DECAIMENTO RADIOATIVO: DIFERENTES ABORDAGENS EM UMA

ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA

Karina Alessandra Pessôa da Silva, UEL

karinapessoa@gmail.com

Rodolfo Eduardo Vertuan, UEL

rodolfovertuan@yahoo.com.br

RESUMO

Este trabalho apresenta algumas considerações sobre diferentes abordagens de uma

atividade de Modelagem Matemática e os diferentes registros associados aos objetos

matemáticos abordados. Apresenta, inicialmente, caracterizações da Modelagem, enquanto

alternativa pedagógica para o ensino e aprendizagem da Matemática e da Teoria dos

Registros de Representação Semiótica – uma teoria de aprendizagem em Matemática que

discute, a partir dos registros produzidos, as possibilidades de compreensão e apreensão

dos objetos matemáticos presentes em uma atividade. Em seguida, apresenta e discute uma

atividade de Modelagem proposta para ser desenvolvida tanto com alunos do Ensino

Médio quanto com alunos do Ensino Superior. Conclui que a coordenação dos diferentes

registros associados a um objeto matemático em atividades de Modelagem Matemática

acontece por uma questão de necessidade e que atividades deste tipo contribuem para a

compreensão e apreensão dos objetos matemáticos.

Palavras-chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Decaimento Radioativo.

INTRODUÇÃO

Partindo do pressuposto de que ensinar não é transferir conhecimentos,

mas criar possibilidades para a sua construção ou produção, é que tomamos, neste trabalho,

a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica para o ensino e a

aprendizagem da Matemática.

136

Trata-se de enxergar situações do cotidiano através de lentes

matemáticas, ou seja, de interpretar, analisar e tomar decisões acerca de situações do

cotidiano por meio do ferramental matemático.

A perspectiva de Modelagem Matemática que adotamos diz respeito às

suas potencialidades enquanto oportunidade para os alunos compreenderem os objetos

matemáticos, conhecer e relacionar as várias representações destes objetos e utilizá-los

para interpretar fatos da realidade. Logo, não se trata de encarar os objetos matemáticos

simplesmente como ferramentas necessárias para a resolução de um problema, mas de

tomá-los, também, como objetos de estudo com um fim em si mesmos.

Visando contribuir para a compreensão do objeto matemático presente

nas atividades de Modelagem Matemática, é que faremos uso da Teoria dos Registros de

Representação Semiótica, de Raymond Duval. Para o autor, a utilização de diferentes

registros de representação associados a um mesmo objeto matemático e a coordenação

adequada entre estes registros representa uma possibilidade do aluno compreender o objeto

matemático como um todo.

Neste artigo, investigamos quais representações tornam-se presentes em

uma atividade de Modelagem Matemática e inferimos, à luz da fundamentação teórica,

aspectos que podem indicar a compreensão dos conceitos envolvidos na situação.

Para exemplificar, utilizamos uma atividade de Modelagem referente à

situação do césio-137 – decaimento radioativo – utilizando três diferentes abordagens:

Função do tipo Exponencial, Progressão Geométrica e Equações Diferenciais Ordinárias.

1. SEMIÓTICA E REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

1.1 Sobre o conceito de semiótica

A palavra semiótica provém do grego semeion, que significa signo. Dessa forma,

semiótica é a ciência dos signos, de toda e qualquer linguagem. Para Santaella (2008), essa

ciência tem por objeto de investigação todas as linguagens possíveis, ou seja, tem por

137

objetivo o exame dos modos de constituição de todo e qualquer fenômeno de produção de

significação e de sentido.

Peirce (2005) concebeu a Semiótica como a “doutrina formal dos signos”. Esse

autor definiu o signo como algo que, para uma pessoa, toma lugar de outra coisa (objeto),

não em todos os aspectos desta coisa, mas somente de acordo com certa forma ou

capacidade.

Um signo, ou representámen, é aquilo que, sob certo aspecto ou modo, representa algo para alguém. Dirige-se a alguém, isto é, cria, na mente dessa pessoa, um signo equivalente, ou talvez um signo mais desenvolvido. Ao signo assim criado denomino interpretante do primeiro signo. O signo representa alguma coisa, seu objeto. Representa esse objeto não em todos os seus aspectos, mas com referência a um tipo de idéia que eu, por vezes, denominei fundamento do representámen (p. 46).

