02/06/13 Diagrama de Venn – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Diagrama de Venn onde se mostra a

interseção das letras dos alfabetos

Grego, Latino e Russo.

Diagrama de Venn

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática parasimbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos esua teoria.

Os respetivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre umplano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações depertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∈ {3,4,5}, mas 4 ∉{1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo,{1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}) . Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaçointerno da outra simbolizam conjuntos que possuem continência; ao passo que o pontointerno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.

Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a suainterseção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjuntoindistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizandodesenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar dematemática.

Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los paraum número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W.F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entreos quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Índice

1 História2 Diagramas

2.1 Dois conjuntos

2.2 Três conjuntos3 Extensões para mais conjuntos

3.1 Construção de Venn3.2 Construção de Edwards

3.3 Representações com mais dimensões4 Diagramas similares

4.1 Diagramas de Euler4.2 Diagrama de Johnston4.3 Mapa de Karnaugh4.4 Diagrama de Peirce

4.5 Diagrama de Venn na representação de Circuitos Digitais5 Referências6 Ver também7 Ligações externas

7.1 Ferramentas para fazer diagramas de Venn

História

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Vitral no refeitório do Caius

College, Universidade de

Cambridge, em homenagem a

Venn e a seus diagramas.

Os diagramas adotam o nome do seu criador John Venn, matemático e filósofo britânico do século XIX. Foi estudante e maistarde professor no Caius College da Universidade de Cambridge, onde viria a desenvolvertoda sua obra teórica.

Venn introduziu os diagramas em um trabalho de lógica formal publicado em Julho de 1880 naPhilosophical Magazine and Journal of Science, intitulado Da representação mecânica ediagramática de proposições e raciocínios.

Embora a primeira forma de representação geométrica de silogismos seja frequentementeatribuída a Leibniz, e tenha sido retomada já durante o século XIX pelos matemáticos GeorgeBoole e Augustus De Morgan, o método de Venn superava os sistemas anteriores em termosde clareza e simplicidade, ao ponto de ser aceite como método padrão ao fim de algum tempo.Venn foi o primeiro a formalizar o seu uso e a dotá-lo de um mecanismo de generalização.

O próprio Venn não se referia aos diagramas como sendo da sua autoria, mas sim comocírculos eulerianos, fazendo referência aos diagramas criados por Leonhard Euler no séculoXVIII. No parágrafo introdutório do seu artigo, Venn afirma:

Esquemas de representação diagramática tem sido tão familiarmente introduzidos nostratados de lógica durante o último século que se pode supor que muito leitores, mesmoaqueles que não fizeram qualquer estudo profissional de lógica, possam ter familiaridadecom a noção geral de tais objetos. Dentre tais esquemas, apenas um - aquelecomummente chamado 'círculos eulerianos', encontrou aceitação geral... (traduçãolivre)

Mais tarde, Venn desenvolveu o método no livro Lógica simbólica, publicado em 1881 como objetivo de interpretar e corrigir os trabalhos de Boole no campo da lógica formal. Em 1889, publicou uma nova expansão deseu trabalho, com o livro Princípios da lógica empírica. A primeira referência escrita conhecida do termo Diagrama de Vennsurge apenas em 1918, no livro de Clarence Irving Lewis, A Survey of Symbolic Logic.

No século XX, os diagramas de conjuntos passaram por novos desenvolvimentos. D. W. Henderson demonstrou em 1963 que aexistência de um diagrama de Venn para N conjuntos com N eixos de simetria implica que N deve ser um número primo.Também demonstrou que tais diagramas simétricos existem quando N é 5 ou 7. Em 2002, Peter Hamburger encontrou diagramassimétricos para N = 11 e, em 2003, Griggs, Killian e Savage mostraram que diagramas simétricos existem para todos os outrosprimos.

A partir da década de 1960, os diagramas de Venn foram introduzidos no ensino escolar de matemática, na aprendizagem dateoria dos conjuntos e de funções, como parte do movimento da Matemática Moderna. Desde então, seu uso foi amplamentedifundido, em áreas tão distintas como a compreensão de textos.

Diagramas

Os diagramas de Venn são feitos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa,simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o "princípio desses diagramas é queclasses [ou conjuntos] sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre asclasses possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre asclasses, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia".

Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja uma coleção de curvas fechadas

simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções , onde cada é o interior ou o exterior de , é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se

intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito depontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.

Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em umenunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamenteinseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de umconjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível-- ver paradoxo de Russell). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll

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Conjuntos A e B.

Dois conjuntos

Considere-se o seguinte exemplo à direita: suponha-se que o conjunto A (círculo amarelo)representa os animais bípedes e o conjunto B (círculo azul) representa os animais capazes devoar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por interseção A e B ouinterseção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenasduas pernas motoras.

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado emalguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculolaranja, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo azul, já que ambos são bípedesmas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representadosdentro do círculo azul e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na interseção A-B, já que sãobípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado porpontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cadacírculo que pertence a ambos os círculos (i.e. onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em umcírculo ou no outro):

Animais que possuem duas pernas e não voam (laranja sem sobreposição)Animais que voam e não possuem duas pernas (azul sem sobreposição)Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição)

Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco)

Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de Bpara A, interseção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintesáreas vermelhas no diagrama:

Diferençade A para B:

Diferençade B para A:

Interseção de doisconjuntos:

Complementarde dois conjuntos:

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre osanimais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Jáos animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferençasimétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

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União de doisconjuntos:

Diferença simétricade dois conjuntos:

Complementarde A em U:

Complementarde B em U:

Três conjuntos

Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas (primeira imagem aseguir), que podem combinar-se de 256 (2 ) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

Diagrama de Vennmostrando todas asinterseções possíveisentre A, B e C.

União de três conjuntos:

Interseção de trêsconjuntos:

Extensões para mais conjuntos

Para representar quatro ou mais conjuntos, torna-se difícil fazer uma figura simples e simétrica que mostre todas as possibilidadesde interseção. É fácil perceber que não é possível faze-lo apenas com círculos, sendo necessário recorrer a outras formas derepresentação gráfica.

Construção de Venn

Ao longo da sua vida, Venn procurou encontrar formas de diagramas capazes de representar mais do que três conjuntos, a que sereferia como "figuras simétricas ... elegantes por si só" . A sua primeira representação para quatro conjuntos foi a interseção deelipses com base no diagrama de três círculos. . Desenvolveu também um método geral para qualquer número de conjuntos, emque cada curva sucessiva delimita um conjunto que perpassa todos os outros.

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O diagrama acima com quatro círculos

não é um diagrama de Venn, porquenem todas as regiões possíveis sãorepresentadas. Por exemplo, não háuma região em que apenas o círculoazul e o amarelo se intersetem.

Construção de Venn para representarquatro conjuntos com quatro elipses.

Diagrama de Venn para cincoconjuntos usando elipses congruentesem um arranjo radialmente simétrico,desenvolvido por Branko Grünbaum.A legenda foi simplificada paramelhorar a legibilidade. Por exemplo,

A denota A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E

(ou A ∩ ~B ∩ ~C ∩ ~D ∩ ~E),

enquanto BCE denota A ∩ B ∩ C

∩ D ∩ E (ou ~A ∩ B ∩ C ∩ ~D ∩

E).

Construção geral de Venn para 4conjuntos

Construção geral de Venn para 5conjuntos

Construção geral de Venn para 6conjuntos

Construção de Edwards

Anthony W. F. Edwards também desenvolveu um método para diagramas de Venn com números arbitrários de conjuntos, usandoprojeção estereográfica. Por exemplo, pode-se representar três conjuntos tomando três hemisférios de uma esfera, em ângulosretos (x=0, y=0 y z=0). Para adicionar um quarto conjunto, pode-se desenhar uma curva similar à junção de uma bola de tênis.Os conjuntos resultantes podem ser projetados novamente sobre o plano para mostrar diagramas de engrenagens, comquantidades cada vez maiores de dentes .

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Diagrama de Edwards para trêsconjuntos.

Diagrama de Edwards para quatroconjuntos.

Diagrama de Edwards para cincoconjuntos.

Diagrama de Edwards para seisconjuntos.

Os diagramas de Edwards são topologicamente equivalentes aos diagramas desenhados por Branko Grünbaum, que se baseiamem polígonos intersetados, com quantidades crescentes de lados . Phillip Smith montou diagramas similares para n conjuntos,usando curvas senoidais em equações da forma y=sin(2 x)/2 , 0 ≤i ≤n-2 .

