CYDARA CAVEDON RIPOLL

UFRGS

Slides utilizados nas Palestras ministradas no Estágio dos

Professores Premiados da OBMEP 2006, em 2007, no

IMPA, disponíveis em

http://www.obmep.org.br/videos-EPP-2006.htm

PALESTRA 1:

1. Introdução

2. O que dizem os Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCN, 1996)

3. O que fazem os livros didáticos em geral

4. O que dizem os livros didáticos

O que dizem os PCN (1996)

"No 3º e 4º ciclos alguns conceitos serão consolidados, uma vez que eles

já vêm sendo trabalhados desde os ciclos anteriores, como o conceito de

número racional. Outros serão iniciados como noções/idéias que vão se

completar e consolidar no ensino médio, como é o caso do conceito de

número irracional". (3º e 4º ciclos correspondem a 5ª, 6ª 7ª e 8ª séries do EF.)

"Os currículos de Matemática para o Ensino Fundamental devem

contemplar

-o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética

e da Álgebra),

-o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e

-o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações

entre os campos da Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e

de outros campos do conhecimento),

e a aprendizagem deve desenvolver-se de forma gradual e em

diferentes níveis, supondo o estabelecimento de relações com

conceitos anteriores."

Para o 3º ciclo, referentes ao pensamento numérico:

"Ampliação, (...) operações (...) com naturais, inteiros e

racionais";

"Compreensão da raiz quadrada e cúbica de um número, a partir

de problemas como a determinação do lado de um quadrado de

área conhecida ou da aresta de um cubo de volume dado"; "Cálculos aproximados de raízes quadradas por meio de estimati-

vas e fazendo uso de calculadoras";

"Obtenção de medidas por meio de estimativas e aproximações e

decisão quanto a resultados razoáveis, dependendo da situação-

problema". Para o 4º ciclo, referentes ao pensamento numérico:

"Ampliar e consolidar os significados dos números racionais a partir dos

diferentes usos em contextos sociais e matemáticos e reconhecer que

existem números que não são racionais";

"Resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros,

racionais e irracionais, ampliando e consolidando os significados da adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação";

"Selecionar e utilizar diferentes procedimentos de cálculo com números

naturais, inteiros, racionais e irracionais".

E, da competência métrica:

"Ampliar e construir noções de medida, pelo estudo de diferentes

grandezas, utilizando dígitos significativos para representar as

medidas, efetuar cálculos e aproximar os resultados de acordo com

o grau de precisão desejável".

Especificamente sobre o ensino dos números irracionais, para o 3º e 4º ciclos:

"Ao longo do Ensino Fundamental o conhecimento sobre os números é cons-

truído e assimilado pelo aluno num processo em que tais números aparecem co-

mo instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também como

objeto de estudo em si mesmo, considerando-se, nesta dimensão, suas proprie-

dades, suas inter-relações e o modo como historicamente foram constituídos".

"Na perspectiva de que o aluno amplie e aprofunde a noção de número, é im-

portante colocá-lo diante de situações em que os números racionais são insufi-

cientes para resolvê-las: tornando-se necessária a consideração de outros núme-

ros: os irracionais. Recomenda-se, no entanto, que a abordagem destes últimos

não siga uma linha formal, que se evite a identificação do número irracional

com um radical e que não se enfatizem os cálculos com radicais, como ocorre

tradicionalmente".

Os PCN ainda salientam: "As formas utilizadas no estudo dos números irracionais têm se

limitado, quase que exclusivamente, ao ensino do cálculo com

radicais. O ensino tradicional dos irracionais têm pouco

contribuído para que os alunos desenvolvam seu conceito."

"O importante é que o aluno identifique o número irracional como um número

de infinitas "casas" decimais não-periódicas, identifique esse número com um

ponto na reta, situado entre dois racionais apropriados, reconheça que esse

número não pode ser expresso por uma razão de inteiros (...). Esse trabalho tem

por finalidade, sobretudo, proporcionar contra-exemplos para ampliar a

compreensão dos números".

O que fazem os livros didáticos em geral

(Análise crítica feita em 10 livros (coleções às vezes) didáticos

escolhidos pelos alunos da atual turma do Mestrado em Ensino de

Matemática da UFRGS.)

-“a aprendizagem deve desenvolver-se de forma gradual e em dife-

rentes níveis”

- “...Outros (assuntos) serão iniciados como noções/idéias que vão se completar

e consolidar no ensino médio, como é o caso do conceito de número irracional”.

-“reconhecer que existem números que não são racionais”

-prática comum dos livros didáticos é a pouca ênfase que se dá ao método ma-

temático.

-a maneira como são introduzidos os números irracionais: o exemplo √2 é apre-

sentado sem a demonstração de sua irracionalidade sendo, portanto, induzido

que a sua expansão decimal seja não periódica.

-“As formas utilizadas no estudo dos números irracionais têm se limitado, quase

que exclusivamente, ao ensino do cálculo com radicais. O ensino tradicional dos

irracionais têm pouco contribuído para que os alunos desenvolvam seu conceito.”

-alunos de final de EM: cinco exemplos de irracionais.

