O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

UNIVERSIDADE DO NORTE DO PARANÁ – UENP

CAMPUS DE CORNÉLIO PROCÓPIO – PARANÁ

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL -

PDE

SUELI GONÇALVES

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E MODELAGEM MATEMÁTICA - conhecendo novos caminhos de

ensinar

CORNÉLIO PROCÓPIO – PARANÁ

2010

SUELI GONÇALVES

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E MODELAGEM MATEMÁTICA - Conhecendo novos caminhos de

ensinar

Material Didático (Unidade Didática) apresentado à Secretaria de Estado da Educação – SEED como requisito de participação no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE na área de Matemática, com o tema: Resolução de Problemas e Modelagem Matemática – Conhecendo novos caminhos de ensinar. Orientação: Profª. Ms. Fátima A. Cruz Padoan.

CORNÉLIO PROCÓPIO – PARANÁ

2010

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1 APRESENTAÇÃO

A Matemática é uma ciência que funciona como um instrumento de precisão,

auxiliando o homem em sua luta diária. Apesar de estar presente a todo instante, ela

não é muito compreendida, e, na maioria das vezes, o seu ensino é realizado nas

escolas de forma exaustiva e rotineira, pois é desenvolvido de uma maneira

descontextualizada, e desvinculada da realidade dos alunos. Assim, devido a

dificuldade encontrada por eles no aprendizado, acontecem, portanto, muitas

desistências ou reprovações nesta disciplina. A partir deste quadro, um dos desafios

do professor é apresentar a importância da matemática no dia-a-dia do educando.

A aplicação de conceitos matemáticos em situações do dia-a-dia exige que essa

capacidade seja desenvolvida, e ainda, que devemos trabalhar em sala de aula com

“verdadeiras situações problemas”. Trabalhar com atividades de Modelagem torna a

matemática mais agradável e compreensível, capaz de auxiliar o aluno na análise e

seleção da melhor maneira de se utilizar recursos reais, que facilitem a resolução de

situações problemas da vida diária de uma forma clara e objetiva.

A apresentação de novos conceitos a partir de situações reais desperta maior

interesse pelo estudo de matemática e tem um importante papel motivador, o que

proporciona uma melhoria na condução do processo educativo.

Sendo assim, o objetivo maior desta Unidade Didática é indicar a Resolução de

Problemas e a Modelagem matemática como um caminho no ensino da matemática.

Para que se pudesse atingir o objetivo principal definido neste trabalho, foram

delineados os objetivos específicos:

1- Destacar os principais aspectos da metodologia de Resolução de Problemas,

e de Modelagem matemática.

2- Apresentar modelos práticos com a utilização da metodologia de Resolução

de Problemas e de Modelagem de matemática.

3- Levantar e analisar as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação

Básica do Paraná.

4- Conhecer com base na fundamentação teórica, através dos passos

apresentados por alguns autores, novas estratégias para ensinar matemática.

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2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

De acordo com Onuchic (1999), na década de 1970 começaram a surgir indícios

da Metodologia da Resolução de Problemas. Foi quando educadores matemáticos

dedicaram mais atenção ao desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Na

década de 80 o NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), por meio do

documento An Agenda for Action (Onuchic 1999) recomendou que o foco da

matemática escolar deveria ser o de resolver problemas. Nesta década o enfoque então

foi o processo de resolução, não ficando somente na solução do problema.

Conforme Andrade (1998, p.12), “A Resolução de Problemas passa a ser

pensada como uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um meio de se

ensinar matemática. O problema é olhado como um elemento que pode disparar um

processo de construção do conhecimento”.

Sendo assim, com o foco na ação por parte do aluno, a Resolução de Problemas

como uma metodologia de ensino, passa a ser o lema das pesquisas e estudos para os

anos 90.

Dante (2005, p.11) relata que “um dos principais objetivos do ensino de

Matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que lhe

apresentar situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer

resolvê-las”. O mesmo autor ressalta que um dos desafios do ensino da Matemática é a

abordagem de conteúdos para resolução de problemas. Trata-se de uma metodologia

pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos

adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta.

