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De Números, Dioses,

Héroes y Fantasmas

JJSegura

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Í N D I C E

Pág.

Introducción. …………………………………………………………. 3

Capítulo I

Génesis. ………………………………………………………………. 7

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Introducción

En las clases de Matemáticas se menciona insistentemente que éstas se

encuentran en todo lo que vemos, en todo lo que hacemos; que los números

aparecen en nuestra vida, sin que lo notemos, en todas nuestras actividades

y que pareciera que nuestro mundo se rige por esos objetos abstractos

llamados números. Es mi intención ir recorriendo y descubriendo, junto con el

lector, ese maravilloso – y, a la vez, tan misterioso - mundo matemático.

En este recorrido panorámico del número y la forma, hablaremos de

diversos conjuntos numéricos:

Los números naturales, que son los enteros positivos:

N= { 1, 2, 3, … } (los … indican la sucesión sigue infinitamente)

Los números enteros: positivos, negativos y el cero.

Z = { …, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … }

Los números racionales, que son los que se pueden expresar en

forma de cociente entre dos enteros: números enteros, fracciones, decimales

finitos, decimales infinitos periódicos.

Q = { …, – 50, – 2.36, 0, ⅓, 4, 7.09, 21.6ˉ, … }

Los números irracionales, que no se pueden expresar como el

cociente de dos enteros: decimales infinitos no periódicos.

I = { …, – √7, π, е, √2, … }

La unión ( U ) de los números racionales con los números irracionales,

forma el conjunto de los números reales:

R = Q U I

La barra en el 6 indica

que 21.6666666666…

6 es su periodo.

√2 = 1.414213562… la parte decimal no termina

y no tiene números que ya se repitan (periodo).

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Más tarde (siglo XVIII), aparecerán los números complejos:

C = { a + bi , con a, b reales y donde i2 = – 1 }

Estos números complejos se crearon para poder efectuar raíces pares de

números negativos, como: √−9 que no tiene solución en los números

reales (ningún número real elevado al cuadrado da – 9), pero sí hay dos

soluciones en los números complejos: 3i , – 3i . Porque (- 3i)2 = -3i (-3i) =

9i2 = 9 (– 1) = – 9 . La misma prueba sería para la solución positiva.

Actualmente, tienen mucha aplicación en matemática superior y en

diversas disciplinas.

Actualmente, se establece que el objeto material de la Ciencia

Matemática (de mathema, ciencia) son los números y las cantidades; su

objeto formal son las relaciones, propiedades y operaciones de estos

números y cantidades. Un cuerpo es todo lo que ocupa un lugar en el

espacio, su volumen es el lugar que ocupa en un momento determinado y

su superficie es el límite que lo separa de otros cuerpos y que da forma al

cuerpo. Varios cuerpos integran un conjunto o colectivo. Un conjunto está

integrado por objetos, que pueden ser personas, animales o cosas

(tornillos, barcos, lanzas, libros, ideas, pensamientos, etc.). La magnitud es

una característica o propiedad de un cuerpo o colectivo susceptible de

medida: volumen, superficie, longitud, peso, altura, temperatura, velocidad,

fuerza, población de un país, dinero de una persona, edad, estatura, etc.

Utilizamos un número para expresar la cantidad que mide una magnitud y

poder diferenciarla y compararla con otra.

Un número expresa la cantidad que mide una magnitud.

¿Cómo contamos? Poniendo en relación uno a uno (biunívoca) cada

objeto con la serie de los números naturales: 1, 2, 3, … , hasta llegar a un

número final, que será el total de objetos contados (número cardinal). Si

nos interesa la posición que ocupa un objeto en un conjunto, empleamos

los números ordinales: primero, segundo, tercero, etc.

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¿Cómo medimos? Tomando una unidad de medida (metro, litro, kilogramo,

hora, etc.) y contando cuántas unidades se requieren para medir la magnitud.

Se obtiene una cantidad que se expresa mediante números.

Hoy se acepta la siguiente clasificación de las matemáticas:

Hacer matemáticas de las matemáticas, es investigar y descubrir

nuevos resultados y relaciones entre los números y los objetos matemáticos.

Por ejemplo, se investigó y se obtuvo la fórmula general para resolver una

ecuación de segundo grado en una variable. En esta misma ecuación, ya los

antiguos se habían encontrado con soluciones negativas y soluciones con

raíces cuadradas de números negativos; estas soluciones se aceptaron hasta

que se desarrollaron las operaciones con signo y se inventaron los números

complejos.

A las ramas tradicionales (matemáticas puras) de Aritmética,

Geometría, Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial

e Integral, se han ido incorporando nuevos campos de estudio como

Geometría proyectiva, Geometría Diferencial, Geometrías no euclidianas,

Teoría de Números, Topología, etc.

Hacer matemáticas de la naturaleza, es investigar y descubrir

patrones, reglas o leyes que gobiernan los objetos o fenómenos naturales

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que puedan ser estudiados mediante modelos matemáticos. Por ejemplo,

se sabe que las órbitas de los planetas siguen trayectorias elípticas; se han

descubierto galaxias con formas espirales; se ha descubierto que la

distribución de hojas en los tallos de algunas plantas sigue patrones

numéricos; actualmente se investiga el establecer una ecuación o sistema

de ecuaciones que modele el desarrollo de un cáncer; etc.

Hacer matemáticas de la cultura, es investigar, descubrir y aplicar

modelos matemáticos para resolver problemas y situaciones que aparecen

en las diversas disciplinas. En Administración, por ejemplo, cómo

maximizar las utilidades y cómo minimizar los costos; en Finanzas, cómo

evaluar proyectos de inversión; en Medicina, qué porcentaje de pacientes

se curará con una nueva medicina; en Mercadotecnia, qué probabilidad de

éxito tendrá un nuevo producto; en Seguros, cuál es la probabilidad de

robo de un automóvil determinado o de un accidente de avión; etc.

Las matemáticas aplicadas también se han desarrollado y

diversificado: Probabilidad y Estadística, Matemáticas financieras,

Demografía, Investigación de Operaciones, Optometría, Econometría,

Ingenierías, Cálculo Actuarial, etc.

A lo largo del texto, iremos mencionando cómo surge la Ciencia

Matemática y su relación con la Naturaleza y la Cultura.

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Capítulo I

Génesis

Hagamos un recorrido por el origen de las matemáticas.

Para darnos una primera visión, retrocedamos en el tiempo a una

época de 30,000 años a.C. Edad de la Piedra Tallada (Paleolítico), donde

por la Historia sabemos que los primeros grupos humanos eran nómadas:

Fig.1 No vivían en un sitio fijo, se

trasladaban de un lugar a otro de

acuerdo a las condiciones del clima y

de la alimentación.

Cazaban, pescaban y

recolectaban para su alimentación.

