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PEA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO ELÉTRICAS

PEA-3311 Laboratório de Conversão Eletromecânica de Energia

ELETROÍMÃ 2

Resumo Teórico

2016

Introdução

O objetivo desta experiência é analisar e equacionar a produção de conjugados em dispositivos

eletromecânicos de rotação. Conforme foi visto em teoria, há várias formas possíveis para o cálculo

de forças em dispositivos eletromagnéticos, mas em equipamentos eletromecânicos, o uso do

princípio da conservação de energia é extremamente útil e simples em problemas que envolvam

forças. Nesta experiência vamos realizar o equacionamento para dispositivos de rotação, a fim de

calcular conjugados (também denominados torques).

O Princípio de Conservação de Energia em Equipamentos de Rotação

Em um equipamento que realiza conversão eletromecânica de energia, baseado em campo magnético,

deve-se computar para o balanço de energia:

1. A energia mecânica

2. A energia elétrica

3. A energia armazenada na forma de campo magnético

4. As perdas

Assim, a aplicação do Princípio de Conservação de Energia em um equipamento de rotação pode ser

posto na seguinte forma:

perdasSistemadoMagnética

EnergiadeVariação

sistemapelofornecida

MecânicaEnergia

fontepelafornecida

ElétricaEnergia

(1.1)

É usual que se assuma, sem perda de generalidade, que o único tipo de perda existente é a perda joule.

Desta forma, a expressão (1.1) para um intervalo de tempo infinitesimal dt, pode ser colocada na

forma:

dtIrdWdWdWJ

JJmagmecelet 2 (1.2)

Em que:

eletdW é a energia elétrica introduzida no sistema no intervalo de tempo dt;

mecdW é a energia mecânica cedida pelo sistema no intervalo de tempo dt;

magdW é a variação de energia magnética armazenada no intervalo de tempo dt;

dtIrJ

JJ 2 é o somatório das perdas joule em todos os enrolamentos do dispositivo no intervalo de

tempo dt.

Para a análise de um dispositivo rotativo que realiza conversão eletromecânica de energia, torna-se

necessário detalhar cada uma das parcelas de (1.2). Apenas para facilitar o entendimento, vamos

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PEA3311 – Laboratório de Conversão Eletromecânica de Energia

dividir este detalhamento em duas partes. Em um primeiro momento, o equacionamento será aplicado

a um sistema de rotação, que possua uma única bobina. A segunda etapa é a aplicação do Princípio a

um sistema de rotação que tenha duas bobinas.

Princípio de Conservação de Energia aplicado a um Sistema de Rotação Simplesmente Excitado

O dispositivo a ser analisado neste item é mostrado em corte na Figura 1. Ele é um sistema de rotação,

cuja parte fixa é denominada estator e cuja parte móvel é chamada rotor. A bobina está alojada no

estator do dispositivo. Usa-se material ferromagnético na construção tanto do rotor e como do estator.

A este tipo de construção, dá-se o nome de Máquina de Polos Salientes. A característica básica destes

equipamentos é que o estator é cilíndrico ao passo que o rotor não o é.

q

EstatorRotor

Bobina

Figura 1 O Sistema Rotativo

Apenas para melhor entendimento, o sistema rotativo da Figura 1 é mostrado em duas partes e em

perspectiva na Figura 2. A bobina está mais detalhada e se aproxima de dispositivos reais.