Representações com mais dimensões

Outra maneira de representar diagramas usando computadores é por meio de sólidos de dimensão superior. Abaixo, quatroesferas intersetadas, em uma figura completamente simétrica. As 16 interseções correspondem aos vértices de um tesserato.

Diagramas similares

Diagramas de Euler

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Diagrama de Euler.

Diagrama de Johnston para a

expressão nem A nem B são corretas.

Diagrama de Venn como tabela de

verdade.

Os diagramas de Euler, criados antes dos diagramas de Venn , são similares a a estes,usando normalmente círculos intersetados; sua diferença é que eles não precisam mostrartodas as possíveis relações, mas apenas as relações específicas de cada problema. Isso tornaa representação, na maioria dos casos, visualmente mais simples.

Por exemplo, chamando-se de A o conjunto de todas as marcas de chocolate, de B todas asmarcas de comida e de C todas as marcas de querosene, é fútil usar um diagrama de Venn.Sabe-se que todos os chocolates são comestíveis, então A é um subconjunto de B; poroutro lado, sabe-se que nenhum querosene é comestível, então a interseção entre B e C (econsequentemente entre A e C) é nula. Assim, o diagrama de Euler ao lado é uma figura maisexplicativa.

Diagrama de Johnston

Os diagramas de Johnston são visualmente iguais aos de Venn, mas, em vez deconjuntos, são utilizados para representar proposições e suas operações lógicas. Assim, sendo A e B duas sentenças, a interseção entre os círculos representa a sentençaA e B, enquanto a união representa a sentença A ou B e o conjunto complementar aambos representa nem A nem B.

Mapa de Karnaugh

Os Mapas de Karnaugh ou Diagramas de Veitch são outra forma de representarvisualmente expressões de álgebra booleana.

Diagrama de Peirce

Os diagramas de Peirce, criados por Charles Peirce, são extensões dos diagramas deVenn, que incluem informações sobre afirmações existenciais, disjuntivas, deprobabilidade e outras.

Diagrama de Venn na representação de Circuitos Digitais

O diagrama de Venn também é usado em Sistemas Digitais para a representação defunções lógicas de circuitos. Usamos o preenchimento colorido para representar onde oresultado da função será 1(com energia), ou sem preenchimento quando o resultado for0(sem energia). Onde temos:

Constante 1

Constante 0

Em sistemas digitais o diagrama de Venn é usado para a representação de circuitos, como:

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S = (/A . B ) + C

O resultado dessa expressão utilizando o diagrama é obtido da seguinte maneira:

1º Passo: Fragmentar a expressão em varias expressões menores: S1 = (/A . B ) e S2 = C;

2º Passo: Montar o diagrama de Venn para S1 e S2 :

S1 = /A . B

S2 = C

3º Passo: Unir os dois diagramas para chegar ao resultado da Expressão:

S = S1 + S2 = (/A . B )

+ C

Seguindo esses três passos conseguimos a representação gráfica do resultado de qualquer função logica.

Referências

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(tradução):W & C Tait, y Longman et al.: [s.n.], 1768, 1823: tradução. Ver em particular, no volume 1, as cartas CII - CVIII naspáginas 337-366).

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2012.

Ver também

ConjuntosTeoria dos conjuntosDiagrama

Álgebra de BooleTeoria dos conjuntos

Ligações externas

LogicTutorial.com (http://www.logictutorial.com/): diagrama de Johnston interativo

Ferramentas para fazer diagramas de Venn

ConceptDraw

DrawVenn (http://www.cs.uvic.ca/~schow/DrawVenn/instructions.html) e DrawEuler(http://www.cs.uvic.ca/~schow/DrawEuler/instructions.html)3 Circle Venn Diagram Applet (http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/pjr/EulerVennCircles/EulerVennApplet.html)VennDiagram.tk (http://www.venndiagram.tk)

VennDiagrams (http://sourceforge.net/projects/venn/)Winvenn (http://barnyard.syr.edu/software.shtml)XFig (http://xfig.org) Programa de desenho gráfico com licença GPL que gera vários códigos, incluindo LaTeX, EPS e

PDF.

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