O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA – UEM

ÁREA: MATEMÁTICA

CÉLIA OBO ANDREGHETTI

PERÍMETROPERÍMETRO

E

ÁREAÁREA COM O AUXÍLIO DO

�

Produção Didática Pedagógica

apresentada à Secretaria de

Estado da Educação do

Paraná/PDE-Programa de

Desenvolvimento Educacional no

ano de 2009.

Núcleo Regional de Umuarama.

Orientação: TERESINHA APARECIDA CORAZZA PEREIRA

DOURADINA – PARANÁ

2010

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃOPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL

CÉLIA OBO ANDREGHETTI

UNIDADE DIDÁTICA DO PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

PERÍMETROPERÍMETRO E ÁREA ÁREA COM O AUXÍLIO DO

DOURADINA-PARANÁ

2010

�

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA – UEM

ÁREA: MATEMÁTICA

CÉLIA OBO ANDREGHETTI

PERÍMETROPERÍMETRO

E

ÁREAÁREA COM O AUXÍLIO DO

Produção Didática Pedagógica

apresentada à Secretaria de

Estado da Educação do

Paraná/PDE-Programa de

Desenvolvimento Educacional no

ano de 2009.

Núcleo Regional de Umuarama.

Orientação: TERESINHA APARECIDA CORAZZA PEREIRA

DOURADINA – PARANÁ

2010

2

3

SUMÁRIO

1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO.......................................................... 03

2 INTRODUÇÃO ................................................................................ 04

3 DESENVOLVIMENTO...................................................................... 04

3.1 ETAPA I - Sondagem sobre os conhecimentos prévios sobre área

e perímetro....................................................................................... 04

3.2 ETAPA II – Breve histórico sobre Geometria................................... 04

3.3 ETAPA III – Formas Geométricas na natureza................................ 04

3.4 ETAPA IV – Geometria com Tangram.......................................

04

3.5 ETAPA V - Desfazer a confusão conceitual de área e perímetro 14

3.6 ETAPA VI - Medidas de área e perímetro........................................ 19

3.7 ETAPA VII – Recursos Tecnológicos............................................... 22

3.8 ETAPA VIII – GeoGebra................................................................... 23

3.9 ETAPA IX- Atividades com GeoGebra............................................. 23

3.10 ETAPA X – Avaliação....................................................................... 38

4 ANEXOS 395 REFERÊNCIAS................................................................................ 43

4

1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

1.1 PROFESSORA PDE: CÉLIA OBO ANDREGHETTI

1.2 ÁREA: MATEMÁTICA

1.3 NRE: UMUARAMA

1.4 PROFESSORA ORIENTADORA IES: TERESINHA APARECIDA CORAZZA

PEREIRA

1.5 IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

1.6 ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: COLÉGIO ESTADUAL DOURADINA

1.7 PÚBLICO-ALVO: ALUNOS DA 6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL

1.8 UNIDADE DIDÁTICO PEDAGÓGICA – PDE/2009: ÁREA E

PERÍMETRO COM AUXÍLIO DO GEOGEBRA

2 INTRODUÇÃO

A produção didático-pedagógica será desenvolvida no Colégio Estadual Douradina -

Ensino Fundamental e Médio com alunos da 6ª série do Ensino Fundamental, tendo

como objetivo a retomada de um aprendizado significativo de Geometria Plana, para

que o educando possa superar as dificuldades conceituais de perímetro e área. Os

conceitos e propriedades de Geometria Plana serão explorados em diversas

situações práticas com a utilização de materiais manipuláveis (barbantes, fita

métrica, jornal, etc.) e o software GeoGebra. Com essa prática, pretende-se criar um

ambiente de aprendizagem para que o aluno possa expor e discutir suas dúvidas,

participar ativamente das atividades propostas, proporcionando oportunidades para

que ele consiga através do uso de materiais concretos, compreender as abstrações

da geometria.

3 DESENVOLVIMENTO

O desenvolvimento do projeto será realizado através das seguintes etapas:

I. Investigar os alunos através de questionamento oral e atividade escrita, tendo

por objetivo averiguar o nível de conhecimento dos mesmos em relação à área

e perímetro;

Anexo 1 – Pré teste - Sondagem sobre os conhecimentos prévios dos alunos da 6ª

série referentes à área e perímetro.

II. Apresentar um breve histórico sobre a geometria;

III. Identificar com os alunos as formas geométricas presentes na natureza e no

meio em que estamos inseridos;

Anexo 2 – Geometria (texto)

IV. Explorar as idéias que os alunos já possuem sobre as formas geométricas e

seus elementos, através de atividades de dobraduras para a construção do

Tangram.

Dica: o texto Origami pode ser apresentado em PowerPoint na TVpendrive

5

• O origami pode ser utilizado como uma metodologia de ensino aprendizagem de

conceitos geométricos. Os alunos aprendem geometria brincando, através da

dobradura (origami) é possível desenvolver conceitos de geometria.

Texto extraído da Produção didático-pedagógica, Folhas Geometria e origami uma combinação perfeita.Autora: Tereza Cristina Umburanas Nascimento NovakDisponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/719-2.pdf?PHPSESSID=2009050615290437 >

Onde entra a matemática com a técnica de origami?

O uso de dobraduras no ensino não é uma metodologia nova já no século

XIX, Friedrich Froebel (1782-1852) educador alemão iniciou este estudo.

Ao dobrarmos o papel executamos verdadeiros atos geométricos,

construímos retas, ângulos, polígonos, etc., sendo possível revermos conceitos de

Geometria Euclidiana Plana e Espacial, estabelecendo uma linguagem simbólica de

fácil compreensão e aprendizado de Geometria pelo movimento das mãos em

contato com papéis, além de despertar o interesse e a curiosidade dos alunos.