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Estator e suas bobinas em perspectiva Rotor em perspectiva

Figura 2 Estator e Rotor em perspectiva: sistema rotativo de polos salientes

Alguns pontos importantes:

o Tente esboçar as linhas de campo da Fig. 1. Ao se usar a regra da mão direita, você perceberá

que as linhas de campo magnético “entram” na superfície do estator em sua parte superior e

“saem” da superfície do estator na parte inferior, para qualquer ângulo q. Por convenção, uma

superfície em que as linhas de campo “saem” é denominada Polo Norte e uma outra em que as

linhas “entram” é denominada Polo Sul. Assim, no caso em análise, tem-se que a parte

superior do estator será um Polo Sul e a parte inferior do estator um Polo Norte. O dispositivo

em análise possui, portanto, dois polos magnéticos.

o Imagine que a bobina alojada no estator da Figura 1 estivesse no espaço livre, sem presença

de material ferromagnético. Nesta condição, as maiores intensidades de campo magnético

produzido por esta bobina seriam encontradas em uma linha vertical, que se situa a meia

distância entre os condutores que formam a bobina. Esta linha é denominada a linha de ação

da bobina, ou seja, ela, por si só, tenta impor campo segundo esta linha.

o Para entender, de forma meramente qualitativa, o comportamento deste dispositivo, basta

analisar a Figura 3, que mostra duas situações limites: o rotor alinhado com o campo

produzido com o estator e o rotor deslocado de 90º do campo do estator;

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θ= 0°

θ 90°

(a) Rotor Alinhado com o

Campo do Estator (q 0

ou 180

(b) Rotor Desalinhado de 90º

do Campo do Estator (u de 270

Figura 3 Duas situações limites

A primeira questão a ser analisada é: como varia a relutância que a indução magnética (ou fluxo

magnético) produzido pela bobina do estator percebe nas situações das Figuras 1, 3(a) e 3(b)? Tem-se

um fato: a linha de ação da bobina sempre será vertical. Ao se admitir que a corrente na bobina do

estator é fixa em todas as condições definidas nas Figuras 1 e 3, então é possível concluir que o fluxo

será máximo na condição de rotor alinhado (q 0º e 180º) e mínimo na condição de rotor totalmente

desalinhado (q 90º e 270º). Este mesmo fluxo alcançará um valor intermediário, caso o rotor esteja

em uma posição, como aquela mostrada na Figura 1 (tente esboçar as linhas de campo para confirmar

esta afirmação).

A segunda questão a ser colocada é: o rotor tende a se posicionar em qual das três posições? Na

experiência anterior, analisou-se um dispositivo de translação, que buscava alcançar a mínima

relutância e máximo fluxo. Esta tendência se repete para este dispositivo de rotação. Desta forma, o

sistema rotativo em análise busca a posição mostrada na Figura 3(a), em que o rotor está na posição

vertical, porque a relutância do circuito magnético da bobina será mínima e, portanto, o fluxo será

máximo.

Um ponto importante: se a corrente e o número de espiras são fixas e o fluxo concatenado com a

bobina do estator varia com a posição do rotor, então a relutância do circuito magnético da bobina do

estator varia com a posição angular q e, por consequência, a indutância própria desta bobina também

se modifica com a posição do rotor.

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Quando q vale zero ou 180º (ver Figura 3(a)), tem-se relutância mínima e, portanto, máxima

indutância (Lmax=

). Já para a posição em que q vale 90º ou º270q (ver Figura 3(b)), o valor da

relutância é máximo e o valor da indutância da bobina do estator é mínimo (Lmin

). Tem-se,

portanto, um comportamento periódico da indutância e da relutância.

Em equipamentos eletromecânicos de geometria similar àquela apresentada na Figura 1, é bastante

usual que a indutância da bobina do estator, siga a seguinte lei de formação1:

qq 2cos22

)( minmaxminmax LLLLL

(2.1)

O gráfico da expressão (2.1), mostrado na Figura 4, permite um melhor entendimento da variação da

indutância com a posição. Note que uma indutância própria sempre terá valores positivos.

Figura 4 Indutância Própria em função da Posição do Rotor

A análise qualitativa do dispositivo conduziu a uma possível forma de variação da indutância com a

posição. Assim, é possível partir para o cálculo do torque (ou conjugado) desenvolvido neste

equipamento, através da aplicação do Princípio da Conservação de Energia.

