DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · Apresentação O Programa de Desenvolvimento Educacional –...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

0

GEOMETRIA PLANA E GEOGEBRA: POSSIBILIDADES PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM

PARANAVAÍ 2010

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

FACULDADE DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E LETRAS DE PARANAVAI

1

ELOISA BERTI

CADERNO PEDAGÓGICO

GEOMETRIA PLANA E GEOGEBRA:

POSSIBILIDADES PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM

Material Didático apresentado pela professora Eloisa Berti ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, vinculado à Universidade Estadual de Maringá e Faculdade de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí, sob a orientação da Profª. Mestre Tania Marli Rocha Garcia.

PARANAVAÍ

2010

2

Identificação

Professora PDE: Eloisa Berti

Área PDE: Matemática

NRE: Paranavaí

Professora Orientadora IES: Tania Marli Rocha Garcia

IES vinculadas: Universidade Estadual de Maringá

Faculdade de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí

Tema: Tecnologias Educacionais no Ensino de Geometria Plana.

Título: Geometria Plana e GeoGebra: possibilidades para o ensino e

aprendizagem.

3

Apresentação

O Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE é uma proposta de

Formação Continuada em Rede, ofertada aos professores da rede pública estadual,

pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná – SEED – em parceria com a

Secretaria de Estado da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior – SETI.

A elaboração do material didático é uma das atribuições do professor PDE.

Sob orientação do professor da Universidade, este material constitui-se como um

dos recursos pedagógicos para a intervenção na escola.

O presente material didático – Caderno Pedagógico – é composto por uma

apresentação do software GeoGebra versão 3.2.0.0. com orientações básicas sobre

sua interface e barra de ferramentas e por uma proposta de atividades que utilizam o

software, envolvendo o conteúdo de Geometria Plana. Está dividido em quatro

unidades:

Unidade I: Apresentando o software Geogebra.

Unidade II: Noções Básicas: familiarização com o software GeoGebra.

Unidade III: Soma das medidas dos Ângulos Internos de um Polígono

Convexo.

Unidade IV: Teorema de Tales.

Na proposta de atividades, após a familiarização dos usuários com as

principais funções do GeoGebra, será feita a retomada de conceitos da Geometria

Plana utilizando o software para a construção e manipulação de figuras e para a

formulação de conjecturas, conclusões e justificativas, com o propósito de

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aprofundar esses conceitos, explorar propriedades e propor a formalização das

definições que serão trabalhadas e demonstradas.

A escola das atividades adaptadas para o software GeoGebra foi baseada nas

propostas de Nóbriga (2003) e Gerônimo, et al (2005).

O uso do software GeoGebra, proporciona várias oportunidades para que os

conceitos e propriedades da Geometria Euclidiana Plana sejam revistos e

ampliados. Este ambiente de Geometria Dinâmica permite explorações e

descobertas, visualização e representação de objetos geométricos, interação com o

trabalho realizado, provas e demonstrações nem sempre possíveis com

instrumentos como lápis e papel.

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Sumário

INTRODUÇÃO............................................................................................................ 7 Unidade I - APRESENTANDO O SOFTWARE GEOGEBRA................................... 10 1 O QUE É O SOFTWARE GEOGEBRA?................................................................ 10 2 A INTERFACE DO GEOGEBRA............................................................................ 11 2.1 Janela de Gráfico............................................................................................ 11 2.2 Janela de Álgebra........................................................................................... 11 2.3 Caixa de Entrada............................................................................................ 12 2.4 Barra de Ferramentas.................................................................................... 12

3 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES......................................................................... 17 Unidade II - NOÇÕES BÁSICAS: FAMILIARIZAÇÃO COM O SOFTWARE GEOGEBRA.............................................................................................................. 21 1 CONTEÚDOS......................................................................................................... 21 2 OBJETIVOS........................................................................................................... 21 3 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA AS ATIVIDADES.......................................... 22 4 ATIVIDADES.......................................................................................................... 25 Unidade III - SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO.......................................................................................................... 33 1 CONTEÚDOS..........................................................................................................33

6

2 OBJETIVOS........................................................................................................... 33 3 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA AS ATIVIDADES.......................................... 33 4. ATIVIDADES......................................................................................................... 37 Unidade IV - TEOREMA DE TALES..........................................................................44 1 CONTEÚDOS......................................................................................................... 44 2 OBJETIVOS........................................................................................................... 44 3 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA AS ATIVIDADES.......................................... 45 4. ATIVIDADES......................................................................................................... 46 Referências.............................................................................................................. 51

7

Introdução

Estamos vivendo um período marcado por mudanças, por transformações

sociais e econômicas, pela facilidade de comunicação entre as pessoas, pelo fluxo

de informação e conhecimento que podem chegar a um contingente maior de

pessoas de forma mais rápida do que há algum tempo.

De acordo com Kenski (2007, p.22) “o surgimento de um novo tipo de

sociedade tecnológica é determinado principalmente pelos avanços das tecnologias

digitais de comunicação e informação e pela microeletrônica.” Essas tecnologias

quando divulgadas socialmente alteram as relações entre os seres humanos,

provocando mudanças em nossas vidas, na maneira como trabalhamos, vivemos

cotidianamente, aprendemos e nos comunicamos com o mundo.

As tecnologias de informação e comunicação trouxeram possibilidades de

mudanças significativas para a educação. O uso de vídeos, televisão,

computadores, sites educacionais e softwares, podem transformar a sala de aula

tradicional, dinamizando o espaço de ensino e aprendizagem. Mas para que essas

alterações realmente aconteçam, as tecnologias precisam ser compreendidas e

incorporadas pedagogicamente, respeitando-se as especificidades do ensino e as

características de cada tecnologia. Neste sentido, Borba e Penteado (2007, p.88)

destacam a importância da “escolha de propostas pedagógicas que enfatizem a

experimentação, visualização, simulação, comunicação eletrônica e problemas

abertos”.

Sendo assim, as tecnologias de informática, mais especificamente o

computador, surgem como uma estratégia pedagógica, na medida em que oferece

8

aos alunos facilidades nas atividades cotidianas, na interpretação e

questionamentos das informações oferecidas, na resolução de problemas e na

construção de conhecimentos necessários para acompanhar as mudanças impostas

pela sociedade atual.

