Apostila com limites e derivada

Calculo I

Notas de aulas

Andre Arbex Hallack

Setembro/2009

Indice

1 Numeros reais 1

1.1 Numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Relacao de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Funcoes 13

2.1 Definicao e elementos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Construcao de funcoes a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Inversao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Funcoes exponenciais e logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Limite de uma funcao e Continuidade 47

3.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Teoremas para (ajudar no) calculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

i

4 Derivada 69

4.1 A definicao da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 Derivacao implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Aplicacoes da Derivada 93

5.1 Acrescimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 A Derivada como razao de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.5 Concavidade e pontos de inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.6 Aplicacoes em problemas de maximos e/ou mınimos . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.7 Aplicacoes em esbocos de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.8 Apendice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.9 Apendice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.10 Apendice C : Formas indeterminadas

e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.11 Apendice D: Aproximacoes via

Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Referencias 147

Capıtulo 1

Numeros reais

1.1 Numeros reais

Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos numeros reais, os

quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:

Vejamos agora alguns conjuntos de numeros reais nessa identificacao:

IN = 1, 2, 3, . . . (numeros naturais) ⊂ IR

∩

Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . (numeros inteiros) ⊂ IR

∩

Q = p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 (numeros racionais) ⊂ IR

Temos ainda numeros reais que nao sao racionais. Sao os chamados numeros irracionais.

Alguns exemplos:

(A) Consideremos um triangulo retangulo cujos catetos medem 1:

Do Teorema de Pitagoras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .

Portanto a =√

2 (e√

2 nao e racional).

1

2 CAPITULO 1

(B) Outro numero irracional famoso:

FATO: A razao entre o comprimento e o diametro de qualquer circunferencia e constante.

Essa razao e um numero chamado π .

Assim, se C e qualquer circunferencia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:

l

2r= π

π e um numero irracional ( π ≈ 3, 141592 )

Obs.: Existem muito mais numeros irracionais do que racionais !

Operacoes basicas em IR

Existem em IR duas operacoes basicas:

ADICAO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a + b ∈ IR (soma)

MULTIPLICACAO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a · b ∈ IR (produto)

Essas operacoes possuem as seguintes propriedades:

COMUTATIVIDADE: a + b = b + a

a · b = b · aquaisquer que sejam a, b ∈ IR.

ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · cquaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.

EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a

a · 1 = a

para todo a ∈ IR.

EXISTENCIA DE INVERSOS:

Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .

Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .

DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .

Numeros reais 3

Obs.: O numero 0 e o unico elemento neutro para a adicao e o numero 1 e o unico elemento

neutro para a multiplicacao.

Consequencias: (das propriedades)

1) Duas novas operacoes:

Subtracao: Dados a, b ∈ IR, definimos: a− b = a + (−b) ;

Divisao: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos:a

b= a · b−1 .

2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .

3) Se a · b = 0 , entao a = 0 ou b = 0 .

4) Cada a ∈ IR possui um unico inverso aditivo −a ∈ IR.

Cada a 6= 0 em IR possui um unico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .

5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.

6) a−1 =1

apara todo a 6= 0 em IR.

7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .

8) Se a2 = b2 entao a = ±b .

Exercıcio: Tente provar as consequencias de 2) a 8) acima.

1.2 Relacao de ordem em IR

Podemos decompor a reta IR como uma uniao disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ 0 :

IR+ e o conjunto dos numeros reais POSITIVOS;

IR− e o conjunto dos numeros reais NEGATIVOS.

De modo que:

• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:

ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−

4 CAPITULO 1

• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;

• A soma de dois numeros positivos e um numero positivo.

O produto de dois numeros positivos e um numero positivo.

Exercıcio: Prove que:

a) A soma de dois numeros negativos e um numero negativo;

b) O produto de dois numeros negativos e um numero positivo;

c) O produto de um numero positivo por um numero negativo e um numero negativo.

Dados numeros reais a e b, escrevemos a a ) e dizemos que a e menor do que

b (ou b e maior do que a ) quando b− a ∈ IR+ , ou seja, b− a e um numero positivo:

Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a e menor ou igual a b quando a 0 .

2) Se a b .

4) Se a 0 ⇒ a · c b · c

6) Se a 0 entao1

a> 0 .

9) Se 0 < a < b entao 0 <1

b<

1

a.

Numeros reais 5

Intervalos: Dados numeros reais a a

[a, +∞) = x ∈ IR ; x ≥ a

(−∞, b) = x ∈ IR ; x < b

(−∞, b] = x ∈ IR ; x ≤ b

(−∞, +∞) = IR

• Atencao: +∞ e −∞ nao sao numeros reais ! Sao apenas sımbolos !

Exemplo: Encontre os numeros reais que satisfacam as desigualdades abaixo e faca a

representacao grafica na reta real:

(a) 2 + 3x < 5x + 8

(b) 4 < 3x− 2 ≤ 10

6 CAPITULO 1

(c)7

x> 2 , x 6= 0

(d)x

x− 3< 4 , x 6= 3

(e) (x + 1)(x + 5) > 0

Conjuntos limitados:

Um subconjunto X ⊂ IR e dito LIMITADO quando existem numeros reais a e b tais

que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .

Um conjunto e dito ILIMITADO quando ele nao e limitado. (Exemplos)

Observacoes:

(A) Todo conjunto finito e limitado.

(B) CUIDADO ! NAO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !

Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

Numeros reais 7

(C) FATO: O conjunto IN = 1, 2, 3, 4, . . . dos numeros naturais NAO E limitado.

Consequencias importantes deste fato:

(C.1) Propriedade arquimediana: Dados numeros reais a e b , com a > 0 , e possıvel obter

um numero natural n ∈ IN tal que n · a > b .

⇓

(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois numeros reais a e b quaisquer, com a < b , e

possıvel obter um numero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b

(por menor que seja a distancia entre a e b ).

A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer numero real x

(mesmo irracional), e possıvel obter uma sequencia de numeros RACIONAIS que se aproximam

de x tanto quanto quisermos !!!

Exemplos:

1) π = 3, 141592 . . .

3 3, 1 =31

103, 14 =

314

1003, 141 =

3141

10003, 1415 =

31415

10000. . . −→ π

2) Tome um numero racional r1 > 0 e considere:

r2 =1

2

(r1 +

3

r1

)∈ Q (r2 > 0 , r2

2 > 3 )

↓

r3 =1

2

(r2 +

3

r2

)∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r2

3 > 3 )

↓

r4 =1

2

(r3 +

3

r3

)∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r2

4 > 3 )

↓...

↓

rn+1 =1

2

(rn +

3

rn

)∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , r2

n+1 > 3 )

↓...

Esta sequencia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo

numero real. Qual ?

Tente generalizar esse processo !

8 CAPITULO 1

1.3 Valor absoluto

Dado qualquer numero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MODULO

DE x ) da seguinte forma:

|x| =

x se x ≥ 0

−x se x < 0

Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um numero real x e a distancia de x ate

o 0 (zero). (Exemplos)

Obs.: Sao imediatos da definicao:

|x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ;

|x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 .

Propriedades:

1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max x,−x (o maior dos dois valores).

2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .

3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .

Exercıcio: Se b 6= 0 em IR, mostre que

∣∣∣∣ 1

b

∣∣∣∣ =1

| b |.

Conclua que se a, b ∈ IR com b 6= 0 entao∣∣∣ a

b

∣∣∣ =| a || b |

.

Numeros reais 9

4) |a + b| ≤ |a|+ |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .

Exercıcio: Mostre que |a− b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR .

5) Seja c > 0 :

|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c

|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c

Exemplos:

1) Resolva as seguintes equacoes:

(a) |3x + 2| = 5

(b) |2x− 1| = |4x + 3|

(c) |5x + 4| = −3

10 CAPITULO 1

(d) |x|+ 2 |x− 2| = 1 + 4x

2) Encontre os numeros reais que satisfacam as seguintes desigualdades:

(a) |x− 5| < 4

Numeros reais 11

(b)

∣∣∣∣3− 2x

2 + x

∣∣∣∣ ≤ 4 , x 6= −2

(c) |3x + 2| > 5

12 CAPITULO 1

1.4 Exercıcios

Paginas 10 e 11 da referencia bibliografica [1].

Capıtulo 2

Funcoes

2.1 Definicao e elementos basicos

Definicao 2.1. Uma funcao f : X → Y e constituıda de:

(a) Um conjunto X, nao-vazio, chamado o DOMINIO da funcao (onde a funcao esta definida)

(b) Um conjunto Y , nao-vazio, chamado o CONTRA-DOMINIO da funcao (onde f “toma os

valores”)

(c) Uma correspondencia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X

um UNICO elemento f(x) = y ∈ Y .

Obs.: Estaremos interessados em estudar funcoes tais que X e Y sao conjuntos de numeros

reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.

• Imagem: Dada uma funcao f : X → Y , sua IMAGEM e o conjunto

Im (f) = f(X) = y = f(x) ; x ∈ X ⊂ Y

• Os elementos do domınio sao representados por uma VARIAVEL INDEPENDENTE.

Os elementos da imagem sao representados por uma VARIAVEL DEPENDENTE.

• Grafico: O GRAFICO de uma funcao f : X → Y e o conjunto dos pontos (x, y) do

Plano Cartesiano tais que y = f(x) , com x ∈ X .

• Funcoes limitadas: Uma funcao f : X → Y e dita LIMITADA quando sua imagem

f(X) e um conjunto limitado. Em geral, e dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f(A) e um

conjunto limitado.

13

14 CAPITULO 2

• Funcoes crescentes ou decrescentes: Uma funcao f : X → Y e dita ...

... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) < f(x2) .

... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) > f(x2) .

(Obs.: o mesmo tipo de definicao se aplica tambem a subconjuntos do domınio - por exemplo,

podemos dizer que uma certa funcao e crescente ou decrescente em um determinado intervalo

dentro do domınio).

Exemplos:

(A) f1 : IR → IR dada por f1(x) = −x2 + 4 .

(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2(x) = −x2 + 4 .

Obs.: Note que as funcoes f1 e f2 acima SAO FUNCOES DISTINTAS. Apesar de possuırem

o mesmo contra-domınio e a mesma maneira de associar x 7→ y = f(x) , elas tem domınios

diferentes (veja a definicao de funcao). Como consequencia, possuem caracterısticas diferentes

(f2 e limitada, decrescente, enquanto que f1 nao e limitada, nao e decrescente e nem crescente).

Funcoes 15

(C) f3 : IR → IR dada por f3(x) = |x| .

(D) f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .

(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5(x) =√

1− x2 .

(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x 7→ y tais que x2 + y2 = 1 .

16 CAPITULO 2

(G) f7 : IR → IR dada por f7(x) =

1

xse x >

1

4

−3 se x ≤ 1

4

(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8(x) = x .

(I) f9 : IR → IR dada por f9(x) = −2x + 1 .

(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10(x) = −√

x .

Funcoes 17

• Maximos e mınimos: Dizemos que uma funcao f : X → Y assume VALOR

MAXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f(c) ≥ f(x) para todo

x ∈ X . Neste caso f(c) e chamado VALOR MAXIMO ABSOLUTO DE f .

Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f(c) ≥ f(x) para todo

x ∈ (a, b) ∩X , entao c e dito um PONTO DE MAXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)

e um VALOR MAXIMO RELATIVO DE f .

De modo analogo, definimos tambem MINIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MINIMOS

RELATIVOS (LOCAIS).

(Ilustracao)

Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .

Observacoes:

(i) Todo maximo (mınimo) absoluto e maximo (mınimo) local.

(ii) Uma funcao PODE NAO ASSUMIR valores maximos ou mınimos.

Exercıcio: Para cada uma das funcoes dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de-

termine seus pontos e valores maximos e mınimos, se existirem.

18 CAPITULO 2

2.2 Construcao de funcoes a partir de outras

Via operacoes aritmeticas:

Sejam f : X → IR e g : Y → IR funcoes tais que X ∩ Y 6= φ .

A partir de f e g vamos construir novas funcoes (f + g), (f − g), (f · g) :

(f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f(x)− g(x)

(f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x)

Exemplos:

(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) =√

4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1, +∞) dada

por g(x) =√

x2 − 1 :

(B) Consideremos agora a funcao indentidade f : IR → IR dada por f(x) = x e funcoes

constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c e um numero real qualquer,

fixado).

Utilizando a funcao identidade e funcoes constantes, podemos construir (atraves das operacoes

de adicao e multiplicacao) um importante tipo de funcao p : IR → IR chamada FUNCAO

POLINOMIAL e dada por:

p(x) = anxn + an−xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0 para todo x ∈ IR

an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an 6= 0

(essa e dita uma funcao polinomial de grau n)

(Exemplos)

Funcoes 19

Obs.: Alguns tipos especiais de funcoes polinomiais:

1) Funcoes constantes: f : IR → IR com f(x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo.

Sao as funcoes polinomiais de grau 0 (zero).

(Exemplos)

2) Funcoes polinomiais de grau 1: f : IR → IR com f(x) = ax + b , a, b ∈ IR e a 6= 0 .

Seus graficos sao retas, nao paralelas aos eixos coordenados.

Se a > 0, f e crescente. Se a < 0, f e decrescente.

(Exemplos)

3) Funcoes quadraticas: f : IR → IR com f(x) = ax2 + bx + c , a, b, c ∈ IR e a 6= 0 .

Sao as funcoes polinomiais de grau 2.

Seus graficos sao parabolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade

voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.

A intersecao da parabola (grafico) com o eixo de simetria e o VERTICE da parabola, tem

coordenadas

(−b

2a,−∆

4a

), sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o maximo ou mınimo absoluto

da funcao, de acordo com a concavidade do grafico (sinal de a).

(Exemplos)

20 CAPITULO 2

Se quisermos agora utilizar a operacao de divisao para construir o quociente de duas funcoes

dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “divisoes por 0 (zero)”.

Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = x ∈ Y ; g(x) = 0 , podemos

definir:

(f/g) : (X ∩ Y )− Z → IR pondo (f/g)(x) =f(x)

g(x)

Exemplos:

(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) =√

4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1, +∞) dada

por g(x) =√

x2 − 1 :

(B) Chamamos de FUNCOES RACIONAIS as funcoes dadas pelo quociente de funcoes

polinomiais:

p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = x ∈ IR ; q(x) = 0

⇓

(p/q) : IR− Z → IR dada por (p/q)(x) =p(x)

q(x)

(Exemplos)

Funcoes 21

Via composicao de funcoes:

Sejam f : X → IR e g : Y → Z funcoes tais que f(X) ⊂ Y (a imagem de f esta

contida no domınio de g).

A cada elemento de X associamos um unico elemento de Z, aplicando inicialmente a funcao

f e depois a funcao g.

Podemos pensar entao em uma funcao de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X

um unico elemento g(f(x)) ∈ Z :

(g f) : X −→ Z

x 7−→ g(f(x))

Essa nova funcao g f : X → Z e chamada a funcao COMPOSTA de g com f .

Exemplos:

(a) Se f : IR → IR e dada por f(x) = x2 +5 e g : [0, +∞) → IR e dada por g(x) =√

x ,

obtenha g f e f g , se possıvel.

(b) Seja h : IR → IR dada por h(x) = (5x2− 2x + 1)5 . Obtenha funcoes f e g tais que

h = g f .

22 CAPITULO 2

2.3 Exercıcios

1) Sejam f : IR → IR dada por f(x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 e

h = f/g . Obtenha:

(a) O Domınio de h ; (b)5h(−1)− 2h(0) + 3h(5)

7; (c) f h ;

(d) h2(5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h h)(5) .

2) Para cada uma das funcoes dadas abaixo, faca um esboco do grafico da funcao e obtenha:

o conjunto imagem da funcao, se a funcao e ou nao limitada, maximos e mınimos (absolutos

ou locais), intervalos do domınio onde a funcao e crescente ou decrescente e identifique ainda

quais sao polinomiais ou racionais:

(a) f1 : IR → IR dada por f1(x) = x2 + 8x + 14

(b) f2 : IR → IR dada por f2(x) = −x2 + 4x− 1

(c) f3 : IR → IR dada por f3(x) = (x− 2)2

(d) f4 : IR → IR dada por f4(x) = −(x + 2)2

(e) f5 : IR → IR dada por f5(x) = x3

(f) f6 : IR → IR dada por f6(x) = 4− x3

(g) f7 : (−5, 3] → IR dada por f7(x) = |x|

(h) f8 : IR− 2 → IR dada por f8(x) =1

x− 2

(i) f9 : [−4, 7] → IR dada por f9(x) =−2

x + 5

(j) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10(x) =√

2x

3) Exprimir como funcao de x (nao se esqueca do domınio e do contra-domınio):

(a) A area de um cubo de aresta x.

(b) A area total de uma caixa de volume V , sabendo que a base e um quadrado de lado x.

(c) O comprimento l de uma corda de um cırculo de raio 4 cm, sendo x a distancia da

corda ao centro do cırculo.

4) Exprimir a funcao l obtida na Letra (c) do Exercıcio 3) acima como a composta de duas

funcoes.

Funcoes 23

5) Sejam f, g : IR → IR dadas por f(x) = x + 3 e g(x) = 5− 2x . Faca um esboco dos

graficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos graficos, os valores

de x para os quais f(x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequacao.

6) X ⊂ IR e dito simetrico em relacao a origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X .

Exemplos: (−6, 6), [−13, 13], −12 ∪ (−7, 7) ∪ 12 , IR , etc.

Y = (−5, 3] nao e simetrico em relacao a origem, pois −4 ∈ Y mas 4 6∈ Y .

Seja f : X → IR uma funcao tal que X e simetrico em relacao a origem.

A funcao f e dita...

... PAR quando f(−x) = f(x) para todo x ∈ X .

Exemplos: −√

x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) ,1

1 + x2(x ∈ IR) , etc.

... IMPAR quando f(−x) = −f(x) para todo x ∈ X .

Exemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) ,x

1 + x2(x ∈ IR) , etc.

Alguma observacoes e propriedades interessantes:

(1) O produto/quociente de duas funcoes pares (ou duas ımpares) e uma funcao PAR (prove);

(2) O produto/quociente de uma funcao par por uma funcao ımpar (ou vice-versa) e uma

funcao IMPAR (prove);

(3) O grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);

(4) O grafico de uma funcao ımpar e simetrico em relacao a origem O(0, 0) (ilustre);

(5) E obvio que existem funcoes que nao sao pares nem sao ımpares (de exemplos);

(6) Toda funcao f : X → IR (X simetrico em relacao ao 0) pode ser escrita como a soma de

uma funcao par com uma funcao ımpar (desafio = tente provar).

7) Sejam f, g : IR → IR dadas por f(x) =3x− 5

2e g(y) =

2y + 5

3.

(a) Obtenha (g f)(x) e (f g)(y) .

(b) Faca esbocos dos graficos de f e g. O que se pode concluir sobre os graficos de f e g ?

(c) Seja f : [1, 3] → [−5, 3] dada por f(x) = 4− x2 .