6

Origami

Quem já não brincou de aviãozinho, ou se divertiu construindo barcos, chapéus de soldado e balões de papel?

Essa brincadeira com papel, muito comum recebe o nome de dobradura. É muito difundido entre os japoneses, que fazem dela uma arte, a partir de uma simples folha de papel.

Você sabia que o origami do tsuru é um dos origamis mais conhecidos do mundo? E é o símbolo do origami e serve como base para a confecção de vários outros origamis.

Qual o significado da palavra tsuru?Tsuru ou grou é uma ave migratória, no mundo

todo há somente quatorze espécies diferentes, dentre estes há somente três tipos que migram para o Japão. E os antepassados japoneses, vendo que essas aves vinham sempre na mesma estação, não viam somente como sinal de estação de prosperidade, mas sentiam como sendo os mensageiros

Atividade

Problematização: Quais figuras geométricas se obtêm quando dividimos um

quadrado ao meio?

Vamos responder a questão através de uma atividade na prática?

Desenvolvimento

Pegue um papel quadrado, divida-o em duas partes iguais. Que figura obteve?

Comentário

Esta simples atividade pode provocar uma saudável inquietação nos alunos, ao

saber que a divisão de uma figura não tem um resultado único na geometria,

várias são as respostas possíveis.

Atividade: Construindo Tangram

7

O tangram é um quebra-cabeça chinês, de origem milenar, é formado por apenas sete peças com as quais é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, figuras geométricas e outros. As regras desse jogo consistem

.

Texto de Patrícia Cândido - coordenadora do Mathema – NIEBDisponível em < http://www.mathema.com.br/default.asp?url=http://www.mathema.com.br/e_fund_a/mat_didat/tangram/_tangram.html>.

Lendas e histórias como essas sempre cercam objetos ou fatos de cuja

origem tem-se pouco ou nenhum conhecimento, como é o caso do tangram. Se for

ou não verdade, pouco importa: o que vale é a magia, própria dos mitos e lendas.

Desenvolvimento: Construir o Tangram e revisar alguns conceitos de

geometria.

1) Pegue uma folha de papel sufite

a) Que figura esta folha representa?

8

Lenda do Tangram

Era uma vez um jovem chinês que foi despedir-se de seu mestre, pois iniciaria uma grande viagem pelo mundo.Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse:- Com esse espelho você registrará tudo o que vir durante a viagem, para mostrar-me na volta.

O discípulo surpreso, indagou:- Mas mestre, como? Com este simples espelho, poderei eu lhe mostrar tudo o que encontrar durante a viagem?No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos,

2) Utilizando a folha recorte o maior quadrado possível. Nomeie os vértices desse

quadrado ABCD.

a) Você sabe o que é um vértice?

3) Dobre o quadrado unindo BD. Abra e risque essa linha de dobra com lápis

colorido.

a) Qual o nome dessa linha que se formou de um vértice até o outro?

b) Quantas diagonais possuem um quadrado?

c) Em nossa sala de aula existe diagonal?

4) Corte o quadrado pela diagonal.

a) Que figuras formaram agora?

b) O que é ângulo?

9

c) O que é lado?

5) Divida um desses triângulos ao meio.

6) Marque no outro triângulo o ponto médio (O) do maior lado.

7) Dobre o vértice que está de frente para o ponto médio sobre a marca e corte na

dobra formada, obtemos duas peças os triângulos grandes AOB e AOD.

8) Dobre de maneira que o vértice C “encontre” o ponto O. Abra, risque e corte a

linha de dobra. Formamos mais uma peça do Tangram, o triângulo médio. Nomeie

os outros vértices desse novo triângulo, sendo E e F.

Obtivemos um triângulo pequeno e o paralelogramo.

a) Através de dobras compare as medidas dos segmentos: DF e FC, BE e

EC, CE e CF.

b) Esses segmentos são congruentes?

c) A figura restante é um quadrilátero (DBEF), do qual serão obtidas as outras quatro

peças do Tangram.

10

9) Dobre o paralelogramo ( quadrilátero DBEF) ao meio e corte. Obtemos dois

trapézios (ODFG) e (BOGE).

a) Pesquise a diferença entre paralelogramo e trapézio

10) Retire do trapézio (BOGE), um paralelogramo, dobrando o vértice O sobre o

vértice E.

11) Para obter o quadrado e o outro triângulo pequeno, você deve

dobrar o quadrado de maneira que o vértice D toque o ponto O. Vinque essa dobra

do ponto F até a diagonal BD.

Formamos o quadrado e o outro triângulo pequeno.

a) Esse triângulo é isósceles ( tem dois lados de mesma medida) e quanto ao ângulo

é classificado como triângulo retângulo (tem um ângulo reto – 90o ), confira se as

afirmações são verdadeiras.

b) Verifique que o quadrilátero formado é um quadrado, comparando a medida de

seus lados e ângulos através das dobras nas duas diagonais.

11

.

Atividade baseada no Folhas Geometria e origami uma combinação perfeita.

Autora: Tereza Cristina Umburanas Nascimento Novak

Disponível em http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/719-2.pdf?PHPSESSID=2009050615290437

Comentário: após esta atividade é possível retomar vários conceitos como:

• O que é medir?

• Ângulos

• Polígonos

Sugestão:

1. Conceituar medidas. (Oralidade)

a) O que é medida? O que se pode medir? Como se pode medir? Com que se

pode medir? Quando é necessário medir?

b) É possível medir...