A presença do computador em sala de aula tem uma importância significativa

no desenvolvimento cognitivo do aluno, desde que faça parte de um processo

educacional harmonioso, com propostas pedagógicas claras e definidas, que

auxiliem na construção do conhecimento e que seja uma máquina a ser ensinada.

Papert (1986), apud Valente (1995) usou o termo construcionismo para definir

o processo de construção do conhecimento através do computador, que acontece a

partir do interesse do aluno, na interação com os objetos do ambiente informatizado.

Na abordagem construcionista a ênfase está na aprendizagem e não no ensino, na

construção do conhecimento e não na instrução. Nela, a memorização de

informações é substituída pela busca e seleção da informação, pela representação

de ideais, pela resolução de problemas e pela possibilidade de criação, investigação

e discussão de fatos.

O professor desempenha um papel fundamental nesse momento, pois é ele

quem planeja e coordena o trabalho a ser desenvolvido. Valente (1995) afirma que a

interação aluno-computador precisa ser mediada por um profissional que

compreenda os potenciais do computador, que tenha conhecimentos do significado

do processo de aprendizagem, que interprete as ideias dos alunos e interfira nas

situações, contribuindo para a construção do conhecimento por parte do aluno.

Ainda para Valente, no uso inteligente do computador, o professor precisa ter muito

claro o que é importante do ponto de vista pedagógico e como aproveitar as

vantagens que as tecnologias oferecem para atingir os objetivos que pretende

alcançar.

Dessa forma, acredita-se que o computador quando utilizado como

ferramenta pedagógica nas aulas de Matemática, pode estimular a construção do

conhecimento de maneira prazerosa e eficaz e promover mudanças na forma como

os alunos vêem essa disciplina.

Nos currículos escolares a Geometria Euclidiana está presente desde o

Ensino Fundamental. Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná -

Matemática (DCE, 2008) a recomendação é que seja desenvolvida por meio de um

trabalho que proporcione uma visão da Geometria Plana com construções

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geométricas de forma que estas construções possam ser utilizadas como

ferramentas para auxiliar o aprendizado, contribuindo para “ampliar o conhecimento

e o pensamento geométrico do aluno”.

Nos laboratórios de Informática das Escolas Públicas do Paraná encontra-se

instalado o software GeoGebra, que pode ser classificado como um software de

Matemática Dinâmica, uma vez que apresenta, além das ferramentas tradicionais de

representação geométrica ( pontos, segmentos, retas e seções cônicas), recursos

para a representação algébrica (coordenadas de pontos, equações de retas e

circunferências e outros).

O GeoGebra permite, em relação à Geometria, construções clássicas como

pontos, reta perpendicular, ponto médio, mediatriz, bissetriz, entre outros. Após a

construção de uma figura, ele possibilita alterações e movimentos de forma

dinâmica, mantendo suas propriedades. Na álgebra, é possível inserir equações e

coordenadas diretamente, oferecendo habilidades para trabalhar com variáveis

vinculadas a números, vetores e pontos; derivar e integrar funções e ainda oferecer

comandos para encontrar razões e pontos extremos de uma função.

O uso do software tem a possibilidade de melhorar a compreensão e o

aprofundamento dos conceitos por parte dos alunos. Trata-se de um recurso que

desperta o interesse pela busca do conhecimento, oferecendo oportunidades de

dinamizar e consolidar as situações de ensino e aprendizagem em Matemática.

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Unidade I

APRESENTANDO O SOFTWARE GEOGEBRA

1 O QUE É O SOFTWARE GEOGEBRA? O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que reúne GEOmetria,

álGEBRA e Cálculo, podendo ser utilizado para atividades da Educação Básica ao

Ensino Superior.

Este software foi desenvolvido pelo professor Dr. Markus Hohenwanter da

Universidade de Salzburgo, na Austrália, em 2001, com o propósito de obter um

recurso adequado ao ensino da Matemática. É um software livre, isto é, pode ser

instalado por qualquer pessoa, em qualquer computador, sem a exigência de

pagamento ou licença para instalação. Escrito em linguagem Java, em código

aberto, funciona em qualquer sistema operacional (Microsoft Windows, Linux,

Macintosh, etc.).

No endereço eletrônico http://www.geogebra.org/cms/, poderão ser obtidas

maiores informações, inclusive para downloand. Esta apresentação está sendo

realizada na versão 3.2.0.0 do programa.

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2 A INTERFACE DO GEOGEBRA

A figura abaixo representa a tela inicial do Geogebra:

2.1 Janela de Gráfico

Esta janela mostra a representação gráfica de pontos, retas, segmentos,

curvas, cônicas, polígonos, arcos, vetores, etc. O trabalho é desenvolvido com uso

do mouse, explorando o aspecto geométrico do programa. A janela também é

chamada de área de trabalho.

Clicando com o botão direito do mouse em qualquer parte da janela gráfica,

uma caixa é aberta com opções para mudança de cores, para aumentar a espessura

das linhas, modificar detalhes tanto do Eixo quanto da Malha.

2.2 Janela de Álgebra

Nesta janela aparecem indicações das construções matemáticas realizadas

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na janela geométrica, através de coordenadas de pontos, equações de retas, de

circunferências, comprimentos, áreas, etc.

Os objetos matemáticos podem ser observados de duas maneiras: objetos

livres (objeto criado sem vínculo com qualquer objeto já disponível) e objeto

independente (novo objeto criado com recursos do objeto já existente).

2.3 Caixa de Entrada

Espaço destinado à entrada de comandos, das condições que definem os

objetos. Usando comandos podem-se criar novos objetos ou modificar objetos já

existentes.

Ao iniciar a digitação das primeiras letras de um comando este se completa,

sendo necessário somente acionar a tecla Enter. Pode-se também encontrar os

comandos necessários na caixa destinados a esta função no canto inferior à direita.

2.4 Barra de Ferramentas

Abaixo do menu principal está localizada a Barra de Ferramentas:

Os ícones desta barra quando selecionados, em seu canto inferior direito (na

seta), dão acesso à visualização de todas as opções dessa categoria de

ferramentas.

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Ao selecionar uma ferramenta, aparece escrito no lado direito da tela qual é a

ferramenta e como proceder para utilizá-la.