Nos estudos sobre Semiótica, Peirce estabeleceu que o signo tem natureza

triádica, ou seja, estabelece três níveis de relações fundamentais: consigo mesmo, nas suas

propriedades internas, no seu poder para significar, estabelecendo uma teoria das

potencialidades e dos limites da significação; com o objeto, em sua referência àquilo que

representa, se refere ou indica, extraindo uma teoria da objetivação; com o interpretante,

isto é, nos tipos de interpretação que tem o potencial de despertar nas pessoas que os

utilizam, obtendo-se uma teoria da interpretação.

O interpretante substitui o objeto real na mente do intérprete. Daí o “objeto real”

ser inatingível pela percepção, já que tudo é signo. A interpretação de um signo é um

processo dinâmico na mente do receptor.

Neste sentido, Santaella (2008) argumenta que:

[...] A partir da relação de representação que o signo mantém com seu objeto, produz-se na mente interpretadora um outro signo que traduz o significado do primeiro (é o interpretante do primeiro). Portanto, o significado de um signo é outro signo — seja este uma imagem mental ou palpável, uma ação ou mera reação gestual, uma palavra ou mero sentimento de alegria, raiva... uma idéia, ou seja lá o que for — porque esse seja lá o que for, que é criado na mente pelo signo, é um outro signo (tradução do primeiro) (p. 58-59).

O signo não é o objeto, ele está no lugar do objeto, fazendo referência ao objeto e

somente pode representá-lo de certo modo e em uma certa capacidade. Para serem

estudados, os objetos matemáticos necessitam de um signo, de uma representação para

138

torná-los acessíveis. Na próxima seção apresentamos a ideia do uso de representações no

desenvolvimento de objetos matemáticos, abordando a teoria de Raymond Duval, que está

sendo cada vez mais utilizada quando as pesquisas se relacionam à constituição do

conhecimento matemático e à organização de situações que envolvem aprendizagem.

1.2 Sobre Registros de Representação Semiótica

Toda comunicação em Matemática é feita basicamente por meio de

representações. Para ensinar conceitos, propriedades, estruturas e relações advindas dos

objetos matemáticos, o professor precisa levar em consideração as diferentes formas de

representação desse objeto. O que se estuda e se ensina são as representações dos objetos

matemáticos e não os próprios objetos matemáticos.

Damm (1999) considera que a Matemática trabalha com objetos abstratos. Essa

autora afirma que “os objetos matemáticos não são diretamente acessíveis à percepção,

necessitando para sua apreensão o uso de uma representação” (p. 137).

Para Peirce (2005), representar é “estar em lugar de, isto é, estar numa relação

com um outro que, para certos propósitos, é considerado por alguma mente como se fosse

esse outro” (p. 61). Esse autor faz uma relação entre signo e representação: “Quando se

deseja distinguir entre aquilo que representa e o ato ou relação de representação, pode-se

denominar o primeiro de ‘representâmen’ e o último de ‘representação’” (p. 61). Assim,

Peirce (2005) considera que a representação é uma função do signo.

Uma característica que se destaca em atividades matemáticas é o uso de diversos

sistemas de representação, além da língua natural. Na Matemática existem variados

sistemas de escrita para os números, escritas algébricas para representar operações e

relações, figuras geométricas, gráficos cartesianos, diagramas, esquemas, etc.

Duval é um autor que tem se interessado pelo uso variado de sistemas de

representação semiótica. Afirma que não há um conhecimento que uma pessoa possa

mobilizar sem uma atividade de representação.

Segundo Duval (2004), as representações semióticas são produções constituídas

pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas

dificuldades próprias de significado e de funcionamento. A escrita em língua natural, a

escrita algébrica e os gráficos cartesianos são exemplos de representação semiótica. Essas

139

representações podem ser convertidas em representações “equivalentes” em outro sistema

semiótico, mas podem tomar significações diferentes para a pessoa que as utiliza.