Minha "sensação" ao fazer esta análise dos livros didáticos:

O assunto números irracionais e a construção do conjunto R é

ainda um desconforto para os autores dos livros didáticos:

- há, num mesmo livro, parágrafos bem escritos, onde é

introduzida uma discussão interessante sobre um assunto, mas

tal discussão logo a seguir é interrompida, passando-se a

outro aspecto sem às vezes nenhuma continuidade;

- os textos são muitas vezes apenas informativos, nada

discutem e não mostram a quê vem, isto é, para quê estão

servindo todas aquelas informações;

- muitas vezes as frases são ambíguas, o que dá margem a

muitas confusões entre os alunos e, infelizmente, também

confusões entre os próprios professores.

O que dizem estes dez livros didáticos

1. Algumas das definições de número irracional

mais freqüentemente encontradas :

• (A) “Um número é irracional se não puder ser escrito na forma a/b, com a,bZ e b não nulo.

“Irracional é o número que não pode ser escrito na forma de fração”.

• (B) “Irracional é o número cuja representação decimal

é infinita e não-periódica”.

“Todo número escrito na forma de um decimal

infinito e não-periódico é um número irracional”.

• (C) “Os números irracionais representam medidas de

segmentos incomensuráveis com a unidade”.

- Pressupõe-se o conhecimento da existência de outros números

além do universo trabalhado até o momento, a saber, os núme -

ros racionais, além de um manejo com tais números, a ponto de

conseguir-se checar se eles podem ou não ser escritos nesta for-

ma.

Críticas a cada grupo de definições:

(A) “Um número é irracional se não puder ser escrito

na forma a/b, com a,bZ e b não nulo”.

“Irracional é o número que não pode ser escrito

na forma de fração”.

- Números imaginários não podem ser escritos na forma de

fração, e nem por isso são irracionais !!!

- Para culminar: definem reais como união de racionais com

irracionais ...

(B) “Irracional é o número cuja representação decimal é

infinita e não-periódica”.

“Todo número escrito na forma de um decimal infi-

nito e não-periódico é um número irracional”.

- Pressupõe-se o conhecimento da existência de outros núme-

ros além dos racionais.

- Fala-se na expansão decimal de qualquer número, como se

qualquer número tivesse expansão decimal !!!

(C) “Os números irracionais representam medidas de

segmentos incomensuráveis com a unidade”.

Deixo o comentário da definição (C) para a segunda palestra:

2. Ainda relacionado com a apresentação dos números irracionais:

-"Existem números que não são racionais, tais como

0,12345..., pois este não é periódico"

ou "Existem números que não apresentam as características

descritas acima; eles possuem uma representação decimal não-

periódica e com infinitas casas decimais. Veja alguns exemplos:

(...) 0,101001000...".

0,101001000... é número?

Se sim, qual seu significado numérico?

-"Com o auxílio de conhecimentos matemáticos superiores aos

que estudamos até agora, pode-se mostrar que o processo de

melhoria das aproximações de √2 não termina nunca."

Logo a seguir, o autor explora fatoração em primos para decidir

se um número é um quadrado perfeito ou não...

3. O número π e as aproximações

-é muitas vezes introduzido de uma forma altamente im-

precisa, pois não se informa claramente que matemáticos

provaram que é constante o quociente entre o perímetro

do círculo e o comprimento do seu diâmetro.

Precisamente: a prática comum é tomar-se vários quocientes que

são aproximadamente iguais (mas só aproximadamente!) e dizer

"Este número é chamado de π".

O aluno então pode ficar com a sensação de que π representa toda

uma família de números que são aproximadamente iguais a 3,14.

Assim, por exemplo, 3,149, 3,1333, 3,153 servem (pois, afinal,

ninguém comentou sobre o tamanho admissível do erro)...

-Além disso, poucos autores usam o símbolo "" para tornar claro

que se trata de uma aproximação, e não do valor exato do número.

4. Diagramas ilustrando a relação entre os conjuntos numéricos

até então conhecidos

diagrama 1 diagrama 2 diagrama 3

Diagrama 1: Um dos autores ainda pergunta nos exercícios

se QI ou se I∩Q=.

Diagramas 2 e 3: Desconhecimento do autor ?

- Aqui se encaixa também a pobreza de irracionais apresentados

nos livros didáticos: π e raízes quadradas (jamais menciona-se

que estes são uma pequena parte (irracionalidades quadráticas)

de uma pequena parte (números algébricos) de uma imensa varie-

dade de irracionais, e o único não algébrico mencionado é π

(que faz parte da grande maioria dos números reais: os transcen-

dentes!!!!).

A visão passada aos alunos sobre números irracionais é portanto

bastante distorcida, a ponto de ainda ser reiterada nos diagramas.

5. Sobre a representação decimal de um número real:

-"Observe que √2 tem infinitos algarismos decimais não

periódicos..."

-Autores que não provam que não existe racional cujo quadrado é

2, têm a tendência (e dois dos analisados realmente o fazem!) de

afirmar: "√2 não tem representação decimal periódica, e por isso

é um número irracional".

Como se prova que √2 não tem representação decimal periódica?

-"Na calculadora, Helena calculou 7,0710678... como valor de

√(50). Pela representação decimal obtida, Você pode afirmar que

√(50) é um número racional ou um número irracional?

- Outro autor começa preocupando-se em procurar um

número x tal que x²=2. Daí, faz estimativas, tais como

(1,4)²=1,96 e (1,5)²=2,25,

chegando à escrita x=1,414... e a seguir informa:

"Adiante veremos que x é a raiz quadrada de dois (...) "

-Além disso, o autor está sugerindo que a lista 1,414... está muito

bem determinada se não levamos em conta sua procedência.