Conocían el fuego, vestían

pieles, decoraban sus cuevas o

cavernas con pinturas (hoy llamadas

rupestres).

Quizás, su noción de número

o cantidad era uno, dos, tres, pocos,

muchos.

La Historia también nos dice que al irse desarrollando estos primeros

grupos humanos, en una época de 10,000 años a.C. Edad de la Piedra

Pulimentada (Neolítico), se empiezan a asentar en lugares fijos, se hicieron

sedentarios.

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Fig.2 Surgen las aldeas y

pequeñas comunidades.

Aparece, aunque de

manera rudimentaria, la

agricultura, el pastoreo y la

ganadería.

Se inventa la rueda y se

inician los cultos y ritos

ceremoniales.

Surge la necesidad de

contar y medir. Distinguir

diferentes cantidades de

objetos; distinguir

diferentes medidas de

cosas.

Número y Forma, son los orígenes de nuestras matemáticas.

¿Qué contar? Cuántas personas integran la tribu, cuántos hombres,

cuántas mujeres, cuántos niños, cuántos ancianos; la cantidad de animales

que sale a pastar, debe ser la misma cantidad que regrese; cuántas lanzas,

cuántos cuchillos; cuántos animales se deben cazar para alimentar a toda la

tribu; cuántas lunas o cuántos soles deben pasar para llegar a otra aldea o

lugar; etc. Para cantidades pequeñas, pudieron utilizarse los dedos de las

manos y de los pies. Se han hallado restos prehistóricos de piedras, huesos y

ramas de árboles con marcas secuenciales a manera de un conteo. Un

hueso de un primate de 35,000 años de antigüedad en Suazilandia, África,

tiene 29 marcas que se cree contaba las fases lunares o seguía el ciclo

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menstrual. Otro hueso de lobo de 30,000 años de antigüedad, encontrado en

Vestonice, República Checa, tiene 55 marcas agrupadas de 5 en 5 y una

marca adicional después de la 25. Otro hueso con marcas llamado “Hueso de

Ishango” hallado en el Congo, África, tiene 20,000 años de antigüedad.

¿Qué medir? El lugar de las habitaciones para vivir; las pieles usadas

para la ropa de hombres y mujeres; el largo de las lanzas y de los cuchillos;

el lugar y los centros y pirámides ceremoniales; etc.

Surge la idea de Número (Fig.3).

Del conteo surge la Aritmética; de la medida surge la Geometría. Por

la época de 6,000 años a.C. los egipcios realizaban censos de población; así

como los romanos, hacia el 2,000 a.C., también realizaban censos y

recopilación de datos estadísticos (esta palabra proviene de Estado, que es

el que ordenaba recopilar los datos). Los romanos contaban con piedras

llamadas “calculi”, de ahí se derivó nuestra palabra calcular.

Los pueblos sedentarios han evolucionado y se han convertido en

grandes centros de población. La base de su economía es la agricultura y

las observaciones de la relación que existe entre la periodicidad de las

estaciones y el aspecto del cielo generó la Astronomía (también aparece la

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astrología –correlación de los astros con el destino humano- y la

numerología – misticismo numérico -, confundiéndose en sus inicios). Por

la época de 5,700 años a.C. los sumerios, antecesores de los babilonios

semíticos, empezaron a contar su año a partir del equinoccio de primavera

(cuando el día y la noche tienen la misma duración, corresponde a nuestro

21 de marzo). Hacia el año 4,241 a.C. los egipcios adoptaron su calendario

de 12 meses de 30 días y añadían 5 días de festividades para completar

los 365. Y para ello se requería, además de observaciones de muchos

años, utilizar algunas técnicas aritméticas elementales.

Herodoto (Halicarnaso, 484 a.C.) señala que la Geometría, como tal,

surgió en Egipto ya que como consecuencia de las inundaciones del río

Nilo, había que volver a medir las tierras para efecto de deslindar

propiedades y aplicar impuestos. De ahí el origen de la palabra: Geo: tierra

y métrica: medida. “Medida de la tierra”. (Los Nueve Libros de la Historia,

Porrúa).

Los más antiguos datos escritos que se conocen, corresponden a las

culturas de Mesopotamia (Babilonia, Sumerios, Acadios) y de Egipto. Se

han encontrado tablillas cuneiformes con escritura jeroglífica egipcia que

datan del 3,400 al 3,200 a.C. De la misma época, pertenecen tablillas

cuneiformes de Mesopotamia donde para los números se maneja un

sistema de numeración sexagesimal (de base 60).

Los escribas sacerdotales utilizaron las tablillas cuneiformes para

asentar la información que ha llegado hasta nosotros y era un secreto

guardado celosamente entre ellos. Hacia la época de 2,500 a.C. los

sumerios comerciantes trabajaban ya con pesos y medidas y negociaban

con lo que hoy llamaríamos títulos de crédito comerciales, es decir,

manejaban interés simple y compuesto. Utilizaban un sistema de

numeración sexagesimal, que transmitieron a los babilonios: base 60

posicional, que aún perdura actualmente en la medida del tiempo: 1 hora =

60 minutos, 1 minuto = 60 segundos; asimismo, en la división del giro

completo de un ángulo en 360° (6 x 60). Para esta división, quizás se

basaron en el año de 360 días.

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Manejaban números enteros positivos y fracciones, los que hoy

conocemos como naturales y racionales. Algunos autores sostienen que los

babilonios inventaron el cero (otros afirman que fueron los hindúes). Los

babilonios emplearon tablas de multiplicar y dividir enteros, fracciones,

cuadrados y cubos. Se ayudaban de las tablas de cuadrados y cubos para

obtener raíces cuadradas y cúbicas, respectivamente.

Hacia la época de 2,000 años a.C. los babilonios resolvían ecuaciones

de primero, segundo y tercer grado con procedimientos rudimentarios de

álgebra, siguiendo reglas específicas para cada ecuación sin ningún

simbolismo o fórmula general. También resolvían sistemas sencillos de estas

ecuaciones. Aparece resuelto un problema en el que se pide encontrar el

tiempo que tarda en duplicarse una cantidad invertida a una tasa de interés

determinada -hoy lo resolvemos con logaritmos, pero ellos no los conocían

aún-; ellos lo resolvieron por tanteo e interpolación.

Los conocimientos geométricos de los babilonios hacia el 2,200 a.C.

pueden resumirse en que calculaban, igualmente sin simbolismos ni fórmula

general, áreas de rectángulos, triángulo recto e isósceles, trapezoide con un

lado perpendicular a la base; tomaron para π el valor de 3. Daban soluciones

correctas a problemas donde aparecían paralelepípedos, cilindros rectos,

prismas rectos con base trapezoidal. Sabían, sin demostración, lo siguiente:

que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto (lo demostraría

Thales de Mileto, hacia el 600 a.C.); que en un triángulo rectángulo se

cumple la relación de sus lados a2 + b2 = c2 , para algunos valores

específicos (lo demostraría Pitágoras, hacia el 500 a.C.); que los lados de los

ángulos correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales (lo

demostraría Euclides, hacia el 300 a.C.), entre otros resultados.

