenzie - SP) Um casal planeja ter 4 filhos; admitindo probabilidades iguais

para ambos os sexos, a probabilidade de esse casal ter 2 meninos e 2 meninas, emqualquer ordem,

a) 3

8

b) 3

4

c) 1

2

d) 1

16

e) 3

16

34. (IFRN) Em uma cidade do interior, um grupo de 10 estudantes de uma escolapublica decidiu formar uma comissao de tres alunos para tentar uma audienciacom o prefeito da cidade. O objetivo era reivindicar melhores condicoes para aescola. Como todos queriam estar na comissao, a direcao optou por formar todas ascomissoes distintas possıveis e sortear aleatoriamente uma das comissoes formadas.Se Maria fazia parte do grupo dos 10 estudantes, a probabilidade de ela estar nacomissao sorteada e de

a) 0,3.b) 0,6.c) 0,1.d) 0,2.

35. (VUNESP - SP) Em um condomınio residencial, ha 120 casas e 230 terrenos semedificacoes. Em um determinado mes, entre as casas, 20% dos proprietarios associ-ados a cada casa estao com as taxas de condomınio atrasadas, enquanto que, entreos proprietarios associados a cada terreno, esse percentual e de 10%. De posse detodos os boletos individuais de cobranca das taxas em atraso do mes, o adminis-trador do empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o

boleto escolhido seja de um proprietario de terreno sem edificacao e de




a) 24350

b) 24

47

c) 47

350

d) 23

350

e) 23

47

36. (OBMEP) Um dado foi construıdo usando a planificacao da figura. Qual e aprobabilidade de obtermos dois resultados diferentes quando jogamos esse dadoduas vezes ?

A) 12

B) 11

18

C) 2

3

D) 5

6

E) 31

36




37. (UFRN) Em um rebanho de uma fazenda do estado do Rio Grande do Nortecom 300 bois e 500 vacas, a probabilidade de um animal de um desses gruposestar com febre aftosa e de 0,04 e 0,08, respectivamente. Se, em uma visita defiscalizacao, um desses animais do rebanho e escolhido ao acaso e esta com febreaftosa, a probabilidade de que seja um boi e de, aproximadamente,A) 23% .B) 12% .C) 4% .D) 27% .

38. (UFLA - MG) Joao ama Tereza, Pedro ama Camila e Antonio ama Joana. Em

uma festa, os seis se encontram e formam casais ao acaso. A probabilidade de todosos rapazes formarem casal com suas amadas e de:(A) 1/3(B) 1/6(C) 1/12(D) 1/24

39. (OBMEP) Tres amigas possuem, cada uma, tres blusas: uma amarela, uma brancae uma preta. Se cada amiga escolher ao acaso uma de suas blusas, qual e a proba-bilidade de que as cores das blusas escolhidas sejam todas diferentes?

A) 19

B) 1

8

C) 2

9

D) 3

8

E) 3

4

40. (OBMEP) Uma caixa contem cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela sao retiradasao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior numero assim escolhidoseja o 4?

A) 1

10

B) 1

5

C) 3

10




D)

2

5

E) 1

2

41. (Unimontes - MG) Numa escola de idiomas com 200 alunos, 80 estudam so ingles,60 estudam so espanhol e 40 estudam ingles e espanhol. A probabilidade de umaluno, que ja estuda ingles, estudar tambem espanhol, e:

A) 1

3

B)

2

3

C) 3

5

D) 2

5

42. (Unimontes - MG) Tres moedas sao lancadas ao mesmo tempo. Qual e a probabi-lidade de saırem uma cara e duas coroas viradas para cima?

A) 1

12B)

1

3

C) 3

8

D) 1

6

43. (UFTM - MG) Uma caixa contem 50 bastoes de giz, sendo 22 de cor amarela, dosquais 5 apresentam defeitos; 13 de cor verde, sendo 4 com defeitos; os restantes saobrancos, dos quais 20% tambem tem defeitos. Se uma pessoa escolher um bastao

de giz ao acaso, a probabilidade de que ele apresente defeitos e(A) 12/25.(B) 11/25.(C) 13/50.(D) 6/25.(E) 11/50.

44. (UNEMAT - MT) Uma loja de eletrodomestico tem uma venda mensal de sessentaventiladores. Sabe-se que, desse total, seis apresentam algum tipo de problemanos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto em um servi co

autorizado. Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambosnao apresentem problemas nos seis primeiros meses e de aproximadamente:




(A) 90%(B) 81%(C) 54%(D) 11%(E) 89%

45. (CESPE - UNB) Muitas pessoas tem buscado na atividade fısica uma saıda parao estresse da vida moderna. Em uma pesquisa, solicitou-se a 220 pessoas que res-pondessem a seguinte pergunta: Voce pratica algum tipo de atividade fısica? Osresultados da pesquisa estao descritos na tabela abaixo.

SEXO SIM NAOfemenino 46 82masculino 38 54

Considerando essa amostra e escolhendo-se ao acaso uma pessoa que pratica algumaatividade fısica, a probabilidade de ela ser do sexo femininoA) e inferior a 42%.B) esta entre 42% e 46%.C) esta entre 47% e 51%.D) esta entre 52% e 56%.

E) e superior a 56%.

46. (UCS - RS) Uma caixa contem 150 pecas das quais tres sao defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peca da caixa, a probabilidade de ela ser perfeita e dea) 20%.b) 80%.c) 50%.d) 98%.e) 97%.

47. (Unimontes - MG) Uma urna contem 10 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Retirando-se uma bola, qual e a probabilidade de essa bola ser preta?

A) 1

3

B) 2

3

C) 1

15

D) 415




48. A probabilidade de fechamento de cada rele do circuito a seguir e igual a p, onde0 < p < 1. Se todos os reles funcionarem independentemente. Entao, a probabili-dade de que haja corrente entre os pontos X e Y e igual a:

A) p2 − 5 p4

B) p3 + 4 p4 + p5

C) 2 p4 − 2 p5 − 8 p6 + p7

D) p + 2 p2 − 2 p3 − p4 + p5

49. (Unimontes - MG) Duas maquinas, A e B, produzem 3000 pecas em um dia. Amaquina A produz 1000 pecas, das quais 3% sao defeituosas. A maquina B produzas 2000 pecas restantes, sendo 1% de pecas defeituosas. Da producao total de umdia, uma peca e escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que ela e defeitu-osa. A probabilidade de que ela tenha sido produzida pela maquina A e

A) 1

3

B) 2

3

C)

3

5

D) 2

5

50. (FGV - SP) A area da superfıcie da Terra e aproximadamente 510 milhoes de km2.Um satelite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidadede ele cair numa cidade cuja superfıcie tem area igual a 102 km2 ?a) 2 · 10−9

b) 2 · 10−8

c) 2 · 10−7

d) 2 · 10−6

e) 2 · 10−5




51. (UFPE) Um saco contem 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuisdevem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos dele,

aleatoriamente, uma bola azul, seja 2

3 ?

a) 5b) 10c) 20d) 30e) 40

52. (FGV - SP) Uma pesquisa com tres marcas concorrentes de refrigerantes, A, B eC , mostrou que 60% das pessoas entrevistadas gostam de A, 50% gostam de B , 57%gostam de C , 35% gostam de A e C , 18% gostam de A e B , 24% gostam de B e C ,2% gostam das tres marcas e, o restante das pessoas, nao gosta de nenhuma das tres.Sorteando-se aleatoriamente uma dessas pessoas entrevistadas, a probabilidade deque ela goste de uma unica marca de refrigerante ou nao goste de marca alguma ede:a) 16%b) 17%c) 20%d) 25%e) 27%

53. (UFF - RJ) Em uma bandeja ha dez pasteis, dos quais tres sao de carne, tres dequeijo e quatro de camarao. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposicao,dois pasteis dessa bandeja, a probabilidade de os dois pasteis selecionados serem decamarao e:

a) 3

25

b) 4

25

c) 2

15

d) 2

5

e) 4

5

54. (Ufscar - SP) Gustavo e sua irma Caroline via jaram de ferias para cidades distin-tas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A ex-periencia em ferias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumpremesse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar e 0, 6 e a probabilidade

de Caroline telefonar e 0, 8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar




os pais e:a) 0, 20b) 0, 48c) 0, 64d) 0, 86e) 0, 92

55. A probabilidade de Juliano acertar um alvo e 80%. Sabendo que ele atirou 5 vezes,qual a probabilidade dele ter acertado no maximo um tiro ?a) 4, 2 · (0, 2)4

b) 4, 2 · (0, 8)4

c) 3, 5 · (0, 2)5

d) 3, 5 · (0, 8)5

e) 6, 1 · (0, 2)3

56. Uma caixa tem 8 bolas amarelas e 2 bolas verdes. Retirando-se 2 bolas dessa caixae sem reposicao. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas amarelas ?

A) 7

10

B) 47

90

C) 2845

D) 17

90

E) 19

45

57. (UFPE) Um casal planeja ter 4 filhos. Supondo igual a chance de um filho nascerdo sexo masculino ou do sexo femenino, qual a probabilidade de o casal vir a ter,no mınimo, dois filhos do sexo masculino ?

a) 0, 6871b) 0, 6872c) 0, 6873d) 0, 6874e) 0, 6875

58. (UFSC) Em uma caixa ha 28 bombons, todos com forma, massa e aspecto exteriorexatamente iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4 de nozes e 17 saorecheados com amendoas. Se retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente, aprobabilidade de se retirar um bombom de cada sabor e, aproximadamente:a) 7, 5%

b) 11%




c) 12, 5%d) 13%e) 14, 5%

59. (CESGRANRIO - RJ) Em uma amostra de 500 pecas, existem exatamente quatrodefeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peca dessa amostra, a probabilidade deela ser perfeita e de:a) 99, 0%b) 99, 1%c) 99, 2%d) 99, 3%

e) 99, 4%

60. (VUNESP - SP) Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos verticesde um pentagono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois verticesconsecutivos e:

A) 1

2

B) 4

5

C)

1

5

D) 2

5

E) 3

5

61. (CESGRANRIO - RJ) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma jo-alheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0 , 1, 2, 3, 4)e quatro letras (x , y, z, w). O segredo do cofre e uma sequencia de tres algarismosseguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa unica tentativa,

ao acaso, abrir o cofre ?

a) 1

7200

b) 1

2000

c) 1

1500

d) 1

720

e) 1200




62. (I F Sudeste MG) Dois dados ”honestos”, com faces numeradas de 1 a 6, saolancados simultaneamente. A probabilidade de serem obtidos numeros iguais e:

a) 1

6

b) 1

2

c) 1

3

d) 2

3

e) 1

4

63. Seja X o conjunto formado por todos os anagramas da palavra PR OV A. Reti-rando um anagrama ao acaso desse conjunto. Qual a probabilidade de ser retiradoum anagrama que tenha as consoantes juntas ?

