DE GRANDEZAS E MEDIDASREPRESENTAÇÃO · PDF filede modo a destacá-los...

TÓPI

CO

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

12.1 Introdução12.2 Tabelas e gráficos

12.2.1 Gráficos em linha12.2.2 Gráficos em colunas12.2.3 Gráficos em barras12.2.4 Gráficos em setores (torta/pizza)12.2.5 Gráficos ternários ou triangulares12.2.6 Imagens e gráficos de superfície12.2.7 Histogramas

12.3 Análise de gráficos: regressão linear e ajustes de curvas (“curve fitting”) para extrair parâmetros de medidas

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a II12REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

DE GRANDEZAS E MEDIDASSérgio Ricardo Muniz

211

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

12.1 IntroduçãoNeste tópico faremos uma breve introdução à representação gráfica de valores numéricos

e grandezas medidas experimentalmente. O texto complementa a videoaula, portanto, não

deixe de assisti-la!

12.2 Tabelas e gráficosÉ comum expressar números e conjuntos de valores numéricos na forma de tabelas. Embora

seja natural e bastante eficiente, essa forma de organizar uma coleção de números nem sempre

é a mais fácil de interpretar, especialmente se a quantidade de dados (informação) é grande. Por

isso, utilizam-se diferentes formas de representação gráfica, visando, sobretudo, facilitar a análise

por meio da visualização direta da informação relevante. Existem inúmeras formas de fazer isso,

e a mais conveniente e útil numa dada situação irá só depender do tipo de informação a ser

analisada. Apresentamos aqui algumas das mais comuns e importantes.

12.2.1 Gráficos em linha

Uma das formas mais usuais de representar graficamente uma tabela de valores é através de

um diagrama do tipo cartesiano, onde as duas colunas da tabela são expressas ao longo de dois

eixos ortogonais. Esse tipo de gráfico já nos é bem familiar, pois o temos usado desde o início

do nosso curso, para representar funções do tipo y = f (x). Neste caso, lançam-se no gráfico os

Embora exista um grande número de aplicativos (softwares) que permitam a rápida produção de gráficos de boa qualidade no computador, é importante que você entenda bem os princípios básicos utilizados aqui, e seja também capaz de esboçar os gráficos no papel, por conta própria, antes de usar o computador. Isso é essencial para fixar os conceitos. Depois de compreendê-los bem, você será capaz de tirar mais vantagens dos programas de representação e análise gráficos disponíveis no mercado.

212

TÓPICO 12 Representação gráfica de Grandezas e medidas


valores da tabela na forma de pares ordenados segundo os dois eixos ortogonais do gráfico.

Esse tipo de representação é excelente para representar a dependência de uma grandeza em

função de uma variável independente, que é tipicamente colocada no eixo horizontal.

No caso específico dos diagramas em linha, costuma-se usá-los para representar grande-

zas medidas ou determinadas apenas num conjunto discreto (finito) de valores. Em contraste

com o caso onde tínhamos uma função matemática contínua, e completamente determinada

em todos os pontos do domínio da função, neste caso os valores entre os pontos medidos

(tabelados) não são conhecidos. É usual conectar os pontos medidos por um segmento de reta,

apenas para indicar a tendência local de variação de um ponto ao outro. Neste tipo de gráfico

fica subentendido que os segmentos são meramente indicativos, e não representam valores

conhecidos. Para enfatizar isso, é comum usar símbolos para representar os pontos (dados reais),

de modo a destacá-los daqueles que formam os segmentos de retas.

Um exemplo disso pode ser observado na Figura 12.1.

Uma variação natural desse tipo de diagrama é representar apenas os ponto conhecidos

(medidos) da Tabela 12.1, e não usar nenhuma linha conectando os mesmo. Esse tipo de grá-

fico é chamado de diagrama ou gráfico de pontos, ou ainda diagrama de dispersão de pontos.

