Determinantes - Janildo Da Silva Arantes

7/31/2019 Determinantes - Janildo Da Silva Arantes

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Captulo 1 - Matrizes

1.1 Definio

As matrizes so tabelas de nmeros reais utilizadas em quase todos os ramos da cincia e daengenharia. Vrias operaes realizadas por computadores so atravs de matrizes. Vejamos um exemplo.Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.

Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)Ricardo 70 23 1,70

Jos 60 42 1,60

Joo 55 21 1,65

Pedro 50 18 1,72

Augusto 66 30 1,68

O conjunto ordenado dos nmeros que formam a tabela denominado matriz e cada nmero chamado elemento da matriz.

68,13066

72,11850

65,12155

60,14260

70,12370

ou

68,13066

72,11850

65,12155

60,14260

70,12370

Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (l-se: cinco por trs), isto , uma matriz formada

por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parnteses ou entrecolchetes.

Exemplos:

8

1

6

3

7

2: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)

314 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

5

3

4,0

: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)

1.2 Representao Algbrica

Utilizamos letras maisculas para indicar matrizes genricas e letras minsculas correspondentespara os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:


3/49

*

21

22221

11211

...

nemcom

aaa

aaa

aaa

mnmm

n

n

Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m

aij = ilinha

jcoluna

a42 = 18 (l-se: a quatro dois igual a dezoito)

(na tabela significa a idade de Pedro 18)

Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3ij.

Resoluo: A representao genrica da matriz :

233231

2221

1211

xaa

aa

aa

A

jiaij 3

7233

8133

4223

5123

1213

2113

32

31

22

21

12

11

a

a

a

a

a

a

7

4

1

8

5

2

A

1.3 Matriz Quadrada

Se o nmero de linhas de uma matriz for igual ao nmero de colunas, a matriz dita quadrada.Exemplo:

01

43A uma matriz quadrada de ordem 2

Observaes:1) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que uma matriz

nula.2) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada

diagonal principal. A outra diagonal chamada diagonal secundria.

Resolva:1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que

22 jiaij

Resp.:

181310

1385

1052


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2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por

jise

jisea

ji

ij,0

,1

Resp.:

011

101

110

3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por

jiseji

jisejiaij

,

,

Resp.:

2

1

4

3

3

2

1

2

1.4 Matriz unidade ou matriz identidade

A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e osdemais elementos so iguais a 0, denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se amatriz unidade por In.

Exemplo:

10

012I

100

010

001

3I

1.5 Matriz tranposta

Se A uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtidapela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.

Exemplo:

7

4

1

8

5

2

A a sua transposta

7

8

4

5

1

2t

A

1.6 Igualdade de Matrizes

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elementocorrespondente de B, as matrizes A e B so ditas iguais.

mxnijaA

mxnijbB

32232221

131211

xaaa

aaaA

32232221

131211

xbbb

bbbB


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ijij baBA

Exemplo: Dadas as matrizes

13

5

110

52

yx

yxBeA , calcular x e y para que A =B.

Resoluo:

13:

132233

124103

2

yexSoluo

yyyx

xyx

yx

Resolva:

1) Determine x e y, sabendo que

16

7

3

32

yx

yx

Resp: x = 5 e y = -1

2) Determine a, b, x e y, sabendo que

70

13

2

2

bayx

bayx

Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5


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3) Dada as matrizes

z

xBeyA

84

13

560

215

36

420

, calcule x, y e z para que B = At.

Resp: x = 2 , y = 8 e z = 2

4) Sejam

caBe

aA

b

3

3

2

92

81

1log27

16

1

calcule a, b e c para que A=B.

Resp: a = - 3 , b = c = - 4

1.7 Operaes com matrizes

Adio e Subtrao: a adio e subtrao de duas matrizes do mesmo tipo efetuada somando-seou subtraindo-se os seus elementos correspondentes.

Exemplo:

BAC

2221

1211

2221

1211

2221

1211

bb

bb

aa

aa

cc

cc

52

0cos

31

coscos

21

cos sensenC

52

01C


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Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz A cujos elementos so ossimtricos dos elementos correspondentes de A

Exemplo:

52

01

52

01AA

Propriedades da Adio:

Comutativa: A + B = B + A

Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C

Elemento Neutro: A + 0 = A

Elemento Oposto: A + (-A) = 0


16

03

52

10,

43

12CeBA , calcule:

a)

91

02

52

10

43

12

BA

b)

28

11

16

03

51

20

43

12CBA t


2

4

1

5

2

3

BeA , calcular a matriz X tal que 0 BAX

O segundo membro da equao uma matriz nula de ordem 3 x 1.

