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Dicas de Física Moderna para o VestibularProf. Dulcidio Braz Jr – Física na Veia! UOL Blog

[ Material gratuito para fins educacionais. Pode ser distribuído livremente. ]

n Exercício 03

A Teoria da Relatividade Especial (ou Restrita) de Einstein, que em 2005completa 100 anos, mostra-nos que dois observadores O1 e O2 podem tomardiferentes medidas de tempo e espaço se estiverem se movendo comvelocidades muito altas, não desprezíveis em relação à velocidade da luz. Asequações relativísticas que nos levam a estas conclusões são:

onde γ, conhecido como fator de Lorentz, é uma constante que depende davelocidade v do observador e da velocidade c da luz e modifica de formadrástica as medidas de tempo (∆t) e espaço (L) dos dois observadores.Considere dois gêmeos idênticos, Lucas e Mateus, que vivam numa época emque a humanidade tenha tecnologia suficiente para fazer viagens inter-planetárias com naves muito rápidas. Suponha que Lucas (O1) fique na Terra eMateus (O2) tome uma espaçonave capaz de viajar com velocidade equivalentea 80% da velocidade da luz até um suposto planeta na estrela α daconstelação do Centauro, a 4 anos-luz da Terra. Desprezando acelerações edesacelerações nas partidas e chegadas, determine:a) Quanto anos dura a viagem (ida e volta) para cada um dos dois irmãos?b) Qual a distância total percorrida (em anos-luz) pela nave na viagem (ida evolta) medida por cada um dos dois irmãos?

Exercício baseado no texto “O Paradoxo dos Gêmeos” dolivro Tópicos de Física Moderna que traz maiores detalhessobre a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein.

Autor: Dulcidio Braz JrEditora: Companhia da EscolaAno: 2002ISBN: 85-88955-01-6

1 2.t tγ∆ = ∆ 12

LLγ

= 2

1

1 vc

γ = −

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n Resolução

Antes de mais nada, vamos calcular o fator de Lorentz para v = 0,8c:

Gama deu maior do que 1, o que mostra que os efeitos relativísticos serãonotáveis! Usaremos γmais adiante, em “a” e em “b”.

a) Ano-luz é a distância que a luz percorre viajando com velocidade c duranteum período de 1 ano. Assim, se trabalharmos com as distâncias em ano-luz eas velocidades em função de c, vamos obter direto o tempo em anos, o quefacilita muito as contas .Do ponto de vista de Lucas (O1), que fica na Terra, a viagem (ida e volta) deMateus (O2), com ∆S1 = 4 + 4 = 8 anos-luz de comprimento vai durar:

Para Mateus (O2), que foi viajar, a viagem total demorou ∆t2 dado por:

Para loucura mas é verdade! Para Mateus o tempo passou mais devagar.Enquanto Lucas envelheceu 10 anos, Mateus envelheceu apenas 6!

Observação: esse efeito é conhecido na literatura científica como Dilatação do Tempo.

b) Para Lucas (O1) a distância percorrida por Mateus na viagem toda foi L1 = 8anos-luz, já usada em “a”.Já para Mateus (O2), a distância percorrida será dada por:

Mais uma vez parece loucura. Mas é física pura, é relatividade! A comprimentototal da viagem encolheu para Mateus!

Observação: esse efeito é conhecido na literatura científica como Contração do Espaço.

Respostasa) A viagem dura 10 anos para Lucas e apenas 6 anos para Mateusb) A distância percorrida pela nave na viagem toda é de 8 anos-luz para Lucasmas de apenas 4,8 anos-luz para Mateus.

11

. .8 100,8.

S c t c anost anosv v c∆ ∆

∆ = = = =

12

10 61,67

t anost anosγ∆

∆ = ≅ ≅

12

8 4,81,67

LL anos luzγ

= ≅ ≅ −

1 1 1 1 1 1 1,670,6² (0,8 )² 0,64. ² 1 0,64 0,361 1 1

² ² ²v c cc c c

γ = = = = = = ≅−

− − −

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COMENTÁRIO IMPORTANTE:Para Mateus (O2) também podemos escrever:

Este é exatamente o valor do tempo total da viagem medido por Mateus e jáobtido em “b”. Veja que há uma coerência nos dados obtidos! A “loucura” é sóaparente!

As equações de Einstein, bem como suas idéias, são até que simples.Concorda? As continhas acima, divisões e multiplicações, com potência de doise raiz quadrada, não são complicadas, não é mesmo? As implicações dasidéias relativísticas é que são estranhas, bizarras, e batem de frente com osenso comum de tempo absoluto!

Na prática, no nosso dia-a-dia, não percebemos os efeitos relativísticos porquenossas velocidades típicas são pequenas quando comparadas com avelocidade da luz. Em outras palavras, vivemos num mundo não-relativístico,de γ= 1 com muito boa aproximação!

22

4,8 60,8

St anosv∆

∆ = ≅ =

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