DINÂMICA DE SATÉLITESARTIFICIAIS

Ana Paula Marins Chiaradia

Grupo de Dinâmica Orbital e PlanetologiaCampus de Guaratinguetá - UNESP

anachiaradia@feg.unesp.br

Desde o lançamento do primeiro satélite artificial Sputnik pelos russos, em 1957, o homemnão parou de explorar o espaço em diversas maneiras. Foram lançados satélites artificiais ter-restres, sondas espaciais para explorar outros planetas, telescópios espaciais e outros. Quantoaos satélites artificiais, são diversos os serviços prestados por eles ao redor da Terra, sendo osmais conhecidos: a previsão do tempo, o sensoriamento remoto, o envio e a recepção de dados,voz e imagens, o acesso à internet, a localização precisa através do Sistema de PosicionamentoGlobal (GPS) em qualquer parte da superfície terrestre, e a observação astronômica viabilizadapelos satélites científicos.

Porém, para usufruirmos de todos estes serviços, o satélite deve estar controlado, isto é, suaórbita e sua atitude devem estar dentro de certos limites operacionais, caso contrário há perdade sinal entre as antenas receptoras e o satélite.

Como veremos a seguir, o satélite artificial sofre, naturalmente, ações dos outros corpos ce-lestes, alterando sua órbita e atitude. Satélites em diferentes distâncias da superfície da Terrasão submetidos a diferentes efeitos perturbadores, porém satélites que orbitam outros corposdo Sistema Solar são submetidos quase aos mesmos efeitos, porém com intensidade diferente.Para corrigir tais efeitos, são aplicadas manobras de correção orbital e atitude, que são execu-tados através de disparos de jatos fornecendo ao satélite um impulso de velocidade geralmentena direção contrária aos efeitos da perturbação. Estes mesmos jatos também são usados paraposicionar o satélite um sua órbita final após a fase de lançamento ou para mudar sua posiçãoorbital durante sua vida útil. O tempo de vida útil de um satélite é definido basicamente pelaquantidade de combustível que ele leva no momento de seu lançamento e realizar manobras decorreção otimizadas é prolongar seu tempo de vida. (Corrêa, 2008).

Consulte Winter e Prado (2007) para conhecer mais sobre a conquista do espaço.

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1. Satélites Artificiais

O movimento de um satélite artificial é determinado pela sua posição e velocidade, orientaçãoe velocidade de rotação. A posição e velocidade descrevem o movimento orbital do centro demassa do satélite, com a trajetória sendo denominada de órbita. Já a orientação e velocidade derotação descrevem o movimento rotacional do satélite em torno do centro de massa, sendo quea orientação do veículo no espaço é denominada de atitude. Em geral, a órbita e a atitude sãointerdependentes. (Zanardi, 2008).

Aqui vamos estudar somente o movimento orbital dos satélites artificiais em órbita ao redor daTerra, que é praticamente o mesmo que o de um pequeno corpo celeste. Podemos dizer quea teoria básica se aplica tanto ao movimento de corpos celestes naturais como para satélitesartificiais. Isto é, os satélites artificiais terrestres também seguem a 1a Lei de Kepler, movendo-se em trajetórias elípticas com a Terra em um dos focos. A velocidade do satélite artificial variade ponto para ponto da órbita elíptica dependendo da distância que ele está da Terra, de acordocom a 2a Lei de Kepler. Quanto mais distante mais lento ele viaja. Então podemos afirmar quea velocidade do satélite artificial é maior no perigeu e menor no apogeu. Se o satélite encontra-se em órbita circular, isto é, a distância à Terra permanece constante, então sua velocidade éconstante.

Para estudar o movimento orbital do satélite precisamos conhecer os vetores posição e veloci-dade ou os elementos orbitais, a cada instante. O semi-eixo maior, excentricidade e inclinaçãoda órbita determinam os diferentes tipos de órbitas que um satélite artificial pode ser colocado.De acordo com as leis de Kepler, pode dividir-se a órbita dos satélites em dois grupos, sendoelas circulares e não-circulares (elípticas). Outra caracterização é feita levando-se em conside-ração a altitude das órbitas.