Obtenha uma funcao g : [−5, 3] → [1, 3] que cumpre as condicoes da Letra (a) e faca esbocos

dos graficos de f e g.

24 CAPITULO 2

8) Seja f : IR → IR dada por f(x) = −x2 + 4x− 3 .

(a) Faca um esboco do grafico de f .

(b) Dado h 6= 0, calcule m0(h) =f(0 + h)− f(0)

he de uma interpretacao geometrica

para m0(h) .

(c) Qual o significado de m0(h) quando h se aproxima de 0 ?

(d) Sabemos que o grafico de f e uma parabola. Se V = (a, b) e o vertice dessa parabola,

obtenha suas coordenadas a e b.

(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do vertice) e, dado h 6= 0, tente adivi-

nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma(h) =f(a + h)− f(a)

hquando

h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).

9) Se f : IR → IR e dada por f(x) = ax2 + bx + c , com a 6= 0 , USE O EXERCICIO

ANTERIOR para deduzir as coordenadas do vertice da parabola que e o grafico da funcao f .

10) Um grupo de amigos trabalha no perıodo de ferias vendendo salgadinhos nas praias.

O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessarios para a producao custam R$ 2000,00

por mes. O custo do material de cada salgadinho e de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal

como funcao do numero de salgadinhos elaborados.

11) Um fabricante produz pecas para computadores pelo preco de R$ 2,00 cada uma.

Calcula-se que, se cada peca for vendida por x reais, os consumidores comprarao por mes

(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como funcao do preco. Obter

o preco otimo de venda.

12) O preco de uma corrida de taxi e constituıdo de uma parte fixa, chamada bandeirada,

e de uma parte variavel, que depende do numero de quilometros rodados. Em uma cidade X

a bandeirada e R$ 10,00 e o preco do quilometro rodado e R$ 0,50.

(a) Determine a funcao que representa o preco da corrida.

(b) Se alguem pegar um taxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de

distancia, quanto pagara pela corrida ?

13) Um aviao com 120 lugares e fretado para uma excursao. A companhia exige de cada

passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o numero de

passageiros que torna maxima a receita da companhia ?

Funcoes 25

14) Uma industria comercializa um certo produto e tem funcao custo total em mil reais,

dada por CT (q) = q2 + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A funcao receita

total em mil reais e dada por R(q) = 120q .

(a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.

(b) Em que valor de q acontecera lucro maximo ?

Respostas:

1) (a) IR− 7 (b)−263

98(c) f h : IR− 7 → IR dada por (f h)(x) =

8x + 4

x− 7

(d) h2(5) = 49 (e) (h h)(5) =11

7

2) (a) Im (f1) = [−2, +∞) , f1 nao e limitada, x = −4 e ponto de mınimo absoluto.

f1 e decrescente em (−∞,−4] e crescente em [−4, +∞) . f1 e polinomial.

(b) Im (f2) = (−∞, 3] , f2 nao e limitada, x = 2 e ponto de maximo absoluto. f2 e

crescente em (−∞, 2] e decrescente em [2, +∞) . f2 e polinomial.

(c) Im (f3) = [0, +∞) , f3 nao e limitada, x = 2 e ponto de mınimo absoluto. f3 e

decrescente em (−∞, 2] e crescente em [2, +∞) . f3 e polinomial.

(d) Im (f4) = [−∞, 0] , f4 nao e limitada, x = −2 e ponto de maximo absoluto. f4 e

crescente em (−∞,−2] e decrescente em [−2, +∞) . f4 e polinomial.

(e) Im (f5) = IR , f5 nao e limitada e nao possui maximos ou mınimos. f5 e crescente

(em todo seu domınio). f5 e polinomial.

(f) Im (f6) = IR , f6 nao e limitada e nao possui maximos ou mınimos. f6 e decrescente

(em todo seu domınio). f6 e polinomial.

(g) Im (f7) = [0, 5] , f7 e limitada, x = 0 e ponto de mınimo absoluto, x = 3 e ponto

de maximo local. f7 e decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] .

(h) Im (f8) = IR − 0 , f8 nao e limitada e nao possui maximos ou mınimos. f8 e

decrescente em (−∞, 2) e crescente em (2, +∞) . f8 e racional.

(i) Im (f9) = [−2,−1/6] , f9 e limitada, x = −4 e ponto de mınimo absoluto, x = 7 e

ponto de maximo absoluto. f9 e crescente (em todo seu domınio). f9 e racional.

(j) Im (f10) = [0, +∞) , f10 nao e limitada, x = 0 e ponto de maximo absoluto. f10 e

crescente (em todo seu domınio).

3) (a) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 6x2 ;

(b) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 2x2 +4V

x;

26 CAPITULO 2

(c) l : [0, 4] → IR dada por l(x) = 2√

16− x2 .

4) l = g f , com f : [0, 4] → IR dada por f(x) = 16− x2 e g : [0, +∞) → IR dada por

g(x) = 2√

x .

5) S =

(−∞ ,

2

3

)7) (a) (g f)(x) = x e (f g)(y) = y

(b) Os graficos de f e g sao simetricos em relacao a reta y = x .

(c) g[−5, 3] → [1, 3] dada por g(y) =√

4− y .

8) (b) m0(h) = −h + 4 e o coeficiente angular da reta secante ao grafico de f , passando

pelos pontos (0, f(0)) e (h, f(h)).

(c) Como h varia, o ponto (h, f(h)) varia sobre o grafico de f , enquanto que o ponto

(0, f(0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima da

reta tangente ao grafico de f no ponto (0, f(0)) e m0(h) se aproxima do coeficiente angular

dessa tangente.

(d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) e o vertice da parabola.

(e) ma(h) = −h tende a 0 quando h tende a 0.

10) C : IN ∪ 0 → IR dada por C(x) = 2000 +x

10(x e o numero de salgadinhos

elaborados)

11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Preco otimo de venda:

x = 301 .

12) (a) P : [0, +∞) dada por P (x) = 10 +x

2.

(b) R$ 14,00.

13) 105 passageiros.

14) L : [0, +∞) → IR dada por L(q) = −q2 + 100q − 475 .

(a) L(80) = R$1.125.000,00 ;

(b) Em q = 50 acontecera lucro maximo.

Funcoes 27

2.4 Inversao de funcoes

Seja f : X → Y uma funcao. A cada x ∈ X esta associado um unico f(x) ∈ Y .

Nos interessa a situacao em que a associacao inversa f(x) 7→ x e uma funcao de Y em X.

Para isso, f devera possuir duas caracterısticas:

• f(X) = Y (a imagem de f e todo o conjunto Y );

• x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .

Uma funcao f : X → Y e chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, a

imagem de f e todo o contradomınio Y .

Uma funcao f : X → Y e chamada INJETORA quando elementos distintos do domınio

tem sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .

Exemplos:

(a)

(b)

28 CAPITULO 2

(c)

Uma funcao f : X → Y e INVERTIVEL quando ela e sobrejetora e injetora ao mesmo

tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNCAO g : Y → X que associa y 7→ g(y) e

tal que g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y .

g e dita A INVERSA DA FUNCAO f e escrevemos g = f−1 .

Exemplo:

Funcoes 29

Exercıcio: Para cada uma das funcoes dadas posteriormente, faca o que se pede:

a) Faca um esboco do GRAFICO da funcao.

b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a funcao dada e LIMITADA ou nao.

c) Em que partes de seu domınio a funcao e CRESCENTE ou DECRESCENTE ?

d) Determine pontos e valores MAXIMOS ou MINIMOS (quando existirem).

e) A funcao e INJETORA ? Justifique.

f) A funcao e SOBREJETORA ? Justifique.

g) Se a funcao dada for INVERTIVEL, determine sua INVERSA e faca um esboco do

GRAFICO DA FUNCAO INVERSA.

1) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x− 1 .

2) g1 : IR → [0, +∞) dada por g1(x) = |3x− 1| .

3) h1 : IR → IR dada por h1(x) = −x2 + 9 .

4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1(x) = 2x .

5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1(x) =

x2 se x < 1

−x + 2 se x ≥ 1.

6) r1 : [0, +∞) → [0, +∞) dada por r1(x) = |x2 − 3x| .

7) s1 : IR → IR dada por s1(x) = x2 + 2 .

8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1(x) = x2 + 2 .

9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1(x) = x2 .

10) f2 : IR → IR dada por f2(x) = − |x| .

11) g2 : IR → IR dada por g2(x) = − x

3+ 1 .

30 CAPITULO 2

12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2(x) = − x

3+ 1 .

13) p2 : [0, +∞) → (−∞, 0] dada por p2(x) = −√

2x .

14) q2 : IR → IR dada por q2(x) =

1 se 1 ≤ x ≤ 3

0 se x < 1 ou x > 3.

15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2.s1 .

16) s2 : IR → IR dada por s2(x) =

1/x se x 6= 0

0 se x = 0.

17) v2 : (−∞,−1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2(x) =

−π se x < −1

x2 se x ≥ 0.

18) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3(x) = 1−√

1− x2 .

2.5 Funcoes exponenciais e logarıtmicas

Revisao:

a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).

a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n =1

an(n = 1, 2, 3, . . .) .

n PAR e a ≥ 0 : b = n√

a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .

n IMPAR e a ∈ IR : b = n√

a ⇔ bn = a .

Definimos potencias RACIONAIS de numeros reais positivos do seguinte modo:

a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q = q√

ap

Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1+r2 e ar > 0 .

Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).

Para isso consideremos a > 0 .

Se x e racional, ja temos ap/q = q√

ap .

Funcoes 31

Se x e IRRACIONAL, sabemos que e possıvel obter uma sequencia de racionais r1, r2, r3, . . .

que se aproxima de x tanto quanto quisermos:

r1, r2, r3, r4, r5, . . . −→ x

FATO: A sequencia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um numero real, o qual DEFINI-

MOS como ax .

Temos entao a nossa funcao exponencial de base a:

• Fixado a > 0 em IR, a funcao fa : IR → IR+ dada por fa(x) = ax para todo x ∈ IR

e chamada FUNCAO EXPONENCIAL DE BASE a.

Propriedades:

ax · ay = ax+y , (ax)y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1

Grafico:

Crescimento ou decrescimento: fa(x) = ax e

CRECENTE se a > 1

DECRESCENTE se a < 1

Inversa: Se a 6= 1 entao fa : IR → IR+

x 7→ ax

e SOBREJETORA e INJETORA, ad-

mitindo portanto uma funcao inversa f−1a : IR+ → IR

y 7→ f−1a (y)

.

f−1a e chamada FUNCAO LOGARITMICA DE BASE a e escrevemos f−1

a (y) = loga y .

Temos entao: y = ax ⇔ x = loga y .

xfa7−→ ax = y

f−1a7−→ x = loga y = loga ax

yf−1

a7−→ x = loga yfa7−→ y = ax = aloga y

32 CAPITULO 2

• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a funcao f−1a : IR+ → IR dada por f−1

a (y) = loga y .

Propriedades:

loga(x · y) = loga x + loga y , loga(xy) = y · loga x , loga 1 = 0

Grafico:

Um numero especial:

Consideremos a soma 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . . . Mostra-se que esta soma converge

(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um numero real conhecido por

CONSTANTE DE EULER e denotado por e .

Assim, podemos escrever e = 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . . .

E facil ver que 2 < e < 3 :

2 < 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . . < 1 + 1 +

1

2+

1

22+

1

23+

1

24+ . . . = 3

O numero real e acima definido ira desempenhar um importante papel ao longo do nosso

curso de Calculo I, no que se refere as funcoes exponencial e logarıtmica, na base e :

fe : IR → IR+ dada por fe(x) = ex (funcao exponencial de base e) e sua inversa

f−1e : IR+ → IR dada por f−1

e (x) = loge x (funcao logarıtmica de base e).

Escrevemos tambem loge x = log x = ln x .

Obs.: Outro modo de obter o numero e :(1 +

1

1

)1

,

(1 +

1

2

)2

,

(1 +

1

3

)3

,

(1 +

1

4

)4

,

(1 +

1

5

)5

, . . . −→ e

Funcoes 33

2.6 Funcoes trigonometricas

• Medidas de angulos em radianos:

Um angulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferencia (centrada

no vertice do angulo) de comprimento igual ao raio da circunferencia considerada:

Assim, um angulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo

r o raio da circunferencia considerada:

θ

1=

l

r⇒ l = θ · r

Desta forma, e facil ver que a medida de “uma volta” em radianos e 2π rad :

2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad

• Relacoes trigonometricas nos triangulos retangulos:

Consideremos 0 < θ <π

2e um angulo de θ rad em um triangulo retangulo:

sen θ =b

acos θ =

c

atg θ =

sen θ

cos θ=

b

ccos2 θ + sen 2θ = 1

34 CAPITULO 2

• O cırculo trigonometrico:

Relacoes:

cos2 θ + sen 2θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2θ , csc2 θ = 1 + ctg 2θ

ctg θ =1

tg θ( sen θ 6= 0) , sec θ =

1

cos θ(cos θ 6= 0) , csc θ =

1

sen θ( sen θ 6= 0)

• Angulos notaveis:

θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

sen θ 0 12

√2

2

√3

21 0 −1 0

cos θ 1√

32

√2

212

0 −1 0 1

tg θ 0√

33

1√

3 @ 0 @ 0

• Formulas de transformacao:

A partir das formulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferenca de dois angulos,

podemos deduzir (veja exercıcios mais a frente) outras importantes formulas de transformacao,

as quais tem utilidade no calculo de certas integrais trigonometricas. cos(a + b) = cos a · cos b− sen a · sen b cos(a− b) = cos a · cos b + sen a · sen b

sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a− b) = sen a · cos b− sen b · cos a

Funcoes 35

• Funcoes trigonometricas:

Funcao SENO:

sen : IR −→ IR

x 7−→ sen x

Grafico:

Im ( sen ) = [−1, 1]

sen (−x) = − sen x (e uma funcao IMPAR)

sen (x + 2π) = sen x (e uma funcao PERIODICA de perıodo T = 2π)

A funcao SENO e ...

... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z

... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k IMPAR, k ∈ Z

Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)

Assume o VALOR MINIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)

Se sen x 6= 0 , entao temos csc x =1

sen x. Assim, nao e difıcil ver que a funcao

csc : IR− kπ , k ∈ Z → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem grafico:

36 CAPITULO 2

A funcao SENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu

domınio e seu contra-domınio, temos uma nova funcao f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1]

x 7−→ sen x

, a qual

e BIJETORA

e tem portanto inversa f−1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]

y 7−→ f−1(y) = arc sen y

Exercıcio: Faca um estudo semelhante ao que fizemos com a funcao SENO, para as funcoes

COSSENO e TANGENTE.

2.7 Exercıcios

1) Sabendo que f : IR → IR e uma funcao polinomial do 1o grau, que f(−1) = 2

e f(2) = 3 , determine f(x) para cada x ∈ IR (uma funcao polinomial do 1o grau esta

totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta

esta totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos).

2) Sabendo que g : IR → IR e uma funcao polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 ,

g(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma funcao polinomial do

2o grau esta totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos =

uma parabola esta totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).

Funcoes 37

3) (Polinomios de Lagrange) Sejam x1, x2, x3 numeros reais distintos e y1, y2, y3

numeros reais nao necessariamente distintos. O unico polinomio p(x) do 2o grau tal que

p(x1) = y1 , p(x2) = y2 e p(x3) = y3 e dado por

p(x) = y1 ·(x− x2)(x− x3)

(x1 − x2)(x1 − x3)+ y2 ·

(x− x1)(x− x3)

(x2 − x1)(x2 − x3)+ y3 ·

(x− x1)(x− x2)

(x3 − x1)(x3 − x2)

(a) Usando o resultado acima, refaca o exercıcio anterior.

(b) Generalize o resultado acima e obtenha a funcao polinomial do 3o grau que assume em

−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0,−2 , respectivamente.

4) Sejam X ⊂ IR um conjunto simetrico em relacao a origem 0 e f : X → IR uma funcao.

(a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) =1

2[f(x) + f(−x)] e uma funcao par e que

h : X → IR dada por h(x) =1

2[f(x)− f(−x)] e ımpar (veja Exercıcio 6 da pag. 23).

(b) Obtenha a soma g+h e tente fazer agora (se voce ainda nao fez) o item 6) do Exercıcio

6 da pag. 23.

(c) Seja f : IR−−1, 1 → IR a funcao dada por f(x) =x− 1

x + 1. Mostre que f nao e par

e nao e ımpar. Escreva f como a soma de uma funcao par com uma funcao ımpar.

5) Prove que cada uma das funcoes abaixo e invertıvel (bijetora) e obtenha a inversa:

(a) f : IR → IR dada por f(x) = 3x + 4 ;

(b) g : IR− a → IR− 0 dada por g(x) =1

x− a(a ∈ IR) ;

(c) h : IR− a → IR− 1 dada por g(x) =x + a

x− a(a ∈ IR) ;

(d) r : [1, +∞) → [0, +∞) dada por r(x) =√

x− 1 .

6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) =x

1− |x|. Prove que g e invertıvel

(ou seja, bijetora) e obtenha g−1 .

7) Se f : IR → IR e dada por f(x) = 2x , mostre que f(x + 3)− f(x− 1) =15

2f(x).

8) Dada φ : (−1, 1) → IR dada por φ(x) = ln1− x

1 + x, verifique a igualdade:

φ(a) + φ(b) = φ

(a + b

1 + ab

)

38 CAPITULO 2

9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o radio, o uranio

ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a

taxa de decaimento da massa desses materiais e utilizando o conceito de meia-vida.

A meia-vida de um material radioativo e definida como o tempo necessario para que sua

massa seja reduzida a metade.

Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa

presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela funcao exponencial dada por

M = M0e−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material.

A equacao acima e conhecida como modelo de decaimento exponencial.

Sabendo que a meia-vida do carbono-14 e de aproximadamente 5730 anos, determinar:

(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;

(b) A quantidade de massa presente apos dois perıodos de meia-vida, se no instante t = 0

a massa era M0;

(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presenca do carbono-14 neste

e 80% da quantidade original.

10) Uma certa substancia radioativa decai exponencialmente e, apos 100 anos, ainda restam

60% da quantidade inicial.

(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substancia.

(b) Determinar a sua meia-vida.

(c) Determinar o tempo necessario para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.

11) Faca esbocos dos graficos das seguintes funcoes:

(a) f : IR → IR dada por f(x) = 2x ;

(b) g : IR → IR dada por g(x) = e−x ;

(c) h : IR → IR dada por h(x) = −ex ;

(d) s : IR− 0 → IR dada por s(x) = ln |x| ;

(e) l : (−∞, 0) → IR dada por l(x) = ln(−x) ;

(f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |ln x| ;

(g) n : (−1, +∞) → IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .

Funcoes 39

12) Uma funcao f : X → IR e dita PERIODICA quando existe um numero T > 0

(chamado o perıodo de f) tal que f(x+T ) = f(x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu grafico

se repete a cada intervalo de comprimento T .

