Desenvolvendo um material didático, com auxílio do software … · software Maple 13para criar um...

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT

II Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia

07 a 09 de outubro de 2010 ISSN 2178-6135

Artigo número: 40

Desenvolvendo um material didático, com auxílio do software Maple 13, para os conteúdos

de Campos Vetoriais, Curvas Espaciais e Integrais de Linha

Tiago Aparecido Perez Vieira

Amanda Yoshie Takikawa

Wellington José Corrêa

Adilandri Mércio Lobeiro

Priscila Amara P. de Melo

Resumo

Ao se estudar Cálculo Vetorial, em específico, campos vetoriais, curvas espaciais e integrais de linha, deve-se ter uma boa noção gráfica. Visto isso, este trabalho utiliza do software Maple 13 para criar um material de apoio, dos temas mencionados, para docentes e discentes. Então, tomaram-se por base as definições destes conteúdos e principalmente o potencial que este software oferece. Também foram explorados exemplos práticos e uma apreciação interessante na interpretação do gráfico nas integrais de linha. Por meio disso, pode-se notar que o modo em que a abordagem foi feita, pelo uso principal do tutorial e alguns comandos de fácil aprendizagem, facilitou o entendimento e aumentou a didática exigida para tal matéria. Teve-se então, que o uso do software se mostrou válido e de grande estímulo para o avanço nos estudos nessa área.

Palavras-chave: campos vetoriais, curvas espaciais, integrais de linha,

Maple 13, software.

Abstract

Developing educational material, using the software Maple 13 for the

contents of Vector Fields, Space Curves and Line Integrals

When Vector Calculus is studied, specifically vector fields, space curves and line integrals, a good graphic notion is necessary. Therefore, this paper uses software Maple 13 to create a helping material about those themes for docents





Artigo número: 40

and “students”. So, the definitions from these subjects were taken as a base, mainly the potential offered by this software. Practical examples and an interesting appreciation in the reasoning of the line integrals graphic were also explored. For this reason, we can notice that the model the approach was done, through the tutorial’s main purpose and also through the easily learned commands, made the understanding more effortless and enhanced the teaching method used for this subject. Then, it’s possible to convey that the use of Maple 13 is worth and very helpful for the progress of the studies in this area.

Keywords: vector fields, space curve, line integrals, Maple 13, software.

Introdução

O início dos estudos do cálculo vetorial data dos meados do século XIX e tornou-se uma

parte essencial da matemática exigida a engenheiros, físicos, matemáticos e a outros ramos da

ciência. Tal requisito não foi de certo modo acidental, pois além de proporcionar uma notação

concisa para a apresentação das equações que surgem das formulações matemáticas dos

problemas da física e geometria, é também um subsidio natural na materialização de idéias dos

mais diversos fenômenos.

No estudo dos campos vetoriais, curvas espaciais e integrais de linha tem-se uma gama de

aplicabilidades de grande interesse. De acordo com Thomas (2003) estes conteúdos são utilizados

por matemáticos e engenheiros para, por exemplo, descrever o escoamento de fluidos, projetar

cabos de transmissão subaquáticos e também calcular o trabalho necessário para colocar um

satélite em órbita. Anton et al. (2007) ressalta que a descrição matemática de fluxo é o próprio

conceito de campos vetoriais e que as integrais de linha são utilizadas para analisar as

propriedades desses campos e fluxos.

Quando se trabalha com a disciplina de Cálculo Vetorial, a noção gráfica é muito

importante ao tratar dos vários temas relacionados, tais como conceito de fluxo e o trabalho

realizado pelo campo vetorial, sendo muitas vezes quase impossível esboçar a mão grande parte

dos campos vetoriais. Deste modo, é preciso se adaptar ao uso de diversos níveis de tecnologia e

também ao emprego de computadores, de calculadoras gráficas ou de um SAC (Sistema de

Álgebra Computacional) (Kreyszig, 2009).

Sob este aspecto, o SAC escolhido para abordar o conceito de campos vetoriais é o Maple

13. De Acordo com Mariani (2005), o Maple é desenvolvido pela Universidade de Waterloo,





Artigo número: 40

Canadá, e pelo Instituto ETH, de Zurique, Suíça, consistindo em um sistema de computação

algébrica, numérica e gráfica. É notório que o aplicativo abrange uma ampla gama de assuntos

relacionados ao aprendizado e ao uso de recursos matemáticos, no qual funciona como um

excelente instrumento de trabalho.