São circulares:

- A órbita GEO (Geosynchronous Earth Orbit), cuja altitude é de aproximadamente 36.000km, inclinação nula e período da ordem de 23 horas e 56 minutos (período de rotação da Terra).Para um ponto na superfície da Terra, o satélite permanece fico no céu, sendo a órbita tambémdenominada de geoestacionária Utilizada pelos satélites de comunicação porque as antenaspodem ser apontadas para uma direção fixa. A Terra possui um cinturão onde esses satélitespodem ser colocados.

Enfoque Evolucionário: "Dá o direito a uma posição em órbita geo-estacionária aos paísesque a ocuparem primeiro"

- A órbita MEO (Medium Earth Orbit), que varia entre 10.000 km e 20.000 km de altitude.

- A órbita LEO (Low Earth Orbit), associada a altitudes em torno de 280 km e menores que1.500 km. Este tipo de satélite é utilizado em aplicações de auxílio à navegação, sensoresremotos e militares e comunicações móveis onde não se exige que a área de cobertura seja fixa

- A órbita Polar que tem inclinação do plano orbital I = 90◦. Esta órbita é utilizada, em geral,para satélites meteorológicos e para mapeamento de recursos terrestres.

- A órbita Equatorial tem inclinação do plano orbital I = 0◦.

Não-circular:

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Figura 1 – Tipos de órbitas de satélites artificiais terrestres.

- A órbita HEO (Highly Elliptical Orbit), com perigeu a uma altura aproximada de 480 km eapogeu em torno de 41.000 km. Estas órbitas se caracterizam por ter o apogeu muito próximoda altitude de satélites geosíncronos, sendo que se movem lentamente em relação a um ponto daTerra durante um longo período de tempo. Utilizada em satélites de comunicação para regiõesterrestres com grandes latitudes.

Além destas, temos as órbitas hélio-síncrona que acompanhando o movimento anual do Sol.O satélite passa por cada latitude no mesmo tempo local com a mesma condição de iluminaçãoem todas as passagens. Muito utilizada em satélites de sensoriamento remoto.

A órbita de um satélite artificial poderia ser considerada kepleriana resultante da força centraldevida ao problema dos dois corpos, isto é, não existem forças perturbadoras agindo sobre osatélite. A órbita, neste caso, seria uma elipse de tamanho e excentricidade constantes numplano fixo e o satélite permaneceria nessa órbita indefinidamente. Porém isto não acontece naprática. Forças perturbadoras agem sobre a órbita do satélite fazendo com que sua posição sejadeteriorada. Portanto, em cada missão é necessário fazer uma investigação detalhada e precisalevando em consideração as perturbações que podem agir sobre a órbita do satélite.

As principais forças perturbadoras que agem sobre um satélite artificial terrestre são a atraçãogravitacional, a atração gravitacional luni-solar e as marés devidas à Lua e ao Sol, o arrastoatmosférico e a pressão de radiação solar direta e indireta. As forças mais importantes queatuam em um satélite artificial com altitude abaixo de 1.000 km são as forças devidas ao campogravitacional terrestre e ao arrasto atmosférico. Para satélite em órbitas com altitude superiora 1.000 km são as forças gravitacionais (terrestre e luni-solar) e a pressão de radiação. Parasatélites acima de 1.000 km a pressão de radiação supera o arrasto atmosférico (Kuga, 1987).

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Em geral, adota-se um modelo simplificado, que exprime de maneira aproximada o movimentodo satélite porque essas forças são difíceis de serem modeladas. Um modelo matemático im-preciso do movimento em relação ao movimento real pode ser adotado, o que no entanto podetornar crítica a determinação de órbita.