A análise será realizada em um intervalo de tempo infinitesimal dt em que o rotor sofre um

deslocamento dq . É necessário calcular novamente a energia elétrica introduzida, as perdas, a

variação de energia magnética armazenada no campo magnético e a energia mecânica fornecida, tal

qual feito para o eletroímã de translação. Para a determinação do valor do conjugado desenvolvido

pelo dispositivo, torna-se necessário detalhar cada uma das parcelas de energia envolvidas no

processo de conversão:

dttitvdWelet )()( (2.2)

1 Para se alcançar esta lei de formação, basta que o projetista do equipamento busque durante a fase de projeto uma

distribuição senoidal de induções ao longo do entreferro.

360 Ângulo ( º )

Indutância Própria

0 45 90 135 180 225 270 315 0

Lmin

Lmax

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qd)t(CdWmec (2.3)

Perdas joule = dtrI 2 (2.4)

Se o fluxo concatenado com a bobina vale (t) = N(t), sabe-se de Circuitos Elétricos que:

dt

dNtir

dt

dtirtetirtv

)()()()()( (2.5)

e portanto a equação (2.2) pode ser colocada na forma:

dttridtidWelet )()( 2 (2.6)

Apenas para simplificar a obtenção da expressão da variação da energia magnética adota-se mais uma

hipótese: o circuito magnético do sistema em análise é linear.

(x,t) = N(t) = L(x) i(t) (2.7)

Tal qual no eletroímã de translação, a variação da energia magnética armazenada pode ser expressa

na forma:

iddWmag2

1

(2.8)

Inserindo em (1.2) as equações (2.2), (2.3), (2.5) e (2.8), tem-se:

dt)t(rid)t(Cd)t(i2

1dt)t(rid)t(i 22 q (2.9)

o que resulta em

1 1 ( ( ) ( ))( ) ( ) ( )

2 2

d d L x i tC i t i t

dx dx

q (2.10)

E se o deslocamento dq é realizado com corrente constante:

21 d(L(x)i(t)) 1 dL(θ)C(θ)= i(t)× = i (t)×

2 dx 2 dθ (2.11)

Note que o conjugado atua no sentido de aumento da indutância da bobina, ou seja, tenta fazer com

que a relutância seja diminuída e que o fluxo seja incrementado.

Ao se agrupar as equações (2.1) e (2.11) tem-se:

qq 2sen2

LL)t(i)t,(C minmax2

(2.12)

que é mostrada no gráfico da Figura 5.

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Figura 5 Conjugado em função da Posição

A Figura 5 torna explícita a existência de quatro posições em que o conjugado que atua sobre o rotor

é nulo, ou seja, o dispositivo alcança equilíbrio. Em º0q e em º180q , o rotor está na posição de

mínima relutância. Já em º90q e em º270q a relutância é máxima. Note que:

o em º0q e em º180q , ao se deslocar o rotor no sentido positivo, o sistema apresenta

conjugado negativo, ou seja, tende a retornar ao ponto inicial. Se o deslocamento for negativo,

então o conjugado é positivo e novamente retorna-se ao ponto inicial.

o em º90q e em º270q , ao se deslocar o rotor no sentido positivo, o sistema apresenta

conjugado positivo, ou seja, o sistema não tende a retornar ao ponto inicial. A mesma

conclusão é válida, quando o deslocamento for negativo. O sistema tende a se deslocar

naturalmente para a posição º0q ou º180q .

Portanto, na condição de mínima relutância (0º ou 180º) o sistema alcança um ponto de equilíbrio

estável. Já na condição de máxima relutância (90º ou 270º) o equilíbrio é instável.

Princípio de Conservação de Energia aplicado a um Sistema Rotativo duplamente energizado.

O dispositivo a ser analisado neste item é mostrado esquematicamente em corte na Figura 6. Ele

também é um sistema de rotação, tal qual o da Figura 1, mas que apresenta particularidades

importantes:

o uma das bobinas está alojada no estator e a outra no rotor;

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o o valor do entreferro é constante e o rotor cilíndrico. A este tipo construtivo de equipamento,

dá-se o nome de Máquina de Polos Lisos.