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Los Jardines Colgantes de Babilonia son una de las siete maravillas

del mundo antiguo. (Fig.4)

Al resolver algunos sistemas de ecuaciones, aparecen soluciones con

números negativos, lo que indica que tenían alguna idea de este concepto.

Asimismo, en cálculos de Astronomía empleaban correctamente lo que hoy

llamamos reglas de los signos para la multiplicación.

Los egipcios, para la época de 3,500 años a.C. manejaban números

como 120,000 prisioneros humanos, 400,000 bueyes y 1’420,000 cabras. Su

sistema de numeración era decimal pero no posicional. En el papiro de Rhind

(nombrado así en honor del arqueólogo que lo compró en Egipto y lo llevó a

Inglaterra y que data del 1,650 a.C., copiado por el escriba Ahmes de un

documento más antiguo) y en el papiro de Moscú (comprado por el

egiptólogo Golenishchev en 1883 y llevado a Moscú), aparecen problemas

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sencillos de Aritmética resueltos con operaciones de sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones, involucrando enteros positivos y fracciones.

Resolvían ecuaciones simultáneas como: 1) x2 + y2 = 100, 2) y = ¾ .

También tenían conocimiento de las proporciones, así como de las

progresiones aritmética y geométrica.

Para π tenían el valor aproximado de 256 / 81 = 3.16; conocían el

área de un triángulo y el volumen de un cilindro recto. Aparece resuelto un

problema del volumen de un tronco de pirámide cuadrada, aplicando la

fórmula: (1/3) h (a2 + ab + b2), donde h es la altura y a, b son los lados de las

bases. Esta aplicación ha causado sorpresa por ser exacta y no se sabe

cómo la obtuvieron en una época tan lejana. Las Pirámides de Egipto son

una de las siete maravillas del mundo antiguo. (Fig.5)

Fig.5 La Gran Pirámide (Keops).

Nos acercamos ahora a la época de 600 años a.C. La antigua Persia

es la sucesora imperial del Egipto, Babilonia, Fenicia, Siria y toda el Asia

Menor. Los griegos eruditos viajaron constantemente al Este y se

beneficiaron de su cultura. Las batallas de Maratón (490 a.C.), de las

Termópilas y de Salamina (ambas en 480 a.C.), muestran que griegos y

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persas tuvieron un contacto cercano y esto, aunado al hecho de que los

griegos no se contentaron sólo con conocer aplicaciones prácticas

individuales, dieron origen al gran desarrollo científico y humanista griego;

particularmente, de la filosofía y las matemáticas. Los griegos asimilaron el

cómo y para qué se resuelve un problema; pero avanzaron notablemente

en el por qué, obteniendo demostraciones lógico-matemáticas -muchas

veces rigurosas,- que dieron origen a sistemas y teorías matemáticas que

aún hoy perduran y que son el fundamento de nuestro conocimiento actual.

Nombraremos rápidamente a grandes matemáticos con algunas de

sus aportaciones más importantes. Varios de ellos los volveremos a

mencionar a lo largo del texto. Digamos, de paso, que es el tiempo de los

filósofos Anaximandro (el principio de todas las cosas es el ápeiron, lo

indeterminado, algo anterior a ellas), Anaxímenes (el principio de todas las

cosas es el aire, algo sutil y amorfo), Heráclito (el principio de todas las

cosas es el fuego, todo cambia, nada permanece en reposo), Parménides

(el ser es lo que es, uno, inmutable, inmóvil y eterno), Anaxágoras (la

materia está compuesta por gérmenes –spérmata- cuyo orden está

impuesto por la mente –nous-), Empédocles (las cosas están compuestas

de cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego; la evolución de la materia

está sujeta a dos fuerzas: amor y odio, atracción y repulsión), Demócrito

(las cosas están compuestas de partículas indivisibles: átomos; no admite

un principio espiritual que rija el orden del mundo) y los sofistas Protágoras

(con su relativismo: el hombre es la medida de todas las cosas) y Gorgias

(con su nihilismo: nada existe; si algo existiera, no lo podríamos conocer; si

algo conociéramos, no lo podríamos expresar), entre otros. Los

mencionamos porque la filosofía, en estos tiempos, está íntimamente

ligada a otras ciencias, como las matemáticas.

Indudablemente, Thales de Mileto (640-535 a.C.) abre este recorrido

con sus demostraciones: que el ángulo inscrito en una semicircunferencia

es recto; si varias rectas paralelas cortan a dos rectas transversales,

determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales; los

ángulos opuestos por el vértice son iguales; los ángulos en la base de un

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triángulo isósceles son iguales; todo círculo es bisecado por cualquiera de

sus diámetros; se dice que, estando en Egipto, midió la altura de la Gran

Pirámide (de Keops) empleando el concepto de triángulos semejantes. Es

considerado uno de los siete sabios de Grecia y el primer filósofo al asentar

que el principio que constituye a todas las cosas es el agua; todas las

cosas están llenas de dioses. Es el primero que afirma algo sobre el

principio (arjé) de la naturaleza (fysis).

Pitágoras de Samos (585-500 a.C.) es de los más conocidos por su

teorema: en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los

catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa; elaboró tablas de operaciones

aritméticas. Viajó a Egipto, Babilonia y Persia, asimilando vastos

conocimientos de geometría y astronomía, así como de religión y misticismo.

Al regresar a Grecia, visita el templo de Delfos dedicado al dios Apolo, donde

a la entrada deben leerse dos sentencias:

“Conócete a ti mismo.

No se aproxime quien no sea puro.”

Todo ello lo motiva a formar una escuela científico- político-religiosa

muy influyente en su época y que al fallecer él, sus discípulos continúan su

obra, denominándoseles pitagóricos. En su escuela se enseñaban las siete

artes liberales: el Trivium (Gramática, Retórica, Lógica) y el Quadrivium (

Aritmética, Geometría, Astronomía, Música); podían ingresar hombres y

mujeres, algo no usual en aquella época, y cuyo fin era una vida sana y

civilizada. Sus descubrimientos se atribuyen a él y a los pitagóricos. En

alguna ocasión le preguntan si es sabio, él contesta que no, que él es

filósofo, “amante de la sabiduría”.

En la música, Pitágoras descubre las razones 2/1, 3/2, 4/3, para las

longitudes de las cuerdas de los instrumentos musicales sometidas a una

misma tensión para dar la octava, la quinta y la cuarta de una nota.