As funcoes trigonometricas constituem exemplos classicos de funcoes periodicas:

(a) Mostre que as funcoes fn : IR → IR dadas por fn(x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) sao

todas ımpares e periodicas de perıodo T = 2π .

(b) Mostre que as funcoes gn : IR → IR dadas por gn(x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)

sao todas pares e periodicas de perıodo T = 2π .

13) (Formulas de Transformacao) Prove as seguintes identidades trigonometricas:sen 2a =

1− cos 2a

2

cos2 a =1 + cos 2a

2

cos a · cos b =1

2· cos(a + b) +

1

2· cos(a− b)

sen a · sen b =1

2· cos(a− b)− 1

2· cos(a + b)

sen a · cos b =1

2· sen (a + b) +

1

2· sen (a− b)

14) Seja f : IR− x ∈ IR ; cos x = 0 → IR dada por f(θ) = tg θ . Verifique:

f(2θ) =2f(θ)

1− [f(θ)]2

15) Faca esbocos dos graficos das seguintes funcoes:

(a) f : IR → IR dada por f(x) = sen 3x ;

(b) g : IR → IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;

(c) h : IR → IR dada por h(x) = 1 + sen x ;

(d) s : IR → IR dada por s(x) = | sen x| ;

(e) l : IR → IR dada por l(x) = sen (x− (π/2)) .

16) Seja f : [1, 100] → IR dada por f(x) = arc sen [log10(x/10)] . Obtenha f(1), f(100)

e f(√

10 ) .

40 CAPITULO 2

17) (Funcoes Hiperbolicas) Definimos as funcoes hiperbolicas basicas:

• Funcao Seno Hiperbolico: senh : IR → IR dada por senh x =ex − e−x

2

• Funcao Cosseno Hiperbolico: cosh : IR → IR dada por cosh x =ex + e−x

2

(a) Faca um esboco do grafico das funcoes senh e cosh.

(b) Prove que cosh2 x− senh 2x = 1 para todo x ∈ IR .

(c) Prove que cosh x ≥ 1 para todo x ∈ IR .

Definimos ainda:

tgh : IR → IR dada por tgh x =senh x

cosh x

ctgh : IR− 0 → IR dada por ctgh x =cosh x

senh x

sech : IR → IR dada por sech x =1

cosh x

csch : IR− 0 → IR dada por csch x =1

senh x

(d) Obtenha (prove) relacoes entre as funcoes tgh e sech e entre ctgh e csch .

18) Seja f : IR → IR dada por f(x) = 2 senh x−3 tgh x . Obtenha f(2) , f(−1) e f(0) .

Respostas de exercıcios:

• Exercıcio da pagina 17:

(A) Maximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor maximo absoluto f1(0) = 4 .

f1 nao possui nenhum ponto de mınimo.

(B) Maximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor maximo absoluto f2(1) = 3 .

Mınimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor mınimo absoluto f2(3) = −5 .

(C) Mınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor mınimo absoluto f3(0) = 0 .

(D) Maximo local em x = 0 onde assume o valor maximo local f4(0) = 4 . Mınimo

absoluto (e local) no conjunto −2, 2 , onde assume o valor mınimo absoluto f4(2) = 0 .

(E) Maximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor maximo absoluto f5(0) =

1 . Mınimo absoluto (e local) no conjunto −1, 1 , onde assume o valor mınimo absoluto

Funcoes 41

f5(−1) = 0 .

(F) f6 nao e funcao.

(G) Maximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor maximo local f7(−2) =

−3 . Mınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor mınimo absoluto

f7(−4) = −3 .

(H) Maximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor maximo absoluto f8(2) = 2 .


(I) f9 nao possui nenhum ponto de maximo ou de mınimo.

(J) Maximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor maximo absoluto f10(0) = 0 .



1) Im (f1) = IR . f1 nao e limitada. f1 e crescente em todo o seu domınio. f1

nao possui nenhum ponto de maximo ou de mınimo. f1 e injetora e sobrejetora, possuindo

inversa f−11 : IR → IR dada por f−1

1 (y) =y + 1

3.

2) Im (g1) = [0, +∞) . g1 nao e limitada. g1 e decrescente em (−∞, 1/3] e crescente

em [1/3, +∞) . g1 possui ponto de mınimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assume

valor mınimo absoluto 0. g1 nao possui nenhum ponto de maximo. g1 e sobrejetora mas

nao e injetora e por isso nao e invertıvel.

3) Im (h1) = (−∞, 9] . h1 nao e limitada. h1 e crescente em (−∞, 0] e decrescente

em [0, +∞) . h1 possui ponto de maximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor

maximo absoluto 9. h1 nao possui nenhum ponto de mınimo. h1 nao e injetora e nao e

sobrejetora, e por isso nao e invertıvel.

4) Im (p1) = (0, 6] . p1 e limitada. p1 e crescente (em todo o seu domınio). p1 possui

ponto de maximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor maximo 6. p1 nao possui

nenhum ponto de mınimo. p1 e injetora e sobrejetora, possuindo inversa p−11 : (0, 6] → (0, 3]

dada por p−11 (w) =

w

2.

5) Im (q1) = [−3, +∞) . q1 nao e limitada. q1 e crescente em [0, 1] e decrescente

em (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de maximo local em x = 1 onde assume valor

maximo local 1. q1 possui ponto de mınimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valor

mınimo absoluto −3 e possui ponto de mınimo local em x = 0 onde assume valor mınimo

local 0. q1 nao e injetora e nao e sobrejetora, e por isso nao e invertıvel.

6) Im (r1) = [0, +∞) . r1 nao e limitada. r1 e crescente em [0, 3/2] e em [3, +∞)

e decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de maximo local em x = 3/2 onde assume

42 CAPITULO 2

valor maximo local 9/4. r1 possui ponto de mınimo absoluto (e local) no conjunto 0, 3onde assume valor mınimo absoluto 0. r1 e sobrejetora mas nao e injetora e por isso nao e

invertıvel.

7) Im (s1) = [2, +∞) . s1 nao e limitada. s1 e decrescente em (−∞, 0] e crescente

em [0, +∞) . s1 possui ponto de mınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor

mınimo absoluto 2. s1 nao possui nenhum ponto de maximo. s1 nao e sobrejetora e nao e

injetora, e por isso nao e invertıvel.

8) Im (u1) = [2, 11] . u1 e limitada. u1 e decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] .

u1 possui ponto de mınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mınimo absoluto

2. u1 possui ponto de maximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor maximo

absoluto 9 e possui ponto de maximo local em x = −2 onde assume valor maximo local 6.

u1 nao e sobrejetora e nao e injetora, e por isso nao e invertıvel.

9) Im (v1) = IR+ . v1 nao e limitada. v1 e crescente em todo o seu domınio. v1

nao possui nenhum ponto de maximo ou de mınimo. v1 e injetora e sobrejetora, possuindo

inversa v−11 : IR+ → IR+ dada por v−1

1 (z) =√

z .

10) Im (f2) = (−∞, 0] . f2 nao e limitada. f2 e crescente em (−∞, 0] e decrescente

em [0, +∞) . f2 possui ponto de maximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor

maximo absoluto 0. f2 nao possui nenhum ponto de mınimo. f2 nao e sobrejetora e nao e

injetora, e por isso nao e invertıvel.

11) Im (g2) = IR . g2 nao e limitada. g2 e decrescente em todo o seu domınio. g2

nao possui nenhum ponto de maximo ou de mınimo. g2 e injetora e sobrejetora, possuindo

inversa g−12 : IR → IR dada por g−1

2 (y) = −3y + 3 .

12) Im (h2) = (−∞, 2) . h2 nao e limitada. h2 e decrescente em todo o seu domınio.

h2 nao possui nenhum ponto de maximo ou de mınimo. h2 e injetora mas nao e sobrejetora

e por isso nao e invertıvel.

13) Im (p2) = (−∞, 0] . p2 nao e limitada. p2 e decrescente em todo o seu domınio. p2

possui nenhum ponto de maximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor maximo

absoluto 0. p2 nao possui nenhum ponto de mınimo. p2 e injetora e sobrejetora, possuindo

inversa p−12 : (−∞, 0] → [0, +∞) dada por p−1

2 (t) =t2

2.

14) Im (q2) = 0, 1 . q2 e limitada. q2 nao e crescente ou decrescente em intervalo

algum. q2 possui ponto de maximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor

maximo absoluto 1. q2 possui ponto de mınimo local no conjunto (1, 3) onde assume valor

mınimo local 1. q2 possui ponto de mınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde

assume valor mınimo absoluto 0. q2 possui ponto de maximo local no conjunto IR − [1, 3]

onde assume valor maximo local 0. q2 nao e sobrejetora e nao e injetora, e por isso nao e

Funcoes 43

invertıvel.

15) Im (r2) = 0 ∪ [3, 11] . r2 e limitada. r2 e crescente em [1, 3] . r2 possui ponto

de maximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor maximo absoluto 11. r2 possui

ponto de mınimo absoluto (e local) no conjunto IR− [1, 3] onde assume valor mınimo absoluto

0. r2 possui ponto de maximo local no conjunto IR− [1, 3] onde assume valor maximo local

0. r2 nao e sobrejetora e nao e injetora, e por isso nao e invertıvel.

16) Im (s2) = IR . s2 nao e limitada. s2 e decrescente em (−∞, 0] e em [0, +∞) . s2

nao possui nenhum ponto de maximo ou de mınimo. s2 e injetora e sobrejetora, possuindo

inversa s−12 = s2 .

17) Im (v2) = −π ∪ [0, +∞) . v2 nao e limitada. v2 e crescente em [0, +∞) .

v2 possui ponto de maximo local em (−∞,−1) onde assume valor maximo local −π. v2

possui ponto de mınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞,−1) onde assume valor mınimo

absoluto −π. v2 possui ponto de mınimo local em x = 0 onde assume valor mınimo local 0.

v2 nao e sobrejetora e nao e injetora, e por isso nao e invertıvel.

18) Im (f3) = [0, 1] . f3 e limitada. f3 e crescente em (−1, 0] e decrescente em [0, 1] .

f3 possui ponto de maximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor maximo absoluto

1. f3 possui ponto de mınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mınimo

absoluto 0. f3 nao e sobrejetora e nao e injetora, e por isso nao e invertıvel.

• Exercıcio da pagina 36 (antes da Secao 2.7):

Funcao COSSENO:

cos : IR −→ IR

x 7−→ cos x(Grafico)

Im (cos) = [−1, 1]

cos(−x) = cos x (e uma funcao PAR)

cos(x + 2π) = cos x (e uma funcao PERIODICA de perıodo T = 2π)

A funcao COSSENO e ...

... CRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k IMPAR, k ∈ Z

... DECRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k PAR, k ∈ Z

Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ (k ∈ Z)

Assume o VALOR MINIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + π (k ∈ Z)

44 CAPITULO 2

Se cos x 6= 0 , entao definimos sec x =1

cos x.

Assim, sec : IR− kπ + π/2 , k ∈ Z → IR associa x 7→ sec x = 1/ cos x . (Grafico)

A funcao COSSENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu

domınio e seu contra-domınio, temos uma nova funcao g : [0, π] −→ [−1, 1]

x 7−→ cos x

, a qual e BI-

JETORA (Grafico) e tem portanto inversa g−1 : [−1, 1] −→ [0, π]

y 7−→ g−1(y) = arc cos y

(Grafico)

Funcao TANGENTE:

tg : IR− x ∈ IR ; cos x = 0 −→ IR

x 7−→ tg x =sen x

cos x

(Grafico)

Im ( tg ) = IR

tg (−x) = − tg x (e uma funcao IMPAR)

tg (x + π) = tg x (e uma funcao PERIODICA de perıodo T = π)

A funcao TANGENTE e ...

... CRESCENTE em [kπ − π/2, kπ + π/2] , k ∈ Z

NAO ASSUME VALOR MAXIMO OU MINIMO EM NENHUM PONTO.

Se tg x 6= 0 , entao definimos ctg x =1

tg x=

cos x

sen x.

Assim, ctg : IR − x ∈ IR ; sen x = 0 → IR associa x 7→ ctg x = 1/ tg x =cos x

sen x.

(Grafico)

A funcao TANGENTE E SOBREJETORA e NAO E injetora, mas a quando restringimos

seu domınio temos uma nova funcao h : (−π/2, π/2) −→ IR

x 7−→ tg x

, a qual e BIJETORA

(Grafico) e tem portanto inversa h−1 : IR −→ (−π/2, π/2)

y 7−→ h−1(y) = arc tg y

(Grafico)

Funcoes 45

• Exercıcios da Secao 2.7:

1) f(x) =x + 7

3.

2) g(x) =x2

3+ 2x +

2

3.

3) (b) h : IR → IR dada por h(x) =−4x3 + 15x2 − 11x

30.

4) (b) g + h = f (c) f(x) =x2 + 1

x2 − 1+

2x

1− x2.

5) (a) f−1 : IR → IR dada por f−1(y) =y − 4

3.

(b) g−1 : IR− 0 → IR− a dada por g−1(w) =1 + aw

w.

(c) h−1 : IR− 1 → IR− a dada por h−1(z) =a + az

z − 1.

(d) r−1 : [0, +∞) → [1, +∞) dada por r−1(x) = x2 + 1 .

9) (a) K =log 2

5730(b) M0/2 (c) t =

[− log(0, 8)] · 5730

log 2≈ 1846 anos.

10) (a) M = M0 · elog 0, 6

100· t

(b) t1/2 =−100. log 2

log 0, 6≈ 135, 6915448856724 anos.

(c) t =100. log 0, 15

log 0, 6≈ 371, 3830897713448167 anos.

16) f(1) = −π/2 , f(100) = π/2 , f(√

10 ) = −π/6 .

17) (d) 1− tgh 2x = sech 2x e 1− ctgh 2x = − csch 2x .

18) f(2) =e8 − 3e6 + 3e2 − 1

e6 + e2, f(−1) =

1− 3e + 3e3 − e4

e3 + e, f(0) = 0 .

46 CAPITULO 2

Capıtulo 3

Limite de uma funcao e Continuidade

3.1 Motivacao

Seja dada uma funcao f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .

Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanca de x por uma

funcao cujo grafico e uma reta e atraves da reta tangente ao grafico de f no ponto (x, f(x)) ,

se houver esta tangente.

Consequencia: Podemos relacionar uma serie de informacoes sobre o comportamento de

f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao grafico de f em cada ponto (onde existir).

Por exemplo:

(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.

47

48 CAPITULO 3

(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.

(C)f assumindo maximo ou mınimo local

no interior de um intervalo

⇒ mt = 0 no ponto de maximo ou mınimo.

(D)Concavidade do grafico de f

voltada para cima, em um intervalo

⇒ mt crescente neste intervalo.

(E)Concavidade do grafico de f

voltada para baixo, em um intervalo

⇒ mt decrescente neste intervalo.

Obtendo “mt” (coeficiente angular da reta tangente)

Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o

coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)) :

Limite de uma funcao e Continuidade 49

Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMACOES POR RETAS SECANTES”:

Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),

secante ao grafico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :

Temos entao uma funcao msa : I − a → IR

x 7→ msa(x) =f(x)− f(a)

x− a

Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)

quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ).

O esperado e que, quando x → a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum

numero real e teremos

msa(x) → mta ∈ IR , quando x → a

Neste caso, dizemos que a funcao f e derivavel no ponto a, existe a reta tangente ao grafico

de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e chamado a derivada de f no ponto

a (escrevemos f ′(a) ).

Obs.: E fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por uma

sequencia de pontos do domınio X de f , diferentes de a.

Exemplo:

50 CAPITULO 3

Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,

Dada uma funcao g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por

pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a

(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quando

x → a .

3.2 Limites

Dada uma funcao f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando

x se aproxima de a , x 6= a .

Para isso, a nao precisa pertencer ao domınio de f , mas deve ser aproximado por pontos

do domınio:

Definicao 3.1. (Ponto de acumulacao): Um ponto a e chamado um PONTO DE ACUMULACAO

do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tao proximos de a

quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.

Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

Exemplos:

(A) A = [−1, 3)

(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)

(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ 7

Consideremos agora, por exemplo, a funcao f : IR− 1 → IR dada por

f(x) =3x2 − 2x− 1

x− 1

1 nao pertence ao domınio de f , mas e ponto de acumulacao de IR − 1 . Podemos

entao observar o comportamento de f(x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)

Temos:

x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999

f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997

x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001

f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003

Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 a medida que x → 1 .

Dizemos entao que 4 e o limite de f(x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos:

limx→1

3x2 − 2x− 1

x− 1= 4 .

A definicao de limite

Definicao 3.2. Sejam f : X → IR uma funcao e a ∈ X ′ (a e ponto de acumulacao do

domınio - nao precisa pertencer a X).

Dizemos que um numero real L e o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos

limx→a

f(x) = L

quando ...

... podemos obter f(x) tao proximo de L quanto

desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-

lores (no domınio de f) diferentes de a .

m TRADUZINDO

... para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um

δ > 0 (em geral dependendo do ε) tal que :

se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ entao |f(x)− L| < ε .

52 CAPITULO 3

Alguns limites fundamentais

• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (funcao constante).

Para cada a ∈ IR temos:

limx→a

f1(x) = limx→a

c = c

• Seja f2 : IR → IR dada por f2(x) = x ∀ x ∈ IR (funcao identidade).

Para cada a ∈ IR temos:

limx→a

f2(x) = limx→a

x = a

• Seja f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x ∀ x ∈ IR .

Temos:

limx→0

sen x = 0

• Seja f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x ∀ x ∈ IR .

Temos:

limx→0

cos x = 1

• Seja f5 : IR− 0 → IR dada por f5(x) =sen x

x∀ x 6= 0 .

Temos:

limx→0

sen x

x= 1

• Seja f6 : IR− 0 → IR dada por f6(x) =cos x− 1

x∀ x 6= 0 .

Temos:

limx→0

cos x− 1

x= 0

• Seja f7 : IR− 0 → IR dada por f7(x) =ex − 1

x∀ x 6= 0 .

Temos:

limx→0

ex − 1

x= 1


3.3 Teoremas para (ajudar no) calculo de limites

Teorema 3.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Temos:

limx→a

f(x) = L ⇔ limx→a

(f(x)− L) = 0 ⇔ limx→a

|f(x)− L| = 0

Em particular, considerando L = 0 , temos: limx→a

f(x) = 0 ⇔ limx→a

|f(x)| = 0 .

Exemplo: Sabemos que limx→0

x = 0 . Entao segue que limx→0

|x| = 0 .

Teorema 3.2. (Sanduıche) Sejam f , g , h funcoes tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo

x 6= a em um intervalo aberto contendo a .

Se limx→a

f(x) = L = limx→a

h(x) , entao limx→a

g(x) = L .

Exemplo: Vamos mostrar que limx→0

sen x = 0 .

