Da Composição e da Decomposição de Figuras Planas à Construção do

Conceito de Área: um estudo por meio do Apprenti Géomètre

Anderson Douglas Pereira Rodrigues da Silva 1

GD 2– Educação Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental

Resumo do trabalho. Pretendemos neste artigo trazer algumas considerações sobre uma pesquisa de mestrado

em andamento, com o foco voltado à construção do conceito de área enquanto grandeza geométrica a partir da

composição e decomposição de figuras planas. Concentramo-nos neste artigo em apresentar o Apprenti

Géomètre2 2 (AG 2) um software de Geometria Dinâmica que tem como característica a possibilidade de

compor, decompor, justapor, sobrepor e fundir figuras desenhadas em sua interface. A metodologia da pesquisa

ainda encontra-se em fase de definição, porém trazemos no tópico de aspectos metodológicos um breve

comentário sobre o que visamos realizar. Como base teórica, utilizamos os estudos desenvolvidos por Régine

Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian, que propõem uma abordagem do conceito de área como uma grandeza

autônoma, o que corresponde a distinguir no ensino da área de figuras planas três quadros: o geométrico, o das

grandezas e o numérico.

Palavras-chave: Grandeza Geométrica. Área. Geometria Dinâmica.

1. Introdução

Pesquisas atuais enfatizam a relevância da utilização de softwares de Geometria Dinâmica

por professores da Educação Básica ao Ensino Superior como ferramenta para a

aprendizagem de diversos conteúdos de matemática.

Fazendo um levantamento nos anais de congressos de Educação Matemática nacionais e

internacionais, analisamos diversos trabalhos que apresentam variados softwares de

1 Mestrando do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática e Tecnológica - EDUMATEC/UFPE,

anderdouglasprs@gmail.com. Orientadora: Profª Drª Paula Moreira Baltar Bellemain. 2 Pode ser traduzido por Aprendiz de Geometria, mas escolhemos utilizar nome do software na sua língua

original.

Geometria Dinâmica como: o GeoGebra, o Cabri-Géomètre, o Régua e Compasso, o Tabulae

entre outros, que são utilizados como ferramentas importantes nas aulas de matemática.

Percebemos que tais softwares são apresentados nessas pesquisas com o objetivo de

contribuir com o processo de ensino e aprendizagem da geometria, da álgebra etc. Porém

não encontramos nenhum trabalho voltado para o uso de software de Geometria Dinâmica

para favorecer a construção do conceito de área enquanto grandeza geométrica e que

apresentasse em seu menu ferramentas específicas de composição, decomposição,

justaposição, rotação, translação e reflexão de figuras.

Nesta pesquisa expomos o Apprenti Géomètre 2 um software de Geometria Dinâmica

desenvolvido pelo Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (CREM)3

que tem como característica principal a praticidade de trabalhar com composição e

decomposição de figuras planas.

O texto está organizado em tópicos. A introdução como primeiro, o segundo apresenta a

fundamentação teórica apoiada nas pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989) sobre área

como grandeza geométrica, no terceiro apresentamos os objetivos da pesquisa. No quarto

fazemos uma breve introdução sobre Geometria Dinâmica com subsequente apresentação da

interface do Apprenti Géomètre e os principais menus que serão utilizados nas atividades

propostas aos sujeitos da pesquisa. O quinto aborda os primeiros elementos dos aspectos

metodológicos. E por fim, as referências.

Iniciamos esta pesquisa em março de 2014, portanto, o projeto sequer foi qualificado.

2. Fundamentação Teórica

2.1 Área enquanto grandeza geométrica

A proposta de abordar a área como uma grandeza autônoma apoia-se nas pesquisas

desenvolvidas por Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989). Considerar área

como grandeza corresponde a distinguir três quadros: o geométrico, o das grandezas e o

numérico. As figuras pertencem ao domínio geométrico; a área é elemento do domínio das

3 Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (CREM) é um grupo de pesquisa responsável pelo projeto de elaboração do Apprenti Géomètre composto pelos seguintes integrantes: Michel Ballieu, Marie-France Guissard, Guy Noël, Nicolas Rouche et Marie-Françoise Van Troeye. Este Centro está localizado na 5 rue Émile Vandervelde, B-1400 Nivelles, Belgique.

grandezas; e as medidas de área são números reais positivos, elementos do domínio

numérico.