A) 1

12

B) 5

7

C) 4

5

D) 4

7

E) 3

10

64. (I F Sudeste MG) Os pontos A, B, C, D, E e F sao vertices consecutivos de umhexagono regular. Com esses pontos, podemos construir varios triangulos. Umdeles, por exemplo, e o triangulo que passa pelos pontos A, B e C. Escolhendo-se

aleatoriamente um desses triangulos, a probabilidade de ele ser equilatero e:a) 30%b) 20%c) 10%d) 5%e) 2%




3.8 Exercıcios Complementares1. (UNEMAT - MT) Um grupo de criancas foi a uma sorveteria e entre picoles e

sorvetes gastaram o valor de R$ 29,00. O preco de cada picole e R$ 1,00 e o de cadasorvete, R$ 3,00. A probabilidade de que essas criancas tenham comprado maissorvetes do que picoles e igual a:a) 10%b) 20%c) 50%d) 75%e) 80%

2. (UFAM) Duzentos profissionais fundaram uma cooperativa, sendo 60 medicos, 50dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhido ao acaso um dos pro-fissionais dessa cooperativa, qual a probabilidade de que ele seja medico ou dentista?

a) 3

10

b) 11

20

c) 1

4

d) 4

25

e) 1

5

3. (UFAC) Um dado e uma urna contendo 10 bolas enumeradas de 1 a 10 sao postossobre uma mesa ampla. O dado e lancado sobre a mesa e o numero m, da face quefica voltada para cima, e anotado. Em seguida, uma bola e retirada aleatoriamenteda urna e o seu numero n e tambem anotado. A probabilidade de m + n ser umnumero primo e igual a:

a) 1

10

b) 1

13

c) 7

30

d) 13

60

e) 23

60




4. (UEAP) Sabe-se que a probabilidade do pescador FULANO fisgar um peixe comuma lanca em cada tentativa e de 0,9. Dentre quatro tentativas para fisgar o peixe,a probabilidade de o pescador acertar a lanca apenas no ultimo lancamento, e de:a) 0,004b) 0,0004c) 0,0001d) 0,0009e) 0,0018

5. (IFS - SE) Para a retirada da primeira Carteira Nacional de Habilitacao (CNH),os candidatos devem ser considerados aptos nos exames medicos, psicologicos, de

legislacao de transito e de direcao. A primeira CNH somente pode ser solicitadanas categorias A ou B, para conducao de motocicletas de duas ou tres rodas eveıculos que nao contenham mais de 8 lugares (excluıdo o do motorista) e que naoultrapassem 3, 5t , respectivamente. Em certo municıpio, em uma semana, dos 120candidatos que realizaram os exames medicos e psicologicos, 112 foram aprovadosno exame medico, 104 foram considerados aptos no exame psicologico e apenas 6nao foram aprovados em nenhum desses exames. Qual e a probabilidade de, ao seescolher ao acaso uma das 120 pessoas, ela ter sido aprovada em ambos os exames?a) 60%b) 70%

c) 80%d) 85%e) 95%

6. (IFS - SE) Num grupo de 100 criancas cadastradas no servico de saude da famılia”Saude para Todos”constatou-se que 42 delas possuıam infeccao viral, 48 delas tive-ram diarreia e 20 delas nao possuıam infeccao viral nem tiveram diarreia. Escolhidauma crianca ao acaso desse grupo, qual a probabilidade dela ter sofrido infeccaoviral e ter tido diarreia?a) 50%b) 25%

c) 20%d) 10%e) 40%

7. (UEMG) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 numeros distintos de 1 a 60.Um apostador, depois de varios anos de analise, deduziu que, no proximo sorteio,os 6 numeros sorteados estariam entre os 10 numeros que tinha escolhido. Sendoassim, com a intencao de garantir seu premio na Sena, ele resolveu fazer todos ospossıveis jogos com 6 numeros entre os 10 numeros escolhidos. Quantos reais elegastara para faze-los, sabendo que cada jogo com 6 numeros custa R$ 2,00 ?A) R$ 540,00.B) R$ 302.400,00.




C) R$ 420,00.D) R$ 5.040,00.

8. (Mackenzie - SP) Em um determinado jogo, sao sorteados 3 numeros entre os 30que estao no volante de apostas. O apostador, que assinala 6 numeros no volante,ganha se todos os 3 numeros sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A proba-bilidade de o apostador ganhar e:

A) 1

203

B) 1

507C)

1

456

D) 1

280

E) 1

98

9. (PUC - RJ) Uma prova de multipla escolha tem 10 questoes, com tres alternativasem cada questao. Um aluno que nada sabe da materia vai responder a todas asquestoes ao acaso, e a probabilidade que ele tem de n ao tirar zero e:

a) maior do que 96%.b) entre 94% e 96%c) entre 92% e 94%d) entre 90% e 92%e) menor do que 90%

10. (UEL - PR) Numa loteria, sao sorteados 5 numeros de 1 a 20, e e possıvel ganharcom 3, 4 ou 5 acertos. Cada apostador so pode escolher 5 numeros. Qual a proba-bilidade de um apostador acertar 4 dos 5 numeros sorteados ?

a)

1

504

b) 4

504

c) 75

15504

d) 15

15504

e) 5

15504




11. (PUC - RS) Um numero e escolhido aleatoriamente dentre os inteiros de 1 a 50. Aprobabilidade de que ele seja divisıvel por 2 ou por 5 e

A) 3

5

B) 4

5

C) 7

5

D) 1

10

E) 710

12. (PUC - RS) Um baralho comum de 52 cartas tem tres figuras (valete, dama e rei)de cada um dos quatro naipes (paus, ouros, espadas e copas). Ao se retirar umacarta do baralho, a probabilidade de ser uma carta que apresente figura de paus e

A) 1

52

B) 3

52

C) 7

52

D) 12

52

E) 13

52

13. (PUC - RJ) As cartas de um baralho sao amontoadas aleatoriamente. Qual e aprobabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo tambem ? O baralho eformado por 52 cartas de 4 naipes diferentes (13 de cada naipe).

A) 1

17

B) 1

25

C) 1

27

D) 1

36

E) 1

45

14. (FUVEST - SP) Dois dados cubicos, nao viciados, com faces numeradas de 1 a

6, serao lancados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois




numeros consecutivos, cuja soma seja um numero primo, e de

a) 29

b) 1

3

c) 4

9

d) 5

9

e) 2

315. (UNIVASF) Uma urna contem bolas semelhantes, nas cores preta e vermelha, cada

uma marcada com A ou B. Existem 38 bolas pretas marcadas com A, 14 bolas pretasmarcadas com B, 22 bolas vermelhas marcadas com A e 26 bolas vermelhas marcadascom B. Se escolhermos, aleatoriamente, uma bola na urna, qual a probabilidade deela ser vermelha ou estar marcada com B?A) 0,62B) 0,76C) 0,88D) 0,90

E) 0,92

16. (UEPB) Seja o conjunto M = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Defina a partir de M o conjuntoMxM = (x, y) tal que x, y ∈ M e escolha ao acaso um par ordenado de MxM. Aprobabilidade de o par escolhido apresentar x > y e:

a) 1

2

b) 7

12

c) 1

12

d) 11

12

e) 5

12

17. (IFAL) Um casal planeja ter 4 criancas. A probabilidade de que o casal tenhaexatamente 3 meninos, dado que a primeira crianca que nasceu e menina e:

A) 1

4

B) 1

8




C)

1

3

D) 1

2

E) 1

5

18. (PUC - PR) No jogo da Mega Sena, um apostador pode assinalar entre 6 e 15numeros, de um total de 60 opcoes disponıveis. O valor da aposta e igual a R$ 2,00multiplicado pelo numero de sequencias de seis numeros que sao possıveis, a partirdaqueles numeros assinalados pelo apostador.

Por exemplo: se o apostador assinala 6 numeros, tem apenas uma sequencia fa-voravel e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 numeros, tem setesequencias favoraveis, ou seja, e possıvel formar sete sequencias de seis numeros apartir dos sete numeros escolhidos. Neste caso, o valor da aposta e R$ 14,00.Considerando que se trata de uma aplicacao de matematica, sem apologia a qual-quer tipo de jogo, assinale a unica alternativa CORRETA.A) A aposta maxima custara R$ 5.005,00.B) Uma aposta com 14 numeros assinalados custara entre R$ 3.000,00 e R$ 3.050,00.C) Apostar dois cartoes com dez numeros assinalados, ou cinco cartoes com novenumeros assinalados, sao opcoes equivalentes em termos de custo e de chance de serganhador do premio maximo.D) O custo de uma aposta com 12 numeros assinalados sera inferior a R$ 1.830,00.E) Apostar um cartao com 13 numeros assinalados custara o dobro da aposta deum cartao com 12 numeros assinalados.

