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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ENSINO SUPERIOR DO AMAZONAS

COORDENAÇÃO DE ADMINISTRAÇÃO

MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À ADMINISTRAÇÃO

3ª NPC

APOSTILA 4: DESCONTO SIMPLES E DESCONTO COMPOSTO

Manaus - Am

2010

2

DESCONTO

Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é

resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor

comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias

etc., pode levantar fundos em um banco, descontado o título antes da data de vencimento. O banco,

naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. A diferença

entre o valor nominal (FV) e o valor líquido (PV) pago ao portador do título é o que se denomina

desconto (D).

D = FV – PV

VALOR DE FACE, VALOR NOMINAL OU VALOR DE LIQUIDAÇÃO: É o valor

declarado, a ser pago pelo devedor e a ser recebido pelo credor (detentor do título) na data do

vencimento.

VALOR DO DIA, VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL: É quando, teoricamente, o

título vale em certa época.

VALOR DESCONTADO: É o valor obtido na venda ou resgate antecipado de certo título.

VALOR DO DESCONTO: É a diferença entre o valor de face e o valor do dia.

1 DESCONTO SIMPLES

São descontos obtidos através de cálculos lineares. Nesse sistema, o desconto é

tradicionalmente classificado em duas modalidades:

Desconto racional simples (também chamado desconto por dentro);

Desconto comercial simples (também chamado desconto por fora).

3

1.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES

O Desconto Racional (Dr) é também denominado desconto por dentro e é o desconto

teoricamente correto. Incorpora os conceitos de e ralações básicas de juros simples, conforme

vimos anteriormente.

Dr = PV . i . n (1)

O desconto por definição, é a diferença entre o valor nominal (FV) e o valor presente PV:

Dr = FV – PV, (2)

O Valor Descontado ou valor atual

PV = ni

FV

. 1 (4)

Ainda podemos determinar a taxa de juros simples e o prazo de antecipação:

Taxa de efetiva: i =nPV

PVFV

.

(5)

Prazo: n = iPV

PVFV

.

(6)

OBSERVAÇÃO:

Observamos que o valor do desconto racional é igual ao dos juros calculados sobre o

principal no regime simples. Por isso, muitos autores argumentam que não se justifica a

apresentação do desconto racional simples como critério de cálculo com características específicas.

Ele não passa de uma aplicação particular de juros simples sobre o valor atual do título e não

apresenta praticamente nenhuma aplicação relevante nas operações bancárias e comerciais.

Nesse texto, o desconto racional simples é apresentado em função de eventuais

necessidades didáticas, a fim de esclarecer suas diferenças com relação ao desconto comercial

simples.

Exemplo 1: Determine o valor do desconto racional a ser obtido no resgate de um título com valor

de face de R$ 3.000,00, sabendo-se que faltam 132 dias para seu vencimento e que a taxa de

desconto oferecida é de 7 % a. m..

Dados:

FV = 3000

n = 132 dias = 30

132mês

i =7% a.m. = 0,07 a.m.

Solução:

Dr=ni

niFV

. 1

. .

=

30

13207,01

30

13207,03000

= R$ 706, 42

4

Exemplos 2: Um título, cujo valor nominal é de R$ 4.500,00 e que vence no prazo de 4 meses e 9

dias, está sendo resgatado antecipadamente. A taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e se quer

calcular os valores do valor descontado e do desconto racional.

Dados:

FV = 4500 reais “valor nominal”

n = 4 meses e 9 dias = 129 dias “prazo”

i = 3,5% a.m. = 30

035,0a.d. “taxa de juros”

Cálculo do valor descontado racional:

PV = ni

FV

. 1 =

12930

035,01

4500

= R$ 3911,34

Cálculo do desconto racional:

Dr = FV – PV = 4500 – 3911,34 = R$ 588,66

Exemplo 3: Determine a taxa mensal de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento,

sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e o valor atual na data do desconto de R$

24.436,10.