Quando clicamos no 1º ícone aparecem as opções: No 2º ícone, temos as opções:

14

No 3º ícone:

As opções seguintes são encontradas no 4º ícone:

Clicando no 5º ícone aparecem:

15

As opções abaixo surgem no 6º ícone:

Clicando no 7º ícone, teremos:

16

No 8º ícone aparecem as opções:

No 9º ícone temos:

O penúltimo ícone apresenta as opções:

17

Encontramos no último ícone as opções:

3 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

� Para ativar / desativar a Janela de Álgebra, a Janela de Gráfico e a Caixa de

Entrada, utilizar na barra de menus a opção Exibir.

� Para fechar somente a Janela de Álgebra, clicar com o botão esquerdo do

mouse no x que aparece na parte superior, lado esquerdo. Para exibi-la novamente,

ir à barra de menus, opção Exibir, Janela de Álgebra.

� No menu Exibir, ativando a opção eixo, aparecem os eixos cartesianos na

Janela Geométrica. O mesmo se dá para opção Malha. Para desativar, basta

desmarcar essas opções. Essas alterações podem também ser feitas, clicando com

o botão direito do mouse sobre a Janela Geométrica. Abre-se uma caixa com

algumas opções.

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� Para desfazer / refazer alguma construção podem ser usados dois botões no

canto direito superior (flechas verde e amarela). Podemos usar também o teclado:

Crtl+Z= desfazer e Crtl+Y= refazer.

� No programa os números decimais recebem ponto no lugar da vírgula, caso

contrário, o comando não é aceito.

� Para copiar um exercício do GeoGebra para um outro documento, abrir na

barra de menus, arquivo, exportar, copiar para área de transferência (Crtl+Shift+C).

Para copiar apenas uma construção na janela de gráficos, selecionar a figura e

seguir o procedimento anterior. O arquivo salvo no Geogebra possui formato

nome.ggb.

� O Protocolo de construção é uma tabela utilizada para mostrar as etapas da

construção realizadas nas atividades. Para ativá-lo, clicar na barra de menus, opção

exibir “Protocolo de construção”. Na janela que se abre é permitido desfazer ou

Desfazer

Refazer

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refazer uma construção utilizando a barra de navegação na base da zona gráfica. É

possível também inserir novos passos e mudar a sua sequência.

� Comando ZOOM: para aproximar ou não a imagem, clicar com botão direito

do mouse e selecionar o tamanho desejado. No último ícone na barra de

ferramentas, no botão Ampliar ou Reduzir também obtém-se o Zoom desejado.

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As cores dos objetos no programa apresentam significados:

� Azul escuro: são os objetos livres. Podem ser movidos para qualquer lugar na

tela;

� Azul claro: os objetos estão vinculados a um outro objeto. Não tem a mesma

mobilidade no plano. Movem-se apenas sobre os objetos as quais estão vinculados;

� Preto: são os objetos dependentes. Alguns podem ser movidos, outros não.

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Unidade II

NOÇÕES BÁSICAS

FAMILIARIZAÇÃO COM O SOFTWARE GEOGEBRA

1 CONTEÚDOS

� Noções Primitivas: Ponto, reta, Plano.

� Ângulos.

� Bissetriz de um ângulo.

� Quadrilátero: Paralelogramo

2 OBJETIVOS

� Familiarizar os alunos com as principais funções do Geogebra, verificando

propriedades geométricas.

� Explorar os recursos disponíveis no software Geogebra.

� Retomar os conceitos matemáticos denominados conceitos primitivos;

� Identificar e formalizar o conceito de bissetriz de um ângulo a partir de sua

construção no GeoGebra.

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� Construir o paralelogramo, explorando suas propriedades com o auxílio do

software GeoGebera.

3 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA AS ATIVIDADES

As noções primitivas de ponto, reta e plano, são adotadas sem definição.

Delas temos um conhecimento intuitivo, decorrente da experiência e observação. A

marca de um toque de tinta numa folha de papel; o traçado de uma linha; uma folha

de papel extremamente fina são representações de ponto, reta e plano, pois a marca

no papel tem dimensão; a linha traçada sempre tem largura e espessura; um plano

possui duas dimensões e uma folha de papel possui uma espessura por mais fina

que seja.

As três primeiras atividades irão reforçar a intuição do aluno a respeito

dessas noções, pois de acordo com Gerônimo, Barros, Franco:

Axioma Existencial: a. Existe ponto. b. b- Existe reta e qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem à reta e pontos que não pertencem à reta. c. c- Existe plano e qualquer que seja o plano existem pontos que pertencem ao plano e pontos que não pertencem ao plano. (GERÔNIMO,BARROS, FRANCO, 2007, p.28).

Nestas atividades também se fará uma revisão da noção de ângulo,

conhecida desde os Babilônios e Assírios, que a utilizavam na medida de área e na

astronomia.

Um ângulo é a união de duas semirretas que têm a mesma origem, mas não estão contidas numa mesma reta. Se um ângulo é formado pelas semirretas AB e AC então essas semirretas são chamadas lados do ângulo, e o ponto A é chamado vértice do ângulo. Tal ângulo é denominado ângulo BAC ou ângulo CAB e representado por BAC ou CAB, respectivamente. (REZENDE & QUEIROZ, 2008, p.21).

A

B

C

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Nas atividades 4 e 5 os alunos irão construir ângulos calculando a sua medida e formalizar o conceito de bissetriz.

Dado um ângulo AÔB, a semirreta SOC tal que m(AÔC)= m(CÔB) é denominada bissetriz de um ângulo AÔB. (GERÔNIMO & FRANCO, 2005, p.44).

Na atividade 6 – Agora é a sua vez! – os alunos serão desafiados a

construir um ângulo de 60°, determinando sua bissetriz. Os passos utilizados para

essa construção deverão ser registrados em uma folha a parte que será entregue

para o professor ao término da mesma.

Na realização das atividades 7 e 8, os alunos irão construir o paralelogramo

e explorar suas propriedades. O professor poderá discutir com os alunos as

observações que fizeram e verificar a percepção dos mesmos em relação a estas

propriedades.

Para isso, algumas definições e teoremas são importantes para orientação

desse trabalho.

Definição: Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Lados opostos de um quadrilátero são dois de seus lados que não se

interseccionam.

Dois lados são consecutivos se têm um vértice comum.

Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos.

O

B

C

A

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Se considerarmos um quadrilátero convexo, dois ângulos são opostos se não têm

um lado comum; caso contrário são chamados ângulos consecutivos.

Definição: Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são

paralelos.

Teorema: Em um paralelogramo valem as seguintes propriedades:

a- Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes. Isto é,

se ABCD é um paralelogramo, então ∆ ABC ≅ ∆ CDA e ∆ ABD ≅ ∆ CDB.

b- Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.

c- Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.

d- Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.

Teorema:

a- Dado um quadrilátero em que ambos os pares de lados opostos são congruentes,

então o quadrilátero é um paralelogramo.

b- se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o

quadrilátero é um paralelogramo.

c- Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam, então o quadrilátero é um

paralelogramo. (REZENDE & QUEIROZ, 2008, p.59-61).

No desenvolvimento das atividades o professor poderá interferir nas situações

que se fizerem necessárias, orientando e atendendo solicitações, mediando o

processo de construção do conhecimento por parte do aluno.

Após a realização de todas as atividades do capítulo, deverá ocorrer a

organização e sistematização das ideais e conceitos, a formalização dos conteúdos

trabalhados.

A B

D C

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4 ATIVIDADES

Atividade 1:

1- No alto da tela no menu principal, em Exibir, ative a opção Eixo e Malha.

2- Para criar um ponto, selecione a opção Novo Ponto na barra de

ferramentas e dê um clique na área de trabalho. Marque no plano

cartesiano os pontos: A (1,2); B(7,4); C(-3,4); D(-2,-2); E(5,-2); F(10,1); G(-4,1).

3- Observe que as coordenadas ficam registradas na Janela Algébrica.

4- Apague os pontos F(10,1) e G(-4,1). Clique sobre eles com o botão direito do

mouse e, a seguir, clique em apagar. Você pode usar a ferramenta Apagar

na barra de ferramentas.

5- Mude a cor dos pontos. Para isso, clique sobre eles com o botão direito do

mouse, selecione a opção Propriedades e depois a opção cor. Clique nos pontos

que aparecem na janela algébrica, um a um, e na cor desejada. Clique em fechar

para a operação ser concluída.

6-Para movimentar ou arrastar um ponto, acione a ferramenta Mover e em

seguida clique no ponto. Mude os pontos de quadrantes (diversos lugares na área

de trabalho). Observe a janela algébrica.

7- Para salvar a atividade realizada, abra no arquivo a opção Gravar Como. Salve-a

com o nome ativ1.

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Atividade 2:

1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo Novo.

2- No menu Exibir, desativar a opção Eixo e Malha. Você poderá ativá-las

novamente clicando nestas opções.

3- Desenhe uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos

Depois de selecionar a ferramenta, clique em dois lugares diferentes no plano.

4- Renomeie a reta desenhada. Para isso, clique sobre ela com o botão direito do

mouse. Selecione a opção Renomear. Digite a letra r e clique em OK.

5- Construa outra reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos

que intercepte a reta r.

6- Renomeie os pontos C e D para M e N e a reta para s. Selecione a opção

Renomear (botão direito do mouse) e digite a letra desejada.

Se a letra não aparecer no ponto ou na reta, clicar sobre eles, com botão direito do

mouse e selecionar a opção Exibir Rótulo.

7- Mude a cor da reta s para vermelho. Selecione a opção Propriedades, em

seguida, cor, depois de clicar sobre ela com botão direito do mouse.

8- Selecione a opção Intersecção de dois objetos e clique na intersecção das

retas acima. Renomeie o ponto para P.

9- Com a opção Mover selecionada, arraste as retas r/s e os

pontos A, B, M, N. O ponto P deixa de pertencer às duas retas?

10- Movimente o ponto P (ponto de intersecção). Isso é possível?

27

11- Salve a atividade com o nome ativ2.

Atividade 3:

1- Abra um arquivo Novo e desative a opção Eixo e Malha.

2-Selecione a ferramenta Polígono Construa os polígonos: ABC e DEFG.

Marque seus vértices na Janela Gráfica fazendo com que o último ponto coincida

com o primeiro ponto criado de modo a fechá-lo.

3- Observe a janela de álgebra. Polígono 1 e Polígono 2 trazem a medida da área e

os objetos a, b, c, d, e, f, g são as medidas dos lados destes polígonos.

4- Clique dentro do polígono 1 com botão direito do mouse. Selecione Propriedades-

Cor (vermelha), fechar.

5- A intensidade da cor do preenchimento pode ser alterada clicando em

Propriedades, opção Estilo, movimentando a seta de preenchimento com o mouse.

6- Para mover ou arrastar o polígono 2, selecione a ferramenta Mover Clique

no polígono e arraste. Mova também os pontos D, E, F, G. Clique

sobre um dos lados. É possível movê-lo?


Atividade 4:

1-Abra um arquivo novo.

2- Desative a Janela de Álgebra, Eixo e Malha no menu Exibir.A Janela de Álgebra

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pode ser fechada também, clicando no x que aparece em seu canto superior direito.

3- Com a ferramenta Semirreta definida por dois pontos selecionada,

construa duas semirretas de mesma origem. Clique duas vezes para criar a primeira

semirreta. Crie a outra semirreta clicando sobre a mesma origem.

4- Renomeie a origem das semirretas como O. Caso necessite, renomeie os outros

dois pontos. Se preferir, com botão direito do mouse, ativar a opção Exibir Rótulo.

5- Para determinar o ângulo formado pelas duas semirretas, ative a ferramenta

Ângulo Clique sobre os pontos no sentido anti-horário. O vértice do ângulo

deverá ser o segundo ponto clicado.

6- Para marcar o ângulo externo, clicar nos pontos no sentido horário.

7- O que você poderia dizer a respeito desses dois ângulos?

8- Movimente as duas semirretas usando a ferramenta Mover e verifique

a variação angular.


Atividade 5:

1- Abra um arquivo novo.

2- Nesta atividade, a Janela de Álgebra será utilizada. Desative a opção Eixo.

3-Com a ferramenta Semirreta definida por dois pontos construa

duas semirretas de mesma origem. Selecione a ferramenta, clique em dois pontos

diferentes na área de trabalho. Através do mesmo procedimento, construa a outra

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semirreta.