19. (UNIFESP) Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5questoes de multipla escolha, cada questao com 3 alternativas e uma unica respostacorreta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questao, umaunica resposta, pode-se afirmar que pelo menos:a) um candidato errou todas as respostas.b) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas.

c) um candidato acertou todas as respostas.d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas.e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.

20. (IFNMG) Uma urna contem 6 bolas brancas e 4 vermelhas. Qual a probabilidadede retirarmos, sem reposicao, uma bola branca e, em seguida, uma vermelha?

A) 2

15

B) 6

25

C)

4

25




D) 415

21. (UEPA) Numa pesquisa foram entrevistadas 550 pessoas sobre o novo habito deassistir televisao. Trezentas delas responderam que assistem a televisao na telinhado telefone portatil, 500 responderam que assistem a televisao no computador, pormeio de sites e 250 responderam que assistem a televisao no telefone portatil e nocomputador. A probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionadas aleatoria-mente, utilize somente o telefone portatil para assistir a televisao e:

a) 7

11

b) 611

c) 5

11

d) 3

11

e) 1

11

22. (FEI - SP) Dois dados ”honestos”com faces numeradas de 1 a 6 sao lancados simul-

taneamente. Se a soma dos pontos obtidos e um numero par, entao a probabilidadede ter ocorrido face 5 nos dois dados e igual a:

(A) 1

36

(B) 1

6

(C) 1

18

(D) 2

9

(E) 112

23. (UEPA) Um grupo de 12 artistas analisou duas obras de artes, 10 deles gostaramda primeira obra; 6 deles gostaram da segunda obra e 4 deles gostaram da primeirae da segunda obra. A probabilidade, ao acaso, de um desses artistas, gostar so dasegunda obra e:

a) 1

6

b) 1

5




c)

1

4

d) 1

3

e) 1

2

24. (FEI - SP) Em uma sala, ha 20 pessoas, sendo 4 homens que cursam Medicina,7 homens que cursam Biologia, 6 mulheres que cursam Medicina e 3 mulheres quecursam Biologia. Se uma pessoa e escolhida ao acaso desse grupo e cursa Medicina,a probabilidade da pessoa escolhida ser uma mulher e igual a:

(A) 9

20

(B) 7

20

(C) 3

10

(D) 3

20

(E) 3

5

25. (FEI - SP) Uma urna contem 40 bolas numeradas de 1 a 40. Retirando-se umabola ao acaso, a probabilidade de que seu numero seja multiplo de 4 ou de 5 e iguala:

(A) 9

20

(B) 2

5

(C) 17

40

(D)

13

40

(E) 11

40

26. (IF Sul Minas - MG) Atualmente o corpo docente do Campus de Pouso Alegre ecomposto por 32 professores, sendo que 9 sao doutores e 18 mestres. Selecionando-se aleatoriamente um professor desse Campus, a probabilidade de ele ser mestre oudoutor e de:a) 0, 7010b) 0.84375

c)

9

18




d) Nenhuma das alternativas acima.

27. (IFF - RJ) Em uma urna estao 4 bolas vermelhas e 6 bolas pretas. A probabilidadede retirar, sem reposicao, uma bola vermelha e uma bola preta e:

A) 2

15

B) 1

5

C) 3

10

D)

4

15

E) 7

15

28. (FEI - SP) A urna A contem 4 bolas vermelhas e 6 pretas. A urna B contem 2bolas vermelhas e 8 pretas. Uma bola de cada urna e escolhida aleatoriamente. Aprobabilidade de obter duas bolas de mesma cor e de:(A) 56%(B) 48%(C) 8%(D) 12%(E) 20%

29. (FEI - SP) A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um unico tiro e de0,1. Com apenas tres tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo nomaximo duas vezes?(A) 0,09(B) 0,027(C) 0,271(D) 0,999(E) 0,009

30. (ULBRA - RS) Um laboratorio farmaceutico, apos examinar um grande numero decasos, concluiu que 20% das pessoas apresentaram reacoes alergicas ao medicamento”A”. A probabilidade de quatro pessoas, selecionadas ao acaso, serem alergicas aomedicamento ”A”e de:

(A) 1

625

(B) 1

5

(C) 1

25




34. (IFMA) Em uma determinada brincadeira, serao sorteados dois premios consecuti-vos com reposicao dos bilhetes premiados. Sabe-se que, em virtude da quantidadede bilhetes adquiridos, a chance de Karine ser sorteada e de 30% em cada sorteio.Qual a probabilidade de Karine ganhar em pelo menos um dos sorteios?a) 0,51b) 0,09c) 0,49d) 0,21e) 0,3

35. (UERJ) Um pesquisador possui em seu laboratorio um recipiente contendo 100

exemplos de Aedes aegypti, cada um deles contaminado com apenas um dos tiposde vırus, de acordo com a seguinte tabela

T ipo Quantidade de mosquitos

DEN 1 30DEN 2 60DEN 3 10

Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, a proba-bilidade de que pelos menos um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a:

(A) 8

81

(B) 10

99

(C) 11

100

(D) 21

110

36. (PUC - RS) Considere todas as permutacoes de cinco letras da sigla PUCRS. Umadessas permutacoes foi escolhida ao acaso. A probabilidade de a escolhida terminar

com a letra C e comecar com a letra P e:

(A) 1

5

(B) 2

5

(C) 1

12

(D) 1

20

(E) 6




37. (UESPI) Uma gaveta contem 6 meias azuis e 4 meias pretas. Escolhendo, aleatori-amente, 4 meias da gaveta, qual a probabilidade de elas formarem um par de meiasazuis e outro de meias pretas?A) 1/9B) 1/7C) 2/7D) 3/7E) 1/5

38. (IFRS) Em uma determinada avenida, existem 4 semaforos, cujos tempos sao de37, 3 e 20 segundos para as cores verde, amarela e vermelha, respectivamente. Qual

a probabilidade de que uma pessoa, ao transitar de carro por essa avenida, encontretodos os sinais vermelhos, desprezando-se a velocidade do veıculo e considerando-seapenas os tempos de cada semaforo?

(A) 1

2

(B) 1

3

(C) 1

16

(D) 1

81

(E) 16

81

39. (IFRS) Em uma urna sao depositadas 5 bolas vermelhas, 6 bolas azuis e 4 bolasamarelas, todas com mesmo formato e tamanho. Se duas bolas forem retiradassucessivamente, sem reposicao, a probabilidade de que elas sejam de mesma cor emais proxima de(A) 10%(B) 15%(C) 30%

(D) 45%(E) 60%

40. (UNEMAT - MT) Numa fabrica de calcados constata-se que:A: 4% dos pares de sapatos apresentam defeito de colagem.B: 3% dos pares de sapatos apresentam defeito no couro.Decide-se vender, em liquidacao, os sapatos que apresentarem pelo menos um dosdefeitos. Admitindo-se que os acontecimentos A e B sao independentes, determinea probabilidade de um par de sapatos apresentar os dois defeitos.a) 0, 12%

b) 0, 7%c) 0, 9%




d) 1, 2%e) 7%

41. (UEFS - BA) Ao se analisarem os resultados obtidos por uma turma de um deter-minado curso, levou-se em consideracao, dentre outros fatores, a frequencia as aulas.Considerando-se uma amostra aleatoria de 10 alunos, constatou-se que o numerototal de faltas, no decorrer do curso, foi 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6. Sorteando-se, aoacaso, um desses alunos, a probabilidade de o numero de faltas ser maior do que 4,e igual aA) 0,3B) 0,4

C) 0,5D) 0,6E) 0,7

42. (UNEMAT - MT) Numa agencia de emprego havia 15 candidatos pleiteando 06vagas de vendedor. A probabilidade de cada um conseguir a vaga sera de:a) 20%b) 50%c) 30%d) 60%e) 40%

43. (UNEMAT - MT) A Copa do Mundo realizada na Alemanha teve a participacao de32 (trinta e duas) selecoes, das quais 04 (quatro) sao sul-americanas e 03 africanas.Portanto e CORRETO afirmar que:a) a probabilidade matematica de uma equipe Africana ser campea e de aproxima-damente 9, 4%.b) a probabilidade matematica de uma equipe sul-americana ser campea e de 20%.c) desconsiderando as diferencas tecnicas entre as equipes, a probabilidade de qual-quer equipe ser campea e de aproximadamente 6%.d) independente das diferencas tecnicas, a probabilidade da Alemanha ser campea

e maior que a da Argentina.e) a possibilidade da final ser Alemanha e Brasil e de 2−12.

44. (UNEMAT - MT) No almoxarifado de uma oficina de conserto de eletrodomesticosexiste um estoque de 50 pecas novas e 10 usadas. Uma peca e retirada ao acasoe, em seguida, sem a reposicao da primeira, outra e retirada. A probabilidade dasduas pecas serem usadas nas duas retiradas e:a) 1/60b) 3/118c) 9/60d) 6/68

e) N.d.a.




45. (PUC - MG) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apre-senta um teclado com 8 teclas, quatro delas identificadas pelos algarismos 1, 2, 3, 4e quatro outras pelas letras a,b,c,d. O segredo do cofre e uma sequencia de tresalgarismos distintos seguida por uma sequencia de duas letras distintas. A proba-bilidade de uma pessoa, numa unica tentativa, feita ao acaso, abrir esse cofre e:

a) 1

576

b) 1

288

c) 1

256

d) 1

144

46. Numa sala existem duas caixas A e B, cada uma possui uma certa quantidade debolas brancas, vermelhas, pretas e amarelas. A distribuicao da quantidade de bolasem cada caixa e fornecida pela tabela

cores \ caixas Caixa A Caixa B

Branca 1 5V ermelha 4 2

Preta 3 2Amarela 2 1

Escolhendo uma caixa ao acaso e dela retirando uma bola ao acaso, em seguidaverificou-se que a bola era preta. Entao, a probabilidade dela ter vindo da caixa Ae igual a:

(A) 17

20

(B) 13

20

(C) 710

(D) 3

10

47. (UFMS) Utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 formamos todos os numeroscom 4 algarismos distintos. Sendo P a probabilidade de sortear, ao acaso, um dosnumeros formados e esse numero ser divisıvel por 5, entao e correto afirmar que P esta(A) entre 40% e 50%.