(...) os estudos iniciais propunham um ensino sobre diferentes heurísticas e passos na resolução de problemas. Muitas vezes essa abordagem gerava um ensino visando o ocasional envolvimento com a resolução de problemas. Hoje esta proposta está um tanto modificada e é encarada como uma metodologia de ensino em que o professor propõe ao aluno situações problemas caracterizadas por investigação e exploração de novos conceitos. (D’AMBRÓSIO, 1989, p, 15-19).

Preparar o aluno para enfrentar situações novas através da resolução de

problemas desenvolve nele o espírito explorador, a independência e a criatividade.

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Schoenfeld, (1997) alerta que “o professor deve fazer uso de práticas

metodológicas para a resolução de problemas, com exposição oral e resolução de

exercícios. Isso torna as aulas mais dinâmicas e não restringe o ensino de matemática

a modelos clássicos”.

Segundo Zunino (1995), apud Carvalho (2005, p.14)

“Ao deixar de lado as estratégias de resolução de problemas que elas elaboram a partir da compreensão da estrutura lógica dos problemas, ao impor-lhes maneiras de resolução preestabelecidas, ao não propiciar que elas estabeleçam relações entre suas próprias estratégias e os procedimentos convencionais, leva - se as crianças a acreditarem que o que elas pensam não é pertinente para resolver problemas matemáticos e, portanto , a renunciar seu próprio raciocínio para centrar-se nas chaves linguísticas”.

Torna-se relevante possibilitar ao aluno lançar mão de diferentes estratégias

para resolver os problemas propostos, permitindo-lhe a utilização de seus

conhecimentos e a sua criatividade. Sabemos que muitas vezes ouvimos dos

professores que os alunos não sabem interpretar problemas, mas, como o aluno vai

interpretar os enunciados dos problemas se ele não constrói enunciados?

Smole & Diniz, (2001), ressalta que cabe ao professor assegurar um espaço de

discussão no qual os alunos pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem

uma estratégia, apresentem suas hipóteses e façam o registro da solução encontrada

ou de recursos que utilizaram para chegar ao resultado.

As situações-problema podem desenvolver no aluno habilidades de como fazer

com que ele aprenda conceitos, técnicas, a linguagem matemática e a comunicar idéias

abstratas.

Conforme Carvalho (2005, p. 30), o professor ao propor uma situação-problema

aos seus alunos precisa, conhecer os seguintes tipos de situações-problema.

a) Não convencionais ou heurísticas: para resolver esse tipo de problema, há a

necessidade da elaboração de um raciocínio mais complexo, pois as operações não

estão evidenciadas no enunciado.

Exemplo: Entrei no elevador, desci 5 andares, subi 6, desci 7 e cheguei no 2º

andar. Em que andar eu estava?

b) Do cotidiano ou de aplicação: são os mais interessantes, pois envolvem o

contexto real do aluno e o levantamento de dados, confecção de gráficos, tabelas,

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desenhos, aplicação das operações. Podem ser apresentados em forma de projetos

envolvendo outras áreas do conhecimento.

Exemplo: Levantamento de dados para a organização de uma festa na escola.

O professor poderá problematizar o evento da seguinte forma: Quantos alunos

irão participar? Qual o preço de cada alimento? Quem fará a decoração? Quantos litros

de refrigerantes serão comprados? Etc.

Os dados obtidos podem ser organizados em tabelas e gráficos.

Carvalho (2005), também salienta que é de extrema importância que o professor

verifique se a redação do enunciado está de forma adequada, e que os seguintes

aspectos devem ser observados:

a) Dados mencionados no enunciado: a redação pode conter dados supérfluos,

dados contraditórios ou possuir déficit de dados;

b) Idéias dos enunciados: a redação dos problemas pode conter ou não as idéias

das quatro operações, das quais geralmente sugerem a mudança de situação inicial, a

combinação, a comparação, o igualamento, etc.

Sendo assim, uma situação-problema é toda e qualquer situação onde se deseja

obter uma solução, cuja resposta exige pôr à prova tudo o que se sabe.

Uma sugestão de problema segundo Carvalho (2005):

A loja Pague-Poko tem três filiais em diferentes cidades. Para representar as

vendas do ano foi feito o seguinte gráfico. Observe-o e responda:

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a) Qual das lojas teve a maior venda e em que trimestre?

b) Qual foi o total das vendas das três lojas no quarto trimestre?

c) Elabore uma pergunta com base no gráfico.