Dados:

n = 60dias = 2 meses “prazo”

FV = 26000 “valor nominal”

PV = 24436,10 “valor atual”

Cálculo da taxa:

Dr = PV . i . n

26000 – 24436,10 = 24436,10 . i . 2

i = 0,032 i = 3,2% a.m.

Exemplo 4: Um título de R$ 9.700,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 6.400,00.

Sabendo que a taxa de desconto racional é de 32,4 % a.a., calcule o tempo de antecipação do

resgate em dias.

Dados:

i = 32,4% a.a. = 0,32 / 360 a.a =

FV = 9700 “valor nominal”

PV = 6400 “valor atual”

Cálculo da taxa:

Dr = PV . i . n

9700 – 6400 = 6400 . 0,32/360 . n

n = 573 dias

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1.2 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

O Desconto comercial ou “por fora”, no regime de juros simples, é calculado aplicando-se

a taxa de juro sobre o valor nominal e multiplicando-se pelo prazo de antecipação.

A diferença em relação ao desconto racional consiste em substituir o valor presente, PV,

pelo valor nominal ou final, FV. Conclui-se, portanto, que o desconto comercial é maior que o

racional, conseqüentemente o valor descontado no comercial é menor.

Dc = FV . i . n (7)

Valor descontado: usando a definição de valor descontado (PV = FV – Dc)

PV = FV . (1 – i . n) (7)

Taxa de desconto:

i = nFV

PVFV

.

(10)

Prazo:

n = iFV

PVFV

.

(11)

Exemplo 5: Determine o valor do desconto comercial a ser obtido no resgate de um título com

valor de face de R$ 3.000,00, sabendo-se que faltam 132 dias para seu vencimento e que a taxa de

desconto oferecida é de 7 % a. m..

Dados:

FV = 3000

n = 132 dias = 30

132mês

i =7% a.m. = 0,07 a.m.

Solução:

Dc= FV . i . n

Dc =3000 0,07 30

132

Dc = R$ 924,00

Exemplo 6: Uma duplicata no valor nominal igual a R$ 9.000,00 foi descontada em um banco

dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Obtenha: (a) o

desconto comercial; (b) o valor descontado do título.

Dados:

FV = 9000

n = 2 meses

i = 2% a.m.

Solução

(a) o desconto comercial;

Dc = FV . i . n = 90000,022 = R$ 360,00

(b) o valor descontado do título;

Vc = FV – Dc = 9000 – 360 = R$ 8640,00

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Exercícios 1. Determine o desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.000,00, disponível dentro

de 40 dias, à taxa de juro de 3% a.m.

2. Determine o valor de face de uma Nota Promissória no racional que foi resgatada 3 meses antes

de seu vencimento, considerando que se obteve R$ 850,00 de desconto nessa operação, e que a

taxa de desconto utilizada foi de 40 % a. a..

3. Um título no valor nominal de R$ 5.000,00 foi resgatado antecipadamente, obtendo-se um

desconto no valor de R$ 600,00 no regime racional, calcule quantos dias faltavam para o seu

vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto utilizada foi de 54 % a. a..

4. Considerando que uma duplicata com valor nominal de R$ 1.800,00 foi descontado 75 dias

antes do seu vencimento, e que se obteve um desconto de R$ 225,00 , determine a taxa de

desconto racional utilizada nessa operação.

5. Uma duplicata, cujo valor nominal de é de R$ 8400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado

em 20/07 (ou seja houve uma antecipação de 90 dias). Se a taxa comercial foi 54% a.a., qual é

o valor comercial descontado?

6. Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que

a taxa de desconto comercial é de 32,4 % a.a., calcule o tempo de antecipação do resgate em

dias.

7. Determine o valor de face no regime comercial de uma Nota Promissória que foi resgatada 3

meses antes de seu vencimento, considerando que se obteve R$ 850,00 de desconto nessa

operação, e que a taxa de desconto utilizada foi de 40 % a. a..

8. Determine o desconto de uma Nota Promissória que vai vencer daqui a 3 meses, considerando

que o valor de face é R$ 8.500,00 e que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 40% a. a..