Atividade Prática

- Propor a cada aluno que meça um dado objeto (por exemplo, um pedaço de

barbante (cadarço), a capa do livro, o tampo da carteira) ou substâncias como

açúcar, água,...

Atividade Escrita

- Relacionar no quadro de giz os dados obtidos a partir da atividade prática.

- Expor no quadro de giz os diferentes conceitos que alunos têm sobre o que é

medir.

- A partir do exposto, construir o conceito do que é medir.

Relatar através de uma breve história a importância das medidas e dramatizar a

necessidade da criação da unidade-padrão;

12

Construímos o tangram, sendo ele composto por 7 peças: 2 triângulos grandes,

2 triângulos pequenos, 1 triângulo médio, 1 quadrado e 1 paralelogramo.

2. Ângulos

13

Falando um pouco sobre ângulo

Definição de ângulo, apresentada em “Aplicações

do GeoGebra ao ensino de Matemática/Definições

e teoremas”

Ângulo é a figura formada pela reunião de duas semirretas de mesma origem. A origem comum O chama-se vértice e as semirretas chamam-se lados. A cada ângulo corresponde um número real entre 0 e 180 que é a sua medida, nesse caso sua medida é dada em graus.

No livro “tudo é matemática” da 6ª série, o

autor revisa a definição de ângulo. Dante (2007,

p.145), “Ângulo é a figura formada por duas

semirretas de mesma origem. As semirretas são

seus lados e o ponto de origem das duas semi-

retas é seu vértice.”

De maneira geral, os livros apresentam o

ângulo através do clássico desenho de duas

semirretas unidas por um arco a alunos de 5ª

série, e fazem com que “Muitos jovens chegam à

6ª, à 7ª e até a 8ª série achando que ângulo é um

par de semi-retas. Para medi-lo, usam a régua,

pois o transferidor para eles não faz sentido”.

(Maria Ignez de Souza Vieira Diniz- pesquisadora

do Mathema).

Especialistas recomendam que se ensine

ângulo como uma idéia de giro, em todas as

séries do Ensino Fundamental, para que os alunos

compreendam e utilizem o conceito de ângulo na

resolução de problemas matemáticos e no dia-a-

Atividade Prática: Transferidor de papel

Comentário: neste momento é muito importante a mediação do professor.

• A circunferência tem quantos graus?

Então este semicírculo tem 180° e nesta dobra temos um ângulo de 90°, e ao

dobrarmos novamente ao meio, formaremos "fatias" de 45°. Ao dividir a mesma

meia-lua em três partes, cada "fatia" ficará com 60°, e dobrando ao meio (30°) e

mais uma vez ao meio (15°).

• Instigar o pensamento do aluno desafiando a construir ângulos de 10° em 10°, ou

de 5° em 5°,...

• O professor pode ainda apresentar o transferidor como instrumento construído

para medir ângulos, e sugerir a brincadeira “Um tesouro no caminho da

geometria”, prática pedagógica apresentada por Raquel Ribeiro em

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/tesouro-caminho-

geometria-428083.shtml

3. Polígonos

Dentre os polígonos, dar ênfase a classificação dos quadriláteros e suas

propriedades.

14

1. Desenhar uma circunferência no papel.

2. Recortar o círculo.

3. Dobrar e cortar ao meio.

4. Pegar a metade do círculo (semicírculo ou “meia-lua”), dobrar ao meio e

novamente dobrar ao meio ( irá formar quatro “fatias”).

5. Em seguida abrir o semicírculo e agora dobrá-lo em três partes iguais.

6. Marcar todos os vincos ( retas realizadas pelas marcas das dobras), riscando

com um lápis de cor.

7. Escrever no transferidor de papel os respectivos graus correspondentes a

cada reta marcada pelo lápis de cor.

Dica

• Um bom exercício para fixação da nomenclatura dos quadriláteros e suas

propriedades pode ser encontrado em

http://www.diadematematica.com/GeoGebra/renato_mineiro/quadrilatero.html

Atividade: Medir Área com auxílio do Tangram

a) Observe a figura ao lado e dê o nome de cada uma das

sete peças que compõem o tangram.

P Q

Tg

Tm Tp

b) Cada uma dessas peças representa uma região plana. Então é possível medir

essas superfícies, justapondo a peça escolhida como unidade de medida de

superfície sobre cada uma das demais peças do tangram.

• Calcular as áreas de cada uma das peças do Tangram utilizando como unidade

de medida a área do quadrado menor Q.

Tp Tg

Tm P

• O que ocorreria com as áreas das peças que você acabou de calcular se

utilizássemos como unidade de medida de área o triângulo pequeno?

V. Desfazer a confusão conceitual de área e perímetro

15

Tm

Tp

Tp

Tg

Tg

Q

P

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

Promover situações e atividades para que os alunos levantem hipóteses

investiguem ou experimentem situações concretas para facilitar abstração dos

conceitos de área e perímetro.

Atividade: Construindo os conceitos de área e perímetro

Qual das duas figuras utiliza mais papel na sua confecção?

Proposta: utilizar a noção de área para decidir, entre um quadrado amarelo (12 x 12

cm) e um retângulo laranja ( 11 x 13 cm) de mesmo perímetro, se um possui maior

quantidade de papel que o outro.

Procedimento:

• Em duplas, os alunos devem calcular o perímetro das duas figuras e comparar a

quantidade de papel utilizando apenas recortes ou dobras;

• Anotar no caderno todas as suas hipóteses;

• Apresentar por escrito a resposta da dupla, e como chegou a essa resposta

O professor deve:

• Mediar à aprendizagem, através de provocações, questionamentos como:

- É correto usar o perímetro para medir a quantidade de papel?