-"É muito interessante notar que números irracionais, que não

têm uma representação decimal precisa, como √2=1,414213...,

têm, no eixo real, uma imagem rigorosamente definida por um

segmento de reta".

Sabemos dizer quem é o próximo dígito nesta expansão!

Será que o autor considera que 0,12345... tem uma representação

decimal precisa? E isto implica que sua imagem no eixo real é pre-

cisa?

-Exercício proposto:

"Escreva em seu caderno o número cuja parte inteira

é zero, e a parte decimal é formada por um algarismo

1, dois algarismos 2, três algarismos 3 e assim por

diante. Este número é racional ou irracional? "

O que acontece depois que esgotarmos os algarismos, isto é,

depois de escrevermos nove algarismos 9 ????

6. Sobre a ordem em R :

"...Aritmeticamente, vamos analisar alguns exemplos:

2,195... < 3,189..., pois 2<3

4,128... < 4,236,..., pois 4=4 e 0,1<0,2

(...)

5,672... < 5,673..., pois 5=5, 0,6=0,6, 0,07=0,07 e 0,002<0,003

-Relacionado ao assunto “dízimas periódicas”, no que diz respei-

to a fração geratriz, um autor escreve:

“Todas as dízimas periódicas possuem fração geratriz.".

Este autor é um dos tantos que apresentam a "receita" para recu-

perar a fração geratriz, e chega à incoerência de pedir, nos exercí-

cios, para que o aluno calcule a fração geratriz de 4,999... e deu

como resposta no livro do professor 5/1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-Os autores evitam lidar com as listas periódicas de perío-

do 9 (só um autor informa que 0,999...=1, os demais evi-

tam este assunto!), e isto os leva a cometerem erros:

7. Sobre a reta numérica:

-"Como entre dois racionais sempre há um outro número

racional, não é possivel escrever todos os elementos do

conjunto Q dos números racionais."

O conjunto Q é enumerável!!!!!! Análogo, em outro livro:

"Como sabemos, não se podem representar (na reta numérica)

todos eles (os racionais) pois entre dois números racionais existe

uma infinidade de outros números racionais".

Quer dizer então que, quando traço um segmento de reta entre os

pontos A e B, sem levantar o lápis do papel, eu não desenhei todos

os pontos deste segmento?

-"Os reais podem ser representados por uma seqüência de pontos

em uma linha reta, chamada reta numérica."

Este mesmo autor continua explicando a localização de números

na reta, inicialmente localizando inteiros. A seguir comenta

"Podemos dividir a distância entre dois inteiros conse-

cutivos em infinitas partes iguais. Assim, podemos indi-

car na reta números racionais como 0,002, -5,362. (...)

Entre dois números racionais há sempre um terceiro. Veja, por

exemplo, (...). Assim, podemos continuar localizando números

racionais entre dois racionais infinitamente.

Mesmo que fosse possível indicar na reta todos os números ra-

cionais, ainda sobrariam pontos para indicarmos os números ir-

racionais. A localização de um número irracional na reta pode

ser feita por meio de uma representação decimal aproximada ou

por um processo geométrico, que permite a localização exata do

ponto."

Acima temos uma seqüência de frases mal escritas, com termos

em lugar errado, que, para o aluno, pode ser um complicador

para seu real entendimento de número.

-Exercício:

"Considerando um segmento de 2cm como unidade..."

duas unidades diferentes para um mesmo enunciado...

Outro autor tem um exercício semelhante:

"Desenhe uma reta e marque sobre ela um segmento

de 20cm. Chame as extremidades desse segmento de 1 e 2 (...)"

8. Sobre operações com reais:

ou seja, em operar com os reais escritos na forma decimal.

Excluindo o capítulo inteiro de cálculo com radicais, o máximo

que fazem sobre operações com reais é mencionar que

"R é fechado para as operações de adição, subtração, multipli-

cação e divisão", e alguns até listam todas as propriedades usuais

destas operações, sem no entanto fazer um cálculo sequer mos-

trando a utilidade destas propriedades!!!

A maioria aborda apenas cálculo com radicais.

Apenas um autor se preocupa em estimar o valor de

(122 +3) / 15

Um autor, sem explicar de onde sai a expansão decimal de √2 e

muito menos operar com tais números, pede num exercício para

o aluno decidir se 3√2 e (√30)/2 são ou não racionais...

Por que cálculo com radicais precisa ter um

tratamento tão distinto do que se faz com as

operações com reais em geral, expressos na

forma decimal (isto é, nada) ?

9. Dentro do capítulo "cálculo com radicais":

-Além de só listar as regras de operações com os mesmos,

sem prová-las, um autor lista uma de forma incompleta:

"Quando multiplicamos ou dividimos o índice e o expoente por

um mesmo número natural não-nulo, obtemos um radical equi-

valente ao primeiro".

Note que, com esta regra, o aluno fica legitimado a escrever

...

(o autor repete esta imprecisão nos exercícios...).

Por que "radicais equivalentes" e não "números reais iguais"?

-Primorosa proibição, sem explicar o por quê:

"Na adição e subtração só podemos escrever o resultado num só

radical se os termos forem semelhantes".

10. Sobre racionalização:

-Exercício: “Encontre a fração equivalente a √2/2.”

Outro análogo:

"Lembre-se que uma fração não se altera quando multi-

plicamos numerador e denominador pelo mesmo número

diferente de zero."

E o exemplo que ele dá é (1/(√3))=((1.√3)/(√3.√3))=...