Esta abordagem de área como grandeza vem sendo utilizada por outras pesquisas inclusive

no Brasil como Bellemain e Lima (2002), Lima e Bellemain (2010) e Pessoa (2010), entre

outros.

Esse modelo pode ser representado pelo seguinte esquema:

Figura :Jogo dos Quadros

Fonte: Adaptado de Lima e Bellemain (2002, p.44)

A partir desse modelo, considerar área enquanto grandeza trata-se de distinguir área e figura

(pois figuras diferentes podem possuir a mesma área) e área e número (pois se medirmos a

área de uma figura com diferentes unidades, obteremos números diferentes para expressar a

medida de área que obviamente não se altera).

Na distinção entre figura e área os procedimentos de decomposição e recomposição tem um

lugar central, pois permite ao aluno elaborar os primeiros significados do termo área como

o “tanto” de superfície ocupado pelas figuras. Carvalho e Franchi (1992, p. 24).

Observamos nos estudos de Douady e Perrin-Glorian (1989) que “O conceito de área

enquanto grandeza permite aos alunos estabelecerem relações necessárias entre os domínios

geométricos e numéricos”.

A pesquisa desenvolvida pelo CREM (2005) relata que a maioria dos estudantes da

comunidade francófona na Bélgica chega à classe cinquième primaire 4 conhecendo as

fórmulas de área, para o quadrado e retângulo e às vezes para o triângulo, entretanto essas

fórmulas se encontram muito instáveis.

4 Crianças de 8 a 12 anos.

3. Objetivos

3.1 – Objetivo geral

Investigar a contribuição do software Apprenti Géomètre 2 na construção do conceito de

área como grandeza autônoma por alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental.

3.2 – Objetivos específicos

Identificar as características e funcionalidades do software que favorecem a construção da

ideia de área como uma grandeza.

Verificar os aportes e as limitações do software na resolução de problemas que envolvem

área como grandeza.

Investigar a influência do uso do Apprenti Géomètre 2 na perspectiva da distinção e

articulação entre os domínios geométrico, numérico e das grandezas por alunos do 6º ano o

ensino fundamental 4.Geometria Dinâmica

O uso dos softwares de Geometria Dinâmica está cada vez mais presente nas aulas de

matemática como relatamos anteriormente. Diversas pesquisas como Gobbi (2012), Refatti

e Bisognin (2013), entre outros autores mostram resultados positivos quando se trata do uso

desses softwares como ferramenta para a aprendizagem de conteúdos matemáticos. Aqui

apresentaremos o que caracteriza um software de Geometria Dinâmica e o que os diferencia

dos demais.

Os software de Geometria Dinâmica (GD) segundo Bellemain (2004) permitem a exploração

de figuras geométricas pelo deslocamento contínuo, com o mouse, de elementos

constitutivos dessa figura.

Para Bellemain (2001), a ideia de figura dinâmica permite considerar e conceber uma

representação de objetos matemáticos abstratos em várias configurações, podendo modificar

as posições relativas do objeto. O mesmo autor ainda afirma que o aspecto dinâmico aparece

na continuidade do deslocamento dos elementos de um desenho para mudar de configuração,

sendo esses elementos livres ou parcialmente livres. Nesse sentido, os objetos geométricos

são compostos por objetos primitivos que se relacionam por propriedades geométricas, e não

atrelados à posição que ocupam no plano ou no espaço. O dinamismo presente nesses

programas permite a construção de figuras geométricas em sua interface, de forma que

possam ser arrastadas em seus vértices e suas propriedades sejam preservadas.

A figura 2 mostra a construção de um quadrado, o qual é alterado por meio do arrastar de

um dos seus vértices. As propriedades inerentes a sua construção permanecem invariantes

(ângulos internos iguais a 90º e lados com mesmas medidas), porém aquelas das quais a

escolha da posição do vértice depende se altera.