Conforme Miranda (2010), “A Resolução de Problemas Matemáticos é uma

barreira que a maioria dos alunos enfrentam no aprendizado da matemática, pois esses

têm dificuldade em identificar a operação que deve ser utilizada para a sua resolução”,

então concluímos que essa dificuldade não é exclusiva da matemática e sim uma

dificuldade interdisciplinar, por exemplo, um aluno que não consegue interpretar um

problema matemático também não será capaz de interpretar satisfatoriamente um texto.

E para facilitar a resolução dos problemas matemáticos Miranda (2010), cita alguns

importantes passos:

1- Leitura geral

No primeiro momento devemos fazer uma leitura atenta do problema.

2- Resumir o enunciado

Aqui a interpretação de texto é importante, pois o aluno deverá entender o

problema para conseguir retirar dele os dados mais importantes.

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3- Identificar as operações

Depois da separação dos dados e de identificar o que o problema está

perguntando (sabemos o que devemos calcular), deve-se identificar qual operação será

utilizada na resolução desse problema matemático. Poderá ser uma ou mais operações.

Pode-se, apresentá-las em forma de expressão numérica, se for o caso de mais de uma

operação.

4- Efetuar as operações

O passo seguinte é resolver as operações, chegando assim ao resultado final do

problema proposto.

5- Prova real.

Aqui devemos verificar se o resultado encontrado está correto. Voltamos ao

problema matemático proposto e verificamos se a solução encontrada satisfaz a

situação problema.

Um exemplo de problema proposto por Miranda (2010), seguindo os passos

propostos acima para a sua resolução.

As cidades A, B e C ficam à beira de uma rodovia. De A até C existem 264

quilômetros e de A até B há 170 quilômetros. Quantos quilômetros de estrada separam

B e C? Sabendo que B fica entre A e C?

O primeiro passo é fazer a leitura geral.

O segundo passo é retirar os dados do problema e identificar a pergunta.

Dados:

De A até C = 264 km

A até B = 170 km

A pergunta é: A distância entre as cidades B e C.

Podemos fazer um desenho pra facilitar a identificação das distâncias entre as

cidades.

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264 KM

|__________________|

170 KM

|____________|

__o______o____o__

A B C

O terceiro passo é identificar a operação que devemos utilizar pra descobrir qual

a distância entre as cidades B e C.

Analisando as distâncias já dadas pelo problema temos: a cidade B está entre A

e C e sabemos que entre A e C há 264 km e entre A e B há 170 km, então a diferença

dessas duas distâncias será a distância das cidades B e C.

264 KM

|__________________|

170 KM

|____________|

__o______o____o__

A B C

O quarto passo é fazer o cálculo proposto no terceiro passo:

264 – 170 = 94

10

Portanto, 94 quilômetros é a distância entre as cidades B e C.

O Quinto e último passo são verificar se a solução encontrada é verdadeira. Para

isso, devemos voltar ao problema.

Como a cidade B está entre as cidades A e C, então a soma das distâncias de A

até B e de B até C dever ser igual à distância entre A e C, então calculemos: 170 + 94 =

264, então podemos dizer que a solução encontrada é verdadeira.

Segundo Polya (2006), as principais etapas para resolver um problema são:

a) Compreender o problema - devemos ler e compreender o problema antes de

começar a resolvê-lo; destacar as informações nele contidas, entender o que o

problema está pedindo, etc.

b) Estabelecer um plano - depois de interpretar o problema, podemos começar a

elaborar a resolução relacionando os dados que o problema oferece e o que está sendo

pedido. Geralmente, chega-se a uma operação matemática, mas é interessante que

seja estudada a possibilidade de montar um esquema, tabela ou gráfico antes de

resolvê-lo.

c)Execução do plano – é o momento em que o problema será resolvido.

Executar os planos elaborados, verificando – o passo a passo. Efetuar todos os

cálculos indicados no plano.

d)Retrospecto ou verificação – Examine se a solução obtida está correta fazendo

a correção coletiva do problema, verifique se existe outra possibilidade de resolver, se é

possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes.

Essas etapas não são rígidas, fixas e infalíveis. O processo é mais complexo e

rico e não se limita a seguir instrução passo a passo como se fosse um algoritmo. No

entanto, ajuda e orienta durante o processo de resolução.

