Tópicos em Física Moderna
39
Tópicos em Física Moderna Aula 1 – O princípio da relatividade
description
Tópicos em Física Moderna. Aula 1 – O princípio da relatividade. O problema. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Tópicos em Física Moderna
Tópicos em Física ModernaAula 1 – O princípio da relatividade
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 2Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
O problema
Se soubermos as coordenadas de uma partícula em um dado sistema de referências inercial, poderíamos saber sem usar qualquer processo de medição as coordenadas daquela partícula em outro sistema de referência inercial?
O que é relatividade?
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 3Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Definição de relatividade
Como fazer uma baliza
Como fazer uma baliza (visão do carro)
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 4Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Definição de relatividade (II)A visão do que acontece depende
do observador
Qual das duas visões é a visão correta?
As duas !!!
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 5Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Definição de relatividade (III)
Pergunta: como saber o que o outro está “vendo”?
Aqui precisamos escolher um princípio de relatividade: o que eles
veem em comum?
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 6Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Princípios de relatividadeDuas possibilidades foram usadas
ao longo da história da Física:
Princípio de Relatividade Clássico:
Todos observadores medem o mesmo tempo e o mesmo espaço.
Princípio de Relatividade Contemporâneo:
Todos observadores medem a mesma velocidade da luz
(velocidade limite).
Comum
As leis físicas são as mesmas para todos os observadores.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 7Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
P1
P2
SRI
Sistema de Referência InercialÉ um sistema no qual uma partícula obedece as Leis de Newton: se não há força resultante sobre a partícula ela segue uma trajetória retilínea com velocidade constante
ou está em repouso.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 8Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Sistema de Referência Não Inercial
P1
P2
SRNI
É um sistema no qual uma partícula não obedece as Leis de Newton: se não há força resultante sobre a partícula
ela segue uma trajetória qualquer.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 9Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Validade da Relatividade RestritaÉ válida somente para Sistemas de
Referências Inerciais
Todo sistema que se move com velocidade constante em relação a
um SRI também é um SRI
SRISRI
SRNI
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 10Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Nosso problemaVamos considerar dois SRI, chamados de S e S’.
S
P
(x’,y’,z’)
x
y
z(x, y, z)
S’
v
x'
y'
z'
Sabemos as coordenadas de P em dado instante no dois
sistema S( x,y,z).
Quais serão as coordenadas do ponto no sistema S’ (x’,y’,z’) ?
(x’,y’,z’) =
Velocidade de S’ medida em S.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 11Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Solução dada por GalileuPrincípio da Relatividade ClássicoPara Galileu e a Física Clássica, dois observadores, um em S e outro em S’ observam a mesma passagem do tempo e as mesmas distâncias percorridas.
S
P
(x’,y’,z’)
x
y
z(x, y, z)
S’
v
x'
y'
z'
(x’,y’,z’) =
d=vt
Coordenada da origem de S’ após um tempo t no
referencial S.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 12Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Princípio da Relatividade Clássico (II)No instante inicial (t = t’ = 0) a origem dos dois sistemas era coincidente. Logo, as coordenadas do ponto P eram as mesmas nos dois sistemas:
x = x’ y = y’ z = z’
Em um instante t (intervalo medido por um relógio no sistema S) as coordenadas do ponto P são (x,y,z) no sistema S e (x’,y’,z’) no sistema S’.
As origens não são mais coincidentes e a origem do sistema S’ tem coordenadas (0, y, 0) no
sistema S.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 13Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Princípio da Relatividade Clássico (III)Como o movimento ocorre ao longo do eixo y, as coordenadas x’ e z’ são as mesmas coordenadas x e y, as últimas medidas no sistema S:
x’(t) = x’t) e y’(t) = y(t)
Vamos agora escrever a coordenada y’ do ponto P em função da coordenada y e da distância d percorrida.
x
y
z
x'
y'
z'
d
'
' '
'
'
'
y d y
y y vt y y vt
x x
z z
y y vt
Transformações de Galileu.
P
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 14Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
A Segunda Lei de NewtonVamos usar os dois postulados da Relatividade Clássica e escrever a Segunda Lei de Newton nos dois sistemas de referências.
No sistema S:2
2 y
d ym m
dt F a e
No sistema S’:2
2
'' '
' y
d ym m
dt F a e
Por hipótese a massa é a mesma nos dois sistemas de
referência.
Vamos usar agora a equação para y’ em função de y:
2 2
2 2
' ( )'
' 'y y
d y d y vtm mdt dt
F e e
Este é o ponto no qual o Princípio da Relatividade Clássica vai entrar. Observe que a derivada é em relação
a t’ mas no numerador aparece t.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 15Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
A Segunda Lei de Newton (II)Usando o princípio de que os observadores nos dois sistemas medem o mesmo tempo, podemos substituir t’ por t na derivada:
2 2
2 2
2
2
( ) ( )'
'
'
'
y y
y y
d y vt d y vtm m
dt dt
d ym ma mdt
F e e
F e e a
F F
Observadores nos dois sistemas medem a mesma força resultante sobre uma partícula, o que implica a mesma lei
física.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 16Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Regra Clássica de adição de velocidadesVamos escrever a velocidade de uma partícula no sistema S’ (u’) em função da velocidade com que o sistema S’ se move para a direita (v) e da velocidade da partícula medida no sistema S (u):
( ' ) ' ( )
' ( )
'
' '
dy d y vt dy d vtu
dt dt dt dtdy d vt
udt dt
u u v u u v
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 17Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Propriedades Clássicas do Espaço e do Tempo
Conservação da Energia
Conservação do momento linear
Conservação do momento angular
Homogeneidade do tempo
Homogeneidade do espaço.