Figura 2- Construção da representação de um quadrado no Apprenti Géomètre 2

Fonte: Elaborada pelo autor.

4.1 Indícios quanto à origem da Geometria dinâmica

Os primeiros indícios da denominada GD não são tão recentes quanto os software que a

implementam, de acordo com Bellemain:

Ao longo dos séculos, inúmeros matemáticos imaginam figuras dinâmicas para

resolver problemas geométricos. Em geral, o movimento da figura geométrica era

simulado a partir de representações estáticas [...] e servia, sobretudo, para explicar

um fenômeno geométrico. Em certos casos, chegaram a descrever e, por vezes,

construir sistemas mecânicos, envolvendo propriedades de Geometria, para

representar certas curvas e resolver problemas da Geometria. (BELLEMAIN,

2004, p. 2)

Apesar disso, a geometria dinâmica como conceito só foi explicitada com o desenvolvimento

de softwares como o Cabri-géomètre ou Geometer Sketchpad.

Com o passar dos anos, diversos outros softwares foram desenvolvidos com implementação

da GD, com o objetivo de ultrapassar as limitações das formas estáticas dos desenhos em

papel – lápis e facilitar a visualização e exploração de propriedades geométricas

(BELLEMAIN, 2000).

4.2. Apprenti Géomètre

Escolhemos utilizar nesta pesquisa o software de geometria Apprenti Géomètre, o qual

possibilita trazer diretamente para sua interface formas geométricas mais comuns como:

triângulos, quadriláteros, etc., como ponto de partida na exploração dos estudantes. Nos

demais softwares de GD, para usar esse tipo de ferramenta, o professor precisa dominar o

software na perspectiva de planejamento, usualmente presente como configuração do

ambiente, criação de macros e alteração do menu, mas o acesso, quando existe, não é direto.

A primeira versão do Apprenti Gèométre foi estabelecida por volta do ano de 2003 para

atender uma proposta do Ministro da Educação Básica da Comunidade Francesa da Bélgica

Sr. Jean-Marc Nollet, cujo objetivo era fornecer um software de matemática para crianças

de 8 a 12 anos que lhes permitisse realizar atividades de geometria difíceis de resolver em

um ambiente tradicional.

Esta tarefa foi uma política que visou à integração das Tecnologias de Informação e

Comunicação (TIC) nas atividades escolares da comunidade francófona na Bélgica e foi

confiado ao Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques a responsabilidade

de projetar o referido software e a uma empresa privada (Abaque, de Bruxelles), para o

desenvolvimento do mesmo que em menos de um ano concluiu o projeto.

Este software tem como característica principal a possibilidade de arrastar, girar, compor,

decompor, fundir, duplicar, diferentes figuras geométricas e permite trabalhar em

matemática elementar não só a geometria euclidiana, mas também variáveis, frações,

medições ou aritmética.

A primeira versão apresentava apenas duas formas de menus: um “kit padrão” mantendo

formas geométricas não deformáveis que podem ser movidas, decompostas, mescladas e um

“kit free” com ferramentas mais avançadas, incluindo a capacidade de criar diversas figuras

geométricas que podem ser modificas à vontade.

Figura 3- Janela de entrada da versão 1 do Apprenti Géomètre

Fonte: CREM (2003, p.17)

Figura 4- Interface da versão 1 do Apprenti Géomètre

Fonte: CREM (2003, p. 18)

A figura anterior mostra a interface da primeira versão do Apprenti Géomètre com formas

geométricas pré-definidas, nas figuras abaixo mostraremos os menus do "kit padrão" e do

"kit free":

Figura 5- Kit padrão Figura 6- Kit free

Fonte: CREM (2003) Fonte: CREM (2003)

A primeira versão apresentava essas duas opções, ao abrir a janela do software ou

escolhíamos um kit ou outro. A figura 5 mostra o menu do kit padrão com a família do

triângulo equilátero. Para utilizar as outras opções é necessário apenas um clique no nome

das figuras e em seguida na interface do software que já aparecem pré-definidas. Na figura

6 observamos o kit free, com algumas figuras geométricas, ao clicar nessas figuras e depois

clicar no espaço destinado à construção, o aluno obterá as figuras. Por exemplo, para obter

a construção de um triângulo qualquer, ele precisa saber que para formar um triângulo é

preciso três pontos não colineares, assim ele precisaria clicar três vezes e ir arrastando o

mouse até obter a representação de um triângulo.