Procurou-se explorar todo o poderio do software na sua versão de número 13, já que a

maioria das bibliograficas utilizadas é referente a versões mais antigas do Maple (por exemplo,

Mariani, 2005) que não apresentam tantas funcionalidades até então, que se oferece nesta

versão. Assim o software se apresenta um excelente aliado ao docente e ao aluno como

ferramenta para estudar tais conceitos do cálculo vetorial, principalmente na visualização e

compreenssão dos campos vetoriais.

Dessa forma, a composição deste artigo está constituída de três seções brevemente

expostas a seguir.

Na seção “Campos Vetoriais” apresenta-se a definição e exemplos de campos vetoriais,

proporcionando várias aplicações dos mesmos em diversos fenômenos naturais, usando o Maple

para sua visualização gráfica sob a forma tradicional de comandos e uma alternativa bem mais

atraente de manuseio que é por meio de um tutorial oferecido pelo software.

Em seguida, na seção “Curvas Espaciais”, de forma análoga à primeira, as curvas espaciais

são esboçadas recorrendo ao Maple.

Na seção “Integrais de Linha”, tais integrais são estudadas para encontrar o trabalho

realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de uma curva. Com isto usa-se o

Maple não só para calcular o valor de uma integral de linha, mas encontrar o sinal do trabalho

realizado visualizando o gráfico, o qual contém a curva, o vetor tangente da curva e o campo

vetorial. Também é abordado nesta seção um pouco sobre Integrais de Escoamento e Circulação.

Ademais, na última seção, estão as conclusões conseguidas pela análise das seções

precedentes.

O objetivo deste artigo é oferecer um material didático, o qual envolve campos vetoriais,

curvas espaciais e integrais de linha, com algumas situações encontradas no cotidiano, que

possibilite ser um instrumento de apoio no estudo do cálculo vetorial tanto para professores

quanto para estudantes, explorando a potencialidade do software Maple 13.





Artigo número: 40

Campos Vetoriais

Inicialmente, é importante relembrar a definição de campo vetorial, a qual se mostra da

seguinte forma:

Seja . Um campo vetorial em é uma função que associa a cada ponto

em 2 um vetor bidimensional . De forma análoga, define-se um campo vetorial

tridimensional (Stewart, 2006). Se anexarmos o vetor velocidade a cada ponto de sua trajetória

no plano de movimentos, teremos um campo bidimensional ao longo da trajetória.

A melhor maneira de enxergar um campo vetorial é desenhar setas representando vetores

, começando no ponto . Em geral, salvo o caso de campos vetoriais simples, é

impossível desenhar à mão a maioria dos campos vetoriais bidimensionais e tridimensionais e,

portanto, necessita-se do auxílio de um sistema de computação algébrica, neste caso, o Maple 13.

Para tanto, vamos traçar um campo vetorial de duas maneiras: a primeira, usando os

tradicionais comandos e a segunda, por meio de um tutor que facilita o esboço do mesmo.

Considere , em seguida temos o desejado para o seguinte

comando:

Figura 1 – Representação do Campo Vetorial.





Artigo número: 40

O gráfico do campo vetorial aparece na sua forma padrão. No entanto, caso deseja-se uma

visualização peculiar, podemos alterar algumas opções como, por exemplo, o estilo das flechas

usadas para representar um vetor e a cor destas. As opções possíveis para as flechas são LINE,

THIN, SLIM, e THICK com THIN sendo o padrão. Há possibilidades de mudar as cores do gráfico

colocando o nome da cor desejada na opção color no comando, contudo é necessário que o nome

das cores seja escritos em inglês. A seguir está o exemplo de um comando com as possibilidades

abordadas:

Esses procedimentos, e outros, podem ser feitos também clicando com o botão direito em

cima do gráfico e ir à opção desejada.

Para obter o mesmo gráfico, mas agora sem comandos, recorre-se ao Tutorial seguindo as

instruções: Ferramentas – Tutoriais – Cálculo Vetorial – Campos Vetoriais. Na opção ‘Campos

Vetoriais’ abrirá uma janela.

Figura 2 – Procedimento para plotar um campo vetorial.

Coloca-se as coordenadas do campo vetorial na primeira opção (Vector Field), o ponto de

inicio na segunda (Initial Point), o sistema de coordenadas na terceira opção (Coordinate System)

e o frame na ultima (Frame).

