Material by: Caio Guimares (Equipe Rumoaoita.com) Referncia: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

5 - ComplementosDe onde veio o nome seo cnica?Sees cnicas so as sees formadas pela interseo de um plano com uma superfcie cnica.

Teorema de DandelinDandelin provou que h quatro tipos de sees cnicas possveis, e denominaremo-las elipses, circunferncias, parbolas e hiprboles. Imagine uma superfcie cnica com eixo de revoluo e cortada por um plano . Sejam o ngulo de cada geratriz do cone com o eixo e o ngulo que faz com o eixo. I)

900

Circunferncia

II)

Gnero Elipse

III)

Gnero Hiprbole

IV)

Gnero Parbola

ExcentricidadeA partir dessas definies de sees cnicas, podemos redefinir as quantidades excentricidade de carter geral. Excentricidade de uma cnica a quantidade dada pela razo co s e onde e so os ngulos denotados nas figuras co s anteriores. Notar que nos diferentes tipos de cnicas as excentricidades tm faixas de valores definidos: Circunferncias: e = 0 Elipses: 0 < e < 1 Parbolas: e = 1 Hiprboles: e > 1 Muitos livros preferem denotar circunferncias como casos particulares de elipses cuja excentricidade 0 .

Exerccio Resolvido ContextualizadoEm uma superfcie cnica de revoluo de vrtice O, as geratrizes fazem 30 graus com o eixo de rotao. Um plano corta o eixo no ponto A e faz 60 graus com o eixo. Calcule a rea da seo (AO=2) Soluo:

e

co s co s

co s 6 0 0 co s 3 0 0

1 3

c a

1

(Seo cnica do tipo elipse) Da figura,y 2 x . co s 6 0 0 OA BA x 2 x ( BAO is sceles )

x c a

y 1 3

2a c

2

1 3 2

2a

a

3 2

Na elipse: a = b + c , logo:b a c 9 4 3 4 3 2 b 6 2

Sabemos que a rea de uma elipse dada por: A Logo a rea pedida :

ab

A

3 4

6

Foco de uma Cnica e Diretriz de uma cnicaA partir da nossa definio de Dandelin de sees cnicas, definimos a quantidade excentricidade, e com isso podemos definir o que um foco de uma cnica. Seja F um ponto no espao e d uma reta no espao tal que qualquer ponto de uma seo cnica atenda : PF e Pd Definimos F como sendo o foco da seo cnica, e d como sendo a diretriz da cnica. Ou seja, com isso, podemos tambm redefinir cada um dos tipos de sees cnicas:

Dado um ponto F fixo e d uma reta fixa no espao, definimos: PF Elipse o LG dos pontos tal que constante 1 Pd PF Hiprbole o LG dos pontos tal que constante 1 Pd

Parbola o LG dos pontos tal que

PF Pd

1

OBS: 1. As definies de cada tipo de cnica vistas nos 3 primeiros captulos da srie so coerentes com essa nova definio. 2. Para elipses e parbolas so definidas 2 diretrizes (para que se atenda definio para cada um dos focos). 3. Pela simetria das sees cnicas podemos definir eixos de simetria (eixos principais e secundrios) a cada tipo de seo. No caso de hiprbole temos os eixos transverso e no-transverso; no caso de elipse temos eixo maior e eixo menor; no caso de parbola temos o eixo principal. Tais eixos so perpendiculares e paralelos s retas diretrizes das cnicas.

Exerccio Resolvido Contextualizado[IME 79] Por um ponto M qualquer de uma hiprbole (h), traa-se uma paralela a uma assntota (a) de (h): esta paralela encontra uma diretriz (d) de (h) em D. Sendo F o foco de (h) correspondente diretriz (d), mostre que: MD = MF.

Soluo: Considere a projeo P de M sobre a diretriz d (como indica a figura) Sendo, MF= u m raio focal da hiprbole, e sabendo que: MF e MP

Temos: M P

e

Da semelhana entre o triangulo PMD e o triangulo formado pela assntota e o retngulo caracterstico da hiprbole, temos que:

MP MD

sen

a a bCQD.

MD

e

.

a b a

c e a .

