Adelmo R. Jesus

1

UNIFACS - CÁLCULO II

TEXTOS DE CÁLCULO

Métodos de Integração 1

Cálculo de Integrais de Funções Racionais; Decomposição em Frações Parciais

Para calcular uma integral do tipo dx)x(q

)x(p temos que saber antecipadamente duas pequenas coisas:

Devemos saber se a fração )x(q

)x(pé própria ou imprópria;

Devemos saber se o denominador q(x) tem (ou não tem) raízes.

Veja a seguir como decidir se uma fração )x(q

)x(p é própria ou imprópria:

Definição:

(q(x)) grau (p(x)) grau quando ,imprópria

(q(x)) grau (p(x)) grau quando ,própria

é)x(q

)x(py racional função Uma

Exemplos: 1x

22

, 4x

1x22

,

)2x)(1x(x

2x6x2

são frações próprias.

1x

3x5x6x2

23

,

4x

3x5x62

2

são frações impróprias.

Quando )x(q

)x(p é imprópria devemos dividir p(x) por q(x) e escrevê-la como a soma de um polinômio (parte

inteira) com uma fração racional própria.

Por exemplo, dada a função imprópria 1x

3x5x6x)x(f

2

23

, obtemos por divisão do numerador pelo

denominador que 1x

9x6)6x(

1x

3x5x6x22

23

.

Logo, a integral fica: dx]1x

9x6)6x[(dx

1x

3x5x6x22

23

O caso de uma fração própria )x(q

)x(p)x(f onde q(x) tem raízes é feito pelo método conhecido por

“decomposição em frações parciais”.

Exemplo 1: Considere o caso da função racional 1x

2)x(f

2 .

Neste caso, é fácil verificar que 1x

1

1x

1

1x

22

.

1 Adelmo R. de Jesus adelmojesus2008@gmail.com

Adelmo R. Jesus

2

A expressão à direita da equação é chamada decomposição em frações parciais de 1x

2)x(f

2 .

Para achar dx)x(f , integramos cada uma das frações da decomposição, obtendo o seguinte:

C1x

1xlnC1xln1xlndx

1x

1dx

1x

1dx

1x

22

O Teorema que será apresentado a seguir é aplicável para o caso de frações próprias (o caso geral é feito

fazendo previamente a divisão de p(x) por q(x)). Seu enunciado está formulado para o caso de q(x) ter

grau 3, e nos dá a maneira de decompor uma função racional a depender tipo das raízes de q(x).

Teorema: Sejam ,, , m , n , p números reais dados, com ,, diferentes entre si. Então existem

constantes A, B, C tais que:

a) )x(

C

)x(

B

)x(

A

)x)(x)(x(

pnxmx2

(raízes reais distintas)

b) 22

2

)x(

C

)x(

B

)x(

A

)x)(x(

pnxmx

(alguma raiz repetida)

c) )x(

D

)x(

C

)x(

BAx

)x)(x)(x(

pnxmx2222

2

( algum fator irredutível )x 22

Exemplo 1 (fração própria, e q(x) com fatores lineares distintos):

)2x)(2x(

dx

4x

dx2

= dx )2x

B

2x

A(

= dx2x

B dx

2x

A

Como )2x)(2x(

)BA(2x)BA(

)2x)(2x(

)2x(B)2x(A

)2x)(2x(

1

, comparando os polinômios que se encontram

nos numeradores da 1a e da última frações ficamos com o sistema

2/1BA

0BA .

Dessa forma, temos A = ¼ , B = - ¼ e daí ficamos com:

dx

2x dx

2x

4x

dx 41

41

2=

4

1 ln (|x-2|) –

4

1 ln(|x+2|) + C =

4

1 ln ( |

2x

2x

| ) + C

Exemplo 2 (fração imprópria, e q(x) com três raízes diferentes): dxx2xx

2x2x3xx23

234

O grau de grau(p(x))=4 e grau(q(x))=3 é menor, o que caracteriza uma fração imprópria. Logo, neste caso

temos que dividir o numerador pelo denominador.

