Dimensionamento de Elementos Estruturais Em Aço - UFSCAR
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Dimensionamento de Elementos Estruturais Em Aço - UFSCAR
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UIVERSIDADE FEDERAL DE SO CARLOS
DEPARTAMETO DE EGEHARIA CIVIL
Dimensionamento de Elementos Estruturais em Ao
Segundo a BR 8800:2008
Alex Sander Clemente de Souza
So Carlos - agosto de 2009
-
1
Sumrio
1 COCEITOS PRELIMIARES...........................................................................................3
1.1 Contextualizao e escopo.........................................................................................................3
1.2 Critrios de projeto....................................................................................................................4
1.3 Materiais e sees estruturais ...................................................................................................5
2 AES E SEGURAA.....................................................................................................10
2.1 Critrios de dimensionamento ................................................................................................10
2.1.1 Verificao para estado limite ltimo (ELU) ...................................................................................... 11
2.1.2 Verificao para estado limite de servio (ELS) ................................................................................. 11
2.2 Aes .........................................................................................................................................11
2.3 Carregamentos e combinaes de aes.................................................................................13
2.3.1 Combinaes de aes para estados limites ltimos ........................................................................... 13
2.3.2 Combinaes para estados limites de servio ..................................................................................... 15
2.4 Exerccio ...................................................................................................................................17
3 ALISE ESTRUTURAL...................................................................................................20
3.1 Consideraes gerais................................................................................................................20
3.1.1 Efeitos de 2 ordem ............................................................................................................................. 21
3.1.2 Influncia das imperfeies................................................................................................................. 23
3.1.3 Influncia do comportamento das ligaes ......................................................................................... 24
3.1.4 Estabilidade estrutural ......................................................................................................................... 24
3.2 Anlise estrutural segundo a BR 8800:2008 .......................................................................25
3.2.1 Classificao quanto deslocabilidade ............................................................................................... 25
3.2.2 Anlise de 1 ordem elstica................................................................................................................ 26
3.2.3 Anlise de 2 ordem............................................................................................................................. 27
3.2.4 Considerao das imperfeies iniciais............................................................................................... 29
3.3 Exemplo de aplicao ..............................................................................................................29
4 TRAO...............................................................................................................................33
4.1 Determinao da resistncia de clculo a trao...................................................................33
4.1.1 Verificao para estado limite de servio............................................................................................ 36
4.2 Exerccio ...................................................................................................................................36
-
2
5 COMPRESSO....................................................................................................................39
5.1 Instabilidade Global aspectos tericos ................................................................................39
5.1.1 Carga crtica de flambagem elstica.................................................................................................... 39
5.1.2 Efeito das imperfeies ....................................................................................................................... 46
5.2 Instabilidade Local aspectos tericos ..................................................................................49
5.3 Dimensionamento a compresso.............................................................................................52
5.3.1 Estados limites ltimos........................................................................................................................ 52
5.3.2 Estados limites de servio ................................................................................................................... 56
5.4 Exerccio ...................................................................................................................................57
6 FLEXO SIMPLES.............................................................................................................61
6.1 Mecanismo de colapso plstico ...............................................................................................61
6.2 Flambagem lateral ...................................................................................................................63
6.3 Estabilidade local na flexo.....................................................................................................67
6.4 Dimensionamento de elementos submetidos flexo ...........................................................68
6.5 Resistncia a fora cortante ....................................................................................................72
6.6 Estados limites de servio........................................................................................................74
6.7 Exerccios ..................................................................................................................................74
7 Flexo composta...................................................................................................................80
7.1 Verificao de elementos submetidos a flexo-compresso. ..................................................81
7.2 Exemplo ....................................................................................................................................81
7.2.1 Verificao da compresso.................................................................................................................. 82
7.2.2 Verificao da flexo .......................................................................................................................... 84
7.2.3 Verificao da interao...................................................................................................................... 86
8 Bibliografia...........................................................................................................................87
9 Anexos Tabela de perfis ....................................................................................................89
-
3
1 COCEITOS PRELIMIARES
1.1 Contextualizao e escopo
Registros histricos demonstram que a tecnologia da construo metlica anterior tecnologia
da construo em concreto. No entanto, no Brasil a sua implantao foi tardia e lenta, por
motivos tcnicos, econmicos, sociais e polticos.
A realidade atual bem diferente; o ao aparece freqentemente como alternativa vivel para
diversos tipos de empreendimentos. Deixou de ser o material empregado predominantemente em
edifcios industriais e grandes coberturas, passando a ser utilizado em edifcios comerciais,
shopping center, edifcios residncias, pontes, viadutos, passarelas e vrias outras aplicaes.
Esse incremento no uso do ao foi possvel devido ao entendimento das caractersticas deste
material que interferem de forma positiva em vrias etapas da construo reduzindo peso
prprio, aliviando cargas nas fundaes, facilitando instalaes de canteiro de obras, reduzindo
prazos e custos finais.
Algumas dificuldades tcnico-econmicas e at certo preconceito em relao s estruturas
metlicas tm sido superados ou minimizados, incrementando cada vez mais o uso do ao na
construo civil brasileira.
Neste texto so apresentados os conceitos tericos fundamentais para o dimensionamento de
elementos estruturais em ao segundo a NBR 8800:2008. A anlise e o dimensionamento de
ligaes entre elementos no sero abordados neste texto. Tambm no sero abordados os
elementos mistos de ao e concreto.
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4
Este texto pretende ser uma ferramenta de auxlio para a utilizao da nova norma brasileira de
projeto de estruturas metlicas NBR 8800:2008. Desta forma no final de cada captulo so
apresentados exemplos de aplicao enfocando a anlise estrutural e o dimensionamento de
elementos submetidos aos diversos tipos de esforos solicitantes.
1.2 Critrios de projeto
O dimensionamento e a execuo de uma estrutura pressupem o atendimento as funes para as
quais foi concebida considerando sua vida til estimada. Neste sentido devem ser verificadas
condies de segurana (estado limite ltimo) e condies de desempenho em uso (estado limite
de servio), alm disso, devem ser garantidas condies de durabilidade com custos compatveis.
Os estados limites ltimos esto relacionados ao colapso total ou parcial da estrutura,
comprometendo a segurana dos usurios; e esto associados ao esgotamento da capacidade
resistente, instabilidade e perda de equilbrio. Os estados limites de utilizao esto relacionados
a deficincias no desempenho para as condies de utilizao como, por exemplo, deformaes e
vibraes excessivas.
No Brasil, os cdigos de projeto adotam o mtodo dos estados limite como critrio de projeto.
As aes so majoradas e combinadas adequadamente e as resistncias dos materiais so
divididas por coeficientes parciais de modo a garantir a segurana estrutural. A NBR 8681:2003
a norma de aes e segurana que serve de referncia para as demais normas de projeto
estrutural incluindo a NBR 8800:2008.
A durabilidade das estruturas de ao est fortemente ligada ao desenvolvimento de processos
corrosivos. Alm de sistema de proteo adequando (pintura, galvanizao, uso de aos de alta
resistncia a corroso) necessria ateno especial ao detalhamento, evitando pontos de
acumulo de umidade e poeira que podem acelerar a corroso.
A exposio a temperaturas elevadas, provocada pela ao do fogo em situao de incndio,
outro fator que pode comprometer a durabilidade da estrutura ou at provocar o seu colapso. As
propriedades fsicas dos aos comuns decrescem rapidamente a partir de 4000C de temperatura.
Em situao de incndio a estrutura deve atender as exigncias da NBR 14432:2001 e sua
resistncia deve ser verificada segundo a NBR 14323:1999. Para incrementar o desempenho da
estrutura em situao de incndio podem ser utilizados sistemas de proteo como, por exemplo,
a pintura intumescente, revestimento dos perfis com argamassa refratria, revestimento dos
perfis com concreto ou outros materiais isolantes.
-
5
1.3 Materiais e sees estruturais
O ao uma liga metlica composta basicamente de ferro e de pequenas quantidades de carbono
responsvel por sua resistncia. Na composio do ao tambm podem ser adicionados outros
elementos para melhorar suas propriedades mecnicas, ou para faz-lo adquirir propriedades
especiais como, por exemplo, resistncia a corroso e a altas temperaturas. Em funo da
composio qumica possvel produzir diferentes tipos de ao - Tabela 1.2.
Aumentando o teor de carbono aumenta-se a resistncia do ao, porm reduz-se a ductilidade e a
soldabilidade. Os aos empregados na construo civil so os aos laminados a quente e
apresentam teor de carbono da ordem de 0,18% a 0,25%.
Uma das vantagens do uso do ao em estruturas o fato de ser um material homogneo com
caractersticas mecnicas bem definidas e de simples caracterizao. Independentemente do tipo
de ao as seguintes propriedades fsicas da Tabela 1.1 so constantes.
Tabela 1.1 Constantes fsicas do ao
Constantes fsicas do ao
Mdulo de elasticidade
Mdulo de elasticidade transversal
Coeficiente de Poisson
Coeficiente de dilatao trmica
Massa especfica
E=20000kN/cm2
G=7700kN/cm2
=0,3
a=1,2x10-5 oC-1
a=7850kg/m3
Para o projeto e dimensionamento de elementos estruturais em ao importante conhecer o
diagrama tenso x deformao que pode ser obtido por meio de ensaio de trao em corpos-de-
prova padronizados; onde se define a resistncia ao escoamento (fy) e a resistncia a ruptura (fu).
Diagramas tenso x deformao tpicos so apresentados na Figura 1.1. No primeiro caso tem-se
um diagrama com patamar de escoamento definido, tpico de aos virgens. No segundo caso um
diagrama tenso x deformao comum em ao que passaram por tratamento a frio com, por
exemplo, o encruamento.
encru
amento
escoamento
pf
TENSO
u
fy
f
DEFORMAO DEFORMAO
f
0,2%
p
TENSO
yf
fu
Figura 1.1 Diagrama tenso x deformao
-
6
Para os procedimentos de dimensionamento a NBR 8800:2008 exige aos estruturais com fy
450MPa e fu/fy 1,18. Os valores nominais da resistncia ao escoamento fy e resistncia a ruptura
fu dos aos mais comumente utilizados, definidos pela norma ASTM so indicados na Tabela
1.2, esses aos atendem os requisitos da NBR 8800:2008.
