retas geometria analitica

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 3.1.1 - Objetivo s Site: AVA - Moodle UTFPR Curso: GAAL - mpus CT Livro: 3.1 - Retas Impresso por: ALAN ROBER TO RIBEIRO Data: sexta, 12 j unho 2015, 22:07 3.1 - Retas h ttp://ava.ut fpr .edu .br/mod/book/tool/prin t/index.ph p?id=3612 1 de 31 12/6/2015 22:08

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retas geometria analitica

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  • 3.1.1 - Objetivos

    Site: AVA - Moodle UTFPRCurso: GAAL - Cmpus CTLivro: 3.1 - RetasImpresso por: ALAN ROBERTO RIBEIROData: sexta, 12 junho 2015, 22:07

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  • 3.1.1 - Objetivos

    3.1.2 - Introduo

    3.1.3 - Equao Vetorial da Reta

    3.1.4 - Equaes paramtricas da reta

    3.1.5 - Reta definida por dois pontos

    3.1.6 - Equaes simtricas da reta

    3.1.7 - Equaes reduzidas da reta

    3.1.8 - Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados

    3.1.9 - ngulo entre duas retas

    3.1.10 - Condio de paralelismo de duas retas

    3.1.11 - Condio de ortogonalidade de duas retas

    3.1.12 - Condio de coplanaridade de duas retas

    3.1.13 - Posies relativas de duas retas

    3.1.14 - Interseo de duas retas

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  • Identificar as diferentes formas de representar uma reta, atravs de suas equaes;Determinar pontos da reta;Verificar se as retas so: ortogonais, perpendiculares, coplanares, concorrentes e reversas;Determinar ngulo entre retas.

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  • No primeiro momento, veremos o estudo da reta, nesse percorreremos o estudo de suas equaes e ngulo entreduas retas.

    Estes podem ser representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou como flechas nosespaos bi e tridimensional. A direo e o sentido da flecha especificam a direo e o sentido do vetor e ocomprimento descreve sua magnitude.

    Denotamos vetores por .

    , onde A o ponto de origem do segmento orientado e B o extremo final ou extremidade.

    Um mesmo vetor determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantesdesse vetor, todos equivalentes entre si. Dois vetores so ditos equivalentes, se tiverem o mesmo comprimento,mesma direo e sentido.

    Quando nos referimos ao estudo da reta estamos familiarizados com a equao de uma reta no plano cartesiano.

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  • Agora, consideraremos retas em R2 do ponto de vista vetorial. A habilidade de visualizar esses elementos epensar em um problema do ponto de vista geomtrico ser de grande valia.

    Para iniciarmos o estudo veremos como obter a equao de uma reta na sua forma vetorial.

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  • Consideramos um ponto A (x1, y1, z1) e um vetor no nulo . S existe uma reta r que passa

    pelo ponto A e tem a direo de . Um ponto P(x, y, z) pertence reta r se, e somente se, o vetor paralelo a , como podemos observar na FIGURA 1:

    Figura1: Representao do vetor no sistema cartesiano.

    Isto , (o vetor paralelo ao vetor v), para algum real t.

    Assim ou , ou em coordenadas:

    (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c)

    Esta a equao vetorial da reta.

    O vetor chamado vetor diretor da reta e t denominado parmetro.

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  • Exemplo 1: Escreva a equao vetorial da reta r que passa por A(-1,2,3) e tem a direo de

    Soluo: A equao vetorial descrita por: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c),

    substituindo o ponto A(-1,2,3) e o vetor diretor, temos:

    r: (x,y,z) = (-1,2,3) + t.(2,3,2), onde (x,y,z) representa um ponto qualquer de r.

    OBSERVAES: 1. Se desejarmos obter pontos de basta atribuir valores para t.