(B) entre 30% e 40%.(C) entre 20% e 30%.




(D) entre 10% e 20%.(E) entre 1% e 10%.

48. (UFTM - MG) Uma urna contem cinco fichas numeradas de 1 a 5. Felipe ira retirarao acaso tres fichas dessa urna, sucessivamente e sem reposicao, e com elas formaruma sequencia numerica, conforme ilustrado a seguir.

( 1a ficha retirada

, 2a ficha retirada

, 3a ficha retirada

)

A probabilidade de que a sequencia assim obtida seja uma progressao aritmetica eigual a

(A) 1

30.

(B) 1

15.

(C) 1

10.

(D) 2

15.

(E) 1

6 .

49. (EsPCEx - SP) Dispondo-se de duas urnas, com 4 fichas cada uma, numeradas de1 a 4, realiza-se o experimento de retirar aleatoriamente uma ficha de cada urnae somar os numeros indicados nas duas fichas sorteadas. Nessas condicoes, a pro-babilidade de, em uma retirada, obter-se para a soma dos numeros das fichas umnumero primo e de:

A) 1

4

B)

5

16

C) 9

16

D) 3

8

E) 3

4

50. (Unimontes - MG) Ao lancar um dado duas vezes, qual e a probabilidade de seobter a soma 6 ?




A)

6

36

B) 4

36

C) 5

36

D) 7

36

51. (Unimontes - MG) Na escolha de um numero de 1 a 50, qual e a probabilidade deque seja sorteado um multiplo de 6 ?

A) 2

25

B) 4

25

C) 6

25

D) 8

25

52. (EsPCEx - SP) Num determinado jogo, e realizado um sorteio de 05 numeros num

universo de 25 numeros. Pode-se participar do jogo comprando bilhetes contendo de06 a 10 numeros e ganhara o premio aquele que acertar os 05 numeros sorteados. Aprobabilidade de um jogador ganhar o premio participando do sorteio com apenasum bilhete de 10 numeros e:

A) 5!

25!

B) 10!

25!

C) 1

625

D) 5

625

E) 6

1265

53. (UFMA) Dois dados nao viciados sao lancados ao acaso. A probabilidade de que asoma dos resultados observados seja maior que 2 e menor ou igual a 5 e:a) 22%b) 50%c) 25%d) 30%




e) 18%

54. (AFA - SP) No lancamento de um dado viciado, a face 6 ocorre com o dobro daprobabilidade da face 1, e as outras faces ocorrem com a probabilidade esperada emum dado nao viciado de 6 faces numeradas de 1 a 6. Dessa forma, a probabilidadede ocorrer a face 1 nesse dado viciado e

a) 1

9

b) 2

3

c) 13

d) 2

9

55. (Unimontes - MG) Ao retirarmos uma bola de uma urna que contem 15 bolas nu-meradas de 1 a 15, a probabilidade de a bola ser um m ultiplo de 2 ou de 3 e

A) 4

5

B) 2

3

C) 1

3

D) 1

5

56. (UNIFOR - CE) Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 azuis, 4 amarelas, 2 verdese 1 preta, distinguıveis somente pela cor. Ao acaso, foram retiradas sucessivamentetres bolas dessa urna, com reposicao da bola apos cada retirada. A probabilidadede que as tres bolas retiradas sejam da mesma cor e

(A) 8125

(B) 36

455

(C) 12

125

(D) 8

25

(E) 12

5





A) p3 − 5 p5

B) 2 p2 − p4

C) p4 − 8 p5 − 2 p6

D) 4 p2 + 2 p3 + 3 p4

61. (Unimontes - MG) Tres atiradores acertam o alvo uma vez a cada tres disparos. Seos tres dispararem simultaneamente no mesmo alvo, a probabilidade de o alvo seratingido pelo menos uma vez e igual a

A) 8

27

B) 19

27

C) 16

27D)

23

27

62. (Unirio - RJ) Em uma fabrica de parafusos, a probabilidade de um parafuso serperfeito e de 96%. Se retirarmos da producao, aleatoriamente, tres parafusos, aprobabilidade de todos eles serem defeituosos e igual a:a) 5−2

b) 5−3

c) 5−4

d) 5−5

e) 5−6




63. Sabe-se que a probabilidade de fechamento de cada rele do circuito abaixo e 20%.Se todos os reles funcionarem independentemente. Entao, a probabilidade de quehaja corrente entre os pontos X e Y e igual a:

A) 5, 4%B) 6, 5%C) 7, 2%D) 8, 1%

E) 9, 3%

64. (PUC - RJ) De sua turma de 30 alunos, e escolhida uma comissao de 3 represen-tantes. Qual a probabilidade de voce fazer parte da comissao ?

a) 1

10

b) 1

12

c) 5

24

d) 13

e) 2

9




3.9 Respostas das Atividades1. a)

1

66 b) R$ 20,00.

2. a) 1

23490 b)

52

11745 c)

65

783

3. 24

77

4. a) 182 b) 4

13

5. a) 3

190 b)

7

95

6. a) 3

8 b)

91

120

7. 28

57

8. 193

512

9. 30%

10. a) 56% b) 6%




3.10 Respostas dos Exercıcios Propostos01) A 17) B 33) A 49) C02) B 18) B 34) A 50) C03) A 19) B 35) E 51) E04) C 20) C 36) B 52) E05) D 21) C 37) A 53) C06) C 22) C 38) B 54) E07) D 23) E 39) C 55) A08) C 24) B 40) C 56) C09) B 25) C 41) A 57) E

10) A 26) D 42) C 58) E11) B 27) B 43) D 59) C12) A 28) B 44) B 60) A13) D 29) A 45) D 61) B14) A 30) E 46) D 62) A15) D 31) D 47) A 63) E16) B 32) B 48) D 64) C




3.11 Respostas dos Exercıcios Complementares01) B 17) B 33) A 49) C02) B 18) C 34) A 50) C03) E 19) C 35) D 51) B04) D 20) C 36) D 52) E05) D 21) E 37) D 53) C06) D 22) C 38) D 54) A07) C 23) A 39) C 55) B08) A 24) E 40) A 56) A09) A 25) B 41) A 57) B

10) C 26) B 42) E 58) C11) A 27) D 43) A 59) C12) B 28) A 44) B 60) B13) A 29) D 45) B 61) B14) A 30) A 46) D 62) E15) A 31) B 47) B 63) C16) E 32) C 48) D 64) A



Capıtulo 4

Questoes Resolvidas

4.1 Introducao

1. (IFS - SE) Para fazer o sorteio de um livro de Historia da matematica entre todosos alunos das turmas do 2o ano de uma escola, o professor reproduziu todos os ana-gramas da palavra LIV RO em pedacos de papel, distribuiu aos alunos e colocouuma copia em uma urna, onde seria realizado o sorteio. Nessas condicoes, a proba-bilidade de ser sorteado um anagrama que contenha todas as vogais juntas e:a) 20%

b) 30%c) 40%d) 50%e) 60%Solucao: Seja S o espaco amostral formado por todos os anagramas da palavraLIV RO. Portanto, temos N (S ) = 5! = 120. Agora, seja X o evento formadopelos anagramas da palavra LIV RO que tem as vogais juntas. Logo, encontra-seN (X ) = 2 · 4! = 48. Ou seja, resulta que

P (X ) = N (X )

N (S ) =

48

120 = 0, 4.

Assim, a resposta e a alternativa C.

2. (IFS - SE) Manoel vai ao estadio assistir a uma partida de futebol. La ele deveescolher uma entre quatro opcoes para entrar, a saber, os portoes A, B , C e D. Nointervalo da partida, ele fara um lanche. Suas opcoes de lanche sao cachorro quente,churrasquinho, pastel, pipoca e sanduıche. Qual e a probabilidade de Manoel entrarpelo portao B e no intervalo comer um sanduıche?a) 2%b) 5%

c) 9%d) 12%

146



CAP ITULO 4. QUEST OES RESOLVIDAS 147

e) 20%Solucao: Seja S o espaco amostral formado por todas as maneiras distintas deescolher um portao num total de 4 portoes, e em seguida escolher um lanche numtotal de 5 lanches. Logo, pelo princıpio fundamental da contagem, temos 20 possi-bilidades. Ou seja, N (S ) = 20. Agora, seja X o evento que consiste em entrar porB e em seguida, comer sanduıche. Logo, temos N (X ) = 1. Portanto, resulta

P (X ) = N (X )

N (S ) =

1

20 = 0, 05.

Assim, a resposta e a alternativa B.

3. (PUC - MG) No desenvolvimento de (x + 1)10

, o termo de grau tres tem coeficiente:a) 80b) 95c) 100d) 120e) 135Solucao: Inicialmente, sabemos que o termo geral desse binonio e dado por

T k+1 =

10

k

(x)10−k1k =

10

k

x10−k.

Para obter o termo de grau tres, basta fazer k = 7. Portanto, resulta que

T 7 =

10

7

x3 = 120x3.

Assim, a resposta e a alternativa D.

4. (UESPI) Junior ja leu tres livros de sua colecao de 12 livros. Escolhendo ao acasotres livros da colecao, qual a probabilidade de Junior nao ter lido nenhum dos tres?A) 31/55B) 29/55C) 27/55

D) 23/55E) 21/55Solucao: Seja S o espaco amostral formada pela quantidade de maneiras de es-

colher 3 livros num total de 12 livros. Logo, resulta que N (S ) =

12

3

= 220.