Tabela 1.2 Valores nominais de resistncia ao escoamento fy e resistncia a ruptura fu dos aos correntes
segundo especificao da ASTM
Denominao fy (MPa)
fu (MPa)
Produto Grupo ou faixa de espessura
Grau Classificao
Perfis 1,2 e 3 ASTM A36 250 400 a 550 Chapas e
barras t200mm
---
230 310 A ASTM A500
290 400
Perfis 4
B
Ao carbono
290 415 42
345 450 50
380 485
Perfis 1,2 e 3
55
415 520 60
450 550
Chapas e barras
1 e2
65
290 415 t150mm 42
345 450 t100mm 50
380 485 t50mm 55
415 520 60
ASTM A572
450 550
Chapas e barras
t31,5mm
65
Baixa liga e alta resistncia mecnica
345 485 1 --
315 460 2 --
290 435
Perfis
3 --
345 480 t19mm --
315 460 19t37,5mm --
ASTM A242
290 435
Chapa e barras
37,5t100mm --
Baixa liga e alta resistncia mecnica e resistente corroso
(patinavel)
345 485 Perfis 1 e 2 --
345 480 t100mm --
315 460 100t125mm --
ASTM A588
290 435
Chapas e barras
125t200mm --
Baixa liga e alta resistncia mecnica e resistente a corroso
(patinavel)
Grupo1 perfis com espessura de mesa inferior ou igual a 37,5mm
Grupo 2 perfis com espessura de mesa superior a 37,5mm e inferior ou igual a 50mm
Grupo 3 perfis com espessura de mesa superior a 50mm
Grupo 4 perfis tubulares
Na Tabela 1.3 so apresentados os tipos de parafusos mais utilizados em estruturas de ao com
as respectivas resistncias ao escoamento fyb e a ruptura fub segundo as especificaes das normas
ASTM e ISO.
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7
Tabela 1.3 Tipos de parafusos com resistncia ao escoamento fyb e resistncia a ruptura fub
Dimetro db Especificao
Resistncia ao escoamento fyb
(MPa)
Resistncia ruptura fub
(MPa) milmetro polegada
ASTM A307 - 415 - 421 bd
ISO 898
Classe 4.6 235 400 3612 b d
ASTM A325 1) 635
560
825
725
2416 b d
3624 b < d
121 bd
2111 < bd
ISO 7411
Classe 8.8 640 800 3612 b d -
ASTM A490 895 1035 3616 b d 21121 bd
ISO 7411
Classe 10.9 900 1000 3612 b d -
NOTA:
1) Disponveis tambm com resistncia corroso atmosfrica comparvel dos aos AR 350 COR ou dos aos ASTM A588.
Na classe dos parafusos ISO, exemplificando para classe 8.8, o primeiro conjunto de dgito
corresponde a resistncia ao escoamento fy=8 x 100N/mm2 e o segundo a relao fu/fy=0,8.
Com relao s soldas, independente do processo de soldagem, o metal de solda deve apresentar
propriedades mecnicas compatveis com o metal base. Na Tabela 1.4 so apresentadas as
resistncias mnimas trao dos metais de solda.
Tabela 1.4 Resistncia mnima trao dos metais de solda
Metal da solda fw (MPa)
Todos os eletrodos com classe de resistncia 6 ou 60 415
Todos os eletrodos com classe de resistncia 7 ou 70 485
Todos os eletrodos com classe de resistncia 8 ou 80 550
As estruturas metlicas so formadas, predominantemente por elementos lineares; as sees
transversais destes elementos so denominadas comumente de perfis. A escolha da geometria do
perfil depende do tipo e intensidade das solicitaes, do processo de montagem, do processo de
ligao, de fatores estticos e de fatores ligados a durabilidade.
-
8
Os perfis estruturais podem ser classificados em trs grupos em funo do processo de obteno.
So os perfis formados a frio, os perfis laminados (padro americano e padro europeu ou de
abas paralelas) e os perfis soldados. A Figura 1.2 apresenta as principais sees de cada grupo.
Nos Anexo A, Anexo B e Anexo C so apresentadas tabelas com dimenses e caractersticas
geomtricas de sees/perfis de cada grupo.
y
x
bf
bf
tn
z
y
xbw
bf
tn
z
y
x
bf
tn
D
bw
y
x
tn
bw
bf
D
Perfis formados a frio
y
x
bf
bf
tf
z
z
x
y
y
xCGt
y
xbw
bf
tw
xtf
y
x
bf
H
tf
tw
Perfis laminados padro americano
y
x
bf
tw
d
y
x
bf
d
tw
y
x
bf
tw
d
tftf tf
Perfis laminados de abas planas
y
x
bf
d
tw
y
x
bf
tw
y
x
bf
tf
tw
d d
tftf
Perfis soldados, VS, CVS e CS
Figura 1.2 Principais tipos de perfis estruturais
-
9
Os perfis formados a frio so obtidos por dobragem (conformao) de chapas planas.
Apresentam grande relao inrcia/peso produzindo estruturas leves, alm disso, oferecem
grande liberdade de forma e dimenses. No entanto, por serem fabricados com chapas de
pequena espessura (de 1,5mm a 6,3mm) so mais sensveis a flambagem local e perda de seo
por corroso. So aplicados em estruturas de pequeno porte ou elementos secundrios. Os
critrios de dimensionamento deste tipo de perfil so estabelecidos pela NBR 14762:2001 e no
fazem parte do escopo deste texto.
Os perfis laminados do padro americano apresentam baixa relao inrcia/peso e pouca
variedade de formas e dimenses, alm disso, a espessuras de elementos variveis (caracterstica
deste tipo de perfil) dificultam as ligaes. Nos perfis laminados de abas planas esses problemas
so resolvidos, no entanto, a oferta desses perfis no Brasil ainda muito restrita.
Os perfis soldados so obtidos pela soldagem de chapas planas, principalmente em seo tipo I.
O uso desses perfis no Brasil ocorreu em funo da baixa oferta de perfis laminados de abas
planas no mercado, sobretudo para edifcios.
A norma NBR 6355:2003 apresenta as exigncias e tolerncias dimensionais para as sees
formadas a frio, enquanto a norma NBR 5884:2005 padroniza os perfis soldados.
Os perfis laminados so classificados em funo da relao largura/espessura dos seus elementos
em sees compactas, semicompactas e esbeltas.
As sees compactas so aquelas em que possvel a plastificao total com grandes rotaes
anteriormente ao aparecimento de flambagem local, e por essa razo podem ser adequadas para
anlise plstica.
As sees semicompactas no apresentam grande capacidade de rotao, no entanto possvel
atingir a resistncia ao escoamento, considerando os efeitos de tenses residuais, antes do
aparecimento de flambagem local.
Nas sees esbeltas no possvel atingir a resistncia ao escoamento, pois um ou mais dos seus
elementos apresentaro flambagem local em regime elstico.
-
10
2 AES E SEGURAA
As estruturas devem ser projetadas para resistir as todas as aes atuantes durante a sua vida til
com segurana, desempenho e durabilidade adequada a sua utilizao com custos de construo
e manuteno compatveis.
2.1 Critrios de dimensionamento
Dimensionar um elemento ou uma estrutura implica em escolher apropriadamente as sees que
iro comp-la garantido segurana e durabilidade com custos compatveis, ou seja, com a
soluo mais econmica possvel.
O mtodo de dimensionamento mais difundido atualmente mtodo dos estados limites. Neste
mtodo as aes, solicitaes e resistncia dos materiais so tratadas de forma semi-
probabilstica e a segurana introduzida de forma qualitativa.
Para a aplicao do mtodo dos estados limite necessrio conhecer o comportamento da
estrutura com relao ao seu desempenho estrutural, ou seja, provveis modos de falha e resposta
as aes impostas a edificao em condies normais de utilizao. Em funo disto so
definidos os Estados Limites ltimos (ELU) e os Estados Limites de Servio (ELS).
Os Estados Limites ltimos (ELU) esto ligados ao colapso total ou parcial da estrutura
provocado por escoamento ou plastificao de seus elementos, perda de estabilidade,
transformao da estrutura em mecanismo, etc. Ou seja, est relacionado segurana da
estrutura para as combinaes de aes mais desfavorveis ao longo da vida til, durante a
construo ou em situaes que atuem carregamentos especiais ou excepcionais.
-
11
J os Estados Limites de Servio (ELS) esto relacionados ao comportamento da estrutura em
condies de utilizao, visando preservar as condies normais de uso da edificao, o conforto
dos usurios e a integridade de subsistemas complementares que interagem com a estrutura.
Deformaes excessivas e vibraes so exemplos de estados limites de servio.
Os critrios de segurana estrutural so baseados na norma brasileira NBR 8681:2003 que exige
que a estrutura seja dimensionada para que nenhum estado limite seja excedido para as
combinaes de aes apropriadas.
2.1.1 Verificao para estado limite ltimo (ELU)
Segundo o mtodo dos estados limites a segurana estrutural introduzida de forma qualitativa e
pode ser expressa por: dd RS .
Sd = Solicitaes de clculo que so os efeitos gerados por combinaes apropriadas de aes de
clculos aplicadas a estrutura.
Rd = Resistncia de clculo que o limite de resistncia associado a uma determinada forma de
colapso.
As solicitaes de clculo so obtidas majorando-se adequadamente as solicitaes nominais,
enquanto que as resistncias de clculo so obtidas minorando-se as resistncias nominais.
2.1.2 Verificao para estado limite de servio (ELS)
As condies usuais referentes aos estados limites de servio so expressas por desigualdades do
tipo: limser SS .
Sser= representa os valores dos efeitos estruturais de interesse, obtidos com base nas combinaes
de servio.
Slim= representa os valores limites adotados para esses efeitos em cada caso especfico.
2.2 Aes
Segundo a NBR 8681:2003 aes so causas que provocam esforos e deformaes nas
estruturas e seus elementos; e podem ser classificadas como:
Aes permanentes: No variam de forma significativa em intensidade, direo ou pontos de
aplicao durante a vida til da estrutura. Ex.: peso prprio da estrutura, revestimento, alvenaria
e etc.