-Uma questão discutível: um autor introduz racionalização, e de-

pois mostra uma figura onde um aluno comenta:

"Para este tipo de cálculo eu prefiro mesmo é usar a calculadora",

ao que o autor complementa, confirmando:

“Hoje em dia, com a presença das calculadoras, esta técnica não

tem tanto uso".

Em minha calculadora encontrei:

(1/(√2))=0,7071068 e ((√2)/2)=0,7071067.

11. Sobre o (mau) uso da calculadora:

- "Para converter uma fração em número decimal, basta

dividir o numerador pelo denominador. Usando a calcu-

ladora vamos encontrar a forma decimal das frações

9/2, 5/4, 6/8 e 9/8."

Este mesmo autor propõe adiante, no entanto, o seguinte Exercício:

"Utilize a calculadora para resolver 1/2, 1/3, 1/6"

-Exercício: “Determine por aproximações (até o centésimo) o

valor aproximado de √7. Depois, use a calculadora e confira

seus resultados.”

A calculadora não erra jamais!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.

12. Sobre a não abordagem de aproximações:

Muitos autores descuidam do uso do símbolo "",

aparecendo situações como a seguinte: ao exemplificar um

cálculo com radicais semelhantes, o autor dá os exemplos:

"b) 5√9-2√(169)=5.3-2.13=15-26=-11

c) 4√(28)+3√(45)=4.(5,29)+3.(6,70)=21,16+20,10=41,26",

dando igual tratamento tantos aos valores exatos quanto aos

valores aproximados.

13. Frases imprecisas,

que só dificultam o entendimento por parte do aluno:

-Explicando a crise dos incomensuráveis, um autor men-

ciona:

-"Podemos estabelecer uma correspondência entre os pontos de

uma reta e os números irracionais",

para, mais adiante, mencionar:

"A cada número real é possível fazer corresponder um ponto da

reta".

“Os matemáticos verificaram que o lado de um quadrado e sua

diagonal não admitem uma unidade comum, ou seja, não existe

uma unidade de medida que caiba um número exato de vezes

no lado do quadrado e na sua diagonal.”

-Exercício: "Calcule o valor aproximado de cada raiz quadrada,

com uma casa decimal." de precisão, não?

14. Deveria ser evitado pelo professor,

que tem mais conhecimento de matemática do que o aluno

- frases do tipo

-"Irracional é o número que não pode ser escrito na forma de

fração."

-"Seja x=0,12342534... ."

-"Raiz quadrada de número negativo não existe."

-terminologias em excesso:

-"reta racional" - não se fala em "reta dos inteiros"...

Além disso, a uma reta não faltam pontos....

-"radicais equivalentes"-

por que não simplesmente Números reais iguais?

-"numerais decimais"

-Pior: "numerais com ordens decimais finitas“

E, se não pretende fazer maiores comentários:

-a soma dos infinitos termos de uma PG de razão menor do que 1.

-“Desafio:

Mostre que o número x=√(2+√(2+√(2+...))) é racional.”

(Quem garante ao aluno que isto é um número???)

PALESTRA 2:

1. Por que o "abismo" entre os PCN e

muitos livros didáticos?

2. O que deveria ser enfatizado/salientado?

3. Uma proposta para o curso de

Licenciatura.

4. A proposta implementada numa oitava

série.

5. Considerações finais.

1. Por que o "abismo" entre os PCN e muitos

livros didáticos?

É flagrante o desconforto com que ainda a grande maioria dos au-

tores dos livros didáticos falam sobre eles em seus trabalhos...

E por que isto está ocorrendo?

Por que é tão difícil alcançar-se tais objetivos num livro didático?

O que os cursos de Licenciatura têm feito, em termos

de formação de seus professores, em relação a este te-

ma - números irracionais - no sentido de esclarecer as

confusões que em geral existem sobre ele?

Curso de Análise na Reta ou similar, onde é feita a construção de

R via cortes de Dedekind ou via seqüências de Cauchy, deduzin –

do-se dessa estrutura as demais propriedades e muito pouco (ou

nada) é esclarecido sobre os conflitos normalmente existentes so-

bre este assunto, tais como

2 1,4142... 3 1,7321...,Se e

2 3?entãoqual é aexpansãodecimal de

2. O que deveria ser enfatizado/salientado?

Relembremos o que dizem os PCN (resumidamente):

"Resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros, ra-

cionais e irracionais, ampliando e consolidando os significados da adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação";

"Ampliar e construir noções de medida (...), efetuar cálculos e aproximar

os resultados de acordo com o grau de precisão desejável".

"Ao longo do Ensino Fundamental o conhecimento sobre os números é cons-

truído e assimilado pelo aluno num processo em que tais números aparecem

como instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também co-

mo objeto de estudo em si mesmo, considerando-se, nesta dimensão, suas

propriedades, suas inter-relações e o modo como historicamente foram

constituídos".

"Na perspectiva de que o aluno amplie e aprofunde a noção de número, é

importante colocá-lo diante de situações em que os números racionais

são insuficientes para resolvê-las: tornando-se necessária a considera-

ção de outros números: os irracionais.

