DERIVADAS E DIFERENCIAIS II

Nice Maria Americano da Costa

DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA

Seja ( ) ny f x x

Pela definição da derivada temos que calcular

2( )y f x x

2 2 2

0 0 0 0

( ) (2 )( ) lim lim lim2 lim 2x x x x

x x x x x xf x x x xx x

3( )y f x x

3 3 2 22 2

0 0 0 0

( ) (3 3 )( ) lim lim lim3 lim3 3x x x x

x x x x x x xf x x x x xx x

( ) ny f x x 3 1 2

1

0 0

( ) ( .... )( ) lim limn n n n n

n

x x

x x x nx x nx xf x nxx x

Sabemos da trigonometria que diferença entre dois senos podem ser expressos como

DERIVADA DO SENO

Seja ( )y f x senx

Pela definição da derivada temos que

0 0

22( ) lim limcos( ) 1cos2

2x x

xsen x xf x xx

0

2 ( )cos( )2 2( ) lim

x

x x x x x xsenf x

x

Sabemos da trigonometria que diferença entre dois co-senos podem ser expressos como

DERIVADA DO CO-SENO

Seja ( ) cosy f x x

Pela definição da derivada temos que

0 0

22( ) lim lim ( ) 12

2x x

xsen x xf x sen senxx

0

cos( ) cos( ) limx

x x xf xx

0

2 ( ) ( )2 2( ) lim

x

x x x x x xsen senf x

x

cos cos 2 ( ) ( )2 2p q p qp q sen sen

DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES

( )( )( ) cos( )( )( ) log( ) ln

( )

n

a

x

f x xf x sen xf x xf x tg xf x cot xf x xf x x

f x e

1

22

22

( )( ) cos( )

1( ) seccos1( ) sec

1( ) log

1( )

( )

n

a

x

f x nxf x xf x sen x

f x xx

f x co xsen x

f x ex

f xx

f x e

PROPRIEDADES

( ) ( )( ) ( )

f x ag xdf x dg xadx dx

Teorema. A derivada do produto de uma constante por uma função de x é igual ao produto da constante pela derivada da função; i. e.

Demonstração usando a definição de derivada, temos

0

0

0 0

0

( ) ( ) ( )lim

( ) [ ( ) ( )]lim

( ) [ ( ) ( )]lim lim

( ) [ ( ) ( )]lim

x

x

x x

x

df x f x x f xdx xdf x a g x x g xdx xdf x g x x g xadx xdf x g x x g x dga adx x dx

( ) ( ) ( ) .... ( )( ) ( ) ( ) ( )....

f x g x h x u xdf x dg x dh x du xdx dx dx dx

Teorema. A derivada da soma de um número finito de funções é a soma das derivas das funções; i. e.

Demonstração usando a definição de derivada, temos

0

0

0 0 0

( ) ( ) ( )lim

( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]lim

( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]lim lim lim

( ) ( ) ( ) ( )

x

x

x x x

df x f x x f xdx xdf x g x x h x x u x x g x h x u xdx xdf x g x x g x h x x h x u x x u xdx x x xdf x dg x dh x du xdx dx dx dx

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

f x u x v xdf x dv x du xu x vdx dx dx

Teorema. A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da 1a. função pela derivada da 2a. função mais o produto da 2a função pela derivada da 1a. função

Demonstração usando a definição de derivada, temos

0 0

0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

lim lim

lim lim

x x

x

y f x uvy f x x f x u x x v x x u x v xmasu x x u u e v x x v ventaoy u u v v uv uv u v v u v u uvy u v v u v uy u v v u v ux x

y u v v u v ux xyx

0 0 0 0

0 0 0 00

lim lim lim

lim lim lim lim lim

x x x x

x x x xx

u v v u uvx x x

mas u e v nao dependemde xy v u uu v vx x x x

dy dv duu vdx dx dx

2

( ) ( )( ) ;( )

du dvv uu x df x dx dxf xv x dx v

Teorema. A derivada quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo denominador é igual ao quadrado da função dada no denominador e cujo numerador é igual ao produto da função no denominador pela derivada da função no numerador menos o produto da unção no numerador pela derivada da função no denominador

Demonstração:

temos

0 0

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

lim limx x

uy f xv

u x x u xy f x x f xv x x v x

masu x x u u e v x x v ventao

u u u v u u u v v v u u vyv v v v v v v v vv u u v v u u v

y x x xx v v v v v v

v uyx

0 0

0

0 0

0 0 0 00

2

lim lim

( ) lim ( )

lim limlim lim lim lim

lim ( )

0, 0

x x

x

x x

x x x xx

u v v u u vx x x xv v v v v v

u vv uy v u ux x vx v v v v x x

mas u e v nao dependemde x e qdo x vdu dvv udy dx dx

dx v

Teorema. Seja y=f(x)=F(u), sendo u= (x). Se u(x) tem uma derivada, u’(x)= x’ e y=F(u) tem uma derivada Fu’, a derivada f’(x)= Fu’ (u) x’ (x), Ou seja, a derivada de f(x) em relação a x é igual ao produto de derivada de F em relação a u pela derivada de u em relação a x.