Sugestões de Problemas seguindo os passos de Polya

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1)Frederico participa de um jogo que é disputado em rodadas. Se uma rodada

não lhe parece favorável, ele não entra; se parece favorável entra. Quando acerta,

ganha um ponto, mas perde dois se erra. Frederico entrou em 40 rodadas e fez 22

pontos. Quantas Frederico acertou e quantas ele errou? (Dante, 2005).

Fonte: allfreelogo.com

a)Compreendendo o problema:

Dados:

Frederico ganha 1 ponto se acerta e perde 2 pontos se erra. Ele participou de 40

rodadas.

Objetivo:

Determinar o número de rodadas que ele acertou e que ele errou.

b)Elaborando um plano:

Vamos supor que Frederico tivesse acertado em todas as rodadas (40). Assim,

ele teria feito 40 pontos. A diferença de 18 (40 -22 = 18) existe porque, ao errar uma

rodada, além de ele não ganhar 1 ponto, perde 2, ou seja, em cada erro ele deixa de

ganhar 3 pontos. Dividindo, então, 18 por 3 obtemos o número de rodadas que ele

errou . Em seguida, subtraímos, do total de rodadas, o número de rodadas erradas,

obtendo o número de rodadas certas.

c)Executando o plano:

40.1 = 40 (total de rodadas)

18: 3 = 6 (rodadas que errou)

40 – 6 = 34 (rodadas que acertou)

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d)Fazendo o retrospecto ou verificação

Temos:

6 erradas + 34 certas = 40 rodadas

34 certas: 34. 1 = 34 pontos -

6 erradas: 6. 2 = 12 pontos (perdidos)

Total: 22 pontos

Resposta: Das 40 rodadas, Frederico acertou 34 e errou 6.

2)Dois alunos da 8ª série, Gustavo e Junior estão colecionando o mesmo tipo de

selo. Gustavo já tem 380 selos coladas no álbum e Junior tem 356. Se Gustavo

conseguir 56 selos fazendo trocas com seus colegas de escola e Junior conseguir 74,

(Dante, 2005):

Fonte: http://www.econedlink.org/

a) qual dos dois ficará com mais selos no álbum?

b) quanto a mais ele terá que o outro?

c) quantos faltarão ainda para Gustavo e para Junior, se o total de selos do

álbum é 600?

d) quantos pacotes Gustavo ainda precisará comprar, se em cada um vem 4

selos, mas um é sempre repetido?

e) quanto Gustavo gastará se cada pacote custa R$ 0,40.

a) Compreendendo o problema

Dados

Número de selos que Gustavo tem no álbum: 380.

Número de selos que Júnior tem no álbum: 356.

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Aquisição de Gustavo: 56 selos.

Aquisição de Júnior: 74 selos.

Total de selos do álbum: 600.

Em cada pacote vêm 4 selos, mas uma é sempre repetida.

Preço de cada pacote : R$ 0,40.

b) Estabelecendo um plano

Somar 380 com 56 e 356 com 74.

Subtrair o menor desses resultados do maior.

Subtrair de 600 os resultados encontrados nas adições.

Multiplicar a diferença entre 600 e a soma de 380 com 56 por R$ 0,40.

c) Executando o plano

380 356 436 600 600

56 + 74 + 430 - 436 - 430 -

436 430 006 164 170

0,40

x 164

80

_320____

R$ 32,80

d) Fazendo o retrospecto ou verificação

Nossos cálculos estão corretos, porque 164 + 436 = 600 e 170 + 430 = 600.

Respostas:

a) Gustavo ficará com 436 selos e Júnior com 430. Portanto, Gustavo ficará

com mais selos.

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b) Gustavo ficará com 6 selos a mais do que Júnior.

c) Para Gustavo ficarão faltando 164 selos e para Júnior, 170.

d) Como vem apenas um selo não-repetido em cada pacote, Gustavo

precisará comprar 164 pacotes e Júnior, 170.

e) Gustavo gastará R$ 32,80.