-
12
Aes variveis: Apresentam variaes significativas durante a vida til da estrutura seja em
intensidade, direo ou sentido. Ex.: sobrecargas de utilizao, ao de vento, variao de
temperatura, pontes rolantes e etc.
Aes excepcionais: Tem baixa probabilidade de ocorrncia com durao bastante curta em
comparao com a vida til da estrutura. Ex.: exploses, impactos, aes ssmicas e etc.
A ao permanente formada pelo peso prprio da estrutura e dos elementos fixos no
estruturais como vedaes e revestimentos. A NBR 6120:1980 fixa os valores de peso prprio de
vrios materiais estruturais e complementares. O peso prprio da estrutura avaliado na fase de
pr-dimensionamento no deve diferir em mais de 10% do peso prprio real aps o
dimensionamento definitivo.
Valores de sobrecarga (cargas acidentais) em funo do tipo e da utilizao da edificao
tambm so indicados na NBR 6120:1980.
A ao do vento nas edificaes determinada segundo os procedimentos da NBR 6123:1982.
O Anexo B da NBR 8800:2008 apresenta recomendaes especficas sobre as aes variveis
oriundas do uso e ocupao para edifcios estruturados em ao; essas recomendaes esto
apresentadas em resumo na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 - Recomendaes adicionais sobre aes variveis devido ao uso e ocupao
Ao Recomendaes
Sobrecarga em telhado
Mnimo de 0,25kN/m2
Considera cargas provenientes de instalaes e pequenas peas fixadas a estruturas. Casos especiais devem ser analisados em funo da finalidade da edificao
Elevadores Majorar as aes em 100%
Verificar limites de deformaes na estrutura especificadas pelo fabricante.
Equipamentos Majorar em 20% aes devido a equipamentos leves com movimentos rotativos
Majorar em 50% aes devido a equipamentos com movimentos alternados e grupos geradores
Pontes rolantes
Majorar em 25% aes de ponte rolante comandada por cabine
Majorar em 10% aes de ponte rolante comandadas por controle remoto ou pendente.
Aplicar foras longitudinais ao caminho do trilho no valor de 10% da carga mxima das rodas em cada lado (sem majorao devido ao impacto)
Aplicar foras transversais ao caminho do trilho com o maior valor entre:
1 10% da soma da carga iada, do trole e dos dispositivos de iamento.
2 5% da soma da carga iada com o peso total da ponte e seus equipamentos acessrios.
3 15% da carga iada.
Efeito dinmico e impacto
Pendurais Majorar em 33% as aes gravitacionais em piso suportados por pendurais para levar em conta o impacto.
-
13
2.3 Carregamentos e combinaes de aes
Um carregamento constitudo por um conjunto de aes com probabilidade de atuarem
simultaneamente na estrutura. As aes devem ser combinadas de vrias maneiras diferentes
objetivando determina-se os efeitos mais nocivos para a estrutura. Portanto, cada carregamento
formado por combinaes especficas de aes que podem ser classificadas em: normal,
construtiva ou especial e excepcional.
2.3.1 Combinaes de aes para estados limites ltimos
As combinaes para verificao de estados limites ltimos podem ser classificadas em normais,
especiais ou construtivas e excepcionais.
Combinao ltima normal decorre do uso normal e previsto para a estrutura.
)F(F)F( k,Qjj0
n
2j
qjk,1Q1q
m
1ik,iGgi
++ ==
(2-1)
Somatrio das aes permanentes multiplicadas pelos respectivos coeficientes de ponderao + a
ao varivel principal multiplicada pelo seu coeficiente de ponderao + somatrios das demais
aes variveis multiplicadas pelos respectivos coeficientes de ponderao e de combinao.
Combinao especial ou construtiva
)F(F)F( k,Qjef,j0
n
2j
qjk,1Q1q
m
1i
k,Gigi ++ ==
(2-2)
Combinao excepcional
)F(F)F( k,Qjef,j0
n
1j
qjexc,Q
m
1i
k,Gigi ++ ==
(2-3)
As Tabela 2.2 e Tabela 2.3 apresentam os coeficientes de ponderao e combinao para cada
carregamento.
-
14
Tabela 2.2 Coeficientes de ponderao das aes
Aes permanentes
Diretas
Combinao
Peso prprio de estruturas metlicas
Peso prprio de estruturas
pr-moldadas
Peso prprio de estruturas moldada no
local e elementos construtivos
industrializados
Peso prprio de construtivos
industrializados com adio em
loco
Peso prprio de elementos construtivos em geral e
equipamentos
Indiretas
Normal 1,25
(1,0)
1,3
(1,0)
1,35
(1,0)
1,4
(1,0)
1,5
(1,0)
1,2
(1,0)
Construtiva ou especial
1,15
(1,0)
1,2
(1,0)
1,25
(1,0)
1,3
(1,0)
1,4
(1,0)
1,2
(0)
Excepcional 1,1
(1,0)
1,15
(1,0)
1,15
(1,0)
1,2
(1,0)
1,3
(1,0)
0
(0)
Aes variveis
Efeito de temperatura Ao do vento Demais aes variveis incluindo as decorrentes do
uso
Normal 1,2 1,4 1,5
Construtiva ou especial
1,0 1,2 1,3
Excepcional 1,0 1,0 1,0
Notas:
1. Os valores entre parnteses devem ser utilizados quando a ao permanente for favorvel segurana.
2. O efeito de temperatura no inclui aqueles gerados por equipamentos, que deve ser considerado como ao varivel decorrente do uso.
Tabela 2.3 Coeficientes de combinao
Aes 0 1c 2
d
Locais em que no h predominncia de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos perodos de tempo, nem de elevadas concentraes de pessoasa.
0,5 0,4 0,3
Locais em que h predominncia de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos perodos de tempo, ou de elevadas concentraes de pessoasb.
0,7 0,6 0,4
Ao varivel devido ao uso e ocupao
Bibliotecas, arquivos, depsitos, oficinas e garagens e sobrecarga em coberturas.
0,8 0,7 0,6
Vento Presso dinmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0
Temperatura Variao uniforme de temperatura em relao media anual local.
0,6 0,5 0,3
Passarelas de pedestres 0,6 0,4 0,3
Vigas de rolamento de pontes rolantes 1,0 0,8 0,5
Cargas mveis e seus efeitos dinmicos
Pilares e outros elementos que suportam vigas de rolamento de pontes rolantes
0,7 0,6 0,4
a Edificaes residenciais de acesso restrito b Edificaes comerciais, de escritrios e de acesso ao pblico.
c Para estado limite de fadiga usar 1=1 d Para sismo como ao principal em combinaes excepcionais usar 2=0
-
15
2.3.2 Combinaes para estados limites de servio
Nas verificaes de estados limites de servio devem ser utilizadas aes nominais, ou seja, com
coeficiente de ponderao das aes f=1,0. Nas combinaes de aes de servio so usados os
fatores de reduo das aes 1 e 2, conforme Tabela 2.3. Essas combinaes de aes so
classificadas em raras, freqentes e quase permanentes.
Combinaes quase permanentes - Podem atuar durante um perodo da ordem da metade de vida
til da estrutura; e so utilizadas para os efeitos de longa durao e que comprometam a
aparncia da construo como, por exemplo, deslocamentos excessivos.
)( k,Qjj2
n
1j
m
1i
k,Giser FFF += ==
(2-4)
Qk2 F :- so os valores quase permanentes das aes variveis.
Combinaes freqentes Tem durao da ordem de 5% da vida til da estrutura ou se repetem
da ordem da 105 vezes em 50 anos. So utilizadas para verificao de estados limites que no
causam danos permanentes e/ou que esto relacionados ao conforto do usurio como vibraes,
movimentos laterais, empoamento, abertura de fissuras e etc.
)( k,Qjj2
n
2j
k,1Q1
m
1i
k,Giser FFFF ++= ==
(2-5)
FQ1 - ao varivel principal com seu valor freqente k,1Q1 F
Qk2 F -demais aes variveis com seus valores quase permanentes
Combinaes Raras - Podem atuar no mximo algumas horas durante o perodo de vida da
estrutura. Utilizadas para os estados limites irreversveis, isto , que causam danos permanentes
estrutura ou a outros componentes da construo, e para aqueles relacionados ao funcionamento
adequado da estrutura, tais como formao de fissuras e danos aos fechamentos.
)( k,Qjj1
n
2j
k,1Q
m
1i
k,Giser FFFF ++= ==
(2-6)
FQ1,k - ao varivel principal com seu valor caracterstico
Qk1 F - todas as demais aes com seus valores freqentes
Na Tabela 2.4 so apresentados os valores limites de deslocamentos que devem ser obedecidos
para o atendimento dos estados limites de servio em estruturas metlicas.