3. Uma proposta para o curso de Licenciatura.

No lugar de um Curso de Análise na Reta ou similar, no

qual é feita a construção de IR via cortes de Dedekind

ou via seqüências de Cauchy, deduzindo-se dessa estrutura as de-

mais propriedades e muito pouco (ou nada) é esclarecido sobre os

conflitos normalmente existentes sobre este assunto, tais como

2 1,4142... 3 1,7321...,Se e

2 3?entãoqual é aexpansãodecimal de

Propomos uma abordagem precisa matematicamente, mas mais

adaptada, na nossa opinião, ao conhecimento de um aluno de fi-

nal do Ensino Básico e de Ensino Médio.

Passamos a apresentar o que acreditamos deva ser

abordado com alunos da Licenciatura, e que con-

siste em uma abordagem precisa matematicamente,

mas mais adaptada, na nossa opinião, ao conheci-

mento de um aluno de final do Ensino Fundamental e de Ensino

Médio. O que segue está baseado em um texto escrito para o

terceiro grau – licenciatura :

Números Racionais, Reais e Complexos, C.C.Ripoll, J.B.Ripoll

e J.F.P.Silveira, Editora da UFRGS

O processo de completamento em nosso texto é motivado pelo

problema geométrico de

expressar a medida exata de qualquer segmento de reta,

coincidindo com a evolução histórica.

Neste sentido, o conceito de número irracional a que

Chegamos aproxima-se da definição (C) dada inicial-

mente:

Crítica: Nenhum número negativo expressa uma medida de

comprimento.

(C') “Os números irracionais positivos representam medidas

de segmentos que são incomensuráveis com a unidade''.

É com esta idéia que vamos trabalhar: tentando expressar a

medida exata de um segmento de reta, vamos chegar à cons-

trução dos números irracionais positivos, coincidindo com a

evolução histórica. Note-se aqui a abstração matemática en-

volvida.

(C) “Os números irracionais representam medidas de segmen-

segmentos incomensuráveis com a unidade”.

Uma seqüência encaixante de segmentos P1Q1, P2Q2, P3Q3,...,é dita

evanescente se, dado qualquer segmento AB, sempre pudermos

encontrar um n tal que PnQn AB.

O processo de completamento baseia-se no fato geomé-

métrico, que todo aluno aceita, de que a reta é completa,

não lhe faltam pontos, enunciado como

Princípio dos segmentos evanescentes:

Se P1Q1, P2Q2, P3Q3,... é uma seqüência de segmentos evanescen-

tes da reta euclidiana, então existe um, e somente um ponto P co-

mum a todos os segmen-

tos desta seqüência.

Def: Uma seqüência (in-

finita) de segmentos

P1Q1, P2Q2, P3Q3,..., é

dita encaixante se para

cada n tivermos Pn+1Qn+1 PnQn.

Com uma generalização de um instrumento muito familiar ao

aluno que é a régua escolar, construímos um instrumento ma-

temático - a régua decimal infinita - que vai nos permitir ex-

pressar a medida exata de qualquer segmento de reta.

A construção da régua decimal infinita.

• Consideremos uma reta (horizontal) r e fixemos sobre

r um segmento de reta qualquer que não se reduz a um único

ponto. Este segmento passa a ser nossa unidade de medida.

• Seja O a extremidade esquerda de

A construção desta régua é feita por etapas:

• Em uma primeira etapa marcamos uma série de pontos de r do

seguinte modo: o primeiro ponto é simplesmente o ponto extre-

mo direito de . Denotamos este ponto por P(1). Para marcar –

mos o segundo ponto, tomamos um compasso com a abertura do

segmento . A seguir colocamos a ponta seca do compasso em

P(1) e marcamos com a outra ponta do compasso um ponto de r

à direita de P(1). Denotamos este novo ponto por P(2). ....

Repetindo este processo indefinidamente, obtemos um con-

junto de infinitos pontos de r: P(1), P(2), P(3),..., P(n),...,

que constituem a rede de graduação unitária da régua de-

cimal infinita.

• Numa segunda etapa colocamos no compasso uma abertura i -

gual a um décimo do segmento unitário, e marcamos sucessiva-

mente, à direita de O, a rede de graduação decimal da régua de-

cimal infinita:

1 2 3 10, , , ,...., 1 ,

10 10 10 10

11 12 13 20, , ,...., 2 ,

10 10 10 10

21 22 23 30, , ,...., 3 ,

10 10 10 10

.....

O P P P P P

P P P P P

P P P P P

ou, usando a representação decimal dos racionais:

, (0,1), (0,2), (0,3),...., (0,9), (1,0) (1),

(1,1), (1,2), (1,3),...., (1,9), (2,0) (2),

(2,1), (2,2), (2,3),...., (2,9), (3,0) (3),

....

O P P P P P P

P P P P P P

P P P P P P

• Numa terceira etapa, usamos o compasso com abertura igual a

um centésimo do segmento unitário, marcamos os pontos da rede

de graduação centesimal:

, (0,01), (0,02), (0,03),...., (1,00) (1),

(1,01), (1,02), (1,03),....., (2,00) (2),.....

O P P P P P

P P P P P

E assim por diante: para cada número natural n, construímos ou

marcamos os pontos da rede de graduação da régua deci-

mal.

1/10n

A etapa final consiste em considerar o conjunto de todos esses

pontos, ou equivalentemente, a união de todas essas redes, que

é chamada régua decimal infinita de unidade de medida . Note

que este conjunto consta de todos os pontos à direita de O da for-

ma . Eles são denominados pontos graduados da reta. ( /10 )nP m

A questão que se coloca aqui é a seguinte:

Será que, com esta régua, consegue-se expressar a

medida de qualquer segmento de reta?

