DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Representação no Domínio do Tempo de Sistemas...

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais SLITs

Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs)

Resposta ImpulsionalDefinição; Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta

impulsional:soma e integral de convolução;

Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsionalSistema com e sem memória; Causalidade; Estabilidade; Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional.

Equações Diferenciais e às Diferenças.Resolução de equações diferenciais e às diferenças;Diagrama de blocos.

Modelo de EstadoDefinição; Transformações de semelhança; Diagonalização;Solução da equação de estado;Cálculo da matriz de transição; Resposta impulsional.



impulso unitário discreto resposta impulsional

Resposta impulsional resposta no tempo do SLIT quando a entrada é um impulso unitário

SLIT discreto n nh

impulso unitário de Dirac resposta impulsional

t SLIT contínuo thSLIT

Exemplo

SLIT nx 1 nxnxny

1 nnnh

n4 02 42

1… …



Resposta no tempo SLIT discreto

nx ?ny nh

O SLIT é invariante no tempo

knhknnhn

O SLIT é linear

inteiroknhn kk

k

kkk

kk nhanynanx

k

kk

k knhanyknanx

knhnhknn kk Mas

k

knkxnx

nhnxknhkxnyk

(soma de convolução)



1n

2n

Resposta no tempo

k

knhkxnhnxny

knhkunhnunyk

11

1;0

0;1kk

knhnyk

0

hn

1;30;21;12;0

nnnn

h

2

1

3 1 0 1 2 3

… …

nunx 1 ?ny nh

Exemplo

nh

n2

1

3 1 0 1 2 3

……

ny

n2

1

3 1 0 1 2 3

… …

3

2



0n

1n

Resposta no tempo

k

knhkxnhnxny

knhkunhnunyk

11

1;0

0;1kk

knhnyk

0

hn

nunx 1 ?ny nh

nunhn

121

Exemplo

h

2

1

3 1 0 1 2 3

12

1

u

n

0;21

1;0

0

n

nn

nun

10 2

1

nu

n

1

1

211

211

nun

1

1

2112



Propriedades da soma de convolução

Comutativa: nxnhnhnx

k

knhkxnhnx

hnx

nxh nxnh

Associativa: nhnhnxnhnhnx 2121

k

knhknhkxnhnhnx 2121

k

knhhkx

21

m

k m

mnhkmhkx 21

m k

mnhkmhkx 21

m

mnhmhmx 21 nhnhnx 21



Propriedades da soma de convolução SLITs em série

ny nh2 nh1

nw nx nhnhnxnhnwny 212

A convolução é associativa

nhnhnxny 21 nx ny nhnh 21

A convolução é comutativa


A convolução é associativa

nhnhnxny 12 ny nh1 nh2

nz nx

nz



Propriedades da soma de convolução

Distributiva em relação à adição: nhnxnhnxnhnhnx 2121

nhnxnhnx

knhkxknhkxknhknhkxnhnhnxkkk

21

212121

SLITs em paralelo

ny

nh2

nh1 nx

ny1

ny2

nhnxnhnxnynyny 2121

A convolução é distributiva




Resposta no tempo SLIT contínuo

tx ?ty th

dthxty

dtxtx

integral de convolução

thtx

O integral de convolução é: comutativo; associativo; distributivo em relação à adição.



0t

0t

Resposta no tempo dthxthtxty

dthuthtuty 11

0;00;1

0

dthty

d

ddh

t

tutx 1 ?ty th

teth

Exemplo

0;

0;0

0tdede

tdet

t

1

dht

h

1

0

e e-

0;2

0;tete

t

t

tuetue tt11 2



0t

0t

Resposta no tempo dthxthtxty

dthxthtxty

0;00;

e

0 dthety

d

ddhe

t

t

tuetx t1

?ty th

tueth t 12

Exemplo

0;

0;0 3

3

tde

tdee

t

t

1 dhe

t t

0;31

0;31 3

t

tee

t

t

tuetue tt11

2

31

31

12 ue

dueett

13

13 ue

1

0



presente da entrada

passado da entrada

futuro da entrada

Propriedades dos SLITs

1. Memória

Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempodepende apenas da entrada nesse instante de tempo.

x xhy h

1

1

0kk

knxkhnxhknxkh

k

knxkhnxnhny

SLIT discreto sem memória 0 0

0,00,0 khkknxkhk

nKnnK

nh 0;00;

SLIT contínuo sem memória

tKth

tv

ti R

tRitv ti

tRthtti



Propriedades dos SLITs x xhy h

0,0 knxkhk

SLIT contínuo causal

0,0 tht

2. Causalidade

Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo dependeapenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.