• Discutir as conclusões desta atividade;

Propor outra forma de verificar quem possui maior quantidade de papel, por

exemplo,

- desenhar as duas figuras no caderno

- quadricular as figuras formando quadradinhos de 1 cm

- contar a quantidade de quadradinhos de cada figura

- apresentar a resposta encontrada.

16

ATIVIDADE: Atividades sobre área e perímetro desenvolvidas no Laboratório de

Ensino de Matemática (LEMAT)

1. Nos quadrados dispostos abaixo, a região cinza é maior, menor ou igual que a

região branca?

2. Qual é a área das figuras abaixo?

17

Atividade desenvolvida a partir do material “Pelos caminhos de uma nova experiência no ensino

de geometria” de Eliane Matesco Cristovão.

Figuras construídas pela autora no GeoGebra

Utilize o quadradinho da malha como unidade de medida de área

Resposta

Como você chegou a essa resposta?

Atividades 1 e 2 adaptadas de Uma discussão sobre o ensino de área e perímetro no ensino

fundamental.

3. Observe como o retângulo abaixo foi dividido em duas partes iguais.

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

18

………………………………………………………………………………

Agora, divida os 5 retângulos em duas partes iguais fazendo cortes diferentes em

cada um deles.

4. Relacione cada figura da coluna esquerda com uma figura da coluna direita que

tenha superfície equivalente.

19

A

B

C

D

1

2

3

4

Atividades 3 e 4 ( figura da atividade 4) apresentadas em Uma discussão sobre o ensino de área e

perímetro no ensino fundamental.

5. Na figura abaixo (construída no GeoGebra), a superfície clara ocupa maior, menor

ou igual área que a superfície escura?

Imagem construída no GeoGebra pela autora

Atividade adaptada a partir de Uma discussão sobre o ensino de área e perímetro no ensino

fundamental.

ATIVIDADES PARA PERÍMETRO

6. Um automóvel percorre a seguinte estrada:

O comprimento dessa estrada é igual ao comprimento de:

a) c)

d) e)

Figuras da autora

20

Atividade adaptada a partir de Uma discussão sobre o ensino de área e perímetro no ensino

fundamental.

7. Comparando os perímetros das regiões A, B e C, qual destas tem o maior

perímetro? E o menor?

Atividade e figura apresentada em Uma discussão sobre o ensino de área e perímetro no ensino

fundamental.

Disponível em http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Minicurso/Trabalhos/MC70705321487T.doc

VI. Medidas de área e perímetro

Que unidade você usaria para medir a superfície de sua sala de aula, da folha

de seu livro de matemática e da propriedade rural que você conhece?

21

Você sabia?Superfície é

uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um

A

B

C

Utilizar mãos, pés, passos,..., como instrumento de medida pode provocar uma

grande confusão.

Com o objetivo de padronizar as unidades de medidas, e atender as necessidades do

desenvolvimento científico e tecnológico foi criado o Sistema Internacional de Medidas (S.I.)

em 1960, o qual foi adotado pelo Brasil em 1962.

Algumas das principais unidades SI

Grandeza Nome Plural Símbolocomprimento metro metros m

área metro quadrado metros quadrados m²volume metro cúbico metros cúbicos m³

ângulo plano radiano radianos radtempo segundo segundos s

freqüência hertz hertz Hzvelocidade metro por segundo metros por segundo m/s

aceleraçãometro por segundo

por segundo

metros por segundo

por segundom/s²

massa quilograma quilogramas kgFonte: http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp#principaisSI

Para medir, por exemplo, a área do Estado do Paraná, a unidade metro

quadrado é “pequena”, então para expressar áreas de grande extensão territorial, é

Qual é a largura da sua carteira?

Professora, a minha tem 2 palmos e 3 dedos.

A minha tem só 2 palmos!

Acho que medi errado, deu quase 3 palmos! Vou ficar bem quietinha!

22

usual empregar o quilômetro quadrado, cujo símbolo é km² e para medir pequenas

superfícies, podemos usar o centímetro quadrado (cm²).

Situação problema:

Hectares, alqueires, alqueires mineiro são medidas de superfície agrárias

muito utilizadas, mas suas medidas não foram padronizadas pelo SI.

As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo,

plantações, pastos, fazendas, etc., a sua unidade de superfície adotada é o are, cujo

O sítio do

meu pai é bem

maior que o sítio

do seu pai!

Eu não acho, não! O do

meu pai vai até o outro

lado da estrada, uma vez

“escutei ele” dizendo que o

sítio era grande, tem 15

alqueires!

Hum!!! Não sei não! Esse negócio de hectare,...

“Tá vendo, eu não

te disse!”, O do meu

pai é o dobro do

seu pai, o sítio tem

30 hectares!

23

símbolo é a e corresponde ao quadrado de 10 metros de lado, isto é, 100 metros

quadrados, e o hectare um dos seus múltiplos muito utilizado (hectare = 100 ares =

10.000 m2).

Mas, no Brasil ainda se pratica uma medida agrária muito antiga, o alqueire,

que adquire designação própria, e dimensões variadas de caráter tipicamente

regional, conforme demonstra a tabela abaixo.

Tipos de alqueires m2 ha

Alqueire paulista 24.200 2,42

Alqueire mineiro 48.400 4,84

Alqueire baiano 193.600 19,36

Atividade prática:

O metro linear (m)

O metro quadrado (m2 )

24

Fonte: somatematica.com.br

• Qual é a área do alqueire adotada como unidade de medida agrária no

estado do Paraná? E qual a sua denominação?