Com a ajuda do compasso, podemos

transladar AB de tal forma que uma

de suas extremidades coincida com

O e a outra (P) fique à direita de O.

Assim, |AB|=|OP|, e nosso problema se resume a expressar a

medida de um segmento da forma |OP| com P um ponto (não

graduado) da reta à direita de O.

Medindo segmentos de reta - parte 1

Sejam A,B pontos quaisquer à direita de O e distintos.

- não temos problema nenhum em medir segmentos da forma |OP|

quando P é um ponto graduado da reta: quando P é um ponto gra-

duado da reta, a medida |OP| é da forma (m/(10ⁿ)), ou seja, uma

fração decimal.

-existem pontos não graduados da reta que originam

segmentos da forma OP para os quais também não te-

mos problema nenhum em expressar sua medida.

É o caso dos pontos que originam segmentos comensuráveis com

a unidade δ, isto é, para os quais existem naturais m,n não nulos

tais que m|OP|=nδ, quando então chegamos a |OP|=(n/m),

onde talvez esta não seja uma fração decimal mas certamente é

um número racional.

Mas neste ponto surge-nos outra questão (natural mas que repre-

senta toda a motivação para o que segue):

A resposta é não:

Será que os racionais positivos são suficientes para me-

dir qualquer segmento de reta? Ou seja: qualquer seg-

mento de reta da forma OP com P à direita de O é tal

que |OP| pode ser expressa por um número racional?

A insuficiência geométrica dos racionais:

A partir do segmen-

to unitário cons-

truímos um quadra-

do no plano com la-

do . A seguir, com um compasso, construímos, sobre a reta que

contém , um segmento S que é congruente à diagonal deste

quadrado.

Por Pitágoras: 2 2 2| | | | | | 1 1 2S

Daí, se o segmento S pudesse ser medido por um número

racional, concluiríamos que existe um racional cujo qua –

drado vale 2, absurdo, pela seguinte

Proposição: Não existe um número racional cujo quadrado vale 2.

Prova (por absurdo): se existe um racional x=a/b (com a,bN)

tal que x²=2, então

2=x²=a²/b²

E portanto 2b²=a².

Chegamos a um absurdo analisando a fatoração em primos de a² e

de 2b²:

a² envolve uma quantidade par de fatores primos, enquanto que

2b² envolve uma quantidade ímpar de fatores primos.

Conclusão:

Se queremos expressar a medida exata de qualquer segmento

de reta através de um número, somos forçados a expandir

nosso conjunto numérico.

Continundo com este novo objetivo, surge-nos a questão:

Ainda podemos aproveitar o que discutimos acima para se ex-

pressar a medida de qualquer segmento de reta?

A resposta é sim.

A idéia é desdobrarmos o processo de medição em uma seqüência

de etapas procurando, a cada etapa, obter uma medida aproximada

do segmento, nos aproximando o mais possível do ponto P por

pontos graduados de uma fixada rede de graduação.

E fazemos isto determinando pontos consecutivos desta rede que

cercam P:

Medindo segmentos de reta - parte 2:

* Numa primeira etapa, determinamos inteiros consecu-

tivos m e m+1 tais que P está entre P(m) e P(m+1), de

modo que . Daí: ( ) ( 1)OP m OP OP m

- se P é um ponto da rede de graduação unitária (isto é, P=P(m)),

então o processo de medição está encerrado: |OP|=|OP(m)|=m.

- se P não for um ponto da rede de graduação unitária então

, e neste caso m não pode ser toma-

do como a medida exata de OP, e então podemos apenas dizer

que m é uma medida aproximada do que imaginamos ser a me-

dida de OP, e com erro menor do que 1, já que, neste caso,

m=|OP(m)|

<|OP(m)|+|P(m)P|=|OP|

<|OP|+|PP(m+1)|=|OP(m+1)|=m+1, e portanto

m < |OP| < m+1.

( ) ( 1)OP m OP OP m

Para obtermos uma melhor aproximação para a “medida de OP”,

recorremos à rede de graduação decimal:

* Numa segunda etapa, verificamos quantos segmentos

congruentes a cabem, a partir de P(m), no segmen-

to OP (note aqui a semelhança com o processo prático

de medição utilizado na Escola com régua de graduação

finita). Seja tal número. Note então que , já que

P P(m)P(m+1) e P(m)P(m+1) é um segmento de medida

1=10/10.

1

10

1a1 {0,1,...9}a

Então é um dígito tal que ou P está entre

e : 1a 1( )

10

aP P m 1( )

10

aP m

1 1( )

10 10

aP m

1 1

1( , ) ( , )

10OP m a OP OP m a

1( , )P P m aDaí:

- Se então o processo de medição está encerrado:

1 1| | | ( , ) | ,OP OP m a m a

- Se então ,

e podemos no máximo dizer que é uma aproxima-

ção da medida de OP com erro menor que 1/10, já

que, neste caso,

1( , )P P m a1 1

1( , ) ( , )

10OP m a OP OP m a

1,m a

1 1 1 1

1

1 1

, | ( , ) | | ( , ) | | ( , ) |

1| | | | | ( , ) |

10

1 1| ( , ) | ,

10 10

m a OP m a OP m a P m a P

OP OP PP m a

OP m a m a

e portanto 1 1

1, | | ,

10m a OP m a

- Para obtermos uma ainda melhor aproximação da medida de OP

no caso em que P não é um ponto gradudo, recorremos à rede de

graduação centesimal e repetimos o mesmo raciocínio, encontran-

do um dígito que nos indica quantas vezes um segmento con –

gruente a cabe em OP a partir de ou seja, tal que 2a

1

100

1( , )P m a

1 2 1 2

1( , ) ( , )

100OP m a a OP OP m a a

Daí, se P é um ponto graduado....