0,0 nhn

tv

ti

C

tdi

Ctv

1 ti

t

tuC

dC

thtti 111

presente da entrada

passado da entrada

futuro da entrada

1

1

0kk

knxkhnxhknxkh

k

knxkhnxnhny

SLIT discreto causal 0




k

knxkhny

xB

3. Estabilidade

Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,

yyxx BnyBnBnxBn :0,:0,

SLIT discreto estável

xBnx

k

knxkh

yk

x BkhB

n

nh

A resposta impulsional de um SLIT discreto estável é uma função absolutamente somável, i.e.



Propriedades dos SLITs

n

n

n

nuanh 1

n

nhSLIT discreto estável

nx ny nh

Exemplo

nuanh n1

00

||n

n

n

n aa

1;

1;1

1

a

aanh

n

O SLIT é estável quando |a|<1 porque h(n) é absolutamente somável.




3. Estabilidade

dtth

A resposta impulsional de um SLIT contínuo estável é uma função absolutamente integrável, i.e.

tx ty th

Exemplo

tueth t1

dttuedtth t

1

0

dte t

0dte t

0

te 1lim1

t

te

0;1

0;

O SLIT é estável quando > 0 porque h(t) é absolutamente integrável.



Propriedades dos SLITs Exemplos

tx ty th

113

tueth t

Com memória porque ; tKth

Causal porque para ; 0th 1t

Estável porque .

1

3

1

33

33eedtedtth

tt

113

tueth t

Com memória porque ; tKth

Instável porque .

1 3133

33eedtedtth

tt

Não causal porque existe para o qual , p. ex. ; 0th0t 31 eh

12 tth

Com memória porque não é um Dirac na origem;

th

Causal porque só é diferente de zero para ;1t

Estável porque .

2dtth



Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional

SLIT discreto

nu 1 ny ?nh

resposta ao escalão unitário

1 nynynh 111 nunun

Exemplo

y(n)

n320-1-2-3 1

1 1

2

… …

y(n-1)

21 1… …

h(n)

n32

0-1-2-31

1 1… …

-1-1



Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional

SLIT contínuo

tu 1 ty ?th

resposta ao escalão unitário

tydtdth tu

dtdt 1

Exemplo tuetytu t1

21 5

tuedtdty

dtdth t

125 tu

dtdetue tt

12

12 510

t

tetue tt 21

2 510

te 0

ttueth t 510 12



Equações diferenciais

tvdtdCti CC

txtvtv CR

tvdtdRCtiRtv CCR

)(11 txRC

tvRC

tvdtd

CC

Sistema de 1ª ordem



Resolução de equações diferenciais

Sistemacontínuo

ty tx

)(txtyatydtd

00 yy

)(txSinal de entrada:

Modelo:

Condição inicial:

?




tytyty ph

Solução homogénea Solução particular

0 taytydtd

hh

sth eAty

?

?

tuKe

tutKtxtj

1

10

0Re

cos

tueYty tj

pp 10Re

tutx 1 tuYty pp 1

tuetx t1

tueYty tpp 1

?

?

?



Resolução de equações diferenciais Solução homogénea

sth eAty

stst aAeAedtd

stst aAeAse 0 stAeas

0 taytydtd

hh

0as as

ath eAty

?

equação característica



Resolução de equações diferenciais Solução particular

tuKe

tutKtxtj

1

10

0Re

cos

txtaytydtd

pp

tueYty tjpp 1

0Re

KYaj p 0 aj

KYp

0

tjtjp

tjp KeeaYeY

dtd

000

0t



Resolução de equações diferenciais Solução particular

tueYty tjpp 1

0Re

ajKYp

0

tuea

Kty tjp 12

02

0Re

a

j

p ea

KY0arctan

20

2

tuta

Kty p 1020

2cos



020

2cos0 y

a

KAy

Resolução de equações diferenciais Resposta completa

tytyty ph tuta

KAe at102

02

cos

?