1. Recortar tiras estreita de jornal ou revistas velhas;

2. Colar a ponta de uma tira na outra, até formar uma fita de um metro de

comprimento ( utilize um instrumento para medir 1 metro ou 100 cm).

1. Montar uma superfície quadrada colando cinco a seis folhas de jornal;

2. Utilize o metro linear construído na atividade anterior para conferir a medida

dos lados do quadrado, lembre-se, o lado deve ter um metro de lado;

3. Através de recortes ou colagens de jornal, transformar a superfície de jornal

em um quadrado de um metro de lado (m2 ), para fazer medições de área.

Provocá-los para que utilizem os instrumentos construídos (m ou m2) para medir a

altura da porta, a área da sala de aula, o comprimento do corredor, etc.

VII. Recursos tecnológicos

Vários pesquisadores apontam a necessidade do computador ser utilizado

nas escolas como ferramenta pedagógica e também a existência de diversos

softwares matemáticos que podem ser utilizados pelo professor para enriquecer a

aprendizagem. Dentre eles, o Cabri-Geomètre, GeoGebra, Winplot, Régua e

Compasso, etc.

Nesta unidade didática, algumas atividades serão desenvolvidas utilizando o

software GeoGebra, pois além de ser um software livre (gratuito), com versão em

português, está instalado nos computadores dos laboratórios de informática das

escolas estaduais do Paraná.

VIII. GeoGebra

Para conhecer um pouco de GeoGebra, acessar o site www.geogebra.org e realizar

a leitura do texto de informação sobre o GeoGebra;

Para auxiliar a aprendizagem e o manuseio das ferramentas do GeoGebra clique

nos Hiperlink abaixo:

• TUTORIAL GEOGEBRA INFORMACOES.doc

• Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática

• Sugestão de endereços com materiais interessantes

http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Geometry#Geometry_with_GeoGebra é

possível aprender geometria com GeoGebra através de um passo-a-passo criado

por Linda Fahlberg – Stojanovska

http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Geometry está disponível material de

ensino aprendizagem de Geometria com GeoGebra

25

IX. ATIVIDADES COM GEOGEBRA

LEMBRETE

Para realizar atividade com GeoGebra no laboratório de informática da escola, entre

em: APLICATIVOS--> EDUCAÇÃO-->MATEMÁTICA-->GEOGEBRA

ATIVIDADE 01

Construir um quadrilátero muito especial no GeoGebra

Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra e a Malha. Clique no menu

Exibir para desativar o Eixo.

1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo e selecione a opção Novo.

2- Selecione a opção novo ponto e clique num lugar qualquer na área de

trabalho para criar os pontos A e B (neste momento a distância entre os pontos A e

B não importa).

3- Selecione a opção reta definida por dois pontos e clique nos pontos A e

B para criar a reta a.

4- Selecione a opção reta perpendicular e clique no ponto A e na reta a

para criar a reta b. Repita o procedimento clicando em B para criar a reta c.

• Antes de continuar nossa construção vamos relembrar: O que é reta

perpendicular? Observe a sala de aula e exemplifique onde você visualiza reta

perpendicular.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

26

5- Selecione a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos

e clique no ponto B e depois no ponto A.

6- Escolha a ferramenta intersecção de dois objetos e clique em um dos

pontos onde a circunferência intercepta a reta c, irá criar o ponto C.

7- Escolha a ferramenta reta paralela e clique no ponto C e na reta a para

criar a reta d.

• O que são retas paralelas? Cite exemplos.

8- Selecione a opção intersecção de dois objetos e clique nas retas b e d para

criar o ponto D (ou clique no ponto onde as retas se cruzam).

• Há diferenças entre as notações dos pontos e das retas? Quais? (Observe na

janela de álgebra)

9- Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique nas retas e na

circunferência (quando você clica nos objetos eles ficam com a espessura da linha

um pouco mais grossa), depois clique na opção mover.

10- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, C e D,

fechando em A.

• Esse polígono tem quantos lados? Então, por ele possuir

27

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

lados, é classificado

11- Selecione a opção ângulo e clique em dois segmentos consecutivos no

sentido horário, ou em três pontos para obter o ângulo interno do polígono. Repita a

operação até obter o valor de todos os ângulos.

• Quantos foram os ângulos obtidos?

• Agora, observar na figura e na janela de álgebra, quais são os valores

(medidas) de todos os segmentos e de todos os ângulos.

12- Observe na janela de álgebra os objetos livres, onde aparecem os pontos A e

B e os objetos dependentes, onde aparecem os outros pontos. Selecione a

opção mover e tente movê-lo clicando em cada ponto na janela de gráficos.

• Quando movemos os pontos A e B o que acontece com, o formato do polígono?

E com as medidas dos segmentos? E com poly1? O que representa poly1?

13- Coloque (V) para as afirmações verdadeiras e (F) para as falsas. Justifique a

resposta falsa.

Dica: o Hiperlink Quadriláteros.doc pode auxiliar para relembrar as propriedades dos

quadriláteros e ao brincar um pouco em ..\Downloads\Quadrilátero.html, mover os

vértices e visualizar todos os quadriláteros e as suas propriedades.

28

Esse polígono regular é conhecido como................................................ , pois é

um quadrilátero que possui todos os lados e ângulos congruentes.

( ) Todo quadrilátero que tem os quatro lados com a mesma medida chama-se

quadrado....................................................................................................................

( ) Paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados paralelos com a mesma

medida, iguais dois a dois...........................................................................................