Para Duval (2003), um sistema de representação semiótico é considerado um

registro de representação quando permite três atividades cognitivas: a formação de uma

representação identificável; o tratamento de um registro de representação; a conversão de

um registro de representação.

Para que uma representação seja identificável é necessário, a partir de um registro

de representação, saber qual é o objeto matemático que está sendo representado. O

tratamento ocorre quando há transformações de representações dentro de um mesmo

sistema de registros. A conversão é a transformação da representação de um objeto dada

em um sistema de registros em uma outra representação deste mesmo objeto em outro

sistema de registros. Na conversão, conserva-se a totalidade ou parte do objeto em

questão1.

Para Duval (2003), “[...] do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão

que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional

fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão” (p. 16).

Duval (2003) afirma que “a originalidade da atividade matemática está na

mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou

na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação” (p. 14).

Segundo Duval (2003), para que ocorra a conceitualização do objeto matemático

em estudo, além de se realizar conversões de um registro para outro, é necessário que

exista uma coordenação entre os registros, ou seja, é preciso compreender que os diferentes

registros referem-se ao mesmo objeto matemático e podem se complementar no sentido de

que um registro pode expressar características ou propriedades do objeto matemático que

não são expressas com clareza em outro registro.

Como salienta Dominoni (2005), sendo parcial, um registro pode complementar o

outro. No entanto, é preciso relacionar os diferentes registros de representação com suas

próprias especificidades para que se possa conceitualizar o objeto matemático.

                                                            1 Neste trabalho, adotamos a conversão como uma atividade cognitiva que envolve mudança de sistemas de registros. Embora consideremos que a atividade de conversão pode ser vista como mais complexa ou menos complexa de acordo com o fenômeno de congruência e não-congruência, não faremos essa análise neste trabalho.

140

Nas atividades matemáticas destaca-se o uso de diversos sistemas de

representação. Esse fato também é evidenciado em atividades de Modelagem Matemática.

Na próxima seção apresentamos um estudo que aborda que diferentes registros de

representação podem emergir em atividades de Modelagem Matemática. No entanto, antes

de apresentarmos essa abordagem, faremos uma descrição do que entendemos por

Modelagem Matemática.

2. REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E MODELAGEM MATEMÁTICA

Acreditamos que uma forma de contribuir para que as pessoas tenham o hábito de

duvidar, questionar e interpretar situações que usam argumentos matemáticos é, desde os

primeiros anos escolares, discutir situações-problema nas aulas de Matemática ao mesmo

tempo que se discute conceitos matemáticos. Para aprender a discutir problemas do

cotidiano por meio da Matemática é preciso fazer disso uma prática nas aulas de

Matemática.

Nesta perspectiva, a Modelagem Matemática surge como uma alternativa

pedagógica para o ensino e aprendizagem da Matemática, que discute, por meio da

Matemática, uma situação-problema que pode, inicialmente, ser apresentada num contexto

não matemático.

No desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática os alunos são

levados, entre outras coisas, a construir um modelo matemático que represente de algum

modo a situação estudada e que permita aos alunos responderem ao problema que se

propuseram a investigar. Neste caminho de análise de uma situação, muitos conceitos de

matemática, bem como assuntos de cunho social são discutidos.

Estudos apontam algumas contribuições da Modelagem Matemática para o ensino

e aprendizagem da Matemática (BASSANEZI, 2002; MASS, 2004; ALMEIDA e DIAS;

2004; BORSSOI e ALMEIDA, 2005; KAISER, 2006). Para Kaiser (2004), o envolvimento

com Modelagem pode contribuir para que os alunos tenham uma visão mais aberta dos

problemas matemáticos e passem a considerar a possibilidade de diversas formas de

resolução. Além disso, “a Modelagem pode tornar acessível a ligação entre vários

141

conteúdos, possibilitando ainda a retomada de conceitos já trabalhados, imprimindo, desse

modo, um caráter espiral ao currículo” (BARBOSA, 1999, p.78).