4- Renomeie a origem das semirretas como O. Caso necessite, renomeie os outros

dois pontos. Se preferir, com botão direito do mouse, ative a opção Exibir Rótulo.

5- Para determinar o ângulo interno formado pelas duas semirretas, ative a

ferramenta Ângulo Clique sobre os pontos no sentido anti-horário CÔB. O

vértice do ângulo deverá ser o segundo ponto clicado.

6- Para esconder a medida do ângulo na Janela de Gráfico, clique com o botão

direito do mouse sobre a medida e desabilite a opção Exibir Rótulo.

7- Selecione a opção Bissetriz na barra de Ferramentas e clique sobre os

três pontos que determinam o ângulo em qualquer sentido.

8- Crie sobre a bissetriz um ponto, ativando a opção Novo Ponto Renomeie

para M.

9- Com a opção Ângulo ativada, clique nos ângulos CÔM e MÔB. Caso os

rótulos não fiquem visíveis, selecione a ferramenta Mover e ajuste-os em uma

posição melhor.

10- Observe na Janela de Álgebra os ângulos α, β, γ. O que se pode afirmar sobre

os ângulos β e γ?

11- Selecione a opção Mover e movimente uma das semirretas. O que

você pode afirmar desses ângulos quando comparados?

12- Registre com suas palavras o que vem a ser a bissetriz de um ângulo.


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Atividade 6:

Agora é sua vez!

Proponha a construção de um ângulo de 60º determinando sua bissetriz.

Utilize as ferramentas que forem necessárias.

Registre com suas palavras os passos para essa construção!

No final, salve como ativ6.

Atividade 7:

1- Abra um arquivo novo sem Eixo, Malha e Janela de Álgebra.

2- Trace uma reta AB, selecionando a opção Reta definida por dois pontos

Em seguida, clique em dois pontos diferentes na área de trabalho.

3- Renomeie a reta traçada de a.

4- Caso os pontos não apresentem as letras A e B, clicar com botão direito do

mouse sobre eles, opção Exibir Rótulo.

5- Para traçar uma reta b, paralela à reta a, ative a opção Reta Paralela

Clique sobre a reta a e em um ponto na área de trabalho (a ordem em que isso

acontecer não fará diferença).

6- Com botão direito do mouse, clique sobre a reta, na opção Exibir Rótulo para

nomeá-la de reta b.

7- Apague o ponto da reta b, clicando sobre ele com botão direito do mouse, na

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opção Exibir Objeto.

8- Trace uma reta c, transversal às retas a e b, passando pelo ponto A. Selecione a

opção Reta definida por dois pontos Clique no ponto A e na

intersecção com a reta b. Renomeie este ponto para C, assim como, a reta

para c.

9- Selecione a opção Reta Paralela Clique na transversal c e

no ponto B para traçar uma reta paralela à reta c.

10- Selecione a opção Interseção de dois objetos e clique na intersecção de

“b” com “d”. Em Exibir Rótulo (botão direito do mouse), definindo como ponto D.

11- Para traçar o polígono, selecione a opção Segmento definido por dois pontos

Crie os segmentos AB , BC , CD , AD , clicando sobre A e B (a ordem em

que isso acontece não fará diferença). Faça a mesma coisa com os outros

segmentos: BC , CD , AD .

12- Clique com o botão direito do mouse, opção Exibir Objeto, sobre as retas a,b,c,d,

para esconder os objetos deixando definido o polígono e os pontos A,B,C,D.

13- Movimente a figura clicando sobre cada um dos pontos. Em todos eles é

possível movimentar a figura? Ao ser movimentada, a figura deixa de ser um

paralelogramo? Registre suas observações.

14- Para medir os segmentos AB, BC, CD e AD, selecione a opção Distância,

Comprimento ou Perímetro Para fazer isso, clique sobre cada segmento

ou sobre os dois pontos que são extremos do segmento.

15-Para deixar as medidas com uma boa visualização, mova-as depois de

selecionar a opção Mover.

16- Compare as medidas dos lados opostos. O que você observa?

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17- Marque os ângulos internos do quadrilátero ABCD, selecionando a opção Ângulo

e clicando sobre os pontos no sentido horário.

18- O que você observa em relação aos ângulos do paralelogramo? Mova os

vértices e observe o que acontece com os ângulos opostos.

19- Some os ângulos A+B, C+D, A+C e B+D. Esses ângulos são suplementares?

Registre com suas palavras suas observações.

20- Salve este atividade com o nome ativ7.

Atividade 8:

Agora é a sua vez!

Elabore uma atividade de construção do paralelogramo. Neste paralelogramo,

você deverá traçar as suas diagonais, nomeá-las e comparar suas medidas.

Salve a atividade com o nome ativ8.

33

Unidade III

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO

1 CONTEÚDOS

� Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.

. Soma dos ângulos internos de um triângulo.

. Soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

. Soma dos ângulos internos de um pentágono.

. Soma dos ângulos internos dos polígonos regulares.

2 OBJETIVOS

� Resolver atividades que envolvam a soma das medidas dos ângulos internos

de polígonos, explorando algumas propriedades dos mesmos.

� Deduzir a fórmula que determina a soma dos ângulos internos de um

polígono convexo.

3 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA AS ATIVIDADES Para este capítulo foram desenvolvidas cinco atividades (9-13), onde os

alunos irão construir polígonos e explorar suas propriedades, identificar nos vários

34

polígonos convexos seus ângulos internos, vértices e diagonais. Calcular a soma

das medidas dos ângulos internos de alguns polígonos convexos, subdividindo-os

em triângulos.

Propomos condições para se chegar a fórmula da soma das medidas dos

ângulos internos dos polígonos estimulando-os a discutir ideias, justificar e

argumentar logicamente, propiciando descobertas.

Algumas definições, teoremas e demonstrações são necessários para

subsidiar e orientar o trabalho docente. Para isso, poderão ser consultadas:

Definição: Seja A1, A2,...,An, n≥3, uma sequência de n pontos distintos tais

que os segmentos A1A2, A2A3, ..., An-1An e AnA1 têm as seguintes propriedades:

a. nenhum par de segmentos se intersecciona a não ser nas suas extremidades.

b. nenhum par de segmentos com extremidades comum está na mesma reta.