3) MODELAGEM MATEMÁTICA

Nas últimas décadas, a educação matemática vem recebendo desafios, entre

eles o desafio de propor à sociedade um “novo” cidadão que comandará a economia, a

produção, o lazer, etc. Isto tem gerado mudanças nos métodos de ensino que forneçam

elementos que desenvolvam potencialidades, propiciando ao aluno a capacidade de

pensar crítica e independentemente. A Matemática, alicerce de quase todas as áreas, é

defendida como meio para fazer emergir essa habilidade em criar, resolver problemas e

modelar. Sendo assim a Modelagem Matemática vem ganhando “espaço” em diversos

países, nas discussões, nos posicionamentos e na sua utilização como estratégia de

ensino como meios para desenvolver nos alunos a capacidade de ler e interpretar o

domínio da Matemática.

Conforme o Centro de Referência de Modelagem no ensino - CREMM (2010),

três foram os “precursores brasileiros no uso da modelagem ou construção de modelos

em suas práticas de sala de aula”. São eles: Aristides Camargo Barreto, Ubiratan

D’Ambrósio e Rodney Carlos Bassanezi, sendo que um dos primeiros trabalhos de

modelagem no ensino se deu na década de 1970 pelo professor Aristides Camargo

Barreto, da PUC - (Rio de janeiro).

Para Biembengut e Bassanezi (1986), “quando propomos trabalhar com a

realidade através da Modelagem Matemática estamos revertendo a condição do ensino

tradicional do ”eu ouço e eu esqueço” para “eu faço, e eu aprendo”.

A Modelagem Matemática serve como uma alternativa para o ensino tradicional,

utilizando os problemas sociais, presentes no cotidiano dos alunos para que eles,

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através do incentivo da pesquisa e do desenvolvimento da criatividade, apliquem a

matemática dentro deste contexto para superar estes obstáculos, tornando-se este um

estudo dinâmico, moderno e mais ligado à realidade do seu dia-a-dia.

Bassanezi e Biembengut (1995) sugerem alguns procedimentos para a

introdução do trabalho com Modelagem:

1. escolher um tema central para ser desenvolvido pelos alunos;

2. recolher dados gerais e quantitativos que ajudem na elaboração de hipóteses;

3. elaborar problemas conforme interesse dos grupos;

4. selecionar as variáveis envolvidas nos problemas e formular as hipóteses;

5. sistematizar os conceitos que serão utilizados para resolução dos modelos

que fazem parte do conteúdo programático.

6. interpretar a solução (analítica e, se possível, graficamente);

7. validar os modelos.

Biembengut (1999, p.20) afirma que “modelo” Matemático é um conjunto de

símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno

em questão ou problema de situação real.

Isso reafirma a teoria da Modelagem Matemática como um instrumento mais

aplicado ao cotidiano do aluno, tornando a linguagem do estudo mais acessível e

interessante. Quando existe a oportunidade de o educador levar os educandos até os

problemas da vida real, o mesmo elabora os modelos matemáticos possíveis para a

resolução do problema apresentado; quando ele não tem essa oportunidade, apresenta

e resolve um problema real na sala de aula.

Conforme Ferruzzi (2004), Modelagem Matemática é “um conjunto de regras e

procedimentos que guiam o modelador na obtenção de um modelo matemático que

represente um problema extramatemático”; e “utilizando-se para isso técnicas

matemáticas, conhecimentos científicos, experiência e criatividade”.

Pinheiro (2005), relata que a “Modelagem Matemática apresenta-se como uma

forma de capacitar o indivíduo para uma atuação consciente e crítica na realidade em

que vive”, concluindo que “o educando pode construir modelos abstratos na descrição,

e resolução de um fenômeno no qual a Matemática aparece como linguagem que

representa a situação, e como ferramenta na busca de solução para os problemas..”.

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Para Biembengut & Hein (2005, p. 18), a Modelagem Matemática como Método

de Ensino de Matemática é uma estratégia desafiadora que propõe aos alunos um

ensino que os levem à construção dos conceitos e dos conhecimentos matemáticos,

tendo como objetivos: aproximar outra área do conhecimento, da Matemática; enfatizar

a importância da Matemática para a formação do aluno; despertar o interesse pela

Matemática ante a aplicabilidade; melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;

desenvolver a habilidade para resolver problemas e estimular a criatividade.

Genericamente, pode se dizer que matemática e realidade são dois conjuntos disjuntos

e a modelagem é um meio de fazê-los interagir”.(Biembengut & Hein, 2005, p. 13).

A figura abaixo demonstra como se dá o processo da modelagem matemática.