-
16
Tabela 2.4 Deslocamentos limites em Estruturas metlicas
Descrio 1)
L/180 2) Travessas de fechamento
L/120 3) 4)
L/180 5) Teras de cobertura 7)
L/120 6)
Vigas de cobertura 7) L/250
Vigas de piso L/350 8)
Vigas que suportam pilares L/500
Vigas de rolamento: 10)
- Deslocamento vertical para pontes rolantes com capacidade nominal inferior a 200 kN
- Deslocamento vertical para pontes rolantes com capacidade nominal igual ou superior a 200 kN, exceto pontes siderrgicas
- Deslocamento vertical para pontes rolantes siderrgicas com capacidade nominal igual ou superior a 200 kN
- Deslocamento horizontal, exceto para pontes rolantes siderrgicas
- Deslocamento horizontal para pontes rolantes siderrgicas
L/600 9)
L/800 9)
L/1000 9)
L/400
L/600
Galpes em geral e edifcios de um pavimento:
- Deslocamento horizontal do topo em relao base
- Deslocamento horizontal do nvel da viga de rolamento em relao base
H/300
H/400 11) 12)
Edifcios de dois ou mais pavimentos:
- Deslocamento horizontal do topo em relao base
- Deslocamento horizontal relativo entre dois pisos consecutivos
H/400
h/500 13) 1) L o vo terico entre apoios (para vigas biapoiadas) ou o dobro do comprimento terico do balano, H a altura total do pilar (distncia do topo base) ou a distncia do nvel da viga de rolamento base, h a altura do andar (distncia entre centros das vigas de dois pisos consecutivos). 2) Deslocamento entre linhas de tirantes, paralelo ao plano do fechamento. 3) Deslocamento perpendicular ao plano do fechamento. 4) Considerar apenas as aes variveis perpendiculares ao plano de fechamento (vento no fechamento) com seu valor raro. 5) Considerar combinaes raras de servio, utilizando-se aes variveis de mesmo sentido que o da ao permanente. 6) Considerar apenas as aes variveis de sentido oposto ao da ao permanente (vento de suco) com seu valor raro. 7) Em telhados com pequena declividade, deve-se tambm evitar a ocorrncia de empoamento. 8) Caso haja paredes de alvenaria sobre ou sob uma viga, solidarizadas com esta viga, o deslocamento vertical tambm no deve exceder 15 mm. 9) Valor no majorado pelo coeficiente de impacto. 10) Considerar combinaes raras de servio. 11) No caso de pontes rolantes siderrgicas, o deslocamento tambm no pode ser superior a 50 mm. 12) O diferencial do deslocamento horizontal entre pilares do prtico que suportam as vigas de rolamento no pode superar 15 mm. 13) Considerar apenas o deslocamento provocado pelas foras cortantes no andar considerado, desprezando-se os deslocamentos de corpo rgido provocados pelas deformaes axiais dos pilares e vigas.
-
17
2.4 Exerccio
Para a barra 1 da trelia que pertence a estrutura da Figura 2.1 determinar os esforos de clculo
para as aes atuantes na cobertura.
Aes:
Peso prprio: 30kg/m2
Sobrecarga: 25kg/m2
Monovia: 15kN
Vento suco: 0,70kN/m2
Vento presso: 0,50kN/m2
Figura 2.1 Esquema da Estrutura: Planta e elevao (cotas em mm)
Soluo 1 Determinam-se os carregamentos bsicos na trelia, calculam-se os esforos na
barra 1 para estes carregamentos e posteriormente as faz-se as combinaes com estes esforos
para obter-se os esforos de clculo.
Carregamentos bsicos: os carregamentos bsicos para a trelia so os apresentados em seguida:
As foras aplicadas em cada n so obtidas multiplicando o carregamento distribudo no telhado pela rea de contribuio de cada n que o produto da distncia entre trelias pela distncia entre teras.
No caso da monovia ser a capacidade nominal multiplicado por um coeficiente de impacto igual a 1,25.
Carregamento permanente
2
pG
2
pGGp Gp Gp
2
pG
2
pGGp Gp Gp
kN6,3263,0PG ==
Carregamento devido a sobrecarga
2
pQ
2
pQQp Qp Qp
2
pQ
2
pQQp Qp Qp
kN6,32625,0PQ ==
Carregamento devido a monovia
MPM
P
kN75,181525,1PM ==
Carregamento devido ao vento (vento 1) Carregamento devido ao vento (vento 2)
-
18
2
pVI
2
pVI
VIp VIp VIp2
pVI
2
pVI
VIp VIp VIp
kN4,8267,0PVI ==
2
pVII
2
pVIIVIIp VIIp VIIp
2
pVII
2
pVIIVIIp VIIp VIIp
kN6265,0PVI ==
Esforos na barra 1 para os carregamentos bsicos: resolvendo-se a trelia para cada um dos
carregamentos indicados na Tabela 2.5 encontra-se os esforos na barra 1 - Tabela 2.5.
Tabela 2.5 Esforos na barra 1
Carregamento Esforo barra 1 (kN)
Permanente +17,8 (trao)
Sobrecarga +14,8 (trao)
Monovia +26,5 (trao)
Vento 1 - 41,6 (compresso)
Vento 2 +29,7 (trao)
Combinaes: So possveis as seguintes combinaes para a estrutura em questo a fim de se
obter os esforos de clculo:
Combinao 1 com todos os esforos de trao considerando sobrecarga + monovia como ao principal. As duas podem ser somadas, pois so de mesma natureza.
)F(F)F( Qjj0
n
2j
qj1Q1q
m
1iiGgi
++ ==
VII6,04,1)MSC(5.1CP25,1 +++
KN1,1097,296,04,1)5,268,14(5.18,1725,1N 1comb =+++=
Combinao 2 - com todos os esforos de trao considerando o carregamento vento 2 como ao principal.
)F(F)F( Qjj0
n
2j
qj1Q1q
m
1iiGgi
++ ==
)MSC(5,05.1VII4,1CP25,1 +++
KN8,94)5,268,14(5,05.17,294,18,1725,1N 2comb =+++=
Combinao 3 - com todos os esforos de compresso e a ao permanente que obviamente deve est em todas as combinaes.
)F(F)F( Qjj0
n
2j
qj1Q1q
m
1iiGgi
++ ==
VI4,1CP0,1 + (a ao permanente favorvel nesta combinao)
( ) kN4,406,414,18,170,1N 3comb =+=
-
19
Portanto, os esforos de clculo sero aqueles correspondentes s combinaes crticas, ou seja,
a barra deve ser dimensionada para um esforo de trao de 109,1kN e para um esforo de
compresso de 40,4 kN, respectivamente. Esses valores so denominados envoltria de esforos.
Soluo 2 possvel resolver esse problema fazendo previamente as combinaes com os
carregamentos tomando-se o cuidado para no somar carregamentos com pontos de aplicaes
diferentes, como por exemplo, no caso da monovia.
Combinao
)F(F)F( Qjj0
n
2j
qj1Q1q
m
1iiGgi
++ ==
Croquis do carregamento de clculo correspondente
Combinao 1
VII6,04,1)MSC(5.1CP25,1 +++
kN1466,04,135.16,325,1F1 =++=
kN1,2875,185.1Fm1 ==
7kN 14kN 14kN 14kN 7kN
28,1kN
7kN 14kN 14kN 14kN 7kN
28,1kN
7kN 14kN 14kN 14kN 7kN
28,1kN
)MSC(5,05.1VII4,1CP25,1 +++
KN15,1535,05.164,16,325,1F1 =++=
kN06,1475,185,05,1Fm1 ==
7,6kN 15,15kN 15,15kN 15,15kN 7,6kN
14,06kN
7,6kN 15,15kN 15,15kN 15,15kN 7,6kN
14,06kN
7,6kN 15,15kN 15,15kN 15,15kN 7,6kN
14,06kN
Combinao 3
VI4,1CP0,1 + (a ao permanente favorvel nesta combinao)
( ) kN2,84,84,16,30,1F =+=
4,1kN 8,2kN 8,2kN 8,2kN 4,1kN4,1kN 8,2kN 8,2kN 8,2kN 4,1kN
Resolvendo as estruturas com os carregamentos acima se encontra a mesma envoltria de
esforos de clculo obtida na soluo 1.
-
20
3 ALISE ESTRUTURAL
3.1 Consideraes gerais
A anlise estrutural implicar na determinao da resposta da estrutura (esforos internos, reaes
e deslocamentos) as aes e combinaes de aes a ela impostas. uma das etapas mais
importantes no projeto estrutural, pois pouco importa rigor na determinao da capacidade
resistente de seus elementos constituintes se os esforos de clculo e deslocamentos no so
avaliados de maneira apropriada.
A anlise estrutural - determinao de esforos e deslocamentos - depende das caractersticas de
rigidez e deformabilidade da estrutura, do comportamento das sees, das imperfeies de
fabricao e montagem, do comportamento das ligaes e, principalmente, da estabilidade dos
elementos e da estrutura como um todo. Portanto, a escolha do modelo de anlise para uma dada
estrutura deve considerar todos esses aspectos.
Para a anlise estrutural possvel adotar um modelo elstico linear ou plstico; no primeiro caso
admite-se que as tenses nos elementos da estrutura so inferiores resistncia ao escoamento
do material, no segundo caso admite-se plastificao em algumas sees da estrutura e
redistribuio de esforos; o comportamento da estrutura ser dependente do comportamento
reolgico do material.
A anlise da estrutura pode ainda ser realizada em primeira ordem ou em segunda ordem sendo
que esta ltima mais apropriada para a verificao da estabilidade. A anlise em primeira
ordem pressupe, para o clculo de esforos e deslocamentos, o equilbrio da estrutura em sua
posio inicial indeformada. Ao contrrio, a anlise em segunda ordem estabelece o equilbrio da
-
21
estrutura na posio deformada, gerando esforos adicionais devido ao das foras sobre os
deslocamentos.
Em estruturas de edifcios de mltiplos andares ocorrem efeitos de 2 ordem globais
(denominados P-) e locais nos elementos constituintes (denominados p-). Esses efeitos so
oriundos dos deslocamentos que geram esforos adicionais e alteram os prprios deslocamentos;
caracterizando um comportamento geometricamente no-linear.
O grfico da Figura 3.1 apresenta as diferentes repostas fora aplicada x deslocamentos de uma
estrutura em funo do modelo de anlise adotado. Tenso
Deformao
fp
f cr2a ordem elstico
estabilidade elstica
1a ordem elstico
1a ordem inelstico
2a ordem inelstico
Figura 3.1 - Resposta estrutural em funo do modelo de anlise
Como pode se observar existe diferenas significativas na resposta estrutural, porm isso no
vlido para todas as tipologias estruturais. Existem casos, por exemplo, onde uma anlise elstica
linear pode ser suficientemente representativa. Recursos computacionais atualmente disponveis
facilitam a anlise estrutural e permitem o uso de mtodos de anlise mais rigorosos.