A união dos segmentos A1A2,..., An-1An e AnA1 é chamada polígono (poli:

muitos e gono: ângulos), o qual denotamos por polígono A1, A2...An.

Os pontos A1,..... An são chamados vértices do polígono e os segmentos são

seus lados.

A soma dos comprimentos dos lados de um polígono é chamada de perímetro

do polígono.(REZENDE & QUEIROZ, 2008, p.26).

Definição: Um polígono é convexo quando, para todo lado, o polígono estiver

contido num dos semiplanos determinado por este lado. Dizemos que um polígono é

regular se: a - for convexo; b - todos os seus ângulos forem congruentes; c - todos

os seus lados forem congruentes.

Proposição: Todo polígono convexo de n lados determina n-2 triângulos

onde dois quaisquer desses triângulos não possuem pontos interiores em comum e

seus vértices são os vértices do polígono.

Demonstração: Seja A1A2A3,...An um polígono convexo, fixamos o vértice A1,

e consideramos os triângulos A1A2A3, A1A3A4, ...,A1An-1An. A convexidade garante

35

que estes triângulos não possuem pontos interiores em comum. (GERÔNIMO,

BARROS, FRANCO, 2007, p.123-125).

Por triângulos entendemos um polígono de três lados. Um triângulo ABC,

denotado por ∆ ABC, tem por elementos os três vértices, que são os pontos A,B,C;

os três lados, que são os segmentos AB, BC e CA; e os três ângulos internos, que

são ABC, BCA e CAB.

Quanto à medida de seus lados um triângulo pode ser chamado:

1- triângulo eqüilátero: quando possui os três lados dois a dois congruentes.

2- triângulo isósceles: quando possui dois de seus lados congruentes entre si. O

terceiro lado é chamado base do triângulo isósceles.

3- triângulo escaleno: aquele em que quaisquer dois de seus lados têm medidas

diferentes.

Quanto à medida de seus ângulos um triângulo pode ser:

1- triângulo retângulo: quando possui um ângulo reto. Neste caso, o lado oposto

ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os outros dois são chamados catetos.

2- triângulo acutângulo: quando possui os três ângulos agudos.

3- triângulo obtusângulo: quando possui um ângulo obtuso.

4-triângulo eqüiângulo: quando possui os três ângulos dois a dois

congruentes.(REZENDE & QUEIROZ, 2008, p.32).

Teorema: A soma dos ângulos de um triângulo é 180º.

Demonstração: Dado o ∆ ABC, seja r a reta paralela ao lado BC e passando

pelo vértice A. Consideremos os ângulos a, b, e c, como aparecem na figura.

Utilizando os Postulados da Adição de ângulos e do suplemento chegamos a:

ma + mb+ mc= 180.

A

B C

b a

c r

36

Como AB é transversal a BC e a r, temos que b≅ ABC. Analogamente, mostramos que c≅ ABC. Logo m BCA + m ABC + m BCA = 180.

(REZENDE & QUEIROZ, 2008, p.59).

Devemos mostrar que m(Â) + m(B) + m(C) + m(D)= 360º Dividindo o quadrilátero em dois triângulos, temos que m(Â) + m(ABD) + m(ADB)= 180º (1) e m(C) + m(CDB) + m(CBD)= 180º (2) Somando (1) e (2) m(Â) + m(C) + m(ABD) + m(CBD) + m(ADB) + m(CDB)= 360° m(Â) + m(B) + m(C) + m(D)= 360º

(GERÔNIMO & FRANCO, 2005, p.83). Teorema do Triângulo Isósceles: Em um triângulo isósceles, os ângulos da

base são congruentes.

Demonstração: Consideremos o triângulo isósceles ABC com base BC.

Queremos provar que B ≅ C. Para isso, consideremos a correspondência que

leva o triângulo ABC nele mesmo de modo que A ↔ A, B ↔ C e C ↔ B. Por

C D

A B

B C

A

37

hipótese obtemos AB ≅ AC e AC ≅ AB e, como Â ≅ Â segue, pelo caso L.A.L de

congruência de triângulos, que ∆ ABC ≅ ∆ACB. Como conseqüência temos B ≅

C.(REZENDE & QUEIROZ, 2008, p.33).






trabalhados.

4. ATIVIDADES

Atividade 9:

1- Abra um arquivo novo. Deixe ativada a opção Malha e a Janela de Álgebra.

2- Construa um triângulo retângulo ABC que possa ser movimentado pela tela sem

perder suas propriedades Selecione a opção Polígono Clique três vezes

em lugares distintos para criar os vértices do triângulo. Feche o triângulo

clicando sobre o primeiro vértice.

3- Marque os ângulos internos do triângulo, selecionando a opção Ângulo

clicando nos vértices no sentido horário. Observe essas medidas.

4- Calcule a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, deixando o cursor

na Caixa de Entrada (canto inferior esquerdo) e digite a soma α + β + γ (letras

gregas que identificam os ângulos), localizadas numa janela a direita do Campo de

Entrada. Para as letras aparecerem, dê um clique sobre elas. Pressione a tecla

Enter.

38

5- Observe a Janela de Álgebra. O valor de δ é a soma de α + β + γ.

6- Movimente um dos vértices e confira o que acontece com essa soma. O resultado

de δ se altera?

7- No menu Exibir selecione a opção Protocolo de Construção e reveja a seqüência

de passos de sua construção. Feche a janela ao terminar.

8- Movimentando os vértices do triângulo retângulo usando a opção Mover

você conseguiria transformá-lo em um triângulo isósceles?

9- Observe na Janela de Álgebra as medidas dos lados desse novo triângulo.

10- Registre com suas palavras o que você observa em relação aos lados e ângulos

da base do triângulo isósceles.


Atividade 10:

1- Abra um arquivo Novo sem Eixo e sem Malha.

2- Crie um círculo utilizando a ferramenta Círculo dados Centro e Raio

Clique uma vez na Janela Gráfica criando o ponto A, centro da circunferência, e na

janela que se abre atribua valor arbitrário 4 para o raio.

3- Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto A, selecione a opção Exibir

Objeto, ocultando esse ponto.

4- Selecione a ferramenta Polígono e clique cinco vezes sobre o círculo

para criar um quadrilátero inscrito na circunferência (o quinto ponto deverá ser dado

sobre o primeiro vértice criado).