Demostraron que los lados correspondientes de triángulos semejantes, son

proporcionales; sabían que √2 era irracional, no se puede representar

como el cociente de dos números enteros; razonaban que los planetas

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conocidos (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) se movían

alrededor del sol; que la luna brilla por el reflejo de la luz del sol; que la

estrella más brillante de la tarde es la misma estrella más brillante de la

mañana: Venus; son los primeros en llamar Cosmos al Universo;

consideran que el número es la medida de todas las cosas: los únicos

dioses científicamente comprobables son los números. Con los pitagóricos,

se establece el razonamiento lógico deductivo e inductivo como sistema

para obtener nuevos conocimientos.

Zenón de Elea (hacia 470 a.C.), con ingeniosas paradojas sobre la

divisibilidad infinita, provoca algunas dudas en parte del razonamiento

matemático de la época. Por ejemplo, la carrera de Aquiles y la tortuga:

Aquiles le da a la tortuga cierta ventaja, por decir, 100 m; la velocidad de

Aquiles es de 10 m por segundo y la de la tortuga es de 1 m por segundo.

Aquiles tarda entonces 10 segundos en recorrer los primeros 100 m, pero

la tortuga ha avanzado 10 m; Aquiles tarda un segundo en recorrer esa

distancia, pero la tortuga avanzó 1 m más; Aquiles la recorre en 1

10 de

segundo, pero la tortuga avanzó 1

10 de m más; y así sucesivamente. Por lo

cual, decía Zenón, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

En su tiempo no se aclaró esta paradoja (se sabía el tiempo en que

Aquiles la alcanzaba, pero no se tenía la respuesta para la serie infinita).

Aristóteles razonaba que había que diferenciar entre infinito en acto (en

este instante) e infinito en potencia (instante por suceder), pero

analíticamente hubo que esperar al siglo XIX. Se demostró que la serie

infinita sí tiene límite y es: 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … = 11 + 1/9

segundos.

Llegamos a la época de Sócrates (470-400 a.C.), Platón (429-347

a.C.) y Aristóteles (384-322 a.C.). Ninguno es matemático, pero los

mencionamos porque su filosofía influyó en el razonamiento lógico-

matemático de su época y de las siguientes, hasta nuestros días. Sócrates

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rechaza el relativismo y el escepticismo de los sofistas; dialoga en plazas

públicas con sus discípulos y con base en preguntas y respuestas trata de

que reflexionen y extraigan ellos mismos sus propias conclusiones, sobre

todo de temas morales, éticos. Llama a su método “mayéutica”, parto

espiritual. Comenzaba afirmando “Sólo sé que no sé nada” y repetía

constantemente la sentencia del Oráculo de Delfos: Conócete a ti mismo.

Platón, discípulo de Sócrates, realiza diversos viajes: a Megara

invitado por Euclides, a Cirene, Egipto y Sicilia. Mantiene relación con los

pitagóricos y sus ideas matemáticas muestran influencia de ellos. Funda,

hacia el 387 a.C., en su ciudad natal Atenas, en el jardín de Academos, su

célebre escuela llamada Academia, donde se enseña que las Ideas,

verdadero ser captado intelectualmente, son opuestas a las de las cosas del

mundo sensible. Las cosas de este mundo son una participación de las

Ideas, son imperfectas, temporales, mudables, materiales; en contraposición,

las Ideas son subsistentes (existen independientemente de la materia y del

conocimiento), perfectas, eternas, inmutables, espirituales. El alma espiritual

tiene la intuición de las Ideas desde la vida prenatal; cuando nacemos,

nuestra alma es encerrada en un cuerpo material, donde las ideas innatas

permanecen en el fondo de nuestra conciencia. Cuando entramos en

contacto con lo sensible y debido a la semejanza y participación que tienen

los objetos de este mundo respecto a las correspondientes Ideas del

verdadero mundo, empezamos a recordar las ideas almacenadas en nuestra

memoria. Aprender es recordar, dice Platón. La mayor parte de nuestros

conocimientos permanece en este plano sensible, que se llama doxa

(opinión). Cuando saltamos a la captación de la Idea, el verdadero ser,

logramos el conocimiento verdadero, alcanzamos el nivel de la episteme. A

esta ascensión cognoscitiva desde lo sensible hasta lo intelectual, en busca

de las Ideas más perfectas, Platón le llama dialéctica.

Los números son conceptos, Ideas. Las relaciones matemáticas no

son dadas en la realidad corpórea; el conocimiento de ellas se origina en el

hombre bajo el estímulo de percepciones, percepciones que solamente

tienen semejanza con los propios principios geométricos. Considera a las

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matemáticas como un arte altamente filosófico, indigno de llevarlo a la vida

común. A la entrada de la escuela se leía un cartel:

“Nadie ingrese aquí si ignora la geometría”.

Escribió más de 25 Diálogos filosóficos: en el Teetetes habla de la

ciencia y en el Timeo habla del origen del universo.

Aristóteles, discípulo de Platón, cierra este apogeo de la filosofía

griega. Fue preceptor de Alejandro Magno. Es considerado el Padre de la

Lógica al escribir el Órganon (significa instrumento), donde establece el

sistema de razonamiento lógico y lo considera el instrumento para entender

la filosofía. Esta Lógica se considera fundamental en su desarrollo posterior

hasta nuestros días. En Matemáticas, el razonamiento lógico inductivo

(partir de proposiciones particulares para concluir una proposición general)

y deductivo (partir de una proposición general para concluir una

proposición particular) son la base sobre la cual descansa la demostración

de los teoremas y todo el desarrollo del aparato matemático hasta nuestros

días.

En 335 a.C., funda en su ciudad natal Estagira, una escuela a las

afueras de la ciudad, cerca de un pequeño santuario dedicado a Apolo

Licio, de donde a su escuela se le llama El Liceo. Era un jardín provisto de

una galería para pasear al aire libre (de aquí el mote de peripatéticos dado

a sus discípulos: peri, alrededor, y pateo, pasear). Su pensamiento realista

se opone al idealismo de Platón. Escribe varios libros y tratados sobre

diversos temas: ética, metafísica, filosofía, historia natural, esboza algo de

psicología, poética, entre otros.

Volviendo al recorrido con los matemáticos, vemos a Eudoxo de Cnido

(408-355 a.C.) discípulo y en un tiempo amigo de Platón. Viajó también al

Este y fundó una escuela propia en Cicicos. Destaca por un trabajo sobre

las proporciones que dio validez indirectamente a la regla empírica de los

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egipcios para el volumen de un tronco de pirámide. Aplicó el método de

exhaución (agotamiento) para calcular áreas de algunas

figuras geométricas. Esencialmente, utilizó áreas de polígonos regulares,

como rectángulos, que son más fáciles de calcular, para ir agotando

(aproximando) el área de la figura construyendo cada vez más y más

polígonos. Esta idea fue retomada por Arquímedes y matemáticos posteriores

para calcular áreas de figuras curvas y es la idea fundamental en el Cálculo

Integral. Ver figura 6 siguiente.