Se

3

2

4

2

4

1

5

2

3

0 BAXBAX

Resolva:

1) Dada a matriz

210

432

011

A , obtenha a matriz X tal que tAAX

Resp:

450

561

012

A


8/49

2) Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij 2 e B = (bij)1x3 tal que 1 jibij , calcule A+B.

Resp: 222

3) Ache m, n, p e q, de modo que:

51

87

3

2

qq

nn

pp

mm

Resp: 12,2,5 qepnm

4) Calcule a matriz X, sabendo que BAXeBA T

2

3

0

1

2

5,

3

0

2

4

1

1

Resp:

1

0

4

1

2

4


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Multiplicao de um nmero real por uma matriz:

Para multiplicar um nmero real por uma matriz multiplicamos o nmero por todos os elementosda matriz, e o resultado uma matriz do mesmo tipo.

A = (aij)

K = nmero real

K por A

B = (bij), onde, bij = K.aiji{1, 2, ... , m}

j{1, 2, ... , n}

Exemplo:

1.

450

123A

113

024B

a) 02 BAX

2

2AB

XBAX

563

141.

2

1

450

123

113

024.

2

1X

2/532/3

2/12/2/1X

b) 023 BAX

BAXBAX 2.3

123

9113

262.

3

1

113

024

8100

246.

3

1X

33/111

3/223/2X

Resolva:

1) Para

450

123A

113

024B Resolva 02 BAX


10/49

Resp:

9113

262

2) Para

450

123A

113

024B Resolva BA

X 2

3

Resp:

27339

6186

3) Resolva o sistema

BAYX

BAYX

2 , sendo

5

1

2

3

BeA .

Resp:

62

5

32

9YeX

Multiplicao de Matrizes

No uma operao to simples como as anteriores; no basta multiplicar os elementoscorrespondentes. Vejamos a seguinte situao.

Durante a 1 fase da Copa do Mundo de 1998 (Frana), o grupo do Brasil era formado tambm pelaesccia, Marrocos e Noruega. Os resultados esto registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3.

Pas Vitria Empate Derrota

Brasil 2 0 1

Esccia 0 1 2


11/49

Marrocos 1 1 1

Noruega 1 2 0

Ento:

0

1

2

1

2

1

1

0

1

1

0

2

A

A pontuao pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1

Nmero de Pontos

Vitria 3

Empate 1

Derrota 0

Ento:

0

1

3

B

Terminada a 1 fase a pontuao obtida com o total de pontos feitos por cada pas. Essapontuao pode ser registrada numa matriz que representada por AB (produto de A por B).Veja como obtida a classificao:

5001231:

4011131:cos

1021130:

6011032:

Noruega

Marro

Esccia

Brasil

5

4

1

6

AB

Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicao de matrizes. Observe a relao que existeentre as ordens das matrizes:

141334 xxx ABBA

Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o nmero de colunas de A for igualao de linhas de B; alm disso, notamos que o produto AB possui o nmero de linhas de A e o nmero decolunas de B.

pmpnnm ABBA

Exemplo 1:

32232

121

x

A

e

2312

41

32

x

B

A matriz existe se n = p ( o nmero de coluna de A igual o nmero de linha da B.)


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1.24.33.22.21.32.2

1.1423.12.11.22.1C

22203

102

x

C

Exemplo 2:Dada as matrizes:

12

01A

10

12B

20

02C

Calcule:

a) A.B =

34

12

1204

0102

10

12.

12

01

b)

B.A =

12

14

1020

1022

12

01

.10

12

c) A.C =

24

02

2004

0002

20

02.

12

01

d) C.A =

24

02

2040

0002

12

01.

20

02

Observao: 1Propriedade Comutativa A.B=B.A, no valida na multiplicao de matrizes.

Exemplo 3:

11

11A

11

11B

Calcule:

A.B =

00

00

1111

1111

11

11.

11

11

Observao: Se A e B so matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), no podemos garantir que umadelas (A ou B) seja nula.

Exemplo 4:

041

011

021

A

222

111

321

B

111

111

321

C


13/49

a) A.B =

043042041

013012011

023022021

222

111

321

.