Fazendo isso, obtemos um polinômio mais uma fração própria.

x2xx

2x6x)2x(

x2xx

2x2x3xx23

2

23

234

Tentativa

Adelmo R. Jesus

3

A integral fica: dx)2x)(1x(x

2x6xdx)2x( dx

x2xx

2x2x3xx 2

23

234

Decomposição em frações parciais: 2x

C

1x

B

x

A

)2x)(1x(x

2x6x2

Logo, temos: A(x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1) = x2-6x+2

Fazendo x=0 ficamos com -2A = 2. Logo, A=-1

Fazendo x=1 ficamos com 3B = -3. Logo, B=-1

Fazendo x=-2 ficamos com 6C= 18. Logo, C=3

Nossa integral fica: dx) 2x

3

1x

1

x

1(dx)2x( dx

x2xx

2x2x3xx23

234

Finalmente, temos: C|2x|ln3|1x|ln|x|lnx22

xdx)

2x

3

1x

1

x

1(dx)2x(

2

Exemplo 3 (q(x) com fatores lineares repetidos): Calcular a integral dxx2x

4x223

Neste caso temos x3-2x2 = x2 (x-2) . A decomposição em frações parciais é então:

22 x

C

x

B

)2x(

A

x)2x(

4x2

. Efetuando os cálculos, temos

2

2

2 x)2x(

)2x(C)2x(BxAx

x)2x(

4x2

, o que nos dá Ax2 + Bx(x-2) + C(x-2) = 2x + 4

x = 0 -2C = 4 C = -2

x = 2 4A = 8 A = 2

x = 1 A – B – C = 6 2 – B + 2 = 6 B = -2

Logo, a decomposição é 22 x

2

x

2

2x

2

x)2x(

4x2

Portanto, Cx

2|x|ln2|2x|ln2 dx

x2x

4x223

Exemplo 4 (q(x) com fatores lineares repetidos): Calcular a integral 1xxx

dx)1x2(23

É fácil ver que x=1 é raiz do polinômio q(x). Fatorando por Briot-Ruffini temos que x=1 é novamente raiz,

ou seja, 1 é raiz dupla de q(x) .

Temos assim a decomposição de q(x) = x3-x2-x+1 = (x+1)(x-1)2

Nossa integral ficará assim: )1x)(1x(

dx)1x2(2

= dx

1)-(x

C dx

1x

B dx

1x

A

2

Adelmo R. Jesus

4

Veja a decomposição em frações, logo abaixo:

2

2

2

2

2 )1x)(1x(

)CBA(x)CA2(x)BA(

)1x)(1x(

)1x(C)1x)(1x(B)1x(A

)1x)(1x(

1x2

Efetuando os cálculos encontramos A= - ¼ , B = ¼ , e C = 3/2 .

Daí, temos dx1xxx

1x223

= dx

1)-(x dx

1x dx

1x

22

34

14

1

As duas primeiras integrais nos dão logaritmos conhecidos. A 3ª integral é feita usando a substituição t=x-1, dt = dx. Veja abaixo:

)1x(2

3

t

1

2

3dt

t

1

2

3dx

1)-(x

1

2

3dx

1)-(x

2222

3

Finalmente, C1x

1

2

3|1x|ln

4

1|1x|ln

4

1 dx

1xxx

1x223

, ou ainda, usando

propriedades de logaritmos,

C1x

1

2

3

1x

1xln

4

1 dx

1xxx

1x223

Exercício Proposto: Calcule a integral dx )3x()1x(

1x13x62

2

Exemplo 5 (q(x) com fator irredutível):

dx

)1x)(1x(

4x222

Neste caso q(x) é um polinômio de grau 4, com fator irredutível x2+1. A fração )x(q

)x(p é própria, por isso

vamos diretamente à decomposição em frações parciais.

2222 )1x(

D

1x

C

)1x

BAx

)1x)(1x(

4x2

Efetuando os cálculos, temos:

(Ax+B)(x-1)2 + C(x-1)(x2+1) + D(x2+1) = -2x+4

Fazendo x=1 anulamos as duas primeiras parcelas, e ficamos com 2D=2. Logo, D=1.

Escolhendo valores x=0, x=-1 e x=2 (por exemplo), determinamos A=2, B=1 e C=-2.

A decomposição então é: 2222 )1x(

1

1x

2

1x

12x

)1x)(1x(

4x2

A integração agora é mais simples, veja...

Adelmo R. Jesus

5

)3(

2

)2()1(

22222dx

)1x(

1dx

1x

2dx

1x

12xdx)

)1x(

1

1x

2

1x

12x(dx

)1x)(1x(

4x2

A 1ª integral é feita separando-a em duas parcelas, ou seja:

)x(arctg)1xln(dx 1x

1

t

dtdx

1x

1dx

1x

2xdx

1x

12x 22

imediata

2

ãosubstituiç

22

t=x2+1 dt=2x dx

|1xln(2

t

dt2dx

1x

2

t=x-1 dt=dx

1x

1

t

1dt

t

1dx

)1x(

122

t=x-1dt=dx

Logo, o resultado final é: C1x

1|1x|ln2)x(arctg)1xln(dx

)1x)(1x(

4x2 222

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

1) No caso de

dxx1

32

,

dxx

1x2x2

3

, e dx4x

x22

o procedimento acima não é necessário,

pois as duas primeiras são integrais imediatas e a terceira é resolvida fazendo a substituição t = x2-4 2) Em alguns casos o denominador q(x) é um polinômio de grau 2, irredutível, e o método de frações

parciais nem sempre funciona pois não encontramos frações mais simples para integrar. Um dos

processos a utilizar neste caso é o de completar o quadrado de q(x).