Llegamos a la época de un hecho histórico que marcará un derrotero

en el desarrollo siguiente de la cultura: el rey Filipo II de Macedonia ha

muerto (336 a.C.); su hijo Alejandro, de veinte años, hereda el reino y los

proyectos de conquista de su padre. Por lo que emprende una serie de

conquistas que lo llevarán a formar un gran imperio, llamándolo el mundo

Alejandro Magno. En 331 a.C., al conquistar Egipto, funda la ciudad de

Alejandría, situada en el delta del río Nilo y a la cual la proyecta para ser el

centro cultural del mundo, quizás recordando a su preceptor Aristóteles. Se

hacen célebres su museo (mouseion, nombre que se daba a los templos de

las musas) y biblioteca que durante varios siglos logran reunir documentos y

piezas en copia u originales de todas partes, además de desarrollar (pues a

la par se dan clases al nivel que hoy llamaríamos de universidad),

conocimientos muy especializados y avanzados en diversas ramas de la

ciencia: astronomía, geografía, matemáticas, física, ingeniería, medicina,

entre otras.

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Pasaron por ella notables directores y docentes, y era visitada por

notables eruditos de todo el mundo culto. Años después, entre 300 y 280

a.C., quedaba construido en su puerto el gran Faro, que tomó su nombre de

la isla de Pharos, situada en la bahía de Alejandría. (Fig.7)

Enseguida aparece Euclides (Alejandría, 365-275 a.C.), que por el año

300 a.C. escribe su libro Elementos donde reúne el saber geométrico de su

época, por lo que es considerado el “Padre de la Geometría”. Es el libro

más editado sólo después de la Biblia. Su método consiste en partir de

axiomas y postulados que acepta como verdaderos, y definiciones

apropiadas, para ir demostrando, con razonamiento lógico-deductivo,

resultados importantes llamados teoremas. Un teorema demostrado le

sirve de base, también, para demostrar otros. Sus resultados geométricos

es lo que aprendemos actualmente en primaria, secundaria y bachillerato

(¡desde entonces!), por lo que en su honor se denomina “Geometría

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Euclidiana”. Y su método de demostración se ha tomado como paradigma

hasta nuestros días. En una ocasión, al dar la explicación geométrica de un

problema, el rey Ptolomeo I le pregunta si no hay un camino más sencillo;

Euclides le contesta que “no hay un camino real para la geometría”.

Su tratado se compone de 13 libros que por su importancia vamos a

describir brevemente. Los primeros cuatro libros tratan de la geometría plana,

donde se establecen los términos o definiciones, los postulados y las

nociones comunes: punto, línea, recta, plano, ángulo, propiedades de la

igualdad, solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, la

circunferencia, polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

Los libros V y VI presentan la teoría general de proporciones a partir

de un punto de vista geométrico y su aplicación a la semejanza de figuras

planas. En el libro VI aparece un teorema que se considera preámbulo a lo

que hoy llamaríamos de optimización: Dada una longitud, encontrar el

rectángulo de área máxima cuyo perímetro es la longitud dada. Euclides

demostró que el cuadrado es la respuesta.

Los libros VII, VIII y IX abordan lo que hoy conocemos como teoría de

números: divisibilidad de los enteros, algoritmo para encontrar el máximo

común divisor de varios números (algoritmo de Euclides), proporciones

continuas, progresiones geométricas, fórmula para calcular números

perfectos (aquellos que son iguales a la suma de sus divisores), y un teorema

importante para la Aritmética: los números primos son ilimitados (infinitos).

En el libro X, se tratan geométricamente los números irracionales y se

obtienen métodos geométricos para resolver ciertas ecuaciones de segundo

grado y bicuadradas (como x4).

Los libros XI, XII y XIII, abordan temas de los sólidos: esfera, cilindro,

cono, pirámides, prismas, cubos y poliedros regulares. Demuestra que sólo

pueden existir cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro,

dodecaedro e icosaedro.

Euclides propuso cinco postulados que consideró verdaderos sin

demostración:

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1. Se pueden unir dos puntos con una misma recta.

2. Cualquier parte de una línea recta puede ser prolongada,

obteniéndose una nueva parte de la misma recta.

3. Dado un punto y una distancia, se puede trazar un círculo.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta al incidir (cortar) sobre dos rectas hace los ángulos

internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas

prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los

ángulos menores que dos rectos. Ver figura 8 siguiente.

Este quinto postulado ha tenido diversas versiones equivalentes;

la más usual es: Por un punto fuera de una línea recta, pasa exactamente

una paralela a la recta. Este postulado ha causado mucho trabajo de

investigación a los matemáticos posteriores. Se intentó demostrar como si

fuera un teorema, pero fue en vano. Sin embargo, esos trabajos

desembocaron en nuevas teorías: Nicolás Lobachevski, en 1855, crea una

teoría llamada después Geometría Hiperbólica, al postular que por un

punto fuera de una recta, pasan infinitas rectas paralelas; Bernhard

Riemann, en 1854, presenta una teoría denominada después Geometría

Elíptica, al establecer que por un punto fuera de una recta, no pasa

ninguna recta paralela. Ambas teorías le permitieron a Albert Einstein

formular, en 1915, su Teoría General de la Relatividad.

Surge ahora la figura de Arquímedes (Siracusa, 287-212 a.C.),

considerado uno de los tres grandes matemáticos (junto con Newton y

Gauss). Es físico, ingeniero, inventor, astrónomo y, por supuesto,

matemático. Escribió diversos tratados y muchos de ellos han llegado

hasta nosotros: Sobre el equilibrio de las figuras planas, Sobre la

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Cuadratura de la Parábola, El método sobre los teorema mecánicos, Sobre

la esfera y el cilindro, Sobre las espirales, Sobre los conoides y los

esferoides, Sobre los cuerpos flotantes, Sobre la medida del círculo, El

contador de arena, El problema de los bueyes, entre otros. Varios de sus

trabajos en su lengua original el griego se perdieron, pero se tienen en

traducción al árabe o en latín. Mantuvo correspondencia científica con

Eratóstenes y otros matemáticos importantes de su época.

