Desempenho de Sistemas de Controle

Controle de Sistemas Desempenho de Sistemas de Controle

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Controle de Sistemas – Renato Dourado Maia 2

Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble

O Hubble é um telescópio de 2,4m, que fica a 380 milhas da Terra, sendo capaz de apontar e focalizar um moeda de dez

centavos de dólar a 400 milhas de distância...

29/10/2014



Diagrama de blocos:

Realimentação de Velocidade

Comando

Perturbação

Posicionamento

( )R s K 2

1s

1K s

( )D s

( )Y s

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Diagrama de blocos:

Objetiva-se escolher K1 e K de modo que:

1. A U.P para entrada em degrau seja ≤ 10%. 2. O erro em estado estacionário seja minimizado. 3. O efeito da perturbação de carda, D, seja minimizado.

K1

1( )s s K+( )R s

( )D s

( )Y s( )E s

29/10/2014



A função de transferência em malha fechada, de R para Y é?

K1

1( )s s K+( )R s

( )D s

( )Y s

21

1

1

1( )( )( ) 11 ( ) 1

( )

Ks sG sT sG s s s

s s

KK K

KK

KK K+

= = =+ + ++

+

( )E s

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O que fazer agora?

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Projetar os valores de K1 e K de modo que as es-pecificações de desempenho sejam atendidas.

Perguntas iniciais:

Como o erro em estado estacionário, sem perturbação, pode ser minimizado?

Como o erro em estado estacionário, devido a apenas uma perturbação em degrau unitário, pode ser minimi-zado?

29/10/2014



Vamos observar novamente a função de trans-ferência da planta:

1

1( )( )

G ss s K

=+

Qual é o erro em estado estacionário para uma entrada em degrau, com perturbação nula?

1

1( )( )

G ss s K

=+

Sistema Tipo 1, com realimentação unitária negativa: o erro em estado estacionário para

entrada em degrau é nulo!

29/10/2014



Pensemos, então, numa entrada tipo rampa de inclinação B, com perturbação nula:

Agora vamos analisar o efeito de uma perturba-ção em degrau unitário, com referência nula:

01 1

0lim ( ) lim

( )v s ssG s s

s KKK

s KK

→ →= =

+

1vss

B BeK KK

= =

0

( ) 1( ) ( ) lim ( )1 ( ) ss s

G sE s D s e sE sG sK K→

= − ⇒ = = −+

29/10/2014



Resumindo:

Para uma entrada em rampa de inclinação B, com per-turbação nula, o erro em estado estacionário é:

Para referência nula, o erro para uma perturbação em degrau unitário é:

1ss

BeK K

=

1sse

K= −

Conclusões: 1: 1K 1 12 : 1K KK K⇒

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Falta analisar a especificação de ultrapassagem percentual... Lembremos da função de transfe-rência em malha fechada:

21

( )TKs sK

Ks =

+ +

Podemos utilizar todo o nosso conhecimento sobre sistemas de

segunda ordem!

1

2

2 2 2( )2

n

n n

TsKs sK

Kss

ωζω ω

= =+ + + +

1 2 2n

n

K

K K

ω

ζω ζ

=

= =

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Ultrapassagem Percentual e Tempo de Pico Normalizado versus Relação de Amortecimento

Ultr

apas

sage

m M

áxim

a Pe

rcen

tual

Coeficiente de Amortecimento

Ultrapassagem Percentual

U.P. ≤ 10% ζ = 0,6; U.P. = 9,5%

29/10/2014



1

2

2 2 2( )2

n

n n

TsKs sK

Kss

ωζω ω

= =+ + + +

1 2 2n

n

K

K K

ω

ζω ζ

=

= =

0.6ζ =

1 2(0,6) 1,2n

n KK

Kω

ω

=

= =

E agora?

29/10/2014



1 2(0,6) 1,2n

n KK

Kω

ω

=

= =

1: 1K

1 12 : 1K KK K⇒

1 1, 2 1,2K K K KK = =

1

1

1,2

K

K K

>>

=

29/10/2014



( )R s

( )D s

( )Y s( )E s

1001

1( 2)s s +

Escolhendo K = 100, K1 = 12.

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Resposta à referência

Resposta à perturbação

t (segundos)

( )y t

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Problema 5.5 – Dorf & Bishop Um telescópio espacial deve ser lançado para

realizar experimentos astronômicos. Deseja-se que o sistema de controle de posicionamento seja capaz de uma resolução de 0.01 minuto de arco e de rastrear objetos solares com movi-mento aparente de até 0.21 minuto de arco por segundo. O sistema e o sistema de controle es-tão apresentados nas figuras dos próximos dois slides. Admitir que a constante de tempo 1 é de 1 s, e a constante de tempo 2 é nula (uma a-proximação).

29/10/2014


Problema 5.5 – Dorf & Bishop

29/10/2014



12

Ks

2 1

2

( 1)( 1)

K ssτ

τ++Entrada Ângulo de

Apontamento

( )R s ( )Y s

a) Determinar o ganho K = K1K2 necessário pra que a resposta a um comando em degrau seja tão rápida quanto razoável com uma ultrapassagem menor do que 5%.

b) Determinar o erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau e em rampa.

c) Selecionar K utilizando o índice de desempenho ITAE para entradas em degrau e em rampa. 29/10/2014


Problema 5.5 – Dorf & Bishop Função de transferência em malha fechada:

A função de transferência é de segunda or-

dem... Mas há um zero! Então, devemos ser mais cautelosos com a análise!

Deseja-se uma ultrapassagem percentual menor do que 5%. Um coeficiente de amortecimento de 0,7 leva a uma ultrapassagem de aproxima-damente 4,7%...

1 22 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)( ) K K s K sT ss K K s K K s Ks K

+ += =

+ + + +

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Problema 5.5 – Dorf & Bishop Função de transferência em malha fechada:

1 22 2

1 2 1 2


+ += =

+ + + +

2

2n

n

K

K

ω

ζω

=

=2 2 1,4 1,4n n n nω ζω ω ω= = ⇒ =

1 2 1,96K K K= =

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Problema 5.5 – Dorf & Bishop Como o sistema é Tipo 2, com realimentação u-

nitária negativa, o erro em estado estacionário é zero para entradas em degrau e em rampa.

Agora, vamos simular o sistema para entradas em degrau e rampa e verificar se as especifica-ções foram atendidas... Lembrem-se que há um zero na função de transferência em malha fe-chada.

Script em Matlab: M_7_DesempenhoSistemasProg1.m

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0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

Resposta ao Degrau

1,96K =

29/10/2014



0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

t

y(t)

Resposta à Rampa

SaídaReferência

1,96K =

29/10/2014



-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagrama de Pólos e Zeros

Eixo Real

Eixo

Imag

inár

io

1,96K =

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Problema 5.5 – Dorf & Bishop A ultrapassagem percentual foi de 20%... E a-

gora?

1 22 2

1 2 1 2


+ += =

+ + + +

Pólos: 2 ( 4)4

2 2 2K KK K K K −− ± −

= − ±

4 ???4 ???4 ???

KKK

=><

E aí?

29/10/2014



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

Resposta ao Degrau - Forçando o K

16K =

29/10/2014



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t

y(t)

Resposta à Rampa - Forçando o K

SaídaReferência

16K =

29/10/2014



-15 -10 -5 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagrama de Pólos e Zeros - Forçando o K

Eixo Real

Eixo

Imag

inár

io

16K =

29/10/2014

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