Agora, seja W o evento que consiste em escolher 3 livros num total de 9 livros(pois

excluimos os 3 livros que ele ja leu). Logo, temos N (W ) =

9

3

= 84. Portanto,

P (W ) = N (W )

N (S ) =

84

220 =

21

55.

Ou seja, a resposta e a alternativa E.




5. (UESPI) De quantas maneiras podemos formar 5 casais (com pessoas de sexos dife-rentes e nao ordenados) a partir de um grupo formado por 5 homens e 5 mulheres?Desconsidere a ordem dos 5 casais.A) 60B) 80C) 100D) 120E) 140Solucao: Vamos representar os homens por H 1, H 2, H 3, H 4 e H 5 e as mulherespor M 1, M 2, M 3, M 4 e M 5. Agora, consideremos a seguinte configuracao

H 1 − H 2 − H 3 − H 4 − H 5−Para formar os casais, basta permutar as 5 mulheres nos 5 espacos acima. Podemosfazer isso de P 5 = 5! = 120 formas diferentes. Ou seja, a resposta e a alternativa D

6. (UESPI) Um corretor de seguros vendeu seguros para 5 pessoas. Suponha que aprobabilidade de uma dessas pessoas viver mais trinta anos seja de 3/5. Qual aprobabilidade percentual de exatamente 3 das pessoas estarem vivas daqui a trintaanos?A) 24, 56%B) 34, 56%

C) 44, 56%D) 54, 56%E) 64, 56%Solucao: Supondo que o evento A represente o sucesso e B represente o fracasso.

Portanto, temos P (A) = 3

5 e P (B) =

2

5. Suponha que X represente a quantidade

de pessoas que vivam mais que trinta anos. Pelo Teorema Binomial, temos

P (X = 3) =

5

3

·

3

5

3

·

2

5

2

= 1080

3125 = 0, 3456.

Portanto, a resposta e a alternativa B

7. (UFMT) A Copa do Mundo de Futebol, que sera realizada na Alemanha a partirde junho de 2006, contara com a participacao de 32 selecoes divididas em 8 gruposcom 4 equipes cada, na primeira fase. Dado que, em cada grupo, as selecoes jogaraoentre si uma unica vez, qual o total de jogos previstos para a primeira fase?A) 32B) 40C) 48D) 44E) 96Solucao: Cada grupo temos 4 equipes, logo a quantidade de jogos em cada grupo




e igual a 4

2 = 6. Alem disso, temos 8 grupos. Portanto, resulta em 6 · 8 = 48 jogos. Ou seja, a resposta e a alternativa C

8. (UFAL) Um atirador de dardos acerta o alvo com probabilidade 0, 6. Quantasvezes, no mınimo, ele deve atirar, para que se tenha garantia de que acertara o alvo,pelo menos uma vez, com probabilidade superior a 97% ?A) 3B) 4C) 5D) 6

E) 7Solucao: Notamos que sucesso = p = 0, 6 e f racasso = q = 0, 4. Portanto, temosn

0

· (0, 6)0 · (0, 4)n +

nk=1

n

k

· (0, 6)k · (0, 4)n−k = 1

Logo, resulta que

nk=1

n

k

· (0, 6)k · (0, 4)n−k = 1 −

n

0

· (0, 6)0 · (0, 4)n

= 1

−(0, 4)n > 0, 97.

Portanto, basta resolver a inequacao (0, 4)n < 0, 03. Resolvendo, observamos quecada um dos valores, n = 4, 5, 6, · · · satisfaz essa inequacao. Mas, estamos procu-rando o valor mınimo. Portanto, a resposta e n = 4, (alternativa B).

9. (UFPI) Em uma caixa ha 5 bolas amarelas e 4 bolas azuis, todas de mesmo tama-nho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da caixa, semfazermos reposicoes. A probabilidade de que sejam retiradas duas bolas amarelas e:

A) 1

6

B) 136

C) 2

9

D) 5

18

E) 2

5

Solucao: O espaco amostral S consiste em retirar duas bolas entre 9 bolas. Isso

pode ser feito de N (S ) = 92 = 36 maneiras. E o evento X consiste em retirar duas




bolas amarelas entre 5 bolas amarelas. Isso pode ser feito de N (X ) = 5

2 = 10maneiras. Logo, temos

P (X ) = N (X )

N (S ) =

10

36 =

5

18.


10. (PUC - RS) Em uma sala existem 10 pessoas, sendo 8 mulheres e 2 homens. Onumero de possibilidades de formar, com essas 10 pessoas, um grupo que contenhaexatamente 3 mulheres e 2 homens e

A) C 38

B) C 510

C) 2C 38

D) A510

E) A38

Solucao: Dividimos esse problema em duas etapas: a primeira consiste em es-colher 3 mulheres entre 8 mulheres e a segunda etapa consiste em escolher 2 homensentre 2 homens. Portanto, temos

8

3

·

2

2

=

8

3

= C 3

8.

Portanto, a resposta e a alternativa A.

11. (PUC - RS) Com 8 frutas diferentes, o numero de saladas que podem ser feitascontendo exatamente 3 dessas frutas e

A) 24B) 54C) 56D) 112E) 336Solucao: Notamos que existem 8 frutas e devemos escolher 3 frutas. Ou seja, vamosformar um subconjunto com 3 elementos. Portanto, formaremos combinacoes de 8elementos tomados 3 a 3. Assim, resulta que

8

3

=

8!

3!

·5!

= 56.





12. (PUC - RS) Nas Olimpıadas PUCRS 2009, foram inscritas 12 equipes de futsalfeminino. O numero de resultados diferentes para os dois primeiros colocados e:A) 6B) 12C) 66D) 132E) 264Solucao: Observamos que para duas pessoas A e B ocuparem as duas primeirasposicoes (a ordem e importante). Portanto, devemos fazer o arranjo de 12 elementostomados 2 a 2. Ou seja, resulta

A12,2 = 12!10! = 12 · 11 = 132.


13. (UEMA) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de30, a probabilidade de que esse elemento seja primo e:

a) 3

5

b) 1

3

c) 2

3

d) 4

7

e) 3

8

Solucao: Sabemos os divisores de 30 e formado pelos elementos do conjuntoA = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Notamos que os primos e formado pelos elementosdo conjunto B =

2, 3, 5

. Portanto, a probabilidade e dada por

P (B) = N (B)

N (A) =

3

8.

Assim, a resposta e a alternativa E.

14. (UEMA) Um jovem foi convidado para uma festa de aniversario e, ao abrir seuguarda-roupas, verificou que nele haviam 3 calcas, 4 camisas, 2 pares de sapatos, 4pares de meias e 6 cuecas. De quantos modos diferentes esse jovem podera se vestirpara ir a festa de aniversario ?a) 576

b) 600c) 780




d) 470e) 300Solucao: Esse problema possui 5 etapas; onde a primeira consiste em escolheruma calca (3 possibilidades); a segunda etapa consiste em escolher uma camisa (4possibilidades); a terceira etapa consiste em escolher um par de sapato (2 possibi-lidades); a quarta etapa consiste em escolher um par de meia (4 possibilidades) ea ultima etapa consiste em escolher uma cueca (6 possibilidades). Portanto, peloprincıpio fundamental da contagem, temos

3 · 4 · 2 · 4 · 6 = 576.


15. (IFMG) Oito amigos vao acampar e levam 4 barracas identicas. De quantos modoseles podem se distribuir, ficando dois por barraca?a) 50b) 2520c) 40320d) 20160e) 105Solucao: Primeiramente vamos escolher dois amigos para a primeira barraca,

ou seja, temos 8

2 maneiras. Em seguida, escolher dois para a segunda barraca.

Logo, temos

6

2

maneiras. Depois, escolher dois para a terceira. Logo, temos

4

2

maneiras. Finalmente, escolher dois amigos para a ultima barraca. Assim, temos

2

2

maneiras. Portanto, pelo princıpio fundamental da contagem, temos

8

2

·

6

2

·

4

2

·

2

2

= 2520.

Por outro lado, sabemos que as barracas s ao identicas. Dessa forma, o numeroacima foi contado 4! vezes. Portanto, a quantidade de maneiras e dada por

2520

4! =

2520

24 = 105.


16. (UFC - CE) Oito pessoas, sendo 5 homens e 3 mulheres, serao organizadas em umafila. A probabilidade de as pessoas do mesmo sexo ficarem juntas e:

a) 1

28




b)

1

18

c) 3

28

d) 5

18

e) 1

38

Solucao: Seja S o espaco amostral que consiste no total de maneiras que 8 pessoaspodem ocupar os lugares em uma fila. Isso pode ser feito de P 8 = 8! maneiras.

Agora, seja X o evento que consiste em 5 homens e 3 mulheres ocuparem os lugaresem uma fila de modo que as pessoas do mesmo sexo fiquem juntas. Assim, temos

M , M , M 3 mulheres

5 homens H, H, H, H, H e H, H, H, H, H

5 homens

3 mulheres M , M , M

No primeiro caso, temos P 3 ·P 5 = 3! ·5! maneiras, e no segundo caso, temos P 5 ·P 3 =5! · 3! maneiras. Portanto, resulta que

P (X ) = N (X )

N (S ) =

2 · 5! · 3!

8! =

1

28.


17. (Mackenzie - SP) 4 homens e 4 mulheres devem ocupar os 8 lugares de um banco.A probabilidade de que nunca fiquem lado a lado duas pessoas do mesmo sexo e:

a) 1

56

b) 1

c) 116

d) 1

32

e) 1

35

Solucao: Seja S o espaco amostral que consiste no total de maneiras que 8 pessoaspodem ocupar os 8 lugares de um banco, isso pode ser feito de P 8 = 8! maneiras.Agora, seja B o evento que consiste em 4 homens e 4 mulheres ocuparem um bancode 8 lugares de modo que duas pessoas do mesmo sexo n ao fiquem juntas. Assim,temos dois casos: No primeiro, temos MHMHMHMH , (P 4 ·P 4 = 4! ·4! maneiras).