Exemplos:

2.1)

2x2x

dx2

)1x2x(1

dx2

=

)1x(1

dx2

. Fazendo t = x+1 temos dt = dx .

Logo,

2x2x

dx2

)1x(1

dx2

= C)1x(arctgC)t(arctg

t1

dt2

2.2)

dx 13x4x

22

dx9)4x4x(

22

)2x(9

dx2

2

= C)3

2x(arctg

3

2

(Faça t=x+2)

2.3)

dx

13x4x

)10x2(2

9)4x4x(

dx)10x2(2

)2x(9

dx)10x2(2

.Fazendo t = x+2 temos(2x+10)dx= (2t +6)dt

Daí , )2x(9

dx)10x2(2

= ...C)

3

tarctg( 2)9tln(

t9

dt6

t9

tdt2

t9

dt)6t2( 2222

Adelmo R. Jesus

6

EXERCÍCIOS PROPOSTOS I) Calcule as integrais abaixo, por substituição ou pelo método de completar quadrados:

1)

dxx

3x2 2)

dx

x

1x2x32

2

3) dx

3x

4

4) x32

dx 5)

dx2x

x 6)

dx

2x

3x

7) dxx1

x2

8) dx

x1

)1x(

2

9) dx

x1

x24

t= x2

10)

1x

dx)3x2(

2 11)

2x

dx)3x2( 12) dx

xx

x

16

23

2

13) 2x4

dx 14)

6x4x

dx2

15) 13x6x

dx2

I) Decomposição de frações parciais (caso que todas as raízes de q(x) são reais, repetidas ou não)

1. 1x

dx2

2. 6x5x

dx2

3. x3x

dx2

4. dx)7x)(1x(

3x2

5. dxx3x

1xx2

2

6. dx

4x3x

10x52

7. dx

1x

2xx2

2

8. dx

)2x()1x(

1x2

9. dxxx2x

6x20x523

2

10. dx

x2x

4x2 23

11.

4 2

3 2

3 1

6

x xdx

x x x

12.

2

2

3 7

2 3 1

x xdx

x x

13.

2 20

dxa

x a

14.

9

5 2

xdx

x x

15.

1

20

2 3

1

xdx

x

16.

22

1

4 7 12

2 3

x xdx

x x x

SUGESTÕES E RESPOSTAS Parte I Exercícios 1) e 2): Separe as frações e integre.

3) Faça a substituição t=x-3 para obter a resposta: 4ln|x-3| +C

4) A substituição é t = 2+3x. Cuidado com dt=3dx

5) Use o truque x=(x+2)-2

6) x +3 = (x+2) +1

7) substituição

8) separar as frações e integrar transformando a integral em duas. Uma é a do item anterior e a outra é

imediata

9) substituição t=x2, dt =2xdx

10) Igual ao exercício 8)

Adelmo R. Jesus

7

11) Melhor dividir o numerador pelo denominador (fração imprópria) e integrar

12) substituição 1x6xt 3 , dt = (3x2-6)dx = 3 (x2-2)dx

13) Essa é um pouco mais difícil: Use que ))2

x(1(4)

4

x1(4x4 2

22 e faça

2

xt . Logo, dx=2dt

A resposta é C)2x4ln(2

1

14) Completar quadrado: x2+4x+6 = (x2+4x +4)+2 = ... Faça agora t=x+2

15) Completar quadrado: x2-6x+13 = (x2 -6x + 9)+4 = ... Faça agora t=x-3

Parte II

1. C1x

1xln

2

1

2. C2x

3xln

3. C3x

xln

3

1

4. 1 11

ln 1 ln 76 6

x x C

5. 1 7ln ln 3

3 3x x x C 6. 2 ln 4 3ln 1x x C 7. 2ln 1 ln 1x x x C

8. C) |1x

2x| ( ln3

1x

2C|2x|ln3|1x|ln3

1x

2

9. C

x

x

x

) |

1| ( ln

1

9 6

10. C) |x

2x| ( ln2

x

2

11.

2 1 1 11ln ln 2 ln 3

2 6 2 3

xx x x C

12.

1 3ln

2 3 1

xC

x x

13.

1ln

2

x aC

a x a

14. 2ln 5 ln 2x x C

15. 1

2ln22

16. 27 9

ln2 ln35 5

C