Condição inicial + continuidade da solução

00 yAy

00

;;cos

0

20

20

tt

ya

KyA



regime estacionário

devido a x(t)devido

a y0

tuta

K

tuea

Keyty atat

1020

2

120

20

cos

cos

Resolução de equações diferenciais Resposta completa

regime transitório

a0arctan




tuta

Ktuea

Keyty atat102

0212

020 coscos

rad/s; ; .

10 1.0a 10 y

t

ty



Sistema contínuo de ordem N

txdtdbty

dtda k

kN

k

M

kkk

k

k

0 0

Condições iniciais: 0

1

1

0

,...,,0

tN

N

t

tydtdty

dtdy

Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais:

nulas – sistema linear não nulas – sistema

incrementalmente linear

MN Solução: tytyty ph

N

k

tskh

keAty1

mesma forma dosinal de entrada

N

k

kk sa

0

0 Equação característica



Condições iniciais

2811

411200 yyxxy


Equações às diferençasSistemadiscreto

ny nx

122811

41

nxnxnynyny

Cálculo de para : ny 0n

1810

410211 yyxxy

0811

411222 yyxxy

etc



Resolução de equações às diferenças

Sistemadiscreto

ny nx

122811

41

nxnxnynyny

021 yy

)(nxSinal de entrada:

Modelo:

Condição inicial:




nynyny ph

Solução homogénea Solução particular

nnh zAzAny 2211

nunx 1 nuYny pp 1

02811

41

nynyny hhh

?

Equação característica: 081

412 zz

21;

41

21 zz

nnx nYny pp

nunx n1 nuYny n

pp 1

?

?

?



Solução particularResolução de equações às diferenças

nunx 1

nuYny pp 1 122

811

41

nxnxnynyny

2181

41

ppp YYY

2n

38

pY nuny p 13

8



nynyny ph

Resolução de equações às diferenças Resposta completa

380 21 AAy

38

21

411 21 AAy

0;38

21

41

21

nAA

nn

021;

122811

41

1

yynunx

nxnxnynyny

1

411

11 A

32

2 A




nunynn

138

21

32

41

ny

n



Resolução de equações às diferenças: resposta impulsional

Sistemadiscreto

ny nx

122811

41

nxnxnynyny

021 yy

nnx )(Sinal de entrada:

Modelo:

Condição inicial:

nYny pp Solução particular:

2n

1220811

412 ppp YYY 0pY

nny p 0



Resolução de equações às diferenças: resposta impulsional

122811

41

nxnxnynyny

0;21

41

212211

nAAzAzAnynh

nnnn

n

Equação característica:

081

412 zz

21;

41

21 zz

23

2

1

AA

nunhnn

1212

413

Da equação às diferenças com e e da expressão de : nnx )( 02)1( yy

11202811

410021 xxyyyhAA

470211

810

4111

21

41

21 xxyyyhAA

)(nh



Sistema discreto de ordem N

knxbknyaN

k

M

kkk

0 0

Condições iniciais: Nyy ,...,1

Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais:

nulas – sistema linear não nulas – sistema

incrementalmente linear

MN ,Solução: nynyny ph

N

k

nkkh zAny

1mesma forma dosinal de entrada

N

k

kNk za

0

0 Equação característica



Diagrama de blocos



nwDiagrama de blocos

122811

41

nxnxnynyny

nx ny

1nx

A

2

nw

A

1ny

A

2ny81

41

Forma directa I



Diagrama de blocos

A

2

ny

A

A

81

41

nx



A2

ny

A

A

81

41

nx

Diagrama de blocos

Forma directa II



Equações de estado:

Modelo de Estado

nxnsnsns 211 81

411

nsns 12 1 2

ny

A

A

81

41

nx

ns1

ns2

11 ns

12 ns

Variáveis de estado 12 11 nsnsny

Equação de saída nxnsnsny 21 8

147



Modelo de Estado

nxnsnsns 211 81

411

nsns 12 1


nxnsnsny 21 81

47

Equação de saída:

Vector de estado:

nsns

ns2

1

nxnsns

01

0181

41

1

nxnsny 181

47

TDTC

BA



Diagrama de blocos

txtxdtdtyty

dtdty

dtd

2232

2

,3,2,1,1

0

ndvtv

tvtvt nn

txtxtytytydtd 11 223

txtxtytyty 2121 223



tw

Diagrama de blocos

txtxtytyty 2121 223

tv n 1 tv n

ty

tx 1

tx

tx 2

2

tw

ty 1

2

ty 2

3

Forma directa I



Diagrama de blocos

tx

2

3

2

ty

Forma directa II



Equação de saída

2

3 2

tx

ty

Modelo de Estado dttds ts

ts2

ts1

tsdtd

2

tsdtd

1

tststy 212


txtststsdtd

211 23

tstsdtd

12



Modelo de Estado

Equação de saída:

Vector de estado:

tsts

ts2

1

txtstsdtd

01

0123

txtsty 012

TDTC

BAEquações de estado:

txtststsdtd

211 23

tstsdtd

12

tststy 212



Modelo de EstadoC

ontín

uoD

iscreto

tBxtAstsdtd

nBxnAsns 1

txDtsCty TT nxDnsCny TT

Equação de Estado

Equação de Saída

LMN estados, entradas, saídas.

MNB

NNA - matriz da dinâmica

- matriz de entrada

MLD

NLCT

T

- matriz de saída

DCBA ,,, constantes Sistema invariante no tempo



Modelo de Estado

3

2

1

11

tx ty tz1

tz2

tz1

tz2

tztz

tz2

1

Vector de estado txtztz

dtd

11

2001

tzty 31



Equação diferencial

txtztzdtd

11

2001

tzty 31

txtztzdtd

11

txtztzdtd

22 2

tztzty 21 3

tzdtdtz

dtdty

dtd

21 3 txtztz 26 21

txtydtdtytz 221

txty

dtdtytz 2

31

2

1º passo: Obter as variáveis de estado em função de y(t) e das suas derivadas.



txdtdtz

dtdtz

dtdty

dtd 26 212

2

Equação diferencial

txtxdtdtztz 5212 21

txtztztydtd 26 21

txtztzdtd

11

txtztzdtd

22 2

txtydtdtytz 221

txty

dtdtytz 2

31

2

txtxdtdtyty

dtdty

dtd

2232

2

?2

2

tydtd




Equação Diferencial vs. Modelo de Estado

txtxdtdtyty

dtdty

dtd

2232

2

txtstsdtd

01

0123

tsty 12

txtztzdtd

11

2001

tzty 31

O modelo de estado de um sistema não é único



Modelo de Estado

nz

nznz2

1

Vector de estado nxnznz

31

32

410

021

1

nxnzny

49

23

A

A

49

41

23

21

nx ny nz1

nz2

11 nz

12 nz

32

31



Equação às diferenças

nxnxnynynz341

98

921

98

1

nxnxnynynz341

2716

2781

2716

2

1º passo: Obter as variáveis de estado em função de y(n), y(n+1)...

nxnznz

31

32

410

021

1

nxnzny

49

23

nxnznzny 21 49

23

nxnznz32

211 11

nxnznz31

411 22

11491

231 21 nxnznzny nxnxnznz

471

169

43

21



Equação às diferenças ?2 ny Sistema de 2ª ordem

nxnxnznzny471

169

431 21 nxnznz

32

211 11

nxnznz31

411 22

nxnxnynynz341

98

921

98

1

nxnxnynynz341

2716

2781

2716

2

14721

1691

432 21 nxnxnznzny

1472

165

649

83

21 nxnxnxnznz

122811

412 nxnxnynyny

122811

41

nxnxnynyny



Equação às Diferenças vs. Modelo de Estado

O modelo de estado de um sistema não é único

122811

41

nxnxnynyny

nxnsns

01

0181

41

1

nxnsny

81

47

nxnznz

3132

410

021

1

nxnzny

49

23



Transformação de semelhança yx

nTzns

tTztsNNT :