Assim, MD = MF

Exerccios de Fixao1. [IME 1980] Calcule os eixos e a excentricidade da cnica, seopor um plano em um cone de revoluo R, de vrtice V, sabendo- se que: 1) A excentricidade da seo por a maior possvel para o cone R. 2) V dist a de 6 unidades de com prim ent o. 3) R tal que a seo por um plano perpendicular a uma geratriz uma hiprbole eqiltera.

2. [IME 1982] dada uma elipse de eixo focal 2 e excentricidade 2 igual a . Essa elipse seo de um cone de revoluo: o 3ngulo que o plano da elipse forma com o eixo do cone de 45 graus. Pede- se, em funo de a, a distncia do vrtice V do cone ao plano da elipse.

3. [IME 1989] Na elipse de excentricidade 0,5 , foco na origem ereta diretriz dada por 3x + 4y= 25, determine: a) O outro foco da elipse b) a equao das diretrizes da elipse.

Reviso GeralSegue uma bateria de exerccios do IME e do ITA a respeito de cnicas. O intuito desses exerccios revisar a matria vista na srie de cnicas inteira. Em alguns deles a sada por geometria analtica ser mais direta e mais facilitada. Cabe ao leitor exercitar a distino entre problemas que devem ser atacados pelos teoremas vistos nos captulos anteriores, ou por geometria analtica.

1. [ITA] Determine o lugar geomtrico dos centros das circunferncias que so tangentes ao eixo das ordenadas, e os pontos de interseo com o eixo das abcissas distam 2 unidades um do outro. 2. [IME 86] Seja uma hiprbole eqiltera de centro O e focos F e F. Mostre que o segmento determinado por O e por um ponto M qualquer da hiprbole media proporcional entre os segmentos MF e MF.

3. [IME 86] Seja uma parbola de foco F e diretriz d. Por um ponto P da diretriz, traam- se tangentes parbola que a interceptam em A e B. Demonstre que A, B e F esto em linha reta. 4. [IME 85] Dados dois pontos fixos A e B (AB=d), considere as elipses passando por B, com foco em A e eixo maior de comprimento 2a, tal que 2a > d . Determine o lugar geomtrico do segundo foco F das elipses. 5. [IME 84] D- se (P) uma parbola de foco F e diretriz d. Sejam M um ponto qualquer de P; A sua projeo sobre d; B a projeo de A sobre FM. Identifique o lugar geomtrico de B quando M descreve a parbola P. 6. [IME 84] Em uma hiprbole (H) so dados o foco F e a diretriz correspondente d, que distam entre si 5 cm. A direo de uma assntota forma um ngulo de 30 graus com o eixo focal. Pede- se calcular os valores dos semi- eixos de (H). 7. [IME 83] Em uma hiprbole (h) so dados: um foco F, uma assntota (l) e uma tangente (t). Pede- se determinar graficamente o outro foco, a outra assntota e os comprimentos dos eixos, justificando a construo executada. OBS: Nessa poca o IME cobrava construo geomtrica em suas questes. Deixamos a questo na bateria de exerccio como treino para fixao do conceito. 8. [IME 81] Seja (d) a diretriz e F o foco de uma parbola. Seja MM uma corda focal qualquer. Mostre que as tangentes em M e M encontram- se em P, pertencente a (d) e que a reta PF perpendicular a MM.

9. [IME 77] A tangente e a normal em um ponto M de uma elipse cortam o eixo focal respectivamente em T e N, sendo os focos F e F. a) Mostre que o segmento FF` dividido harmonicamente por T e N, bem como a razo das distncias de F aos pontos N e M igual excentricidade da elipse. b) Se a tangente e a normal citadas cortam o eixo no focal em T e N, respectivamente, mostre que o crculo MTN passa pelos focos F e F.

10. [IME 93] Seja 2y=x uma parbola com foco F e diretriz d. Uma reta, cujo coeficiente angular m (diferente de 0) passa por F e corta a parbola em dois pontos A e B, respectivamente. Seja G o conjugado harmnico de F em relao a A e B. Pede- se: a) as coordenadas de G em funo de m. b) o lugar geomtrico do ponto G quando m varia.

11. [IME] Considere o tringulo ABC cujos lados so todos tangentes a uma parbola dada. Prove que o circuncrculo do tringulo passa pelo foco da parbola. Sugesto: Utilize o teorema da Reta de Simpson