Neste sentido, atividades de Modelagem Matemática permitem que os alunos

utilizem constantemente determinados objetos matemáticos, o que pode contribuir para a

compreensão destes objetos matemáticos. Segundo Fonte et al (2005):

[...] ‘compreender’ ou ‘saber’ um objeto matemático consiste em ser capaz de reconhecer suas propriedades e representações características, relacioná-lo com os restantes objetos matemáticos e usar este objeto em toda a variedade de situações problemáticas prototípicas que lhe são propostas em aula. Deste ponto de vista a compreensão alcançada por um sujeito em um momento dado dificilmente será total ou nula, mas será parcial e progressiva (p.16, [tradução livre]).

Para Duval (2003), compreender um conceito matemático implica em ser capaz de

diferenciar o objeto matemático da representação que o torna acessível. Para o autor, “[...]

os objetos matemáticos, começando pelos números, não são objetos diretamente

perceptíveis ou observáveis com a ajuda de instrumentos” (p. 14) e o acesso aos objetos

matemáticos acontece por meio da utilização de uma representação.

O autor denomina a escrita em língua natural, a escrita algébrica e os gráficos

cartesianos como exemplos de representações semióticas. Para ele, estas representações

são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de

representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento

(DUVAL, 2004).

Segundo Duval (2004), a utilização de diferentes representações semióticas

contribui para uma reorganização do pensamento do aluno e influencia a atividade

cognitiva da pessoa que as utiliza. Neste sentido, as representações semióticas são

essenciais para a compreensão dos conceitos matemáticos. Por isso, o autor considera que

entender estas representações simplesmente como suporte para as representações mentais

consiste numa visão ingênua e errônea.

142

O termo “registros de representação semiótica” é usado para designar os

diferentes tipos de representação semiótica. As representações língua natural, tabular,

gráfica, figural e algébrica são exemplos de tipos diferentes de registros de representação.

Cada uma delas consiste num registro de representação (ou sistema de representação)

diferente.

No decorrer do processo de Modelagem Matemática são vários os registros

utilizados para os alunos (textos, tabelas, gráficos e etc). Segundo Duval (2003), “[...] é a

articulação dos registros que constitui uma condição de acesso à compreensão em

matemática, e não o inverso” (p.22).

Neste sentido, parece importante relacionar constantemente os diferentes registros

de representação que se fazem presentes em atividades de Modelagem Matemática. Para

exemplificar, apresentamos, a seguir, a situação referente ao decaimento radioativo do

césio-137. Para esta situação problema, utilizamos três abordagens e diferentes objetos

matemáticos: Função do tipo Exponencial, Progressão Geométrica (PG) e Equações

Diferenciais Ordinárias (EDO).

3. Descrição de uma Proposta: Três Abordagens

A situação apresentada refere-se a um acidente ocorrido com césio-137 na cidade

de Goiânia, capital de Goiás. Esse acidente ocorreu no dia 13 de setembro de 1987,

quando dois sucateiros encontraram um aparelho de radioterapia em um prédio

abandonado da Santa Casa de Misericórdia de Goiânia. Os sucateiros levaram, então, o

aparelho, por eles desconhecido, para a casa de um deles e o desmontaram. Durante a

desmontagem do aparelho de radioterapia, os sucateiros expuseram no ambiente 19,26 g

de cloreto de césio-137 (CsCl), pó branco semelhante ao sal de cozinha, que brilha no

escuro com uma coloração azulada.

O acidente somente foi diagnosticado no dia 29 de setembro de 1987 depois de

muitas pessoas apresentarem sintomas de contaminação radioativa. Nos trabalhos de

descontaminação dos locais afetados foram produzidos 13,4t de lixo contaminado com

césio-137: roupas, utensílios, plantas, restos de solo e materiais de construção. O lixo do

143

maior acidente radiológico do mundo está armazenado em cerca de 1.200 caixas, 2.900

tambores e 14 contêineres em um depósito construído na cidade de Abadia de Goiás,

vizinha a Goiânia, onde deverá ficar pelo menos 180 anos.

