Demonstração- Ínfimo/Supremo
1
BASES MATEM ´ ATICAS Enunciado: Sejam CA = {cx : x ∈ A, c ∈ <} e A = {x : x ∈ A}, A ⊂<. Prove que sup CA = c sup A e inf CA = c inf A. Supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈< + , teremos a ≤ a + b = y ent˜ ao y ´ e um majorante de A, logo, pelo axioma da completude possui supremo. Supondo tamb´ em que w ≤ y, ou seja, que w ´ e o menor dos majorantes, temos que sup A = w Ainda supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈< + , teremos, para o conjunto CA ca ≤ c(a + b)= cy; c> 0 ent˜ ao cy ´ e um majorante de CA, logo, possui supremo. Por hip´ otese, temos que w ≤ y, donde conclu´ ımos, utilizando o axioma 12 (A12), que cw ≤ cy. Logo, sup CA = cw = c · sup A. Como se queria demonstrar. Ademonstra¸c˜ ao para os ´ ınfimos ´ e totalmente an´ aloga. 1
-
Upload
rodrigo-thiago-passos-silva -
Category
Business
-
view
3.862 -
download
3
description
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para [email protected]
Transcript of Demonstração- Ínfimo/Supremo
BASES MATEMATICAS
Enunciado: Sejam CA = {cx : x ∈ A, c ∈ <} e A = {x : x ∈ A}, A ⊂ <. Prove que supCA = c supAe inf CA = c inf A.
Supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈ <+, teremos
a ≤ a + b = y
entao y e um majorante de A, logo, pelo axioma da completude possui supremo.Supondo tambem que w ≤ y, ou seja, que w e o menor dos majorantes, temos que
supA = w
Ainda supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈ <+, teremos, para o conjunto CA
ca ≤ c(a + b) = cy; c > 0
entao cy e um majorante de CA, logo, possui supremo.Por hipotese, temos que w ≤ y, donde concluımos, utilizando o axioma 12 (A12), que
cw ≤ cy.
Logo, supCA = cw = c · supA. Como se queria demonstrar.
A demonstracao para os ınfimos e totalmente analoga.
1