54 CAPITULO 3

Teorema 3.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X ′ e limx→a

f(x) = L , limx→a

g(x) = M . Entao:

limx→a

[f(x)± g(x)] = L±M ;

limx→a

f(x) · g(x) = L ·M ;

limx→a

f(x)

g(x)=

L

Mse M 6= 0 ;

limx→a

n√

f(x) =n√

L

se n e IMPAR e L e qualquer real

se n e PAR e L > 0

Exemplos:

(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cnxn + cn−1x

n−1 + . . . + c1x + c0 ,

com cn, cn−1, . . . , c1, c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p e uma funcao polinomial de grau n).


(B) Funcoes racionais (quocientes de funcoes polinomiais)

(C) limx→0

cos x = 1

56 CAPITULO 3

(D) limx→0

sen x

x= 1

(E) limx→0

cos x− 1

x= 0


Teorema 3.4. Se limx→a

f(x) = 0 e g e limitada num intervalo aberto contendo o ponto a

(sem precisar estar definida em a), entao limx→a

f(x) · g(x) = 0 .

(Exemplo)

Teorema 3.5. (Troca de variaveis) Se limu→b

f(u) = L , limx→a

u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e

x 6= a ⇒ u 6= b , entao

limx→a

f(u(x)) = limu→b

f(u) = L

Exemplos:

(A) limx→0

sen 4x

4x

(B) limx→0

sen 3x

x

(C) limx→0

5x − 1

x

58 CAPITULO 3

3.4 Exercıcios

(A) Prove que se limx→a

f(x) = L 6= 0 e limx→a

g(x) = 0 entao @ (nao existe) limx→a

f(x)

g(x).

Sugestao: Suponha que exista limx→a

f(x)

g(x)= M e considere lim

x→af(x) = lim

x→a

[f(x)

g(x)· g(x)

].

(B) Calcule os limites abaixo, justificando:

1) limx→3

x2 − 9

x− 32) lim

x→1/2

3 + 2x

5− x3) lim

x→0

√x + 2−

√2

xSugestao: racionalize o numerador

4) limx→2

x− 2

x4 − 16Sugestao: use que (an − bn) = (a− b).(an−1 + an−2b + . . . + abn−2 + bn−1)

5) limx→−3

x + 3

(1/x) + (1/3)6) lim

x→0

|x|√x4 + 7

7) limx→−3

x2 + 5x + 6

x2 − x− 128) lim

u→1

1√5− u

9) limx→0

x3 sen

(13√

x

)10) lim

h→0

4−√

16 + h

h11) lim

x→3

3

√2 + 5x− 3x3

x2 − 112) lim

y→−2

y3 + 8

y + 2

13) limt→0

1− cos t

sen t14) lim

x→2

x2 − x− 2

(x− 2)215) lim

x→4

3x2 − 17x + 20

4x2 − 25x + 3616) lim

w→0

sen 3w

sen 5w

17) limh→0

3√

h + 1− 1

h18) lim

x→0

1 + tg x

sen x19) lim

t→0

sen 22t

t220) lim

x→π

sen x

x− π

21) limx→0

x

cos x22) lim

x→0

1− cos x

x223) lim

x→0

3x − 1

x24) lim

x→0

3x2

1− cos2(x/2)

25) limx→1/

√2

x5 − (1/√

2)5

x− (1/√

2)26) lim

x→−2

(x− 1)(x + 2)

x2 + 4x + 427) lim

x→3

√x2 − 9

x− 3

28) limy→0

e7y − 1

sen y29) lim

x→0

(1− sec x). ctg x. cos x

x

30) limx→3

x2 − 6x + 9

(x + 1)(x− 3)31) lim

x→√

3

π√

3− πx

x3 − 3√

332) lim

x→π/2

x− π/2

cos x

33) limx→0

sen 3x

5x(1− cos x)34) lim

y→0

3

√1− e2y

y

35) limx→

√2

3x− 3√

2

x6 − 836) lim

y→0

√sen πy

y37) lim

x→1

x2 − 1

(1− x)3

38) limx→−π

1 + cos x

x + π39) lim

x→0

ex + sen 2x− 1

x

40) limx→3

3

√x− 3

27− x341) lim

x→−1

x3 + 2x2 + x

x + 142) lim

x→0

e sen x − 1

2x

43) limy→0

sen 7y + cos πy − 1

y44) lim

x→0

1− cos x√5 · x · sen x

45) limx→

√3

x3 − 3√

3

4x− 4√

346) lim

y→0

e2y − 1

sen (3y)

47) limx→−1

x3 + x2 − x− 1

x3 − x48) lim

x→π/2

1− sen x

x− (π/2)

Teoremas adicionais sobre limites

Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .

O limx→a

f(x) , quando existe, e unico.

Teorema 3.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Se existe L = limx→a

f(x) entao a funcao f e

LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.

Exemplo: Seja f : IR− 0 → IR dada por f(x) =1

x∀ x 6= 0 .

0 e ponto de acumulacao do domınio IR− 0 .

Podemos afirmar que NAO EXISTE o limx→0

1

x, pois f nao e limitada em nenhum

intervalo aberto contendo 0 .

Teorema 3.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X ′ e L = limx→a

f(x) .

Se L > M entao f(x) > M para todo x 6= a do domınio em um intervalo aberto

contendo o ponto a .

Em particular, se limx→a

f(x) > 0 entao f(x) > 0 para todo x 6= a do domınio em um

intervalo aberto contendo a .

Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso limx→a

f(x) = L < M .

60 CAPITULO 3

Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .

Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X

menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :

limx→a+

f(x)

(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto e, por valores x ∈ X, com x > a)

limx→a−

f(x)

(limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto e, por valores x < a em X)

Temos, neste caso, que existe L = limx→a

f(x) se, e somente se, existem e sao iguais a L

ambos os limites laterais, ou seja: limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) .

Exemplos: (a) Seja f : IR− 0 → IR dada por f(x) =|x|x

.

(b)

Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBEM PARA LIMITES LATERAIS,

COM AS DEVIDAS ADAPTACOES !


Exercıcios:

1) Sejam f, g : IR → IR dadas por:

f(x) =

x3 + 3 se x ≤ 1

x + 1 se x > 1g(x) =

x2 se x ≤ 1

2 se x > 1

Faca um estudo sobre os limites: limx→1

f(x) limx→1

g(x) limx→1

(f.g)(x)

2) Mostre que limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

h→0

f(a + h)− f(a)

h(se existirem)

3) Para cada funcao f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩X ′ (a e ponto do domınio e

ponto de acumulacao do domınio), tambem fornecido, obtenha

mta = coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)).

(a) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x− 1 e a = −5 .

(b) f2 : IR → IR dada por f2(x) = −x2 e a = 3 .

(c) f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x e a = π/6 .

(d) f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x e a = π/6 .

(e) f5 : IR → IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .

(f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6(x) = 1/x e a =√

2 .

Faca ainda um esboco e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboco.

Sugestoes:

Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),

fazendo x → a.

Para as letras (c),(d) e (e), use tambem o exercıcio anterior.

Pode tentar tambem fazer antes o Exercıcio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-

xercıcio se torna um caso particular.

4) Para cada funcao f : X → IR do exercıcio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo

mta para um a ∈ X qualquer !

62 CAPITULO 3

3.5 Continuidade

Definicao 3.3. Consideremos uma funcao f : X → IR tal que X ⊂ X ′ (todo ponto do

domınio e ponto de acumulacao).

Dado um ponto a , dizemos que f E CONTINUA NO PONTO a quando as seguintes

condicoes sao satisfeitas:

1) Existe f(a) (ou seja, a ∈ X);

2) Existe limx→a

f(x) ;

3) limx→a

f(x) = f(a) .

Se f nao e contınua em um ponto a pertencente a seu domınio, dizemos que f E

DESCONTINUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.

Dizemos que f : X → IR e uma FUNCAO CONTINUA EM X quando ela e contınua em

todos os pontos de seu domınio.

Exemplos: (e contra-exemplos)

(A) Toda funcao polinomial e contınua !

(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :

(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVIVEL:

(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:


Continuidade e operacoes entre funcoes

Teorema 3.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X ′ e a ∈ X .

Se f e g sao contınuas no ponto a ∈ X , entao:

(f ± g) sao contınuas em a ;

(f · g) e uma funcao contınua em a ;

(f/g) e contınua em a se g(a) 6= 0 .

Teorema 3.11. (Composicao) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ′) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ′) de

forma que a composta g f : X → IR esta bem definida

Se f e contınua em a ∈ X e g e contınua em b = f(a) ∈ Y entao a composta

g f : X → IR e contınua no ponto a ∈ X .

Funcoes contınuas em intervalos

• Quando estudamos problemas sobre maximos e mınimos, podemos ter funcoes que nao

assumem valores maximos e/ou mınimos.

Por exemplo:

f : IR → IR dada por f(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM MINIMO !

g : (−1, 2) → IR dada por g(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM MINIMO !

64 CAPITULO 3

Existe uma situacao (envolvendo continuidade) na qual estes problemas nao ocorrem:

Teorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR e uma funcao contınua (em todos os pontos

do intervalo limitado e fechado [a, b]), entao f assume valores maximo e mınimo absolutos

neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que

f(cM) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]

f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]

• Outra boa propriedade das funcoes contınuas e a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-

TERMEDIARIO”:

Teorema 3.13. (Teorema do valor intermediario) Se f : X → IR e contınua no intervalo

[a, b] ⊂ X e f(a) 6= f(b) , entao f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,

dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .

(Ilustracao)

(Exemplo)

3.6 Exercıcios

1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f(x) =√

x .

(i) Mostre que limx→0

√x = 0 (Sugestao: Considere apenas o limite lateral lim

x→0+

√x - pois 0

so pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare√

x com 3√

x para 0 < x < 1 )

(ii) Conclua que f e contınua (em todos os pontos de seu domınio).

(iii) Mostre que @ limx→0

√x

x(racionalize).

(iv) Generalize para g : [0,∞) → IR dada por g(x) = n√

x , n = 2, 4, 6, 8, . . .

2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f e contınua ou nao),

justificando:

(a) f : (−∞, 16] → IR dada por f(x) =√

16− x .

(b) f : [0, +∞) → IR dada por f(0) = 0 e f(x) =1

x2se x 6= 0 .

(c) f : IR → IR dada por f(x) =

x + 1

x3 + 1se x 6= −1

3 se x = −1

.

3) Seja f : IR → IR dada por f(x) =

x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0

−x + 2 se x ≥ 0

(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .

(b) A equacao f(x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.


x3 − x− 3 se x < 2

5− x se x ≥ 2

(a) Onde f e contınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)

(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe

x tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.

66 CAPITULO 3


2x + 1 se x ≤ 3

−x2 + 8x− 8 se x > 3

(a) Responda se f e contınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).

(b) Sabendo que f e crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos

afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f(xM) ≥ f(x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)


x + 1 se x < −1

1 + sen (x + 1) se x ≥ −1

(a) Responda se f e contınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).

(b) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , e possıvel afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre

a e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.

7) (a) Seja f : IR → IR uma funcao tal que f(x) =sen [π(x− 1)]

x− 1∀ x 6= 1 . f pode ser

contınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se

nao, JUSTIFIQUE.

(b) Seja g : IR → IR uma funcao tal que g(x) =|x− 1|x− 1

∀ x 6= 1 . g pode ser contınua

em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se nao,

JUSTIFIQUE.


• Exercıcio (B) da Secao 3.4:

1) 6 2)8

93)

√2

44)

1

325) −9 6) 0 7)

1

78)

1

29) 0 10) − 1

8

11) −2 12) 12 13) 0 14) @ (nao existe) 15) 1 16)3

517)

1

318) @

19) 4 20) −1 21) 0 22)1

223) ln 3 24) 12 25) 5/4 26) @

27)√

6 28) 7 29) −1/2 30) 0 31) − π

932) −1

33)2

534) − 3

√2 35)

√2

1636)

√π 37) @ 38) 0

39) 1 40) − 1

341) 0 42)

1

243) 7


44)1

2√

545)

9

446)

2

347) 0 48) 0

• Exercıcios da pagina 61:

1) @ limx→1

f(x) , @ limx→1

g(x) , limx→1

(f.g)(x) = 4

2) Faca a mudanca de variaveis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites de funcoes

compostas !

3) (a) f ′1(−5) = mt−5 = 3

(b) f ′2(3) = mt3 = −6

(c) f ′3(π/6) = mtπ/6=

√3

2

(d) f ′4(π/6) = mtπ/6= − 1

2

(e) f ′5(2) = mt2 = e2

(f) f ′6(√

2) = mt√2= − 1

2

4) (a) f ′1(a) = 3

(b) f ′2(a) = −2a

(c) f ′3(a) = cos a

(d) f ′4(a) = − sen a

(e) f ′5(a) = ea

(f) f ′6(a) = − 1

a2


2) Contınua em...

a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: limx→16−

√16− x = 0 = f(16)

b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: @ limx→0+

f(x)

c) ... IR− −1 . Em a = −1 temos: ∃ limx→−1

f(x) = 1/3 6= f(−1)

68 CAPITULO 3

3) (a) f e contınua em todo a 6= 0 e nao e contınua em a = 0 .

(b) Como a funcao f e contınua no intervalo [−2,−1] e f(−2) < 0 < f(−1) , temos

entao pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO que existe x entre −2 e −1 tal que

f(x) = 0 .

4) (a) f e contınua em todo a ∈ IR .

(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a funcao e contınua e “muda de sinal”.

O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO nos garante que sob estas condicoes a funcao

assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.

5) (a) f e contınua em a = 3 (verificados tambem os limites laterais).

(b) SIM! f e contınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume aı

maximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se entao (com as outras hipoteses)

que f(xM) ≥ f(x) ∀ x ∈ IR .

6) (a) f nao e contınua em a = −1 (@ limx→−1

f(x) ).

(b) NAO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2,−1] . Temos:

−1 = f(−2) < 1/2 < f(−1) = 1 mas nao existe nenhum c ∈ [−2,−1] tal que f(c) = 1/2 .

7) (a) SIM! f(1) = π para que f seja contınua em x = 1 .

(b) NAO ! g nao pode ser contınua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .

Capıtulo 4

Derivada

4.1 A definicao da Derivada

Definicao 4.1. Consideremos uma funcao f : X → IR , com X ⊂ X ′ (todo ponto do

domınio e ponto de acumulacao do domınio).

Dizemos que f e DERIVAVEL em a ∈ X quando existe o limite

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

h→0

f(a + h)− f(a)

h

O numero f ′(a) ∈ IR e chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.

Observacoes:

• Em nossas aplicacoes, o domınio X sera quase sempre um intervalo (e ja teremos X ⊂ X ′ );

• Outras notacoes para f ′(a) :

f ′(a) = Dxf(a) =df

dx(a) =

df

dx

∣∣∣∣x=a

ou ainda f ′(a) = y′(a) =dy

dx(a) , se y = f(x)

• Podemos considerar a funcao f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde

existir f ′(x) . f ′ e chamada a FUNCAO DERIVADA DE f .

69

70 CAPITULO 4

Interpretacao geometrica

Ja vimos, como motivacao para o estudo de limites, que se f : X → IR e derivavel em

a ∈ X , entao f ′(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao grafico

de f no ponto (a, f(a)) :

Vimos tambem que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos

trazer uma serie de informacoes sobre o comportamento da funcao f .

Primeiros exemplos:

(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR → IR dada por f(x) = c ∀ x ∈ IR .

Derivada 71

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g′(2) , por exemplo:

Exercıcio:

(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 entao g′(x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .

(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) entao f ′(x) = nxn−1 .

(C) Seja f : IR → IR dada por f(x) = sen x .

Exercıcio: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x .

(D) Seja u : IR → IR dada por u(t) = et (funcao exponencial na base e).

72 CAPITULO 4

(E) Seja f : IR → IR dada por f(x) = |x| .

(F) Seja g : IR− 0 → IR dada por g(x) =1

x4= x−4 .

Exercıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)

entao g′(x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .

(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR → IR dada por u(t) = at (funcao exponencial na base a).

Derivada 73

4.2 Derivadas e continuidade

Teorema 4.1. Se f : X → IR e DERIVAVEL em a ∈ X , entao f e CONTINUA em a.

De fato:

Se f e derivavel em a ∈ X , entao existe o limite limx→a

f(x)− f(a)

x− a= f ′(a) .

Existe f(a) (pois a ∈ X).

Se x 6= a , temos: f(x)− f(a) =

[f(x)− f(a)

x− a

]· (x− a) .

Como limx→a

f(x)− f(a)

x− a= f ′(a) e lim

x→a(x− a) = 0 , segue que

limx→a

f(x)− f(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a· lim

x→a(x− a) = f ′(a) · 0 = 0

Logo limx→a

f(x) = f(a) e portanto f e contınua no ponto a .

Algumas consequencias:

• Sao contınuas em todos os pontos de seus domınios as funcoes:

f : IR− 0 → IR dada por f(x) =1

xn(n = 1, 2, 3. . . .) ,

g1 : IR → IR dada por g1(x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2(x) = cos x ,

u : IR → IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois sao todas derivaveis em todos os pontos de

seus domınios.

• Se uma determinada funcao e descontınua

em algum ponto de seu domınio, entao ela nao e

derivavel neste ponto de descontinuidade.

• CUIDADO! Nao podemos garantir a recıproca do teorema anterior, ou seja, podemos

ter uma funcao que e contınua mas nao e derivavel em determinados pontos.

Exemplo: f(x) = |x| e contınua no ponto 0 ( limx→0

|x| = 0 = f(0) ), mas ja vimos que @ f ′(0) .

74 CAPITULO 4

4.3 Exercıcios

1) (a) Seja f(x) =1

x3∀x 6= 0 . Obtenha, via definicao, f ′(1) .

(b) Seja f(x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via definicao) f ′(2π/3) .

(c) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definicao) que g′(x) = 5x. ln 5 ∀x ∈ IR .

(d) Seja f : IR → IR dada por f(x) = 3 · 3√

x ∀ x ∈ IR

Mostre, via definicao, que @ (nao existe) f ′(0) e que f ′(a) =1

3√

a2∀ a 6= 0 .

2) (Derivadas Laterais) Quando f : X → IR , a e ponto de acumulacao BILATERAL

de X e f e definida de modos diferentes a direita e a esquerda de a, a existencia do limite

que define a derivada no ponto a e verificada observando-se a existencia e a igualdade dos

limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE

f (A DIREITA OU A ESQUERDA) NO PONTO a:

f ′+(a) = limx→a+

f(x)− f(a)

x− ae f ′−(a) = lim

x→a−

f(x)− f(a)

x− a

(a) Seja f : IR → IR dada por f(x) =

x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0

−x + 2 se x ≥ 0

f e derivavel em x = 0 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f ′(0). Se nao for, justifique.

(b) Seja f : IR → IR dada por f(x) =

6x− 2 se x ≤ 1

5− x se x > 1

f e derivavel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(1). Se nao, justifique.

(c) Seja f : IR → IR dada por f(x) =

2x + 1 se x ≤ 3

−x2 + 8x− 8 se x > 3

f e derivavel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(3). Se nao for, justifique.