O outro caso HMHMHMHM , (P 4·

P 4 = 4!·

4! maneiras). Portanto, segue que

P (B) = N (B)

N (S ) =

2 · 4! · 4!

8! =

1

35.


18. (UFRGS - RS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres,tres pessoas sao escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos umhomem e duas mulheres e de:a) 25%b) 30%c) 33%d) 50%e) 60%Solucao: Seja S espaco amostral que consiste em escolher 3 pessoas num total de

6 pesssoas, podemos fazer isso de

6

3

=

6!

3! · 3! = 20 maneiras. Alem disso, seja A

o evento que consistem em escolher um homem e duas mulheres, podemos fezer isso

de

2

1

·

4

2

= 12 maneiras. Portanto, resulta que

P (A) = N (A)N (S )

= 1220

.

Logo, a resposta e a alternativa E.

19. (UNIVASF - UFPE) De quantas maneiras seis pessoas podem ser colocadas emfila, se duas delas se recusam a ficar em posi coes adjacentes?A) 460B) 470C) 480D) 490

E) 500Solucao: Notamos que 6 pessoas, podem ser colocadas numa fila de P 6 = 6! = 720maneiras. Alem disso, suponhamos que as pessoas A e B podem ficar juntas deP 2 · P 5 = 2 · 5! = 240 maneiras. Por outro lado, o total de maneiras que as pessoasA e B nao fiquem juntas na fila e 720 − 240 = 480 maneiras. Ou seja, a resposta ea alternativa C.

20. (VUNESP - SP) Um exame possui 10 questoes de multipla escolha com 3 alterna-tivas por questao. O numero de gabaritos possıveis em que a primeira e a segundaalternativas aparecem, cada uma, em exatamente 3 questoes e(A) 4 200.

(B) 4 820.




(C) 6 240.(D) 7 280.(E) 8 400.Solucao: Fazendo X = primeira alternativa, Y = segunda alternativa e W =terceira alternativa. Agora, devemos permutar as letras

X,X,X 3 vezes

3 vezes Y,Y,Y W,W,W,W

4 vezes

Notamos que trata-se de permutacao com repeticao. Portanto, obtemos

P 3,3,410

= 10!

3! · 3! · 4! = 4200


21. (VUNESP - SP) Uma urna contem 3 bolas pretas e 2 brancas. Duas bolas saoretiradas da urna, sem reposicao. A probabilidade de a segunda bola ser branca ede(A) 0,25.(B) 0,30.(C) 0,40.

(D) 0,50.(E) 0,60.Solucao: Notamos que existem duas formas: A primeira consiste em sair (branca−branca) e a segunda maneira, sair ( preta − branca). Seja X o evento que consisteem sair uma segunda bola branca. Portanto, temos

P (X ) = P (branca e branca) + P ( preta e branca)

= P (branca) · P (branca/branca) + P ( preta) · P (branca/preta)

= 2

5 · 1

4 +

3

5 · 2

4 =

8

20 = 0, 40

Logo, a resposta e a alternativa C.

22. (VUNESP - SP) Em um lote de 20 pecas, 5 sao defeituosas. Sorteando-se 3 pecasdesse lote, ao acaso, sem reposicao, a probabilidade de que nenhuma delas sejadefeituosa e, aproximadamente, de(A) 0,412.(B) 0,399.(C) 0,324.(D) 0,298.(E) 0,247.

Solucao: Seja S o espaco amostral que consiste em escolher 3 pecas num total de




20 pecas. Logo, resulta que N (S ) = 20

3 = 1140 possibilidades. Alem disso, sejaX o evento que consiste em escolher 3 pecas boas num total de 15 pecas. Logo,

resulta que N (X ) =

15

3

= 455 possibilidades. Portanto, temos

P (X ) = N (X )

N (S ) =

455

1140 = 0, 3991.


23. (CESGRANRIO - RJ) O gerente de vendas de certa empresa tem 32 funcionarios

em sua equipe, dos quais 12 sao mulheres. Se esse gerente escolher aleatoriamenteum dos integrantes da sua equipe, qual a probabilidade de que a pessoa escolhidaseja do sexo masculino?

A) 11

16

B) 5

8

C) 3

8

D) 34

E) 1

4

Solucao: Seja X o evento formado somente por homens e S o espaco amostralformado por todos os funcionarios. Notamos que N (X ) = 32 − 12 = 20 homens eN (S ) = 32 funcionarios. Portanto, temos

P (X ) = N (X )

N (S ) =

20

32 =

5

8.


24. (UFAL) Com os elementos do conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 formam-se numeros de 4algarismos distintos. Quantos dos numeros formados nao sao divisıveis por 5 ?A) 15B) 120C) 343D) 720E) 840Solucao: Notamos que os numeros de 4 algarismos tem a forma ABCD. Mas, os

algarismos sao distintos, entao podemos formar A7,4 = 7!3!

= 840 numeros. Agora,




vamos obter os numeros que sao divisıveis por 5. Para isso, vamos fixar D = 5, eem seguida, escolher 3 algarismos do conjunto 1, 2, 3, 4, 6, 7. Ou seja, os numeros

divisıveis por 5 vale A6,3 = 6!

3! = 120. Portanto, a quantidade de numeros que nao

sao divisıveis por 5 e igual a 840 − 120 = 720. Ou seja, a resposta e a alternativa D.

25. (UESC - BA) Seis pessoas formam uma fila indiana para percorrer uma trilha emuma floresta. Se uma delas e medrosa e nao quer ser nem a primeira nem a ultimada fila, entao o numero de modos de que essa fila pode ser formada e01) 12002) 48003) 60004) 72005) 930Solucao: Notamos que com 6 pessoas e possıvel formar P 6 = 6! = 720 filasindianas. Por outro lado, a pessoa medrosa nao pode ficar nas extremidades da fila.Ou seja, devemos excluir as duas possibilidades abaixo

medrosa,

5 pessoas A, B, C, D, E e A, B, C, D, E

5 pessoas

, medrosa

Em ambos os casos temos P 5 = 5! = 120 possibilidades. Portanto, a quantidadede organizar essa fila e 720 − 120 − 120 = 480 maneiras. Assim, a resposta e aalternativa 02.

26. Considere dois dados honestos numerados de 1 a 6. Jogando esses dados simultane-amente e multiplicando os numeros das faces superiores. Qual a probabilidade deobtermos um numero ımpar ?A) 15%B) 20%C) 25%D) 65%

Solucao: Notamos que o espaco amostral S e dado pelo conjunto abaixo

S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que o produto dos numerosforme um numero ımpar. Portanto, temos

X =

(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (3, 5), (5, 3), (5, 5)





P (X ) = N (X )

N (S ) =

9

36 = 25%.

Assim, a resposta e a alternativa C.

27. (FEI - SP) Numa sala ha 5 engenheiros e 6 biologos. Sendo X a quantidade degrupos que podem ser formados com 2 engenheiros e 3 bi ologos, tem-se que:(A) X = 200(B) X = 320(C) X = 240

(D) X = 270(E) X = 84Solucao: Esse problema possui etapas, a primeira consiste em escolher 2 engenhei-ros entre 5 engenheiros e a segunda consiste em escolher 3 bi ologos entre 6 biologos.Portanto, pelo principio fundamental da contagem, temos

X =

5

2

·

6

3

= 200.


28. (UESC - BA) No conjunto A = x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 25, pode-se escolher doisnumeros distintos, tais que a sua soma seja um numero par. Nessas condicoes, onumero de modos de que essa escolha pode ser feita e igual a01) 30002) 16903) 15604) 14405) 132Solucao: Observamos que existem 13 numeros ımpares e 12 numeros pares. Alemdisso, notamos que a soma de dois numeros e ımpares e um numero par e que a

soma de dois pares e um par. Portanto, a quantidade de fazer essa escolha e13

2

+

12

2

= 144.

Ou seja, a resposta e a alternativa 04.

29. Uma moeda e viciada de modo que a probabilidade de aparecer cara e o triplo daprobabilidade de aparecer coroa. Lancando essa moeda 5 vezes. Qual a probabili-dade de aparecer no maximo 2 caras ?Solucao: Sabemos que P (cara) = 3 · P (coroa). Portanto, vale a seguinte relacao




P (coroa) + 3P (coroa) = 1. Resolvendo, obtemos P (coroa) =

1

4 e P (cara) =

3

4.Seja B o evento formado por, B = 0 cara, 1 cara, 2 caras. Portanto, temos

P (B) = P (0 cara) + P (1 cara) + P (2 caras)

=

5

0

·

3

4

0

·

1

4

5

+

5

1

·

3

4

1

·

1

4

4

+

5

2

·

3

4

2

·

1

4

3

= 1

1024 +

15

1024 +

90

1024 =

53

512.

Assim, a resposta e aproximadamente 10, 35%.

30. (UNEMAT - MT) Em uma caixa estao acondicionados uma duzia e meia de ovos.Sabe-se, porem, que tres deles estao improprios para o consumo. Se forem escolhidosdois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados ?(A) 2/153(B) 1/9(C) 1/51(D) 1/3(E) 4/3Solucao: Notamos que existem 15 ovos bons e 3 estragados. Seja, S o espacoamostral que consiste em escolher 2 ovos entre 18 ovos. Isso pode ser feito de18

2 = 153 maneiras. Alem disso, seja X o evento que consiste em escolher 2 ovos

estragados entre 3 estragados. Isso pode ser feito de

3

2

= 3 maneiras. Portanto,

P (X ) = N (X )

N (S ) =

3

153 =

1

51.


31. (UNEMAT - MT) Numa escola do Ensino Medio ha tres turmas de terceiro ano.