....................................................................................................................................

( )Todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é

quadrado.....................................................................................................................

( ) Podemos afirmar que todo trapézio é um retângulo..........................................

....................................................................................................................................

( ) Todo retângulo possui os quatro ângulos internos retos (90°).........................

....................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ATIVIDADE 02

Deduzir a fórmula do perímetro e da área do quadrado.

Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha.

1- Abra um arquivo novo.

2- Selecione a opção novo ponto e clique na área de trabalho para criar os

pontos A (1,2) e B(3,2).

3- Selecione a opção reta definida por dois pontos e clique nos pontos A e

B para criar a reta a.

4- Selecione a opção reta perpendicular e clique no ponto A e na reta a

para criar a reta b. Repita o procedimento clicando em B e na reta a para criar a

reta c.

5- Selecione a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos e

clique no ponto B e depois no ponto A.

6- Escolha a ferramenta intersecção de dois objetos e clique na intersecção

da circunferência com a reta b, irá criar o ponto C.

7- Escolha a ferramenta reta paralela e clique no ponto C e na reta a para

criar a reta e.

8- Selecione a opção intersecção de dois objetos e clique nas retas c e e,

para criar o ponto E (ou clique no ponto onde as retas se cruzam).

9- Clique na seta escolha a opção exibir/esconder objeto e clique

nas retas e na circunferência, depois clique na opção mover

10- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, E e C,

fechando em A.

Dica: Área e perímetro com a ferramenta do GeoGebra

29

• Qual é o valor de polígono 1? ( O valor aparece na janela de álgebra em objetos

dependentes).

11- Selecione a opção mover e arraste o ponto A para A(0,2).

• Agora qual é o valor de polígono 1? Observe e responda o que aconteceu com a

figura do quadrado.

• Repita todo o procedimento arrastando o ponto A para A(-1,2). O que acontece

com o valor de polígono 1? Observe e responda, quantos quadradinhos da

malha tem no interior do quadrado?

12- Selecione a opção mover e arraste o ponto A para A(-2,2). Agora qual é o valor

de polígono 1?

• E o valor da área?

• E o perímetro?

O valor da medida de cada lado do quadrado ( medida do segmento) aparece na

janela de álgebra, em objetos dependentes.

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………………………………………………………………………………………………

Dica: Área e perímetro com a ferramenta do GeoGebra

30

A parte colorida do polígono é a superfície (área é o seu valor), o contorno, chamamos de perímetro.

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13- Para completar a tabela abaixo, você pode visualizar a área e o perímetro do

polígono em ..\Downloads\Movimentar_quadrado.html (clique tecla CTRL + clique o

link)

• Complete a tabela, quando o quadrado possuir:

Medida do

lado

Valor de polígono 1

(superfície colorida do

quadrado) - área

Soma dos segmentos (contorno do

quadrado) - perímetro

23456n

• Qual é a denominação matemática para a superfície colorida do polígono?

E para o contorno do polígono?

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Dica: Área e perímetro com a ferramenta do GeoGebra

No GeoGebra também é possível calcular a área e o

perímetro de um polígono.

Clicar na seta da ferramenta escolha a opção área e clique no interior do

polígono, e ele calcula a área.

Para calcular o perímetro do polígono, clicar na mesma ferramenta escolher a

opçãoperímetro e clicar no contorno do polígono, na figura aparecerá o valor do

perímetro.

31

Atividade “Deduzir a fórmula do perímetro e da área do quadrado” adaptada da Produção Didático-

Pedagógica (A Utilização do Laboratório de Informática para o Ensino de Geometria no Ensino

Fundamental ) produzida pela professora PDE Maria Julia de Carvalho

14- Atividades de Área e Perímetro virtuais, elaboradas com o auxílio do

GeoGebra

Atividades elaboradas pela autora no software GeoGebra

Sugestão: este site

http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/Knote/Area/Rectangle_Area.html há

uma planilha de ensino aprendizagem sobre a fórmula para calcular área de um

retângulo.

ATIVIDADE 03: Aumentando a área, o perímetro aumenta? Será que a

tecnologia pode nos ajudar a responder essa questão?

OAC de Marcia Catarin Rissi

Problematização

“Quero encontrar a área de um mapa do Paraná, para isso eu coloquei um barbante

sobre o contorno do mapa, acompanhando todas as suas curvas. Logo depois

amarrei as pontas do barbante e com esse barbante formei um retângulo. Depois foi

só calcular a área do retângulo e obtive a área do meu mapa. Porém a minha idéia

não funcionou.

Desenvolvimento

É possível construir outros retângulos de áreas diferentes e perímetros iguais ao

retângulo abaixo?

32

..\Downloads\Movimentar.html

..\Downloads\Movimentar_retengulo.html

..\Downloads\Área_do_retângulo.html

Imagem construída pela autora no GeoGebra

Para responder a questão acima, usar o recurso do programa geogebra

em..\Downloads\Área_do_retângulo.html para completar a tabela abaixo, a qual irá

auxiliar na solução do problema apresentado por Márcia Catarin Rissi.

Esboço do retângulo Medida

do comp.

(lado)

Medida da

larg.

(lado)

Perímetro

(contorno)

Área

(medida da

superfície)7 5

Retomar as questões.

- Foi possível construir retângulos com áreas diferentes e perímetro igual?

– Qual é a maior área de uma horta cercada com 24 m de tela? E quais são as

suas medidas?

33

……………………………………………………………………….

- Porque a área do mapa do Estado do Paraná, encontrada por Márcia, não estava

correta?