(d) Seja f : IR → IR dada por f(x) =

x3 − x− 3 se x < 2

7− x2 se x ≥ 2

f e derivavel em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f ′(2). Se nao for, justifique.

(e) Seja f : IR → IR dada por f(x) =

x + 1 se x < −1

1 + sen (x + 1) se x ≥ −1

f e derivavel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(−1). Se nao, justifique.

Derivada 75

4.4 Regras de derivacao

Teorema 4.2. Se f , g : X → IR sao derivaveis em a ∈ X , entao:

(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf) : X → IR e derivavel em a e (cf)′(a) = c · f ′(a) ;

(b) f ± g sao derivaveis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a) ;

(c) (f · g) e derivavel em a e (f · g)′(a) = f ′(a).g(a) + f(a).g′(a) ;

(d) (f/g) e derivavel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)′(a) =f ′(a).g(a)− f(a).g′(a)

[g(a)]2.

Exemplos:

(A) Para cada funcao f dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada)

1) f : IR → IR dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x + 7 .

2) f : IR → IR dada por f(t) =6t− 10

t2 + 5.

3) f : IR− Z → IR , Z = x ∈ IR ; cos x = 0 , dada por f(x) = tg x .

Exercıcio: Obtenhad

dxctg x ,

d

dxsec x ,

d

dxcsc x

4) f : IR → IR dada por f(u) = eu(u3 + 3 cos u) .

76 CAPITULO 4

5) f : IR → IR dada por f(t) = sen 2t .

6) f : IR− 0 → IR dada por f(x) =1

xn= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4− x2 .

1) Obtenha as equacoes das retas tangentes ao grafico de g e que passam pelos pontos:

A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .

2) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de g e que e paralela a reta y = 2x .

Derivada 77

3) Obtenha a equacao da reta normal ao grafico de g no ponto A(1, 3) .

4) Em que ponto a tangente ao grafico e “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)

5) Onde o coeficiente angular da tangente e positivo ?

6) Onde o coeficiente angular da tangente e negativo ?

A Regra da Cadeia - Derivadas de funcoes compostas

Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e a

composta (g u) : X → IR esta bem definida:

Dado a ∈ X , se u e derivavel em a (existe u′(a)) e g e derivavel em b = u(a) (existe

g′(b) = g′(u(a)) ), entao a composta (g u) : X → IR e derivavel em a ∈ X em temos ainda:

(g u)′(a) = g′(b) · u′(a) = g′(u(a)) · u′(a)

Quanto a funcao derivada (gu)′ : x 7→ (gu)′(x) , escrevemos (gu)′(x) = g′(u(x))·u′(x)

para todo x onde existirem as derivadas.

78 CAPITULO 4

Exemplos:

Para cada funcao f : IR → IR dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada):

(A) f dada por f(x) = cos(x3 + 1) .

(B) f dada por f(t) = (4t3 − t2 + 3t− 2)2 .

(C) f dada por f(x) = (5x2 − 2x + 1)−3 .

(D) f dada por f(w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .

(E) f dada por f(t) = ekt , k 6= 0 (constante).

Derivada 79

(F) f dada por f(t) = sen 2t .

(G) f dada por f(t) = cos5 t .

(H) f dada por f(x) = e(x2) .

(I) f dada por f(w) = (ew − sen w)2 .

(J) f dada por f(t) = eπ cos(2t3) .

80 CAPITULO 4

Derivadas de funcoes inversas

Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma funcao INVERTIVEL (bijetora =

injetora e sobrejetora) e CONTINUA (em todos os pontos de seu domınio I).

Sua inversa g : J → I e contınua em todos os pontos de J .

Mais ainda:

Se f e derivavel em a ∈ I e f ′(a) 6= 0 , entao g e derivavel em b = f(a) e podemos

obter g′(b) atraves da Regra da Cadeia.

Exemplos:

(A) Derivada da funcao logarıtmica na base e:

Exercıcio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g′(x) se g : (0, +∞) → IR e dada por

g(x) = loga x

Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0, +∞) ⇒ g′(x) =1

x ln a∀ x > 0 .

Derivada 81

(B) Raızes:

(C) Funcoes trigonometricas e suas inversas:

Exercıcio:

(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] e dada por g(x) = arc cos x , mostre que

g′(x) = − 1√1− x2

∀ x ∈ (−1, 1)

82 CAPITULO 4

(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) e dada por h(x) = arc tg x , mostre que

h′(x) =1

1 + x2∀ x ∈ IR

4.5 Derivacao implıcita

Seja f : [−1, 1] → IR a funcao dada por f(x) =√

1− x2 para todo x ∈ [−1, 1] .

Pondo y = f(x) , temos:

y =√

1− x2

⇓

y2 = 1− x2 , y ≥ 0

⇓

(∗) x2 + y2 = 1 (y ≥ 0)

A equacao (*) acima estabelece uma relacao entre x e y = f(x) . Juntamente com a

restricao y ≥ 0 ela define bem a funcao f . Por isso dizemos que f ESTA IMPLICITAMENTE

DEFINIDA POR (*).

Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y e funcao de x , e facil ver que a equacao (*)

estabelece a igualdade entre x2 + f(x)2 e a funcao constante e igual a 1. Podemos pensar

portanto em DERIVAR EM RELACAO A VARIAVEL x.

Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) e derivavel e tomando o cuidado de lembrar

que y = f(x) , ou seja, y2 e uma composicao de funcoes e DEVEMOS USAR A REGRA

DA CADEIA:

x2 + y2 = 1

⇓

2x + 2yy′ = 0

⇓

(∗∗) y′ = − x

y(y 6= 0)

Lembrando que y = f(x) =√

1− x2 , temos:

f ′(x) = y′ = − x√1− x2

, x ∈ (−1, 1)

Derivada 83

Possıveis vantagens da derivacao implıcita:

• Derivar a equacao (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar

obter a derivada atraves da expressao explıcita de f .

• Uma equacao em x e y pode definir implicitamente varias funcoes e, caso isto ocorra,

a derivacao implıcita serviria para todas elas.

Exemplos:

(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f(x) = ln x e derivavel, obtenha f ′(x) por

derivacao implıcita.

(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f(x) = xα seja

derivavel, use logarıtmos para obter f ′(x) por derivacao implıcita.

(C) Obtenha a equacao da reta tangente a curvax2

4+ y2 = 1 no ponto (1, −

√3 /2) .

84 CAPITULO 4

(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g e

derivavel, obtenha g′(x) via derivacao implıcita.

(E) Se y = 3

√x

x3 + 1, obtenha y′(x) por derivacao implıcita.

4.6 Exercıcios

(A) O objetivo deste exercıcio e observar a naturalidade da medida de angulos em radianos,

no seguinte sentido: alguns calculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao

inves de graus como unidades de medida.

Quando lidamos com as funcoes trigonometricas, por exemplo, quase todos os resultados

decorrem do seguinte limite:

limx→0

sen x

x= 1 (Limite Trigonometrico Fundamental)

Ajuste a demonstracao que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a

medida dos angulos em GRAUS.

Calcule tambemd sen x

dxquando x e medido em graus.

Derivada 85

(B) Para cada funcao dada abaixo (por questoes de economia, cometemos um abuso ao

omitir os domınios e contra-domınios), calcule sua derivada, indicando onde existe:

1) f(x) = 10x2 + 9x− 4 2) h(x) = (2x2 − 4x + 1)(6x− 5) 3) f(w) =2w

w3 − 7

4) f(x) =1

1 + x + x2 + x35) g(x) = (8x−7)−5 6) s(t) =

(3t + 4

6t− 7

)3

7) h(z) =9z3 + 2z

6z + 1

8) H(x) =2x + 3√4x2 + 9

9) f(x) = 5√

1/x 10) f(x) = 6x2 − 5

x+

23√

x211) f(w) =

3√

3w2

12) f(t) = (t6 − t−6)6

13) f(x) = xm/n m, n 6= 0 ∈ Z 14) h(s) = ln(5s2 + 1)3

15) f(x) = x ln x 16) g(x) =x2

ln x17) f(u) = ue−u 18) h(s) = s2e−2s 19) f(x) = ex ln x

20) g(w) = ln

(ew + 1

ew − 1

)21) f(x) = ecos 2x 22) g(x) = x sen x 23) h(x) = ln tg x

24) f(w) = ln cos2 3w 25) f(x) =arc tg x

x2 + 126) f(x) =

e2x

arc sen 5x

(C) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto

P (−1, 4).

(D) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de y = 3x2 + 4x− 6 e tal que:

(i) Essa tangente seja paralela a reta 5x− 2y − 1 = 0 ;

(ii) Seja tangente ao grafico no ponto P (1, 1) .

(E) Obtenha a equacao da reta que passa por P (3, 1) e e tangente ao grafico de y =4

x.

(F) Obtenha a equacao da reta normal ao grafico de f(x) = (x− 1)4 no ponto P (2, 1) .

(G) Determine as equacoes da tangente e da normal ao grafico de y = 8 sen 3x no ponto

P (π/6, 1) .

(H) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de f : IR → (−2π, 2π) dada por

f(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) .

(I) Considere f : IR → IR dada por f(x) = e−2x .

(i) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?

(ii) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?

86 CAPITULO 4

(J) Considere f : IR → IR dada por f(x) =arc tg x

π.

(i) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?

(ii) Qual a equacao da reta normal ao grafico de f no ponto B(√

3 , 1/3) ?

(K) Seja f : IR → IR dada por f(x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se existir, a equacao

da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)

(L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 e NORMAL ao grafico de uma certa funcao f : IR → IR

no ponto A(1,−3) (pertencente ao grafico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO) f ′(1) .

(ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao grafico de

g(x) = e(x2+6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao grafico de g) ? (JUSTIFIQUE)

(M) Para cada funcao dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domınios

e contra-domınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneca ainda o que se

pede:

1) f(x) = (3x− 1).(2x + 1)5 .

2) g(w) = 3√

3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g′(3).

3) h(s) = π. sec s =π

cos s. Obtenha ainda, em particular, h′(0).

4) f(t) = e(3t2−t) . Obtenha ainda, em particular, f ′(1/3).

5) f(x) = ln( sen 42x) .

6) f(x) =2x2

(x− 4)2. Obtenha ainda, em particular, f ′(2).

7) h(s) =ctg s√

2=

cos s√2 · sen s

. Obtenha ainda, em particular, h′(π/4).

8) g(t) = (2t− 1)3 · e(t2+2t) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).

9) f(w) = ln (5w2 + 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f ′(0).

10) g(y) = arc tg (√

y − 1 ) .

11) f(x) =x3

e2x. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = 0 ?

12) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s2+3s) . Obtenha ainda, em particular, h′(0).

Derivada 87

13) g(w) = tg w · ln(3− w2) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).

14) v(t) =s(t)2

3t(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s′(1) = 2, obtenha v′(1) .

15) u(y) = 4√

2y2 + 5 + 4 cos y = (2y2 + 5 + 4 cos y)1/4 .

16) h(s) =3

√s2

1 + s2. Obtenha ainda, em particular, h′(1).

17) v(t) = ln 2 · log 12(3t2 + 1) . v′(1) e positivo, negativo ou zero ? Obtenha v′(1) para

justificar.

18) f(x) = x2 · ln x− x2

2. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = x ?

19) g(w) = csc2 w =1

sen 2w. Obtenha ainda, em particular, g′(π/4).

20) u(y) = tg

[arc tg

(1

y

)]. Obtenha ainda, em particular, u′(

√3 ) .

21) f(x) = x · (ln 5− 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f ′(2) .

22) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h′(π/3).

23) g(w) = ln(w2 − w) +3(3w2−w3)

ln 3. Obtenha ainda, em particular, g′(2).

24) v(t) =sen [s(t)]

t(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s′(2) = e, obtenha v′(2) .

25) u(y) = 3 · 3√

arc tg y . Obtenha ainda u′(1) e responda se u′(1) e maior ou menor

que 1 (mostre as contas).


• Segundo exercıcio da pagina 71:d

dxcos x = − sen x


2) (a) f nao pode ser derivavel em x = 0 pois f nao e contınua neste ponto.

(b) f nao e derivavel em a = 1 (apesar de ser contınua neste ponto), pois temos que

f ′+(1) = −1 6= 6 = f ′−(1) .

88 CAPITULO 4

(c) ∃ f ′(3) = limx→3

f(x)− f(3)

x− 3= 2 ( f e derivavel em a = 3 ).

(d) f nao e derivavel em a = 2 (apesar de ser contınua neste ponto), pois temos que

f ′+(2) = −4 6= 11 = f ′−(2) .

(e) f nao e derivavel em a = −1 pois nao e contınua neste ponto.


d

dxctg x = − csc2 x para todo x tal que sen x 6= 0

d

dxsec x = sec x. tg x para todo x tal que cos x 6= 0

d

dxcsc x = − csc x. ctg x para todo x tal que sen x 6= 0


(A) limx→0

sen x

x=

π

180e

d sen x

dx=

π cos x

180(se x e dado em GRAUS).

(B) 1) f ′(x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR 2) h′(x) = 36x2 − 68x + 26 ∀ x ∈ IR

3) f ′(w) =−4w3 − 14

(w3 − 7)2∀ w 6= 3

√7 4) f ′(x) = − (3x2 + 2x + 1)

(1 + x + x2 + x3)2∀ x 6= −1

5) g′(x) = −40(8x− 7)−6 ∀ x 6= 7

86) s′(t) = −135(3t + 4)2

(6t− 7)4∀ t 6= 7

6

7) h′(z) =108z3 + 27z2 + 2

(6z + 1)2∀ z 6= − 1

68) H ′(x) =

18− 12x√(4x2 + 9)3

∀ x ∈ IR

9) f ′(x) = − 1

5x 5√

x∀ x 6= 0 10) f ′(x) = 12x +

5

x2− 4

3x3√

x2∀ x 6= 0

11) f ′(w) =2

3√

9w∀ w 6= 0 12) f ′(t) = 6(t6 − t−6)5.(6t5 + 6t−7) ∀ t 6= 0

13) f ′(x) =m

n· x

m

n− 1

∀ x > 0 se n e par

∀ x 6= 0 se n e ımpar14) h′(s) =

30s

5s2 + 1∀ s ∈ IR

15) f ′(x) = ln x + 1 ∀ x > 0 16) g′(x) =2x ln x− x

(ln x)2∀ x > 0

17) f ′(u) = (1− u) · e−u ∀ u ∈ IR 18) h′(s) = (s− s2) · 2e−2s ∀ s ∈ IR

Derivada 89

19) f ′(x) = xx(ln x + 1) ∀ x > 0 20) g′(w) =−2ew

e2w − 1∀ w 6= 0

21) f ′(x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR 22) g′(x) = x sen x(cos x ln x +

sen x

x

)∀ x > 0

23) h′(x) =1

sen x cos xse tg x > 0 24) f ′(w) = −6 tg 3w se cos 3w 6= 0

25) f ′(x) =1− 2x arc tg x

(x2 + 1)2∀ x ∈ IR

26) f ′(x) =2e2x · arc sen 5x ·

√1− 25x2 − 5e2x

√1− 25x2 · ( arc sen 5x)2

∀ x ∈(− 1

5,

1

5

)

(C) y = −7x− 3

(D) (i) y =5

2x− 99

16(ii) y = 10x− 9

(E) y = −x + 4 ou y =−1

9x +

4

3

(F) y = − x

4+

3

2

(G) tangente: y = 3√

3 x +

(1− π

√3

2

)

normal: y = −√

3

9x +

(1 +

π√

3

54

)

(H) y = 2x + (π − 2)

(I) (i) y = −2x + 1 (ii) y = − 1

2x +

(1 + ln 4

4

)

(J) (i) y =1

πx (ii) y = −4π x +

(12π

√3 + 1

3

)

(K) y = 2e2 x− 2e2 .

(L) (i) f ′(1) =3

8(ii) b = 3e .

90 CAPITULO 4

(M) 1) f ′(x) = (2x + 1)4(36x− 7) ∀ x ∈ IR

2) g′(w) =1

3√

(3w − 1)2∀ w 6= 1/3 e g′(3) = 1/4

3) h′(s) = π. tg s. sec s se cos s 6= 0 e h′(0) = 0

4) f ′(t) = e3t2−t · (6t− 1) ∀ t ∈ IR e f ′(1/3) = 1

5) f ′(x) = 8 ctg 2x se sen 2x 6= 0

6) f ′(x) =−16x

(x− 4)3∀ x 6= 4 e f ′(2) = 4

7) h′(s) = −csc2 s√2

se sen s 6= 0 e h′(π/4) = −√

2

8) g′(t) = (2t− 1)2 · et2+2t · [6 + (2t− 1)(2t + 2)] ∀ t ∈ IR e g′(0) = 4

9) f ′(w) =10w − sen w

5w2 + 2 + cos w∀ w ∈ IR e f ′(0) = 0

10) g′(y) =1

2y√

y − 1se y > 1

11) f ′(x) =x2(3− 2x)

e2x∀ x ∈ IR . f ′(x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .

12) h′(s) = cos(3s2 − s).(6s− 1) + 2(s2+3s). ln 2.(2s + 3) ∀ s ∈ IR . h′(0) = 3 ln 2− 1 .

13) g′(w) =ln(3− w2)

cos2 w− 2w tg w

3− w2∀ cos w 6= 0 e −

√3 < w <

√3 . g′(0) = ln 3 .

14) v′(t) =2t · s(t) · s′(t)− s(t)2

3t2∀ t 6= 0 . v′(1) = 1 .

15) u′(y) =y − sen y

4√

(2y2 + 5 + 4 cos y)3∀ y ∈ IR .

16) h′(s) =2 3√

(1 + s2)2

3(1 + s2)2. 3√

s∀ s 6= 0 . h′(1) =

3√

4

6.

17) v′(t) =−6t

3t2 + 1∀ t ∈ IR . v′(1) = − 3

2< 0 .

18) f ′(x) = 2x ln x ∀ x > 0 . x = f ′(x) quando x =√

e .

Derivada 91

19) g′(w) =−2 cos w

sen 3w∀ sen w 6= 0 . g′(π/4) = −4 .

20) u′(y) = − 1

y2∀ y 6= 0 . u′(

√3 ) = − 1

3.

21) f ′(x) = ln x + ln 5 ∀ x > 0 . f ′(2) = ln 10 .

22) h′(θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ 6= 0 . h′(π/3) = 8(√

3 + 1) .

23) g′(w) =2w − 1

w2 − w+ (6w − 3w2) · 3(3w2−w3) ∀ w < 0 ou w > 1 . g′(2) =

3

2.

24) v′(t) =cos[s(t)] · s′(t) · t− sen [s(t)]

t2∀ t 6= 0 . v′(2) = − 1

4.

25) u′(y) =1

3√

( arc tg y)2· 1

1 + y2∀ y 6= 0 . u′(1) = 3

√2

π2< 1 .