dxdu

dudFFxfy

xeuFxuuFxfy

xu

xu

)(

)(),(,)(

Demonstração: para o acréscimo x , temos os acréscimos correspondentes às funções

)(),()()(),(

uuFyxxxuuFyxu

Além disso, quando x 0, u 0 e y 0. Por hipótese, temos também

dudy

uy

x

0lim

DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS

Pelo teorema do limite, podemos escrever,

0,0 xcom

dudy

uy

xux

xxx

xxxxx

Fdxd

dudy

dxdy

xy

edxd

xu

masxu

xu

dudy

xy

xu

xu

dudy

xy

uududyy

0

00

00000

lim

0limlim

limlimlimlimlim

Exemplos

22

3

3

)1(313

1),()1(

xudxdu

dudF

dxdyuy

xucomuFyxy

xxsenxudxdu

dudF

dxdyuy

senxucomuFyxseny

cos2cos2

),(2

2

)cos(22)cos(

),(

)(

2

2

2

xxxudxdu

dudF

dxdy

useny

xucomuFy

xseny

xu

u

x

eedxdu

dudF

dxdyey

xucomuFyey

)1(

),(

xx

xu

dxdu

dudF

dxdyuy

xucomuFyxy

1)(ln313

ln),()(ln

22

3

3

xxx

xuv

dxdu

dudv

dvdF

dxdy

vsenyxxueuuvvcomvFy

xseny

1)(ln3])cos[(ln13cos

ln)()(),(

])[(ln

232

3

3

DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITAUma função implícita, y=f(x), é aquela que satisfaz a uma equação da forma F(x,y)=0. Exemplos:

22

22

222 0

xry

xry

ryx

Note que nem sempre é possível resolver a equação para y, como no primeiro caso. Podemos, entretanto calcular a derivada usando a regra da função composta.

041

senyxy

026 xyy

yxy

yyxryx

0220222

yy

yyy

senyxy

cos411

1

0cos4111

041

162

0216

0

5

5

26

yxy

xyyy

xyy

DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSASToda funções crescente, ou decrescente, admite uma função inversa. I. e., dado y=f(x) é possível determinar a função que expressa x em função de y, ou x= (y).

Teorema: Se a função y=f(x0 admite uma inversa, x=(y), cuja derivada ’(y), em um ponto dado é diferente de zero, então a função y=f(x) possui no ponto x correspondente uma derivada f’(x) igual ao inverso da ’(y), I.e:

3

3

)(

)(

yyx

xxfy

yyyxxexfy x

0ln)()(

)(1)(

)()(

yxf

yxxfy

Demonstração: Se por hipótese:

)()( yxxfy

derivando a segunda expressão em relação a x, usando a regra da cadeia,temos:

yy

dxdf

dxdfyyy

yx

x

(1

)()(1

)(

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS

2

2

222

1

1cos11cos

11cos

cos1

xyy

xy

xyseny

masy

y

senyxarcsenxy

2

2

222

1

111

1cos1

1cosarccos

xsenyy

xseny

xyysen

masseny

y

yxxy

y=arc senx y=arc cosx

2

2 2

2 2

1sec

sec 11 1

1 1

y arctg xx tg y

yy

mas

y tg y

ytg y x

y=arc tgx

2

2 2

2 2

1cos

sec 11 1

1 1

y arccot xx cot y

yec y

mas

co y cot y

ycot y x

y=arc cotx

FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICAFunção Paramétrica

Sejam duas funções da variável t (o tempo, por exemplo), x=(t)e y=(t). Se x e y representam as coordenadas de um ponto no plano, a cada instante t, teremos um ponto no plano. Quando t varia no intervalo, T1<t<T2, o ponto (x,y) descreve uma curva no plano. As funções dadas são chamadas de equação paramétrica desta curva. E t é o parâmetro.

x(t1) x(t2) x

y

(x(t),y(t))y(t1)

y(t2)

( )( )

x ty t

2

0

20

0

2

( )2

2 ( )

hh

h

h

xx v t tv

ty y g

g xy yv

x v g y y

x

y

(x(t),y(t))

Lançamento horizontal

vh

y0

DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA

( )y x

Dadas as formas paramétricas, x=(t) e y=(t), de uma curva, isto é, as equações paramétricas da função y de x, é possível calcular a derivada dessa função, yx’.

Se a função x=(t) admite uma inversa, isto é, podemos expressar t como uma função de x, t=(x), então a função y=(t), pode ser expressa como

Temos então uma função composta. Podemos aplicar a regra da derivada:

( )

,1

1 t

t

x t x

t

x t xt t

y t t x

d dy tdt dx

mas peloteormada funçaoinversaddxentao

d dy tdt dx

2

0

20

2

2

( )2

hh

h

xh

xx v t tv

ty y g

g xy yv

gxyv

2

0

2

2

hh

xh h

xx v t tv

ty y g

dygt gxdty dx v v

dt

Lançamento horizontal