• Agora você será o construtor!

Procedimento:

a. Abrir um arquivo novo no GeoGebra.

b. Construir um retângulo. ( Se precisar de ajuda, clique tecla CTRL + clique o link

Retângulo com GeoGebra.doc)

c. Marcar os ângulos internos do retângulo.

d. Marcar a medida dos lados do retângulo.

e. Movimentar um dos vértices e conferir sua construção, observar as medidas dos

ângulos e dos lados ( lembre-se que um retângulo possui todos os ângulos retos).

f. Marcar no retângulo ABCD a medida do seu perímetro e da sua área.

g. Movimentar o retângulo e anotar as medidas dos lados, perímetro e área na

tabela abaixo.

Retângulo Comprimento Largura Área Perímetro

34

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

……………………

Construir um retângulo ABCD com perímetro igual a 12, sem utilizar a

ferramenta polígono regular, para que possa ser movimentado pela tela

sem perder suas propriedades.

Sugestão de atividade on line:

http://mathcasts.org/gg/student/measure/rectPA/index.html neste endereço pode

realizar oito atividades de perímetro e área de um retângulo.

ATIVIDADE 04: Planta baixa

Atividades a serem realizadas em duplas.

1) São dadas 4 plantas de casas abaixo, recorte-as separadamente, a planta de

no 1, 2, 3 e 4.

2) Calcule a área e o perímetro de cada uma das plantas baixa.

3) Pegue a planta de no 1, recorte cada cômodo e remonte a planta da maneira

que quiserem na cartolina.

4) Calcular a área e o perímetro da nova montagem, anotando o resultado na

cartolina. O mesmo deverá ser feito com as plantas 2, 3 e 4.

5) Fixar no quadro, as cartolinas de cada dupla.

6) Observar todas as plantas baixa de no 1, e anotar os dados na tabela, obtidos

por cada dupla de alunos.

Planta de no 1 Valor da Área Valor do Perímetro Formato da plantaDupla 1Dupla 2Dupla 3Dupla 4Dupla 5Dupla 6Dupla 7Dupla 8Dupla 9Dupla 10Dupla 11Dupla 12Dupla 13

Faça o mesmo com as plantas 2,3 e 4.

35

7) Anote as observações da dupla e a conclusão que obtiveram.

PLANTA BAIXA 1

Figura realizada pela autora com auxílio do GeoGebra

36

PLANTA BAIXA 2

Onde está escrito Área, lê-se área de serviço.

Figura realizada pela autora com auxílio do GeoGebra

37

Onde está escrito Área, lê-se área de serviço.

PLANTA BAIXA 3

Onde está escrito Área, lê-se área de serviço.

Figura realizada pela autora com auxílio do GeoGebra

Para reduzir o custo dessa casa, a prefeitura de sua cidade disponibiliza um projeto com no máximo 70 m2, onde não é necessário pagar o engenheiro. A Matemática também pode ajudar nessa economia, existem formatos de construções como casas, cocheiras ou objetos como mesas, embalagens, etc. que são projetados levando em conta além da estética, outra vantagem muito importante, a economia.

38

PLANTA BAIXA 4

Onde está escrito Área, lê-se área de serviço.

Figura realizada pela autora com auxílio do GeoGebra

Para reduzir o custo dessa casa, a prefeitura de sua cidade disponibiliza um projeto com no máximo 70 m2, onde não é necessário pagar o engenheiro. A Matemática também pode ajudar nessa economia, existem formatos de construções como casas, cocheiras ou objetos como mesas, embalagens, etc. que são projetados levando em conta além da estética, outra vantagem muito importante, a economia.

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ATIVIDADE 04: DESAFIO

Construir uma planta baixa de uma casa, com: 2 quartos, 1 cozinha, 1 sala, 1

banheiro e uma área de serviço.

Através de cálculos com o auxílio do GeoGebra, apresentar a planta baixa da casa,

com 64 m2 de área construída e o menor perímetro possível.

Atividade em dupla.

Dica: construa no GeoGebra o contorno dessa casa (polígono), selecione a opção

área e dê um clique no interior do polígono, utilize também a ferramenta perímetro, e

clique no contorno do polígono. Movimente o polígono até obter 64 m2 e o menor

perímetro. Depois faça as paredes internas da casa.

X. Aplicação do pré-teste (anexo1), para realizar a verificação da aprendizagem

do aluno com a implementação do projeto e compará-lo com o pré-teste,

realizado no início do projeto.

Para reduzir o custo dessa casa, a prefeitura de sua cidade disponibiliza um projeto com no máximo 70 m2, onde não é necessário pagar o engenheiro. A Matemática também pode ajudar nessa economia, existem formatos de construções como casas, cocheiras ou objetos como mesas, embalagens, etc. que são projetados levando em conta além da estética, outra vantagem muito importante, a economia.

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ANEXO 1

Aluno............................................................................................no........6a ..........

Sondagem sobre os conhecimentos dos alunos sobre área e perímetro

01. Ligue as figuras que possuem a mesma área:

02. Qual o perímetro da figura abaixo que é composta de um retângulo e de um

triângulo isósceles? Apresente a justificativa ou o cálculo usado na resolução.

( ) 10

( ) 11

( ) 12

( ) 16

03. Marque um X na figura que tem a maior área, e escreva o valor de sua área.

41

5

2

2

2

04. Qual é o perímetro da figura abaixo? Apresente a justificativa ou os cálculos

usados na resolução.

8 cm

05. Calcular a área da parte pintada da figura abaixo. Apresente a justificativa ou os

cálculos usados na resolução.