O que se pode verificar na figura apresentada é a existência de uma interação

que permite uma situação “real” com modelo matemático sendo que esta envolve uma

série de procedimentos. Esses procedimentos agrupam-se em três etapas:

1) Interação, consiste em fazer o reconhecimento da situação-problema e

familiarização com o assunto a ser modelado;

Modelagem

Matemática

Situação Real Matemática

Modelo

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2) Matematização, caracterizada pela formulação e resolução do problema em

termos do modelo;

3) Modelo matemático, será a interpretação da solução e validação do modelo

(avaliação).

Um modelo matemático pode ser entendido como um conjunto de símbolos e

relações matemáticas que representa uma situação, um fenômeno ou um objeto real a

ser estudado. Os modelos matemáticos podem ser expressos através de gráficos,

tabelas, equações, sistemas de equações, etc.

Para Bassanezi (2006, p.16) “a modelagem matemática consiste na arte de

transformar problemas reais com os problemas matemáticos e resolvê-los interpretando

suas soluções na linguagem do mundo real”.

Sendo assim, a Modelagem Matemática é a arte de expressar por intermédio de

linguagem matemática situações-problema de nosso meio.

4 SUGESTÃO DE MODELO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para um melhor entendimento da metologia apresentada – modelagem

matemática, é apresentada aqui um modelo para o ensino da matemática, intitulado “A

Arte no vestir”. Este modelo foi desenvolvido seguindo as três etapas fundamentais da

modelagem no ensino-modelação: interação, matematização e modelo matemático. Na

etapa da interação foi apresentada uma síntese do tema, pois esta permite a

familiarização com o tema a ser modelado. A partir da questão norteadora, segue a

matematização, onde é formulado e resolvido o problema, chegando a um modelo que

permite interpretar a solução e, servir para outras aplicações.

A arte no vestir

As vestimentas são tão antigas quanto o ser humano, pois desde os primeiros

registros há referências da necessidade de se vestir diante de outra pessoa. Os

motivos de se usar uma peça de roupa são variáveis, indo desde a proteção,

ornamentação até a comunicação e assim por diante.

Atualmente não há um padrão específico para se vestir; cada qual tem seu estilo,

se vestindo de acordo com seus gostos. A única padronização, embora não

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integralmente adotada, é a ‘moda’, que define a tendência atual e, dessa forma, a mais

aceita pela sociedade. A partir da sua curiosidade, o homem faz nascer e desenvolver

várias ciências, dentre elas a matemática, que surge e sem perceber a utilizamos como

ferramenta para resolução de diversos problemas diários. A matemática está presente

no cálculo do nosso salário, das nossas despesas, na nossa organização, e inclusive

na confecção de roupas e no nosso vestuário.

Nos tecidos, a simetria aparece proporcionando a beleza em formas e cores.

O cálculo dessas medidas contribui para a resolução deste quebra cabeça e a

mágica das contas e dos números traz a compreensão da própria natureza dentro deste

contexto.

Nesta proposta, apresentamos o conceito de simetria e como identificar formas

simétricas através de ornamentos em tecidos e vestimentas, estimulando a pesquisa e

a criatividade através do estudo da geometria.

1) A Simetria nos tecidos

Segundo Weiszflog, Walter (1998 – 2007) simetria significa “Correspondência

em tamanho, forma ou arranjo, de partes em lados opostos de um plano, seta ou ponto,

tendo cada parte em um lado a sua contraparte, em ordem reversa, no outro lado” ou

ainda “Proporção correta das partes de um corpo ou de um todo entre si, quanto a

tamanho e forma”.

Observando as estampas nos tecidos, é possível perceber diversas imagens

geométricas e, em muitos casos, imagens simétricas, que traduzem a aplicação da arte

da Ciência Matemática presente nestes desenhos e, dessa forma, no próprio universo

dos tecidos.

Então, como a Matemática define a simetria?

19

Movimento de translação

(direta)

Movimento de rotação

(direta)

Movimento de

Reflexão (inversa)

20

Movimento de Glissoreflexão

(inversa)

21

Ainda analisando estampas em tecidos, pode-se observar que além de geométricos,

algumas imagens são uma combinação de simetrias diferentes (os movimentos

detalhados acima).