Um exemplo disso seria simplesmente imaginar o diagrama da Figura 12.1 sem as linhas

vermelhas conectando os pontos azuis.

Ano Temp. (°C)1950 13,74

1955 13,78

1960 13,91

1965 13,83

1970 13,95

1975 13,88

1980 14,09

1985 13,97

1990 14,29

1995 14,31

2000 14,29

2005 14,52

Tabela 12.1Figura 12.1: Exemplo de um gráfico em linhas mostrando a temperatura média da superfície da Terra nas últimas décadas. Apenas os pontos representam os dados.

213



12.2.2 Gráficos em colunas

Outra forma muito útil de representar tabelas de dados numéricos, especialmente àquelas com

várias colunas numéricas, é usar um gráfico em colunas. Esse tipo de diagrama é interessante para

rapidamente visualizar a comparação (ou variação) de um valor com relação a outro, pois esses

são representados por colunas dispostas lado a lado, com tamanhos proporcionais aos respectivos

valores numéricos. Por isso, esse tipo de gráfico é usado especialmente para mostrar comparações

diretas entre diversos valores que guardam alguma relação lógica entre eles, mas que provêm de

grandezas ou medidas diferentes. Um exemplo disso é mostrado na Tabela 12.2, que apresenta

dados proporcionais à atividade solar ao longo dos meses de diferentes anos. A representação

gráfica, comparando essas medidas, é feita na Figura 12.2.

2000 2002 2004Janeiro 95 112 36

Março 144 98 50

Abril 126 120 38

Julho 170 116 51

Tabela 12.2

Neste caso, ao olhar para o gráfico percebemos imediatamente que a atividade solar mensal

do ano de 2004 é claramente menor.

Outra aplicação importante desse tipo de gráfico é na visualização das contribuições par-

ciais de vários parâmetros que resultam numa grandeza que é representada pela soma desse

Figura 12.2: Exemplo mostrando o número de manchas solares, indicador da atividade do Sol, ao longo dos meses em diferentes anos. Este exemplo ilustra uma boa aplicação deste tipo de gráfico.

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conjunto de valores. Além de fornecer uma visualização direta das proporções relativas de cada

componente, esse tipo de diagrama permite acompanhar a evolução dessa grandeza em diferen-

tes momentos ou situações. Vejamos um exemplo prático, representado na Tabela 12.3, onde

temos os tempos gastos por diferentes equipes na fabricação de um determinado item, que

depende de quatro processos diferentes.

Processo 1 Processo 2 Processo 3 Processo 4

Equipe 1 13 s 20 s 5 s 27 s

Equipe 2 5 s 33 s 12 s 17 s

Equipe 3 11 s 25 s 7 s 20 s

Tabela 12.3

Neste caso, o tempo total de produção desse item é dado pela soma dos tempos (parciais) dos

processos de 1 a 4. Observe que há uma grande variabilidade entre os tempos médios parciais

das equipes. A simples identificação dos melhores tempos, com a aplicação das melhores práticas

de cada equipe, já permitiria um grande ganho de produção final.

12.2.3 Gráficos em barras

Os diagramas em barras são uma variação dos diagramas em colunas, mudando apenas a

direção em que os mesmos são apresentados.

A escolha de qual usar irá depender da conveniência, ou do tipo de informação que se

pretende destacar, pois ambas as representações possuem as mesmas propriedades. A Figura 12.4

Figura 12.3: Exemplo das contribuições parciais de diferentes processos no tempo total de produção de um componente montado por várias equipes. A coluna da direita representa os melhores tempos possíveis em cada processo.

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ilustra uma aplicação típica desse tipo de gráfico, usando dados do IBGE (Instituto Brasileiro

de Geografia e Estatística).

Uma ligeira vantagem da representação em barras horizontais é que ela permite uma

densidade maior de informação, quando há um grande número de valores a ser apresentado.