Isotropia do espaço.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 18Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Nuvens negras no horizonteAs equações de Maxwell têm como consequência a identificação da luz como uma onda.
Onde está o problema: se a luz é uma onda e se propaga no vácuo, qual é o meio suporte para essa onda?
Éter
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 19Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
O Éter•Ocupa todo o espaço;•Elástico;•Densidade desprezível;•Interação fraca com a matéria;•Meio suporte para a propagação da luz.
O grande problema daquela época: descobrir a velocidade com que a Terra se
move em relação ao Éter
A ideia de Éter introduz um Sistema de Referências privilegiado !!!
Experimento de Michelson - Morley
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 20Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
O experimento de Michelson - Morley
Objetivo: detectar o movimento relativo da Terra em relação ao éter;Método: interferência de dois raios luminosos coerentes.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 21Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Intermezzo – O fenômeno da Interferência
Veja esta simulação
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 22Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
O experimento de Michelson – Morley (II)
A
Observador
C
B
Luz incidente
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 23Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Éter
O experimento de Michelson - Morley (III)Sistema nos quais o éter está em repouso orientação I – Braço de comprimento L1 na direção do movimento em relação ao éter
x'
y'
Espelho C
Espelho B
Origem
(espelho A)
cx’
cy’
L1
L2v
x
y
Sistema de referência no qual o Éter está em repouso.
Observador
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 24Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
O experimento de Michelson – Morley (IV)
x
y
Sv
ccy'
2 2
2 2 1/2' 2 22 2
y
L Lt t
c c v
Trajetória entre os espelhos A e C (L2)
Trajetória entre os espelhos A e B (L1): 1 1 1 1
1 1' 2 2
22
x
L L L cLt t
c c v c v c v
Portanto, a diferença nos tempos para ir e voltar será dada por:
2 1
2 1 2222
2 2
11
L Lt t t
vv cc cc
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 25Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
O experimento de Michelson – Morley (V)Sistema de referências em que o éter está em repouso
x
y
Sv
ccy'
2 2
2 2 1/2' 2 22 2
y
L Lt t
c c v
Trajetória entre os espelhos A e C (L2)
Trajetória entre os espelhos A e B (L1): 1 1 1 1
1 1' 2 2
22
x
L L L cLt t
c c v c v c v
Portanto, a diferença nos tempos para ir e voltar será dada por:
2 1
2 1 2222
2 2
11
L Lt t t
vv cc cc
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 26Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Éter
O experimento de Michelson - Morley (VI)Sistema nos quais o éter está em repouso orientação II – Braço de comprimento L2 na direção do movimento em relação ao éter
x
y
Sistema de referência no qual o Éter está em repouso.
x'
y'
Espelho C
Espelho B
Origem
(espelho A)
cx ’
cy ’
L1
L2
v
Ob
servador
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 27Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
O experimento de Michelson – Morley (VII)
' 11 1/22
2
' 22 2
2
' ' 2 1 2 12 1 2 22 2
2 22 2
21 2
2
21
21
2 2 2 2'
1 11 1
' 0
Lt
vcc
Lt
vcc
L L L Lt t t t
v vv vc cc cc cc c
L L vt t
c c
Simulação
Os padrões de interferência deveriam mudar com o tempo, pois os intervalos de tempo entre a chegado dos dois raios diferente quando o
aparato fosse girado!
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 28Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Solução para o impasseUma possível solução para o impasse é impor que os intervalos de tempo nas duas situações seja igual, com isso não haveria possibilidade de observar-se qualquer diferença. Mas esta solução nos leva a um impasse:
2 1 2 12 22 2
2 22 2
2 22 1 2 1 2
2
22 1 2 1
2
2
2 2 2 2'
1 11 1
1
1
11 1 0 !!!
1
L L L Lt t
v vv vc cc cc cc c
L L L Lvc
L L L L
vvc
O que obviamente não pode ser, pois indicaria que a Terra não tem movimento algum em relação ao éter o contraria a hipótese inicial!!!
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 29Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Solução para o impasse (II)Lorentz e Fitzgerald propõem que exista uma contração no espaço na direção da propagação do fóton.
Impondo que os tempos para que os dois raios se propaguem entre os espelhos e o observador sejam iguais (o que explicaria o resultado experimental):
1 2 11 2 2 1/22 2 2 2 1/2 2
2
22
( ) ( ) 1
cL L Lt t L
c v c v vc
Contração no comprimento na direção do movimento.
Éter
x'
y'
Espelho C
Espelho BOrigem
(espelho A)
cx’
cy’
L1
L2v
x
y
Sistema de referência no qual o Éter está em repouso.