3.1.1 Efeitos de 2 ordem
Um mtodo simplificado bastante difundido para considerar os efeitos de 2 ordem o
denominado processo dos coeficientes de amplificao. Assumindo que o comportamento de
cada andar seja independente, e que o momento nos pilares decorrente dos efeitos de 2 ordem
seja equivalente aos causados por uma fora lateral igual a hFv / (binrio do momento causado pelo somatrio das foras verticais no andar pelo deslocamento horizontal) pode ser
determinada a rigidez de cada pavimento fazendo:
total
vH
ordem1
Hh/FFF
tolateraldeslocamen
horizontal foraR
a
+=
== (3-1)
-
22
FH Fora horizontal no andar considerado
Fv Foras verticais no andar considerado
ordema1 - Deslocamento horizontal de 1 ordem
h - Altura do pavimento
total - Deslocamento final total incluindo os efeitos de 2 ordem
Resolvendo a equao possvel determinar o deslocamento final total por:
=
=
2
H
v
total B
hF
F1
1 (3-2)
Como se v, os deslocamentos finais, incluindo os efeitos de 2 ordem globais, podem ser
estimados multiplicando-se os efeitos de 1 ordem por um coeficiente de modificao B2. Desde
que os momentos fletores sejam proporcionais aos deslocamentos laterais, o coeficiente B2
tambm pode ser aplicado aos momentos fletores de 1 ordem para obter os momentos fletores
em 2 ordem.
De forma anloga, possvel demonstrar que os esforos finais de 2 ordem locais, nas barras
que compem a estrutura, podem ser obtidos multiplicando os efeitos de 1 ordem por um fator
de modificao B1 dado por:
e
m1
P
P1
CB
= (3-3)
Onde:
P Fora normal de clculo
Pe Fora normal de flambagem elstica
Cm coeficiente que considera o efeito da distribuio no uniforme de momento fletor na barra
(coeficiente de uniformizao de momentos fletores).
O coeficiente Cm funo das condies de vinculao das extremidades e do carregamento nas
barras.
De forma geral, por este procedimento, ou seja, utilizando coeficiente de amplificao, os
esforos finais (momento fletor e fora normal), considerando os efeitos de segunda ordem
locais e globais podem ser determinados pelas expresses seguintes:
-
23
lt2ntr
lt2nt1r
PBPP
MBMBM
+=
+= (3-4)
Mnt Momento de 1 ordem devido s combinaes de aes adequadas, com os deslocamentos
horizontais na estrutura impedidos por apoios fictcios.
Mlt Momento de primeira ordem causado pelas reaes dos apoios fictcios utilizados para o
clculo de Mnt.
Portanto, so necessrias duas anlises em primeira ordem conforme ilustra a Figura 3.2.
q4
3
2
1
H4
3
2
1
H
H
H
q
q
q
q4
3
2
1
H4
3
2
1
H
H
H
q
q
q
=
R4H
R3H
R2H
R1H
+
R4H
R3H
R2H
R1H
Figura 3.2 - Esquema para anlise de 2 ordem com coeficientes de amplificao
Os coeficientes B1 e B2 so, respectivamente, os coeficientes de amplificao para os efeitos de
segunda ordem locais e globais, definidos e deduzidos anteriormente.
3.1.2 Influncia das imperfeies
Nas estruturas em ao podem est presentes imperfeies na geometria (desaprumo da estrutura
e/ou elementos no retilneos) e imperfeies no material como, por exemplo, a presena de
tenses residuais oriundas dos processos de fabricao.
As imperfeies geomtricas so decorrentes do desaprumo da estrutura e da falta de
alinhamento dos elementos que a constituem. No primeiro caso so denominadas imperfeies
globais e decorrem dos processos de montagem da estrutura; no segundo caso denominam-se
imperfeies locais que decorem dos processos de fabricao dos elementos. As normas tcnicas
estabelecem limites mximos para as imperfeies de fabricao em elementos de ao
(imperfeies locais) em funo do mximo desvio na barra; e para imperfeies globais em
funo dos deslocamentos relativos entre os nveis superior e inferior dos pavimentos.
Em geral as imperfeies locais podem ser embutidas nas expresses de dimensionamento dos
elementos, ou podem ser introduzida na anlise estrutural por meio de um conjunto de foras
-
24
transversais ao eixo da barra que representem essas imperfeies. Outra soluo seria o
desenvolvimento de elementos finitos curvos que em sua formulao possa ser contemplada as
essas imperfeies locais.
As imperfeies globais podem ser inseridas diretamente na anlise modelando a geometria da
estrutura com uma inclinao correspondente ao desaprumo; esse no um procedimento prtico
para o dia-a-dia de projeto. Pode-se ainda aplicar deslocamentos nodais ou foras horizontais
fictcias que correspondam s imperfeies geomtricas globais. As foras horizontais fictcias
tambm denominadas foras nocionais so aplicadas ao nvel de cada pavimento e calculadas
como uma frao das aes gravitacionais no pavimento considerado.
As imperfeies de material so decorrentes das tenses residuais presentes nos perfis e que so
oriundas dos processos de fabricao. Essas tenses residuais alteram o diagrama tenso x
deformao do material reduzindo o trecho de comportamento elstico linear. Para representar
esse fenmeno de forma rigorosa seria necessria uma anlise fsica no-linear que feita de
forma interativa impondo que as tenses nos elementos estruturais obedeam a um diagrama
tenso x deformao pr-estabelecido. De forma simplificada as tenses residuais podem ser
consideradas com redues na rigidez axial e a flexo dos elementos.
3.1.3 Influncia do comportamento das ligaes
De modo geral as ligaes so consideradas na anlise idealmente como flexveis ou rgidas. No
entanto, a rigor, o comportamento das ligaes definido por uma curva momento-rotao e,
desta forma possvel determinar a rigidez, o momento resistente e a capacidade de rotao das
ligaes e, em funo disto, classific-las em flexveis, rgidas e semi-rgidas. Esse
comportamento deve ser considerado na anlise quando necessrio.
Na anlise estrutural a rigidez da ligao pode ser simulada por meio de molas de rotao com
rigidez equivalente a rigidez da ligao em questo. Conseqentemente essa considerao leva a
diferentes distribuies de esforos na estrutura e a diferentes trajetrias de equilbrio
influenciando tambm a estabilidade da estrutura.
3.1.4 Estabilidade estrutural
Deve se garantir a estabilidade da estrutura como um todo e a estabilidade de seus elementos
individualmente. A anlise da estabilidade estrutural deve levar em conta, quando necessrio, os
efeitos de 2 ordem, imperfeies iniciais e a influncia das ligaes. A verificao da
estabilidade por ser conduzida de uma das formas abaixo:
-
25
Por meio de uma anlise global incluindo as imperfeies (de material e geomtricas locais e
globais), todos os efeitos de 2 ordem (globais e locais) e, caso seja necessrio, a rigidez das
ligaes. Neste caso, para o dimensionamento dos elementos comprimidos o comprimento
efetivo de flambagem o prprio comprimento terico deste elemento, ou seja, com essa anlise
o coeficiente de flambagem ser K=1 em todas as situaes. A NBR 8800:2008 recomenda este
tipo de anlise com base em um procedimento simplificado apresentado em seu Anexo D.
Por meio de uma anlise global incluindo apenas as imperfeies e efeitos de 2 ordem globais.
As imperfeies e os efeitos de 2 ordem locais so embutidos nas expresses de
dimensionamento dos elementos comprimidos.
A estabilidade global pode ainda ser verificada de forma indireta por meio da verificao da
estabilidade dos seus elementos constituintes. Neste caso faz-se uma correlao, por meios dos
comprimentos efetivo de flambagem, entre o modo de flambagem dos elementos individuais e
modo de flambagem global da estrutura. Ou seja, necessrio determinar os coeficientes de
flambagem das barras em funo da rigidez dos seus ns de extremidades; o que feito por meio
dos grficos de alinhamentos no caso de barras pertencentes a estruturas contnuas.
3.2 Anlise estrutural segundo a BR 8800:2008
A NBR 8800:2008 classifica a estrutura quanto deslocabilidade, e em funo desta
classificao adota diferentes procedimentos para a considerao dos efeitos de 2 ordem e das
imperfeies iniciais. O texto atual apresenta grande evoluo em relao ao anterior no que diz
respeito anlise estrutural; passa a ser exigida a anlise em 2 ordem e o mtodo do
comprimento efetivo de flambagem abolido.
3.2.1 Classificao quanto deslocabilidade
As estruturas so classificadas quanto deslocabilidade em funo da relao entre o
deslocamento lateral de cada andar relativo a sua base obtida em anlise de 2 ordem e aquele
obtido em anlise de 1 ordem para as combinaes de aes ltimas pertinentes.
A NBR 8800:2008 classifica as estruturas em pequena, mdia e grande deslocabilidade. A
estrutura dita de pequena deslocabilidade quando a relao entre os deslocamentos em 2
ordem e os deslocamentos em 1 ordem no ultrapassarem 1,1 em todos os andares. De mdia
deslocabilidade quando essa relao estiver entre 1,1 e 1,4 em pelo menos um dos andares.
Grande deslocabilidade quando a relao entre os deslocamentos em 2 ordem e os
deslocamentos em 1 ordem ultrapassarem 1,4 em pelo menos um dos andares. A relao entre
-
26
os deslocamentos em 2 ordem e os deslocamentos em 1 ordem pode ser determinada de forma
aproximada pelo parmetro B2 que deve ser calculado para cada um dos andares da estrutura.
=
Sd
Sdh
m H
hR
B
..1
1
12 (3-5)
Onde:
Sd - Somatrio da fora normal de clculo nos pilares do andar considerado;
SdH Fora cortante no andar considerado produzida pelas foras horizontais de clculo;
h - Deslocamento relativo entre os nveis superior e inferior de cada andar obtido em anlise de 1 ordem;
h - Altura do pavimento;
mR - Coeficiente de ajuste. 0,85 para estruturas aporticadas e 1 para os demais casos.
Para efeito de classificao as imperfeies iniciais de material no precisam ser consideradas na
anlise de primeira ordem.
3.2.2 Anlise de 1 ordem elstica
Para estruturas de pequena deslocabilidade a anlise estrutural pode ser realizada em 1 ordem
desde que sejam obedecidas as seguintes exigncias:
A fora axial de clculo, em cada uma das combinaes ltimas, em todas as barras que
participam do sistema de estilizao lateral no deve superar 50% da fora normal de
escoamento da seo transversal destas barras;
As imperfeies geomtricas devem ser includas na anlise;
Os efeitos de segunda ordem locais devem ser considerados na determinao dos
esforos de clculo nas barras da estrutura.