Um ótimo exemplo disso é dado na Figura 12.4, onde é mostrada uma quantidade grande de

informação de forma bem compacta. Para perceber a vantagem da representação gráfica, basta

imaginar se você tivesse que analisar esses dados diretamente de uma tabela.

Figura 12.4: Exemplos de gráficos em barras, comparando as distribuições por faixa etária entre homens e mulheres no Brasil, assim como a evolução da mesma em diferentes anos, ao longo de uma década. Imagine ler esses dados numa tabela.

216



12.2.4 Gráficos em setores (torta/pizza)

Uma limitação dos diagramas anteriores é que eles não permitem visualizar facilmente

qual porção (fração percentual) um determinado item representa de um valor total. Assim, se a

informação mais importante é justamente a contribuição relativa de uma determinada porção,

ou setor, dentro de um conjunto de parâmetros ou medidas, então a escolha mais natural é

utilizar um gráfico de setores, ou diagrama em torta ou pizza.

A Figura 12.5 ilustra um exemplo desse tipo de representação, onde os setores circulares

são proporcionais aos valores da grandeza expressas. Na grande maioria dos casos, a soma de

todas as partes representadas equivale à área total do círculo, de modo que cada setor é exata-

mente igual à fração percentual do total, permitindo uma comparação direta das porções.

12.2.5 Gráficos ternários ou triangulares

Há situações onde a informação desejada pode depender de mais de um parâmetro ou variável.

Já vimos que, em alguns casos, os gráficos do tipo barras ou colunas nos permite representar

mais de um parâmetro ao mesmo tempo, porém, eles nem sempre permitem uma visualização

da relação entre diferentes grandezas que não são relacionadas diretamente, ou que não possam

ser categorizadas segundo uma ordem lógica. Um exemplo dessa situação ocorre quando temos

três variáveis independentes. Uma maneira interessante de fazer isso, ainda numa representação

plana bidimensional, é usar os chamados diagramas ternários ou gráficos triangulares.

Figura 12.5: Exemplo de um diagrama setorial, ou gráfico em pizza, mostrando a população estimada para 2010, das seis maiores cidades do mundo. Neste caso cada setor é proporcional a sua fração individual na soma de todas as partes.

217



Neste tipo de gráfico cada eixo representa uma variável, que é expressa num dos lados de

um triângulo de referência. As escalas são traçadas paralelamente a cada um dos lados da figura,

e os pontos representando as grandezas de interesse são então dispostos dentro do triângulo, de

forma semelhante ao método cartesiano (embora aqui as coordenadas não sejam cartesianas,

mas sim um caso particular de um sistema de coordenadas baricêntrico). Cada ponto é expresso

por triplas de coordenadas ordenadas, não cartesianas. A Figura 12.6 ilustra uma aplicação

desse tipo de representação, usando um dos exemplos mencionados na videoaula, envolvendo

propriedades físico-químicas de misturas ternárias (três substâncias).

12.2.6 Imagens e gráficos de superfície

Existem outras formas de representar um conjunto de dados que dependa de mais de uma

variável. Uma forma bastante comum é a extensão natural do método cartesiano bidimensional,

pela adição do terceiro eixo. Embora a representação ainda seja bidimensional, pois é feita

num plano (papel, tela, etc), ela se utiliza do desenho em perspectiva para simular um efeito

tridimensional. Já vimos alguns exemplos desse tipo de representação ao longo do curso, parti-

cularmente ao lidar com problemas que dependiam das três coordenadas espaciais cartesianas.

Figura 12.6: Exemplo ilustrativo de um diagrama ternário, para mistura de três substâncias químicas: metanol, acetona e clorofórmio.