041

011

021

723

232

143

.BA

b) A.C =

043042041

013012011

023022021

111

111

321

.

041

011

021

723

232

143

.CA

Observao: A.B = A.C , B C.na lgebra a.b = a.c b = c

3 Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes no vlido.

Propriedades:

- Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C

- Associativa: A.(B.C) = (A.B).C

- Elemento neutro: A.In = A

Resolva:1) Efetue:

a)

2

3

41

35

Resp:

11

21


14/49

b)

3

0

2

531

Resp: [17]

c)

30

12

41

25

Resp:

132

110

2) Dada a matriz

100

001

012

A , calcule A2.

Resp:

100

012

023


15/49

3) Sabendo que

11

02

10

21NeM , calcule MN-NM.

Resp:

20

22

Matriz Transposta

Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se A t) a matriz n x mcujas linhas so ordenadamente, as colunas de A.

Exemplos

6

2

0

1

10

3

6

1

2

10

0

3

22

02

20

22

t

t

AA

AA

Propriedades da Transposta:

tt BABA AA tt tt AKAK .. (K real) ttt BABA


16/49

ttt ABBA .. ( no produto de A.B, inverte a ordem)Resolva:

1) Sendo A =

43

21e B =

21

02, mostre que ttt ABBA .. .

Matriz simtrica

Quando A = At dizemos que A matriz simtrica.

Exemplo:

985

843

532

985

843

532tAA

Matriz anti-simtrica

Quando A = - At dizemos que A matriz anti-simtrica.

Exemplo:

085

804

540

085

804

540tAA

Matriz Inversa

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X uma matriz tal que AX = In e XA = In, entoX denominada matriz inversa de A e indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A,dizemos que A uma matriz inversvel ou no-singular.


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Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A =

32

85.

Resoluo: Pela definio temos,

10

01

3232

8585

10

01

32

85

dbca

dbca

dc

ba

Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas,

23032

185

cea

ca

ca

58132

085

deb

db

db

Ento X =

52

83, para AX = I2.

A seguir verificamos se XA = I2.

10

01

32

85

52

83

OK

10

01

3.58.22.55.2

3.88.32.85.3

Ento

52

83 a matriz inversa de

32

85.

A-1 =

5283

1) Determine a inversa das matrizes:

a)

01

43A


18/49

Resp:

4

3

4

110

b)

021

131

001

B


19/49

Resp:

2

31

2

1 2

10

2

1001

Equaes matriciais do tipo AX = B ou XA = B, para A inversvel.

Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que AX = B, vamos demonstrar que X = A-1B.

BAX

BAIX

BAXAA

BAAXA

BAX

1

1

11

11

O mesmo tambm vlido para 1 BAXBXA

1) Sabendo que

13

52

01

01BeA

a) verifique se

11

011A

b) determine X tal que AX = B


20/49

Resp: a) sim b)

45

52X

No deixe de resolver a lista de exerccios de matrizes!!!

Lista de Exerccios de Matrizes

1. Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por:

jij

jiaij

se1i

se2

2

ji

Resposta:

789

3234

1681

2. Sendo

534

201

321

M ,

100

010

001

N e

023

102

110

P , calcule:

a) NP + Mb) 2M3NPc) N2(MP)

Resposta: a)

65-7

3-11

232

b)

78-11

5-3-0

551-

c)

9-10-14-

612-

4-6-1-

3. Calcule a matriz X, sabendo que

34

01

21

A ,

202

315B e BAX t .

Resposta:

1-1-

02

4-4

X

4. Dadas as matrizes

a

aA

0

0e

1

1

b

bB , determine a e b, de modo que AB = I, em que I a

matriz identidade.


21/49

Resposta:a = 1 e b = 0


30

21A e

02

31B . Calcule:

a) Ab) Ac) ABd)

A + 3B

Resposta: a)

90

8-1b)

270

26-1c)

018

3-15d)

96

17-4


13

21A e

34

12B , calculeAB + tB

Resposta:

39

118

7. Resolva a equao:

1122

3211

1

2

1

32

yx

yx

y

x.

yx

x

Resposta: V = {(2,3),(2,-3)}

8. Sendo

20

03A ,

53

12P e

b

aB

75

10

13

1, determine os valores de a e b, tais que

1 P.A.PB .

Resposta:a = 24 e b = -11

9. Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2:

0

00

00

0

0

00

zy

yz

zx

yxx.

x

Resposta:x = 0,y = 0 ez = 0 oux = 3,y = 6,z = 9

10.