Os esforos de clculo finais das barras considerando os efeitos de 2 ordem locais podem ser
obtidos majorando os esforos de 1 ordem pelo parmetro B1 dado por:
11 1
1
=
e
Sd
m
CB (3-6)
Onde:
-
27
1Sd - Fora axial de compresso solicitante de clculo na barra considerada obtida em anlise de
1 ordem.
e - Fora axial de flambagem elstica com o comprimento real da barra; considerando se for o
caso as imperfeies de material.
mC - Coeficientes de uniformizao de momentos fletores dado por:
1=mC Quando houver foras transversais entre as extremidades da barra no plano de flexo.
2
14,06,0M
MCm = Quando no houver foras transversais entre as extremidades da barra no
plano de flexo.
2
1
M
M a relao entre o menor e o maior momento fletor nas extremidades da barra que deve ser
tomado positivo quando os momentos provocarem curvatura reversa e negativo quando os
momentos provocarem curvatura simples.
Se a fora axial na barras for de trao deve ser considerado B1=1.
Cumpridas essas exigncias para anlise de 1 ordem o coeficiente de flambagem pode ser K=1
no dimensionamento das barras comprimidas.
3.2.3 Anlise de 2 ordem
Para as estruturas de pequena deslocabilidade onde a anlise em 1 ordem no for possvel e nas
estruturas de mdia deslocabilidade os esforos solicitantes finais de clculo devem ser obtidos
em anlise de 2 ordem. permitido qualquer mtodo de anlise rigorosa, simplificada ou
aproximada. sugerido o mtodo de amplificao de esforos baseado nos coeficientes B1 e B2
que pode ser considerado uma aproximao aceitvel para os efeitos de 2 ordem locais e
globais.
Nestes casos devem ser includas na anlise as imperfeies geomtricas que pode ser por meio
de aplicao de foras nocionais ao nvel de cada andar. E, nas estruturas de grande
deslocabilidade deve tambm se incluir as imperfeies do material por meio da reduo da
rigidez a flexo e axial das barras para 80% de seus valores reais.
Os esforos solicitantes de clculo finais, em cada andar da estrutura, segundo o mtodo de
amplificao B1 e B2 so dados por:
-
28
lt2ntr
lt2nt1r
PBPP
MBMBM
+=
+= (3-7)
Onde:
Mnt e Nnt so, respectivamente, o momento fletor e a fora axial solicitantes de clculo, obtidos
por anlise elstica de primeira ordem, com os ns da estrutura impedidos de se deslocar
horizontalmente (usando-se, na anlise, contenes horizontais fictcias em cada andar Figura
3.3b);
Mlt e Nlt so, respectivamente, momentos fletor e a fora axial solicitante de clculo, obtidos por
anlise elstica de primeira ordem, correspondente apenas ao efeito dos deslocamentos
horizontais dos ns da estrutura (efeito das reaes das contenes fictcias aplicadas em sentido
contrrio, nos mesmos pontos onde tais contenes foram colocadas Figura 3.3c);
q4
3
2
1
H4
3
2
1
H
H
H
q
q
q
q4
3
2
1
H4
3
2
1
H
H
H
q
q
q
=
R4H
R3H
R2H
R1H
+
R4H
R3H
R2H
R1H
Figura 3.3 - Modelo para Anlise aproximada de 2 ordem
A fora cortante solicitante de clculo pode ser tomada igual da anlise elstica de primeira
ordem na estrutura original que corresponde a:
ltntSd VVV += (3-8)
Para as estruturas de grande deslocabilidade deve ser feita uma anlise rigorosa levando-se em
conta as no-linearidades geomtricas e de material. Opcionalmente, a critrio do responsvel
tcnico pelo projeto estrutural, poder ser utilizado o procedimento de anlise apresentado para
as estruturas de mdia deslocabilidade, desde que os efeitos das imperfeies geomtricas
iniciais sejam adicionados s combinaes ltimas de aes em que atuem aes variveis
devidas ao vento.
-
29
Tendo sido feita a anlise de 2 ordem, ainda que por procedimentos simplificados, o coeficiente
de flambagem pode ser K=1 no dimensionamento das barras comprimidas.
3.2.4 Considerao das imperfeies iniciais
Nas estruturas de pequena e mdia deslocabilidade, os efeitos das imperfeies geomtricas
iniciais devem ser levados em conta diretamente na anlise por meio da considerao, em cada
andar, de um deslocamento horizontal relativo entre os nveis inferior e superior
(interpavimento) de h/333, sendo h a altura do andar. Alternativamente estes efeitos podem ser
levados em conta pela aplicao, em cada andar, de uma fora horizontal fictcia (fora nocional)
igual a 0,3% do valor das cargas gravitacionais de clculo aplicadas em todos os pilares e outros
elementos resistentes a cargas verticais, no andar considerado. No necessrio som-las s
reaes horizontais de apoio. Os efeitos das imperfeies geomtricas iniciais devero ser
considerados independentemente em duas direes ortogonais em planta da estrutura. Esses
efeitos podem ser entendidos como um carregamento lateral mnimo. Entende-se aqui como
carregamento lateral mnimo o fato de no se considerar imperfeio geomtrica nas
combinaes de aes que contenham os carregamentos de vento.
Nas estruturas de mdia deslocabilidade deve se incluir tambm as imperfeies de material por
meio da reduo da rigidez a flexo e axial das barras para 80% de seus valores reais.
Nas estruturas de grande deslocabilidade as foras nocionais devido s imperfeies geomtricas
devem ser adicionadas a todas as combinaes de aes ltimas inclusive quelas que contenham
aes horizontais devidas ao vento.
3.3 Exemplo de aplicao
Neste tpico ser apresentado um exemplo que considera os efeitos de 2 ordem segundo as
especificaes do NBR 8800:2008. A geometria da estrutura, as sees transversais das barras e
o carregamento de clculo so apresentados na Figura 3.4. Para o ao foi utilizado o mdulo de
elasticidade E = 20500 kN/cm2.
-
30
V1
V2
V1
V2
Figura 3.4 Geometria e carregamentos do prtico exemplo
O primeiro passo realizar uma anlise da estrutura em 1 ordem em regime elstico e sem
imperfeies. Com os deslocamentos obtidos nesta anlise calcula-se o parmetro B2 para
classificar a estrutura quanto deslocabilidade. Na Tabela 3.1 os resultados de deslocamentos
em primeira ordem e os parmetros necessrios para a classificao da estrutura.
Tabela 3.1 Classificao da estrutura
Clculo de
=
Sd
Sdh
m H
hR
B
..1
1
12
Pavimento h (cm) (cm) 1h (cm) SNSd (kN) SHSd (kN) B2 Classificao
1 500 2,82 2,82 1296 70 1,14
2 500 5,55 2,63 573 40 1,10
Mdia deslocabilidade
Como 4,11,1 2 < B a estrutura classificada de mdia deslocabilidade e, portanto, devem ser
consideradas as imperfeies de material reduzindo a rigidez axial e de flexo das barras para
80% dos valores originais e, conseqentemente, recalcular o parmetro B2 para determinao dos
esforos finais. A Tabela 3.2 apresenta o clculo de B2 incluindo os efeitos dessas imperfeies
de material.
-
31
Tabela 3.2 Clculo de B2 com imperfeies de material
Pavimento h (cm) (cm) 1h (cm) SNSd (kN) SHSd (kN) B2
1 500 3,54 3,54 1296 70 1,18
2 500 6,77 3,20 573 30 1,12
Neste caso, devem ser consideradas foras horizontais fictcias (nocionais) para levar em conta
as imperfeies geomtricas. Porm, Pelo o fato da estrutura ser classificada de mdia
deslocabilidade e atuar na estrutura aes laterais devidas ao vento implica a no considerao
das foras nocionais fictcias na mesma combinao da ao do vento. A rigor essas foras
nocionais devem ser consideradas em outra combinao de aes em que no esteja presente a
ao do vento.
Para avaliar os efeitos locais de segunda ordem deve-se calcular, para cada barra o parmetro B1,
conforme apresentado na Tabela 3.3.
Tabela 3.3 clculo de B1
0,11 1
1
=
e
Sd
m
CB
Barra Nsd (kN) Ne (kN) Cm B1
P1 613,92 6759,0 0,79 1,0
P2 682,08 6759,0 0,97 1,08
P3 274,84 6759,0 0,79 1,0
P4 298,16 6759,0 0,97 1,01
V1 79,41 3740,0 1,0 1,02
V2 Trao 3740,0 1,0 1,00
Para o clculo de e devemos considerar a rigidez EI com 80% do valor original, pois a estrutura
foi classificada como de mdia deslocabilidade e o comprimento efetivo de flambagem igual ao
comprimento da barra.
Para a determinao dos esforos finais necessrio decompor a estrutura original a fim de
separar os efeitos locais e globais, conforme ilustra a Figura 3.3. A Tabela 3.4 Tabela 3.5
apresentam respectivamente os esforos finais considerando os efeitos de 2 ordem com os
parmetros B1 e B2 em comparao com os obtidos em 1 ordem.