Podemos repetir este processo quantas vezes necessário for.

Mas aí nos surge naturalmente a seguinte questão:

É verdade que sempre chegaremos, após um número

finito de repetições deste processo, digamos n, à con-

clusão que ? 1 2( , ... )nP P m a a a

Ora, já sabemos que a resposta à questão acima é negativa, pois

nem todo ponto da reta à direita de O é graduado.

O que acontece com o processo de medição do segmento OP se P

não é um ponto graduado da reta???

O máximo que conseguimos, até agora foi obter valores numéri-

cos aproximados para o que seria a medida de OP com erro arbi-

trariamente pequeno:

1 2 1 2

1, ... | | , ...

10n n n

m a a a OP m a a a

No entanto, matematicamente falando, o número

jamais poderá ser tomado como a medida exata de

OP pois o erro cometido na aproximação da medida de OP ja-

mais será exatamente zero.

1 2, ... nm a a a

Já que nenhuma lista finita pode expressar a medida exata de OP

quando P não é um ponto graduado, passamos então a conside-

rar, como expressão exata desta medida, a lista COMPLETA,

portanto INFINITA, para representar a medida EXATA de OP,

e escrevemos

|OP|=

significando um processo de medição que não tem fim. 1 2, ... ...nm a a a

Resumindo tudo o que fizemos até agora:

Dado um segmento de reta AB, o processo de obtenção da

medida de AB via régua decimal infinita associa a AB:

- o número 0 se A=B,

- uma lista finita da forma com e

dígitos, no caso de AB ser concongruente a um segmento OP com

P um ponto graduado da reta e diferente de O,

1 2, ... nm a a a m N 1 2, ,... na a a

- uma lista infinita da forma , com e

dígitos, no caso de AB ser concongruente a um seg-

mento OP com P um ponto não graduado da reta.

1 2, ... ...nm a a a m N

1 2, ,... ...na a a

Antes de chamarmos tais listas de números, precisamos abordar

ainda várias questões, muitas delas relativas à “coerência”:

Que lista obtemos ao aplicarmos o processo acima a este seg-

mento OP? O quê tal lista tem a ver com o número racional a/b?

Questão 1: Já aprendemos a, dados quaisquer naturais

a e b com , construir um segmento OP tal que

: basta tomarmos .

0b

| |a

OPb

1

( )OP ab

A questão que podemos nos colocar é:

Questão 2: (sobre o problema inverso) Suponha que a

lista obtida através do processo de medição de um seg-

mento via régua decimal infinita seja igual à lista que

representa a expansão decimal de um racional. Podemos então di-

zer que este racional é a medida deste segmento?

Questão 3: Será que qualquer lista representa sem-

pre a medida de algum segmento de reta? Em caso afirmativo, é

bem determinado este segmento?

1 2, ... ...nm a a a

(Aqui é que entra em jogo o Postulado dos segmentos evanescen-

tes.)

A resposta a esta questão é:

Todas as possíveis listas com exceção das listas periódi-

cas de período formado só por 9’s expressam a medida

de algum (e único!) segmento da forma OP.

Assim, se nosso problema é aumentar o conjunto numérico exclu-

sivamente para conseguirmos expressar a medida exata de qual –

quer segmento, vemos que não precisamos incluir as listas que

não são periódicas de período formado só por 9’s.

A situação acima é um tanto antipática: melhor seria se todas as

listas pudessem expressar uma quantidade numérica.

E o que é possível mostrar é que se quisermos dar um sentido nu-

mérico para listas periódicas de período formado só por 9's, um

bom candidato para a lista m,999... é o número m+1, e para a lista

com é o número , com

. Com isso estamos admitindo por exemplo 4,999...=5. 1 2, ... 999...nm a a a 9na 1 2 1, , ,... nm a a a b

1nb a

Questão 4: Não poderia uma situação análoga à que o –

corre com os racionais (a saber, existem frações distintas

representando a mesma quantidade e, portanto, determinando um

mesmo número racional), ocorrer com as listas acima definidas,

ou seja, não podem duas listas distintas estar representando uma

mesma medida?

E, finalmente:

Só depois de considerarmos todas as questões acima é que pode-

mos ampliar o conceito de número, considerando também como

números tais listas infinitas, criando assim os chamados reais ab-

solutos (que, depois passam a ser chamados de irracionais posi-

tivos). Estamos assim legitimando a definição (C’):

(C') “Os números irracionais positivos representam medidas

de segmentos que são incomensuráveis com a unidade''.

4. A proposta implementada numa oitava série.

(Implementada por Daiane Scopel Boff, em 2006, enquan-

enquanto aluna do Mestrado em Ensino de Matemática da

UFRGS)

Justificativa:

A construção via medição exata de segmentos de reta parte de uma

motivação que já faz parte da vida do aluno de Ensino Fundamen-

tal: medir segmentos de reta.

Além disso, utiliza-se de um instrumento com o qual um aluno de

qualquer nível da Escola Básica tem muita familiaridade: a régua

escolar.