    Por exemplo: Para t=1, obtemos:

    (x,y,z) = (-1,2,3) + 1.(2,3,2), efetuando a multiplicao por escalar obtemos:

    (x,y,z) = (-1,2,3 )+(2,3,2), da soma de vetores tem-se o ponto:

    (x,y,z) = (1,5,5).

    Portanto P1(1,5,5)

    De forma anloga, obtemos os demais pontos.

    Para t=2, obtm-se: P2(3,8,7)

    Para t=3, obtm-se: P3(5,11,9)

    Para t=0, obtm-se o prprio ponto A(-1,2, 3), e assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremostodos os infinitos pontos da reta.

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  • 2. Vimos que a cada real t corresponde um ponto . A recproca tambm verdadeira, isto , a cada corresponde um numero real t.

    Por exemplo, sabe-se que o ponto P(-3,-1,1) pertence reta.

    r: (x,y,z) = (-1,2,3) + t(2,3,2) , equao vetorial da reta r que passa pelo ponto (-1,2,3) e tem como vetordiretor (2,3,2), portanto verdadeira a afirmao:

    (-3,-1,1) = (-1,2,3)+t(2,3,2), para algum real t.

    Desta igualdade vem: (-2,-3,-2)=t(2,3,2) e, da igualdade temos que t = -1.

    3. A equao vetorial de r, no nica, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro qualquervetor no nulo que seja mltiplo de .

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  • Sejam um sistema de coordenadas, P(x, y, z) um ponto genrico e A(x1, y1, z1) e um ponto dada

    reta r, e um vetor de mesma direo de r.

    Da equao vetorial da reta ou

    , vem:

    (Equaes paramtricas da reta)

    onde, a, b, c no so todos nulos

    Exemplo 2: Descreva as equaes paramtricas da reta r que passa pelo ponto A(-2,3,2) e paralela ao vetor

    Soluo:

    Vamos obter a equao paramtrica da reta , substituindo o ponto A nos valores (x1, y1, z1) e as coordenadasdo vetor diretor em (a, b, c).

    De acordo com as equaes obtidas anteriormente, as equaes paramtricas sero descritas como

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  • A reta definida pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) uma reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem amesma direo do vetor:

    Exemplo 3: Escrever equaes paramtricas da reta r que passa por A(-2,-1,3) e B(4,1,7).

    Soluo:

    Para expressar a equao, precisamos de um ponto e um vetor diretor.

    Assim vamos escolher o ponto A e o vetor , tem-se:

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  • A partir das equaes paramtricas da reta:

    Supondo que abc 0, temos:

    Assim,

    (Equaes simtricas da reta)

    Pois para cada ponto da reta corresponde um s valor para t.

    A equao simtrica da reta passa pelo ponto A(x1, y1, z1) e tem a direo do vetor .

    Exemplo 4: Represente a reta que passa pelo ponto A(-3,0,5) e tem a direo do vetor atravs de suas equaes simtricas.

    Soluo:

    Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variveis. Porexemplo, para x=3, tem-se:

    , resolvendo as equaes encontramos y=-6 e z=2, logo o ponto (3,-6,-2) pertence a reta.

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  • Partindo das equaes simtricas da reta, isolando as variveis y e z e expressando-as em funo de x, temos:

    (Equaes reduzidas da reta)

    onde,

    Observaes:

    Nas equaes reduzidas, a varivel x figura como varivel independente. Se expressarmos as equaes de formaque a varivel independente seja y ou z,

    ainda assim as equaes so chamadas equaes reduzidas. Das equaes reduzidas pode-seobter:

    Comparando estas equaes com as equaes simtricas da reta:

    Verifica-se que as equaes reduzidas representam a reta que passa pelo ponto N (0, n, q) e tem a direo do

    vetor

    Exemplo 5: Considere a reta r definida pelo ponto A(1,-2,-3) e pelo vetor diretor e expressapelas equaes simtricas:

    Soluo:

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  • A partir destas equaes pode-se expressar duas variveis em funo da terceira.