Um exemplo disso são os ornamentos a seguir:

A faixa é um ornamento ilimitado, composto entre duas retas paralelas. A

simetria fundamental para a sua composição é a translação. O ornamento detalhado na

primeira imagem possui translações e reflexões (horizontais e verticais inclusive) e

eixos paralelos e perpendiculares à direção de translação (no caso horizontal, mas

também possível verticalmente).

Na próxima imagem, têm-se um exemplo de imagem do tipo Roseta, que é um

ornamento limitado, composto em um círculo, sendo que a rotação é a simetria

fundamental para a sua composição. É possível também fazer outro tipo de roseta

combinando a rotação e a reflexão.

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Na seqüência, é apresentado o tipo de imagem Mosaico, que consiste em um

ornamento ilimitado no plano. A simetria fundamental é a translação. Para compor um

mosaico é necessária uma rede, que são classificadas em cinco tipos: quadrados,

retângulos, paralelogramos, triângulos eqüiláteros, e losangos.

Atividade

Como identificar e criar figuras geométricas simétricas de várias formas a partir

de uma imagem a ser estampada em um tecido?

Exemplo de uma imagem a ser estampada

Percorrendo segmentos paralelos a uma reta r,

ou seja, dados dois pontos genéricos de uma

figura A e B, forma-se um movimento de

translação, mantendo a mesma distância entre

as figuras. Obtém-se uma faixa que é um

ornamento ilimitado entre duas retas paralelas.

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Conservando a distancia de um ponto a um eixo

r fixo, esteja este ponto r interceptando ou não a

figura, temos um movimento de Reflexão.

Ainda é possível criar mais imagens geométricas e simétricas, dentro deste contexto,

como exemplo:

Tomando como referência este ponto r, e girando

em um sentido (horário ou anti-horário),

contornando-o novamente, têm-se um “giro” do tipo

Rotação.

A imagem formada é do tipo Roseta, pois é finito, e

se completa.

24

2) Analisando matematicamente figuras geométricas na confecção de

vestimentas

Com base no estudo de imagens feito anteriormente, apresenta-se um modelo

de roupa com características de figuras geométricas e os cálculos para confecção deste

modelo. O tema além de permitir desenvolver a geometria, o cálculo de área,

transformação de centímetro em metro, cálculo para determinar a quantidade de tecido

necessário, estimula a criatividade e sugere valorizar a confecção de roupas, fazendo

da matemática um real instrumento para a resposta a questões que permitam uma

melhor compreensão da realidade.

O modelo ao lado, trata-se de um

casaco estilo TRAPÉZIO.

A frente, as costas e as mangas formam figuras geométricas semelhantes, como

pode ser notado à seguir:

25

Já a gola forma outra figura geométrica:

A figura geométrica que se destaca nas peças (corpo, manga) que compõem o

modelo é o quadrilátero que possui dois lados paralelos e outros dois não paralelos

denominados trapézio; na gola a figura geométrica também é um quadrilátero, que

possui os lados paralelos e iguais a dois, o retângulo.

Assim, pode-se calcular a área dessa peça de roupa usando a seguintes

fórmulas:

A = B + b . h

2 Fórmula do Trapézio

A = B . h

Fórmula do Retângulo

E ainda pode-se determinar a quantidade de tecido necessário para a sua

confecção, sabendo que as medidas são:

26

Então, se usarmos para a confecção um tecido de 1,40 m de largura,

quantos m² serão necessários para a confecção do casaco?

a) Calculando a área de cada parte

separadamente, temos:

A: 1 – Transformação de cm em m.

Comprimento do corpo = 90 cm = 0,90 m = h

Busto = 90 cm = 0,90 m = b

Quadris = 130 cm = 1,30 m = B

Contorno do Braço = 28 cm = 0,28 m = B

Comprimento do Braço = 50 cm = 0,50 m = h

Punho = 20 cm = 0,20 m = b

Comprimento da Gola = 50 cm = 0,50 m = b

Altura da Gola = 8 cm = 0,08 m = h

Obs. Os números destacados representam a transformação do valor em cm

para m, necessária porque a área será dada em m ².