Dada a matriz 22xijaA , tal que

se

se

2

jijcos

jiisen

aij , determine:

a) tA b) Ac) 1A

Resposta: a)

01

11b)

11

10c)

11

10

Testes:


22/49

11. A uma matriz m x n e B uma matriz m xp. A afirmao falsa :a) A + B existe se, e somente se, n = p.b) tAA implica m = nc) A.B existe se, e somente se, n = pd) tB.A existe se, e somente se, n = p.e) B.At sempre existe.

Resposta: letra C

12. Seja ijaA a matriz real quadrada de ordem 2, definida por

jii

jia

ji

ijpara1

para2

2. Ento:

a)

55

82A b)

65

82A c)

58

42A d)

52

82A e) n.d.a.

Resposta: letra A


31

02A e

13

212

B , ento a matriz -2AB igual a:

a)

714

28b)

714

28c)

714

28d)

714

28e)

714

28

Resposta: letra E

14. Considere as matrizes: ijaA , 4 x 7 onde jiaij

ijbB , 7 x 9 onde ibij

ijcC , tal que C = AB.

O elemento 63C :a) -112.b) -18.c) -9.d) 112.e) no existe.

Resposta: letra E


00

11A e

10

10B , para A.B temos:

a)

00

10

b)

00

00

c)

10

10

d)

00

20

e)

1

1

Resposta: letra B

16. O produto M.N da matriz

1

1

1

M pela matriz 111N ;

a) no se define.b) a matriz identidade de ordem 3


23/49

c) uma matriz de uma linha e uma coluna.d) uma matriz quadrada de ordem 3.e) No uma matriz quadrada.

Resposta: letra D

17. A inversa da matriz

11

34:

a)

113

1

4

1

b)

41

31c) Inexistente. d)

113

1

4

1

e)

11

34

Resposta: letra B

18. Se

3

9

21

12

y

x. , ento:

a) x = 5 ey = -7b) x = -7 ey = -5c)

x = -5 ey = -7d) x = -7 ey = 5

e) x = 7 ey = -5Resposta: letra B

19. Sendo

42

71A e

04

13B , ento a matriz X, tal que

3

2

2

BXAX

, igual a:

a)

73

41b)

80

97c)

94

21d)

1210

179e)

129

87

Resposta: letra D

20. Se A e B so matrizes tais que:

x

A 12

e

1

21

B , ento a matriz B.AY t ser nula para:

a) x = 0b) x = -1c) x = -2d) x = -3e) x = -4

Resposta: letra E

21. A Matriz

1

1

x

x, na qualx um nmero real, inversvel se, e somente se:

a) 0x b) 1x c)2

1x d)

2

1e

2

1 xx e) 1e1 xx

Resposta: letra E

22. A soluo da equao matricial

3

2

1

101

210

121

z

y

x

. a matriz:


24/49

a)

1

2

3

b)

0

2

3

c)

2

0

3

d)

0

3

2

e)

3

0

2

Resposta: letra B

23.

Considere as seguintes matrizes:

45

100

734 xx

A ,

22

05

43

B ,

11

1

x

xx

C e

41

510

100

D . O valor dex para que se tenha: A + BC = D :

a) 1b) -1c) 2d) -2

Resposta: letra C

24. As matrizes abaixo comutam,

2a

aae

33

30. O valor de a :

a) 1b) 0c) 2d) -1e) 3

Resposta: letra A


25/49

Captulo 2 - Determinantes

2.1 Definio

Determinante um nmero real que se associa a uma matriz quadrada.

2.2 Determinate de uma matriz quadrada de 2 ordem

Dada a matriz de 2 ordem 11 1221 22

a aAa a

, chama-se determinante associado a matriz A (ou

determinante de 2 ordem) o nmero real obtido pela diferena entre o produto dos elementos da diagonalprincipal e o produto dos elementos da diagonal secundria.

Ento, determinante de 11 22 12 21A a a a a

Indica-se 11 12 11 22 12 2121 22

deta a

A A a a a aa a

Observao: Dada a matriz A de ordem 1, define-se como determinante de A o seu prprioelemento, isto :

11det A A a

Exemplo:22

13

42

x

1224.31.2det A

10det A

Resolva:

1) Resolva a equao:3 2

01 5

x

x

Resp:17

3S

2) Resolva a equao: 011

53

x

x


26/49

Resp: 4,2S

3) Resolva a inequao: 32

xx

x

Resp: 23| xouxRxS

4) Sendo

02

31

20

31BeA , calcule det(AB).