Para plotar e animar o gráfico, é necessário, primeiramente, clicar na opção display. A

próxima ação mostrará o esboço do gráfico do campo vetorial. Se for de interesse obter a

animação do mesmo, é necessário clicar na opção animate para disponibilizar a animação.





Artigo número: 40

Figura 3 – Representação de um Campo Vetorial.

Na animação estará disponível a linha em azul como classificada por Stewart (2006) de

‘linha de fluxo’, como o próprio nome diz, indica a direção do fluxo do campo vetorial, a reta

tangente em vermelho escuro e a reta normal vermelho claro no sistema . Já no sistema

poderá ser visualizado também a reta bi-normal em verde.

A opção ‘close’ irá fechar o tutorial, aparecendo o campo desejado na folha de trabalho do

Maple. Após a sua plotagem, basta clicar em cima do gráfico e depois no play, que está na barra

de tarefas do Maple. Para mais opções com o gráfico, é necessário clicar com o botão direito do

mouse em cima do gráfico.





Artigo número: 40

Figura 4 – Animação de um Campo Vetorial em 2D.

Para plotar gráficos em existem duas maneiras, uma é usar o comando fieldplot3d. A

outra é utilizando o tutorial novamente, sendo que todo o procedimento descrito acima sobre

plotagem de campos vetoriais em 2D se aplica para os feitos em 3D, trocando o sistema de

coordenadas e as consequentes mudanças.





Artigo número: 40

Figura 5 – Representação de um campo vetorial em 3D com equação

.

A linha em azul e as três retas exibidas no gráfico, já foram explicadas anteriormente.

Podemos encontrar algumas aplicações de campo vetorial em várias situações. Uma delas

está disponibilizada no site do CPTEC/INPE, o qual é um site do governo, renomado e que contém

dados precisos e de muita importância para vários ramos da ciência. A situação abaixo retrata os

vetores velocidade do ar e indicam rapidez a direção e sentido no Oceano Atlântico no dia

28/07/2010. Associando a cada ponto no ar, podemos imaginar o vetor velocidade do vetor,

tendo assim, um campo de vetores velocidade.





Artigo número: 40

Figura 6 – Intensidade e direção do vendo no Oceano Atlântico.

(Fonte:

A boa representação de um fenômeno, como este acima, depende do uso de equações

vetoriais corretas, que descrevem com certa precisão o que se requer. Com isso, explorando um

pouco mais a capacidade do software, segue alguns exemplos de campos vetoriais que

exemplificam fenômenos naturais.

Em diversas localidades do mundo há a ocorrência de furacões, ficando a cargo dos centros

de estudo, como o Centro Nacional de Furacões dos EUA, disponibilizar dados, o mais rápido

possível, para emitir alertas as regiões (Anton, 2007). Para tal, é necessário considerar algumas

hipóteses que simplificam a plotagem do mesmo.

Tais medidas possibilitam criar um modelo simples de representação de furacões, podendo

então extrair informações desejadas com uma maior facilidade.

CPTEC, Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos.)





Artigo número: 40

Figura 7 – Olho de um Furacão plotado com o comando

.

A opção fieldstrenght=fixed permite um controle mais preciso de como o tamanho dos

vetores desenhados corresponde à força do campo. Caso o leitor deseje explorar mais opções do

comando fieldplot, é necessário na digitar na ajuda no Maple o comando fieldplot.

Outro tipo de aplicabilidade é a descrição da velocidade da corrente num córrego em várias

profundidades, a velocidade de pontos de uma roda em movimento, a força de repulsão de uma

corrente elétrica, a chuva ou a nevasca. Estes estão exibidos abaixo.

Figura 8 – Velocidade da corrente num córrego com .

Percebe-se que quanto mais profundo, a velocidade tende a zero, e quanto menor a

profundidade maior será a velocidade.

Figura 9 – Velocidade de pontos de uma roda em movimento com .

A imagem mostra que no centro da roda a velocidade é nula e a pontos equidistante da

mesma tem o mesmo valor de velocidade.





Artigo número: 40

Figura 10 – Força de repulsão da corrente elétrica com o comando

.

É notável que quanto mais perto da carga, maior será a força de repulsão sobre a mesma.

Agora, utilizando-se da imaginação, o gráfico abaixo propõe uma situação muito comum

como a chuva ou mesmo uma nevasca, sendo cada gota ou cada floco de neve, um vetor

apontando para a direção de queda.

