A Prova Matriz da Regra de Cramer

A prova para a regra de Cramer é muito simples, na verdade ele utiliza apenas duas propriedades dos determinantes. A primeira propriedade é que a adição de qualquer múltiplo de uma coluna para outra não altera o valor do determinante, enquanto a segunda propriedade é que multiplicar cada elemento de uma coluna por um fator que multiplica o valor do determinante pelo mesmo fator.

Dado n equações lineares com n variáveis .

É regra de Cramer dá, para o valor de x 1, a expressão:

que pode ser verificado usando as propriedades acima de determinantes. De fato,

substituindo a partir das equações do sistema, este quociente é igual a

Subtraindo-se da primeira coluna da segunda multiplicada por x2, terceira coluna multiplicada por x3, e assim sucessivamente até a última coluna multiplicada por xn, é encontrado para ser igual a

e de acordo com o remanescente dos bens determinantes o fator comum x 1 na primeira coluna do numerador pode ser fatorada do determinante. Portanto, este é igual a

Isto é equivalente à equação matricial

Exemplo 3.7. Use regra de Cramer para resolver o sistema de equações