27/49

Resp: -12

2.3 Menor Complementar

O menor complementar ijD do elemento ija da matriz quadrada A, o determinante que se

obtm de A, eliminandose dela a linha i e a coluna j, ou seja, eliminando a linha e a coluna quecontm o elemento ija considerado.

Exemplo:

Dada a matriz

125

410

312

A , calcular D11, D12, D13, D21, e D32.

Resoluo:

98112

4111

D 20

15

4012 D 5

25

1013

D

56112

3121

D 8

40

3232 D

2.4 Cofator

Consideremos a matriz quadrada de 3 ordem A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

Chama-se Cofator do elemento ija da matriz quadrada o nmero real que se obtm multiplicando-

se ji1 pelo menor complementar de ija e que representado por ijji

ij DA .1 .

Exemplo: Dada a matriz

873

204

213

A , calcular:

a) A11 b) A13 c) A32

1414187

201

11

11

A

2828173

041

31

13

A

1486124

231

23

32

A

Resolva: Dada a matriz

172

543

210

A determine A13 , A21 , A32 e A33.


28/49

Resp: A13 = 29, A21 = 15, A32 = 6 e A33 = 3.

2.5 Definio de Laplace

O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem 2n o nmero que se obtm pelasoma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.Exemplo:

Sendo

341

025

132

A uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A a partir de determinantes de

ordem 2 e da definio de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira linha temos:

1518451218115362

41

2511

31

0513

34

0212

det

312111

131312121111

AaAaAaA

Observao: Para se aplicar esse mtodo melhor escolher a linha ou coluna que tiver o maior nmero de

zeros.

Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definio de Laplace:

a)

301

430

112

A


29/49

Resp: det A = 11

b)

126

540

312

A

Resp: det A = -74

2.6 Regra de Sarrus (regra prtica para calcular determinantes de ordem 3)

Seja a matriz

124

012

321

, repetimos as duas primeiras colunas direita e efetuamos as seis

multiplicaes em diagonal. Os produtos obtidos na direo da diagonal principal permanecem com omesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal secundria mudam de sinal. O determinante a soma dos

valores obtidos.

340121201

122201)413(223402)111(det

24124

12012

21321

124

012

321

A

Resolva:


30/49

a) Calcule o determinante da matriz

341

025

132

A

Resp: det A = 15

b) Resolva a equao 0

423

121

53

x

x

Resp:4

23x


31/49

c) Dada as matrizes

121

32

011

93

2xBe

xA , determine x para que det A = det B

Resp:2

13x

d) Resolva a equao 0

44

4

x

xx

xxx

Resp: 40,S


32/49

e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que:

jise,ji

jise,ji

jise,

mij

0

. Ache o valor do

determinante de M.

Resp: 48

f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P a matriz

220

112

112

P

Resp: 64


33/49

2.7 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n>3

Seja a matriz quadrada de ordem 4 A =

6230

1251

3124

0132

, vamos calcular o determinante de A. Para

tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, at chegarmos a um determinate de 3 ordem, e depoisempregaremos a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinate acima, segundo os elementos da 1

linha, temos:

)(AaAaAaAaAdet 11414131312121111

34172

623

125

312

1211

1111

)(Aa

132443

620

121314

1321

1212

)(Aa

1111111

630

151

324

1131

1313

)(Aa

0

230

251

124

1041

1414

)(Aa

Substituindo em (1) temos: 1311113234 Adet

Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1 linha.

1231

1251

4134

1312

Resp: -180


34/49

2.8 Propriedade dos Determinantes

1 propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a

zero, seu determinante ser nulo, isto , det A = 0.

Exemplo: 00483

1

03

10

480

2 propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz

quadrada A forem iguais, seu determinante ser nulo, isto , det A = 0

Exemplo: 0455454

54

3 propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu

determinante ser nulo, isto , det A = 0

Exemplo: 097213219

73

4 propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada so

multiplicados por um mesmo nmero real k, ento seu determinante fica multiplicado por k.