9. Determine o desconto de uma Nota Promissória que vai vencer daqui a 3 meses, considerando

que o valor de face é R$ 8.500,00 e que a taxa de desconto racional utilizada foi de 40% a. a..

10. Um título que vai vencer no prazo de 2 meses e 7 dias tem valor de face igual a R$ 7.200,00. O

credor está exigindo (hoje) por seu resgate antecipado R$ 6.600,00. Qual a taxa mensal de

desconto comercial simples aplicada na negociação.

11. Uma duplicata de R$ 23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$

21.068,00. Determine:

a. A taxa efetiva de juros mensal (no regime racional);

b. A taxa de desconto mensal (no regime comercial).

12. Um título governamental com valor de face de R$ 100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do

vencimento, com desconto comercial simples, sendo a taxa de desconto igual a 25% a.a. Qual o

preço de aquisição?

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2 DESCONTO COMPOSTO

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é idêntico ao do regime de juros

simples: corresponde ao abatimento por saldar-se um compromisso antes do seu vencimento. A

diferença é devida apenas ao regime de juros, sendo o raciocínio financeiro o mesmo. O que fazemos é

calcular a diferença entre o valor nominal e o valor atual do compromisso na data em que se propõe

que seja efetuado o desconto. O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal, e o

valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.

2.1 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

O desconto racional (ou desconto por dentro) composto, é a diferença entre o valor nominal ou

de face (FV), e o valor presente ou do dia (PV). Ele é calculado em cima do valor presente.

O valor descontado:

Como o desconto é calculado em cima do valor presente, então:

Vc = n

i

FVPV

1. (1)

Portanto o desconto racional é

Dr = FV – PV, (2)

substituindo a Eq.(1), temos

Dr = FV – ni

FV

1

ou

Dr = FV

n

n

i

i

1

11. (3)

A taxa efetiva:

i = 1

1

n

PV

FV (4)

O prazo de antecipação:

n = iPV

FV

1ln

ln

(5)

Exemplo 1: Um título no valor de R$ 40.000,00 deverá ser negociado 3 meses antes do vencimento, à

taxa do desconto composto de 5% ao mês. Determinar o valor descontado bem como o valor do

desconto do título no regime racional.

Dados:

FV = R$ 40.000,00;

i = 5% ao mês;

n = 3 meses;

PV = ?

Cálculo do valor descontado do título:

ni

FVPV

1= 30501

40000

, = R$ 34.553,50

Cálculo do desconto:

Dr = FV – Vr = 40.000 – 34.553,50 = R$ 5.446,50

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Exemplo 2: Um título, que vai vencer no prazo de dois meses e sete dias, tem valor de face de R$

3.800,00, o credor está exigindo hoje por seu resgate a importância de R$ 3.300,00. Qual seria a taxa

mensal de desconto?

Dados:

FV = 3800

n = 2m e 7 d = 67 dias

PV = 3300

Solução:

i = n

PV

FV -1

i = 13300

380067 = 0,002108 a.d.

Taxa equivalente mensal:

ieq = 11 k

n

ni

ieq = 10,002108130

ieq = 0,065212 a.m. = 6,521% a.m.

Exemplo 3: Um título, cujo valor nominal é de R$ 4.500,00 e que vence no prazo de quatro meses e

nove dias, está sendo resgatado antecipadamente. A taxa de juros de 3,5 % a.m. e se quer calcular o

valor descontado e o desconto para juros composto racional.

Dados:

FV= 4500

n = 4 meses e 9 dias = 129 dias

i = 3,5% a.m.

Cálculo da taxa equivalente em dias:

ieq = 11 k

n

ni

ieq = 103501 30

1

,

ieq = 0,00114737 a.d. ou ieq = 0,114737% a.d.

Cálculo do valor descontado:

ni

FVPV

1= 129

0011473701

4500

,= R$ 3.881,23

Cálculo do desconto:

Dr = FV – PV = 4500 – 3.881,23 = R$ 618,77

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2.2 DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) COMPOSTO

O desconto comercial composto caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto

sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido a cada período, dos descontos obtidos em períodos

anteriores.