Cada turma tem, respectivamente, 20, 22 e 24 alunos. Na tentativa de criar comiss aopara formatura, foi perguntado aos 66 alunos quem gostaria de fazer parte. Cincorapazes e quatro mocas manifestaram interesse. A comissao devera ser compostapor cinco alunos. Quantas comissoes de 5 alunos com exatamente 3 rapazes podemser formadas?(A) 126 comissoes.(B) 13 comissoes.(C) 45 comissoes.(D) 16 comissoes.(E) 60 comissoes

Solucao: Dividimos esse problema em duas etapas; a primeira etapa consiste em




escolher 3 rapazes entre 5 rapazes e a segunda etapa consiste em escolher 2 mo casentre 4 mocas. Usando o princıpio fundamental da contagem, temos

5

3

·

4

2

= 60.

Portanto, a resposta e a alternativa E.

32. (UNEMAT - MT) Um casal pretende ter quatro filhos. Qual a probabilidade dessesfilhos serem duas meninas e dois meninos?a) 1/16b) 3/16

c) 5/16d) 3/8e) 5/8

Solucao: Sabemos que P (menino) = 1

2 e P (menino) =

1

2. Agora, seja X o evento

formado pela quantidade de meninos. Portanto, pelo teorema binomial, temos

P (X = 2) =

4

2

·

1

2

2

·

1

2

2

= 3

8.


33. (UCS - RS) Dois dados sao jogados simultaneamente uma unica vez. A probabili-dade de que a soma dos numeros mostrados nas faces que ficam voltadas para cimaseja igual a 6 e

a) 1

6

b) 5

36

c) 5

6

d) 136

e) 6

5

Solucao: Observamos que o espaco amostral S e dado pelo conjunto abaixo

S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)




Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que a soma dos pontos de cimaseja 6. Logo, resulta que

X =

(1, 5), (5, 1), (3, 3), (2, 4), (4, 2)


P (X ) = N (X )

N (S ) =

5

36.

Assim, a resposta e a alternativa B.

34. Uma caixa tem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Retirando-se 3 bolas ao acaso esem reposicao. Qual a probabilidade de ser retirada 3 bolas da mesma cor ?A) 10%B) 15%C) 20%D) 25%E) 30%Solucao: Seja S o espaco amostral que consiste em escolher 3 bolas entre 10 bolas.

Ou seja, podemos fazer essa retirada de

10

3

= 120 maneiras. Alem disso, seja

X o evento que consiste em retirar 3 bolas brancas entre 4 bolas brancas. Ou seja,podemos fazer essa retirada de

4

3

= 4 maneiras, e Y o evento que consiste em

retirar 3 bolas pretas entre 6 bolas pretas. Ou seja, podemos fazer isso de

6

3

= 20

maneiras. Notamos que os eventos X e Y sao mutuamente exclusivos. Portanto,

P (X ∪ Y ) = P (X ) + P (Y ) = N (X )

N (S ) +

N (Y )

N (S ) =

4

120 +

20

120 =

1

5.


35. (UFRGS - RS) Uma parteira preve, com 50% de chance de acerto, o sexo de cadacrianca que vai nascer. Num conjunto de tres criancas, a probabilidade de ela acertarpelo menos duas previsoes e de:a) 12, 5%b) 25%c) 37, 5%d) 50%e) 66, 6%Solucao: Suponhamos que sucesso= saber o sexo da crianca e fracasso= errar

o sexo da crianca. Assim, temos que P (sucesso) = 1

2 e P (fracasso) =

1

2. Agora,

suponha que X represente a quantidade de acertos e B o evento que consiste em




a parteira acertar pelo menos duas vezes. Ou seja, esse evento e formado porB = X = 2, X = 3. Finalmente, usando o teorema binomial, temos

P (B) = P (X = 2) + P (X = 3)

=

3

2

·

1

2

2

·

1

2

1

+

3

3

·

1

2

3

·

1

2

0

= 3

8 +

1

8 =

4

8.


36. (VUNESP - SP) Numa gaiola estao 9 camundongos rotulados, 1, 2, 3,

· · · , 9. Selecio-

nando-se conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos tem igual possibilidade deserem escolhidos), a probabilidade de que na selecao ambos os camundongos tenhamrotulo ımpar e:(A) 0,3777...(B) 0,47(C) 0,17(D) 0,2777...(E) 0,1333...Solucao: Seja S o espaco amostral que consiste em selecionar 2 camundongos

entre 9 camundongos, isso pode ser feito de 9

2 = 36 formas. Alem disso, seja A

o evento que consiste em selecionar 2 camundongos ımpares, isso pode ser feito de5

2

= 10 formas. Portanto, resulta que

P (A) = N (A)

N (S ) =

10

36 = 0, 2777 · · · .

Assim, a resposta e a alternativa D.

37. Um casal quer ter 6 filhos. Entao, a probabilidade aproximada de nascer 4 homense igual a:

a) 14%b) 19%c) 23%d) 36%Solucao: Supondo que a probabilidades de nascerem homem ou mulher sejam

iguais. Assim, temos que P (homem) = 1

2 e P (mulher) =

1

2. Suponha que X

represente a quantidade de homens. Portanto, pelo teorema binomial, temos

P (X = 4) =

6

4

·

1

2

4

·

1

2

2

= 15

64.





38. (UCS - RS) Um candidato aprovado no vestibular da UCS ira se matricular em 3disciplinas, D1, D2 e D3, tendo a possibilidade de cursa-las no Campus de BentoGoncalves ou na Cidade Universitaria, em Caxias do Sul. Qual e a probabilidadede o aluno vir a cursar exatamente 2 dessas disciplinas na Cidade Universitaria, emCaxias do Sul ?

a) 3

8

b) 1

4

c)

2

3

d) 1

2

e) 1

3

Solucao: Inicialmente, sabemos que o aluno podera cursar essas tres disciplinasem dois campus possıveis. Dessa forma, podemos construir a seguinte tabela:

Bento Goncalves Caxias do Sul

D1, D2 e D3 NenhumaN enhuma D1, D2 e D3

D1 e D2 D3

D1 e D3 D2

D2 e D3 D1

D1 D2 e D3

D2 D1 e D3

D3 D1 e D2

Notamos que existem 8 possibilidades possıveis e 3 casos favoraveis. Portanto,

P = 38

.


39. (UEPG - PR) Assinale o que for correto.

01) O coeficiente do termo x−3 no desenvolvimento do binomio

1

x +

√ x

6

e 15.

02) Se ”A” e o numero de arranjos de 8 elementos tomados 3 a 3, ”P ” e o numerode permutacoes de 5 elementos e ”C ” e o numero de combinacoes de 10 elementostomados 4 a 4, entao A + P

−C = 246.

04) Se C 15,p = C 15,p+1 entao p e um numero par.




08) Se tres lampadas sao escolhidas ao acaso e sem reposicao, num grupo de 12lampadas, das quais 5 sao defeituosas, entao, a probabilidade de que exatamente

uma destas lampadas seja defeituosa e 7

44.

Solucao: Para resolver 01), vamos usar a formula do termo geral, onde

T k+1 =

6

k

1

x

k

(√

x)6−k =

6

k

x−kx

6−k2 =

6

k

x

6−3k2

Para obtermos o termo em x−3, devemos ter k = 4. Portanto, resulta que

T 5 = 6

4x−3 = 15x−3.

Ou seja, o item 01) e correto. Para resolver 02), temos A8,3 = 8!

5! = 8 · 7 · 6 = 336,

P 5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 e C 10,4 = 10!

4! · 6! = 210. Portanto, segue que A + P − C =

336 + 120 − 210 = 246. Ou seja, o item 02) e verdadeiro. Na parte 04), temos a

equacao binomial

15

p

=

15

p + 1

. Agora, basta resolver p = p+1 ou p+ p+1 = 15.

Ou seja, a solucao e p = 7. Portanto, o item 04) e falso. Para resolver 08), sejaS o espaco amostral que consiste em retirar 3 lampadas entre 12 lampadas. Isso

pode ser feito de 123 = 220 maneiras. Alem disso, seja X o evento que consiste

em retirar 3 lampadas nas quais um e defeituosa. Notamos que X e composto deduas etapas; onde a primeira, consiste em retirar uma lampada defeituosa entre 5lampadas, e a segunda, consiste em retirar duas lampadas entre 7 lampadas. Logo,

existem N (X ) =

5

1

·

7

2

= 105 maneiras. Portanto, segue que

P (X ) = N (X )

N (S ) =

105

220 =

21

44.

Ou seja, o item 08) e falso. Portanto, concluımos que os item 01) e 02) sao verda-deiros.

40. (UEPG - PR) Sabendo que o quarto termo do desenvolvimento de (2x + ky)n e−1080x2y3, assinale o que for correto.01) n e um numero primo.02) A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binomio e um numero negativo.04) O coeficiente do terceiro termo do desenvolvimento e 720.08) O valor de k e −3.Solucao: Primeiramente, sabe-se que o termo geral e dado por

T p+1 = n p (2x)n− p (ky) p




Alem disso, sabemos que T 4 = −

1080x2y3. Portanto, concluımos que p = 3. Assim,

T 4 =

n

3

(2x)n−3 (ky)3 = −1080x2y3.

Logo, encontramos n − 3 = 2. Ou seja, n = 5 (numero primo). Portanto, temos

5

3

(2x)2 (ky)3 = 40k3x2y3 = −1080x2y3.

Ou seja, encontramos k = −3. Agora, para obter a soma dos coeficientes do binomio(2x

−3y)5, basta fazer x = y = 1. Assim, temos (2

·1

−3

·1)5 = (2

−3)5 =

−1.

Portanto, a soma dos coeficientes e um numero negativo. Agora, vamos obter oterceiro termo desse binomio. Ou seja, fazendo p = 2, no termo geral acima, resulta

T 3 =

5

2

(2x)3 (−3y)2 = 720x3y2.

Portanto, 720 e o coeficiente do terceiro termo. Logo, todos os itens sao verdadeiros.