92 CAPITULO 4

Capıtulo 5

Aplicacoes da Derivada

5.1 Acrescimos e diferenciais

Consideremos uma funcao f : X → IR derivavel em pontos x ∈ X . Podemos escrever:

f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x(para cada x onde f for derivavel)

∆x e chamado ACRESCIMO DE x e representa a variacao na variavel independente x.

Pondo y = f(x) como variavel dependente, temos que ∆y = f(x+∆x)−f(x) representa

a VARIACAO DA FUNCAO f (devida ao acrescimo ∆x ) e

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x

Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores

diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f ′(x) .

Entao podemos dizer que ∆y/∆x e uma boa aproximacao para f ′(x) quando ∆x e

pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever

∆y

∆x≈ f ′(x) quando ∆x e pequeno

ou entao, de modo equivalente,

(∗) f(x + ∆x)− f(x) = ∆y ≈ f ′(x) ·∆x quando ∆x e pequeno

A relacao (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximacoes para a variacao da

funcao, ∆y = f(x + ∆x)− f(x) , atraves de f ′(x) ·∆x , com ∆x pequeno !!!

93

94 CAPITULO 5

Por exemplo, vamos obter uma aproximacao para (0, 98)4

Portanto, f ′(x) ·∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse

importante papel de ser uma boa aproximacao para a variacao da funcao f quando ∆x e

pequeno.

f ′(x) · ∆x sera denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo

com x e ∆x).

Escrevemos tambem dx = ∆x para a chamada diferencial de x.

dy = f ′(x) ·∆x

dx = ∆x

Geometricamente, temos:

Aplicacoes da Derivada 95

Exemplos:

(A) Use diferenciais para obter aproximacoes para:

(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3 (b) 4√

82

(B) A medida de um lado de um cubo e encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade

de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro maximo no calculo do volume do

cubo.

96 CAPITULO 5

(C) A Lei da Gravitacao de Newton afirma que a forca F de atracao entre duas partıculas de

massas m1 e m2 e dada por F =g ·m1 ·m2

s2onde g e uma constante e s e a distancia entre

as partıculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variacao de

s que aumente F em 10% .

(D) A medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha conica cuja

altura e sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio e de 10 cm, use diferenciais para

aproximar a variacao do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.


Exercıcios:

1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4−3(2, 01)3 +4(2, 01)2−5 ,

3√

65 ,√

37 , 3√

0, 00098 ,√

0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 ,1

4√

15.

2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .

3) Use diferenciais para obter uma aproximacao para ctg 46 .

4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da area de uma esfera, quando o raio

varia de 2 a 2, 02 pes.

5) Os lados oposto e adjacente a um angulo θ de um triangulo retangulo acusam medidas

de 10 pes e 8 pes, respectivamente, com erro possıvel de 1,5 polegada na medida de 10 pes.

Use a diferencial de uma funcao trigonometrica inversa para obter uma aproximacao do erro

no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pe = 12 polegadas)

6) A altura de um cone circular reto e duas vezes o raio da base. A medida encontrada da

altura e de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado

no calculo do volume do cone.

7) Se l (em metros) e o comprimento de um fio de ferro quando esta a t graus de temper-

atura, entao l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l

quando t cresce, de 0 a 10 graus.

8) Em um ponto situado a 20’ (pes) da base de um mastro, o angulo de elevacao do topo

do mastro e de 60, com erro possıvel de 0, 25 . Obtenha, com auxılio de diferenciais, uma

aproximacao do erro no calculo da altura do mastro.

9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3. Os seis

lados da caixa vao ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o preco do metal que vai

ser usado na fabricacao da caixa e de R$ 0,80 por cm3, use diferenciais para encontrar o preco

aproximado de todo o metal necessario.

10) A resistencia eletrica R de um fio e proporcional ao seu comprimento l e inversamente

proporcional ao quadrado de seu diametro d. Suponha que a resistencia de um fio, de compri-

mento dado (fixo), seja calculada a partir do diametro com uma possibilidade de erro de 2%

na medida do diametro

(∆d

d· 100 = 2

). Encontre a possıvel porcentagem de erro no calculo

do valor da resistencia.

98 CAPITULO 5

11) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessıvel) em relacao ao

seu nıvel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisti-

cado aparelho baseado num feixe de laser e obteve√

17 km como medida da distancia de B ao

ponto A . Porem, para medir o angulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro

aparelho, nao tao preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibilidade de erro igual a

∆θ = ±0, 01 rad.

(a) Obtenha a equacao que expressa o desnıvel h(θ) entre A e B, como funcao do angulo θ.

(b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desnıvel h(θ) calculado pelo explorador ?

(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).

(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximacao para o erro h(θ + ∆θ)− h(θ) no calculo

do desnıvel.

12) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximacao para a VARIACAO

da area de uma esfera quando seu raio aumenta de5

πcm para

(5

π+ 0, 005

)cm.

b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado a esfera de

raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?

Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua area e 4πr2 cm2 e seu volume e4

3πr3 cm3

13) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diametro, voce recebe a oferta

de pagar 10% a mais por um acrescimo de 3 cm no diametro. Sem calcular areas, USE

DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou nao a oferta.

(Sugestao: Calcule aproximadamente o aumento percentual na area devido ao acrescimo

∆d = 3 cm)

Para qual diametro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diametro com um

aumento de 10% no preco seria justa para ambas as partes (voce e o vendedor) ?

14) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde sera constuıda a

ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens sao desniveladas. Mede-se entao o angulo de

inclinacao que a ponte tera e obtem-se a medida de 30o, com possibilidade de erro de 1o. Use

diferenciais para obter uma aproximacao do erro no calculo do comprimento da ponte.

15) Um empresario fabrica tanques com a forma de cones “invertidos” nos quais a altura e

sempre igual ao diametro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter

(JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se

o raio da base e aumentado em 3, 333 . . . % .


5.2 A Derivada como razao de variacao

Variacao media:

Sejam f : X → IR e y = f(x) .

A variavel y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distancia, volume, area,

etc.) que depende da variavel independente x, a qual por sua vez representa tambem uma

quantidade de alguma grandeza.

Ja vimos que ∆y = f(x1 + ∆x) − f(x1) e a variacao da funcao, correspondente a uma

variacao de x1 a x1 + ∆x (∆x e o chamado acrescimo em x).

Entao∆y

∆x=

f(x1 + ∆x)− f(x1)

∆xe a chamada VARIACAO MEDIA de y por unidade

de variacao de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x.

Exemplo: Seja S (em centımetros quadrados) a area de um cubo de aresta x (centımetros).

Encontre a razao de variacao media da area por unidade de variacao no comprimento da aresta

quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm

Variacao instantanea:

Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x

(lim

∆x→0

∆y

∆x

), o limite (quando existir)

sera a RAZAO (TAXA) DE VARIACAO INSTANTANEA de y por unidade de variacao de x

em (no INSTANTE em que) x = x1 .

Mas lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x1 + ∆x)− f(x1)

∆x= f ′(x1) (se existir o limite).

Portanto a derivada f ′(x1) representa a razao (taxa) de variacao instantanea de y = f(x)

por unidade de variacao de x no instante em que x = x1 .

100 CAPITULO 5

Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razao de variacao da area do cubo por

variacao de centımetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?

Definimos ainda a taxa (razao) de VARIACAO RELATIVA de y por unidade de variacao

de x em x1 como sendof ′(x1)

f(x1)(proporcao da variacao instantanea em relacao a quantidade

f(x1) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIACAO PERCENTUAL,

dada porf ′(x1)

f(x1)· 100 .

Exemplos:

(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 e o

volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:

(a) A razao de variacao media do volume por unidade de variacao do raio, quando r varia

de 5 a 5, 1 cm.

(b) A razao de variacao instantanea do volume , por unidade de variacao do raio, quando

r = 5 e quando r = 5, 1 cm.

(c) As taxas de variacao relativas do volume, por unidade de variacao do raio, quando r = 5

e quando r = 5, 1.


(B) O lucro de um deposito de retalhos e de 100y reais quando x reais sao gastos diariamente

em propaganda e y = 2500 + 36x− 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso

que o orcamento diario de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:

(a) O orcamento atual e de 60 reais diarios; (b) O orcamento atual e de 100 reais diarios.

(C) Em um circuito eletrico, se E e a forca eletromotriz, R ohms e a resistencia e I amperes

e a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .

Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razao que e proporcional

ao inverso do quadrado de I.

Se E = 100 volts, qual a taxa de variacao de I por unidade de variacao de R quando

R = 20 ohms ?

(D) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p e a pressao, V e o volume e

c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressao seja dada por 20 + 2t

u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume e de 60 cm3, determine a taxa de variacao do

volume por unidade de variacao do tempo quando t = 5.

102 CAPITULO 5

Um caso particular: interpretacao cinematica da Derivada

Suponhamos agora que s = s(t) represente a posicao de um objeto ao longo de uma linha

reta, como funcao do tempo t:

Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1 + ∆t estava em s(t1 + ∆t) , a variacao total da

posicao do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t e dada por

∆s = s(t1 + ∆t)− s(t1)

A taxa de variacao media de s por unidade de variacao de tempo, entre o t1 e t1 + ∆t e

s(t1 + ∆t)− s(t1)

∆t

Essa e a VELOCIDADE MEDIA com que o objeto se movimentou de s(t1) ate s(t1 +∆t)

entre os instantes t1 e t1 + ∆t.

A razao de variacao instantanea da posicao s do objeto por unidade de variacao do tempo,

no instante t1 e dada por

s′(t1) = lim∆t→0

s(t1 + ∆t)− s(t1)

∆t

Essa e a VELOCIDADE INSTANTANEA do objeto no instante t = t1 .

Se s′(t1) > 0 entao a taxa de variacao em t1 e positiva, ou seja, s esta aumentando em t1,

ou melhor, o objeto esta se movimentando no sentido adotado como positivo.

Se s′(t1) < 0 , o movimento em t1 e contrario ao sentido positivo.

Se s′(t1) = 0 entao o objeto esta parado no instante t1.

Exemplos:

(A) Um foguete e lancado verticalmente para cima e esta a s m do solo t s apos ter sido lancado

(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t− 5t2 (o sentido positivo e para cima). Determine:

(a) A velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 4 s.

(b) A velocidade instantanea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.

(c) Em t = 20 s, o foguete esta subindo ou caindo ?


(d) Quanto tempo leva o foguete para alcancar a sua altura maxima ?

(e) Qual a altura maxima atingida pelo foguete ?

(B) Uma pedra e solta de um edifıcio de 80 m de altura e a equacao do movimento e dada por

s(t) = −5t2 (t em segundos, t ≥ 0, orientacao positiva para cima).

(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo apos ser lancada ?

(b) Quanto tempo leva a pedra para alcancar o solo ?

(c) Qual a velocidade (instantanea) da pedra ao atingir o solo ?

(d) Qual a velocidade media entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?

104 CAPITULO 5

Obs.: Assim como definimos a velocidade como variacao da posicao por unidade de variacao

do tempo, definimos a ACELERACAO como sendo a variacao da velocidade (olhando v = v(t))

por unidade de variacao do tempo.

(C) A posicao s de um objeto em movimento retilıneo e dada por s(t) = 2t3−15t2 +48t−10 ,

com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleracao quando a velocidade e

de 12 m/s. Determine a velocidade quando a aceleracao e de 10 m/s2.

(D) Um bombardeiro esta voando paralelo ao chao a uma altitude de 2 km e a uma veloci-

dade constante de 4, 5 km/min. A que razao varia a distancia entre o bombardeiro e o alvo

exatamente 20 segundos apos o bombardeiro passar sobre o alvo ?


Exercıcios:

1) O volume de um balao esferico (em pes cubicos) t horas apos 13:00 e dado pela equacao

V (t) =4

3π(9−2t)3 , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a variacao media do volume por unidade de variacao

de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variacao do volume por unidade de variacao de

tempo as 16:00 ?

2) Suponha que, t segundos apos ter comecado a correr, o pulso de um indivıduo tenha sua

taxa dada por P (t) = 56 + 2t2 − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a

variacao media de P por unidade de variacao de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha

a taxa de variacao de P por unidade de variacao de t em t = 2, t = 3, t = 4.

3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz e

diretamente proporcional a intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado

da distancia d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distancia de 2 pes,

determine a taxa de variacao de I por unidade de variacao de d, quando d = 20 pes.

4) A relacao entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala

Celsius, e dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de variacao de F em relacao a C ?

5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de

largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto

e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em funcao de s e determine a taxa

de variacao de V em relacao a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possıvel,

responda se e conveniente ou nao aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.

Obs.: Lembremos que a ACELERACAO de um objeto em movimento retilıneo e a taxa

de variacao da velocidade v por unidade de variacao do tempo t.

6) Para cada uma das situacoes abaixo, define-se a posicao s de um objeto em movimento

retilıneo como funcao do tempo t. Determine a velocidade e aceleracao em cada instante

t e tente descrever o movimento (posicao inicial, velocidade inicial, direcoes do movimento,

quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:

(a) s(t) = 3t2−12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3 , t ∈ [−2, 3]

(d) s(t) =1− e−3t

3, t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t2−4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]

7) Lanca-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pes apos t segs

dada por s(t) = 144t− 16t2 . Obtenha a velocidade e a aceleracao iniciais e no instante t = 3

s (descreva o que ocorre). Qual a altura maxima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?

106 CAPITULO 5

8) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equacao s(t) =

[ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posicao ao longo de um eixo

orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e

t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em que

instante o objeto para ? Em que posicao isto ocorre ? Qual a aceleracao neste instante ?

9) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito

pela equacao s(t) =10 ln(2t + 1)

(2t + 1)(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo

de um eixo orientado, medida em metros).

(a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade

nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto esta parado ?

(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 ate t → +∞ .

10) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equacao

s(t) =2t2

et(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo de um eixo orientado,

medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 2, a

velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e a maior (mostre as contas). (b) O que

ocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distancia da posicao inicial que e atingida

pelo objeto ?


s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo de um eixo

orientado, medida em metros).

(a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t =e3 − 1

2. (b) Obtenha a

velocidade nos instantes t = 0 e t =e3 − 1

2. (c) Obtenha a aceleracao no instante t = 0 .

(d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleracao quando t → +∞ ?


s(t) = 3 − e−t2 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo de um eixo

orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e

t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e a maior (mostre as contas).

(b) O que ocorre com a velocidade instantanea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre

com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distancia da posicao inicial que e atingida pelo

objeto (se existir)?

Obs.: Para 9) (d), 10) (b), 11) (d) e 12) (b), (c) use as Secoes 5.8, 5.9 e 5.10


5.3 Taxas relacionadas

Em alguns problemas, podemos ter varias grandezas relacionadas atraves de equacoes.

Exemplos:

(A) Uma escada com 5 m de comprimento esta inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua

base, apoiada no chao, esta sendo empurrada na direcao da parede a uma velocidade de 0,5

m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a

base esta a 4 m da parede ?

(B) Infla-se um balao esferico de tal modo que seu volume aumenta a razao de 5 dm3/min. A

que razao o diametro do balao cresce quando o diametro e de 12 dm ?

108 CAPITULO 5

(C) Um tanque de agua com a forma de cone invertido e altura igual ao diametro esta sendo

enchido a razao de 3 m3/s. Qual a velocidade com que o nıvel de agua sobe, quando a parte

cheia com agua tem 2 m de altura ?

(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta esta girando com uma

velocidade de 3 rpm (rotacoes por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na regiao

costeira quando o angulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol a praia e de π/4 rad ?


Exercıcios:

1) Um papagaio de papel esta voando a uma altura de 40m. Um garoto esta empinando

o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma razao de 3m/seg. Se a linha

esta esticada, com que razao deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta e

50m ?

2) Um carro que viaja a razao de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o

carro esta a 120m do cruzamento, um caminhao que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento.

O carro e o caminhao estao em estradas que formam angulos retos uma com a outra. Com

que rapidez separam-se o carro e o caminhao 2 segundos depois que o caminhao passou pelo

cruzamento ?

3) De um orifıcio em um recipiente vaza areia, que forma um monte conico cuja altura e

sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta a razao de 6 pol/min, determine a taxa de

vazamento da areia quando a altura da pilha e 10 pols.

4) Uma lampada colocada em um poste esta a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura

caminha afastando-se da lampada a razao de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade

de sua sombra no instante em que ele esta a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua

sombra neste instante ? Qual velocidade e a maior, a da extremidade da sombra ou a de

alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?

5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p e a pressao, v e o volume e c

uma constante. Em certo instante, o volume e de 75 pols3, a pressao 30 lbs/pol2 e a pressao

decresce a razao de 2 lbs/pol2 por minuto. Qual a taxa de variacao do volume neste instante ?

6) Um ponto P (x, y) se move sobre o grafico da equacao y = ln(x3) (x > 0) e sua abscissa

x varia a razao de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y tambem varia a uma razao fixa ?

Qual a taxa de variacao da ordenada no ponto (e, 3) ?

7) Quando duas resistencias eletricas R1 e R2 sao ligadas em paralelo, a resistencia total

R e dada por 1/R = (1/R1) + (1/R2). Se R1 e R2 aumentam a razao de 0,01 ohms/s e 0,02

ohms/s, respect., qual a taxa de variacao de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90

ohms ?

8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu

comprimento aumenta a taxa de 0,005 cm/min e seu diametro cresce a razao de 0,002 cm/min.

Qual a taxa de variacao do volume quando o comprimento e 40 cm e o diametro e 3 cm ?

110 CAPITULO 5

9) Uma escada com 6 m de comprimento esta apoiada em um dique inclinado a 60 em

relacao a horizontal. Se a base da escada esta sendo movida horizontalmente na direcao do

dique a razao de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no

dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?

10) Um aviao voa a uma altura constante de 5000 pes ao longo de uma reta que o levara

diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador

nota que o angulo de elevacao do aviao e de 60 e aumenta a razao de 1 por segundo, deter-

mine a velocidade do aviao neste instante.

11) Um triangulo isosceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o angulo entre

os lados iguais varia a razao de 2 por min, com que velocidade varia a area do triangulo

quando θ = 30 ?

12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais proximo P de uma estrada

retilınea esta sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora,

se afastando de P. Determine a taxa de rotacao do farol no instante em que o carro esta a 1/4

de milha do farol.

13) Uma escada de 5 m de altura esta apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior

da escada e puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada

escorrega a razao de 3 m/s, com que velocidade esta variando a medida do angulo entre a

escada e o solo quando a parte inferior da escada esta a 3 m da parede ?

14) Um homem num cais esta puxando um bote a razao de 2 m/s por meio de uma corda

(esta e a velocidade com que puxa a corda). As maos do homem estao a 30 cm do nıvel do

ponto onde a corda esta presa no bote. com que velocidade varia a medida do angulo de

deflexao da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda e

de 50 cm ?

15) Um quadro de 40 cm de altura esta colocado numa parede, com sua base a 30 cm

acima do nıvel dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede a razao

de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do angulo subtendido pelo quadro a seus olhos,

quando o observador estiver a 1 m da parede ?