2. Forças Perturbadoras

As forças perturbadoras podem ser classificadas como gravitacionais e não gravitacionais. Asgravitacionais são atração gravitacional terrestre, atração gravitacional luni-solar e marés devi-das à Lua e ao Sol. As não-gravitacionais são arrasto atmosférico, pressão de radiação solardireta e pressão de radiação solar indireta (albedo).

2.1. Forças gravitacionais

Pela lei gravitacional de Newton, um corpo puntual de massa m é atraído pelo corpo de massaM por um força dada por:

F (r) = GMm

r2�r ((1))

onde G = 6.67260 × 10−11Nm2Kg−2 é a constante universal da gravitação e r é a distânciaentre as duas massas. A força gravitacional é atrativa e atua na direção do raio vetor unitário �rentre as duas massas. O potencial correspondente criado pela massa M é dado por:

U =GM−→r ((2))

A força pode ser expressa na forma de um gradiente do potencial:

F = m∂U

∂−→r = m∇U ((3))

Perturbações devido ao geopotencial

Quando é assumida uma órbita kepleriana, considera-se a Terra perfeitamente esférica e homo-gênea em massa. Mas não é o caso, a Terra é achatada e tem essencialmente a forma de pêra.Veja a Figura 2.

O vetor aceleração do veículo espacial devido ao geopotencial, aGEO, é dado por:

−→a GEO =∂U

∂−→r ((4))

onde −→r é o vetor posição e U é o potencial gravitacional da Terra.

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Figura 2 – Fomato da Terra (Kuga, 2006).

O campo potencial formado no espaço apresenta deformações que modificam a direção e in-tensidade do gradiente em determinados pontos, tornando a força específica em tais pontos nãocentral. A modelagem desse campo (geopotencial) é feita através de uma série infinita de ter-mos conhecidos como harmônicos esféricos terrestres:

U(r,φ,λ) =µ

r

∞�

n=0

n�

m=0

�rer

�n

Pn,m(sinφ) [Cn,m cosmλ+ Sn,m sinmλ] ((5))

onde r é a distância radial do veículo espacial, φ é a latitude geocêntrica, λ é a longitude nascoordenadas fixas na Terra, µ é a constante gravitacional do corpo central e re é o raio do corpocentral. Os valores Cn,m e Sn,m são os coeficientes harmônicos esféricos de grau n e ordem m,enquanto P n,m são as funções de Legrende associadas de grau n e ordem m dadas pela Eq (5).As constantes µ, re e os coeficientes Cn,m e Sn,m definem um potencial gravitacional específico.

Pn,m(sinφ) = (1− sin2 φ)m/2 1

2nn!

dn+m

d (sinφ)n+m (sin2 φ− 1)n ((6))

Esta representação do geopotencial pode ser considerada em 3 partes:

U = U1 + U2 + U3

onde

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U1 =µ

r

U2 = −µ

r

∞�

n=0

rernPn (sinφ) JnondeJn = −Cn,0

U3 =µ

r

∞�

n=0

n�

m=0

�rer

�n

Pn,m(sinφ) [Cn,m cosmλ+ Sn,m sinmλ] ((7))

A primeira parte da função geopotencial é resultante do tratamento do corpo como ponto demassa e é usado para derivar os resultados fundamentais do problema do dois corpos. A segundaparte da função depende da latitude e dos coeficientes do geopotencial, Jn, que são chamadosde coeficientes zonais que representam a simetria rotacional. A terceira parte inclui os termostesserais e setoriais na expansão. Os termos tesserais na expansão dependem da latitude elongitude e tentam representar outras anomalias além da simetria rotacional. Os termos setoriaisdependem somente da longitude.

O coeficiente J2, que representa o efeito do achatamento da Terra nos polos, é o termo de maiormagnitude podendo ser, às vezes, um termo à parte das equações do movimento. A expressãopara o potencial devido J2 é dado por:

U =µ

r

�1− J2rer

2P2 (sinφ)�

((8))

onde J2 = 0, 00108263. O perturbação devido ao J2 conserva a forma e as dimensões da órbitae causa variações seculares na longitude do nodo ascendente, argumento do perigeu e anomaliamédia. Essa perturbação manifesta-se com intensidade mais acentuada quando o satélite temaltitude não superior a cerca de 1.600 km da superfície terrestre (De Luca, 1982).