Segundo a Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN):

Cada elemento radioativo se transmuta a uma velocidade que lhe é característica. Meia-vida é o tempo necessário para que a sua atividade seja reduzida à metade da atividade inicial. Alguns elementos possuem meia-vida de milionésimos de segundos. Outros, de bilhões de anos. (CNEM, 2006).

A meia-vida do césio-137 é 30,2 anos. Mas para facilitar nossos cálculos vamos

considerar a meia-vida do césio-137 como sendo de 30 anos.

A partir destas informações, a atividade se propõe a estudar como se comporta a

concentração do césio-137 na cidade de Goiânia no decorrer do tempo.

Definição das variáveis: As variáveis utilizadas para resolver o problema são:

- variável independente: →t tempo (anos);

- variável dependente: →Q quantidade (gramas) de césio-137.

A formulação de hipóteses: Para realizar o estudo é necessário que algumas

hipóteses sejam estabelecidas para, a partir delas, fazer a dedução do modelo que descreve

a situação em estudo.

1H : A quantidade de césio-137 depende do ano.

2H : A quantidade inicial de césio-137 que contaminou Goiânia é 19,26g.

3H : A meia-vida do césio-137 é de 30 anos.

4H : O tempo inicial é 1987.

Dedução do modelo

Para a dedução do modelo, podemos utilizar três estratégias, abordando

diferentes conteúdos matemáticos: função do exponencial, progressão geométrica e

144

equações diferenciais ordinárias.

Abordagem 1: Função do tipo exponencial

Como a quantidade de césio-137 diminui pela metade a cada 30 anos,

construímos uma tabela, na qual tomamos o tempo inicial como sendo o ano de 1987,

somamos 30 a cada ano considerado e dividimos a quantidade anterior de césio-137 por 2.

Assim, obtemos os seguintes resultados:

Tabela 1: Quantidade de césio-137 de acordo com o ano.

Tempo (ano) Valor de n Quantidade de césio-137 (gramas)

1987 0=n  0

0

00

0 .21

226,19 Q

QQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛===

2017 (1987+30)

1=n  0

1

10

1 .21

2226,1963,9 Q

QQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛====

2047 (1987+60=1987+30.2)

2=n  0

2

20

2 .21

2426,19815,4 Q

QQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛====

2077 (1987+90=1987+30.3)

3=n  0

3

30

3 .21

2826,194075,2 Q

QQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛====

2107 (1987+120=1987+30.4)

4=n  0

4

40

4 .21

21626,1920375,1 Q

QQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛====  

M   M   M

1987+30. n   n  0

0 .21

2Q

QQ

n

nn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==  

A partir do registro de representação em língua natural, que constitui o registro

utilizado para apresentar a situação, foi feita uma conversão para o registro algébrico,

apresentado em um registro tabular. Nos registros algébricos foram feitos tratamentos para

a obtenção da quantidade de césio-137 no ano n , que é dado pela expressão:

n

n QQ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21.0  

145

Assim, utilizou-se três registros de representação distintos para o mesmo objeto

matemático – função do tipo exponencial – e, de acordo com Duval (2003), isso

representa uma originalidade da atividade matemática.

Considerando que o ano zero ( 0=n ) corresponde a 1987 e que a meia-vida do

césio-137 é de 30 anos, ou seja 1=n corresponde ao ano de 1987+30=2017, podemos

escrever que a quantidade de césio-137 num ano t qualquer é dada por:

301987

21.26,19)(

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

t

tQ  

Assim, no ano 2009=t , a quantidade de césio-137 em Goiânia é:

3019872009

21.26,19)2009(

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Q  

59,11)2009( =Q  g

Nesse caso, para o trabalho com o tempo em anos foram feitos tratamentos no

interior do registro algébrico, pois, nesse caso, para obter a expressão, permaneceu-se no

mesmo registro.

A partir do registro algébrico, para visualizar como se comporta o decaimento

radioativo do césio-137, pode-se fazer uso da representação gráfica. Nesse caso,

consideramos que foi feita uma transformação do registro algébrico para o registro

gráfico, ou seja, ocorreu uma mudança de sistemas de registros — uma conversão. Este

registro gráfico é apresentado na Figura 1, construída utilizando-se o programa

computacional Maple 7.

t = anos (a partir de 1987)

Q(t) = quantidade de césio-137 (em gramas)

146

Figura 1: Quantidade de césio-137 (em gramas) de acordo com o ano.