Figura 11 – Campo vetorial que pode expressar chuva ou nevasca usando, por exemplo, o

comando

.

A opção é o estilo das flechas, enquanto que a opção é

quantos vetores você quer visualizar nas variáveis , no caso quatro vetores. Para mais

detalhes, digite no Maple ?fieldplot3d.





Artigo número: 40

Curvas Espaciais

O Maple se mostra muito eficaz na obtenção do gráfico de curvas espaciais. Para tal

operação pensa-se em uma partícula se movendo pelo espaço durante um intervalo de tempo ,

tendo como coordenadas da partícula as funções definidas sobre :

(1)

Os pontos formam uma curva no espaço que é a

trajetória da partícula. As equações acima são chamadas parametrização da curva espacial.

Para obter o gráfico de uma curva espacial pode-se recorrer ao Tutorial seguindo as

instruções: Ferramentas – Tutoriais – Cálculo Vetorial – Curvas Espaciais. Na opção ‘Curvas

Espaciais’ abrirá uma janela.

Figura 12 – Procedimento para plotar uma curva parametrizada.

Coloca-se a parametrização da curva na primeira opção (Space Curve), o intervalo na

segunda (Range), o sistema de coordenadas na terceira opção (Coordinate System), o número de

quadros da animação na quarta opção (Frame) e as opções para complementar o gráfico, como o

vetor normal, por exemplo, na última (Display Options). Os procedimentos para disponibilizar o

gráfico e animá-lo são análogos aos de campos vetoriais.





Artigo número: 40

Figura 13 – Representação da curva parametrizada.

Com isto, teremos o gráfico da curva espacial. A animação do mesmo segue os mesmos

passos descritos anteriormente no tutor de campos vetoriais.





Artigo número: 40

Figura 14 – Animação da curva parametrizada.

Os vetores que aparecem nas animações são o vetor tangente em azul, o vetor normal em

verde e o vetor bi-normal em rosa.

A seguir estão mais alguns exemplos de curvas parametrizadas.

Figura 15 – Curva espacial conhecida como Hélice com parametrização

.

Figura 16 – Curva espacial com parametrização

Para mais informações sobre curvas espaciais, via Maple, digite no mesmo ?SpaceCurve.

.

Integrais de Linha

Quando estudamos fenômenos físicos que são representados por vetores, trocamos

integrais sobre intervalos fechados por integrais sobre caminhos através de campos vetoriais.

Usamos tais integrais para encontrar o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um

objeto ao longo de um caminho. A seguir, a definição clássica de integral de linha.





Artigo número: 40

Segundo Leithold (1994), dado um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa

de parametrização . A integral de linha de ao longo da curva

é:

O Maple apresenta um comando direto para o cálculo de uma integral de linha definida

acima. Para tanto, devemos carregar o pacote

(2)

. O comando é

da forma , onde VectorField é o campo vetorial dado,

dom é o caminho especificado que pode ser Circle (círculo), Line (segmento de reta),

LineSegments (coleção de segmentos de reta) e Path (parametrização), e options são as opções do

referentes a visualização da integral ou mesmo do gráfico da mesma, como será descrito abaixo.

Por exemplo, determine o trabalho feito pelo campo de forças ao se

mover uma partícula ao longo do círculo centrado na origem de raio um, com parametrização

.

Calculando primeiramente a integral de linha da forma feita manualmente pelo aluno,

temos:

Agora, calcula-se o mesmo problema utilizando os recursos oferecidos pelo Maple.

De fato, inicialmente, adicionando a opção , o comando retorna a

representação da integral de linha.

Pode-se agora, adicionar a opção , a qual retorna o gráfico da curva (neste

caso é o círculo), os vetores tangentes e o campo vetorial.





Artigo número: 40

Figura 17 – Campo vetorial no círculo unitário.

Observe que o movimento ao longo da curva descrito pelo vetor tangente é contrário ao do

campo vetorial, logo o trabalho realizado é negativo, porque o campo vetorial impede o

movimento ao longo da curva, o que pode ser constatado com o valor da integral de linha.

Percebe-se que se , o comando mostraria a situação oposta do exemplo

dado, e o movimento da curva descrito pelo vetor tangente é o mesmo do campo vetorial,

mostrando que o trabalho realizado é positivo.