Para considerar outros graus e ordens do geopotencial nas equações do movimento, devemser levados em conta a precisão desejada e o método de propagação de órbita utilizado, comoserá visto adiante. Para os métodos analíticos e semi-analíticos, termos zonais até a 6a ordemsão considerados, enquanto são consideradas ordens menores quando é empregado o métodonumérico. O método numérico aumenta os custos computacionais quase exponencialmentecom a ordem, principalmente quando os coeficientes tesserais são considerados. Para análisede missão, os primeiros quatro coeficientes zonais, sem inclusão dos coeficientes tesserais,são suficientes. No caso de determinação de órbita e rastreamento, são necessários estudoscuidadosos para especificar adequadamente o mínimo grau/ordem que satisfaz os requisitos deprecisão (Kuga, 1987).

Pertubações devido a um terceiro corpo

Perturbações gravitacionais devido ao terceiro corpo devem ser consideradas quanto ele estiverpróximo ou for massivo o suficiente para afetar a órbita do satélite. O Sol e a Lua são as maioresfontes de perturbações nesse caso. O Sol porque a sua massa influencia todos os corpos celestes

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circundantes e a Lua devido à sua proximidade. Essa perturbação pode ser estudada através doproblema restrito dos três corpos, onde um deles tem massa desprezível em relação aos outrosdois.

O potencial perturbador deduzido pela força de atração do Sol e da Lua é dado por:

Ui = µMi

�1

|−→r −−→r i|−

−→r ·−→r i

r3i

�((9))

onde Mi é a massa do corpo perturbador, −→r é o vetor distância Terra-satélite e −→r i é o vetordistância do corpo perturbador-Terra.

A taxa de variação dos elementos orbitais é essencialmente proporcional ao cubo do semi-eixomaior; consequentemente, em altitudes muito baixas tais perturbações podem ser desprezadas,mas a partir de certas altitudes é aconselhável levá-lo em conta (Kuga, 1987).

A força específica atuante terá resultante igual ao gradiente do potencial perturbador com rela-ção a −→r , ou seja:

−→a T = −µMi

�(−→r −−→r i)

|−→r −−→r i|3+

−→r ·−→r i

r3i

�((10))

Perturbações devidas às marés terrestres As forças gravitacionais do Sol e da Lua atuam namatéria da Terra, resultando numa deformação do tipo protuberância de sua forma (superfície)na direção do corpo perturbador (Sol e Lua). Essa redistribuição de massa causa um potencialgravitacional adicional que perturba o espaço exterior à Terra. A força deduzida desse potencialé chamada força de maré e afeta o movimento de um corpo qualquer no espaço.

O gradiente da expressão (11) fornece a força (específica) devida às marés que atua em umsatélite:

Ui =1

2k2

µMi

r3i

r5er3

�3 (�r · �ri)2 − 1

�((11))

onde �r e �ri são os versores Terra-satélite e Terra-corpo perturbador, respectivamente, e k2 é ocoeficiente de proporcionalidade mais significativo e vale 0, 245±0, 005 ≤ k2 ≤ 0, 31±−0, 01(Kuga e Da Silva, 1984).

2.2. Perturbações não-gravitacionais

Essas forças, em geral, dependem da área A da secção do satélite e de sua massa m sendo tãomais importante quanto maior a relação A

m(são forças que resultam de uma pressão aplicada

e, portanto, são proporcionais à área da secção de impacto; e as acelerações resultantes sãoinversamente proporcionais à massa do satélite).

Se o efeito da pressão de radiação da luz solar independe da altura do satélite, já o efeitodo arrasto atmosférico depende dela em maior grau, visto que é proporcional à densidade do

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Figura 3 – Efeito do arrasto atmosférico (Kuga, 2006).

ar no local por onde está passando o satélite. Para satélites abaixo de 1.000 km de altitude,a aceleração do arrasto é maior do que a pressão de radiação solar; acima de 1.000 km, aaceleração da pressão de radiação solar é maior.