39

5- Quais são os vértices e os lados do quadrilátero? Verifique as medidas dos seus

lados.

6- Clique dentro do quadrilátero com botão direito do mouse, opção Propriedades,

Cor: vermelha; Estilo-Preenchimento: 50; Espessura da Linha: 6. Feche a janela.

7- Escolha a opção Ângulo e meça os ângulos internos. Clique sobre os

três pontos que o determinam, no sentido horário.

8- Calcule a soma dos ângulos internos do quadrilátero. Clique com o cursor na

Caixa de Entrada (canto inferior esquerdo). Digite a soma α + β + γ + δ (letras

gregas que identificam os ângulos). Para as letras aparecerem na caixa de entrada,

dê um clique sobre elas e pressione a tecla enter.

9- Observe a Janela de Álgebra. O valor de ε é a soma de α + β + γ + δ.

10- Mova um dos vértices e observe o que acontece com essa soma. Registre suas

observações.

11- Oculte o círculo. Clique com o botão direito do mouse sobre ele, selecionando a

opção Exibir Objeto.

12- Mova novamente os pontos. Houve alteração na soma dos ângulos?

13- Selecione a opção Inserir Texto e clique na Janela Gráfica no local que

gostaria de inserir a escrita. Digite: “A soma dos ângulos internos do quadrilátero é

igual a 360°”.

14- Se preferir mova o texto, deixando na posição em que melhor lhe agrada.

15- Trace a diagonal do quadrilátero selecionando a opção Segmento definido por

Dois Pontos e clique sobre dois vértices não consecutivos.

40

16- Quantos triângulos formam? Existe uma relação entre a soma dos ângulos

internos do triângulo e do quadrilátero?


Atividade 11:

1- Abra um arquivo novo sem Eixo e sem Malha.

2- Para criar um pentágono ABCDE selecione a opção Polígono Clique na

Janela de Álgebra, lembrando-se de fechar o polígono, clicando sobre o primeiro

vértice criado.

3- Selecione a opção Ângulo e marque os ângulos internos do pentágono.

Atenção! Agora são cinco ângulos!

4- Calcule a soma dos ângulos internos do pentágono. Repita a etapa 8 da atividade

anterior: digite a soma α + β + γ + δ +ε observando o número de ângulos. Qual é o

resultado? Você concorda com ele?

5- Utilizando uma calculadora, repita o procedimento anterior. Qual é o resultado?

Por que é diferente do anterior?

6- Para editar o resultado dessa soma, selecione a opção Inserir Texto

e clique na Janela Gráfica no local que gostaria de inserir a escrita. Digite: “A soma

dos ângulos internos do pentágono é igual a 540°”.

7- Se preferir mova o texto, deixando na posição em que melhor lhe agrada.

8- Mova o pentágono e observe o resultado da soma de seus ângulos. Ele se altera?

41

9- Trace todas as possíveis diagonais de um vértice. Selecione a opção Segmento

definido por Dois Pontos e clique sobre dois vértices opostos.

10- Quantos triângulos foram formados? Comparando as atividades de construção

do triângulo, quadrilátero e do pentágono, você poderia estabelecer uma relação

entre a soma dos ângulos internos do triângulo com esses polígonos? Registre suas

observações.

11- Faça a próxima atividade, agora com polígonos regulares, para verificar ou não,

a sua constatação em relação a soma dos ângulos internos de um triângulo com a

de um polígono qualquer.


Atividade 12:

1- Abra um arquivo novo com Eixo e Malha desativados.

2- Selecione a opção Polígono Regular Dê dois cliques na Janela de

Álgebra. Na janela que se abre digite 6, em seguida OK.

3- Modifique o hexágono ABCDEF construído, clicando na opção Mover e

em um dos seus vértices. Isso é possível? Verifique em todos os

vértices.

4- Ative a opção Ângulo e marque um ângulo interno do hexágono

regular, clicando em três vértices no sentido horário.

5- Para marcar os outros ângulos, clique em qualquer vértice no interior do

hexágono. O que você observa em relação aos ângulos internos de um polígono

regular? Qual é a soma desses ângulos internos?

42

6- Trace as diagonais do hexágono selecionando a opção Segmento definido por

Dois Pontos e clique sobre dois vértices não consecutivos. Você conseguiria

estabelecer alguma relação entre o número de lados do polígono e o número de

triângulos dentro desse polígono?

7- Mova sua construção para o lado superior direito da área de trabalho e deixe-o

quietinho. Use a opção Deslocar Eixos

8- Selecione novamente a opção Polígono Regular e crie um

decágono.

9- Deixe seu polígono do tamanho desejado, selecionando a opção Reduzir

e clicando com botão esquerdo do mouse sobre a construção. A opção Ampliar

produz um zoom de aproximação.

10-Mova suas construções por toda a tela.

11- Trace todas as possíveis diagonais para um vértice, selecionando a opção

Segmento definido por dois Pontos Quantos triângulos você formou dentro do

decágono regular?

12- Compare o número de triângulos formados dentro do decágono com o número

de lados e estabeleça uma relação.

13- Existe uma fórmula que permite encontrar a soma dos ângulos internos de um

polígono qualquer. Você é capaz de deduzi-la?

14- Use a fórmula acima para calcular a soma dos ângulos de um polígono de 30

lados.


43

Atividade 13:

Agora é a sua vez!

Proponha uma construção para um polígono convexo de n lados. Utilize-se da

fórmula das soma dos ângulos.

No final, salve a atividade com o nome ativ13.

44

Unidade IV

TEOREMA DE TALES

1 CONTEÚDOS

� Teorema de Tales.

� Feixe de paralelas.

� Reta Transversal a um feixe.

� Segmentos correspondentes.

2 OBJETIVOS

� Reconhecer retas paralelas e defini-las.

� Construir e interpretar o Teorema de Tales, verificando-o experimentalmente.

� Aplicar o Teorema de Tales na elaboração de atividades.

45

3 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA AS ATIVIDADES

Nesta unidade o aluno terá oportunidade de redescobrir um teorema com

mais de 2600 anos e que ficou conhecido como Teorema de Tales.