Exemplo: 329477202774593794

537

32914018943592194

3521

5 propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n multiplicada por um nmero real k, o seu

determinante fica multiplicado por kn, isto : nn

n Adetk)kAdet(

Exemplo:

7517520037552510

20155

781552

43

2

AdetA

AdetA

6 propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A igual ao determinante de sua transposta, isto, det A = det At.

Exemplo:

db

caAe

dc

baA

t

bcdaAdetecbdaAdet t


35/49

7 propriedade: Se trocarmos de posio entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o

determinante da nova matriz obtida o oposto do determinante da matriz anterior.

Exemplo: 19500610015

522

035

121

AdetA

19150106050

522

053112

AdetA

8 propriedade: O determinante de uma matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal

principal.

Exemplo: 40425

413

021

005

AdetA

9 propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, ento

BdetAdetABdet (teorema de Binet)

Exemplo:

61378423663

146

41030

8660

643

2013103

15

23

ABdetAB

BdetBAdetA

10 propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou

coluna) pelo mesmo nmero e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou

coluna), formando uma matriz B, ento det A=det B (Teorema de Jacobi).

Exemplo: 1120994

51

AdetA

Multiplicando a 1 linha por -2 e somando os resultados 2 linha obtemos:

1110112

51

AdetA


36/49

Exerccios de Reviso:


12

01A e

31

20B , calcule:

a) det (A)b)

det (B)

c) det (A + B) resp: a) 1 b) 4 c) 182. (FaapSP) Resolva a inequao 14

24

3

x

xx.

Resp: 71 x|Rx

3. Determine a soluo da equao 02

83

x

xResp: {-2,2}

4. Sendo

3121A e

1210B , d o valor de:

a) det (A). det(B)b) det (A.B) Resp: a) -10 b) -10

5. Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que:

jise1

ejise,

jise1,

ij Rkka . Calcule k, de

modo que o determinante da matriz A seja nulo. Resp: k= 0

6. (UFPR) Considere as matrizes

xzy

xyz

zyx

A e

xzyz

zxyxB e

42

64C . Sabendo

que a matriz B igual matriz C. Calcule o determinante da matriz A.

Resp: 72

7. Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo

3

2

1

A , 532B e

413

012

201

C . Resp: zero


37/49

Teste:

1. (UELPR) A soma dos determinantesab

ba

ab

ba igual a zero.

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.b) se e somente se a = b.c)

se e somente se a = - b.

d) se e somente se a = 0.e) se e somente se a = b = 1.Resp: a)

2. (FMUSP) O determinante da matriz

xx

xx

sen2cos2

cossen igual a:

a) sen 2x b) 2 c) -2 d) 2 senx e) cos 2xResp: b)

3. (MackSP) A soluo da equao 002/13/2

51

321

x

a) 1 b) 58 c) -58 d) 967 e) 2Resp: d)

4. (Mack SP) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = ji, o determinante damatriz A :

a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4Resp: d)

5. (FatecSP) Determine x, de modo que 094

32

111

2

x

x .

a) x < -3 oux > 2 b) -3


38/49

6. (PUCRS) A equao 120

114

312

nn

n tem como conjunto verdade:

a) {-6, 2} b) {-2, 6} c) {2, 6} d) {-6, 6} e) {-2, 2}

Resp: b)

7. (PUCSP) O determinante da matriz

0412

5632

3221

1111

vale:

a) -3 b) 6 c) 0 d) 1 e) -1Resp: a)

8. (FGVSP) Seja a a raiz da equao 162000

302

211

000

x

x

x

; ento o valor de a :

a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64Resp: b)

9. (PUCRS) A soluo da equaox

x

x

x

213

132

321

2

92:

a) {-11, 5} b) {-6, 3} c) {0, 3} d) {0, 6} e) {5, 11}Resp: {0,3}


39/49


40/49

BIBLIOGRAFIA:

DANTE, L. R. Matemtica: Contexto e Aplicaes. So Paulo: Editora tica, 1999.

GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemtica Fundamental. So Paulo: EditoraFTD Ltda, 1994.

LEITHOLD, L. Matemtica Aplicada Economia e Administrao. So Paulo: Editora Harbra Ltda,

1988.

MEDEIROS, Matemtica Bsica para Cursos Superiores. So Paulo: Editora Atlas S.A., 2002.

WEBER, J. E. Matemtica para Economia e Administrao. So Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed. 1986.