4 4 4

42

6 cm 10 cm

3

Atividade inspirada no pré-teste da dissertação de Mestrado “Construção do conceito de área e perímetro: uma sequencia didática com auxílio de software de geometria dinâmica” de Loreni Aparecida Ferreira, UEL 2004 e as figuras foram reconstruídas com o auxílio do GeoGebra.Anexo 2 - Geometria

A Geometria é a representação de um mundo real através de um mundo

imaginário, uma vez que representa a natureza e também os objetos criados pelo

homem, através de figuras geométricas. Freudental em relação à potencialidade da

geometria como conhecimento, se expressa do seguinte modo:

A Geometria é uma das melhores oportunidades que existem para aprender matematizar à realidade. É uma oportunidade de fazer descobertas como muitos exemplos mostrarão. Com certeza, os números são também um domínio aberto às investigações, e pode-se aprender a pensar através da realização de cálculos, mas as descobertas feitas pelos próprios olhos e mãos são mais surpreendentes e convincentes. Até que possa de algum modo ser dispensadas, as formas no espaço são um guia insubstituível para a pesquisa e a descoberta.

( FREUDENTAL,1973,p.407, apud HAMAZAKI, et al)

O homem constrói e utiliza o conhecimento matemático durante toda a sua

vida. A ciência Matemática é de suma importância pela sua aplicação prática, mas

também pela possibilidade de desenvolver o pensamento abstrato, onde o estreito

relacionamento entre a prática e a abstração tem proporcionado à humanidade a

solução de problemas do seu cotidiano.

Por meio da história da Matemática, descrita por Heródoto ( século V a.C),

Boyer (1974), Gerdes (1992), Howarth (1993), Ramos (2001) e muitos outros,

acredita-se que a matemática, surgiu das necessidades básicas da humanidade e

da mesma forma a geometria. Sobre a origem da Geometria, Eves (1992)

argumenta que, provavelmente as primeiras noções geométricas tenham surgido

com os homens primitivos, pois eles já faziam uso das noções de distâncias,

observavam as formas da natureza e dimensões dos corpos que os rodeavam. E

ainda, para Gerdes (1992), o homem ao observar a natureza e perceber

regularidades nas formas, através de sua mente reflexiva, ele construiu uma

geometria intuitiva que mais tarde viria a se tornar uma geometria científica. Era uma

ciência empírica, uma coleção de regras práticas para obter resultados aproximados.

Apesar disso, estes conhecimentos foram utilizados nas construções das pirâmides

e templos Babilônios e Egípcios. Desse modo, pode-se concluir que a geometria

surgiu da vida prática e que levou muito tempo para se transformar em teoria

matemática.

43

Conceitos básicos da geometria, como o cálculo de área e perímetro, tiveram

um relevante desenvolvimento a partir da necessidade prática de fazer novas

demarcações de terra, após cada enchente do rio Nilo. Essa necessidade de

delimitar a terra levou à noção de algumas figuras geométricas, tais como

retângulos, quadrados, triângulos, entre outras e ainda obtiveram fórmulas para o

cálculo de área. Talvez seja por isso que a palavra “geometria” etimologicamente

significa “medida da terra”, e vem do grego geo = terra + metron = medida

(Wikipédia).

O ser humano vive e se desenvolve em um determinado espaço, tendo vários

pontos como referencial e se encontra rodeado por inúmeras figuras geométricas.

Pela visualização e manipulação dos objetos inseridos nesse espaço, é possível

construir um aprendizado significativo para os alunos do Ensino Fundamental.

Desenvolver e explorar a capacidade de abstração do educando, são práticas

essenciais ao trabalho do professor, para um ensino aprendizagem de qualidade dos

conteúdos geométricos.

A Geometria precisa ser vista e desenvolvida como um importante conteúdo

estruturante na formação acadêmica, e em relação à própria Matemática, por facilitar

a compreensão de conteúdos que de forma geral auxiliam significativamente na

aprendizagem de outras disciplinas. Por exemplo, no auxílio da interpretação de

mapas, nos gráficos estatísticos, nos conceitos de medições, nas construções de

maquetes, etc.

Para integrar um indivíduo à vida moderna, a geometria é essencial. As

pessoas lidam com conceitos geométricos básicos diariamente. Isso ocorre sem que

se perceba, mas a geometria faz parte do cotidiano e da vida de todos.

(Texto extraído do Projeto de Intervenção Pedagógica “Área e perímetro com auxílio do GeoGebra,

Andreghetti, Célia O., PDE 2009)

44

REFERENCIAS

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BALDINI, Loreni Aparecida Ferreira. Construção do Conceito de Área e Perímetro: Uma Seqüência Didática com Auxílio de Software de Geometria Dinâmica. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática, da Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, 2004. Disponível em <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/dissertacao_loreni.pdf >. Acesso 18 out. 2009.

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CARVALHO, Maria Julia de. A Utilização do Laboratório de Informática para Ensino de Geometria no Ensino Fundamental. Artigo apresentado ao PDE, 2009. Disponível em< www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2539-8.pdf >. Acesso em 20 dez. 2009.

CRISTOVÃO, Eliane M. Pelos caminhos de uma nova experiência no ensino de geometria. Disponível em <http://mathcasts.org/gg/student/measure/rectPA/index.html>. Acesso em 07 de maio 2010.

45

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NOVAK, Tereza C. U. N. Geometria e origami uma combinação perfeita. Folhas: produção didático-pedagógica, PDE 2007. Disponível em <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/719-2.pdf?PHPSESSID=2009050615290437 >. Acesso em 20 dez.2009.

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