    Isolando, primeiramente, as variveis y e z e expressando-as em funo de x, obtm-se:

    Estas duas ltimas equaes so equaes reduzidas da reta r, na varivel x.

    At o momento, estudamos as formas de representar uma reta atravs de suas diferentes equaes.

    Na sequncia dos estudos de retas veremos:

    retas paralelas aos planos e eixos coordenados, ngulo entre duas retas, retas ortogonais e interseco de

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  • duas retas.

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  • As equaes:

    ou as equaes:

    representam uma reta r determinada por um ponto A(x1, y1, z1) e por um vetor diretor

    Uma ou duas destas componentes podem ser nulas. Assim temos dois casos a considerar:

    a) Uma s componente de nula.

    Neste caso, o vetor ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r paralela ao plano dosoutros eixos. Assim:

    (1) Se a = 0, Ox r // yOz

    As equaes de r ficam:

    nas quais se verifica que, das coordenadas (x, y, z) de um ponto genrico P da reta r, variam somente y e z,conservando-se x = x1 constante.

    Isto significa que a reta r acha um plano coordenado yOz. (Figura 2)

    Figura 2: Representao da reta paralela a yOz.

    (2) Se b = 0, Oy r // xOz

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  • As equaes de r ficam:

    das coordenadas (x, y, z) de um ponto genrico P da reta r, variam somente x e z, conservando-se y = y1constante.

    Isto significa que a reta r acha um plano coordenado xOz. (Figura 3)

    Figura 3: Representao da reta paralela a xOz.

    (3) Se c = 0, Oz r // xOy

    As equaes de r ficam:

    das coordenadas (x, y, z) de um ponto genrico P da reta r, variam somente x e y, conservando-se z=z1constante.

    Isto significa que a reta r acha um plano coordenado xOy. (Figura 4)

    Figura 4: Representao da reta paralela a xOy.

    b) Duas componentes de so nulas.

    Neste caso, o vetor tem a direo de um dos vetores = (1, 0, 0) ou = (0, 1, 0) ou = (0, 0, 1) e, portanto,

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  • a reta r paralela ao eixo que tem a direo de ou de ou de . Assim:

    (1) Se a = b = 0, // r // Oz

    As equaes de r ficam:

    Costuma-se dizer, simplesmente, que as equaes da reta r so:

    subentendendo-se z varivel.

    Figura 5: Representao da reta paralela Oz.

    (2) Se a = c = 0, // r // Oy

    As equaes de r ficam:

    ou simplesmente:

    subentendendo-se y varivel.

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  • Figura 6: Representao da reta paralela Oy.

    (3) Se b = c = 0, // r // Ox

    As equaes de r ficam:

    ou simplesmente:

    subentendendo-se x varivel.

    Figura 7: Representao da reta paralela Ox.

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  • Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A1(x1, y1, z1) e tem a direo de um vetor = (a1, b1, c1), e

    r2, que passa pelo ponto A2(x2, y2, z2) e tem a direo de um vetor = (a2, b2, c2).

    Chama-se ngulo de duas retas r1 e r2, o menor ngulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2.

    Sendo este ngulo, tem-se:

    , com

    Figura 8: Representao de ngulo entre duas retas.

    ou, em coordenadas:

    Exemplo 6: Calcular o ngulo entre as retas

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  • e

    Soluo:

    Os vetores que definem as direes das retas r1 e r2 so, respectivamente, = (1,-2,1) e = (0,3,-3),utilizando a formula

    Logo,

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  • A condio de paralelismo das retas r1 e r2 a mesma dos vetores = (a1, b1, c1) e = (a2, b2, c2),

    que define as direes dessas retas, isto : ,

    ou seja, podemos escrever um vetor como mltiplo de outro, ou: .

    Exemplo 7: A reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) paralela reta determinada por C(3,-1,-1) eD(0,y,z). Determine o ponto D.

    Soluo:

    Vamos considerar a reta r1 dada por e a direo de r2 dada por

    .