Primeiramente será proposta uma atividade a respeito da representação de

retas paralelas de distância distintas. O traçado de retas transversais às paralelas e

o estabelecimento de razões iguais entre os segmentos definidos por elas, serão

desenvolvidas nas atividades seguintes até chegar ao reconhecimento e definição

do Teorema de Tales.

Nas atividades 16 e 17 – Agora é a sua vez! – os alunos deverão aplicar o

Teorema de Tales na resolução da atividade, bem como em outras situações que se

fizerem necessárias.

Em Gerônimo, Barros e Franco (2007, p.92) encontramos a seguinte definição

de paralelismo entre duas retas: “Duas retas em um mesmo plano são denominadas

paralelas quando não se interceptam.”

Esta e as demais definições e teoremas descritos abaixo, poderão dar

subsídios ao professor, orientando o encaminhamento metodológico das atividades.

Definição: Se uma transversal intersecciona duas retas r e s, respectivamente, nos

pontos A e B, dizemos que r e s determinam o segmento AB sobre a transversal.

Se uma transversal intersecciona três retas r, s e t nos pontos A, B e C,

respectivamente, e se AB=BC, então dizemos que as três retas determinam

segmentos congruentes sobre a transversal.

r

s

A

B

r

s

t

A

B

C

46

Teorema: Se três retas paralelas determinam segmentos congruentes sobre

uma transversal, então determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra

transversal. (REZENDE & QUEIROZ, 2008, p.62).

Teorema de Tales: Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou

mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos

quaisquer determinados sobre uma delas é igual à razão entre os comprimentos dos

segmentos correspondentes determinados sobre a outra. (REZENDE & QUEIROZ, 2008,

p.69).






trabalhados.

4. ATIVIDADES

Atividade 14:


2- No menu Exibir, desative a opção Eixo e Malha.

3- Trace uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos

Clique duas vezes no plano onde deseja a reta.

4- Esconda os pontos da reta clicando sobre eles com o botão direito do mouse,

selecionando Exibir Objeto.



47

6- Marque um ponto C, não pertencente à reta r, selecionando a opção

Novo Ponto

7- Com a opção Reta Paralela ativada, clique no ponto C e na reta r. A reta

paralela à reta r, passando por C é traçada.

8 -Renomeie a reta para s, seguindo a orientação do item 5 anterior.

9- Mude a cor da reta r. Para isso, clique com o botão direito do mouse sobre ela,

selecione Propriedades e depois a opção Cor: vermelha.

10- Aumente a espessura das retas clicando sobre elas com botão direito do mouse

em Propriedades, Estilo, Espessura da Linha: 7.

11- Selecione a opção Mover e movimente a reta r analisando o que

acontece. Faça o mesmo para a reta s.

12- Pela construção que realizou como você definiria retas paralelas?

13- Quantas retas paralelas a r são possíveis traçar? Todas elas podem ser

movimentadas?

14- Salve a atividade como ativ14.

Atividade 15:


2- No menu exibir, desmarque as opções Eixo e Malha.

3- Crie uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois Pontos

Clique duas vezes no plano onde deseja a reta.

48

4- Esconda os pontos da reta clicando sobre eles com o botão direito do mouse,

selecionando Exibir Objeto.



6- Crie outras duas retas s e t paralelas à r. Para isso, selecione a opção Novo

Ponto marcando dois pontos quaisquer não pertencentes à r. Com a opção

Reta Paralela selecionada, clique nos pontos e na reta construída.

7- Esconda os pontos das retas, renomeando-as para s e t. Siga os procedimentos 4

e 5 descritos acima.

8- Para construir duas retas u e v transversais ao feixe de paralelas, selecione Reta

definida por dois Pontos clicando no plano onde deseja a reta.

9- Esconda os pontos e renomeie às retas para u e v.

10- Altere a cor das transversais selecionando Propriedades, opção cor, depois de

clicar com o botão direito do mouse sobre elas.

11- Determine os três pontos de intersecção das transversais com as retas r, s, t.

Clique nas duas retas que se interceptam depois de ativar a opção Intersecção de

dois objetos

12- Repita o procedimento anterior, utilizando a transversal v.

13- Renomeie os pontos de intersecção para A, B, C na reta u e D, E,F na reta v.

14- Selecione a opção Distância, Comprimento ou Perímetro Clique nos

segmentos: AB, BC, DE, EF, inserindo suas medidas.

15- Calcule as razões: AB e DE BC EF

49

Para isso use o Campo de Entrada, escrevendo, por exemplo,

Q1=distânciaAB/distânciaBC.

Escreva a equação correspondente ao outro quociente: DE EF

16- O que você pode dizer sobre os resultados de Q1 e Q2? Observe a Janela

Algébrica.

17- Movimentando as retas u e v e também a reta r, o que acontece com as razões

Q1 e Q2?

18- Repita os procedimentos 15, 16,17 para as razões: AB e BC. DE EF O que você pode concluir relacionando-as?

19- A partir das observações, como você poderia enunciar o Teorema de Tales?

20- Salve a atividade como ativ15.

Atividade 16:

Agora é a sua vez!

Elabore uma atividade que envolva o Teorema de Tales.

Registre com suas palavras a orientação para essa construção.


Atividade 17:

Agora é a sua vez!

Em uma figura a, b, c, são paralelas cortadas por transversais.

Se não tivéssemos a medida de um dos segmentos, poderíamos encontrá-la

50

usando o Teorema de Tales?

Utilize-se do software disponível e de seus conhecimentos para demonstrar a

validade de sua afirmação.


51

Referências

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ÁVILA, Geraldo. Euclides, Geometria e Fundamentos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, nº45, 1º quadrimestre 2001. p.1-9.

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HOHENWARTER, M.J. Ajuda GeoGebra. Manual Oficial da Versão 3.2. Disponível em: htpp://www.geometriadinamica.com/GGB32.pdf. Acesso em: 20 jan.2010.

KENSKI, Vani Moreira. Educação e Tecnologias: o novo ritmo da Informação. Campinas: Papirus, 2007. (Coleção Papirus Educação).

52

NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa. Aprendendo Matemática com o Cabri-Géométre II. v.1. Brasília: Editora do Autor, 2003.

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VALENTE, Jose Armando. Por Quê o Computador na Educação? In Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação. Campinas: Nied/Unicamp, 1995.

DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · Apresentação O Programa de Desenvolvimento Educacional –...

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