16) Despeja-se agua num recipiente de forma conica a razao de 8 cm3/min. O cone tem

20 cm de profundidade e 10 cm de diametro em sua parte superior. Com que velocidade deve

aumentar a profundidade da agua no recipiente quando a agua estiver a 16 cm do fundo ?

Suponhamos agora que se tenha a informacao adicional de que existe um furo no fundo, pelo

qual a agua escoa, e que a agua esta subindo a razao de 1/8π cm/min neste instante (quando

a agua esta a 16 cm do fundo). Com que velocidade a agua esta escoando ?

17) Uma escada de 5 m de comprimento esta apoiada em uma parede vertical. Sua base, que

esta apoiada no chao, esta sendo empurrada na direcao da parede a uma velocidade constante

de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca nao e constante.

(b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base esta a 3 m da parede

? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o angulo da escada com

o chao e de π/4 rad ?

18) A luz de um farol que gira a taxa de 1,5 rpm (rotacoes por minuto) esta iluminando

(acompanhando) um carro que passa numa estrada retilınea. (Obs.: O farol esta distante da

estrada)

No momento em que o angulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol a estrada

e de π/3 rad, a distancia do farol ao carro e de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do

carro neste instante, em km/h.

A velocidade de rotacao do farol e constante. Responda se a velocidade do carro tambem

e constante e justifique.

19) Uma escada de 4 m esta apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada

no chao) e empurrada na direcao da parede a razao (constante) de 2 m/s, com que velocidade

esta variando a medida do angulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da

escada esta a 2 m da parede ? A velocidade de variacao deste angulo e constante ? (Justifique)

20) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto as 8 horas da manha, um viajando para

leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.

(a) Como estara variando a distancia entre eles quando for meio-dia ?

(b) Como estara variando a area do triangulo formado pelo ponto de partida e as posicoes

dos ciclistas ao meio-dia ?

21) Um homem num cais esta puxando um bote a razao de 1 m/s por meio de uma corda

(esta e a velocidade do bote). As maos do homem estao a 1 m acima do nıvel do ponto onde a

corda esta presa no bote. Com que velocidade varia a medida do angulo de deflexao da corda

(entre a corda e o movimento do bote) quando o bote esta a√

3 m de distancia (“medidos na

horizontal”) do homem ?

112 CAPITULO 5

5.4 Alguns resultados importantes

Pontos crıticos, maximos e mınimos:

Definicao 5.1. Um ponto c ∈ X e um PONTO CRITICO de f : X → IR quando f ′(c) = 0

ou nao existe f ′(c) .

Exemplos:

(A) Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x3 − 12x .

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .

(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = ex .

(D) Seja s : IR → IR dada por s(x) = cos x .

(E) Seja f2 : IR → IR dada por f2(x) = (x + 5)2 3√

x− 4 .


Teorema 5.1. Seja f : X → IR uma funcao. Se c e um ponto de maximo ou mınimo local

de f e c ∈ I (intervalo aberto)⊂ X entao c e um ponto crıtico de f , ou seja, f ′(c) = 0 ou

@ f ′(c) .

Consequencia importante do Teorema 5.1: Se f : [a, b] → IR e uma funcao contınua,

sabemos (ver Teorema 3.12) que f assume maximo e mınimo absolutos neste intervalo, ou seja,

existem cM e cm em [a, b] tais que f(cM) ≥ f(x) e f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b] .

O Teorema 5.1 nos diz que os candidatos a cM e cm sao os pontos crıticos de f em (a, b)

juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] .

Exemplos:

(A) f : [−3, 5] → IR dada por f(x) = x3 − 12x .

114 CAPITULO 5

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .

Obs.: Este exemplo mostra que nao vale a recıproca do Teorema 5.1

(C) (Aplicacao) Um fabricante de caixas de papelao deseja fazer caixas abertas de pedacos

quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.

Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo

volume seja maximo.

O Teorema do Valor Medio para Derivadas:

Teorema 5.2. (Rolle) Se f e contınua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , derivavel

no intervalo aberto correspondente (a, b) e f(a) = f(b) , entao existe (pelo menos um)

c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0 .

⇓

Teorema 5.3. (Teorema do Valor Medio, de Lagrange) Se f e contınua em um intervalo

limitado e fechado [a, b] e derivavel no intervalo aberto correspondente (a, b) entao existe

(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) = f ′(c) ·(b−a) , ou seja, f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Principais consequencias do Teorema do Valor Medio:

Teorema 5.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f contınua em um intervalo limitado

e fechado [a, b] e derivavel no intervalo aberto correspondente (a, b) .

(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em (a, b), entao f e CRESCENTE em [a, b] .

(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em (a, b), entao f e DECRESCENTE em [a, b] .

116 CAPITULO 5

Teorema 5.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma funcao contınua em [a, b] e derivavel

em (a, b), exceto possivelmente em um ponto crıtico c ∈ (a, b) .

(i) Se f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , entao c e ponto de maximo local de f .

(ii) Se f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , entao c e ponto de mınimo local de f .

(iii) Se f ′(x) > 0 ∀ x 6= c em (a, b) ou se f ′(x) < 0 ∀ x 6= c em (a, b) entao c nao e nem

maximo nem mınimo local de f .

Exemplos:

(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha maximos ou mınimos

locais de g e onde g e crescente ou decrescente.


(B) Seja f : IR → IR dada por f(x) = x4 − 4x2 ∀ x ∈ IR .

(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = x1/3(8− x) ∀ x ∈ IR .

(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = (x + 5)2 3√

x− 4 ∀ x ∈ IR .

5.5 Concavidade e pontos de inflexao

Derivadas de ordem superior:

Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR → IR dada por f(x) = 2x3 − 5x2 + x + 2 .

Para todo x ∈ IR existe f ′(x) = 6x2 − 10x + 1 .

Podemos considerar portanto a funcao f ′ : IR → IR dada por f ′(x) = 6x2 − 10x + 1

e indagar se ela e derivavel ou nao, ou seja, se existe limx→a

f ′(x)− f ′(a)

x− a= f ′′(a) para cada

a ∈ IR (existindo, f ′′(a) e chamada a derivada segunda de f em a).

Como f ′ (neste exemplo) e polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f ′′(x) = 12x− 10

e temos portanto uma nova funcao f ′′ : IR → IR dada por f ′′(x) = 12x− 10 ∀ x ∈ IR (f ′′ e

a funcao derivada segunda de f .

Podemos pensar (novamente) em derivar f ′′ e assim por diante...

(Exemplos)

Obs.: (A) Ja interpretamos f ′ como taxa de variacao instantanea de y = f(x) por unidade

de variacao de x.

Como f ′′ e a derivada de f ′, entao f ′′ e a taxa de variacao instantanea de f ′(x) por unidade

de variacao de x.

Em resumo: f ′ mede a variacao de f ;

f ′′ mede a variacao de f ′ ;

f ′′′ mede a variacao de f ′′ e assim por diante ...

(B) Vimos tambem que se s = s(t) representa a posicao s de um objeto ao longo de uma

linha reta, como funcao do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTANEA) a taxa

de variacao instantanea de s por unidade de variacao de t, ou seja, v(t) = s′(t) .

Derivando novamente, temos a variacao da velocidade v′(t) = s′′(t) (derivada segunda de

s), a qual chamamos de ACELERACAO no instante t.

118 CAPITULO 5

Testes de concavidade:

Teorema 5.6. (Sobre concavidade) Seja f derivavel em um intervalo aberto contendo c .

(i) Se existe f ′′(c) > 0 entao no ponto ponto (c, f(c)) o grafico de f tem a concavidade

voltada para cima.

(ii) Se existe f ′′(c) < 0 entao no ponto ponto (c, f(c)) o grafico de f tem a concavidade

voltada para baixo.

Exemplos:

(A) Seja f : IR → IR dada por f(x) = x3 ∀ x ∈ IR .

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = ex ∀ x ∈ IR .

(C) Seja h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x ∀ x > 0 .

(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = sen x ∀ x ∈ IR .

(E) Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR .

Definicao 5.2. (Ponto de inflexao) Um ponto (c, f(c)) do grafico de uma funcao f , f contınua

em c, e chamado um PONTO DE INFLEXAO quando neste ponto a concavidade “muda

de sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes

situacoes ocorre:

(i) f ′′(x) > 0 se x ∈ (a, c) e f ′′(x) < 0 se x ∈ (c, b) ;

(ii) f ′′(x) < 0 se x ∈ (a, c) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (c, b) .

120 CAPITULO 5

Teorema 5.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f e derivavel em um intervalo aberto contendo

c e f ′(c) = 0, temos:

(i) Se f ′′(c) < 0 entao f tem maximo local em c ;

(ii) Se f ′′(c) > 0 entao f tem mınimo local em c .

Obs.: Se f ′′(c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira).

Exemplo: Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x3 − 12x .

Resumindo:

• f ′ mede a variacao de f ; Sinal de f ′: crescimento e decrescimento de f ;

Teste da Derivada Primeira: maximos e/ou mınimos.

• f ′′ mede a variacao de f ′; Sinal de f ′′: concavidade do grafico de f ;

Teste da Derivada Segunda: maximos e/ou mınimos.

5.6 Aplicacoes em problemas de maximos e/ou mınimos

(A) Determine as dimensoes do retangulo de area maxima que pode ser inscrito num triangulo

equilatero de lado a, com dois dos vertices sobre um dos lados do triangulo.


(B) Os pontos A e B sao opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de

largura. O ponto C esta na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma com-

panhia telefonica deseja estender um cabo de A ate C. Se o custo por km do cabo e 25% mais

caro sob a agua do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?

(C) Um cartaz de 20 pes de altura esta localizado no topo de um edifıcio de tal modo que

seu bordo inferior esta a 60 pes acima do nıvel do olho de um observador. Use funcoes

trigonometricas inversas para determinar a que distancia de um ponto diretamente abaixo

do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o angulo entre as linhas de visao do

topo e da base do cartaz.

122 CAPITULO 5

Exercıcios:

1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pes cubicos,

determine as dimensoes que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e

aperda de material). Refaca o problema considerando o caso de uma caixa coberta.

2) Determine as dimensoes do cone circular reto de volume maximo que pode ser inscrito

numa esfera de raio a.

3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para

formar uma calha, dobrando-se em angulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas

polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja maxima ? Refaca o

problema considerando que os lados da calha devam fazer um angulo de 2π/3 rad com a base.

4) Encontre as dimensoes do retangulo de maior area que tem 200 cm de perımetro.

5) Determine o ponto do grafico de y = x3 mais proximo do ponto (4, 0).

6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos

de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (ate 600), o preco unitario

tem um desconto igual a US$0,02 vezes o numero de encomendas. Qual volume de encomendas

proporciona maior receita para o fabricante ?

7) As 13:00 horas um navio A esta a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte

a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B esta navegando rumo oeste a 10 mph, determine o

instante em que a distancia entre os dois navios e mınima.

8) Uma ilha esta num ponto A, a 6 km do ponto B mais proximo numa praia reta. Um

armazem esta num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar a razao de 4

km/h e caminhar a razao de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazem

no menor tempo possıvel ?

9) Encontre as dimensoes do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito

num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.

10) Jose comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir a Copa do Mundo. A TV tem

uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distancia dos olhos de Jose, quando ele estiver

sentado confortavelmente em seu sofa, xingando aqueles milionarios que estao jogando ε vezes

o que deveriam para ganhar a Copa (ε → 0). Sabendo que os olhos de Jose, ao sentar-se, estao

a 1,5 m de altura do solo e num nıvel entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura

do solo deve ser colocada a TV para que o angulo de visao de Jose seja maximo ?


11) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens

opostas e um rio retilıneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto sera construıda sob a agua,

de A ate um ponto C na margem oposta, e o restante a superfıcie, de C ate B. Se o custo de

construcao do oleoduto sob a agua e quatro vezes o custo da construcao a superfıcie, determine

a localizacao de C que minimize o custo de construcao.

12) O proprietario de um pomar estima que, plantando 24 arvores por are, cada arvore

produzira 600 macas por ano. Para cada arvore adicional plantada por are, havera uma

reducao de 12 macas por pe por ano. Quantas arvores deve plantar por are para maximizar o

numero de macas (por are por ano) ?

13) Um piloto de testes da Formula 1 percorre um circuito elıptico plano, de forma que

sua posicao, apos t vezes 10-segundos, e dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (faca um

esboco da trajetoria percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t

e dado por v(t) = s′(t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esboco). A velocidade (tangencial)

escalar e dada pelo modulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o deve completar pelo

menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcanca as velocidades maximas

e mınimas. (Sugestao: maximizar e minimizar |v(t)|2)

14) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua area total e

S = (2πr2 + 2πrh) cm2 e seu volume e V = πr2h cm3 . DENTRE TODOS OS CILINDROS

DE AREA TOTAL S = 12π cm2 , obtenha as dimensoes (r e h) daquele que tem o maior

volume possıvel e forneca o maior volume que pode ser obtido.

15) Quando duas resistencias eletricas R1 e R2 sao ligadas em paralelo, a

resistencia total R e dada por1

R=

1

R1

+1

R2

.

Se R1 > 0, R2 > 0 e R1 +R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R

seja maxima. (Sugestao: Exprima R como funcao de uma unica variavel para entao resolver o

problema) E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja mınima ? Justifique a resposta.

16) Um fazendeiro dispoe de 1km de cerca. Uma parte da cerca sera utilizada para cercar

uma area circular e o restante para cercar uma area quadrada. Ele tambem pode utilizar toda

a cerca para cercar uma unica area (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que:

(a) A area total cercada seja a menor possıvel; (b) A area total cercada seja a maior possıvel.

17) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME

MAXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio3

2m.

124 CAPITULO 5

5.7 Aplicacoes em esbocos de graficos

Dada uma funcao f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para

fazer um esboco do grafico de f .

Algumas dicas:

1) Obter a derivada primeira f ′ e os pontos crıticos (onde f ′ se anula ou nao existe);

2) Estudando o sinal de f ′, obter informacoes sobre o crescimento/decrescimento de f ;

3) Obter a derivada segunda f ′′ e estudar o seu sinal para obter informacoes sobre a

concavidade do grafico de f ;

4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir

maximos ou mınimos locais;

5) Obter alguns pontos do grafico para ajudar no esboco (pontos de maximo ou mınimo,

pontos de intersecao com os eixos coordenados, etc.);

6) Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) -

busca de assıntotas horizontais (*);

7) Observar quando f(x) → ±∞ - busca de assıntotas verticais (*).

(*) Veremos estes dois ultimos ıtens com mais detalhes nas proximas aulas.

Exemplo: Seja f : IR → IR dada por f(x) = 5x3 − x5 .


5.8 Apendice A : Limites no infinito

Nocao basica:

Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se possıvel) o comportamento de f(x) quando

x → ±∞ .

Dizemos que um numero real L e o limite de f(x) quando x → +∞ e escrevemos

limx→+∞

f(x) = L

quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de L a medida que x cresce indefinidamente,

ou seja, quando x → +∞ .

Neste caso, a reta y = L e chamada uma ASSINTOTA HORIZONTAL do grafico de f .

Analogamente, escrevemos limx→−∞

f(x) = M ∈ IR quando f(x) se aproxima tanto

quanto quisermos de M a medida que x → −∞ .

Neste caso tambem y = M e assıntota horizontal do grafico de f .

Exemplos:

(A) f : [2, +∞) → IR dada por f(x) =1

x.

126 CAPITULO 5

(B) g : (−∞, 3) → IR dada por g(x) =

4 +1

xse x ≤ −1

6 se −1 < x < 3

(C) u : IR → IR dada por u(x) = sen x .

Teoremas sobre limites no infinito:

Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptacoes.

Por exemplo: Se limx→+∞

f(x) = L e limx→+∞

g(x) = M , entao podemos comcluir que

limx→+∞

f(x)± g(x) = L±M , limx→+∞

f(x) · g(x) = L ·M , limx→+∞

f(x)/g(x) = L/M se M 6= 0

(analogamente para x → −∞ )

Alguns limites basicos no infinito:

1) limx→±∞

c = c

2) Se k ∈ Q, k > 0 e c 6= 0 entao limx→±∞

c

xk= 0 (se fizerem sentido)

3) limx→+∞

(1 +

1

x

)x

= e 4) limx→+∞

ln x

x= 0

5) limx→−∞

ex = 0 6) limx→+∞

1

ex= 0 7) lim

x→+∞

1

ln x= 0

Exemplos:

(A) limx→+∞

−5x3 + 2x

x3 − 4x2 + 3

(B) limx→−∞

3x− 4

5x2

(C) limx→+∞

√5x2 − 6

4x + 3

(D) limx→−∞

sen x

x

(E) (Exercıcio) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que ex > x sempre

que x ≥ 1 (Sugestao: Mostre que f(x) = ex − x e crescente em [1, +∞) e f(1) > 0 ) e

conclua que limx→+∞

1

ex= 0 .

(F) (Exercıcio) Mostre que limx→+∞

e−x2

= 0 (Sugestao: Mostre que 0 < e−x2=

1

ex2 <1

ex

quando x → +∞ e aplique o Sanduıche).

128 CAPITULO 5

5.9 Apendice B : Limites infinitos

Dada f : X → IR e a ∈ X ′ , vamos estudar agora, para auxılio no esboco do grafico de f ,

a situacao na qual NAO EXISTE o limx→a

f(x) (f nao pode ser contınua em a) e, AINDA

ASSIM, f(x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x 6= a).

Escrevemos limx→a

f(x) = +∞ quando f(x) → +∞ a medida que x → a (x 6= a) .

Neste caso, a reta x = a e chamada uma ASSINTOTA VERTICAL do grafico de f :

Analogamente, limx→a

f(x) = −∞ quando f(x) → −∞ a medida que x → a (x 6= a) .

Neste caso tambem dizemos que x = a e uma assıntota vertical do grafico de f :

Observacoes:

1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais limx→a+

f(x) ou limx→a−

f(x) .

2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite limx→a

f(x) NAO EXISTE (nao e um numero

real). Apenas escrevemos limx→a

f(x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de

f(x) quando x se aproxima de a.

Exemplos:

(A) limx→−3

1

(x + 3)2= +∞

(B) limx→2+

1

(x− 2)3= +∞

limx→2−

1

(x− 2)3= −∞

(C) Em geral:

Se n e PAR: limx→a

1

(x− a)n= +∞

Se n e IMPAR: limx→a+

1

(x− a)n= +∞ e lim

x→a−

1

(x− a)n= −∞

(D) limx→0+

ln x = −∞

(E) limθ→π/2−

tg θ = +∞

Proposicao 5.1. (Para ajudar no calculo de alguns limites infinitos)

Sejam limx→a

f(x) = +∞ , limx→a

g(x) = c ∈ IR , limx→a

h(x) = −∞ . Temos:

1) limx→a

[f(x) + g(x)] = +∞ , limx→a

[h(x) + g(x)] = −∞ .

2) limx→a

g(x)

f(x)= 0 , lim

x→a

g(x)

h(x)= 0 .