Inventó el tornillo sin fin (para elevar agua), la palanca simple y el

polispasto (sistema de poleas interconectadas). Se le atribuye la frase:

“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. La historia señala que

durante el asedio que el general romano Marcelo impuso sitiando a la

ciudad de Siracusa, la toma de ésta se retrasó pues por invento de

Arquímedes había máquinas dentro de la fortaleza de la ciudad que

lanzaban dardos en todas direcciones, ballestas y catapultas más elásticas

y potentes que las usuales; una mano de hierro movida por palancas y

poleas que sujetaba con cadenas los navíos enemigos, los levantaba y los

soltaba en el aire, haciéndose añicos al caer; se dice que utilizó espejos

ustorios (significa el que quema) que, orientados adecuadamente, reúnen los

rayos reflejados en un punto y, con ello, quemaba las velas de los navíos. El

general Marcelo llegó a admirarlo, dando orden de conservarle la vida al

tomar la ciudad finalmente, pero un soldado dio muerte al sabio.

Se cuenta también, que Hierón, tirano de Siracusa y pariente de

Arquímedes, encargó una guirnalda de oro a un joyero y, al recibirla,

sospechó que no se había utilizado todo el oro que le había dado, por lo que

le pidió a Arquímedes que analizara el caso. Después de varios días y en una

ocasión que Arquímedes asistió a los baños públicos, notó cómo se

derramaba agua hacia el exterior al introducirse en la bañera. Razonó que

eso le ayudaba a solucionar el problema de la guirnalda; tal fue su emoción

que, se dice, salió corriendo desnudo por las calles gritando: “¡Eureka!,

¡eureka!” (¡Lo he encontrado!). Con ello confirmó la estafa del joyero y

descubrió el Principio de la Hidrostática que lleva su nombre: Todo cuerpo

sumergido total o parcialmente en agua u otro fluido, sufre un empuje vertical

y hacia arriba que es igual al peso del agua o fluido desalojado por el cuerpo.

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Aplica el método de exhaución, que él mismo se lo atribuye a Eudoxo,

para aproximar áreas y volúmenes hasta donde se desee de figuras

geométricas. Esto es, circunscribir (por afuera) e inscribir (por dentro)

polígonos regulares a la figura determinada, de tal manera que el área por

fuera tenga un exceso y el área por dentro tenga un decremento, respecto al

área de la figura en cuestión. Incrementar cada vez los lados de dichos

polígonos, de tal manera de ir comprimiendo (por afuera) y agotando (por

dentro), el área original (Ver Fig.9). Enseguida, Arquímedes razonaba por

reducción al absurdo: sea S el área de la superficie curva a calcular; se

propone un valor P para dicha área; se desea demostrar que S = P; si se

demuestra que no sucede que S < P; y que no sucede que S > P; entonces,

debe ser S = P.

Fig.9 Aproximar el área del círculo.

Este método lo utilizó, por ejemplo, para encontrar la relación entre la

longitud (L) de una circunferencia y su diámetro (d). Él sabía que L = πd,

además, sabía que el área (A) de una circunferencia está dada por: A = π

r2 , donde r es el radio. Entonces, dibujó una circunferencia de radio r = 1,

por lo que A = π . Construyó polígonos regulares inscritos y circunscritos

calculando sus áreas y aumentando cada vez el número de lados. Llegó a

obtener que: 3 + 10/71 < A < 3 + 1/7 , es decir: 3.1408 < A < 3.14286 .

Entonces, tomó A = π = 3.14 con precisión de dos decimales y, por lo

tanto, L = 3.14 d , así que se cumple para toda circunferencia: L / d = π .

Con este método vislumbró las bases del Cálculo Integral.

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Un resultado que consideró muy importante establece que el volumen

y la superficie de un cilindro es igual a 3/2 el volumen y la superficie de la

esfera inscrita en él. Pidió que se esculpiera este teorema en la lápida de

su tumba, como epitafio.

Vemos venir a Eratóstenes (Cirene, 276-195 a.C.), fue astrónomo,

geógrafo, matemático y filósofo. Dio clases y fue director de la biblioteca de

Alejandría. Mantuvo amistad y correspondencia científica con Arquímedes.

Calculó con un error mínimo la longitud de la circunferencia de la Tierra,

por lo que sabía que ésta era esférica (Ver Fig.9); fue el primero en calcular

la inclinación del eje de la Tierra, también con poco error; inventó el

mesolabio, un instrumento para resolver la media proporcional; elaboró la

tabla para obtener los números primos, conocida como Criba; elaboró el

primer mapa del mundo conocido en su tiempo; propuso intercalar un día

cada cuatro años en el calendario.

Medida de la longitud de la Tierra

7.2°

Alejandría 787.5 km Consideró que los rayos del

Sol, por su distancia, caían

Asuán verticales sobre la Tierra.

Fig. 10

Eratóstenes sabía que en la ciudad de Siena (hoy Asuán, Egipto) el

día del solsticio de verano (nuestro 21-junio) a mediodía, el Sol quedaba

exactamente sobre la ciudad, proyectándose en el fondo de los pozos y un

poste vertical no proyectaba sombra. Planeó entonces medir en la ciudad

de Alejandría, que quedaba más al norte y en el mismo meridiano, la

sombra que un objeto vertical proyectara sobre el suelo. Midiendo esa

Sol

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sombra, encontró que el ángulo de separación entre las dos ciudades era

de 7.2° (los ángulos marcados con arco en el dibujo). Luego, ayudado por

viajeros de las caravanas, midió la distancia que separaba las dos

ciudades, resultando de 5,000 estadios, equivalentes a 787.5 km actuales.

Enseguida razonó estableciendo la proporción: 7.2° es a 360° como 787.5

km es a la circunferencia de la Tierra. Por regla de tres obtuvo el valor de

39,375 km. El dato actual es de 40,000 km ¡Sorprendente aproximación! Y

la obtuvo con esos instrumentos en el siglo III a. C.

Por allá va Apolonio (Pérgamo, 262-190 a.C.), estudió y fue profesor

en la escuela de Alejandría. Escribe su libro Las Cónicas, donde generaliza

y extiende el conocimiento de dichas figuras obteniéndolas cortando un

cono cualquiera con un plano cualquiera, y las llama como las conocemos

hasta ahora: parábola, elipse e hipérbola. Ver Fig.11 siguiente.

Por aquel lado está Herón (Alejandría, siglos I-II d.C.), fue ingeniero y

matemático. Inventó un aparato (preámbulo del teodolito) para hacer

observaciones terrestres y astronómicas; diseña un aparato (anticipo del

odómetro) para medir distancias recorridas por un objeto móvil. Propone

una fórmula para calcular el área de un triángulo conociendo la longitud de

sus tres lados a, b, c, y su semiperímetro s= (a+b+c) / 2 :

A = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) , conocida como la Fórmula de Herón.

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Y por allá se ve a Claudio Ptolomeo (Egipcio, 100-175 d.C.), fue

astrónomo, astrólogo, químico, geógrafo y matemático. En su obra Almagesto

(El Gran Tratado) postula que la Tierra está inmóvil en el centro del universo

y que los demás cuerpos celestes giran a su alrededor. Creó los horóscopos.