Nesta abordagem, os registros utilizados foram: língua natural, algébrico, tabular

e gráfico. As atividades cognitivas (tratamento e conversão) estiveram presentes como

apresentadas na Figura 2.

Figura 2: Registros de representação e atividades cognitivas na abordagem da função do tipo exponencial.

Segundo Duval (2003), mais importante que a conversão é a coordenação entre

os registros. Isso implica em perceber nos diferentes registros o mesmo objeto

matemático, no caso, a função do tipo exponencial.

A escolha da utilização da expressão “função do tipo exponencial” deve-se ao

fato dela ser definida por f de IR em IR dada pela forma xaxf =)( , em que a é um

número real dado, 0>a e 1≠a . Uma função do tipo exponencial é definida por f de

IR em IR dada por xabxf .)( = , onde IRb∈ . No caso da expressão que representa o

decaimento radioativo do césio-137, 301987

21.26,19)(

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

t

tQ , onde 1987≥t , temos uma

função do tipo exponencial, pois IRb ∈= 26,19 é um valor que multiplica a função

exponencial x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21)( , onde 30

1987−=

tx . Sendo 121<=a e a função exponencial

xaxf =)( multiplicada por 026,19 >=b , temos que se trata de uma função crescente.

Abordagem 2: Progressão Geométrica

A quantidade inicial de césio-137 que foi liberada no acidente em Goiânia é de

19,26g. Como esse material reduz-se pela metade a cada 30 anos, temos a sequência

Língua natural Registro tabular Registro algébrico Registro gráfico

Conversão Conversão Conversão

Tratamento

147

( )... 2,4075, 4,815, 9,63, ,26,19 , que corresponde à quantidade de césio-137 nos anos de

1987, 2017, 2047, 2077, …, respectivamente.

Assim, a partir do registro em língua natural, faz-se uma conversão para o

registro em linguagem matemática, apresentando-se a sequência numérica que descreve a

situação em estudo.

Podemos notar que a partir da sequência, temos que

21...

815,44075,2

63,9815,4

26,1963,9

==== , que corresponde a uma progressão geométrica (PG) de

razão 21

=q .

Nesse caso, faz-se um tratamento no registro em linguagem matemática, por

meio de operações, para perceber a regularidade existente entre os termos que definem

uma progressão geométrica.

Como:

26,191 =a

qqaa .26,19.12 ==

2123 .26,19... qqqaqaa ===

32134 .26,19... qqqaqaa ===

43145 .26,19... qqqaqaa ===

...

11

1 21.26,19.

−− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=

n

nn

n Qqaa .

Assim, o termo geral que define a situação em estudo é 1

21.26,19

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

nQ .

Nesse caso, é feita uma conversão da linguagem matemática, apresentada na

sequência, para o registro algébrico que representa o termo geral da PG. Para obter o

termo geral da PG, fez-se tratamentos no registro algébrico, deduzindo-se a expressão que

rege o termo geral de uma PG.

148

Pode-se fazer outros tratamentos no registro algébrico 1

21.26,19

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

nQ ,

obtendo os registros apresentados a seguir:

)69,0).(1(21ln).1(

21ln1

.26,19.26,19.26,1921.26,19

1

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

===⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

nn

n

n

n eeeQQn

2..26,19..26,19.26,19 69,069,069,069,069,0 −−+− === eeeeQ nnn

nn eQ 69,0.52,38 −=

Nesta abordagem, os registros utilizados foram: língua natural, linguagem

matemática e registro algébrico. As atividades cognitivas (tratamento e conversão)

estiveram presentes como apresentadas na Figura 3.

Figura 3: Registros de representação e atividades cognitivas na abordagem da PG.

Quando apresentamos essa abordagem, junto à função do tipo exponencial, os

alunos relacionam a PG a essa função. Nesse caso, a PG é uma função do tipo exponencial

discreta, pois *Nn∈ .