Comprimento:

Quadris:

Contorno do braço:

Comprimento da manga:

Punho:

Comprimento da gola:

Altura da gola:

90 cm

130 cm

28 cm

50 cm

20 cm

50 cm

8 cm

27

Para fazer a transformação de centímetros em metros quadrados basta

dividirmos a medida inicial por 100, ou seja, a vírgula muda duas casas decimais para a

esquerda.

A: 2 – Área do corpo do casaco:

Comprimento x 2 = 1,80 m

A(1) = (B+b) x h

2

A(1) = 1,30 + 0,90 x 1,80

2

A(1) = 3,96

2

A(1) = 1,98 m²

A : 3 – Área da manga:

Manga x 2

A(2) = (0,28 x 2) + (0,20 x 2) . (0,50 x 2)

2

28

A(2) = (0,56 + 0,40) . 1

2

A(2) = 0,96

2

A(2) = 0,48 m ²

A : 4 – Área da gola:

Gola x 2

A = b x h

A(3) = (0,50 x 0,08) x 2

A(3) = 0,04 x 2

A(3) = 0,08 m²

b) Cálculo da área total:

A(t) = A1 + A2 = A3

A(t) = 1,98 + 0,48 + 0,08

A(t) = 2,54 m ²

c) Quantos metros de tecido serão necessários?

C : 1 = cálculo através da área x m²

Y = largura do tecido = x m²

29

Y = X m²__________

Largura do tecido

Y = 2,54

1,40

Y = 1,82 m

C : 2 = Cálculo pela medida das peças (costureira).

Corpo = 1,80 m

Manga = 0,50 m

Gola = 0,16 m

2,46 m

d) Comparação através da diferença para a escolha da melhor medida:

Diferença = 2,46 – 1,82 = 0,64 m ou 64 cm

Obs.: A diferença entre as duas formas de cálculo efetuadas para a obtenção da

quantidade de tecido é quase insignificante se pensarmos em termos de número

apenas, mas em se tratando de costura a melhor medida, a mais adequada, é a maior,

ou seja, 2,46 metros para que não falte tecido para a confecção da peça.

30

5 CONSIDERAÇÔES FINAIS

A introdução dos conhecimentos matemáticos e científicos a partir de temas

atuais e relacionados ao cotidiano dos estudantes, além de despertar o gosto pela

Matemática, contribuiu para melhorar a qualidade das aulas.

As Diretrizes Curriculares propõe seis Metodologias para se ensinar matemática

que são: Resolução de Problemas, Etnomatemática, Mídias tecnológicas, Investigação

matemática, Modelagem e História da Matemática, mas o que norteou este trabalho

foram sugestões de como trabalhar em sala de aula com Resolução de Problemas e

Modelagem Matemática.

Com base na fundamentação teórica, através dos passos apresentados por

alguns autores para a Resolução de Problemas e Modelagem Matemática, foram

apresentadas novas estratégias de ensinar Matemática, dando oportunidade para que o

professor em sua sala de aula possa optar qual estratégia deve usar em seu trabalho

com essas metodologias. Introduzindo as metodologias de Resolução de Problemas e

Modelagem Matemática de maneira contextualizada e, buscando problemas da vida

real para desenvolvê-lo dentro da sala de aula, o professor poderá desenvolver em

seus alunos o raciocínio e a criatividade. Além disso, estará analisando também, o

desenvolvimento de habilidades de Resolução de Problemas em atividades de

Modelagem Matemática, e assim consequentemente, contribuir para superar

dificuldades do processo de ensino-aprendizagem de Matemática.

A melhoria do ensino de Matemática envolve um processo de diversificação

metodológica, assim, se enfatizarmos apenas uma única linha, não estaremos

desenvolvendo a Matemática de forma rica para todos os alunos. O que propomos é

um trabalho articulando as Metodologias a cada conteúdo ensinado, possibilitando ao

professor a formação do seu aluno como cidadão autônomo e seguro em relação às

soluções que encontrarem para os problemas propostos e assim torná-lo um dos

principais agentes de mudanças.

31

6 REFERÊNCIAS

ANDRADE, S. Ensino-Aprendizagem de Matemática via resolução, exploração,

codificação e decodificação de problemas. Rio Claro, 1998. Dissertação (Mestrado)

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do Dep. Matem. Blumenau, v.10, n.33, p. 1-5, maio 1995.

BASSANEZI, R. C., BIEMBENGUT, M. S. Uma experiência de ensino -

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