41. Luciano comprou seis presentes diferentes, ele pretende distribuir entre cinco criancas.De quantas maneiras ele pode distribuir os presentes entre as criancas de modo quetodas ganhem pelo menos um presente?

A) 1800B) 1900C) 2200D) 3600E) 4500Solucao: Supomos que os presentes sejam A, B, C , D, E e F . Agora, vamosconsiderar o seguinte caso: Uma das criancas ira receber dois presentes (AB) e asdemais criancas receberao as restantes. Dessa forma, temos a configuracao

AB, −, −, −, − 5 elementos

Logo, o total de permutacoes e P 5 = 5! = 120. Alem disso, sabemos que o procedi-

mento acima, pode ser feito de C 6,2 = 6!

2! · 4! = 15 maneiras. Ou seja, concluımos

que existem 15 · 120 = 1800 maneiras de realizar essa distribuicao. Portanto, aresposta e a alternativa A.

42. Luciano comprou seis presentes diferentes, ele pretende distribuir entre cinco criancas.De quantas maneiras ele pode distribuir os presentes entre as criancas de modo quetodas ganhem pelo menos um presente ?A) 1800B) 1900




C) 2200D) 3600E) 4500Solucao: Suponhamos que os presentes sejam A, B, C , D, E e F . Agora, vamosconsiderar o seguinte caso: Suponhamos que a primeira crianca receba dois presentes(AB) e que cada crianca restante receba apenas um presente. Assim, temos

AB, −, −, −, − 4 elementos

Logo, o total de permutacoes e P 4 = 4! = 24. Alem disso, sabemos que o proce-

dimento acima, pode ser feito de C 6,2 = 6!

2! · 4!

= 15 maneiras. Ou seja, quando

a primeira crianca recebe dois presentes e as demais apenas um presente, temosum total de 24 · 15 = 360 possibilidades de distribuicao. Mas, existem 5 criancas.Portanto, existem 5 · 360 = 1800 formas de distribuicao. Assim, a resposta e aalternativa A.


A) p3 − p4B) 3 p2 + 2 p5

C) 2 p4 − 2 p5 + p6

D) 4 p2 − 4 p3 + p4

Solucao: Seja W o evento que consiste em existir corrente entre os pontos X e Y .Notamos que para circular corrente entre X e Y e necessario que pelo menos umrele entre A e C esteja fechado e pelo menos um rele entre B e D esteja fechado.Portanto, obtemos X = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ D). Logo, resulta em

P (W ) = P ((A ∪ C ) ∩ (B ∪ D)) = P (A ∪ C ) · P (B ∪ D)

= (P (A) + P (C )−

P (A∩

C ))·

(P (B) + P (D)−

P (B ∩

D))

= ( p + p − p2) · ( p + p − p2) = 4 p2 − 4 p3 + p4.





44. (FURG - RS) O termo independente de x no desenvolvimento de

2

x2 + x

6

e:

a) 4b) 15c) 30d) 60e) inexistenteSolucao: Primeiramente, sabemos que o termo geral desse binomio e dado por

T k+1 = 6k · 2

x2

6−k

· (x)k = 6k · 26−k · x3k−12.

Para obter o termo independente de x, basta fazer 3k − 12 = 0. Assim, resulta emk = 4. Finalmente, substituindo na formula do termo geral, temos

T 5 =

6

4

· 22 = 60.

Logo, a resposta e a alternativa D.

45. (UFG - GO) O CPTEC/INPE (Centro de Previsao de Tempo e Estudos Climaticosdo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) faz uma previsao de chuva em deter-minada cidade, indicando em cada dia a probabilidade de ocorrencia de um volumede chuva acima de 5 mm. A tabela a seguir mostra essas probabilidades para quatrodias, na cidade de Goiania.

Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4Probabilidade 30

100

80

100

40

100

25

100

Considere que a probabilidade de chover em determinado dia e independente daocorrencia ou nao de chuva nos demais dias apresentados na tabela acima e calcule

a probabilidade de nao chover acima de 5 mm em cada um dos quatro dias.Solucao: Notamos que vale a igualdade P (A) + P (AC ) = 1, onde AC e o comple-mentar de A. Dessa forma, podemos construir a seguinte tabela

Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4P (A) 30

100

80

100

40

100

25

100

P (AC ) 70

100

20

100

60

100

75

100

Portanto, a resposta e P 1 = 70

100, P 2 =

20

100, P 3 =

60

100 e P 4 =

75

100.




46. (Unimontes - MG) Um dado e lancado ao acaso. Qual e a probabilidade de que onumero da face superior seja um divisor de 6?

A) 1

2

B) 1

3

C) 2

3

D) 1

6

Solucao: Sabe-se que o espaco amostral desse problema e S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Agora, considere A o evento que consiste em sair um numero que seja divisor de 6.Logo, temos A = 1, 2, 3, 6. Portanto, resulta

P (A) = N (A)

N (S ) =

4

6.


47. (Unimontes - MG) No desenvolvimento do binomio x + 1

x15

, o termo indepen-

dente de xA) nao existe.B) e 1.C) e 5.

D) e 1

5Solucao: Inicialmente, notamos que o termo geral desse binomio e fornecido por

T k+1 =

15

k

· (x)15−k ·

1

x

k

=

15

k

· x15−2k.

Para obter o termo independente de x, faremos 15 − 2k = 0. Assim, resulta em

k = 15

2 . Mas, k /∈ 0, 1, 2, · · · , 15. Portanto, concluımos que o termo independente

nao existe. Ou seja, a resposta e a alternativa A.

48. (Ufscar - SP) Num acampamento, estao 14 jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocase 4 mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, sera formada uma equipecom 2 paulistas, 1 carioca e 1 mineiro, escolhidos ao acaso. O numero de maneiraspossıveis para se formar essa equipe de limpeza e:a) 96

b) 182c) 212




d) 240e) 256Solucao: Seja N a quantidade de maneiras possıveis de formar essa equipe, sa-bemos que existem 6 paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Entao, usando o princıpiofundamental da contagem, temos

N =

6

2

·

4

1

·

4

1

= 240.


49. O coeficiente de x6 no desenvolvimento do polinomio P (x) = x · (x − 1)9 e:A) 105B) 126C) 204D) 238Solucao: Inicialmente, vamos obter o coeficiente do termo em x5 na expansao dobinomio (x − 1)9. Para isso, sabemos que o termo geral e dado por

T k+1 =

9

k

· (x)9−k · (−1)k

Para obter o termo em x5, basta fazer 9 − k = 5, assim obtemos k = 4. Agora,substituindo esse valor, obtemos 126x5. Alem disso, multiplicando por x, obtemos

126x6. Portanto, a resposta e a alternativa B.

50. Considere P o conjunto formado por todos os anagramas da palavra CLARO. Re-tirando um anagrama ao acaso desse conjunto. Qual a probabilidade de ser retiradoum anagrama que tenha as vogais juntas ?A) 12%B) 19%C) 30%D) 40%E) 48%Solucao: Seja P o espaco amostral formado por todos os anagramas da palavra

CLARO. Sabemos que o total de anagramas e P 5 = 5! = 120. Ou seja, N (P ) = 120.Por outro lado, denotemos por X o evento formado por todos anagramas que te-nham as vogais juntas. Observamos que o par AO funciona como se fosse somenteuma letra. Portanto, temos as duas configuracoes abaixo

AO,C,L,R 4 letras

e OA, C, L, R 4 letras

Em ambos os casos, temos P 4 = 4! = 24. Ou seja, N (X ) = 2 · 24 = 48. Logo, temos

P (X ) = N (X )

N (P ) =

48

120 =

2

5 = 0, 40.





51. Seja F o conjunto formado por todos os anagramas da palavra CADERN O. Esco-lhendo um anagrama ao acaso. Qual a probabilidade desse anagrama comecar coma letra E e terminar com a letra R ?

A) 1

28

B) 1

30

C) 1

42

D)

1

56

Solucao: Seja F o espaco amostral formado por todos os anagramas da pala-vra CADERNO. Sabemos que essa palavra tem 7 letras distintas. Assim, o totalde anagramas e P 7 = 7!. Ou seja, N (F ) = 7!. Alem disso, seja X o evento formadopelos anagramas que comecam com a letra E e termina com a letra R. Assim, temos

E , C , A , D, N, O 5 letras

, R

Permutando as cinco letras acima, temos P 5 = 5!. Ou seja, N (X ) = 5!. Logo, temos

P (X ) = N (X )N (F )

= 5!7 · 6 · 5!

= 142

.


52. (Unimontes - MG) De quantas maneiras podemos distribuir 6 livros entre 2 pessoas,de modo que cada um receba pelo menos um livro?A) 64.B) 60.C) 32.D) 62.

Solucao: Primeiramente, denotemos os livros por A,B,C,D,E e F , e as duaspessoas por X e Y . Agora, vamos construir a seguinte tabela

Pessoa X Pessoa Y Possibilidades

A B, C, D, E, F 6A, B C, D, E, F 15

A, B, C D, E, F 20A, B, C, D E, F 15

A, B, C, D, E F 6

Portanto, a quantidade de possibilidades e 6 + 15 + 20 + 15 + 6 = 62. Ou seja, a

reposta e a alternativa D.



Referencias Bibliograficas

[1] Meyer, Paul L. Probabilidade: Aplicacoes a estatıstica. LTC, 2a edicao. Rio deJaneiro - RJ. 1982.

[2] Figueiredo, Luiz Manoel & Silva, Mario de Olivero & Cunha, Marisa Ortegoza. Ma-tematica Discreta, vol 1 e 2 . CEDERJ - UFPA, 2005.

[3] Morgado, Augusto Cesar de Oliveira & Carvalho, Joao Bosco Pitombeira de & Car-valho, Paulo Cezar Pinto & Fernandez, Pedro. Analise Combinatoria e Proba-bilidade. SBM - Rio de Janeiro - RJ. 2004.

curso probabilidade

Documents

Transcript of curso probabilidade