As opções de salvar, colorir, decompor, refletir, dividir, fundir, entre outras opções de menu,

já existiam nessa primeira versão, que não se encontra mais disponível no site do CREM.

Todas as informações com relação a essa versão estão presentes em uma das publicações do

CREM (2003) que tem como título: Apprenti Géomètre-Grandeurs, Fractions et Mesures.

Para a realização da pesquisa optamos por utilizar o Apprenti Géomètre 2, um modelo

aperfeiçoado da primeira versão, que incorpora ferramentas mais avançadas e aumenta a

possibilidade de utilização das transformações geométricas do plano (Translação, rotações,

reflexões (ou simetria) axial e homotetias.

Encontra-se acessível em <http://www.crem.be > é gratuito e está disponível para download

para computadores com o sistema operacional Windows, Mac OSX, Mac 0S9 e Linux.

No site encontramos atividades pré-definidas5 com o uso do Apprenti Géomètre e utilizadas

nas pesquisas desenvolvidas pelo CREM, um manual de utilização e quatro publicações

referentes ao uso do software para o ensino e aprendizagem da matemática. Esta segunda

versão do AG2 apresenta em sua janela de entrada, cinco opções de menu: A, B, C, AB e

AC, duas opções de idiomas Francês ou Inglês6, o usuário também terá que se identificar

como professor na opção “Enseignant” ou como aluno “Élève”, sendo que nesta última além

do aluno escolher a opção que lhe cabe terá que escrever seu nome, porque quando salvar a

atividade realizada o professor terá como identifica-lo.

Esse menu inicial, de fato, incorpora a etapa inicial, essencial à prática docente – o

planejamento. Como opção de Professor, ele traça atividades iniciais, define menus para

deixar acessível e decide as ferramentas que estarão disponíveis àquela atividade do aluno.

Outra questão importante que vale a pena ressaltar é que o AG 2, disponibiliza ao professor

um histórico das ações dos estudantes ao resolver a atividade. Em uma pasta criada nos

programas de arquivo do computador ficam armazenados os históricos do aluno. Ao abrir o

arquivo com a resposta do aluno o professor tem a opção “Lire un historique”, na qual

conseguirá verificar os movimentos utilizados pelo aluno durante a resolução das atividades

propostas. Ao abrir o software a janela de entrada apresenta essas cinco opções:

5 Atividades desenvolvidas pelo CREM com o objetivo de fazer um estudo com alunos da Comunidade

Francesa na Bélgica por meio do Apprenti Géomètre. 6 O Apprenti Géomètre está em processo de tradução de seus menus para língua Portuguesa para facilitar o uso

pelos alunos brasileiros, sujeitos da pesquisa.

Figura 7- Opção de Menu do Apprenti Géomètre 2 (Tela inicial)

Fonte: Elaborada pelo autor.

Ao clicarmos em cada uma dessas opções nos apresentará interfaces diferentes de acordo

com o que traz cada menu, apenas as interfaces dos menus AB e AC são iguais por

apresentarem as junções dos referidos menus.

O menu A é especialmente projetado para estudantes com idade entre 8 a 12 anos. Neste

menu, o aluno tem acesso a famílias de formas geométricas pré-programadas, os alunos

precisam apenas clicar em uma das formas apresentadas escolher uma figura e em seguida

clicar na interface do software, assim ele aprende a montar usando o movimento (de rotação,

translação e reflexão...).

No menu B está incluso a opção de criar figuras geométricas planas que podem ser

modificadas por meio de seus vértices. Estas figuras são agrupadas em famílias (a família de

triângulos, quadriláteros, etc.).