218



A Figura 12.7 mostra um exemplo desse tipo de diagrama, para uma partícula carrega-

da em movimento helicoidal num campo magnético uniforme. Neste caso, como estamos

representando uma solução analítica (exata) do problema, foi utilizado uma linha contínua

(vermelha) para indicar a trajetória da partícula (azul). Se tivéssemos feito medidas da posição

em diferentes instantes de tempo, poderíamos apenas lançar os pontos representando o conjun-

to de coordenadas (x (t); y (t); z (t)) no diagrama.

Esse mesmo método pode ser usado para representar figuras geométricas em três dimensões

ou funções que dependem de duas variáveis, já que a neste caso o próprio valor da função irá

ocupar o terceiro eixo, segundo (x; y; z (x, y)). Um exemplo da representação de um objeto

tridimensional, neste caso uma superfície toroidal, é mostrado na Figura 12.8.

Figura 12.7: Exemplo de um gráfico tridimensional, indicando a trajetória de uma partícula carregada num campo magnético uniforme.

Figura 12.8: Exemplo da representação de uma figura geométrica tridimensional, neste caso uma superfície toroidal. Poderia ser também uma figura sólida.

219



Da mesma forma, pode-se também utilizar essa representação para dados experimentais,

além de funções matemáticas. Na Figura 12.9 mostramos um exemplo desse tipo, com dados

reais de um laboratório de física atômica, onde se destaca o fato de que uma imagem (bidi-

mensional) é também uma forma prática de representar um conjunto de dados, ou uma função

matemática, que dependa de duas variáveis. No caso da imagem, a quantificação da grandeza

está expressa na escala de cores (neste caso, uma escala de tons em cinza). Outra forma de

representar a mesma medida é dada ao lado, onde se utiliza um diagrama ou gráfico de superfí-

cie dos mesmos dados. Note que ambas as ferramentas são complementares, e ajudam a facilitar

a visualização de diferentes aspectos da mesma informação.

12.2.7 Histogramas

Esse é um tipo particular de gráficos de barras, ou colunas, que tem grande aplicação na

análise estatística. A principal utilidade dos histogramas está em fornecer o número de itens

que estão entre uma determinada categoria numérica, ou faixa de valores. Isso permite, por

exemplo, estabelecer a frequência (contagem) com que ocorre certa faixa de valores dentro de

um conjunto de medidas ou amostragem.

Na verdade, esse tipo de diagrama também já foi apresentado a vocês durante o curso de Estrutura

da Matéria, quando estudamos a função de distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann.

Naquele caso, o diagrama mostrava justamente a distribuição (número de moléculas numa certa

faixa, ou intervalo) de velocidades. Por isso, esse tipo de gráfico é muito usado para expressar

Figura 12.9: diferentes formas de representar dados experimentais de uma grandeza que varia em duas direções. Ambas as figuras representam os mesmos dados: a medida da densidade espacial de uma amostra de átomos ultrafrios (condensado de Bose-Einstein, T ≈ 100 nK), após serem liberados de uma armadilha óptica. Em a) temos uma imagem de absorção de um laser de prova, ressonante com um dos níveis de energia dos átomos, enquanto b) temos um diagrama de superfície.

a b

220



grandezas que seguem certos tipos especiais de distribuição de probabilidade. Nós voltaremos

a esse assunto mais adiante no nosso curso, mas para fixar o conceito iremos ilustrar aqui um

exemplo simples.

Imagine que os moradores de uma república estudantil resolveram vender objetos pouco

usados da casa, para ganhar espaço. Um deles, que está aprendendo sobre métodos estatísticos,

decide montar um histograma que mostre o resultado das vendas por faixa de valores, conforme

indicado na Tabela 12.4. Note que se trata de um gráfico de colunas, onde a grandeza de

interesse é a frequência de ocorrência de certa condição, neste caso, o número de elementos

(vendas) dentro de uma certa faixa de valores. Outra forma de expressar histogramas é em

termos do valor relativo, ao invés do valor absoluto. Neste caso, bastaria dividir os valores

indicados no eixo vertical pelo número total de vendas, que neste caso é 32, para ter a fração de

venda que cada categoria contribui para o total.

