Dedução NaturalUniversidade Tecnológica Federal do

ParanáCurso de Engenharia de Computação

Método da dedução natural

Deduzir uma conclusão a partir de premissas.

Regras de inferência.

Método prático.

Regras de inferência

Quantas regras se pode ter num sistema?

Mínimo: duas regras para cada operador – introdutora e eliminadora.

Regras de inferência diretas. Regras de inferência hipotéticas. Regras de inferência derivadas.

Regras de inferência diretasDupla Negação (DN):

¬¬

Modus Ponens (MP):

Conjunção (C):

Separação (S):

Expansão (E):

Regras de inferência diretas

Silogismo Disjuntivo (SD): ¬ ¬

Condicionais para Bicondicional (CB):

Bicondicional para Condicionais (BC):

Exemplo de dedução

Pa (Qab Cq), (Qab Cq) Dc, Dc (E (¬E Fba)), Pa, ¬E ╞

Fba.

1. Pa (Qab Cq) P2. (Qab Cq) Dc P3. Dc (E (¬E Fba)) P4. Pa P5. ¬E P ?

Fba

1. Pa (Qab Cq) P2. (Qab Cq) Dc P3. Dc (E (¬E Fba)) P4. Pa P5. ¬E P ?

Fba

6. Qab Cq 1, 4 MP7. Dc 2, 6 MP8. E (¬E Fba) 3, 7 MP9. ¬E Fba 5, 8 SD10. Fba 5, 9 MP

Definições

“Definição 1: Sejam um conjunto qualquerde fórmulas e uma fórmula. Uma deduçãode a partir de é uma sequência finita1,...,n de fórmulas, tal que n = e cada i,1 i n, é uma fórmula que pertence a oufoi obtida a partir de fórmulas que aparecemantes na sequência, por meio da aplicação dealguma regra de inferência.” (MORTARI,

2001:242)

Definições

“Definição 2: Sejam um conjunto qualquer

de fórmulas e uma fórmula. Dizemos que

é consequência lógica (sintática) de , o que

denotamos por ├ , se há uma dedução de

a partir de .” (MORTARI, 2001:243)

Exemplos

{Pa (Qab Cq), (Qab Cq) Dc, Dc (E (¬E Fba)), Pa, ¬E} ├

Fba.

{1,...,n} ├

1,...,n ├

Regras de inferência hipotéticas

Se Miau é um gato típico, ele não gosta de nadar. Se

não gosta de nadar, então não pratica pescasubmarina. Logo, se Miau é um gato típico, Miau

nãopratica pesca submarina.

Gm ¬Nm, ¬Nm ¬Pm ├ Gm ¬ Pm.

1. Gm ¬Nm P2. ¬Nm ¬Pm P ?Gm ¬ Pm

3. | Gm H ?¬Pm

1. Gm ¬Nm P2. ¬Nm ¬Pm P ?Gm ¬ Pm

3. Gm H ?¬Pm

4. ¬Nm 1, 3 MP5. ¬Pm 2, 4 MP6. Gm ¬Pm 3-5 RPC

Regra de prova condicional Formulação

:

Uso apropriado da RPC

I. Introduzir na derivação uma linha vertical toda vez que uma hipótese adicional for introduzida.

II. Não usar uma fórmula que ocorre à direita de uma linha vertical depois de terminada essa linha.

III. Descartar as hipóteses na ordem inversa em que foram introduzidas.

IV. Uma dedução não termina enquanto não forem descartadas todas as hipóteses adicionais.

Regras de inferência hipotéticas Cb ¬Fnp ├ ¬(Cb Fnp)

1. Cb ¬Fnp P ?¬(Cb Fnp)

2. Cb Fnp H ?CTR

3. Cb 2 S4. ¬Fnp 1, 3 MP5. Fnp 2 S6. Fnp ¬Fnp 4, 5 C7.¬(Cb Fnp) 2-6 RAA

Regra de redução ao absurdoFormulação:

¬¬

Regras de inferência derivadas

São as regras que podem ser provadas

a partir das regras mencionadasanteriormente.

Podem ser consideradas como umamaneira de abreviar parte de umadedução.

Regras de inferência derivadasModus Tollens (MT):

¬¬

Silogismo Hipotético(SH):

Contraposição

¬¬

Dupla Negação (DN):¬¬

Contradição (CTR):

¬

Leis de De Morgan (DM):

¬( ) ¬( )¬ ¬ ¬ ¬

Teoremas

Definição 3: Uma fórmula é um teorema

(do CQC) se há uma dedução de a partir

do conjunto vazio de premissas.

Assim, é um teorema se e somente se

├ , o que abreviamos escrevendo

simplesmente ├ .

Teoremas

Exemplo:

├ (Fa Gb) Fa.

1. Fa Gb H

2. Fa 1 S

3. (Fa Gb) Fa. 1-2 RPC

Consequência sintática e consequência semântica

Teorema de Correção e Completude

├ se e somente se ╞

é uma consequência sintática de se e

somente se é uma consequência

semântica de .

O método de dedução natural é um sistemade prova correto e completo. Correto porquese uma conclusão pode ser deduzida de umconjunto de premissas, então ela de fato éconsequência lógica (semântica) de . Ecompleto porque, se uma fórmula éconsequência lógica (sintática) de umconjunto de premissas, há uma deduçãodemonstrando isso.