Figura 6 Dispositivo de Polos Lisos

Apenas para melhor entendimento, o sistema rotativo da Figura 6 é mostrado em duas partes e em

perspectiva na Figura 7. As bobinas estão mais detalhadas e se assemelham a dispositivos reais.

Estator e suas bobinas em perspectiva Rotor em perspectiva

Figura 7 Estator e Rotor em perspectiva: sistema rotativo de polos lisos

Antes da aplicação do Principio da Conservação de Energia para este dispositivo, é interessante

salientar algumas propriedades particulares deste equipamento:

I2

Rotor

I2

I1

I1

Estator

θ

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a. Admita que a corrente que circula no bobina do estator (I1)2 seja nula. Se a corrente que

circula na bobina do rotor (I2) for diferente de zero, qualquer que seja a posição q do rotor, o

fluxo concatenado com a bobina do rotor será sempre o mesmo.

b. Admita que a corrente que circula no bobina do rotor (I2) seja nula. Se a corrente que circula

na bobina do estator (I1) for diferente de zero, qualquer que seja a posição q do rotor, o fluxo

concatenado com a bobina do estator será sempre o mesmo.

c. Tanto no caso a), como no caso b) não há uma posição em que o rotor seja colocado, que

implique fluxo máximo ou mínimo, tal qual no dispositivo analisado no item anterior. A

relutância do circuito magnético nos dois casos é sempre constante, porque a relação entre

força magnetomotriz e fluxo é fixa, qualquer que seja a posição do rotor. Como não há

variação da relutância do circuito magnético das duas bobinas, então a indutância própria das

bobinas será constante.

d. Pode-se concluir que neste dispositivo, ao se energizar apenas uma bobina, não se obtém

conjugado em qualquer posição do rotor. Motivo: não há direção preferencial de fluxo.

e. Tudo se altera quando se impõe corrente em ambas as bobinas. O campo magnético produzido

pela bobina do rotor, que vai interagir com o campo magnético produzido pela bobina do

estator. A tendência do sistema é pelo alinhamento destes dois campos, o que corresponde à

posição q do rotor igual a zero, na Figura 6. O sistema passa a produzir conjugado para

qualquer posição em que os campos estejam desalinhados, ou seja, o conjugado será diferente

de zero para qualquer posição, a menos de q =0º (campos alinhados) e q =180º (campos em

oposição).

f. As bobinas possuem acoplamento magnético e uma forma de medir este acoplamento é

através do conceito de mútua indutância, já visto na primeira experiência. Na condição em

que q é igual a 0º, tem-se acoplamento máximo. Caso o rotor seja colocado na posição

180ºq , então a mútua é máxima (em módulo), mas de valor negativo. Na posição em que q

é igual a 90º ou 270º o fluxo mútuo entre as bobinas do estator e do rotor será nulo. Tente, na

figura 8, esboçar linhas de campo para esta posição. Esta análise qualitativa sugere que a

variação da mútua indutância com a posição seja da forma M(q) = Mmaxcos(q)

2 É extremamente comum para este tipo de dispositivo adotar a seguinte convenção: todas as grandezas associadas à

bobina situada no estator terão índice 1. Já as grandezas associadas ao rotor terão índice 2.