O menu C oferece objetos como linhas, semi-retas, setores. Ele também oferece

transformações adicionais (dilatações e semelhanças). Os menus AB e AC são junções dos

menus anteriores.

Por uma questão de espaço e para atender ao objetivo deste artigo, apresentaremos a interface

do Apprenti Géomètre 2, após clicarmos na opção “Enseignant” e em seguida no menu AC

que apresenta a junção do Menu A + C, essa opção será relevante pois disponibiliza todas as

ferramentas que serão necessárias para a resolução das atividades que serão propostas.

Figura 8- Apresentação da interface do Apprenti Géomètre 2

Fonte: Elaborada pelo autor.

Uma das principais diferenças do Apprenti Géomètre 2 em relação aos demais softwares de

Geometria Dinâmica é a praticidade de se trabalhar com a decomposição de figuras planas.

Para decompor uma figura basta clicar no menu opération (operação), em seguida découper

(decompor), após esses cliques deve –se selecionar a figura anteriormente escolhida nas

opções “Formes libres” (Formas livres) ou Formes Standar (Formas prédefinidas) e a partir

de seus pontos ir arrastando com o mouse até outro ponto, assim poderá decompor a figura.

A possibilidade de explorar de uma maneira original a composição e decomposição de

figuras foi o que motivou nossa escolha por este software, uma vez que na construção da

noção de área como uma grandeza esse aspecto da invariância da área por decomposição e

recomposição é central.

9 - Processo par a d ecomposição de um retângulo no AG 2.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Metodologia

O nosso trabalho de pesquisa está em processo de definição quanto à metodologia a ser

utilizada. Vamos apenas fazer uma síntese das ideias que foram surgindo para o

desenvolvimento da pesquisa.

Pretendemos desenvolver este trabalho em um laboratório de informática de uma escola de

rede pública municipal, com alunos do 6º ano. Optamos por este ano porque, de acordo com

o Currículo de Matemática para o Ensino Fundamental Anos Finais, uma das Expectativas

de Aprendizagem, dos Parâmetros Curriculares do Estado de Pernambuco (PCPE), referente

ao eixo Grandezas e Medidas é que o aluno deve resolver e elaborar problemas envolvendo

as ideias de perímetro e área sem o emprego de fórmulas (PERNAMBUCO, 2012).

Quanto à organização do ambiente pretendemos agrupar os alunos em duplas, para

resolverem juntos um conjunto de atividades de comparação de área de figuras planas e

produção de figuras com características dadas quanto a sua área. Essas atividades deverão

ser resolvidas por meio do Apprenti Géomètre 2 e as respostas devem ser registradas e

justificadas nas fichas dos enunciados das atividades.

Para saber quais procedimentos os alunos utilizaram para resolver as questões propostas na

sequência, será filmada a interface do computador, para isto utilizaremos o a tube catcher

que permite fazer a gravação da interface com o áudio de forma simultânea.

Para fundamentar a escolha desse software também foram analisados outros softwares que

apresentavam as mesmas característica como oCam e o Easy Screen Recorder e percebemos

que em certos momentos esses software travam a interface do computador, dificultando o

acesso ao software Apprenti Géomètre 2, podendo ocasionar uma dificuldade para o

pesquisador em captar os dados de forma mais precisa e impedindo que os alunos continuem

a resolver a atividade proposta.

A atividade será conduzida pelo pesquisador, porém pretendemos pedir a contribuição de

integrantes do LEMATEC (Laboratório de Ensino da Matemática e Tecnologia) para auxiliar

durante a aplicação da sequência, ajudando os alunos a gravarem as respostas da atividade

nos software de captação da imagem e do som, assim como em salvar as atividades nas pastas

dos alunos após a resolução de cada atividade, assim o pesquisador terá mais tempo para

observar as duplas.

Anteriormente à aplicação das atividades, os softwares que serão utilizados na pesquisa já

estarão devidamente instalados e testados nos computadores do laboratório.

Algumas atividades foram pré-selecionadas e passarão por uma análise teórica para definir

o design da sequência de atividades que propicie a construção da concepção de área como

grandeza autônoma.

Referências

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