O arrasto e a pressão de radiação solar afetam diretamente o semi-eixo e a excentricidade daórbita, e devem ser considerados sempre que o satélite tiver uma secção relativamente grandeem relação à uma massa reduzida.

Arrasto atmosférico

Essa é a principal força não-gravitacional para um satélite de baixa altitude. O arrasto agena direção oposta do vetor velocidade e remove a energia da órbita. Essa redução de energiafaz com que a órbita se torne mais baixa; isto é, tende a circularizar as órbitas elípticas e areduzir a altitude do satélite de forma progressiva, até que o satélite reentre na atmosfera, onde,finalmente, devido à fricção com o ar mais denso, ele se queima. Veja a Figura 3.

A equação para aceleração devido ao arrasto no satélite é dada por:

−→a D = −1

2ρCD

A

mvr−→v r ((12))

onde ρ é densidade atmosférica, CD é o coeficiente de arrasto, Am

é a razão de área de referênciasobre a massa do satélite, −→v r é o vetor velocidade do satélite com respeito a atmosfera. A e CD

dependem da atitude do satélite, mas em casos de satélites com atitude controlada, mantêm-sequase constantes e, para efeitos práticos, podem ser considerados constantes.

A densidade atmosférica é uma das variáveis mais relevantes da Eq. (12). É função da altitudee temperatura exosférica que, por sua vez, depende do fluxo solar e da atividade geomagnética.Erros no modelo atmosférico podem redundar em significativo desvio na determinação e pre-visão da posição do satélite.

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Pressão de radiação solar

Deve ser calculada sempre que o satélite estiver na região iluminada pelo Sol. A pressão deradiação solar faz com que uma órbita originalmente circular se torne elíptica, com distânciapericêntrica decrescente, até que o satélite reentre na atmosfera. Veja a Figura 4. É proporci-onal à razão A

mentre a área da secção eficaz (superfície iluminada) e a massa do satélite. Ela

causa variações periódicas nos elementos orbitais. A aceleração devido a pressão de radiaçãosolar é dada por:

−→a s = −νCrA

mPs�r ((13))

onde ν é o fator de eclipse que vale 1 quando o satélite está iluminado e zero quando o satéliteestá na sombra da Terra; Cr é um fator que depende da reflexividade do material da superfíciedo satélite; A

mé a razão área de referência sobre a massa do satélite; Ps é a pressão de radiação

na superfície da Terra e �rs é o versor na direção do Sol. O fator de eclipse é calculado conformea posição do satélite em relação à Terra e ao plano terminador que separa luz e sombra sobre aTerra. O critério para o fator de eclipse é dado por:

h = −→r · �rs ((14))

D =√r2 − h2 ((15))

se h ≥ 0 então ν = 1, ou se h < 0 e D ≥ re então ν = 1 (luz) ou se h < 0 e D < re entãoν = 0 (sombra).A penumbra não foi considerada devido à dimensão da fonte luminosa (Sol),porque o seu efeito é totalmente negligenciável.

Pressão de radiação solar indireta (Albedo) Albedo é a radiação solar refletida pela Terra etambém exerce força sobre o satélite, que pode atingir de 20 a 40% da pressão de radiação solar(Kuga, 1987). O albedo obviamente depende das propriedades refletoras da superfície terrestre,sendo, portanto, maior nos pólos e menor no equador. A força de albedo é considerada na dire-ção radial Terra-satélite, uma vez que só se considera a radiação difusa e despreza a especulare pode ser calculado por:

−→aal= PsCr

A

mCa�r ((16))

onde �r é o versor Terra-satélites e Ca é o coeficiente de albedo pode ser escrito em função dalatitude na forma:

Ca = a0 + a2sen2φ ((17))

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Figura 4 – Efeito da pressão de radiação solar (Kuga, 2006).

para a0 = 0, 219 e a2 = 0, 410, os coeficientes que modelam o albedo (Kuga e da Silva, 1984).