    A condio de paralelismo de duas retas dada por , e neste caso:

    resolvendo as equaes, obteremos os valores de y e z do ponto D, assim y= 1 e z=0.

    Portanto o ponto D(0,1,0).

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  • A condio de ortogonalidade das retas r1 e r2 a mesma dos vetores = (a1, b1, c1) e = (a2, b2, c2),

    que define as direes dessas retas, isto : (Produto escalar entre os vetores igual zero)

    ou: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

    Observaes:

    Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou no. Para ilustramos melhor esse caso observe a Figura 9, asretas r1 e r2 so ortogonais a r.

    Porm, r2 e r so concorrentes. Neste caso, diz-se que so perpendiculares.

    Figura 9: Representao de retas perpendiculares e ortogonais

    Exemplo 8: Verifique se as retas, so ortogonais:

    e

    Soluo:

    Sendo = (1,-2,4) e = (-2, 1, 1) os vetores diretores de r1 e r2 vamos verificar o produto escalar entre osvetores diretores:

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  • = 1.(-2)+(-2).2+4.1=0, logo as retas r1 e r2 so ortogonais.

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  • A reta r1, que passa por um ponto A1(x1, y1, z1) e tem a direo de um vetor = (a1, b1, c1), e a reta r2,

    que passa por um ponto A2(x2, y2, z2) e tem a direo de um vetor = (a2, b2, c2) so coplanares se

    os vetores , e forem coplanares, isto , se for nulo o produto misto .

    .

    Figura 10: Representao de duas retas coplanares.

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  • Posies relativas de duas retas r1 e r2, no espao, podem ser:

    a) Coplanares, isto , situadas no mesmo plano. Nesse caso as retas podero ser:

    1) Concorrentes: r1 r2 = { I }

    Figura 11: Representao de retas concorrentes.

    Ou seja, existe um ponto em comum entre essas duas retas, denominado de interseco. Trataremos dainterseo de duas retas na sequncia

    2) Paralelas: r1 r2 =

    Figura 12: Representao de retas paralelas.

    Ou seja, as duas retas no possuem interseco.

    b) Reversas, isto , no situadas no mesmo plano. Nesse caso r1 r2 = .

    Figura 13: Representao de retas reversas.

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  • Ou seja, no existe um plano que as contenha.

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  • Duas retas r1 e r2 coplanares e no paralelas so concorrentes.

    Antes de qualquer coisa vale ressaltar que:

    Se existe um ponto I(x,y,z) comum s duas retas, suas coordenadas, verificam todas as equaes de r1 e r2,

    isto , o ponto I soluo nica do sistema formado pelas equaes das duas retas.

    Exemplo 9: Verificar se as retas so concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseo.

    a) e

    Soluo:

    Igualando as expresses em y e z nas equaes de r1 e r2, tem-se:

    ou , logo x = 1.

    Substituindo nas equaes r1, obtemos:

    y=3.1-1=2

    z=2.1+1=3

    ao substituirmos em r2 obtemos os mesmos valores, ou seja, o mesmo ponto.

    Assim, o ponto de interseco I(1, 2, 3).

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  • b) e

    Soluo:

    Substituindo x, y e z das equaes de r1 nas equaes de r2, resulta o sistema:

    Da primeira equao obtemos t=-7 e da segunda t=-2, dessa forma o sistema no tem soluo, no existeponto de interseco,

    isto , as retas r1 e r2 no so concorrentes.

    c) e

    Soluo:

    Observando que = (1, -3, 2) e = (2, -6, 4) so vetores diretores de r1 e r2, respectivamente, e que

    ,

    conclui-se que as retas so paralelas e no coincidentes.

    Basta ver que o ponto A(0,2,-5) r1 e A no pertence a r2.

    Pode-se tambm resolver o sistema formado por r1 e r2, e este sistema no ter soluo.

    Teste resolvendo este sistema, s para provar.

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