Observador
Para Lorentz, há uma contração do objeto, não do espaço em si.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 30Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Outro impasseAs equações de Maxwell não
são invariantes frente a mudanças de coordenadas !!!
No sistema S, se o campo eletromagnético obedece a
equação da onda:
22
2 2
10
c t
No sistema S’, se o campo eletromagnético obedece a
equação:
22
2 2 2 2
1 2 1. . . 0
c t c t c
v v v
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 31Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Soluções possíveis para o outro impasse1. Mudar as equações de Mawxell. As novas equações deveriam ser invariantes frentes as transformações de Galileu.
Solução não aceitável frente ao sucesso das equações de Maxwell.
2. Admitir que as equações de Galileu fossem corretas para a Mecânica, mas que o Eletromagnetismo precisava de outro conjunto de equações de transformação, que levasse em conta um SRI privilegiado, no qual o éter estivesse em repouso.
Solução não aceitável frente aos problemas com a detecção do éter.
3. Mudar o princípio da relatividade.
Relatividade Restrita (Einstein).
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 32Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
A proposta de Einstein para solucionar os dois impasses da Física Clássica
Einstein propõe dois novos princípios da relatividade, abrindo mão do princípio da relatividade clássico.
Princípios Clássicos: todos observadores em SRI
medem o
mesmo espaço mesmo tempo
As leis físicas são as mesmas em todos os SRI.
Princípios de Einstein: todos observadores em
SRI medem o
Mesma velocidade
limite
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 33Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Derivando as transformações de Lorentz
'ν ν ν ν ν νx A x B y C z D t E
Se substituímos o princípio de relatividade de Galileu por outro, então temos que buscar quais são as equações de transformação entre os dois sistemas de referências, S e S’.
A forma mais geral e simples para essas equações é escrever as novas coordenadas em função das antigas como uma combinação linear:
(t,x,y,z)
(t,x’,y’,z’)
z
x
y
S
y´
x´
z´
v
S’
Fóton
y vt
Por hipótese, houve um momento no qual as duas origens eram
coincidentes,
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 34Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Transformações de Lorentz (II)
Para as coordenadas x e z:
x = 0 x’ = 0 e z = 0 z ’ = 0.
'ν ν ν ν ν νx A x B y C z D t E
'1 1 1 1 1 1
'3 3 3 3 3 3
'
'
x x A x B y C z D t E
x z A x B y C z D t E
As coordenadas são LI.
Com a condição de que:
1 1 1 1
3 3 3 3
0
0
B y C z D t E
A x B y D t E
1 1 1 1
3 3 3 3
0
0
B C D E
A B D E
1
3
'
'
x A x
z C z
Estas coordenadas devem se reduzir ao mesmo valor quando a velocidade entre os dois sistemas vai a zero:
10
30
' 1 '
' 1 '
x x A x x
z z C z z
v
v
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 35Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Transformações de Lorentz (III)Vamos agora analisar como a coordenada y se transforma:
'ν ν ν ν ν νx A x B y C z D t E 'y Ax y Cz Dt E
Índices omitidos.
0 Ax vt Cz Dt E
Usando que as coordenadas para a origem de S’ te coordenadas y’=0 em S’ e y=vt no sistema S:
As coordenadas são LI.
D + v = A = C = E = 0. D =- v
Logo:
' ' ( )y y vt y y vt A constante ainda deve ser determinada.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 36Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Transformações de Lorentz (IV)Devido à simetria: ( ' ')y y vt
Para dois observadores, um em cada sistema de referência, a posição do fóton é dada por:
' '
y ct
y ct
Aqui entrou a hipótese de Einstein !!!
Logo:
2
2
( ' ') 1
' ( ) 1
ct y vt
ct y vt vc
Fator de Lorentz.
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 37Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Transformações de Lorentz (V)Vamos agora eliminar y’ entre as equações para y e y’ e obter uma equação para o tempo:
2
( ' ')( ' ') ( ( ) ')
' ( )
' ( / )
y y vty y vt y vt vt
y y vt
t t vy c
Com isso, completamos a derivação do conjunto completo das Transformações de Coordenadas, chamadas de Transformações de Lorentz:
2
2
2
'
' ( )
'
' ( / )
1
1
x x
y y vt
z z
t t vy c
vc
'
'
'
'
1
x x
y y vt
z z
t t
v/c 0Transformações de
Galileu
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 38Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Transformações de Lorentz (VI)Não derivaremos aqui, mas as equações para as transformações dos intervalos de tempo e espaço são similares às transformações de Lorentz:
S S’ S’ S
2
'
'
' ( )
' ( / )
dx dx
dz dz
dy dy vdt
dt dt vdy c
2
'
'
( ' ')
( ' '/ )
dx dx
dz dz
dy dy vdt
dt dt vdy c
Tópicos em Física Clássica - Aula 1 39Pro
f. P
aulo
Ros
a CC
ET
/UFM
SCu
rso
de
Mes
trad
o em
En
sin
o d
e Ci
ênci
as -
UFM
S
Fim da Aula 1