3. Propagação da órbita

A propagação de órbita é um dos problemas mais importantes na análise de uma missão econtrole de missões que envolvem satélites artificiais. Propagar a órbita de um satélite consisteem calcular a sua trajetória sujeito à ação do campo gravitacional com o conhecimento dasua posição e da velocidade em uma época de referência. Isso pode ser realizado através demétodos de resolução das equações diferenciais do movimento que consistem, basicamente,em analítico, semi-analítico ou numérico.

A escolha do método depende dos requerimentos exigidos que podem ser, por exemplo, umamelhor precisão sem ponderação dos custos de tempo de processamento em computador, ra-zoável precisão para utilização para longos intervalos de propagação de órbita ou um relativograu de precisão em conjunto com o mínimo custo computacional.

O método analítico é o mais rápido para propagação de órbita; porém, oferece poucas op-ções que possam torná-lo mais genérico. Nesse método a derivação da teoria envolve o usode aproximações, expansões em séries e integração analítica. Algumas características para ométodo analítico são: manipulação algébrica laboriosa na dedução; modelos simples de forçasperturbadoras; fácil visualização dos efeitos perturbadores, o que permite a compreensão datendência de evolução dos elementos orbitais; pouco gasto de tempo computacional; e órbitapropagada num único passo indiferente ao intervalo de propagação (Kuga, 1984). Exemplo demétodo analítico clássico é o método de Brouwer.

O método semi-analítico tenta fazer uso da rapidez computacional da teoria analítica em con-junto com a precisão e flexibilidade de modelagem no método numérico. Existem várias vari-antes para esse tipo de método. Liu (1983) fornece um tutorial para esse método.

O método numérico utiliza procedimentos de cálculo passo a passo. Ele é capaz de lidar comtodo o tipo de situação com precisão arbitrária. O método é muito utilizado quando o número

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de revoluções da órbita a ser integrada é limitado. Ele tenta fazer aproximações polinomiaisda trajetória integrando exatamente um polinômio de um certo grau. A maior desvantagem dométodo numérico é a lentidão devido à seqüência de cálculos passo a passo. Sua principal van-tagem é a precisão. Isto é, precisão às custas de esforço computacional. A precisão juntamentecom o tempo de processamento em computador são dependentes da formulação adotada paraas equações diferenciais ordinárias do movimento e do método de integração (resolução dasequações diferenciais).

Os métodos mais utilizados, na prática, para propagar órbitas de satélites artificiais são osmétodos numéricos. Quando se deseja propagar e analisar teoricamente o movimento utilizam-se os métodos analíticos.

3.1. Métodos Numéricos

O método numérico mais popular é o método de Cowell, devido a rapidez com que a técnicapode ser usada. A sua vantagem é a simplicidade de formulação e implementação. Consiste emescrever as equações do movimento do objeto a ser estudado, incluindo todas as perturbações eentão integrá-las passo a passo numericamente. As perturbações podem ser incluídas todas aomesmo tempo. Esse método não requer tanto espaço de armazenamento nos computadores doque outros métodos.

As desvantagens são quando o movimento estiver próximo do corpo central, e passos de inte-gração menores devem ser tomados, o que afeta o tempo de processamento e aumenta o erroacumulado do processo. Quando as perturbações se tornam mais severas, exigem-se interva-los de integração menores e mais cálculos; o que implica a provável ocorrência de um maiornúmero de erros.

Para o problema de 2-corpos com perturbações, as equações seriam:..−→r = − µ

r3−→r +−→a P ((18))

onde −→a P é o vetor soma de todas as perturbações a serem incluídas na integração.