Em seguida, exibiremos o trabalho realizado pela força sobre a

partícula que percorre a curva

a)

dada por:

consiste nos segmentos de reta a e a :

b) é o segmento de reta de a :





Artigo número: 40

c) é dado pela parametrização ;

d) é dado pela elipse de equação ;

Para melhor entender o exemplo a seguir, recorre-se ao conceito de campos conservativos

que segundo Stewart (2006) tem a seguinte definição:

Suponha que seja um campo vetorial contínuo sobre uma região aberta conexa . Se

for independente do caminho em , então é um campo vetorial conservativo, ou

seja, existe uma função tal que .

Este conceito no Maple é denotado pela função scalar potencial. Dado uma função vetorial

basta clicar em cima desta com o botão direito do mouse e ir à opção Scalar Potencial, se após

este procedimento aparecer uma função , então o campo é conservativo, caso contrário, ele

não o é.

A seguir, encontra-se um exemplo do que foi abordado.

Seja o campo vetorial , calcule a função

escalar potencial e a partir do gráfico, deduzir se este é conservativo ou não.

Tem-se que:





Artigo número: 40

(3)

Pode-se notar agora que o campo vetorial é conservativo. Agora, com o auxilio do recurso

gráfico, confirma-se isto.

Figura 18 – Representação de um campo vetorial conservativo.

Uma explicação para comprovar que o campo é conservativo é que cerca de todos os

caminhos fechados, o número e o tamanho dos vetores de campo que apontam em direções

semelhantes aos que o caminho parece ser praticamente o mesmo que o número e tamanho dos

vetores que apontam na direção oposta.

Agora, com este suporte, pode-se ilustrar o egrégio conteúdo de integrais de linha, com um

exemplo de grande relevância que é a Lei Gravitacional de Newton, a qual, segundo Stewart

(2006) estabelece que a amplitude da força gravitacional entre dois objetos com massa e

é:

(4)

Admitindo que o objeto de massa seja a Terra e seu centro seja a origem do . Seja

o vetor de posição do objeto com massa , então . Portanto, a força

gravitacional agindo no objeto em é

(5)





Artigo número: 40

Vamos determinar o trabalho realizado pela força gravitacional quando a terra se move do

afélio (em uma distância máxima em relação ao Sol de km) ao periélio (em uma

distância mínima de km).

Definindo as constantes:

Para simplificar o problema, recorre-se ao Teorema Fundamental para as Integrais de Linha,

que segundo Stewart (2006) se caracteriza da seguinte forma:

Seja uma curva lisa pela parametrização , . Seja uma função

diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente é contínuo em . Considere

ainda, então,

(6)

Em seguida, vamos descrever o campo vetorial carregando o pacote

;

(7)

Note que para obter a função potencial (Scalar Potential), basta clicar com o botão direito

sobre a equação () descrita acima.





Artigo número: 40

Deste modo, fixando um sistema de coordenadas, de modo que o Sol esteja na origem do

sistema, note que se é a distância de à origem, então, . Assim,

, tal que

Portanto, o trabalho realizado pelo gravitacional quando a terra se move do afélio ao

periélio é

J

Será abordado neste momento as chamadas Integrais de Escoamento e Circulação, que

segundo Thomas (2003), são calculadas da mesma forma que se calcula as integrais de trabalho.

Aquelas integrais possuem a seguinte definição:

Se é uma curva lisa no domínio de um campo vetorial de velocidade contínuo , o

escoamento ao longo da curva de a

é

(8)

Uma relevante observação é que se a curva é um laço fechado, o escoamento é chamado

de circulação ao redor da curva.

Como exemplo para tal situação, tem-se um campo de velocidade de um fluido

. Calcula-se então, o escoamento ao longo da hélice com parametrização





Artigo número: 40

Análogo ao exemplo inicial deve-se apenas lembrar que para uma hélice, sendo esta neste

exemplo um caminho a se percorrer, a especificação correspondente é Path. Como a forma que

seria feita manual pelo aluno já foi descrita anteriormente, restringiu-se à forma computacional.

Tem-se então:

Modificando o comando para plotar o gráfico tem-se:

Figura 19 – Representação do escoamento ao longo da Hélice em um campo de velocidade de

um fluido.

Já é perceptível, analisando o gráfico, que o resultado desta integral será positivo, pois o

vetor tangente à linha de fluxo está no mesmo sentido do campo de velocidade. Isto será

confirmado a seguir pelo resultado da integral.





