LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Física Básica Experimental I Departamento de Física / UFPR.
Derivadas de Lie e Aplicação à Linearização tipo “input ... · e , campo vetorial . A...
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* Aluno de Iniciação Científica Derivadas de Lie e Aplicação à Linearização tipo “input -output” Luciano Barbanti Neuterlândio D. da Silva* Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: [email protected], [email protected] RESUMO 1. INTRODUÇÃO As derivadas de Lie são uma poderosa aplicação para solução de problemas modernos em todas as áreas do “mundo real”. Neste trabalho definimos tais derivadas e as aplicamos na equação de Van der Pol (VDP) controlada, com observabilidade (isto é quando temos a possibilidade de conhecer o valor de uma variável do sistema -através de um dispositivo- a todo instante, do decorrer do processo). 2. DEFINIÇÃO DAS DERIVADAS DE LIE Sejam , campo escalar e , campo vetorial A derivada de Lie de em relação a é Assim, a derivada de Lie é simplesmente a derivada direcional de ao longo da direção do vetor . Este tipo de derivada é utilizada para a linearização de sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Com a vantagem de vir de uma abordagem com “flavour” geométrico, dá ampla informação sobre o sistema original não linear, permitindo resultados de uma maneira bem mais simples e computável do que se utilizássemos o próprio sistema. 3. APLICAÇÃO À EQUAÇÃO DE VAN DER POL CONTROLADA Dada a equação de Van der Pol controlada ̈ ( )̇ () , onde é (em geral constante por partes). { ̇ ̇ ( ) () Usamos a observação no sistema ( ) isto é, a variável é a variável observável. Para linearizar () através da derivada de Lie, observamos que () pode ser reescrito da forma: 1184 ISSN 1984-8218
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* Aluno de Iniciação Científica
Derivadas de Lie e Aplicação à Linearização tipo “input-output”
Luciano Barbanti Neuterlândio D. da Silva*
Depto de Matemática, FEIS, UNESP
15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail: [email protected], [email protected]
RESUMO
1. INTRODUÇÃO
As derivadas de Lie são uma poderosa aplicação para solução de problemas modernos
em todas as áreas do “mundo real”. Neste trabalho definimos tais derivadas e as aplicamos na
equação de Van der Pol (VDP) controlada, com observabilidade (isto é quando temos a
possibilidade de conhecer o valor de uma variável do sistema -através de um dispositivo- a todo
instante, do decorrer do processo).
2. DEFINIÇÃO DAS DERIVADAS DE LIE
Sejam
, campo escalar
e
, campo vetorial
A derivada de Lie de em relação a é
Assim, a derivada de Lie é simplesmente a derivada direcional de ao longo da
direção do vetor .
Este tipo de derivada é utilizada para a linearização de sistemas de Equações
Diferenciais Ordinárias. Com a vantagem de vir de uma abordagem com “flavour” geométrico,
dá ampla informação sobre o sistema original não linear, permitindo resultados de uma maneira
bem mais simples e computável do que se utilizássemos o próprio sistema.
3. APLICAÇÃO À EQUAÇÃO DE VAN DER POL CONTROLADA
Dada a equação de Van der Pol controlada
( ) ( ) ,
onde é (em geral constante por partes).
{
( ) ( )
Usamos a observação no sistema
( )
isto é, a variável é a variável observável.
Para linearizar ( ) através da derivada de Lie, observamos que ( ) pode ser reescrito da
forma:
1184
ISSN 1984-8218
(
) (
( )
) (
) (
)
ou
( ) ( )
onde ( ) ( ) (
( )
) e ( ) ( ).
Observando Slotine na secção 6.4, fazendo:
( ) ( ) ,
temos
( ) ( ) (
( ) ) ( )
Como ( ) ( )( ) então definindo uma nova variável de controle
( )
( )
temos que ( ) transforma-se na equação linear:
( )
que é usada nas aplicações de controle em ( ) [Slotine (6.70) e parágrafo seguinte].
Evidentemente a forma ( ) é bem mais simples em termos estruturais para aplicação, e vai ser
fundamental para o estudo do problema de controle global (ainda segundo Slotine (6.81)).
4. CONCLUSÕES
Apresentamos neste trabalho a ferramenta (derivadas de Lie) para um método geral
(com aplicação na Equação de Van der Pol) a fim de linearizar um problema de controle não
linear.
O desenvolvimento natural desta teoria no futuro é a aplicação da equação linearizada
para o rastreamento (tracking) de uma solução predeterminada através do sistema ( ),
controlando a variável de observação ( ). Associado a este procedimento teremos que
considerar a dimensão da dinâmica interna do sistema e sua estabilidade.
Palavras-chave: Derivadas de Lie, Linearização, Equação de Van der Pol
Referência
[1] SLOTINE, J-J.E. LI,W. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, NJ, 1991.
1185
ISSN 1984-8218