Métodos de integração numérica

O método de integração numérica é um dos mais poderosos métodos conhecidos em mecânicaceleste para calcular o movimento de qualquer corpo no sistema solar em torno do corpo pri-mário (Kuga, 1987). Os métodos de integração numérica podem ser divididos em passo fixo emulti-passos. Alguns dos métodos de passo fixo são Runge-Kutta, Gill, Euler-Cauchy e Bowie.Alguns dos métodos de multi-passos são Milne, Adams-Moulton, Gauss-Jackson, Obrechkoffe Adams-Bashforth. O método de multi-passos exige um método de passo fixo para iniciá-lo edepois cada tamanho de passo muda. Os métodos de multi-passos são freqüentemente referidoscomo método do preditor-corretor.

Para a integração numérica, a Eq.(18) pode ser reduzida a equações diferenciais de 1o ordem:.−→r = −→v

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.−→v = − µ

r3−→r +−→a P ((19))

onde −→r e −→v são os vetores posição e velocidade de um satélite com respeito ao corpo central.Para a equação de integração numérica, elas podem ser expressas nas componentes dos vetorescom a condição inicial (x, y, z)0 em t0:,

.x = vx.y = vy.z = vz

.vx = − µ

r3x+−→a Px

.vy = − µ

r3y +−→a Py

.vz = − µ

r3z +−→a Pz

((20))

onde r =�

x2 + y2 + z2.

Método de Runge-Kutta Essa técnica aproxima uma extrapolação da função da série deTaylor por vários cálculos das primeiras derivadas em pontos pertencentes ao intervalo de ex-trapolação. A ordem de um membro particular da família é a ordem da potência mais alta dotamanho do passo, h, na expansão da série de Taylor equivalente. A formulação para o métodopadrão de ordem 4 é:

xn+1 = xn +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) ((21))

onde

k1 = f(tn, xn)k2 = f(tn +

h2, xn +

k12)

k3 = f(tn +h2, xn +

k22)

k4 = f(tn + h, xn + k3)

((22))

O método de Runge-Kutta é estável e não exige um procedimento de início. Ele é relativamentesimples, fácil de implementar, tem relativamente um pequeno erro de truncamento e o tamanhodo passo é fácil de ser mudado. Uma das desvantagens é que não existe um caminho simplespara determinar o erro de truncamento, então é difícil determinar o tamanho do passo adequado.Uma falha óbvia é que o uso é feito somente com informação do último passo calculado. Essaidéia conduz ao método de multi-passos ou preditor-corretor.

4. Referências

Corrêa, A. A. Dinâmica de satélites artificiais e geoestarcionários. Apostila da 12a Escolade Verão em Dinâmica Orbital e Planetologia. p207-214. 2008.

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De Luca, N. Mecânica Celeste. Editora da Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1982.438p.

Kuga, H.K. Gerador Numérico de órbitas de satélites artificiais terrestres. São José dosCampos: INPE, 1984. 93p. (INPE-3050-RPE/455).

Kuga, H.K. Métodos em propagação de órbita de satélites artificiais terrestres. São Josédos Campos: INPE, 1987. 62p. (INPE – 4405 – RPE/556).

Kuga, H.K. hkk@dem.inpe.br Figuras do curso de Tecnologia de Satélites - Órbitas. Chia-radia, A. P. M. anachiaradia@globo.com. 28 janeiro 2006.

Kuga, H.K.; Da Silva, W.C.C. Gerador numérico de órbita de satélites artificiais terrestres.São José dos Campos: INPE, 1984. 93p. (INPE – 3050 – RPE/455).

Wertz, J.R.; Larson, W.J. Space Mission Analysis and Design. Space Technology Library,p123-128, 1991.

Winter, O. C e Prado, A. B. A. A conquista do Espaço: do Sputnik à Missão Centenário. SãoPaulo: Editora Livraria da Física, 2007. http://www.feg.unesp.br/%7Eorbital/sputnik/sputnik.html.

Zanardi, M. C. Movimento de Satélites Artificiais. Apostila da 12a Escola de Verão emDinâmica Orbital e Planetologia. p69-77. 2008.

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