não singular

Modelo II

txBtzAtzdtd

22

txDtzCty TT22

Modelo I

txBtsAtsdtd

11

txDtsCty TT11 SI

STE

MA

C

ON

TÍN

UO

nxBnsAns 111

nxDnsCny TT11

nxBnzAnz 221

nxDnzCny TT22

SIST

EM

A

DIS

CR

ETO



Transformação de semelhança

txBtsAtsdtd

11

txDtsCty TT11

txBtzAtzdtd

22

txDtzCty TT22

tsTtz 1

tTzts

tsdtdTtz

dtd 1

txBTtsAT 11

11

txBTtTzAT 11

11

11

2

11

2

BTB

TATA

txDtTzC TT11

TTTT DDTCC 1212 ;



Transformação de semelhança tzTTTT

ts

2221

1211

TCC TT12

2221

12111231TTTT 22122111 22 TTTT

3212

2212

2111

TTTT

3212

1222

1121

TTTT

3212 1211

1211

TTTT

T

tzty 31

TC2

tsty 12

TC1




3212 1211

1211

TTTT

T

11

2 BTB 12 BTB

0

111

3212 1211

1211

TTTT

01

222 1211

1211

TTTT

11211 TT

3232

11212

1212TTTTT

txtstsdtd

01

0123

1B

txtztzdtd

11

2001

2B




txtstsdtd

01

0123 txtztz

dtd

11

2001

TATA 11

2 TATA 12

32321

0123

2001

32321

1212

1212

1212

1212TTTT

TTTT

1212

1212

1212

12121

636432

21TT

TTTT

TT

3232

11212

1212TTTTT

212 T

1121

T

1A 2A




txtstsdtd

01

0123 txtztz

dtd

11

2001

1121

T

tTzts

tztz

tsts

2

1

2

1

1121

tztzts

tztzts

212

211 2



Transformação de semelhança nTzns

nxBnsAns 111

nxBnzAnz 221

nsTnz 1

11 1 nsTnz

nxBTnsAT 11

11

nxBTnTzAT 11

11

11

2

11

2

BTB

TATA

nxDnsCny TT

11

nxDnzCny TT22

nxDnTzC TT11

TTTT DDTCC 1212 ;



Transformação de semelhança nzTTTTns

2221

1211

TCC TT12

2221

1211

81

47

49

23

TTTT

22122111 8

147

81

47 TTTT

49

81

47

23

81

47

2212

2111

TT

TT

18141214

1222

1121TTTT

18141214 1211

1211TTTTT

nxnzny

49

23

TC2

nxnsny

81

47

TC1




11

2 BTB 12 BTB

01

31

32

18141214 1211

1211TTTT

01

143

14328

31

32

1211

1211

TT

TT

23

21

1211 TT

181497

23

21

1212

1212

TT

TTT

nxnsns

01

0181

41

1

1B

nxnznz

3132

410

021

1

2B

18141214 1211

1211TTTTT




TATA 11

2 TATA 12

18149723

21

0181

41

410

021

18149723

21

1212

1212

1212

1212

TT

TT

TT

TT

1212

1212

1212

1212

23

21

492

23

29

27

29

27

41

43

41

TT

TT

TT

TT

42

11T

181497

23

21

1212

1212

TT

TTT

nxnsns

01

0181

41

1

1A

nxnznz

3132

410

021

1

2A

112 T




nTzns

nznz

nsns

2

1

2

14211

nznzns

nznzns

212

211

42

nxnsns

01

0181

41

1 nxnznz

3132

410

021

1

42

11T



Diagonalização

Dada uma matriz da dinâmica A, qual a transformação de coordenadas, T, que conduz a uma matriz da dinâmica diagonal?

txBtAstsdtd

1 txBtDztzdtd

2

Que condição deve satisfazer A para que exista uma transformação de coordenadas

s(t)= Tz(t) OU s(n)=Tz(n)com T não singular, tal que D=T-1AT seja uma matriz diagonal?

nxBnAsns 11 nxBnDznz 21

OU



A matriz A é diagonalizável sse for de estrutura simples, i.e., se os vectores próprios de A forem linearmente independentes.