-
32
Tabela 3.4 - Momentos de clculo em 1 e em 2 ordem segundo nas extremidades e no meio da barra
Barra Cota (m) M1 (kNm) Mnt (kNm) MLt (kNm) B1 B2 M2 (kNm)
M1/M2
1 0,0 61,8 -43,0 105,1 1,0 1,18 81,02 1,31
1 2,5 41,0 23,8 17,2 1,0 1,18 44,10 1,08
1 5,0 20,1 90,5 -70,6 1,0 1,18 7,19 0,36
2 0,0 -100,5 -141,5 40,8 1,08 1,12 -107,12 1,07
2 2,5 -2,2 6,0 -8,3 1,08 1,12 -2,82 1,28
2 5,0 96,1 153,5 -57,4 1,08 1,12 101,49 1,06
3 0,0 147,8 42,6 104,8 1,0 1,18 166,26 1,12
3 2,5 -6,4 -23,6 17,2 1,0 1,18 -3,30 0,52
3 5,0 -160,5 -89,9 -70,4 1,0 1,18 -172,97 1,08
4 0,0 184,1 143,2 40,9 1,01 1,12 190,44 1,03
4 2,5 -14,2 -5,9 -8,2 1,01 1,12 -15,14 1,07
4 5,0 -212,5 -155,1 -57,4 1,01 1,12 -220,94 1,04
5 0,0 -120,6 -232,0 111,5 1,02 1,18 -105,07 0,87
5 4,5 201,8 190,7 11,2 1,02 1,18 207,73 1,03
5 10,0 -344,6 -233,1 -111,4 1,02 1,18 -369,21 1,07
6 0,0 -96,1 -153,5 57,4 1,00 1,12 -89,21 0,93
6 4,5 -79,3 178,2 -99,0 1,00 1,12 67,32 0,85
6 10,0 -212,5 -155,1 -57,4 1,00 1,12 -219,39 1,03
Tabela 3.5 Esforos normais de clculo em 1 e em 2 ordem
Barra P1 (kNm) Pnt (kNm) PLt (kNm) B1 B2 P2 (kNm) P1/P2
1 -614,0 -647,7 33,8 1,0 1,18 -607,82 0,99
2 -274,9 -286,3 11,5 1,08 1,12 -273,42 0,99
3 -682,0 -648,3 -33,8 1,0 1,18 -688,18 1,01
4 -298,1 -286,7 -11,5 1,01 1,12 -299,58 1,00
5 17,7 2,3 -15,4 1,00 1,18 -15,87 0,90
6 -79,3 -99,0 -19,7 1,00 1,12 -121,06 1,53
-
33
4 TRAO
Elementos submetidos trao so encontrados em barras de trelias, pendurais, barras de
contraventamento, tirantes e etc.
Os elementos metlicos quando submetidos a esforos de trao no esto sujeitos a
instabilidades. Neste caso, os estados limites aplicveis esto relacionados ao escoamento da
seo bruta e a ruptura de seo efetiva na regio da ligao Figura 4.1.
f t= c te
FF
fm ax
FF
=3 f m ed
fm ed
Seo bruta Seo lquida
Figura 4.1 Distribuio de tenses em barras tracionadas
Na seo bruta plausvel admitir distribuio de tenses uniformes ao contrrio do que ocorre
na seo lquida devido concentrao de tenses junto a parafusos e/ou soldas e pelo fato da
ligao, em certos casos, conectar apenas parte dos elementos que formam a seo.
4.1 Determinao da resistncia de clculo a trao
A resistncia de clculo a trao ser o menor valor obtido para os estados limites ltimos
aplicveis, ou seja, escoamento da seo efetiva e ruptura da seo lquida.
Estado limite ltimo de escoamento da seo bruta:
-
34
1,1 com , == yg
Rdt
fA (4-1)
Estado limite ltimo de ruptura da seo lquida efetiva:
35,1 com , == ue
Rdt
fA (4-2)
nte ACA = (4-3)
yf - Resistncia ao escoamento
uf - Resistncia a ruptura
gA - rea bruta da seo
nA - rea lquida da seo
eA - rea lquida efetiva
tC - Coeficiente de reduo da rea lquida.
Em sees onde no existam furos a rea lquida ser igual a rea bruta. Em sees conectadas
por meio de parafusos a rea liquida An dada pela diferena entre a rea bruta e o somatrio das
reas de furos na seo considerada. Para o clculo do dimetro do furo deve ser acrescido ao
dimetro do parafuso 1,5mm (para furo padro) e mais 2 mm de folga (prevendo danificao do
material na borda do furo, sobretudo em furos puncionados).
= tdAA fgn com mmmmdd bf 25,1 ++= (4-4)
fd - dimetro do furo t - espessura da seo
No caso de furos em zig-zag deve se somar a parcela g
s4
2 para cada trecho inclinado entre
furos - Figura 4.2. Nesta situao existem vrias possibilidades de seo de ruptura, sendo que a
crtica corresponde a cadeia de furos que resultar com menor rea lquida.
g
stdAA fgn 4
2
+= (4-5) NSd12
g
s
Figura 4.2 rea lquida em regies com furos em zig-zag
-
35
comum que as ligaes nas extremidades de barras tracionadas no se estendam a todos os
elementos da seo. Nestes casos ocorrem concentraes tenses junto aos elementos conectados
e alvio nas partes no conectadas do perfil; resultando em reduo da eficincia da seo -
Figura 4.3.
Figura 4.3 Fluxo de tenses nas extremidades de barras tracionadas.
Esse efeito considerado no clculo, de forma indireta, por meio de um coeficiente de reduo
da rea lquida (Ct) que depende do arranjo de parafusos e soldas nas ligaes de extremidades.
A Tabela 4.1 apresenta os valores do coeficiente Ct para diversas situaes.
Tabela 4.1 Valores do coeficiente de reduo Ct
Situao Ct Observaes
Todos os elementos da seo conectados por solda ou
parafuso
1
Solicitao de trao transmitida por soldas
transversais a solicitao g
ct
A
AC =
Ac rea conectada
Ag rea bruta da seo
Perfis abertos onde a solicitao transmitida, em partes dos elementos da
seo, por parafusos, soldas longitudinais, ou
combinao de soldas longitudinais e transversais.
9,016,0 =c
ct
eC
l
ce - Distncia entre o cg e o plano de cisalhamento.
cl - Comprimento da solda ou distncia do primeiro ao
ltimo parafuso.
ec
ec
G
ec
ec ec
G de Ue G de UdG de Ti
G de Ts
Ti
Ts
Ue Ud
Chapas planas com solicitao de trao transmitidas por solda
longitudinal. b1,5b para 75,0C
b5,12b para 87,0C
b2 para 1C
wt
wt
wt
>=
>=
=
l
l
l
lw
b
-
36
4.1.1 Verificao para estado limite de servio
Elementos tracionados podem resultar em seo com elevado ndice de esbeltez o que pode dar
origem a vibraes excessivas sob a ao de impactos, do vento ou de algum outro tipo de
perturbao, constituindo um estado limite de servio.
As normas costumam limitar o ndice de esbeltez mximo dos elementos tracionados para evitar
esses estados limites. Segundo a NBR 8800:2008 a esbeltez de elementos tracionados no dever
superar 300, excetuando-se desse limite as barras redondas pr-tensionadas e outras barras
montadas com pr-tenso, para as quais no h limitao de esbeltez.
Em sees formadas por composio de perfis a ebeltez de cada perfil que compe a seo
tambm est limitada a 300. Nestes casos os perfis podem ser interligados atravs chapas
espaadoras, de modo que o maior ndice de esbeltez de qualquer perfil entre essas chapas
espaadoras, no ultrapasse 300 - Figura 4.4.
(l/r)max 300
A
l
A
Corte A-A
rmn
Figura 4.4 Seo composta com chapas espaadoras (presilhas)
4.2 Exerccio
Dimensionar a diagonal de apoio da trelia da Figura 4.5 para a envoltria de esforos obtida no
exerccio do item 2.4. No pr-dimensionamento foi definida uma seo dupla cantoneira 2L 63 x
4,75mm em ao ASTM A36. O detalhe de ligao na extremidade da barra tambm
apresentado na Figura 4.5. Neste exemplo a seo 2L 63 x 4,75mm ser verificada para o
esforo de calculo a trao Nsd=109kN.
20
40
40
20
2L 63 x 4,75
Par. 12,5mm
Figura 4.5 Trelia e detalhe de ligao para exerccio 4.2 (cotas em mm)
-
37
As propriedades geometrias da seo so as apresentadas na Tabela 4.2.
Tabela 4.2 Propriedades geomtricas da seo dupla cantoneira 2L 63 x 4,75mm
b (mm)
t (mm)
tch (mm)
A (cm2)
rx (cm)
ry (cm)
rz (cm)
X cg (cm)
y
x
b
b
t
z
xcg
ycg
xCGtch
t y
63 4,75 6,3 11,6 1,98 2,87 1,27 1,75
Verificao do estado limite ultimo de escoamento da seo bruta:
fA
Nye
Rd,t = 263,6kN
1,1
256,11N Rd,t =
=
Verificao do estado limite ultimo de ruptura da seo efetiva
fA
N ueRd,t = nte ACA =
2
bgn cm08,10)2,015,025,1(475,026,11)2,015,0d(t2AA =++=++=
9,0e
1C6,0c
ct =
l
mm5,17Xe cgc == 78,080
5,171
e1C
c
ct ===
l
nte ACA = 86,708,1078,0Ae ==
kN23335,1
4086,7N Rd,t =
=
3001431,98
282,8
rx
xx ===
lok
3005,892,87
282,8
ry
y
y ===l
ok
3002281,24
282,8
rz
zz ===
l ok
Portanto a resistncia de clculo a trao do elemento kN233N Rd,t = . Para a verificao da
segurana: ok. kN109N N Sd,tRd,t =
Verificao do estado limite de servio ELS
-
38
Para verificao do estado limite de servio a esbeltez da seo, composta por dupla cantoneira
no poder superar 300. A esbletez de uma cantoneira isolada em relao ao eixo de menor
inrcia tambm no poder superar 300.
Portanto, a seo 2L 63 x 4,75mm est verificada para os estados limites ltimos e de servio.
-
39
5 COMPRESSO
O modo de colapso em barras submetidas compresso pode est associado ao escoamento da
seo, a instabilidade global da barra ou a instabilidade local dos elementos que compem a
seo. Em barras curtas e sees formadas por elementos com baixa relao largura/espessura
pode ocorrer a plastificao. Porm, nos casos prticos predomina o colapso por instabilidade
global, local ou a combinao destes dois fenmenos.
5.1 Instabilidade Global aspectos tericos
5.1.1 Carga crtica de flambagem elstica
A flambagem, que um problema de estabilidade estrutural, se caracteriza pela ocorrncia de
grandes deformaes transvasais em elementos submetidos a esforos de compresso. Em
estruturas metlicas os problemas de estabilidade so particularmente importantes j que os seus
elementos apresentam elevada esbeltez em funo da grande resistncia do ao.