Portanto, a generalização do valor descontado é dada por,

PV= niFV )(1

O desconto comercial é dado pela diferença do valor futuro e do calor presente, ou seja:

Dc = FV – PV

ou

Dc = niFV )(11

Observação: Neste item, vamos fazer somente a equivalência no tempo. Exemplo 4: Um título com valor nominal de R$ 7.500,00 e cujo vencimento ocorrerá em 3 meses e 18

dias, está sendo pago antecipadamente. A taxa de juro é de 6,0% ao mês. Calcular o valor descontado

e o e o valor do desconto comercial. Usar equivalência no tempo.

Dados:

FV = 7500

n = 3 meses e 18 dias = 108 dias =30

108meses

i = 6,0% ao mês = 0,06 a.m.

Cálculo do valor descontado:

niFVV 1c = 7500 ( 1 – 0,06)

108/30 = 7500 (0,94)

108 / 30 = 7500 0,800314

Vc = R$ 6.002,35

Cálculo do desconto:

Dc = FV – PV

Dc = 7500 − 6002,35 = R$ 1.497,65

Exemplo 5: Se uma nota promissória fosse resgatada 7 meses e 11 dias antes do seu vencimento, qual

seria o valor descontado e o valor do desconto, considerando-se uma taxa de juro mensal

correspondente a 4,7% com seu valor de face fixado em R$ 9.100,00?

Dados:

FV = 9100

n = 7 meses e 11 dias = 221 dias = 30

221meses

i = 4,7% a.m. = 0,047 a.m.

Cálculo do valor descontado (PV = Vc):

niFVV 1c = 30

221

047,019100 = R$ 6.383,01

Cálculo do desconto:

Dc = FV – PV

Dc = 9100 – 6383,01 = R$ 2.716,99

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2.3 DESCONTO BANCÁRIO COMPOSTO

O desconto bancário composto (ou por fora) é o desconto que se aplica à taxa de juro sobre o

valor nominal e multiplica-se pelo prazo d

e antecipação acrescido de uma taxa de administração. Isto é o desconto comercial acrescido

de uma taxa de administração.

Db = FV ni 11 + FV . b

O valor descontado é

Vb = FV – Db

ou

Vb = FV ( 1 – i )n – FV . b

Exemplo 6: Um título, cujo valor é R$ 4.500,00 e que vence no prazo de quatro meses e nove dias,

está sendo resgatado antecipadamente. A taxa de juro é de 3,5 % a.m. e se quer calcular o desconto e o

valor descontado no sistema bancário composto. A taxa de Adm é 1%?

Dados:

FV = 4500

n = 4 meses e 9 dias = 30

129meses

i = 3,5 % a.m. = 0,035 a.m.

b = 1% = 0,01

O valor descontado:

Vb = FV ( 1 – i )n – FV . b = 4500 ( 1 – 0,035 )

129/30 – 4500 . 0,01

Vb = R$ 3.815,82

O desconto:

Db = FV – Vb

Db = 4500 – 3815,82 = R$ 684,18

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EXERCÍCIOS

Regime Racional

1. Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por uma Nota

Promissória cujo valor nominal é de R$ 1.500,00. Sabendo-se que o banco credor utiliza um

desconto composto de 2 % ao mês, calcule o valor atual e o desconto obtido no regime racional.

Dados:

n = ........

FV = ........

i = ........

Solução:

Valor atual: n

i

FVPV

1= .........

Desconto racional: Dr = FV – PV = ............

2. Um banco libera a um cliente R$ 6.800,00 provenientes do desconto de um título de valor nominal

de R$ 9.000,00 descontado a taxa de 4% a.m. Calcule o prazo de antecipação que foi descontado

este título no regime racional. Resposta: 7 meses e 4 dias.

Dados:

FV = ............

PV = ............

i = ............

Solução:

n = iPV

FV

1ln

ln

= ................

3. Determine o desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.000,00, disponível dentro de

40 dias, à taxa de juro de 3% a.m. Resposta: R$ 1.931,26 e R$ 48.067,74.

