Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Funo (Parte 1)

Seja uma funo definida numa regio do espao tridimensional. Por exemplo, a temperatura de uma sala pode ser representada pela funo posio. ou , onde o vetor

Seja um ponto dessa regio. Com que taxa, numa direo especfica?

varia quando partimos de

Observe que nas direes dos eixos so dadas pelas derivadas parciais

,

e

sabemos que as taxas de variao de

Mas como calcular a taxa de variao de

se partimos de ?

numa direo que

no a de nenhum eixo coordenado? Se partimos de que teremos a mxima e a mnima taxa de variao de

, quais as direes em

A procura das respostas para estas perguntas nos leva aos conceitos de derivada direcional e gradiente de uma funo. Veremos inicialmente a derivada direcional de funes de duas variveis. Para isso, sejam a funo ponto , diferencivel numa regio e o

. Alm disso, considere no plano

uma direo orientada

dada

pelo

vetor

unitrio , prximo de

.

Tomemos

o

ponto

tal que o vetor

tenha a mesma

direo e sentido do vetor conforme

. Deste modo, a

o vetor unitrio do vetor figura abaixo.

O acrscimo da funo

, quando passamos de

para

,

onde

e

quando

. Dividindo

por

, temos

Do tringulo retngulo

,

Substituindo estes valores em

, segue que

Assim,

O limite no ponto

quando existir e for finito chamado derivada direcional da funo , na direo do vetor e indicaremos pelo smbolo . Logo,

,

Exemplo 1: Determine a derivada direcional de na direo do vetor .

no ponto

Resoluo: Note que , segue que

, de modo que . Por outro lado,

e sendo

Logo,

Exerccio: Determine a derivada direcional de na direo de com o eixo .

no ponto

No prximo post, veremos a derivada direcional de funes de trs variveis. Mas para isto, precisamos dos conceitos de ngulos e cossenos diretores.

Seja o vetor

no-nulo, conforme a figura abaixo:

Definio 1: Chama-se ngulos diretores de e que o vetor respectivamente. forma com os vetores ,

, os ngulos e

,

Definio 2: Chama-se cossenos diretores de ngulos , e .

os cossenos dos

Da definio de ngulos diretores, temos

Analogamente,

Uma propriedade interessante sobre os cossenos diretores de um vetor dada pela proposio.

Proposio 1: Se , ento

,

e

so os ngulos diretores do vetor

Demonstrao: De fato,

Exemplo 2: Se

,

e

so os ngulos diretores de um vetor, determine

.

Resoluo: Segue da Prop. 1 que

donde segue que

.

Exemplo 3: Calcule os cossenos diretores do vetor

.

Resoluo: Sendo

segue que

,

e

.

Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Funo (Parte 2)

derivada direcional para funes de derivada direcional. Definio 1: Sejam a funo ponto vetor unitrio no ponto e na direo de

Neste post, veremos a definio da variveis independentes e o mximo da

, diferencivel numa regio

, o

e a direo orientada no espao definida por:

, definida pelo

. A derivada direcional da funo

Exemplo 1: Seja dada a funo direcional Resoluo: no ponto Sendo e na direo do vetor , . As derivadas parciais de

. Achar a derivada . ento so dadas por ,

, segue que

e

Mximo da Derivada Direcional Para funes de duas variveis, vimos que a derivada direcional no ponto dada por:

Para cada vetor , temos um nico valor para derivda direcional uma funo da varivel , ou seja,

. Assim, a

Se houver uma direo em que a direo direcional tem um valor mximo, este valor chamado gradiente de em . Geometricamente, o gradiente a inclinao da tangente de maior declividade que pode ser traada no ponto . Para achar essa direo, fazemos , ou seja,

Dependendo dos sinais das derivadas parciais de e e quadrantes ou e

, o ngulo

um ngulo do

quadrantes. Da expresso

, segue que

Substituindo essas expresses em

e simplificando, obtemos

ou seja, o gradiente de componentes so Definio 2: Seja que por e e

em

o mdulo de um vetor cujas . Isto sugere a seguinte definio: . Admitindo definido

definida e contnua na regio existam, o vetor gradiente da funo no ponto

cujas coordenadas so as derivadas parciais de chamado gradiente da funo no ponto . Observaes: 1) Pela definio acima segue que aponta na direo e sentido em que 2) O gradiente de funes de , ento

ordem calculadas em

,

. Logo, o vetor gradiente possui o maior crescimento. definido de maneira anloga, ou seja, se

Definio 3: Chama-se operador diferencial vetorial ou operador nabla, denotado por ou , o vetor definido por:

Este vetor possui propriedades anlogas s dos vetores comuns e simplifica bastante ao vetor gradiente definido acima, isto ,

Teorema 1: A derivada direcional componente escalar do

em qualquer direo dada a

naquela direo, ou seja,

onde

o ngulo entre os vetores

e

, sendo

um vetor unitrio dado. e o ponto

Demonstrao: Sejam . Assim,

diferencivel numa regio

Exerccios Propostos: 1) Nos exerccios abaixo, determine as derivadas direcionais das funes dadas nos pontos dados e nas direes indicadas. a) do vetor . 2) Calcule o vetor gradiente das ; b) funes abaixo nos pontos em dados: . a) ; b) em em na direo na direo do vetor

em 3) Mostre que a) b) c) d) . ; ; ;

4) A temperatura dada por

de uma placa circular aquecida, em qualquer dos seus pontos

estando a origem no centro da placa. No ponto a) A taxa de variao de b) . na direo ;

determine:

Gostar de ler tambm: - Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Funo (Parte 1); - Sobre o Produto Escalar; - Diferentes Maneiras de Calcular a Derivada da Potncia Ensima de x . Postado por Prof. Paulo Srgio s 12.10.10