Diagonalização

0123

A Valores próprios: 0det AI

0231

23det

2;1 21 Vectores próprios: 2,1; ivAv iii

2

1

2

1

0123

i

ii

i

i

vv

vv

21 iii vv

1i

iv

11

1v

12

2v



matriz de transformação de coordenadas: s(t)=Tz(t)

Diagonalização

;11

1

v

12

2v

vectores próprios linearmente independentes

1121

21 vvT 01det T

2;1 21

2001

00

2

11

ATTD

txtstsdtd

01

0123

tsty 12

txtztzdtd

11

2001

tzty 31



Diagonalização

os valores próprios de A são todos distintos

A é de estrutura simples sempre que:

A é simétrica, i.e., A=AT

TAA

2111



A 21 é de estrutura simples

Diagonalização

txtstsdtd

10

1010

tsty 01

Exemplo

Obter uma nova representação de estado do sistema de modo a ter matriz da dinâmica diagonal

Valores próprios de A:

1

001101detdet

2

1

AI

Vectores próprios de A: iii vAv

2

1

2

2

2

1

2

1

1010

ii

ii

i

i

i

ii

i

i

vv

vv

vv

vv

0

1 qualquer ;0000 111

1

11 12

2

2 vvvvv

1

11 2222

2

2

22 12

2

1

2

2 vvvvv

vv

1011

1000

00

21

2

1

vvT

D

txtztzdtd

11

1000

tzty 11

txBTtzATTtzdtd 11

tzTCty T

D



A 21 é de estrutura simples

Diagonalização

nxnsns

11

01101

nsny 01

Exemplo

Obter uma nova representação de estado do sistema de modo a ter matriz da dinâmica diagonal

Valores próprios de A:

1

10111detdet

2

12

AI

Vectores próprios de A: iii vAv

2

1

1

2

2

1

2

1

0110

ii

ii

i

i

i

ii

i

i

vv

vv

vv

vv

11 1 111

1

1

1

11 12

2

1

1

2 vvvvv

vv

111 222

2

2

2

22 12

2

1

1

2 vvvvv

vv

1111

1001

00

21

2

1

vvT

D

nxnznz

01

10011

nzny 11

nxBTnzATTnz 111

nzTCny T

D



Solução da equação de estado

nBxnAsns 1 0n

001 BxAss

112 BxAss 1002 BxABxsA

223 BxAss 2100 23 BxABxBxAsA

1

0

10n

k

knn kBxAsAns

Sistema discreto



nxnsns

01

0181

41

1

kxsnsn

k

knn

01

0181

41

00181

41 1

0

1


1

0

10n

k

knn kBxAsAns

?



410

021

00

2

11

ATTD

Cálculo de An

0181

41

A é de estrutura simples?

081

41

181

41

detdet

AI

41

21

2

1

A é diagonalizável:

2,1; ivAv iii

2

1

2

1

0181

41

i

ii

i

i

vv

vv

21 vvT

21 iii vv

1i

iv

1141

21

T



1123 TDTTTDA

112 TDTTDTA

Cálculo de An

410

021

D

1141

21

T

ATTD 1 1TDTA12 TTD

13 TTD

1 TTDA nn

1

1141

21

410

021

1141

21

n

nA

32

34

31

34

410

021

1141

21

n

n

nA

nnnn

nnnn

nA

41

32

21

31

41

34

21

34

41

61

21

61

41

31

21

32




kxsnsn

k

knn

01

0181

41

00181

41 1

0

1

nnnn

nnnn

nA

41

32

21

31

41

34

21

34

41

61

21

61

41

31

21

32

kx

sns

n

kknkn

knkn

nnnn

nnnn

1

011

11

41

34

21

34

41

31

21

32

0

41

32

21

31

41

34

21

34

41

61

21

61

41

31

21

32



Resposta no tempo do sistema

nxDkBxACsACny Tn

k

knTnT

1

0

10

nxDnsCny

nBxnAsnsTT

1

1

0

10n

k

knn kBxAsAns

0n



nxnsny 201 Resposta no tempo do sistema

)0(241

31

21

32

041

61

21

61

41

31

21

32

1

0

11

nnxkx

sny

n

k

knkn

nnnn

kxsnsn

kknkn

knkn

nnnn

nnnn

1

011

11

41

34

21

34

41

31

21

32

0

41

32

21

31

41

34

21

34

41

61

21

61

41

31

21

32



Resposta no tempo ao escalão unitário

)0(;241

31

21

320

41

61

21

61

41

31

21

32 1

0

11

nnxkxsnyn

k

knknnnnn

nunxs 1;000

nukunyn

k

knknnnnn

11

1

0

11

241

31

21

32

00

41

61

21

61

41

31

21

32

0 01 n

241

31

21

322

41

31

21

32 1

0

11

0

11

0

11

n

k

knn

k

knn

k

knkn

ny

2441

312

21

322

41

41

31

21

21

32 1

0

11

0

11

0

11

0

1

n

k

knn

k

knn

k

knn

k

kn

ny



Soma de um número finito de termos de uma série geométrica

0;2441

312

21

32 1

0

11

0

1

nnyn

k

knn

k

kn

Resposta no tempo ao escalão unitário nunxs 1;000

2

4141

41

31

2121

21

32 11

nnnn

ny

nxnsny 201

0;926

41

94

21

94

nny

nn

2020010 xsy

nnunynn

21926

41

94

21

94

1



Resposta impulsional

nxDkBxACsACny Tn

k

knTnT

1

0

10

nnx nhny

00 sSistema inicialmente em repouso:

nDkBACnh Tn

k

knT

1

0

1

kBAC nT 1

nDkBACnh Tn

k

nT

1

0

1

0;01;1

nn

nDnBuACnh TnT 111




nxnsns

01

0181

41

1

nxnsny 201

nnnn

nnnnn

41

32

21

31

41

34

21

34

41

61

21

61

41

31

21

32

0181

41

Já vimos que

nDnBuACnh TnT 111

nnunh nnnn

nnnn

2101

41

32

21

31

41

34

21

34

41

61

21

61

41

31

21

32

01 11111

1111

nnunhnn

2141

31

21

32

1

11



Sistema contínuoSolução da equação de estado

tBxtAstsdtd

0t

t tAAt dBxesets0

0

txtstsdtd

01

0123

t tt

dxesets0

0123

0123

01

0

?



Cálculo de eAt

0123

A é de estrutura simples

2001

00

2

11

ATTDA é diagonalizável:

1121

Tcom

1 TTDA nn 3322

!31

!21 tAtAAtIeAt

Expansão em série de Taylor de eAt

13322

!31

!21

TtDtDDtIT 1 TTee DtAt

t

tDt

ee

e2

1

00

1

2 1121

00

1121

t

tAt

eee

tttt

ttttAt

eeeeeeee

e22

22

2222




tttt

ttttAt

eeeeeeee

e22

22

2222

t tt

dxesets0

0123

0123

01

0

t

tt

tt

tttt

tttt

dxee

ees

eeeeeeee

ts0 2

2

22

22 20

2222

0t



Resposta no tempo do sistema

txDdBxeCseCty Tt tATAtT

00

txDtsCty

tBxtAstsdtd

TT

t tAAt dBxesets0

0

0t



tsty 12Resposta no tempo do sistema

0303230

222 tdxeeseeeetyt tttttt

t

tt

tt

tttt

tttt

dxee

ees

eeeeeeee

ts0 2

2

22

22 20

2222

tutxs 1;000

030

2 tdeetyt tt tueety tt

12

21

23



Resposta impulsional ttx thty

00 sSistema inicialmente em repouso:

BeC AtT

0;00;1

tt

tDtBueCth TAtT 1

txDdBxeCseCty Tt tATAtT

00

tDdBeCth Tt tAT

0

tDdBeCth TtAtT 0




tueeeetu

eeeeeeeeth tt

tt

tttt

tttt

12

2

122

22 21201

222212

tueeth tt1

23

tDtBueCth TAtT 1

txtstsdtd

01

0123

tsty 12

Já vimos que

tttt

ttttt

eeeeeeeee 22

220123

2222

DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Representação no Domínio do Tempo de Sistemas...

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