COLGIO PEDRO IIUNIDADE SO CRISTVO III PROF. WALTER TADEU

NOME: GABARITO

DATA: 24 DE MARO DE 2008 TURMA: 2 SRIE

ATENO: Este teste pode ser realizado em grupo com at 5 alunos. O objetivo que vocs possam discutir, entresi, possibilidades de resoluo, dirimir dvidas que ainda possuam e que individualmente no foi possvel.Participem o mximo que puderem. No desperdicem a chance de aprender com o colega. De alguma forma,mostrem sempre o desenvolvimento ou argumento na soluo. Boa sorte!

TESTE SOBRE MATRIZESVALENDO 1,0 PONTO

01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.

Se a matrix 2x2 ento os valores de i e j variam de 1 a 2. Calculando os valores,temos:

A11 = 3 x 1 1 = 2

A12 = 3 x 1 2 = 1

A21

= 3 x 2 1 = 5

A22 = 3 x 2 2 = 4

02. Se A uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, de formaque A = 2 . At.

Temos as equaes:

A = e 2 x AT = a = 2a; b = 2c; c = 2b e d = 2d.

2 1

5 4

a b

c d

2a 2c

2b 2d


41/49

Nessas condies s existe soluo se:

a = b = c = d = 0. Logo A a matriz nula.

03. Se uma matriz quadrada A tal que A t = -A, ela chamada matriz anti-simtrica.Sabe-se que M anti-simtrica e:

Se M anti-simtrica, ento:

=

SOLUO: a12 = 4; a13 = 2 e a23 = -404. Na confeco de trs modelos de camisas (A, B e C) so usados botes grandes (G) epequenos (p). O nmero de botes por modelos dado pela tabela:

Camisa A Camisa B Camisa C

Botes p 3 1 3

Botes G 6 5 5

O nmero de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, dadopela tabela:

Maio JunhoCamisa A 100 50

Camisa B 50 100

Camisa C 50 50

Nestas condies, obter a tabela que d o total de botes usados em maio e junho.

SOLUO: O problema se resume na multiplicao das matrizes:

X =

Maio Junho

Botes p 500 400

4+a a b

a12 b+2 c

a13 a23 2c-8

-4-a -a12 -a13

-a -b-2 -a23

-b -c -2c+8

1) 4+a = -4 a. Logo 2a = -8 indicando a = -4.

2) a12 = -a. Logo a12 = 4.

3) b+2 = -b -2. Logo 2b = -4 indicando b = -2.

4)a13 = b. Logo a13 = 2.

5) 2c-8 = -2c+8. Logo 4c=16 indicando c = 4 = -a23.

3 1 3

6 5 5

100 50

50 100

50 50

500 400

1100 1050


42/49

Botes G 1100 1050

05. Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij =j.i e B = (bij)3x4, bij =j.i . Seja C a matrizresultante do produto entre A e B. Calcule elemento c23 da matriz C.

Cada elemento calculado pelo produto de sua linha e coluna. Temos:

A X B= X

SOLUO: c23 = 2x3 + 4x6 + 6x9 = 6 + 24 + 54 = 84.

Websitegrafia:Tuna, Prof. Dr. Celso Eduardo. Apostila de Matrizes,

Determinantes e Sistemas. 1 Edio. 2008.

Anexos: Resoluo de alguns exerccios da prova:

1 2 3

2 4 6

3 6 9

4 8 12

1 2 3 4

2 4 6 8

3 6 9 12

No necessrio encontrartodos os resultados. Bastaprocurar o elemento c23 damatriz C que calculado pelaoperao da 2 linha de A com a3 coluna de B.


43/49

15. (Fei 94) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversveis:

X = adbc

Y = -6ad + 6bc

x/y = (adbc)/( -6ad + 6bc)

x/y = (adbc)/6(-ad + bc)

x/y = (adbc)/(-1)6(ad - bc)

x/y = -1/6

podemos afirmar que x/y vale:

a) -12

b) 12

c) 36


44/49

d) -36

e) -1/6 ~~~Resposta


45/49

11. (Unitau 95) O valor do determinante

como produto de 3 fatores :

abc + ab + abab -baac =

abc + ab + abab -baac =

Eliminando os opostos (em negrito)

abc + ab -baac =

Colocando o a em evidncia:

a(bc + ab -bac) =

Como:

(bc + ab -bac) = a(b-c) + b (c - b)

(bc + ab -bac) = a(b-c) - b (b-c)

(bc + ab -bac) = (a+b)(b-c)


46/49

Dessa forma:

abc + ab -baac = a*(a+b)*(b-c)

a) abc.

b) a (b+c) c.

c) a (a-b) (b-c).~~~> Resposta

d) (a+c) (a-b) c.

e) (a+b) (b+c) (a+c).