3) c > 0 ⇒ limx→a

f(x) · g(x) = +∞ , limx→a

h(x) · g(x) = −∞ , limx→a

f(x)

g(x)= +∞ ,

limx→a

h(x)

g(x)= −∞ .

c < 0 ⇒ limx→a

f(x) · g(x) = −∞ , limx→a

h(x) · g(x) = +∞ , limx→a

f(x)

g(x)= −∞ , lim

x→a

h(x)

g(x)= +∞

Obs.: Valem resultados analogos para limites laterais.

130 CAPITULO 5

Exemplos:

(A) f(x) =2x2

x2 − 9

(B) limx→−π/2+

sen x tg x

(C) limx→0+

x4 +√

2

ln x


Observacao: De modo inteiramente analogo ao que fizemos para limx→a

f(x) = ±∞ ,

podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposicao anterior

continuam validos! (apenas nao temos mais as assıntotas verticais nestes casos)

(D) limx→+∞

x = +∞ , limx→−∞

x = −∞

(E) limx→+∞

ex = +∞ (F) limx→+∞

ln x = +∞

(G) limx→+∞

−5x4 + 3x + 2

Observacao: As conclusoes que nao podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos

com limites infinitos:

Devemos sempre tomar cuidado com operacoes entre funcoes que tem LIMITES INFINI-

TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINACOES, que sao as formas cujos com-

portamentos NAO PODEMOS PREVER A PRIORI.

Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINACOES:

0

0,

∞∞

, 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞−∞

Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as funcoes dadas de modo que

possamos ELIMINAR AS INDETERMINACOES. (EXEMPLOS)

132 CAPITULO 5

5.10 Apendice C : Formas indeterminadas

e a Regra de L’Hopital

As formas0

0,

∞∞

, 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞−∞ sao todas consideradas

INDETERMINACOES.

Alem de tentarmos trabalhar com as expressoes que geram as indeterminacoes visando

ELIMINA-LAS, veremos a seguir alguns metodos para atacar estes problemas.

C.1) Indeterminacoes do tipo0

0ou

∞∞

:

Uma ferramenta muito util e a ...

Regra de L’Hopital:

Suponhamos quef(x)

g(x)tome a forma indeterminada

0

0ou

∞∞

quando x → c ou

x → ±∞ . Sef ′(x)

g′(x)tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x → c (ou x → ±∞ ), entao

limf(x)

g(x)= lim

f ′(x)

g′(x)

Exemplos:

(A) limx→0

3− 2x− 3 cos x

5x

(B) limx→+∞

ln x

x


(C) limx→+∞

e2x

x2

Obs.: CUIDADO! Nao saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente

se tem uma indeterminacao do tipo 0/0 ou ∞/∞ .

C.2) Indeterminacoes do tipo 0 · ∞ :

Escrevendo-se f(x) · g(x) =f(x)

1/g(x)ou f(x) · g(x) =

g(x)

1/f(x)recai-se numa forma do tipo

0/0 ou ∞/∞ .

Exemplos:

(A) limx→0+

x · ln x

(B) limx→+∞

(arc tg x− π

2

)· x

134 CAPITULO 5

C.3) Indeterminacoes do tipo 00 , ∞0 ou 1∞ :

O roteiro abaixo pode ser util nestes casos:

0) Seja f(x)g(x) a expressao que gera a indeterminacao;

1) Tome y = f(x)g(x) ;

2) Tome logarıtmos: ln y = ln f(x)g(x) = g(x) · ln f(x) (e recaia em casos ja vistos);

3) Determine lim ln y (se existir);

4) Se lim ln y = L entao lim y = eL . (Atencao: Nao pare em 3)

Exemplos:

(A) limx→+∞

x1/x

(B) limx→+∞

(1 +

1

x

)x

(C) limx→+∞

x1/ ln x


C.4) Indeterminacoes do tipo ∞−∞ :

Trabalhe com a expressao para cair em casos conhecidos !

Exemplos:

(A) limx→π/2−

(sec x− tg x)

(B) limx→0+

(1

ex − 1− 1

x

)

Exercıcio:

APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, faca um esboco do grafico de cada

funcao f dada a seguir:

Roteiro:

a. Obtenha a derivada primeira f ′ e os pontos crıticos de f .

b. Estudando o sinal de f ′, obtenha informacoes sobre o crescimento/decrescimento de f .

c. Obtenha a derivada segunda f ′′ e estude seu sinal para obter informacoes sobre a concavidade

do grafico de f .

d. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir maximos

ou mınimos locais.

e. Obtenha alguns pontos do grafico de f para ajudar no esboco (pontos de maximo ou mınimo,

pontos de intersecao com os eixos coordenados, etc.).

f. Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - busca

de assıntotas horizontais.

g. Observar quando f(x) → ±∞ - busca de assıntotas verticais.

136 CAPITULO 5

1) f(x) = 4− x2 2) f(x) = x3

3) f(x) = x3 − 9x 4) f(x) = x4 − 6x2

5) f(x) = 1− 3√

x 6) f(x) =x2

1 + x2

7) f(x) = 10x3(x− 1)2 8) f(x) = 3√

x (8− x)

9) f(x) = (x + 5)2 3√

x− 4 10) f(x) = x2/3(x2 − 8)

11) f(x) = x3 +3

x(x 6= 0) 12) f(x) =

1

x(x− 3)2(x 6= 0, 3)

13) f(x) =2x2

1− x2(x 6= ±1) 14) f(x) =

3x2

(x− 9)2(x 6= 9)

15) f(x) = ex 16) f(x) = e−x 17) f(x) = ex − x

18) f(x) = e−x219) f(x) = ln x (x > 0)

20) f(x) = e1/x (x 6= 0) 21) f(x) =x

ex22) f(x) =

ln x

x(x > 0)

23) cosh x =ex + e−x

2senh x =

ex − e−x

2tgh x =

ex − e−x

ex + e−x24) f(x) = arc tg x

25) f(x) = e−x sen x (x ∈ [0, 4π] )

26) f(x) = 2 cos x + sen 2x (x ∈ [0, 2π] )

27) f : IR− 4 → IR dada por f(x) =2x2

(x− 4)228) f : IR → IR dada por f(x) =

3x

ex

29) f : IR → IR dada por f(x) =x2

ex30) f : IR− ±2 → IR dada por f(x) =

x2

4− x2

31) f : IR− 1 → IR , f(x) =−3x

(1− x)2. 32) f : IR− 0 → IR , f(x) = x · ln(x2) .

33) f : IR− 0 → IR dada por f(x) =ex

x334) f : IR → IR dada por f(x) = 3

√1− x2

35) f : IR → IR dada por f(x) =2x2

1 + x2∀ x ∈ IR .


5.11 Apendice D: Aproximacoes via

Polinomios de Taylor

Recordando...

Quando estudamos acrescimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR e derivavel em

x ∈ X, ou seja, se existe f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x, entao a variacao da funcao y = f(x),

dada por ∆y = f(x + ∆x) − f(x) , pode ser aproximada por f ′(x) ·∆x quando ∆x esta

proximo de 0:

∆y = f(x + ∆x)− f(x) ≈ f ′(x) ·∆x = dy quando ∆x → 0

Isto e o mesmo que

f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x .

Geometricamente:

A ideia e aproximar o grafico de f por uma reta numa vizinhanca em torno de x. A reta que

melhor cumpre esse papel e a reta tangente ao grafico de f em (x, f(x)), cujo coeficiente

angular e f ′(x) . Quando fazemos essa aproximacao, cometemos um erro r = r(∆x) .

Quanto menor e |∆x| , ou seja, quanto mais proximos estao ∆x e 0, melhor a aproximacao

obtida e menor e o erro cometido.

Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximacoes cada vez melhores ?

Resposta: SIM ! (sob certas condicoes)

138 CAPITULO 5

Um passo adiante:

Se f : I (intervalo aberto) → IR e duas vezes derivavel em um ponto x ∈ I entao, se

x + ∆x ∈ I , temos

f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x +f ′′(x)

2!· (∆x)2 (∆x pequeno)

Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor e a aproximacao.

Porem, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinomio do 2o grau, ou

seja, geometricamente, o grafico de f e aproximado por um arco de parabola e a expectativa

e que isto funcione melhor como aproximacao do que uma reta:

Generalizando:

Se f : I (intervalo aberto) → IR e n−vezes derivavel em um ponto x ∈ I entao, se

x + ∆x ∈ I , temos:

f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x +f ′′(x)

2!· (∆x)2 +

f ′′′(x)

3!· (∆x)3 + . . . +

f (n)(x)

n!· (∆x)n

e quanto menor |∆x|, melhor e a aproximacao.

Obs.:

1) Como o ponto x ∈ I, onde a funcao e n−vezes derivavel, esta fixo e ∆x varia (∆x → 0),

vamos adotar uma NOVA NOTACAO:

f : I → IR n−vezes derivavel em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos:

f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a) · h +f ′′(a)

2!· h2 +

f ′′′(a)

3!· h3 + . . . +

f (n)(a)

n!· hn

e quanto menor |h| , melhor e a aproximacao.


2) Se f : I → IR e n−vezes derivavel em um ponto a ∈ I , definimos o POLINOMIO DE

TAYLOR DE GRAU n DA FUNCAO f NO PONTO a:

Pn,f(a)(h) = a0 + a1 · h + a2 · h2 + . . . + an · hn

sendo a0 = f(a) , a1 = f ′(a) , a2 =f ′′(a)

2!, . . . , an =

f (n)(a)

n!, ou seja,

ai =f (i)(a)

i!i = 1, 2, . . . , n

Neste caso temos:

f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h)

Exemplos:

(A) f(x) = ex , a = 0 , n = 5 .

(B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 .

(C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exercıcio)

140 CAPITULO 5

Buscando estimativas: A Formula de Taylor:

Teorema 5.8. (Formula de Taylor)

Se uma funcao f e n + 1 vezes derivavel em um intervalo aberto I contendo x = a entao,

se a + h ∈ I, temos:

f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +f ′′(a)

2!· h2 + . . . +

f (n)(a)

n!· hn +

f (n+1)(z)

(n + 1)!· hn+1

com z = z(n, h) entre a e a + h.

• Continuamos tendo f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h) quando h esta proximo de 0.

• Rn(h) =f (n+1)(z)

(n + 1)!· hn+1 e o erro cometido na aproximacao f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h)

(quanto menor |h|, menor o erro).

• A Formula de Taylor nos permite, alem de aproximar f(a + h) por Pn,f(a)(h) , tentar

obter estimativas para o erro cometido.

(Exemplo)


Indo um pouco mais alem: A Serie de Taylor:

Uma funcao f : I (intervalo aberto)→ IR e chamada ANALITICA quando para cada a ∈ I

admite o desenvolvimento em Serie de Taylor numa vizinhanca em torno de a:

f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +f ′′(a)

2!· h2 +

f ′′′(a)

3!· h3 + . . .

Quando a + h esta proximo de a (o quanto, depende de f e sua Serie) a soma a direita,

chamada a SERIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)

f(a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f(a + h).

Obs.:

1) Uma funcao analıtica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.

2) As funcoes classicas p(x) = a0+a1x+. . .+anxn , ex, sen x, cos x, ln x sao todas analıticas.

Exemplos:

(A) f : IR → IR dada por f(x) = ex em torno de a = 0 .

(B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 .

Exercıcio: Obtenha a Serie de Taylor de f(x) = ln x em torno do ponto a = 1 .

142 CAPITULO 5

Respostas de exercıcios

• Exercıcios das paginas 97 e 98:

1) a) Expressao ≈ 3, 12 b) 3√

65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48 c)√

37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12

d) 3√

0, 00098 ≈ 1

10− 2

3 · 103e)√

0, 042 ≈ 0, 205 f) Expressao ≈ 9− 3

125=

1122

125= 8, 976

g)1

4√

15≈ 65

128

2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981 3) ctg 46 ≈ 1− π

904) S(2, 02)− S(2) ≈ 8π

25pes2

5) ∆θ ≈ ± 1

164rad 6) ∆V ≈ ±9π

50cm3 7) ∆l ≈ 0, 6 cm 8) ∆h ≈ ±4π

3pols

9) ≈ R$19,20 10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no calculo de R ≈ ∓4%

11) (a) h(θ) =√

17 · sen θ km (b) h(π/3) ≈ 25

7= 3, 571... km

(c) h(θ + ∆θ)− h(θ) ≈ ±√

17

200km (com θ = π/3 , ∆θ = ± 1

100)

12) (a) S(r + ∆r)− S(r) ≈ S ′(r) ·∆r = 1/5 cm2 (b) ∆r = 0, 5 cm.

13) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diametro gera um aumento aproximado de 12%

na area da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.

14) ∆l ≈ ±π/90 m.

15) 10% (aumento percentual aproximado no volume)


1)∆V

∆t= −728π

3pes3/hora ; V ′(3) = −72π pes3/hora.

2)∆P

∆t= 11 bpm/s ; P ′(2) = 7 bpm/s ; P ′(3) = 11 bpm/s ; P ′(4) = 15 bpm/s.

3) I ′(20) = −0, 12 u.i./pe 4) F ′(C) =9

5F/C

5) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s ; V ′(s) = 12s2 − 400s + 2400 ;

V ′(5) = 700 cm3/cm ⇒ e conveniente aumentar s quando s = 5;

V ′(10) = −400 cm3/cm ⇒ nao e conveniente aumentar s quando s = 10.


6) (a) s(0) = 1 ; v(t) = s′(t) = 6t− 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v′(t) = 6 ;

v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 .

(b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1− 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ;

v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 .

(c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6− 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ;

v(t) = 0 ⇒ t = ±√

2 ⇒ s(−√

2) ≈ 18, 3 , s(√

2) ≈ 29, 7 .

(d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t .

(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π2 cos(πt) ;

v(1) = 0 ; s(1) = −3 .

(f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t− 4

t + 1; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ;

a(t) = 2 +4

(t + 1)2; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1− 4 ln 2 .

7) v(0) = 144 pes/s ; a(0) = −32 (pes/s)/s ; v(3) = 48 pes/s ; a(3) = −32 (pes/s)/s ;

Em t = 3s, o objeto esta a 288 pes de altura, subindo e perdendo velocidade ;

Altura maxima: 324 pes (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.

8) (a) vm[0, 2] =1

2

(ln 3− 1

2

)m/s (b) v(0) =

3

4m/s ; v(2) =

1

12m/s

(c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4− 3

4m e a(3) = − 1

16(m/s)/s

9) (a) vm[0, 3] =10 ln 7

21m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) =

20− 20 ln 7

49m/s

(c) v = 0 em t =e− 1

2s (d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ;

s

(e− 1

2

)=

10

em (objeto parado) ; lim

t→+∞s(t) = 0 (se aproxima da posicao 0 qdo t → +∞).

10) (a) vm[0, 2] =4

e2m/s, v(1) =

2

em/s e v(1) > vm[0, 2] . (b) lim

t→+∞s(t) = 0 .

(c) A maior distancia e atingida em t = 2 (justifique) e s(2) =8

e2m.

11) (a) vm[0,e3 − 1

2] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v(

e3 − 1

2) =

4e3 − 1

e3m/s

(c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) limt→+∞

v(t) = +∞ e limt→+∞

a(t) = 0 .

144 CAPITULO 5

12) (a) vm[0, 2] =e4 − 1

2e4m/s e v(1) =

2

em/s. vm[0, 2] < v(1) .

(b) limt→+∞

v(t) = 0 . (c) limt→+∞

s(t) = 3 . A maior distancia do objeto a posicao inicial

NAO E ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e limt→+∞

s(t) = 3 .

• Exercıcios das paginas 109, 110 e 111:

1)9

5m/s 2) 14 m/s 3) 600π pol3/min

4) Extremidade:5

3m/s ; Alonga:

2

3m/s (menor). Outros inst.: mantem velocidades

5) 5 pol3/min 6)3

2eu/s 7)

11

1600Ω/s

8)21π

160cm3/min 9)

2 +√

6

4m/s

10) −1000π

27pes/s 11)

π√

3

10pol2/min 12) 100 rad/hora =

5

6πrpm

13) -1 rad/s 14) 3 rad/s

15) ≈ 0, 778 rad/s 16)1

2πcm/min , 6cm3/min (escoando)

17) x(t) = dist. da base da escada a parede ; y(t) = dist. do topo ate o chao

(a) y′ =x

y(b) quando x = 3 m : y′ =

3

4m/s (c) quando θ = π/4 rad : y′ = 1 m/s

18) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = angulo feixe-perpendicular

Quando θ = π/3 rad : x′ = 90π km/h ; x′ nao e constante

(x′ =

45π sec2 θ

2

)19) A velocidade de variacao do angulo nao e constante (depende de θ ) e temos

θ′ = −√

3

3rad/s quando x = 2 m.

20) (a) d′ = 25 km/h ao meio-dia. (b) S ′ = 1200 km2/h ao meio-dia.

21) θ′ =1

4rad/s quando x =

√3 m.

1) Aberta: b = 2 pes, a = 1 pe; Coberta: b = a = 3√

4 pes

2) h =4a

3, r =

2a√

2

3

3) Angulo reto: d = 3 pols ; Angulo 2π/3 : d = 4 pols

4) a = b = 50 cm

5) P (1, 1) 6) 500 unidades

7) t = 18/13 horas apos 13:00

8) a 8 km de B, entre B e C

9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo

11) a1√15

milhas de B, entre B e C 12) 37 arvores por are

13) Maxima em: s(π/2) e s(3π/2) ; Mınima em: s(0) e s(π)

14) h =6− r2

r(relacao entre h e r nos cilindros de area total 12π cm2)

⇒ V = V (r) = π(6r − r3) , 0 < r <√

6 ⇒ Ponto crıtico: r =√

2 .

Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume e maximo quando

r =√

2 e h = 2√

2 e temos V (√

2 ) = 4π√

2 cm2 .

15) R e MAXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.

R NAO ASSUME MINIMO.

16) (a) A area total cercada e a menor possıvel quando y =4

4 + πe o perımetro da area

quadrada e x =π

4 + πe o perımetro da area circular.

(b) A area total cercada e a maior possıvel quando toda a cerca e utilizada para cercar

uma unica area circular.

17) h =

√3

2m e r =

√6

2m para que o volume do cilindro seja maximo.

146 CAPITULO 5

Referencias

[1] Flemming, Diva M. e Goncalves, Mirian B., Calculo A. Prentice Hall Brasil. (*)

[2] Swokowski, Earl W., Calculo com geometria analıtica, vol. 1. Makron Books.

[3] Leithold, Louis, Calculo com geometria analıtica. Makron Books.

[4] Simmons, George F., Calculo com geometria analıtica. Makron Books.

[5] Stewart, J., Calculo, vol. 1. Thomson Learning.

[6] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Calculo. Editora Guanabara Dois.

[7] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de calculo, vol. 1. Editora LTC.

[8] Anton, H., Calculo, um novo horizonte, vol. 1. Bookman.

(*) Principal referencia

147

Apostila com limites e derivada

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