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I2

Rotor

I2

I1

I1

Estator

I2

Rotor

I2

I1

I1

Estator

(a) q = 0º (b) q = 180º

I2

Rotor

I2

I1

I1

Estator

I2

Rotor

I2

I1

I1

Estator

(c) q =90º (d) q =270º

Figura 8 Dispositivo de polos lisos em 4 posições

Para se aplicar o Princípio da Conservação de Energia a este equipamento, deve-se detalhar cada uma

das parcelas de energia envolvidas no processo de conversão. Adotando-se a convenção que todas as

grandezas associadas à bobina situada no estator terão índice 1 e que todas as grandezas associadas ao

rotor terão índice 2.

dttitvdttitvdWelet )()()()( 2211 (2.12)

qdtCdWmec )( (2.13)

Perdas joule = dtIrdtIr 222

211 (2.14)

Tanto para a bobina 1 como para a bobina 2 pode-se afirmar que:

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dt

dNtir

dt

dtirtetirtv

)()()()()(

e portanto a equação (2.13) pode ser colocada na forma:

dttirdtidttirdtidWelet )()()()(2

22222

1111 (2.15)

O fluxo concatenado com a bobina 1 vale 1(q,t) = N11(q,t) e para a bobina 2 vale 2(q,t) = N22(q,t).

Pode-se expressar o fluxo concatenado a partir de indutâncias próprias e mútuas, na forma:

)()()()(),(),( 211111 tiMtiLtNt qqqq (2.16)

)()()()(),(),( 221222 tiLtiMtNt qqqq (2.17)

Ao se estender a expressão (2.8), que dá a variação da energia magnética para um enrolamento, para

dois enrolamentos, obtém-se:

2211 )()(2

1 dtidtidWmag (2.18)

A forma pela qual o problema está equacionado é genérica até o momento. Para a obtenção da

solução deste caso particular, deve-se lembrar que:

o as indutâncias próprias são constantes, independem da posição q , conforme concluiu-se na

análise qualitativa, ou seja 021 dLdL

o tal qual no item 2.1, admite-se que i1(t) e i2(t) se mantenham constantes durante o intervalo dt

em que se faz um deslocamento dq no rotor, ou seja, 021 didi , desta forma.

Isto faz com que:

dMitidWmag 21 )( (2.19)

dttirdMtitidttirdMtitidWelet )()()()()()(2

22122

1121 (2.20)

Assim, a partir de (2.13), (2.14), (2.19) e (2.20), obtém-se uma expressão para o torque desenvolvido:

q

qq

d

dMtititC

)()()(),( 21 (2.21)

Ainda na análise qualitativa do dispositivo, notou-se a variação da mútua é periódica e que uma

possível forma de variação da mútua com a posição é M(q) = Mmaxcos(q), logo:

)sen(M)t(i)t(i)t,(C max21 qq (2.22)

Admitindo-se i1(t) e i2(t) constantes e diferentes de zero, a equação (2.22) toma a forma gráfica da

Figura 9.

Neste gráfico pode-se constatar que:

o se o rotor está posicionado em q =0º (campos alinhados) e q =180º (campos em oposição)

então a mútua é máxima e o torque é nulo. Note que para q =0º tem-se equilíbrio estável, ao

passo que em q = 180º existe equilíbrio instável.

o já nas posições q =90º e q =270º tem-se mútua nula e torque máximo.

Configura-se então, de forma matemática, a idéia física de alinhamento de campo, vista anteriormente.

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Figura 9 Mútua Indutância e Conjugado em função do ângulo q

Fica ainda uma questão importante: como seria o equacionamento caso o dispositivo tivesse

saliências tanto no rotor como no estator e bobinas no estator e no rotor? A obtenção da expressão

(2.23) é certamente um pouco mais trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode-se demonstrar

que3:

q

q

q

q

q

qq

d

dMtiti

d

dLti

d

dLtitC

)()()(

)()(

2

1)()(

2

1),( 21

222

121 (2.23)

Um exemplo de uso da expressão (2.23) é em geradores elétricos de hidroelétricas. Neste caso é usual

a construção de um dispositivo com polos salientes no rotor, mas com enrolamentos no rotor e no

estator. A equação (2.23) é utilizada para o cálculo do torque neste equipamento, mas deve-se realçar

que a sua segunda parcela será nula. Neste caso há produção de conjugado devido à variação de duas

indutâncias distintas.