12.3 Análise de gráficos: regressão linear e ajustes de curvas (“fitting”) para extrair parâmetros de medidas

No seu trabalho, um cientista está frequentemente tentando entender como um efeito,

ou grandeza física (no seu sentindo mais amplo), depende de certos parâmetros ou variáveis.

Esse tipo de situação não é exclusividade dos cientistas, mas ocorre também em praticamente

todas as áreas que envolvam números e medidas, como a engenharia, economia e até computação.

Categoria Valores VendasFaixa 1 R$ 1 - R$ 5 8

Faixa 2 R$ 6 - R$ 10 6

Faixa 3 R$ 11 - R$ 15 4

Faixa 4 R$ 16 - R$ 20 2

Faixa 5 R$ 21 - R$ 25 4

Faixa 6 R$ 26 - R$ 30 6

Faixa 7 R$ 31 - R$ 50 2

Tabela 12.4Figura 12.10: histograma construído a partir dos dados da Tabela 12.4, mostrando o número de itens vendidos em cada faixa de preço.

221



Uma das relações mais simples e importantes que se pode observar entre duas grandezas é a do

tipo linear. No caso mais geral, se considerarmos duas grandezas representadas pelas variáveis x e y,

que têm uma relação de proporcionalidade entre elas, isso pode ser expresso matematicamente por:

y = Ax + B,

onde A e B são parâmetros constantes. Neste caso, o gráfico de y versus x deveria ser uma linha

reta cuja inclinação (coeficiente angular) é dada por A e que intersecta o eixo y no ponto y = B.

Por exemplo, imagine que tenhamos feito um conjunto de N medidas para diferentes

valores x1, x2, x3, ..., xN e os correspondentes valores y1, y2, y3, ..., yN. Se essas medidas fossem

“perfeitas”, isto é, não sujeitas a nenhuma incerteza ou erro experimental, então cada ponto

(xi; yi) deveria cair exatamente sobre a reta y = Ax + B, como na Figura 12.11a. Na prática,

porém, sempre existirá alguma incerteza e o melhor que podemos esperar é que a distância de

cada ponto (xi; yi) até a reta seja o menor possível, e compatível com as incertezas da medida,

conforme indicado na Figura 12.11b.

Apesar da dispersão e incerteza associada aos valores dos pares (xi; yi) medidos, é possível

ainda extrair os parâmetros da reta, isto é, os valores dos coeficientes A e B, que descrevem a

relação matemática entre os dados.

No caso ilustrado na Figura 12.11b, por exemplo, a coisa mais simples de se fazer é traçar a

melhor reta (aquela de menor distância da maioria dos pontos) diretamente no gráfico. Esse é um

procedimento prático e bastante simples, que pode ser feito mesmo manualmente com papel e régua.

Isso irá fornecer um resultado tipicamente tão bom quanto maior for o número de pontos medidos.

Figura 12.11: a) idealização de duas grandezas linearmente proporcionais, conforme y = Ax + B, determinadas sem nenhuma incerteza. b) Na prática, sempre há alguma incerteza (representada pelas barras de erro), e os pontos medidos irão apenas se aproximar de uma linha reta, que melhor representa o conjunto de medidas. Métodos de análise, do tipo regressão linear, permitem estimar, diretamente dos dados experimentais, os parâmetros A e B da reta.

a b

222



Na verdade, existe uma forma matemática bem precisa e formal de fazer isso, mas os detalhes do

cálculo estão além do nosso objetivo neste momento. O importante agora é você entender a ideia.

A ideia é bem simples, e basicamente consiste numa generalização matemática do que faríamos

manualmente, tentando traçar a melhor curva que passa pelo conjunto de pontos medidos. Para

isso é necessário criar um modelo matemático, assumindo uma dependência funcional (equação),

que descreva os pontos observados. Isso é necessário para que possamos calcular a distância entre

os pontos medidos e os pontos dessa curva de referência, produzida pelo modelo. O objetivo final

é obter os parâmetros da curva modelo que mais se aproxima dos pontos medidos.