Artigo número: 40

Considerações Finais

Para mais detalhes sobre os recursos oferecidos para integrais de linha, é necessário

digitar no Maple ?LineInt.

Percebeu-se neste artigo que o uso do software Maple é grande valia para visualização dos

campos vetoriais, curvas espaciais e integrais de linha, bem como sua interpretação e uso nas

aplicações, não apenas fazendo uso dos comandos tradicionais, mas recorrendo esta nova

alternativa proposta pelo software, denominada tutorial, que de forma rápida e simples esboça os

gráficos almejados.

Notou-se também que foi possível criar um material no qual oferece ao docente e ou ao

discente suporte para incrementar, ajudar e mesmo tornar mais interessante o estudo da

matemática.

A facilidade de manuseio e entendimento ao usar o tutorial de campos vetoriais e curvas

espaciais dá margem a uma nova visão ao se tratar destes conteúdos, pois torna os processos

ágeis e também possibilita a plotagem de gráficos, como observado anteriormente, quase

impossíveis de se esboçar a mão.

É plausível ressaltar que o estudo de integrais de linha em conjunto com este SAC, permite

não só o cálculo da integral de linha, isto é o trabalho realizado de um dado campo vetorial sobre

uma curva, mas, por meio da visualização do campo vetorial, da curva e dos vetores tangentes

sobre a curva pode-se inferir o sinal do trabalho realizado. Isso deixa o estudo deste conteúdo

mais interessante e de fácil compreensão, dando ao aluno uma visão ampla do que está

realmente acontecendo.

Com isto, uma combinação do uso perspicaz do computador com uma matemática de alta

qualidade vem resultando numa mudança do ensino e do aprendizado, fazendo com que os





Artigo número: 40

alunos e docentes deixem de se concentrar na utilização de fórmulas, passando assim para uma

abordagem mais quantitativa, visual e orientada para a execução de seus objetivos. Por um lado,

os experimentos de SAC também evidenciam o computador como um instrumento de observação

e experimentação, que pode se tornar o início de novas pesquisas, além de poder ser usado para

“provar” ou desmentir conjecturas, ou para formalizar relações empíricas que são

frequentemente bastante úteis como orientações de trabalho aos matemáticos e engenheiros.

Por outro lado, mostram-se alguns exemplos de tarefas que os computadores não são

capazes de fazer, a saber, a modelagem e a interpretação de resultados. Assim, usamos o

computador como uma ferramenta de “matemática experimental”, embora seu uso não seja

mandatório, para a investigação e a pesquisa, isto é, na obtenção experimental de resultados

passíveis de demonstração posterior ou capazes de se constituir em valiosas orientações

heurísticas qualitativas para engenheiros e matemáticos, particularmente nos casos de problemas

mais complexos.

Referências

ANTON, Howard et al. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

CPTEC, Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos. Previsão Oceânica. Disponível em:

<http://ondas.cptec.inpe.br/anima_pac.shtml>. Acesso em: 27 jul. 2010.

KREYSIG, Erwin. Matemática Superior para Engenharia. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

LEITHOLD, L. Cálculo Com Geometria Analítica. São Paulo: Editora Harbra Ltda,Vol. 2, 1994 .

MARIANI, Viviana Cocco. Maple: fundamentos e aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2005

STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Learning, 2006.

THOMAS, George B. Cálculo. 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2003.

http://ondas.cptec.inpe.br/anima_pac.shtml�





Artigo número: 40

Tiago Aparecido Perez Vieira. Aluno do curso de Engenharia Ambiental da Universidade Tecnológica

Federal do Paraná – Campus Campo Mourão – PR. [email protected]

Amanda Yoshie Takikawa. Aluna do curso de Engenharia de Alimentos da Universidade Tecnológica

Federal do Paraná – Campus Campo Mourão – PR. [email protected]

Wellington José Corrêa. Professor de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –

Campus Campo Mourão – PR. [email protected]

Adilandri Mércio Lobeiro. Professor de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –

Campus Campo Mourão – PR. [email protected]

Priscila Amara P. de Melo. Professora de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná

– Campus Campo Mourão – PR. [email protected]

mailto:[email protected]�





Desenvolvendo um material didático, com auxílio do software … · software Maple 13para criar um...

Documents

Transcript of Desenvolvendo um material didático, com auxílio do software … · software Maple 13para criar um...