Aquí aparece Diofanto (Alejandría, 200/214 – 284/298), matemático.

Sabemos algo de su vida porque pidió que en la lápida de su tumba se

escribiera un desafío matemático a manera de epitafio (del griego epi=sobre,

y taphos=tumba), donde dice que su niñez ocupó la sexta parte de su vida;

después, durante la doceava parte de su vida, su mejilla se cubrió con el

primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y,

cinco años después, tuvo un precioso niño que vivió tan solo la mitad de la de

su padre. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De

todo esto se deduce su edad.

¡Un epitafio matemático! Con notación actual, podemos resolver el

enigma nombrando x al total de años que vivió Diofanto y planteando la

ecuación siguiente: x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x .

La solución es x = 84 , por lo que se deduce que vivió 84 años, su

niñez ocupó 14 años, le salió barba a los 21, se casó a los 33, tuvo un hijo a

los 38, que falleció cuando él tenía 80 años.

Se conservan dos de sus obras: Aritmética (arithmós, número, aunque él lo

tomó como la incógnita) y Números poligonales (números que pueden

representarse como puntos formando polígonos regulares, como 3 que es

triangular: dos puntos en la base y un punto encima de ellos; o como el 9

que es cuadrangular: tres renglones de tres puntos cada uno). En la

Aritmética, presenta una serie de problemas resueltos sin recurrir a la

representación geométrica, que es lo que se acostumbraba después de

Euclides y Arquímedes; empleó sistemáticamente simbología para indicar

potencias, igualdades o números negativos, presagiando ya un álgebra, si

bien cuando se encontró con números negativos consideró que no

formaban parte de la solución o que no había solución. Originalmente

constaba de 13 libros, de los cuales sólo se conservan 6 conteniendo 189

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problemas, resueltos sin generalizar, es decir, se interesó en hallar una

solución concreta (algunas veces otra) pero sin dar un procedimiento

general. Esto lo completarían matemáticos posteriores.

Es famoso porque se interesó en resolver ecuaciones de primero,

segundo y tercer grado con coeficientes enteros, determinadas (una

solución) e indeterminadas (infinitas soluciones), encontrando soluciones

enteras (algunas veces aceptó soluciones racionales y ya mencionamos

que se contentaba con encontrar una de ellas). En su honor, se dice

“resolver una ecuación diofántica”, a encontrar todas sus soluciones

enteras. Por ejemplo: la ecuación 4 x3 – 3 x2 y = – 28 , admite la solución

x = 2, y = 5 . Actualmente, para la ecuaciones de primer grado (lineales) si

existe un método general de solución; para las ecuaciones no lineales, en

1970 el matemático ruso Yuri Matiyasevich demostró que no hay algoritmo

capaz de determinar si una ecuación diofántica polinómica dada es

resoluble. Por lo cual, tampoco se puede hallar un método general que

obtenga las soluciones. Lo que existe es soluciones a casos particulares, y

Diofanto abrió el camino. Por ello, algunos lo consideran “el padre del

álgebra”.

¡Oh! ¡Ahí está la bella Hipatia! (Alejandría, 370-415), filósofa,

astrónoma y matemática. La primera mujer científica de la que se tiene

noticia. Es hija del astrónomo Teón que fue director del Museo de

Alejandría y docente de su escuela. Ella misma fue docente y colaboró con

su padre en muchos de sus trabajos. En sus cátedras, utilizaron el

Astrolabio (de astro=estrella y labio=el que busca, aparato mecánico para

reproducir el complicado movimiento de los objetos celestes).

Se le atribuyen frases como: “Preserva tu derecho a pensar; más vale

que corras el riesgo de equivocarte que cometas el pecado de no pensar”, y

“Terrible cosa es el enseñar supersticiones como si fueran verdades”.

Fue famosa en su época por escribir comentarios (incluyendo, quizás,

algunas aportaciones propias) de los tratados de Euclides, Ptolomeo,

Diofanto y Apolonio. Criticó el sistema solar de Ptolomeo, que colocaba la

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Tierra en el centro (geocéntrico); ella era partidaria del sistema solar

propuesto por Aristarco de Samos (310-230 a.C.), en el que se establece que

el Sol ocupa el centro de la esfera celeste (es decir, heliocéntrico, y los

demás cuerpos giran en círculos), pero Hipatia razona que los demás

cuerpos giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, vislumbrando ya lo que

vendría con Copérnico y Kepler.

En el museo del Vaticano, hay un fresco enorme pintado por Rafael

llamado La Escuela de Atenas, donde aparecen los grandes personajes

griegos: Sócrates, Platón, Aristóteles, Euclides, Arquímedes, etc. Todos son

hombres, excepto un personaje: Hipatia. ¡Un gran pintor reconociendo a una

famosa matemática!

Fig.12 Rafael, La Escuela de Atenas.

Hasta ahora hemos recorrido el esplendor griego y el faro cultural

alejandrino. Ha pasado la época del emperador romano Constantino (306-

337) que fue el primero en reconocer al Cristianismo; en 330 fundó

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Constantinopla, en el sitio de la antigua colonia griega de Bizancio. Su

sucesor, Teodosio (379-395), declaró al Cristianismo religión oficial del

Imperio. Para evitar las rivalidades entre los aspirantes al gobierno, dividió el

Imperio entre sus dos hijos: a Arcadio le destinó el Oriente, reinando en

Constantinopla; a Honorio el Occidente, estableciéndose en Milán. En 476,

cae el Imperio Romano de Occidente, bajo la invasión de los bárbaros

hérulos, liderados por Odoacro. Da inicio la Edad Media.

Todo esto había desencadenado luchas y revueltas entre cristianos y

paganos. Los cristianos, que antes eran perseguidos por los paganos y

hacían sus ceremonias ocultándose en las catacumbas, ahora persiguen a

los paganos. Esto trajo muchas muertes, entre ellas la de Hipatia, que era

pagana.

La biblioteca y el museo de Alejandría sufrieron estas consecuencias.

La biblioteca había sufrido un primer incendio en 272 a.C., cuando el

emperador romano Aureliano incendió y saqueó la ciudad. Ahora, durante

las revueltas (finales del 300 y principios del 400), los sabios alejandrinos

se habían refugiado en el templo de Serapis, que albergaba buena parte de

la biblioteca; pero cristianos fanáticos los sitiaron y decidieron destruir

enteramente su contenido. Se destruyeron más de 300,000 manuscritos.

La vida del museo continuó pero fue decayendo hasta que sus edificios

quedaron vacíos. Cuando los mahometanos tomaron Alejandría, hacia 640,

la biblioteca estaba cerrada desde hacía tiempo; el gobernador árabe

recibió la orden de destruirlo todo. En Grecia, la escuela de Atenas había

cerrado sus puertas en 529 por un decreto del emperador Justiniano,

temeroso de que al ser paganas pusieran en riesgo el cristianismo

ortodoxo. Parecía que se entraba a la “edad oscura”.