O fenmeno da flambagem foi inicialmente estudo por EULER (1707-1783). Nos seus estudos
EULER considerou uma barra ideal com as seguintes simplificaes e/ou aproximaes:
Material homogneo de comportamento elstico linear perfeito;
Barra prismtica e sem imperfeies;
Extremidades rotuladas (vnculos ideais);
Fora aplicada sem excentricidade.
No ocorre estabilidade local dos elementos da seo
-
40
Segundo essas hipteses simplificadoras e admitindo o equilbrio da barra em uma posio
levemente deformada possvel deduzir a equao diferencial que rege o problema partindo-se
da equao da linha elstica (Figura 5.1)
Barra para estudo da flambagem
Modos de flambagem
P P (n = 1)cr P (n = 2)cr P (n = 3)cr
E = mdulo de elasticidade
I = momento de inrcia da seo
PvMdx
vdEI ==
2
2
ou 02
2
=
+ vEI
P
dx
vd (5-1)
A soluo geral para essa equao diferencial homognea de segunda ordem do tipo:
+
= x
EI
PCx
EI
PsenCv cos21 (5-2)
As constantes C1 e C2 podem ser determinadas utilizando as condies de contorno nos apoios. Ou seja, no caso de apoios rotulados tem 0=v
em 0=x e Lx = que resulta em respectivamente:
02 =C
0sen1 =
L
EI
PC
A segunda condio ser satisfeita se 0=
L
EI
Psen o que ocorre
para nLEI
P= o que permite determinar a carga crtica:
2
22
L
EInP
= (5-3)
O primeiro modo de flambagem ocorre para 1=n e a fora correspondente e a fora crtica de EULER
2
2
L
EIPcr
= (5-4)
Figura 5.1 Equilbrio da barra para estudo da flambagem e equacionamento
Para condies de contorno diferentes obviamente obtem-se valores diferentes para crP aps a
soluo da equao diferencial. Na prtica de projetos pode-se substituir o comprimento real da
barra por um comprimento fictcio denominado comprimento efetivo de flambagem; para isso
deve-se multiplicar o comprimento da barra em questo por uma constante denominada
coeficiente de flambagem K que funo das condies de apoios. O comprimento efetivo de
flambagem seria o comprimento que uma barra com condio de vnculo qualquer deveria ter
para flambar como uma barra biarticulada. Em uma linguagem mais tcnica seria a distncia
entre pontos de inflexo na linha elstica da barra - Figura 5.2.
-
41
Figura 5.2 conceito de comprimento de flambagem
Dividindo-se a fora crtica de EULER pela rea da seo transversal do elemento definir-se a
tenso crtica de flambagem elstica:
2
2
cr
Ef
= (5-5)
Onde denominada esbeltez da barra e dada por: r
Lk= sendo r o raio de girao da
seo transversal.
Em elementos sem imperfeies geomtricas iniciais e constitudos de ao com comportamento
elstico perfeitamente plstico s ocorrer flambagem em regime elstico se a tenso crtica de
EULER for inferior a resistncia ao escoamento. Caso o elemento no apresente flambagem sua
tenso crtica ser igual a tenso limite de escoamento do ao, ou seja:
y2
2
cr fE
f =
= (5-6)
Donde se deduz a esbeltez limite de plastificao
y
2
plf
E= (5-7)
E com base na esbeltez de plastificao define-se o coeficiente de esbeltez reduzido:
-
42
pl
=0 (5-8)
Portanto, em barras curtas com esbeltez pl no ocorre flambagem e a falha ocorre por
plastificao da seo. Em barras longas com esbeltez pl ocorre flambagem em regime
elstico dentro da validade das hipteses de EULER. O comportamento tenso normal x
esbeltez de um elemento comprimido representado na Figura 5.3; possvel definir um fator de
flambagem global dados por y
cr
f
f= e apresentar esse comportamento independente das
dimenses das grandezas envolvidas.
f= NA
fy
pl
f= E2
2
Figura 5.3 Comportamento tenso x esbeltez para elementos comprimidos
Alm da flambagem por flexo, que um caso particular de instabilidade, em barras de seo
abertas e paredes finas pode ocorrer outros fenmenos de instabilidade denominados, flambagem
por toro e flambagem por flexo-toro. A flambagem por toro est associada a rotaes da
seo transversal do elemento. A flambagem por flexo-toro caracteriza-se pela ocorrncia
combinada de flambagem por flexo e por toro nas sees transversais do elemento
comprimido - Figura 5.4.
-
43
yP
Px
zP
x
y
Pz
y
xx
(a) Por flexo (b) Por flexo-toro (c) Por toro
Figura 5.4 Modos de Flambagem
Em sees duplamente simtricas pode haver predominncia do caso particular de flambagem
por flexo, no entanto em seo monosimtricas e assimtricas os outros modos de flambagem
podem ser crticos e, portanto, devem ser considerados no dimensionamento.
Considere-se o caso geral de instabilidade de uma barra com seo transversal assimtrica
conforme apresentado na Figura 5.5.
x
y
cg
ct x0
y0 x
y
cg
ct x0
y0
Figura 5.5 Caso geral de instabilidade de barras
A equao 5-9, obtida estudando-se o equilbrio da barra em uma posio deslocada, rege o
problema geral de estabilidade.
( )( )( ) ( ) ( ) 0r
yNNN
r
xNNNNNNNNN
2
o
o
exe
2
e
2
o
o
eye
2
eezeeyeexe =
(5-9)
Ne = Normal de flambagem elstica
Nex = Normal de flambagem elstica por flexo no eixo x
Ney = Normal de flambagem elstica por flexo no eixo y
Ney = Normal de flambagem elstica por toro
-
44
x0 e y0 = Coordenadas do centro de toro (Ct)
r0= raio de girao polar dado por: 2
y
2
x
2
0
2
00 rryxr +++=
rx e ry = raios de girao da seo
Neste caso os modos de flambagem (flambagem por flexo em torno do eixo x Nex, flambagem
por flexo em torno do eixo y Ney e flambagem por toro Nez) ocorrem acoplados e a carga
crtica Ne de estabilidade elstica ser a menor raiz da equao 5-9.
No caso de sees monosimtrica, por exemplo, com simetria no eixo y a coordenada x0 do
centro de toro Ct nula e, portanto a equao 5-9 toma a forma:
( )( )( ) ( ) 0r
yNNNNNNNNN
2
o
o
exe
2
eezeeyeexe =
(5-10)
Para que a equao 5-10 seja satisfeita necessrio que:
( ) 0NN exe = (5-11) e ( )( ) 0r
yNNNNN
2
o
o2
eezeeye =
(5-12) Resultando:
2
xx
x
2
exe)LK(
EINN
== (5-13) e
+
+==
2
ezey
2
ooezey
2
oo
ezey
eyze)NN(
])r/y(1[NN411
])r/y(1[2
NNNN (5-14)
Na primeira situao (equao 5-13) tem-se o modo de flambagem por flexo no eixo x e na
segunda (equao 5-14) um acoplamento entre flambagem por flexo em y e toro, ou seja,
flambagem por flexo-toro. Portanto, em uma seo monosimtrica podem ocorrer flambagem
por flexo-toro ou flambagem por flexo no eixo de no simetria, predomina o modo que
resultar com menor carga crtica.
Em sees duplamente simtricas as coordenadas x0 e y0 do centro de toro so nulas, e a
Equao 5-9 transforma em:
( )( )( ) 0NNNNNN ezeeyeexe = (5-15)
Cujas razes so:
2
xx
x
2
exe)LK(
EINN
== (5-16)
-
45
2
yy
y
2
eye)LK(
EINN
== (5-17)
+
== T2
zz
w
2
2
o
eze GI)LK(
EC
r
1NN (5-18)
Ou seja, em sees duplamente simtricas os modos de flambagem ocorrem desacoplados,
podendo ocorrer um dos trs casos; predominando o modo que resultar com menor carga crtica.
A Equao 5-17 corresponde carga crtica de flambagem por toro que funo do: mdulo
de elasticidade (E), do mdulo de elasticidade transversal (G), do momento de inrcia a toro
(It) da constante de empenamento (CW), do raio de girao polar e do comprimento efetivo de
flambagem a toro.
O CW uma propriedade geomtrica dos perfis relacionada rigidez ao empenamento da seo
transversal. Esse fenmeno de empenamento caractersticas de perfis de seo aberta onde para
um dado esforo de toro aplicado ao perfila sua seo transversal inicialmente plana perde essa
condio em conseqncia das deformaes produzidas pelo esforo aplicado. A figura ilustra
este fenmeno.
Figura 5.6 Fenmeno de empenamento em sees abertas
A definio do comprimento efetivo de flambagem a toro anlogo ao da flexo, ou seja,
funo das condies de vnculos nas extremidades do elemento estrutural. Para os casos
prticos de projeto podem ser adotado os seguintes valores para o coeficiente de flambagem por
toro Kz:
Kz=1 para rotao impedida e empenamento livre em ambas as extremidade das barras;
Kz=2 para rotao e empenamento livre em uma extremidade e rotao e empenamento
impedido na outra extremidade.
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5.1.2 Efeito das imperfeies
Nos casos prticos das construes sempre existe algum tipo de imperfeio geomtrica oriundo
dos processos de fabricao ou construtivos que provocam excentricidades inicias dos
carregamentos e alteram o comportamento do elemento no que diz respeito a sua estabilidade.
Alm disso, podem ocorrer imperfeies no material devido presena de tenses residuais nas
sees.
Para analisar o efeito das imperfeies geomtricas considera-se uma barra biarticulada com uma
imperfeio geomtrica inicial (Figura 5.7) senoidal expressa por:
L
zsenvy o0
= (5-19)
y
z
N
Loe
e
y(z)
N
Figura 5.7 Barra com imperfeio inicial
Para esta situao a equao diferencial do problema dada por:
( ) 0yyEI
N
dz
ydo2
2
=++ (5-20)
Resolvendo a equao diferencial com a aplicao adequada das condies de contorno
referentes aos vnculos de extremidades encontra-se a seguinte soluo:
=
L