Dados:

FV = ..............

n = .............

i = ..............

Solução no regime racional:

Desconto racional: Dr = FV

n

n

i

i

1

11= .........

Valor atual: PV = FV – Dr = .........

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4. Uma duplicata de R$ 25.000,00 foi resgatada 102 dias antes de seu vencimento por R$

21.500,00. Determine a taxa de desconto mensal no regime racional. Resposta: 4,54% a.m.

Dados:

FV = ..............

PV = ..............

n = ............. = ........... meses

Solução:

i = 1

1

n

PV

FV = .......

5. Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de um cliente foi de R$ 5.490,00,

correspondente ao desconto racional de um título de R$ 9.000,00 à taxa de 24,569% a.a.,

determinar o prazo a decorrer até o vencimento desse título. Resposta: n 2 anos e 3 meses.

6. Calcular o valor nominal de um título que, resgatado 1 ano e 6 meses antes de seu vencimento,

sofreu um desconto racional de R$ 4.950,00, a uma taxa de 18,5% a.a., com capitalização

semestral. Resposta: R$ 21.235,03.

Regime Comercial

7. Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado

em 20/07 (ou seja houve uma antecipação de 90 dias). Se a taxa comercial foi 54% a.a., qual é

o valor comercial descontado? Usar a equivalência do tempo.

8. Calcular o valor do desconto comercial, o valor liberado e a taxa efetiva anual, aplicadas no

desconto de uma duplicata com valor de resgate de R$ 15.000,00, prazo de 75 dias e uma taxa

de desconto de 28% a.a. Usar a equivalência do tempo.

Regime bancário

9. Uma empresa descontou em um banco um título de valor nominal igual a R$ 90.000,00 40 dias

do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a. sabendo-se que o banco cobrou

uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título. Usar a equivalência do tempo.

a. Qual o desconto bancário;

b. Qual o valor líquido recebido pela empresa.

10. M

13

TAXAS EFETIVAS E TAXAS NOMINAIS

1 - TAXA NOMINAL

Uma taxa é dita como nominal se o período a que ela estiver referenciada não for

coincidente com o período de capitalização.

Exemplo: TAXA de 24% a.a. com Capitalização mensal.

2 - TAXA EFETIVA

Uma taxa é dita como efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente

com o período de capitalização.

EXEMPLO: TAXA de 24% a.a. com Capitalização anual

3 - Conversão de TAXA NOMINAL versus TAXA EFETIVA

Cv tx = taxa nominal / n.º capitalizações contidas na taxa nominal

Exemplo 1: Qual a taxa EFETIVA à taxa NOMINAL de 24% a.a. com capitalização mensal?

Cv tx = 24% / 12 = 2% a.m.

Em um ano quantos meses estão contidos = 12 meses

Exemplo 2: Qual a taxa EFETIVA à taxa NOMINAL de 18% a.a. com capitalização trimestral?

Cv tx = 18% / 4 = 4,5% a.t.

Em um ano quantos trimestres estão contidos = 4 trimestres

Exemplo 3: Qual a taxa EFETIVA associada à taxa NOMINAL de 12 % a.s. com capitalização

trimestral?

Cv tx = 12% / 2 = 6 % a.t.

Em um semestre quantos trimestres estão contidos = 2 trimestres

Conclusão: uma aplicação de R$ 1,00 por um único período, a uma taxa nominal de i% por

período, resulta sempre em um valor igual a “1+ taxa de juro” isto é 1+i%.

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CONFIRMAÇÃO: qual o valor futuro de um capital de R$ 1, aplicado por um ano à taxa de 24%

a.a. com capitalização mensal?

Cv tx = 24% / 12 cap/mês = 2%

Fv = P (1+ i)N ↔ Fv = 1(1+0,02)

12 ↔ Fv = 1,2682

1↔ capital aplicado

0,2682 ↔ taxa de juros ↔ 0,2682 * 100 = 26,82%

Conclusão: uma taxa nominal de 24% a.a. com capitalização mensal, na verdade, representa um

custo efetivo do capital de 26,82%.