O conceito importante aqui é o de distância entre um ponto e a curva (reta), e para os nossos

propósitos essa distância será expressa em termos da diferença entre os valores das coordenadas

de cada ponto medido e os correspondentes pontos da curva modelo. Essa diferença representa

o erro na medida daquele ponto. Como, no final, o objetivo será somar todos os erros e achar

a curva que minimiza essa soma, é importante tomar o cuidado de elevar ao quadrado os erros

calculados de cada ponto, de modo a termos apenas valores positivos antes de fazer a soma. Esse

processo de minimização dos erros ao quadrado é que dá origem ao nome geral desse tipo de

método, que é formalmente conhecido como método dos mínimos quadrados.

Para ilustrar o método e ajudar a fixar o conceito, nós iremos finalizar com um exemplo prático,

ilustrando a regressão linear de um conjunto de medidas. A ideia é que vocês sejam já capazes de

usar esses resultados, na análise de uma prática de laboratório, por exemplo, mas neste momento

convém apenas apresentar os resultados finais, sem demonstrá-los formalmente. A ideia é fornecer

uma ferramenta útil, sem desviar a atenção do conceito principal. Aqueles mais interessados não

terão dificuldades de achar a demonstração detalhada dos cálculos em livros especializados.

Exemplo 01: Verificação da Lei de Hooke

Neste exemplo iremos considerar um conjunto de medidas feito por um estudante de engenharia, tentando verificar se uma balança de mola obedece a Lei de Hooke, isto é, confirmar se o desloca-mento da mola é proporcional (linear) à força exercida sobre ela: F kr=

. Para isso ele utilizou um conjunto de N diferentes massas (mi), com valores bem conhecidos, e mediu o tamanho (li) da mola ao pendurar cada massa na balança. Os resultados estão na Tabela 12.5. Abaixo também estão indicadas as fórmulas usadas pelo aluno para calcular os coeficientes da reta, e os valores auxiliares usados nos cálculos. Siga os cálculos e entenda como funciona.

223



Neste caso: (xi ↔ mi) e (yi ↔ li) → l = Am + B

0 g gF k l m g l m l Ak k

= = → = + → = (inclinação do gráfico); B = l0 (coef. linear)

Sendok: constante de mola, g: aceleração da gravidade; l0: tamanho inicial da mola.

Referências Bibliográficas do tópicoMagalhães, M. N. & liMa, a. C. P de. Noções de Probabilidade e Estatística 4. ed.,

São Paulo: Edusp, 2002.

sPiegel, M. R. Estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1985.

goMes RuggieRo, M. a. & RoCha loPes, V. L. da. Calculo Numérico: aspectos teóricos e

computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1997.

TayloR, J. R. An introduction to error analysis. 2. ed. University Science Books, 1997.

i “x”Massa mi

(kg)

“y”Tamanho li

(cm)

(mi)2 mili

1 2 42,0 4 84

2 4 48,4 16 194

3 6 51,3 36 308

4 8 56,3 64 450

5 10 58,6 100 586

N = 5 ∑mi = 30 ∑li = 256,6 ∑mi2 = 220 ∑mili = 1622

Tabela 12.5

Se y = Ax + B, então:

sendo 1

Nii

u u=

→∑ ∑

2

2 2( )

N xy x yA

x y x xyB

N x x

−=

∆

−=

∆

∆ = −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2 2 2

2

( ) 5 220 (30) 200

5 1622 30 256,6200

220 256,6 30 1622200

39,0 cm

N m m

N m l m lA

m l m m lB

B

∆ = − = × − =

− × − ×= =

∆

− × − ×= =

∆

=

∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

Figura 12.12

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