Embora apresentemos três registros de representação para a abordagem da

progressão geométrica, esses não são os únicos. É possível apresentar outros registros para

tal objeto matemático. Neste aspecto, somos favoráveis à afirmação de Peirce (2005) de

que as representações não são os objetos matemáticos, elas estão apenas no lugar do

objeto, fazendo referência a ele.

Abordagem 3: Equações Diferenciais Ordinárias

O césio-137 decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Sabemos que

Língua natural Linguagem matemática Registro algébrico

Conversão Conversão

Tratamento

149

inicialmente existem 19,26g de césio-137 e, após 30 anos, o material perde metade de sua

massa original. Assim, fazendo a conversão da língua natural para o registro algébrico,

temos:

∫ ∫=⇒=⇒=⇒=⇒= kdtdQQ

kdtdQQ

kdtQdQQdtkdQQk

dtdQ 11..

cktcktQ eeQeecktQ .ln ln =⇒=⇒+= +

ktecQ .1= , em que cec =1 . (1)

Para 0=t , temos que 26,19=Q g. Realizando tratamentos no registro algébrico

(1), temos que 26,191.26,19.26,19 110.

1 =⇒=⇒= ccec k .

Dessa forma, ficamos com kteQ .26,19= . (2)

Além disso, temos que para anos 30=t , 20QQ = . Assim, realizando tratamentos

em (2), obtemos:

5,0lnln5,021.26,19

226,19.26,19

230303030300 =⇒=⇒=⇒=⇒= kkkkk eeeeeQ

023,030

69,069,030 −=−

=⇒−=⇒ kk .

Portanto, o decaimento radioativo do césio-137 é dado pela expressão:

tetQ .023,0.26,19)( −=

Nesta abordagem, os registros utilizados foram: língua natural e algébrico. As

atividades cognitivas (tratamento e conversão) estiveram presentes como apresentadas na

Figura 4.

Figura 4: Registros de representação e atividades cognitivas na abordagem da EDO.

Língua natural Registro algébrico

Conversão

Tratamento

150

Nesta abordagem, fizemos uso de três registros de representação semiótica. No

entanto, é importante deixar claro que esses não são os únicos que representam o objeto

matemático Equações Diferenciais Ordinárias.

Na atividade de Modelagem Matemática que apresentamos, é possível um

trabalho envolvendo diferentes objetos matemáticos e que pode ser desenvolvido em

diferentes níveis de escolaridade – no Ensino Médio (função do tipo exponencial e PG) e

no Ensino Superior (EDO).

4. Considerações Finais

Ao utilizar a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica, inserimos os

alunos em um contexto de aprendizagem em que a discussão de situações-problema, a

participação ativa e o uso de diferentes registros se fazem essenciais. Mais do que

simplesmente utilizar diferentes registros, em Modelagem os alunos são levados a

relacionar estes registros ao buscar uma solução para a situação-problema em estudo, tal

como na situação do “decaimento radioativo do césio-137”, em que, para encontrar um

modelo matemático que representasse a situação investigada, é preciso coordenar os

registros língua natural, tabular, gráfico e algébrico. Estes registros, segundo Duval

(2004), evidenciam o modo como os alunos entendem determinado objeto matemático ao

mesmo tempo em que promovem novas interpretações acerca destes objetos e de outros

relacionados. Vale lembrar que “[...] passar de um registro de representação à outro não é

somente mudar de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os aspectos

diferentes de um mesmo objeto” (DUVAL, 2003, p.22).

Em termos gerais, verificamos, por meio da atividade descrita neste trabalho e

por meio de outras atividades de Modelagem, que, de fato, as atividades de Modelagem

Matemática viabilizam a utilização e exploração de diferentes registros de representação

semiótica, bem como os processos de tratamento, de conversão e de coordenação entre

registros. Neste sentido, entendemos que a interação Modelagem Matemática e Registros

de Representação Semiótica contribui para a aprendizagem de conceitos matemáticos e,

consequentemente, para a discussão de situações da realidade.

Além disso, a Modelagem Matemática possibilita o trabalho com a mesma

situação em diferentes níveis de ensino, envolvendo diferentes objetos matemáticos.

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