Afortunadamente, no fue así. En este momento de la historia, el centro

político mundial abandonó el mar mediterráneo y se desplazó hacia la

península Arábiga. Hacia el 600, el islam hizo su aparición y empezó a

controlar un territorio que incluía el sur de Europa, el norte de África, Asia

central y tierras cercanas a la India y China. Al morir el profeta Mahoma en

el año 632, la península Arábiga había quedado absolutamente unificada

tanto en lo político como en lo religioso. Poco a poco, los musulmanes se

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fueron estableciendo en las provincias conquistadas y fundaron ciudades,

palacios y mezquitas. En 762, el califa al-Mansur funda la ciudad de

Bagdad, nueva capital del mundo árabe. En 813, el califa al-Ma’mun funda

en esta ciudad la Casa de la Sabiduría (Bayt al-Hikma) -¿Emulando a

Atenas y Alejandría?- a donde llegan manuscritos y eruditos de todas

partes del mundo civilizado y se contrata todo un ejército de traductores.

Se tiene contacto, entonces, con el conocimiento griego, egipcio, indio, sirio

y persa.

En la India, hacia el siglo VI, ya se había inventado el cero,

sunya=vacío; los árabes lo llamaron sifr que Fibonacci, en 1202, la tradujo

como zephirum, nuestra actual cifra. En el continente americano, hacia el

300, los mayas (en el sureste de lo que hoy es México) usaban un sistema

numérico en base 20, las unidades numéricas las representaban en forma de

puntos y una barra o raya representaba cinco unidades; usaban el cero y su

símbolo era un signo en forma de concha o caracol. Habían registrado por

varios siglos observaciones del movimiento del Sol (eclipses, solsticios,

equinoccios), de la Luna y de Venus. Tenían el año solar de 365 días dividido

en 18 meses de 20 días, más un periodo de 5 días considerados “nefastos”.

Además, tenían el año ritual de 260 días que les servía para determinar el

nombre de los recién nacidos y los días favorables o desfavorables de la vida

de las personas. Pero este conocimiento maya no se descubrió sino hasta

después de la conquista española.

Ahí vemos pasar a Brahmagupta (Ujjain, 590-670), astrónomo y

matemático indio. Fue director de un famoso observatorio astronómico que

había en la ciudad. En 628, escribió su libro Brahma-sphuta-siddhanta, con

temas de astronomía, pero también de álgebra, geometría, trigonometría y

operaciones aritméticas. Fue el primero en establecer reglas de operaciones

matemáticas con el cero. Da métodos para resolver ecuaciones lineales,

cuadráticas, ecuaciones simultáneas indeterminadas, operaciones con

fracciones, raíces cuadradas y cúbicas, operaciones con positivos y

negativos, regla de los signos, encontrar ternas pitagóricas, algunas series.

En 665, compuso su libro Khandakhadyaka, manual práctico de astronomía.

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En este momento, vemos aparecer a Muhammad ibn Musa al-Juarismi

(Jorasmia, 780-850), que trabajó toda su vida como traductor en la Casa de

la Sabiduría y colaboró también en un importante observatorio astronómico

de Shammasiya; es considerado uno de los matemáticos árabes más

importantes. Tradujo un tratado hindú sobre el sistema de numeración

posicional en base 10; los Elementos de Euclides; la Geografía, el Almagesto

y las Tablas manuales de Ptolomeo.

Escribió al-Juarismi varias obras: Libro del cálculo con los números

indios, donde explica el sistema de numeración posicional que utilizaban

los indios y las operaciones aritméticas; Tablas indias (Sindhind), que

influyeron en la astronomía; Construcción de las horas en el plano de un

cuadrante solar; Conocimiento del azimut a través de un astrolabio;

Construcción geométrica de la amplitud ortiva de cada signo del zodiaco

según la latitud; entre otras.

Su principal obra es Hisab al-yabrwa’l-muqqabala (Libro concreto del

cálculo de la restauración y de la oposición, escrito entre 813 y 833). El

término al-yabr podría referirse a la operación algebraica consistente en

pasar (transposición), en una ecuación, un término negativo de un miembro

a otro; el término muqqabala podría referirse a la anulación (reducción) de

términos semejantes. Al tratar esta obra de la solución de ecuaciones, en

su honor, la palabra al-yabr derivó en Álgebra y su nombre al-Juarismi

derivó en Algoritmo (pasos secuenciales lógicos para realizar algo: una

operación, una tarea o actividad; en administración se le llama

procedimiento).También de su nombre se derivó la palabra guarismo, que

se refiere a cifra. Se considera esta obra como la primera escrita

formalmente de Álgebra.

Su obra empieza con una introducción sobre el principio del valor de

los números y en los seis capítulos siguientes resuelve seis tipos de

ecuaciones: a x2 = bx , a x2 = c , bx = c , a x2 + bx = c , a x2 + c = bx ,

a x2 = bx + c . Emplea operaciones aritméticas y procesos que hoy

llamamos algebraicos, además de hacer las demostraciones geométricas

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para clarificar el proceso operatorio. La segunda parte trata de operaciones

de la forma (a + b) (a – b) , demostraciones geométricas

complementarias, diversos problemas que explican aplicaciones de

ecuaciones y otro tipo de problemas.

Todo este conocimiento será llevado a la Europa medieval a través de

las rutas de las caravanas de mercaderes (Fig.13). El sistema de

numeración indoarábigo se implantará y aceptará lentamente, sobretodo

por la oposición de autoridades cristianas a su origen pagano. Pero

finalmente será aplicado en las principales ciudades del mundo civilizado.

Fig.13

La Matemática siguió progresando hasta llegar a nuestros

conocimientos actuales. He querido revivir un poco de su historia, hasta

inicios de la Edad Media, para comprender el largo y difícil camino que ha

recorrido y que ha durado siglos. Ha sido el trabajo arduo de muchos

hombres y de muchas culturas, dispersos en espacio y tiempo, pero unidos

sólo por el firme deseo de descubrir sus secretos y muchos de ellos aplicarlos

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a su vida práctica y para entender su mundo. Hemos visto que las

matemáticas son un invento de las culturas, pero también son

descubrimiento; ambas características han sido fundamentales para su

desarrollo y crecimiento. Nos hemos acercado un poco al mundo de las

matemáticas.

En lo que sigue, dejaremos el recorrido cronológico para seguir un eje

temático, que nos permitirá descubrir cómo interpretaron y manejaron un

tema o concepto específico varios personajes separados por espacio y

tiempo, pero unidos por el firme deseo de saber y aplicar ese conocimiento.