(FUVEST-SP) Carlos e sua irm Andria foram com seu cachorro Bidu farmcia de seu av. L,encontraram uma velha balana com defeito, que s indicavam corretamente pesos superiores a 60 kg.

Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

-Carlos e o co pesam juntos 87 kg;

-Carlos e Andreia pesam juntos 123kg;

-Andreia e Bidu pesam juntos 66 kg.

Determine o peso de Carlos, Andreia e do cachorro Bidu.

RESOLUO


47/49

Vamos pensar da seguinte forma

x = Andria, y = Bidu (co) e z = Carlos

Ento temos:

z + y = 87 (1)

z + x = 123 (2)

x + y = 66 (3)

(2) - (1) = (4)

(z + x) - (z + y) = 123 - 87

x - y = 36 (4)

(4) + (3) = (x - y) + (x + y) = 36 - 66

2x = 36 - 66

x = (36 - 66)/2

x = 51

x + y = 66

51 + y = 66y = 66 -51

y = 15

z + y = 87

z + 15 = 87

z = 87 -15

z = 72

Andria pesa 51 Kg, Carlos pesa 72 Kg e Bidu pesa 15 Kg

2)Por ocasio do natal, uma empresa gratificar seus funcionrios com um certo numero de cdulas de 50reais. Se cada funcionrio receber 8 cdulas sobraro 45 delas, se cada um receber 11 cdulas, faltaro 27.O montante a ser distribudo qual ser?


48/49

Suponhamos que existam x funcionrios nessa empresa para receber este prmio.Se cada funcionrio receber 8 cdulas, ento 8x representa o total de cdulas distribudas aos funcionrios.Mas desta distribuio o problema diz que sobram 45 cdulas.Ento podemos concluir que o nmero total de cdulas :

8x + 45 (I)

Se cada funcionrio, por sua vez, receber 11 cdulas, ento 11x representa o total de cdulas distribudas

aos funcionrios.Mas desta distribuio o problema diz que faltam 27 cdulas.Ento podemos concluir que o nmero total de cdulas :

11x27 (II)

Igualando as expresses (I) e (II) temos:

8x + 45 = 11x27

45 + 27 = 11x8x

72 = 3x

x = 72/3

Resolvendo a equao temos que x = 24. Para descobrir o nmero de cdulas basta substituir o valor de xna equao (I) ou (II).

8x + 45 = 8.24 + 45 = 192 + 45 = 237 cdulas.

Montante = 237 x R$ 50,00 = R$ 11.850

QSL?

3) Perguntado sobre a idade de seu filho Jnior, Jos respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada idade de Jnior igual a 47 anos; e quando somada idade de Maria igual a 78 anos. As idades deMaria e Jnior somam 39 anos." Qual a idade de Jnior?

a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos

Minha idade: x.Idade de Jnior: y.

Idade de Maria: z.

Montagem do sistema:

"Minha idade somada idade de Jnior igual a 47 anos...": x + y = 47."...(minha idade) somada idade de Maria igual a 78 anos.": x + z = 78."...As idades de Maria e Jnior somam 39 anos.": z + y = 39.

x + y = 47 (I)x + z = 78 (II)


49/49

z + y = 39 (III)

H vrias maneiras de resolver o sistema acima. Creio que a mais rpida somar e subtrair as equaesat que reste uma s varivel. Comecemos por subtrair (I) de (II) e repetir (III):

x + y = 47 (I)x + z = 78 (II)z + y = 39 (III)

(x - x) + (z - y) = (78 - 47)z + y = 39

z - y = 31 (IV)z + y = 39 (III)

Agora, soma-se (IV) com (III):

(z + z) + (- y + y) = (31 + 39)

2z = 70z = 35 (V) (Idade de Maria)

Substituindo (V) em (III), temos:

z + y = 39

35 + y = 39

y = 4 (VI) (Idade de Jnior)

Substituindo (VI) em (I), temos:

x + y = 47

x + 4 = 47

x = 43 (VII) (Minha idade)

Resposta: A idade de Jnior 4 anos.

Determinantes - Janildo Da Silva Arantes

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