Denomina-se conjugado de relutância aos termos do tipo q

q

d

dLti

j

j

)()(

2

1 2 e reserva-se o termo

conjugado de mútua para a parcela q

q

d

dMtiti

)()()( 21 .

3 Para o leitor interessado, sugere-se o livro “Eletromecânica”, de autoria de Aurio Gilberto Falcone. Nele a dedução é

realizada em sua forma completa.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 -Mmax

-Cmax

0

Cmax

Mmax

ângulo (º)

Conjugado Mútua

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Número de polos em dispositivos eletromecânicos

Os dispositivos analisados no item 2 sempre possuíam dois polos magnéticos. No entanto é bastante

usual que alguns dispositivos eletromecânicos sejam construídos com um número de polos superior a

dois.

Para o entendimento de um dispositivo que possui mais do que 2 polos, basta analisar a Figura 10,

que mostra um corte transversal de um dispositivo de polos lisos de quatro polos. Neste equipamento

na superfície do estator há duas bobinas (AA’ e BB’). Elas produzem 4 polos (2 polos norte e 2 polos

sul) na superfície do estator. Faça um esboço das linhas de campo e para isto use a regra da mão

direita. Admita que o rotor seja um cilindro de material ferromagnético de alta permeabilidade

magnética.

Figura 10 Um equipamento de quatro polos

Pode-se aplicar diretamente o equacionamento dos itens 2.2 e 2.3 para um dispositivo como este? A

resposta é não, porque:

o No primeiro de dois polos, o polo norte se distribuía continuamente por 180º ao longo do

estator (ou rotor). O polo sul também se distribuía continuamente por 180º, completando

assim uma volta (360º).

o No dispositivo de quatro polos, nota-se que o polo norte ocupa 180º ao longo do estator (ou

rotor), mas de forma descontínua (90º + 90º). Vale o mesmo para o polo sul que também

ocupa 180º de forma descontínua ao longo do estator (ou rotor).

A

A’

B’

B

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o A bobina no primeiro dispositivo ocupava 180º e no segundo 90º. Logo, ao se calcular o fluxo

magnético em um dispositivo de mais de que dois polos, deve-se pensar em um fluxo

magnético por polo.

No entanto, há semelhanças no comportamento de dispositivos de 2 e 4 polos. A Figura 11 mostra

que um dispositivo de 4 polos em duas posições. Note que na primeira posição (à esquerda) o rotor

está colocado em uma posição de mínima relutância (faça o esboço de linhas de campo). Já na figura

à direita, o rotor impõe às bobinas uma posição de máxima relutância (faça o esboço de linhas de

campo). Note que o rotor alterou sua posição em 45º. Em um dispositivo de dois polos, viu-se que a

posição de relutância máxima difere da posição de relutância mínima em 90º.

(a) (b)

Figura 11 Dispositivo de 4 polos em duas posições distintas

Pode-se concluir que o dispositivo da Figura 11 possui 4 posições de relutância mínima e 4 de

relutância máxima. Desta forma, um dispositivo com 4 polos possui 4 posições em que a indutância

própria do estator é máxima e 4 em que é mínima. Sabe-se que dispositivos de 2 polos possuem 2

posições de indutância mínima e 2 de máxima. Pode-se então estender a expressão da variação da

indutância com a posição para um dispositivo de quatro polos, na forma:

qq 22cos22

)( minmaxminmax

LLLL

L (3.1)

Caso o dispositivo possuísse quatro polos e fosse de polos lisos, entre uma posição de mútua máxima

e uma posição em que a mútua nula o rotor deveria também se deslocar de 45º, ou seja,

M(q) = Mmaxcos(2 x q) (3.2)

Note que a expressão (3.1) difere da expressão (2.13) apenas do fator 2, que é exatamente o número

de pares de polos do dispositivo. Vale a mesma observação para a expressão (3.2).

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