Passo 1: Convencer os alunos da precariedade da régua

escolar para expressar a medida exata de qualquer seg-

mento.

Passo 2: Provar a insuficiência geométrica dos racionais

-lançando a questão:

Qualquer quantidade não inteira pode ser representada na

forma de fração? Ou seja, ao dividirmos um segmento em dois pe-

daços de quaisquer tamanhos (não necessariamente iguais), será

que cada pedaço sempre vai ter uma medida expressa na forma de

fração?

Os alunos achavam a princípio que sim...

-construção do quadrado unitário e estimativa para a sua diagonal

Com o auxílio de material concreto, os alunos convenceram-se de

que a diagonal tinha um comprimento maior do que 1 e menor do

que 2.

Depois de muito tentarem, surgiu a questão:

Como convencer-nos de que não existe uma fração

que represente a medida da diagonal de um qua-

drado unitário?

A prova por absurdo, nos moldes já apresentados antes.

Passo 3: Concluir sobre a necessidade de se criar novos números

para medir de maneira exata qualquer segmento de reta.

Passo 4: A construção (idealização) matemática de um instrumen-

to capaz de medir qualquer segmento: a régua decimal infinita.

(A cada nova graduação percebe-se que existem segmentos cuja

medida exata ainda não pode ser expressa por tal rede de gradua-

ção.

Haverá alguma graduação que será suficiente para expressar a

medida exata de qualquer segmento?

Passo 5: Discutir a questão:

Tendo agora a régua decimal infinita na mão, vamos

conseguir que a extremidade de qualquer segmento se

torne um ponto graduado?

Passo 6: Perceber que este instrumento vai nos permitir expressar

de maneira exata a medida de qualquer segmento de reta (e dessa

forma representar qualquer quantidade, inteira ou não inteira), mas

para tal precisaremos fazer uso de listas infinitas.

Passo 7: Reconhecer o significado numérico de uma lista.

Por exemplo, dizer que x=1,23456.... significa dizer que

x é uma quantidade tal que 1<x<2;

mais precisamente, 1,2 < x<1,3 ...

Passo 8: Encontrar a lista que afinal define a medida da

diagonal do quadrado de lado 1.

A diagonal de um quadrado de lado unitário não pode

ser expressa por uma fração; então, como será a lista

que produz esta medida?

Possibilidades descartadas: lista finita e lista infinita periódica,

pois estas podem ser geradas por frações.

Possibilidade aceita: lista infinita e não periódica.

=================================

É a partir do significado numérico e do controle do erro que

vamos aprender a operar com os números irracionais.

Estes seriam os próximos passos.

5. Considerações finais.

- Quando é que os alunos passam a não gostar de Matemática?

- Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais nossas

convicções sobre o ensino dos números irracionais e reais com-

templadas. No entanto:

-lá não é mencionada a continuidade topológica dos núme-

ros reais, que nos permite modelar e tratar fenômenos que em-

volvem grandezas contínuas, como muito ocorre na Física.

-em nenhum momento foi feita qualquer alusão à dificulda-

de de se operar com números irracionais. (Esta falta de menção,

principalmente sobre as operações envolvendo irracionais, faz,

a meu ver, com que se pense ainda em abordar “cálculo com

radicais”).

Em primeiro lugar, não é de se esperar que o círculo seja aborda-

do apenas no EM só porque envolve um número irracional;

ainda. a continuidade topológica já é explorada logo no início

do EM pela Física, e, pela Matemática, com o estudo das funções

reais de variável real.

-também não é de se esperar que, “da noite para o dia” o aluno

vá se habituar ao pensamento abstrato (requisitado nos PCN: "Ao longo do Ensino Fundamental o conhecimento sobre os números é cons-

truído e assimilado pelo aluno num processo em que tais números aparecem co-

mo instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também como

objeto de estudo em si mesmo,(...)

-Para quê precisamos saber se um número é ou não irra-

cional ainda na escola básica, se afinal ao operarmos com

eles em geral utilizamos aproximações racionais (trunca-

mentos da expansão decimal do número?)

O que poderia ser tratado no Ensino Médio, ao se

retomar conjuntos numéricos, com relação ao apro-

fundamento sugerido nos PCN?

Algumas sugestões:

i) a diferença entre os conjuntos Z e Q :discreto×denso

ii) com relação aos racionais:

- mostrar que período 9 nunca ocorre quando tentamos

encontrar a expansão decimal de uma fração (o que gera

conflito com a regra de recuperação da fração geratriz) e

a discussão (com demonstração verdadeira) de tal regra;

- discussão da questão: afinal: 0,999... é ou não igual a 1?;

iii) as dízimas periódicas ajudam a avaliar tecnicamente uma cal-

culadora

iv) introdução histórica sobre grandezas incomensuráveis (moti-

vando assim os irracionais)

v) quanto aos irracionais:

- abordar o erro,

- as limitações de uma calculadora (Pode uma

calculadora decidir por nós se um número é

ou não irracional?

- os arredondamentos de uma calculadora)

Bibliografia:

*Ripoll, J.B. - Ripoll, C.C. - Silveira, J.F.P. Números Racionais,

Reais e Complexos, Editora da UFRGS, 2006.

*Boff, Daiane Scopel. A Construção dos Números Reais na Es-

cola Básica, Dissertação de Mestrado do Pós-Graduação

em Ensino de Matemática, UFRGS, 2007

(a ser disponibilizada em www.mat.ufrgs.br/~ppgem)